Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Геллерстедта
Показано, що задачi Дiрiхле та Пуанкаре в цилiндричнiй областi для вироджуваних багатовимiрних гiперболiчних рiвнянь з оператором Геллерстедта мають єдиний розв’язок. Встановлено критерiй єдиностi регулярних розв’язкiв цих задач....
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177140 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Геллерстедта / С.А. Алдашев // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 10-19 — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177140 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771402021-02-12T01:26:06Z Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Геллерстедта Алдашев, С.А. Показано, що задачi Дiрiхле та Пуанкаре в цилiндричнiй областi для вироджуваних багатовимiрних гiперболiчних рiвнянь з оператором Геллерстедта мають єдиний розв’язок. Встановлено критерiй єдиностi регулярних розв’язкiв цих задач. We prove that Dirichlet and Poincare problems in a cylindrical domain for degenerate many dimensional hyperbolic equations with Gellerstedt operator have unique solutions. We find a criterion for uniqueness of regular solutions of these problems. 2015 Article Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Геллерстедта / С.А. Алдашев // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 10-19 — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177140 517.956 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Показано, що задачi Дiрiхле та Пуанкаре в цилiндричнiй областi для вироджуваних багатовимiрних гiперболiчних рiвнянь з оператором Геллерстедта мають єдиний розв’язок. Встановлено критерiй єдиностi регулярних розв’язкiв цих задач. |
| format |
Article |
| author |
Алдашев, С.А. |
| spellingShingle |
Алдашев, С.А. Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Геллерстедта Нелінійні коливання |
| author_facet |
Алдашев, С.А. |
| author_sort |
Алдашев, С.А. |
| title |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Геллерстедта |
| title_short |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Геллерстедта |
| title_full |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Геллерстедта |
| title_fullStr |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Геллерстедта |
| title_full_unstemmed |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Геллерстедта |
| title_sort |
корректность задач дирихле и пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором геллерстедта |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177140 |
| citation_txt |
Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Геллерстедта / С.А. Алдашев // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 10-19 — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT aldaševsa korrektnostʹzadačdirihleipuankarevcilindričeskojoblastidlâvyroždaûŝihsâmnogomernyhgiperboličeskihuravnenijsoperatoromgellerstedta |
| first_indexed |
2025-07-15T15:09:58Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:09:58Z |
| _version_ |
1837726121092710400 |
| fulltext |
УДК 517.956
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ
В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ
МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С ОПЕРАТОРОМ ГЕЛЛЕРСТЕДТА
С. А. Алдашев
Казах. нац. пед. ун-т им. Абая
Казахстан, 050012, Алматы, ул. Толеби, 86
e-mail: aldash51@mail.ru
We prove that Dirichlet and Poincare problems in a cylindrical domain for degenerate many dimensional
hyperbolic equations with Gellerstedt operator have unique solutions. We find a criterion for uniqueness
of regular solutions of these problems.
Показано, що задачi Дiрiхле та Пуанкаре в цилiндричнiй областi для вироджуваних багатови-
мiрних гiперболiчних рiвнянь з оператором Геллерстедта мають єдиний розв’язок. Встановле-
но критерiй єдиностi регулярних розв’язкiв цих задач.
В [1] было показано, что на плоскости одна из фундаментальных задач математической
физики — изучение поведения колеблющейся струны — некорректна в случае, когда
краевые условия заданы на всей границе области. Как отмечено в [2, 3], задача Дирих-
ле некорректна не только для волнового уравнения, но и для общих гиперболических
уравнений. В [4] показано, что решение задачи Дирихле существует в прямоугольных
областях. В дальнейшем эта задача исследовалась методами функционального анализа
[5], применение которых в приложениях затруднено.
В пространстве [6, 7] получены теоремы единственности решения задачи Дирихле для
строго гиперболических уравнений, а в [8, 9] доказана корректность задачи Дирихле и
Пуанкаре для многомерного волнового уравнения.
Насколько известно автору, многомерные задачи Дирихле и Пуанкаре для вырождаю-
щихся гиперболических уравнений исследованы мало [10].
1. Постановка задач и результат. Пусть Dβ — цилиндрическая область евклидова
пространства Em+1 точек (x1, . . . , xm, t), ограниченная цилиндром Γ = {(x, t) : |x| = 1},
плоскостями t = β > 0 и t = 0, где |x| — длина вектора x = (x1, . . . , xm). Части этих
поверхностей, образующих границу ∂Dβ области Dβ, обозначим через Γβ, Sβ и S0 соот-
ветственно.
В области Dβ рассмотрим взаимно сопряженные вырождающиеся многомерные ги-
перболические уравнения с оператором Геллерстедта
Lu ≡ tp∆xu− utt +
m∑
i=1
ai(x, t)uxi + b(x, t)ut + c(x, t)u = 0, (1)
L∗υ ≡ tp∆xυ − υtt −
m∑
i=1
aiυxi − bυt + dυ = 0, (1∗)
c© С. А. Алдашев, 2015
10 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ . . . 11
где p = const > 0, ∆x — оператор Лапласа по переменным x1, . . . , xm, m ≥ 2, а d(x, t) =
= c−
∑m
i=1 aixi − bt.
В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат x1, . . . , xm, t к сфериче-
ским r, θ1, . . . , θm−1, t, r ≥ 0, 0 ≤ θ1 < 2π, 0 ≤ θi ≤ π, i = 2, 3, . . . ,m− 1.
В качестве многомерных задач Дирихле и Пуанкаре рассмотрим следующую задачу.
Задача 1. Найти решение уравнения (1) в областиDβ из класса C1(Dβ)∩C2(Dβ), удов-
летворяющее краевым условиям
u|Sβ = ϕ(r, θ), u|Γβ = ψ(t, θ), u|S0
= τ(r, θ) (2)
или
u|Sβ = ϕ(r, θ), u|Γβ = ψ(t, θ), u|S0
= ν(r, θ), (3)
при этом ϕ(1, θ) = ψ1(β, θ), ϕ(0, θ) = τ(1, θ).
Пусть
{
Y k
n,m(θ)
}
— система линейно независимых сферических функций порядка n,
1 ≤ k ≤ kn, (m− 2)!n!kn = (n+m− 3)!(2n+m− 2), W l
2(S0), l = 0, 1, . . . , — пространства
Соболева.
Имеет место следующая лемма [11].
Лемма 1. Пусть функция f(r, θ) принадлежит W l
2(S0). Если l ≥ m− 1, то ряд
f(r, θ) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
fkn(r)Y k
n,m(θ), (4)
а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p ≤ l−m+1, сходятся
абсолютно и равномерно.
Лемма 2. Для того чтобы функция f(r, θ) принадлежала W l
2(S0), необходимо и до-
статочно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам
|f1
0 (r)| ≤ c1,
∞∑
n=1
kn∑
k=1
n2l|fkn(r)|2 ≤ c2, c1, c2 = const.
Через ãkin(r, t), akin(r, t), b̃kn(r, t), c̃kn(r, t), d̃kn(r, t), ρkn, ϕ̄
k
n(r), ψkn(t), τ̄kn(r), ν̄kn(r) обозначим
коэффициенты разложения ряда (4) соответственно функций ai(r, θ, t)ρ(θ), ai
xi
r
ρ,
b(r, θ, t)ρ, c(r, θ, t)ρ, d(r, θ, t)ρ, ρ(θ), i = 1, . . . ,m, ϕ(r, θ), ψ(t, θ), τ(r, θ), ν(r, θ), причем ρ(θ) ∈
∈ C∞(H), H — единичная сфера в Em.
Пусть ai(r, θ, t), b(r, θ, t), c(r, θ, t) ∈ W l
2(Dβ) ⊂ C(Dβ), l ≥ m+ 1, i = 1, . . . ,m.
Тогда справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Если ϕ(r, θ) ∈ W p
2 (Sβ), ψ(t, θ) ∈ W p
2 (Γβ), τ(r, θ), ν(r, θ) ∈ W l
2(S0), p ≥ 3m
2
,
и выполняется условие
cosµs,nβ
′ 6= 0, s = 1, 2, . . . , (5)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
12 С. А. АЛДАШЕВ
то задача 1 имеет единственное решение, где µs,n — положительные нули функций Бес-
селя первого рода Jn+m−2
2
(z), β′ =
2
2 + p
β
2+p
2 .
Теорема 2. Решение задачи 1 единственно тогда и только тогда, когда выполняется
условие (5).
Отметим, что эти теоремы для многомерного уранения Геллерстедта получены в [10].
2. Разрешимость задачи 1. В сферических координатах уравнение (1) имеет вид
Lu≡ tp
(
urr +
m− 1
r
ur −
δu
r2
)
− utt +
m∑
i=1
ai(r, θ, t)uxi + b(r, θ, t)ut + c(r, θ, t)u = 0, (6)
δ≡−
m−1∑
j=1
1
gj sinm−j−1 θj
∂
∂θj
(
sinm−j−1 θj
∂
∂θj
)
, g1 = 1, gj = (sin θ1 . . . sin θj−1)2, j > 1.
Известно [11], что спектр оператора δ состоит из собственных чисел λn = n(n+m−
−2), n= 0, 1, . . . , каждому из которых соответствует kn ортонормированных собственных
функций Y k
n,m(θ).
Решение задачи 1 будем искать в виде
u(r, θ, t) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
ūkn(r, t)Y k
n,m(θ), (7)
где ūkn(r, t) — функции, подлежащие определению.
Подставив (7) в (6), умножив затем полученное выражение на ρ(θ) 6= 0 и проинтегри-
ровав по единичной сфере H, для ūkn получим [12, 13]
tpρ1
0ū
1
0rr − ρ1
0ū
1
0tt +
(
m− 1
r
tpρ1
0 +
m∑
i=0
a1
i0
)
ū1
0r + b̃10ū
1
0t + c̃1
0ū
1
0+
+
∞∑
n=1
kn∑
k=1
{
tpρknū
k
nrr − ρknūkntt +
(
m− 1
r
tpρkn +
m∑
i=1
akin
)
ūknr + b̃knū
k
nt +
+
[
c̃kn − λn
ρkn
r2
tp +
m∑
i=1
(ãkin−1 − nakin)
]
ūkn
}
= 0. (8)
Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений
tpρ1
0ū
1
0rr − ρ1
0ū
1
0tt +
m− 1
r
tpρ1
0ū
1
0r = 0, (9)
tpρk1ū
k
1rr − ρk1ūk1tt +
m− 1
r
tpρk1ū
k
1r −
λ1
r2
tpρk1ū
k
1 =
=− 1
k1
(
m∑
i=1
a1
i0ū
1
0r + b̃10ū
1
0t + c̃1
0ū
1
0
)
, n = 1, k = 1, k1, (10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ . . . 13
tpρknū
k
nrr − ρknūkntt +
m− 1
r
tpρknū
k
nr −
λn
r2
tpρknū
k
n =
=− 1
kn
kn−1∑
k=1
{
m∑
i=1
akin−1ū
k
n−1r + b̃kn−1ū
k
n−1t +
+
[
c̃kn−1 +
m∑
i=1
(ãkin−2 − (n− 1)akin−1)
]
ūkn−1
}
, k = 1, kn, n = 2, 3, . . . . (11)
Просуммировав уравнение (10) от 1 до k1, уравнение (11) от 1 до kn, а затем сложив
полученные выражения вместе с (9), приходим к уравнению (8). Отсюда следует, что если
{ūkn}, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , — решение системы (9) – (11), то оно является решением
уравнения (8).
Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (9) – (11) можно представить в
виде
tp
(
ūknrr +
m− 1
r
ūknr −
λn
r2
ūkn
)
− ūkntt = fkn(r, t), (12)
где fkn(r, t) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом f1
0 (r, t) ≡ 0.
Далее, из краевых условий (2) и (3) в силу (7) с учетом леммы 1 будем иметь
ūkn(r, β) = ϕ̄kn(r), ūkn(1, t) = ψkn(t), ūkn(r, 0) = τ̄kn(r), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , (13)
ūkn(r, β) = ϕ̄kn(r), ūkn(1, t) = ψkn(t), ūknt(r, 0) = ν̄kn(r), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . . (14)
Выполнив замену ūkn(r, t) = r
1−m
2 ukn(r, t) и положив затем r= r, x0 =
2
2 + p
t
2+p
2 , задачи
(12), (13) и (12), (14) сведем к следующим задачам:
Lαυ
k
α,n ≡ υkα,nrr − υkα,nx0x0 −
α
x0
υkα,nx0 +
λn
r2
υkα,n = fkα,n(r, x0), (15α)
υkα,n(r, β′) = ϕkn(r), υkα,n(1, x0) = ψkn(x0), υkα,n(r, 0) = τkn(r), (16)
υkα,n(r, β′) = ϕkn(r), υkα,n(1, x0) = ψkn(x0), lim
x0→0
xα0
∂
∂x0
υkα,n = νkn(r), (17)
где
0 < α =
p
2 + p
< 1, λ̄n =
(m− 1)(3−m)− 4λn
4
,
υkα,n(r, x0) = ukn
[
r,
(
x0
1− α
)1−α
]
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
14 С. А. АЛДАШЕВ
fkα,n(r, x0) = r
m−1
2
(
x0
1− α
)−2α
fkn
[
r,
(
x0
1− α
)1−α
]
,
ϕkn(r) = r
m−1
2 ϕ̄kn(r), ψkn(x0) = ψkn
[(
x0
1− α
)1−α
]
,
τkn(r) = r
m−1
2 τ̄kn(r), νkn(r) = r
m−1
2 ν̄kn(r), k = 1, kn, n = 0, 1 . . . .
Наряду с уравнением (15α) рассмотрим уравнение
L0υ
k
0,n ≡ υk0,nrr − υk0,nx0x0 +
λ̄n
r2
υk0,n = fk0,n(r, x0). (150)
Как доказано в [12, 13] (см. также [14]), существует следующая функциональная связь
между решениями задачи Коши для уравнений (15α) и (150).
Утверждение 1. Если υk,10,n(r, x0) — решение задачи Коши для уравнения (150 ), удовле-
творяющее условиям
υk,10,n(r, 0) = τkn(r),
∂
∂x0
υk,10,n(r, 0) = 0, (18)
то функция
υk,1α,n(r, x0) = γα
1∫
0
υk,10,n(r, ξx0)(1− ξ2)
α
2
−1dξ ≡ 2−1γαΓ
(α
2
)
x1−α
0 D
−α
2
0x20
[
υk,10,n(r, x0)
x2
0
]
(19)
при α > 0 является решением уравнения (15α) с условиями (18).
Утверждение 2. Если υk,10,n(r, x0) — решение задачи Коши для уравнения (150 ), удовле-
творяющее условиям
υk,10,n(r, 0) =
νkn(r)
(1− α)(3− α) . . . (2q + 1− α)
,
∂
∂x0
υk,10,n(r, 0) = 0, (20)
то при 0 < α < 1 функция
υk,2α,n(r, x0) = γ2−k+2q
(
1
x0
∂
∂x0
)q x1−α+2q
0
1∫
0
υk,10,n(r, ξx0)(1− ξ2)q−
α
2 dξ
≡
≡ γ2−k+2q2
q−1Γ
(
q − α
2
+ 1
)
D
α
2
−1
0x20
[
υk,10,n(r, x0)
x0
]
(21)
является решением уравнения (15α) с начальными условиями
υk,2α,n(r, 0) = 0, lim
x0→0
xα0
∂
∂x0
υk,2α,n = νkn(r), (22)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ . . . 15
где
√
πΓ
(α
2
)
γα = 2Γ
(
α+ 1
2
)
, Γ(z) — гамма-функция,Dα
0t — оператор Римана – Лиувил-
ля [15], а q ≥ 0 — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 2− α+ 2q ≥
≥ m− 1.
При этом функции fkα,n(r, x0), fk0,n(r, x0) связаны формулами (19) в случае утвержде-
ния 1 и формулами (21) в случае утверждения 2.
Решение задачи (15α), (16) будем искать в виде
υkα,n(r, x0) = υk,1α,n(r, x0) + υk,2α,n(r, x0), (23)
где υk,1α,n(r, x0) — решение задачи Коши (15α), (18), а υk,2α,n(r, x0) — решение краевой задачи
для уравнения
Lαυ
k,2
α,n = 0 (24α)
с условиями
υk,2α,n(r, β′) = ϕkn(r)− υk,1α,n(r, β′), υk,2α,n(1, x0) = ψkn(x0)− υk,1α,n(1, x0), υk,2α,n(r, 0) = 0. (25)
Учитывая формулы (19), (21), а также обратимость оператора Dα
0t [15], задачи (15α),
(18) и (24α), (25) соответственно сводим к задаче Коши (150), (18), имеющей единственное
решение [12, 13], и к задаче для уравнения
L0υ
k,1
0,n = 0 (240)
с условиями
υk,10,n(r, β′) = ϕk1n(r), υk,10,n(1, x0) = ψk1n(x0),
∂
∂x0
υk,10,n(r, 0) = 0, (26)
где ϕk1n(r), ψk1n(x0) — функции, вырождающиеся соответственно через ϕkn(r), τkn(r) и
ψkn(x0), τkn(r).
В [9] показано, что если выполняется условие (5), то задача (240), (26) однозначно
разрешима.
Далее, используя утверждения 1 и 2, устанавливаем однозначную разрешимость задач
(15α), (18) и (24α), (25).
Теперь будем решать задачу (15α), (17) в виде (23), где υk,2α,n(r, x0) — решение задачи
(15α), (22), а υk,1α,n(r, x0) — решение задачи (24α) с условиями
υk,1α,n(r, β′) =ϕkn(r)−υk,2α,n(r, β′), υk,1α,n(1, x0) =ψkn(x0)−υk,2α,n(1, x0),
∂
∂x0
υk,1α,n(r, 0) = 0. (27)
Использовав формулы (21), (19), задачи (15α), (22) и (24α), (27) соответственно сведем
к задаче Коши (150), (20) и к задаче (240), (26), где ϕk1n(r), ψk1n(x0) — функции, теперь вы-
рождающиеся соответственно через ϕkn(r), νkn(r) и ψkn(x0), νkn(r).
Таким образом, задача (15α), (17) также имеет единственное решение.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
16 С. А. АЛДАШЕВ
Следовательно, сначала решив задачу (9), (13) (n = 0), а затем (10), (13) (n = 1) и
т. д., найдем последовательно все υkα,n(r, x0) из (23), где υk,1α,n(r, x0), υk,2α,n(r, x0), k = 1, kn,
n = 0, 1, . . . , находятся из двумерных задач.
Итак, в области Dβ ∫
H
ρ(θ)LudH = 0. (28)
Пусть f(r, θ, t) = R(r)ρ(θ)T (t), причем R(r) ∈ V0, V0 плотна в L2((0, 1)), ρ(θ) ∈ C∞(H)
плотна в L2(H), а T (t) ∈ V1, V1 плотна в L2((0, β)). Тогда f(r, θ, t) ∈ V, V = V0 ⊗ H ⊗ V1
плотна в L2(Dβ) [16].
Отсюда и из (28) следует, что∫
Dβ
f(r, θ, t)LudDβ = 0, Lu = 0 ∀(r, θ, t) ∈ Dβ.
Таким образом, решением задачи 1 является функция
u(r, θ, t) =
∞∑
n=0
kn∑
k=1
r
1−m
2 ukn(r, t)Y k
n,m(θ), (29)
где ukn(r, t) находятся из (15α), (16) в случае задачи (1), (2) и из (15α), (17) в случае зада-
чи (1), (3).
Учитывая следующие свойства нулей функций Бесселя [17]:
10) если µν,1, µν,2, . . . — положительные нули функций Jν(z), упорядоченные по воз-
растанию значений, то
0 < µν,1 < µν+1,1 < µν,2 < µν+1,2 < µν,3 < . . . , ν > −1;
20) пусть µν , µ′ν , µ
′′
ν являются наименьшими положительными нулями функций Jν(z),
J ′ν(z), J ′′ν (z) соответственно, тогда√
ν(ν + 2) < µν <
√
2(ν + 1)(ν + 3), ν > 0,√
ν(ν + 2) < µ′ν <
√
2ν(ν + 1), ν > 0,√
ν(ν − 1) < µ′′ν <
√
(ν2 − 1), ν > 1,
формулы [17, 18]
sin z = z
(
1− z
∞∑
n=1
(4n2 − 1)−1[Jn(nz)]2
)
,
(30)
2J ′ν(z) = Jν−1(z)− Jν+1(z), Jν(z) =
√
2
πz
cos
(
z − π
2
ν − π
4
)
+ 0
(
1
z3/2
)
, ν ≥ 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ . . . 17
и оценки [11]
|kn| ≤ c1n
m−2,
∣∣∣∣∣ ∂q∂θqj Y k
n,m(θ)
∣∣∣∣∣ ≤ c2n
m
2
−1+q, j = 1,m− 1, q = 0, 1, . . . ,
а также леммы, ограничения на коэффициенты уравнения (1) и на заданные функции
ϕ(r, θ), ψ(t, θ), τ(r, θ), ν(r, θ), как в [8, 9], можно показать, что полученное решение (29)
принадлежит искомому классу C1(D̄β) ∩ C2(Dβ).
Следовательно, разрешимость задачи 1 установлена.
3. Единственность решения задачи 1. Сначала рассмотрим задачу (1), (2) и докажем
единственность ее решения. Для этого построим решение задачи Дирихле для уравнения
(1∗) с условиями
υ|Sβ∪Γβ
= 0, υ|S0
= τ(r, θ) = τ̄kn(r)Y k
n,m(θ), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . , (31)
где τ̄kn(r) ∈ V, V — множество функций τ(r) из класса C1([0, 1])∩C2((0, 1)).Множество V
плотно всюду в L2((0, 1)) [16]. Решение задачи (1∗), (31) будем искать в виде (7), где функ-
ции ῡkn(r, t) будут определены ниже. Тогда, как и в п. 2, функции ῡkn(r, t) удовлетворяют
системе уравнений (9) – (11), где ãkin, a
k
in, b̃
k
n заменены соответственно на −ãkin, −akin, −b̃kn,
а c̃kn — на d̃kn, i = 1, . . . ,m, k = 1, kn, n = 0, 1, . . . .
Далее, из краевого условия (31) в силу (7) получим
ῡkn(r, β) = ῡkn(1, t) = 0, ῡkn(r, 0) = τ̄kn(r), k = 1, kn, n = 0, 1, . . . . (32)
Как ранее отмечено, каждое уравнение системы (9) – (11) представимо в виде (12).
В п. 2 показано, что задача (12), (32) имеет единственное решение.
Таким образом, решение задачи (1∗), (31) в виде ряда (29), которое в силу оценок (30)
принадлежит классу C1(D̄β) ∩ C2(Dβ), построено.
Из определения сопряженных операторов L, L∗ [19] имеем
υLu− uL∗υ = −υP (u) + uP (υ)− uυQ,
где
P (u) = tp
m∑
i=1
uxi cos
(
N⊥, xi
)
− ut cos
(
N⊥, t
)
, Q =
m∑
i=1
ai cos
(
N⊥, xi
)
− b cos
(
N⊥, t
)
,
а N⊥ — внутренняя нормаль к границе ∂Dβ, а по формуле Грина находим∫
Dβ
(υLu− uL∗υ) dDβ =
∫
∂Dβ
[(
υ
∂u
∂N
− u ∂υ
∂N
)
M + uυQ
]
ds, (33)
где
∂
∂N
= tp
m∑
i=1
cos
(
N⊥, xi
) ∂
∂xi
− cos
(
N⊥, t
) ∂
∂t
, M2 = t2p
m∑
i=1
cos2
(
N⊥, xi
)
+ cos2
(
N⊥, t
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
18 С. А. АЛДАШЕВ
Из (33) с учетом однородных граничных условий (2) получим∫
S0
τ(r, θ)ut(r, θ, 0)ds = 0. (34)
Поскольку линейная оболочка системы функций {τ̄kn(r)Y k
n,m(θ)} плотна в L2(S0) [16],
из (34) заключаем, что ut(r, θ, 0) = 0 ∀(r, θ) ∈ S0.
Следовательно, в силу единственности решения задачи Коши: u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0
для уравнения (1) [19] имеем u(x, t) = 0 ∀(x, t) ∈ Dβ.
Таким образом, единственность решения задачи (1), (2) доказана. Ее справедливость
для задачи (1), (3) показывается аналогично, если b(r, θ, 0) = 0 ∀(r, θ) ∈ S0.
Теорема 1 доказана.
4. Доказательство теоремы 2. Если выполняется условие (5), то из теоремы 1 следует,
что решение задачи 1 единственно.
Пусть теперь условие (5) не выполняется хотя бы для одного s = l. В этом случае в
[20] показано, что нетривиальным решением однородной задачи, соответствующей зада-
че (150), (26), является функция
µl,nυ
k,1
0,n(r, x0) =
√
r
cosµl,nx0 + (cosµl,nx0)
x0∫
0
al,n(ξ) sinµl,nξdξ −
− (sinµl,nx0)
x0∫
0
al,n(ξ) cosµl,nξdξ
Jν(µl,nr), (35)
где
al,n(x0) = 2[Jν+1(µl,n)]−2
1∫
0
√
ξfk0,n(ξ, x0)Jν(µl,nξ)dξ, ν = n+
m− 2
2
.
Далее, из (19), (21), (35) следует, что однородные задачи (15α), (16) и (15α), (17) имеют
решения вида
υk,1α,n(r, x0) = γα
1∫
0
υk,10,n(r, ξ, x0)(1− ξ2)
α
2
−1dξ
и
υk,2α,n(r, x0) = γ2−k+2q
(
1
x0
∂
∂x0
)q x1−α+2q
0
1∫
0
υk,20,n(r, ξ, x0)(1− ξ2)q−
α
2 dξ
.
Следовательно, нетривиальным решением однородной задачи, соответствующей за-
даче 1, является функция
u(r, θ, t) =
∞∑
n=1
kn∑
k=1
n−lr
1−m
2 ukjn(r, t)Y k
n,m(θ),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ . . . 19
где uk1n(r, t) = υk,1α,n(r, x0) в случае задачи (1), (2), uk2n(r, t) = υk,2α,n(r, x0) в случае задачи (1),
(3), при этом из оценок (30) следует, что она принадлежит искомому классу, если l >
3m
2
.
Теорема 2 доказана.
1. Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique // Princeton Univ. Bull. —
1902. — 13. — P. 49 – 52.
2. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. — 164 с.
3. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных. — М.: Наука, 2006. —
287 с.
4. Bourgin D. G., Duffin R. The Dirichlet problem the vibrating string equation // Bull. Amer. Math. Soc. —
1939. — 45. — P. 851 – 858.
5. Fox D. W., Pucci C. The Dirichlet problem the wave equation // Ann. mat. pura ed appl. — 1958. — 46. —
P. 155 – 182.
6. Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилинд-
рической области // Дифференц. уравнения. — 1970. — 6, № 1. — С. 190 – 191.
7. Dunninger D. R., Zachmanoglou E. C. The condition for uniqueness of the Dirichlet problem for hyperbolic
equations in cylindrical domains // J. Math. and Mech. — 1969. — 18, № 8.
8. Aldashev S. A. The well-posedness of the Dirichlet problem in the cylindric domain for the multidimensional
wave equation // Math. Probl. Eng. — 2010. — 2010. — Article ID 653215. — 7 p.
9. Aldashev S. A. The well-posedness of the Poincare problem in a cylindrical domain for the higher-dimensio-
nal wave equation // J. Math. Sci. — 2011. — 173, № 2. — P. 150 – 154.
10. Алдашев С. А. Корректность задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерно-
го уравнения Геллерстедта // Укр. мат. журн. — 2012. — 64, № 3. — С. 426 – 432.
11. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. — М.: Физматгиз,
1962. — 254 с.
12. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. — Алма-
ты: Гылым, 1994. — 170 с.
13. Алдашев С. А. Вырождающиеся многомерные гиперболические уравнения. — Орал: ЗКАТУ, 2007. —
139 с.
14. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. — Новосибирск: Новосиб.
гос. ун-т, 1973. — 94 с.
15. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. — М.: Высш. шк., 1985. — 301 с.
16. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,
1976. — 543 с.
17. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 295 с.
18. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1966. — 724 с.
19. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1981. — Т. 4. — 550 с.
20. Алдашев С. А. Корректность задачи Пуанкаре в цилиндрической области для многомерных гипербо-
лических уравнений с волновым оператором // Докл. Адыг. (Черкес.) Междунар. академии наук. —
2011. — 13, № 1. — С. 21 – 29.
Получено 04.09.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
|