Исследование устойчивости в случае нейтрального линейного приближения
Вивчається стiйкiсть у випадку нейтрального лiнiйного наближення
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177141 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Исследование устойчивости в случае нейтрального линейного приближения / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 20-28 — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177141 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771412021-02-12T01:25:57Z Исследование устойчивости в случае нейтрального линейного приближения Бельский, Д.В. Вивчається стiйкiсть у випадку нейтрального лiнiйного наближення We study stability in the case of a neutral linear approximation. 2015 Article Исследование устойчивости в случае нейтрального линейного приближения / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 20-28 — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177141 517.929 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Вивчається стiйкiсть у випадку нейтрального лiнiйного наближення |
| format |
Article |
| author |
Бельский, Д.В. |
| spellingShingle |
Бельский, Д.В. Исследование устойчивости в случае нейтрального линейного приближения Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бельский, Д.В. |
| author_sort |
Бельский, Д.В. |
| title |
Исследование устойчивости в случае нейтрального линейного приближения |
| title_short |
Исследование устойчивости в случае нейтрального линейного приближения |
| title_full |
Исследование устойчивости в случае нейтрального линейного приближения |
| title_fullStr |
Исследование устойчивости в случае нейтрального линейного приближения |
| title_full_unstemmed |
Исследование устойчивости в случае нейтрального линейного приближения |
| title_sort |
исследование устойчивости в случае нейтрального линейного приближения |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177141 |
| citation_txt |
Исследование устойчивости в случае нейтрального линейного приближения / Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 20-28 — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT belʹskijdv issledovanieustojčivostivslučaenejtralʹnogolinejnogopribliženiâ |
| first_indexed |
2025-07-15T15:10:02Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:10:02Z |
| _version_ |
1837726124441862144 |
| fulltext |
УДК 517.929
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
В СЛУЧАЕ НЕЙТРАЛЬНОГО ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
Д. В. Бельский
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3
We study stability in the case of a neutral linear approximation.
Вивчається стiйкiсть у випадку нейтрального лiнiйного наближення.
Изучается система уравнений
x′ = Ax+ F2(t)x2 + F3(t)x3 + . . . , (1)
где A — постоянная вещественная (2m × 2m)-матрица, которая подобна диагональной
матрице с чисто мнимыми попарно комплексно-сопряженными собственными числами
на главной диагонали; Fl(t)xl — однородные полиномы степени l от x1, . . . , x2m с пе-
риодическими или почти периодическими вещественными коэффициентами — вектор-
функциями от t. Устойчивость нулевого решения этой системы при постоянных коэф-
фициентах в однородных полиномах изучалась в [1]. В настоящей статье предлагается
конструктивный метод построения возмущенной функции Ляпунова [2, 3] на основе тех-
ники теории нормальных форм для некоторых случаев системы (1). Сама теория нор-
мальных форм [4] для таких систем неприменима.
Сначала определим функцию Ляпунова для невозмущенной системы
x′ = Ax = Sdiag (iw1, . . . , iwm,−iw1, . . . ,−iwm)S−1x = SDS−1x. (2)
Выполним замену переменных x = Sz:
z′ = diag (iw1, . . . , iwm,−iw1, . . . ,−iwm) z.
Пусть V0(z)
df
=(z, z) = zT z̄ =
∑2m
i=1 ziz̄i =
∑2m
i=1 |zi|2 = ‖z‖2. Производная этой функции в
силу последней системы для z такова:
dV0
dt
= (z′, z) + (z, z′) = (Dz, z) + (z,Dz) = (Dz, z) + (D∗z, z) = (Dz, z)− (Dz, z) = 0.
Мы считаем x вещественным вектором. Поэтому суперпозиция V0(S−1x) = ‖S−1x‖2 —
положительно определенная квадратичная форма с вещественными коэффициентами,
которая тождественно равна константам на вещественных решениях системы (2).
Сначала изучим случай m = 1, когда матрица A имеет размер 2×2 и два собственных
числа ±iw, w 6= 0. Основываясь на функции Ляпунова для невозмущенной системы (2)
c© Д. В. Бельский, 2015
20 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ В СЛУЧАЕ НЕЙТРАЛЬНОГО ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 21
V0(S−1x) = (V2x, x), где V2 — симметричная вещественная матрица, построим возмущен-
ную функцию Ляпунова для системы (1) в виде
V (t, x) = (V2x, x) + V3(t)x3 + V4(t)x4 + . . .+ V2n(t)x2n, n ≥ 2, (3)
где Vl(t)xl — однородные полиномы степени l от x1, x2 с переменными вещественными
коэффициентами — функциями от t. Для этого найдем условия, обеспечивающие знако-
определенность производной функции V (t, x) в силу системы (1). Вычислим эту производ-
ную
dV
dt
= 2
V2x,Ax+
+∞∑
j=2
Fj(t)x
j
+
2n∑
m=3
∂Vm(t)xm
∂t
+
∂Vm(t)xm
∂x
Ax+
+∞∑
j=2
Fj(t)x
j
=
=
{
2
(
V2x, F2(t)x2
)
+
∂V3(t)x3
∂t
+
∂V3(t)x3
∂x
Ax
}
+
+
{
2
(
V2x, F3(t)x3
)
+
∂V3(t)x3
∂x
F2(t)x2 +
∂V4(t)x4
∂t
+
∂V4(t)x4
∂x
Ax
}
+ . . .
. . .+
2n∑
m=5
{
2
(
V2x, Fm−1(t)xm−1
)
+
m−1∑
l=3
∂Vl(t)x
l
∂x
Fm−l+1(t)xm−l+1 +
+
∂Vm(t)xm
∂t
+
∂Vm(t)xm
∂x
Ax
}
+ 2
V2x,
+∞∑
j=2n
Fj(t)x
j
+
+
2n∑
m=3
∂Vm(t)xm
∂x
+∞∑
j=2n−m+2
Fj(t)x
j . (4)
В фигурных скобках находятся однородные полиномы степеней m = 3, 4, . . . , 2n. Одно-
родные полиномы нечетных степеней не могут быть знакопостоянными (G2l+1(−x)2l+1 =
= −G2l+1x
2l+1, l ≥ 0), не будучи тождественно равными нулю. Поэтому их нужно обну-
лить, т. е. сначала решить уравнение
∂V3(t)x3
∂t
+
∂V3(t)x3
∂x
Ax = −2(V2x, F2(t)x2). (5)
Это можно сделать методом характеристик, но необходимость ограниченности коэффи-
циентов в полиномах Vl(t)x
l влечет необходимость использовать технику теории нор-
мальных форм.
На основе жордановой нормальной формы матрицыA = Sdiag (iw,−iw)S−1 = SDS−1
определим величины Λ = (iw,−iw)T , Q = (q1, q2)T , где q1,2 — целые неотрицательные
числа, |Q| = q1 + q2, x
Q = xq11 x
q2
2 . Тогда множество функций {eQ(x) = (S−1x)Q
∣∣ |Q| = m},
гдеm ∈ N фиксировано, образует базис в линейном надC пространстве скалярных одно-
родных полиномов степени m. Поэтому V3(t)x3 =
∑
|Q|=3 vQ(t)eQ(x), −2(V2x, F2(t)x2) =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
22 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
=
∑
|Q|=3 ϕQ(t)eQ(x) и уравнение (5) принимает вид
∑
|Q|=3
dvQ(t)
dt
eQ(x) +
∑
|Q|=3
vQ(t)
∂eQ(x)
∂x
Ax =
∑
|Q|=3
ϕQ(t)eQ(x).
Преобразуем произведение
∂eQ(x)
∂x
Ax =
∂
∂s
∣∣∣∣
s=0
eQ
(
eAsx
)
=
∂
∂s
∣∣∣∣
s=0
(
S−1eAsx
)Q
=
∂
∂s
∣∣∣∣
s=0
(
eDsS−1x
)Q
=
=
∂
∂s
∣∣∣∣
s=0
{
e(Λ,Q)s
(
S−1x
)Q}
= (Λ, Q)
(
S−1x
)Q
= (Λ, Q)eQ(x).
Поэтому уравнение (5) эквивалентно системе уравнений
dvQ(t)
dt
+ (Λ, Q)vQ(t) = ϕQ(t) ∀Q : |Q| = 3. (6)
Определим матрицу T df
=
(
0 1
1 0
)
. Поскольку AS = SD и AS̄ = S̄D̄, матрица S — это
два комплексно-сопряженных собственных вектора матрицы A, соответствующие соб-
ственным числам ±iw. Эти матрицы имеют следующие свойства: S̄ = ST, T 2 = E,
S−1 = TS−1. Поэтому eQ(x) =
(
S−1x
)Q
=
(
TS−1x
)Q
=
(
S−1x
)TQ
= eTQ(x).
Если однородный полином Bk(t)x
k =
∑
|Q|=k bQ(t)eQ(x) веществен, то выполняются
тождества
Bk(t)x
k =
∑
|Q|=k
bQ(t)eQ(x) ≡ Bk(t)xk =
∑
|Q|=k
bQ(t)eTQ(x) ⇔
⇔
∑
|Q|=k
bTQ(t)eTQ(x) ≡
∑
|Q|=k
bQ(t)eTQ(x) ⇔ bQ(t) ≡ bTQ(t) ∀|Q| = k.
Поэтому, так как полином−2(V2x, F2(t)x2) =
∑
|Q|=3 ϕQ(t)eQ(x) веществен,ϕQ(t)≡ϕTQ(t)
для |Q| = 3. Для вещественности полинома V3(t)x3 =
∑
|Q|=3 vQ(t)eQ(x) необходимо и
достаточно выполнения равенств vQ(t) ≡ vTQ(t), |Q| = 3. Поскольку функция vQ(t) —
решение уравнения
dvQ(t)
dt
+ (Λ, Q)vQ(t) = ϕQ(t) ⇔
dvQ(t)
dt
+ (Λ, TQ)vQ(t) = ϕTQ(t),
а коэффициент vTQ(t) — решение уравнения
dvTQ(t)
dt
+ (Λ, TQ)vTQ(t) = ϕTQ(t) и диффе-
ренциальные уравнения для обеих функций совпадают, тождество vQ(t) ≡ vTQ(t) эквива-
лентно равенству vQ(0) = vTQ(0). Таким образом, для вещественности полинома V3(t)x3
необходимо и достаточно выполнения равенств vQ(0) = vTQ(0), |Q| = 3.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ В СЛУЧАЕ НЕЙТРАЛЬНОГО ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 23
Для ограниченности функций vQ(t) предположим, что коэффициенты полинома
F2(t)x2 периодические с периодом 2π и разлагаются в абсолютно сходящиеся ряды Фу-
рье, т. е. функции ϕQ(t) периодические и ϕQ(t) =
∑
p∈Z ϕQ,pe
ipt,
∑
p∈Z |ϕQ,p| < +∞. Мы
также предполагаем, что (q1−q2)w+p 6= 0.Для иррациональногоw это условие выполня-
ется как только q1 6= q2. В исследуемом сейчас случае |Q| = 3 это неравенство всегда
выполняется. Тогда из уравнения (6) получаем формулу
vQ(t) = ei(q2−q1)wt
vQ(0) +
t∫
0
ei(q1−q2)wsϕQ(s)ds
=
= ei(q2−q1)wt
vQ(0)−
∑
p∈Z
ϕQ,p
i {(q1 − q2)w + p}
+
∑
p∈Z
ϕQ,pe
ipt
i {(q1 − q2)w + p}
.
Пусть vQ(0) =
∑
p∈Z
ϕQ,p
i {(q1 − q2)w + p}
.Проверим вещественность полинома V3(t)x3.Для
этого исследуем свойства коэффициентов Фурье функций ϕQ(t):∑
p∈Z
ϕ̄Q,pe
−ipt = ϕQ(t) ≡ ϕTQ(t) =
∑
p∈Z
ϕTQ,pe
ipt ⇔
∑
−(−p)∈Z
ϕ̄Q,−(−p)e
i(−p)t =
=
∑
−p∈Z
ϕ̄Q,−pe
ipt =
∑
p∈Z
ϕ̄Q,−pe
ipt =
∑
p∈Z
ϕTQ,pe
ipt ⇔
⇔ ϕ̄Q,p = ϕTQ,−p, |Q| = 3, p ∈ Z.
Отсюда получаем
vQ(0) =
∑
p∈Z
ϕTQ,−p
−i {(q1 − q2)w + p}
=
∑
p∈Z
ϕTQ,−p
i {(q2 − q1)w − p}
=
∑
p∈Z
ϕTQ,p
i {(q2 − q1)w + p}
= vTQ(0).
Таким образом, полином V3(t)x3 веществен с 2π-периодическими коэффициентами и одно-
родный полином 3-й степени в (4) равен нулю.
Если предположить, что коэффициенты полинома F3(t)x3 имеют те же свойства, что
и коэффициенты F2(t)x2, то полином 4-й степени в (4) можно частично исследовать как
уравнение
∂V4(t)x4
∂t
+
∂V4(t)x4
∂x
Ax = −2
(
V2x, F3(t)x3
)
− ∂V3(t)x3
∂x
F2(t)x2.
Иными словами, сумма в левой части может обнулить не все слагаемые в правой части,
если функцию V4(t)x4 строить по этому алгоритму. А именно, в случае q1 6= q2 6= 2,
снова предполагая, что (q1 − q2)w + p 6= 0, мы можем с помощью 2π-периодических
коэффициентов vQ(t) слева обнулить соответствующие коэффициенты ϕQ(t) справа. И
условие вещественности полинома для всех Q 6= (2, 2)T выполняется. При Q = (2, 2)T и
(Λ, Q) = 0 для v(2,2)T (t) получаем уравнение
dv(2,2)T (t)
dt
= ϕ(2,2)T (t) = ϕT(22)
(t) = ϕ(2,2)T (t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
24 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Если
∫ 2π
0
ϕ(2,2)T (t)dt 6= 0, то последнее уравнение не имеет ограниченных решений. Но
с помощью ограниченного коэффициента v(2,2)T (t) можно обнулить следующую часть
функции справа: ϕ(2,2)T (t) − 1
2π
∫ 2π
0
ϕ(2,2)T (s)ds. Таким образом, в полиноме 4-й степени
в (4) осталось одно слагаемое he(2,2)T (x) = h
(
S−1x
)(2,2)T
, где h = − 1
2π
∫ 2π
0
ϕ(2,2)T (t)dt.
Пусть S =
(
a ā
b b̄
)
, тогда h
(
S−1x
)(2,2)T
= h
∣∣∣∣ −bx1
ab̄− āb
+
ax2
ab̄− āb
∣∣∣∣4 , где сумма под знаком
модуля является координатой вектора S−1x; первая координата этого вектора комплекс-
но сопряжена со второй и
∥∥S−1x
∥∥2
= 2
∣∣∣∣ −bx1
ab̄− āb
+
ax2
ab̄− āb
∣∣∣∣2 — положительно определен-
ная вещественная квадратичная форма. Поэтому выполняется неравенство
|h|
(
S−1x
)(2,2)T ≥ γ‖x‖4, γ > 0.
Если h < 0, то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво, а если h > 0, —
неустойчиво. Это следует из теорем Ляпунова [2]. Действительно, в формуле (3) мы огра-
ничиваемся тремя слагаемыми (n = 2): первое из них — положительно определенная
вещественная квадратичная форма, остальные — однородные полиномы 3- и 4-й степе-
ни с ограниченными коэффициентами, поэтому функция V (t, x) является положительно
определеной с бесконечно малым высшим пределом при x → 0. Знакоопределенность
производной функции V (t, x) в силу системы (1) следует из предположения
+∞∑
j=2
∥∥Fj(t)xj∥∥ ≤ +∞∑
j=2
fj‖x‖j < +∞, ‖x‖ < r, (7)
и оценки для случая h < 0
dV
dt
= h
∣∣∣∣ −bx1
ab̄− āb
+
ax2
ab̄− āb
∣∣∣∣4 + 2
V2x,
+∞∑
j=4
Fj(t)x
j
+
+
∂V3(t)x3
∂x
+∞∑
j=3
Fj(t)x
j +
∂V4(t)x4
∂x
+∞∑
j=2
Fj(t)x
j ≤
≤−γ‖x‖4 + 2‖V2‖‖x‖
+∞∑
j=4
fj‖x‖j + ρ1‖x‖2
+∞∑
j=3
fj‖x‖j + ρ2‖x‖3
+∞∑
j=2
fj‖x‖j =
=
−γ+
2‖V2‖
+∞∑
j=0
fj+4‖x‖j + ρ1
+∞∑
j=0
fj+3‖x‖j + ρ2
+∞∑
j=0
fj+2‖x‖j
‖x‖
‖x‖4 ≤−γ2‖x‖4
при ‖x‖ < r1 < r. Аналогично для h > 0 получаем
dV
dt
≥ γ
2
‖x‖4 при ‖x‖ < r1 < r.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ В СЛУЧАЕ НЕЙТРАЛЬНОГО ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 25
Периодичность коэффициентов и абсолютная сходимость их рядов Фурье необходи-
мы только для полиномов F2(t)x2 и F3(t)x3, для остальных слагаемых ряда в системе (1)
достаточно выполнения условия (7).
В случае h = 0 этот алгоритм можно продолжать до тех пор, пока не будет найдена
функция V2n(t)x2n с ненулевым значением интеграла
∫ 2π
0
ϕ(n,n)T (t)dt.
Если для всех n ≥ 2 последний интеграл равен нулю, то возникает проблема сходи-
мости ряда (3), которая может быть не менее сложной, чем теорема о сходимости рядов
Пуанкаре в теории нормальных форм [4].
Исследуем теперь немного более общий случай: m ≥ 2 и коэффициенты fQ(t) по-
линомов F2(t)x2 и F3(t)x3 — почти периодические функции с абсолютно сходящимися
рядами Фурье
fQ(t) =
+∞∑
k=−∞
fQ,ke
iukt, uk ∈ R,
+∞∑
k=−∞
‖fQ,k‖ < +∞, |Q| = 2, 3.
Из вещественности функций получаем uk = −u−k и fQ,k = fQ,−k, k ∈ Z. Матрица
S в этом случае также является объединением собственных векторов матрицы A, S =
= [s1, . . . , sm, s̄1, . . . , s̄m], матрица T =
(
0 Em
Em 0
)
, где Em — единичная матрица раз-
мера m ×m. Свойства матриц, критерий вещественности однородных полиномов в тер-
минах базиса eQ(x), свойства этого базиса такие же, как и в случаеm = 1. Вектор x снова
веществен.
Для построения полиномов V3(t)x3, V4(t)x4 используем тот же алгоритм и предполо-
жим, что для |Q| = 3, 4, {k, j} ⊂ Z условие
(Λ, Q) + i(uk + uj) = i {(q1 − qm+1)w1 + . . .+ (qm − q2m)wm + uk + uj} = 0
влечет равенства qj = qm+j , j = 1,m.
Для |Q| = 3 снова получаем
vQ(t) = e−(Λ,Q)t
vQ(0) +
t∫
0
e(Λ,Q)sϕQ(s)ds
. (8)
Из формы коэффициентов полинома F2(t)x2 можно заключить, что
ϕQ(t) =
+∞∑
k=−∞
ϕQ,ke
iukt.
При |Q| = 3 выполняются неравенства (Λ, Q) + iuk 6= 0 и
vQ(t) = e−(Λ,Q)t
(
vQ(0)−
+∞∑
k=−∞
ϕQ,k
(Λ, Q) + iuk
)
+
+∞∑
k=−∞
ϕQ,ke
iukt
(Λ, Q) + iuk
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
26 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Мы также всегда предполагаем, что второе слагаемое — ряд экспонент — сходится аб-
солютно. Пусть vQ(0) =
∑+∞
k=−∞
ϕQ,k
(Λ, Q) + iuk
.Проверим выполнение условия веществен-
ности полинома V3(t)x3. Справедливо тождество
+∞∑
k=−∞
ϕQ,ke
−iukt = ϕQ(t) ≡ ϕTQ(t) =
+∞∑
k=−∞
ϕTQ,ke
iukt ⇔
⇔
+∞∑
k=−∞
ϕQ,ke
−iukt =
+∞∑
k=−∞
ϕQ,ke
iu−kt =
=
+∞∑
−(−k)=−∞
ϕQ,−(−k)e
iu−kt =
+∞∑
−k=−∞
ϕQ,−ke
iukt =
=
+∞∑
k=−∞
ϕQ,−ke
iukt =
+∞∑
k=−∞
ϕTQ,ke
iukt ⇔ ϕQ,k = ϕTQ,−k, k ∈ Z.
Поэтому
vQ(0) =
+∞∑
k=−∞
ϕTQ,−k
(Λ, TQ)− iuk
=
+∞∑
k=−∞
ϕTQ,−k
(Λ, TQ) + iu−k
=
+∞∑
k=−∞
ϕTQ,k
(Λ, TQ) + iuk
= vTQ(0),
т. е. условие вещественности выполняется.
Для |Q| = 4 из формы коэффициентов полиномов V3(t)x3, F2(t)x2 и F3(t)x3 можно
заключить, что ϕQ(t) =
∑+∞
j=−∞
∑+∞
k=−∞ ϕQ,k,je
i(uk+uj)t и этот ряд сходится абсолютно.
Поэтому если вектор Q 6= 2(ej + em+j), j = 1,m, и Q 6= ek + em+k + el + em+l, 1 ≤ k < l ≤
≤ m, где ej — единичный орт пространства R2m, то (Λ, Q) + i(uk + uj) 6= 0 и из (8)
получаем
vQ(t) = e−(Λ,Q)t
vQ(0)−
+∞∑
j=−∞
+∞∑
k=−∞
ϕQ,k,j
(Λ, Q) + i(uk + uj)
+
+∞∑
j=−∞
+∞∑
k=−∞
ϕQ,k,je
i(uk+uj)t
(Λ, Q) + i(uk + uj)
.
Пусть vQ(0) =
∑+∞
j=−∞
∑+∞
k=−∞
ϕQ,k,j
(Λ, Q) + i(uk + uj)
. Проверим выполнение условия ве-
щественности полинома V4(t)x4. Справедливо тождество
+∞∑
j=−∞
+∞∑
k=−∞
ϕQ,k,je
−i(uk+uj)t = ϕQ(t) ≡ ϕTQ(t) =
+∞∑
j=−∞
+∞∑
k=−∞
ϕTQ,k,je
i(uk+uj)t ⇔
⇔
+∞∑
j=−∞
+∞∑
k=−∞
ϕQ,k,je
i(u−k+u−j)t =
+∞∑
j=−∞
+∞∑
k=−∞
ϕQ,−k,−je
i(uk+uj)t =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ В СЛУЧАЕ НЕЙТРАЛЬНОГО ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 27
=
+∞∑
j=−∞
+∞∑
k=−∞
ϕTQ,k,je
i(uk+uj)t ⇔ ϕQ,k,j = ϕTQ,−k,−j ∀{k, j} ⊂ Z,
поэтому
vQ(0) =
+∞∑
j=−∞
+∞∑
k=−∞
ϕTQ,−k,−j
(Λ, TQ)− i(uk + uj)
=
=
+∞∑
j=−∞
+∞∑
k=−∞
ϕTQ,−k,−j
(Λ, TQ) + i(u−k + u−j)
=
=
+∞∑
j=−∞
+∞∑
k=−∞
ϕTQ,k,j
(Λ, TQ) + i(uk + uj)
= vTQ(0).
Условие вещественности для таких Q выполняется.
Если вектор Q = 2(ej + em+j), j = 1,m, или Q = ek + em+k + el + em+l, 1 ≤ k <
< l ≤ m, то (Λ, Q) = 0, TQ = Q и ϕQ(t) ≡ ϕTQ(t) = ϕQ(t). Уравнение
dvQ(t)
dt
= ϕQ(t)
может не иметь ограниченных решений, но с помощью ограниченного коэффициента
vQ(t) можно обнулить следующую часть функции справа: ϕQ(t)− limb→+∞
1
b
∫ b
0
ϕQ(s)ds.
Таким образом, в полиноме 4-й степени в (4) остались слагаемые hQeQ(x) = hQ
(
S−1x
)Q
,
где hQ = − limb→+∞
1
b
∫ b
0
ϕQ(s)ds:
∑
Q=2(ej+em+j), j=1,m
hQeQ(x) +
∑
Q=ek+em+k+el+em+l, 1≤k<l≤m
hQeQ(x) =
m∑
j=1
cj
∣∣∣(S−1x
)
j
∣∣∣4 +
+
∑
1≤k<l≤m
ck,l
∣∣(S−1x
)
k
∣∣2 ∣∣(S−1x
)
l
∣∣2 df
= g(x),
где cj = hQ, Q = 2(ej+em+j), j = 1,m; ck,l = hQ, Q = ek+em+k+el+em+l, 1 ≤ k < l ≤ m;(
S−1x
)
j
— j-я координата вектора S−1x. Последняя сумма — это вещественная квадра-
тичная форма от аргументов
∣∣(S−1x
)
k
∣∣2 , k = 1,m. Если выполняется условие (7), то
ее отрицательная или положительная определенность влечет асимптотическую устойчи-
вость или неустойчивость нулевого решения системы (1) соответственно. В то же время
g(x) — однородный полином четвертой степени, поэтому могут быть другие достаточ-
ные условия для выполнения неравенств g(x) ≤ −γ‖x‖4 или g(x) ≥ γ‖x‖4, γ > 0.
Если g(x) ≡ 0, то этот алгоритм можно продолжить до остаточного однородного
полинома 6-й степени с постоянными вещественными коэффициентами — полинома 3-й
степени от
∣∣(S−1x
)
k
∣∣2 , k = 1,m, в однородном многочлене 6-й степени в (4) и т. д.
Автор выражает благодарность профессору Парасюку И. О. за постановку задачи и
основные идеи ее решения.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
28 Д. В. БЕЛЬСКИЙ
1. Молчанов А. М. Устойчивость в случае нейтральности линейного приближения // Докл. АН СССР. —
1961. — 141, № 1. — С. 24 – 27.
2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
3. Хапаев М. М. Проблемы устойчивости в системах обыкновенных дифференциальных уравнений //
Успехи мат. наук. — 1980. — 35, вып. 1. — С. 127 – 170.
4. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.:
Наука, 1978. — 304 с.
Получено 27.05.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1
|