Існування зліченного числа циклів у гіперболічних системах диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом

Доказано существование счетного числа периодических решений гиперболической системы дифференциальных уравнений первого порядка с периодическим условием. Изучены вопросы существования и устойчивости бегущих волн квазилинейного уравнения Кортевега — де Фриза с преобразованным аргументом и уравнения сп...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автор:	Клевчук, І.І.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2015
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177145
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Існування зліченного числа циклів у гіперболічних системах диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом / І.І. Клевчук // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 71-78 — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-177145
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1771452021-02-12T01:26:33Z Існування зліченного числа циклів у гіперболічних системах диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом Клевчук, І.І. Доказано существование счетного числа периодических решений гиперболической системы дифференциальных уравнений первого порядка с периодическим условием. Изучены вопросы существования и устойчивости бегущих волн квазилинейного уравнения Кортевега — де Фриза с преобразованным аргументом и уравнения спинового горения. We prove that hyperbolic system of first order differential equations with periodic condition have a countable number of periodic colutions. We consider the problem of existence and stability of traveling waves for a quasilinear Korteweg — de Vries equation with transformed argument and for the equation of spin combustion. 2015 Article Існування зліченного числа циклів у гіперболічних системах диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом / І.І. Клевчук // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 71-78 — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177145 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Доказано существование счетного числа периодических решений гиперболической системы дифференциальных уравнений первого порядка с периодическим условием. Изучены вопросы существования и устойчивости бегущих волн квазилинейного уравнения Кортевега — де Фриза с преобразованным аргументом и уравнения спинового горения.
format	Article
author	Клевчук, І.І.
spellingShingle	Клевчук, І.І. Існування зліченного числа циклів у гіперболічних системах диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом Нелінійні коливання
author_facet	Клевчук, І.І.
author_sort	Клевчук, І.І.
title	Існування зліченного числа циклів у гіперболічних системах диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом
title_short	Існування зліченного числа циклів у гіперболічних системах диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом
title_full	Існування зліченного числа циклів у гіперболічних системах диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом
title_fullStr	Існування зліченного числа циклів у гіперболічних системах диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом
title_full_unstemmed	Існування зліченного числа циклів у гіперболічних системах диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом
title_sort	існування зліченного числа циклів у гіперболічних системах диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2015
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177145
citation_txt	Існування зліченного числа циклів у гіперболічних системах диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом / І.І. Клевчук // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 1. — С. 71-78 — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT klevčukíí ísnuvannâzlíčennogočislaciklívugíperbolíčnihsistemahdiferencíalʹnihrívnânʹzperetvorenimargumentom
first_indexed	2025-07-15T15:10:22Z
last_indexed	2025-07-15T15:10:22Z
_version_	1837726142967054336
fulltext	УДК 517.9 IСНУВАННЯ ЗЛIЧЕННОГО ЧИСЛА ЦИКЛIВ У ГIПЕРБОЛIЧНИХ СИСТЕМАХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ПЕРЕТВОРЕНИМ АРГУМЕНТОМ I. I. Клевчук Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича Україна, 58012, Чернiвцi, вул. Коцюбинського, 2 e-mail: klevchuk@yandex.ru We prove that hyperbolic system of first order differential equations with periodic condition have a countable number of periodic colutions. We consider the problem of existence and stability of traveling waves for a quasilinear Korteweg — de Vries equation with transformed argument and for the equation of spin combustion. Доказано существование счетного числа периодических решений гиперболической системы диф- ференциальных уравнений первого порядка с периодическим условием. Изучены вопросы сущест- вования и устойчивости бегущих волн квазилинейного уравнения Кортевега — де Фриза с пре- образованным аргументом и уравнения спинового горения. Питання стiйкостi та бiфуркацiї розв’язкiв диференцiально-функцiональних рiвнянь та параболiчних систем з перетвореним аргументом розглядалися, зокрема, в [1 – 5]. У цiй статтi дослiджено iснування та стiйкiсть злiченного числа циклiв для деяких класiв гi- перболiчних систем з перетвореним аргументом. Такi задачi у простiших випадках роз- глядалися в [6]. Подiбнi задачi для iнших класiв диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними вивчалися, наприклад, у працях [7 – 9]. 1. Iснування злiченного числа циклiв гiперболiчної системи першого порядку. Нехай Rn — n-вимiрний простiр з нормою \|u\| = √ u2 1 + . . .+ u2 n, C = C[−∆, 0] — простiр непе- рервних функцiй iз значеннями в Rn з нормою ‖ϕ‖ = sup−∆≤θ≤0 \|ϕ(θ)\|. Позначимо через ux елемент простору C, заданий функцiєю ux(t, θ) = u(t, x+ θ), −∆ ≤ θ ≤ 0. Розглянемо гiперболiчну систему з перетвореним аргументом ∂u ∂t = a ∂u ∂x +B(ε)u+ F (ux, ε) (1) та перiодичною умовою u(t, x+ 2π) = u(t, x), (2) де ε — малий додатний параметр, a ∈ R, a 6= 0, u ∈ Rn, n ≥ 2; F : C× [0, ε0] → Rn. Нехай виконуються такi умови: 1) F (ϕ, ε) = O(‖ϕ‖2) при ‖ϕ‖ → 0, оператор F п’ять раз неперервно диференцiйовний вiдносно своїх аргументiв; 2) матриця B(ε) двiчi неперервно диференцiйовна вiдносно ε, має пару власних зна- чень вигляду α(ε)± iβ(ε), α(0) = 0, α′(0) > 0, β(0) > 0, а iншi власнi значення λ задоволь- няють умову Reλ < −2γ0 < 0. c© I. I. Клевчук, 2015 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1 71 72 I. I. КЛЕВЧУК Розв’язок задачi (1), (2) будемо шукати у виглядi бiжучої хвилi u = ξ(y), y = σt + x, де функцiя ξ(y) має перiод 2π. Пiдставляючи u = ξ(y) у рiвняння (1), одержуємо систему диференцiально-функцiональних рiвнянь (σ − a) dξ dy = B(ε)ξ + F (ξy, ε), (3) де ξy — елемент простору C, заданий функцiєю ξy(θ) = ξ(y + θ), −∆ ≤ θ ≤ 0. Виконавши в системi (3) замiну y = (σ − a)z, отримаємо dξ dz = B(ε)ξ + F (ξz, ε), (4) де ξz — елемент простору C, заданий функцiєю ξz(θ) = ξ(z + θ), −∆/(σ − a) ≤ θ ≤ 0. Матрицю B(ε) можна записати у виглядi B(ε) = U(ε)D(ε)U−1(ε), де матриця D(ε) є блочно-дiагональною: D(ε) = diag [B1(ε), B2(ε)], B1(ε) — дiагональна матриця другого порядку з елементами α(ε) ± iβ(ε) на дiагоналi, власнi значення матрицi B2(ε) задоволь- няють умову Reλ ≤ −2γ0 < 0. Виконавши в системi (4) замiну ξ = U(ε)v, де v = [η, ζ]T , η ∈ R2, ζ ∈ Rn−2, одержимо систему dη dz = B1(ε)η + F1(vz, ε), dζ dz = B2(ε)ζ + F2(vz, ε). (5) Тодi згiдно з [2] iснує iнтегральний многовид системи (5), що може бути записаний у виг- лядi vz = S(η, ε). Поведiнка розв’язкiв системи (5) на многовидi описується рiвнянням dχ dz = B1(ε)χ+ F1(S(χ, ε), ε). (6) Систему (6) запишемо у виглядi dw dz = (α(ε) + iβ(ε))w +G1(w, w̄, ε), (7) dw̄ dz = (α(ε)− iβ(ε))w̄ + Ḡ1(w, w̄, ε), де χ = [w, w̄]T . Для кожного розв’язку системи (5) iснує розв’язок системи (6) такий, що справджується оцiнка [2] ‖vz(t)− S(χ(t), ε)‖ ≤ M exp(−γ0t), t ≥ 0. (8) Перше рiвняння системи (7) перетворимо за допомогою пiдстановки w = p+W2(p, p̄, ε) +W3(p, p̄, ε), (9) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1 IСНУВАННЯ ЗЛIЧЕННОГО ЧИСЛА ЦИКЛIВ У ГIПЕРБОЛIЧНИХ СИСТЕМАХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 73 де W2 та W3 — форми вiдповiдно другого та третього порядку. Перетворення (9) можна пiдiбрати так, що рiвняння для p набере вигляду [10] dp dz = (α(ε) + iβ(ε))p+ (γ(ε) + iδ(ε))p2p̄+ P (p, p̄, ε), (10) де P (p, p̄, ε) = O(\|p\|4) при \|p\| → 0. Перейшовши у рiвняннi (10) до полярних координат p = r exp(iϕ), одержимо систему dϕ dz = β(ε) + δ(ε)r2 + Φ(r, ϕ, ε), (11) dr dz = α(ε)r + γ(ε)r3 +R(r, ϕ, ε), де R(r, ϕ, ε) = O(\|r\|4), Φ(r, ϕ, ε) = O(\|r\|3) при \|r\| → 0. Нехай γ(0) < 0. Аналiзуючи систему (11), переконуємося, що рiвняння (10) має перi- одичний розв’язок p = ρ(ϕ, ε) exp(iϕ), де ρ(ϕ, ε) = √ εα′(0) −γ(0) +O(ε), ϕ = ϕ0 + z [ β(ε)− εδ(ε)α ′(0) γ(0) +O(ε1,5) ] , ϕ0 ∈ R. Звiдси ϕ = ϕ0+z [ β(0) + εβ′(0)− εδ(0) α′(0) γ(0) +O(ε1,5) ] .Пiдставивши перiодичний розв’я- зок p рiвняння (10) у праву частину рiвностi (9), отримаємо перiодичний розв’язок w(t, ε) першого рiвняння системи (7), звiдки знайдемо перiодичний розв’язок системи (5), а по- тiм перiодичний розв’язок ξ(z, ε) = ξ ( y σ − a , ε ) систем (4) та (3). Функцiя ξ буде мати перiод 2π вiдносно y тодi i тiльки тодi, коли 1 σ − a [ β(0) + εβ′(0)− εδ(0) α′(0) γ(0) +O ( ε1,5 )] = k, k = ±1,±2, . . . . (12) Розв’язуючи рiвняння (12) вiдносно σ, одержуємо злiченне число значень σ = σk(ε). От- же, система (1) має злiченне число граничних циклiв. Якщо k > 0, то σ > a при малих ε i з нерiвностi (8) випливає, що такi цикли будуть експоненцiально орбiтально стiйкими. Теорема 1. Нехай виконуються умови 1, 2 i для коефiцiєнта в рiвняннi (10) викону- ється нерiвнiсть γ(0) < 0. Тодi iснує злiченне число циклiв системи (1) з параметрами σ = σk, що задовольняють рiвняння (12). Значенням параметрiв σk, k > 0, вiдповiда- ють стiйкi граничнi цикли, для яких σk > a. Як приклад розглянемо систему (1), де u ∈ R2, B(ε) = ( ε 1 −1 ε ) , F (ux, ε) = −(u2 1(x− −∆) +u2 2(x−∆)) ( u1 u2 ) . Тодi для знаходження хвильового розв’язку u = ξ(y), y = σt+x задачi (1), (2) одержимо систему вигляду (3). Перейшовши у цiй системi до полярних ко- ординат ξ1 = r sinϕ, ξ2 = r cosϕ, отримаємо систему (σ − a) dϕ dy = 1, (σ − a) dr dy = r(ε− r2(y −∆)). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1 74 I. I. КЛЕВЧУК Отже, перiодичний розв’язок системи (3) у цьому випадку має вигляд ξ1 = √ ε sinϕ, ξ2 = √ ε cosϕ, ϕ = ϕ0 + y σ − a , ϕ0 ∈ R. Цей розв’язок буде мати перiод 2π тодi i тiльки тодi, коли σ = σk = a+ 1 k , k = ±1,±2, . . . . Перiодичнi розв’язки будуть експоненцiально орбiтально стiйкими при k > 0. Зауваження 1. При виконаннi умов теореми 1 iснує також стiйкий граничний цикл, що не залежить вiд змiнної x. 2. Бiжучi хвилi квазiлiнiйного рiвняння Кортевега — де Фрiза з перетвореним аргу- ментом. Дослiдимо iснування перiодичних розв’язкiв крайової задачi ∂w ∂t + a2∂ 3w ∂x3 = εf(w,w(t, x−∆)), (13) w(t, x+ 2π) = w(t, x), (14) де ε — малий додатний параметр, a 6= 0, f ∈ C∞(R2). Розв’язок задачi (13), (14) будемо шукати у виглядi хвилi w = θ(y), y = σt + x, де функцiя θ(y) має перiод 2π. Пiдставля- ючи w = θ(y) у рiвняння (13), одержуємо диференцiальне рiвняння iз аргументом, що запiзнюється, σ dθ dy + a2 d 3θ dy3 = ε f(θ, θ(y −∆)), (15) або d3θ dy3 = −γ2 dθ dy + µ f(θ, θ(y −∆)), (16) де γ2 = σ a2 , µ = ε a2 . Рiвняння (16) запишемо у виглядi системи dθ dy = θ1, dθ1 dy = θ2, dθ2 dy = −γ2θ1 + µ f(θ, θ(y −∆)). (17) Зведемо систему (17) до стандартної форми. Виконуючи замiну θ = u1 + u2 + ū2, θ1 = iγu2 − iγ ū2, θ2 = −γ2u2 − γ2ū2, де u2 — комплексна змiнна, знаходимо u′1 = 2ε1f(u1 + u2 + ū2, u1(y −∆) + u2(y −∆) + ū2(y −∆)), u′2 = iγu2 − ε1f(u1 + u2 + ū2, u1(y −∆) + u2(y −∆) + ū2(y −∆)), ε1 = µ 2γ2 . Виконавши замiну u1 = v1, u2 = v2 exp(iγy), ū2 = v̄2 exp(−iγy), одержимо систему v′1 = 2ε1f(v1 + eiγyv2 + e−iγyv̄2, v1(y −∆) + eiγ(y−∆)v2(y −∆) + e−iγ(y−∆)v̄2(y −∆)), (18) v′2 = −ε1e −iγyf(v1 + eiγyv2 + e−iγyv̄2, v1(y −∆) + eiγ(y−∆)v2(y −∆)+ + e−iγ(y−∆)v̄2(y −∆)). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1 IСНУВАННЯ ЗЛIЧЕННОГО ЧИСЛА ЦИКЛIВ У ГIПЕРБОЛIЧНИХ СИСТЕМАХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 75 Системi (18) поставимо у вiдповiднiсть усереднену систему [11] v′1 = 2ε1g1(v1, v2v̄2), v′2 = −ε1v2g2(v1, v2v̄2), (19) де g1(v1, v2v̄2) = M [f(v1 +v2 exp(iγy)+ v̄2 exp(−iγy), v1 +v2 exp(iγ(y−∆))+ v̄2 exp(−iγ(y− −∆)))], g2(v1, v2v̄2) = 1 v2 M [exp(−iγy)f(v1 + v2 exp(iγy) + v̄2 exp(−iγy), v1 + v2 exp(iγ(y − −∆)) + v̄2 exp(−iγ(y −∆)))], M [∗] — середнє значення вiдносно y. Перейшовши у (19) до полярних координат v2 = r exp(iϕ), одержимо систему v′1 = 2ε1g1(v1, r 2), r′ = −ε1rg2(v1, r 2). (20) Припустимо, що система g1(v1, s) = 0, g2(v1, s) = 0 має розв’язок (v10, s0), v10 ∈ R, s0 > 0. Нехай матриця A з елементами a11 = 2 ∂g1(v1, r 2) ∂v1 , a12 = 2 ∂g1(v1, r 2) ∂r , a21 = −∂[rg2(v1, r 2)] ∂v1 , a22 = −∂[rg2(v1, r 2)] ∂r при v = v10, r = √ s0 задовольняє умови det A 6= 0, spA 6= 0. (21) Тодi система (20) має експоненцiально стiйкий або експоненцiально дихотомiчний стан рiвноваги (v10, √ s0).Стацiонарному розв’язку (v10, √ s0) системи (20) вiдповiдає перiодич- ний розв’язок θ = v10 + 2 √ s0 cos γ1(ε)y+O(ε), γ1(ε) = γ+O(ε), рiвняння (15). Цей розв’я- зок буде мати перiод 2π вiдносно y тодi i тiльки тодi, коли γ = k + O(ε), k = ±1,±2, . . . , тобто σ = k2a2 +O(ε). Теорема 2. Нехай виконуються умови (21). Тодi iснує ε0 > 0 таке, що при 0 < ε < ε0 задача (13), (14) має злiченне число перiодичних розв’язкiв wk = v10 + 2 √ s0 cos ky +O(ε), y = (k2a2 +O(ε))t+ x, k = ±1,±2, . . . . Теорема 3. Перiодичний розв’язокwk задачi (13), (14) буде експоненцiально орбiталь- но стiйким, якщо виконуються нерiвностi det A > 0, sp A < 0. Теорема 3 випливає з експоненцiальної стiйкостi стацiонарного розв’язку системи (20). Як приклад розглянемо рiвняння (13) з функцiєю f(v, w) = α(v− v3) +β(w−w3). Тодi функцiї g1 та g2 у правiй частинi системи (20) будуть мати вигляд g1(v1, s) = (α + β)(v1 − −v3 1 − 6v1s), g2(v1, s) = (α+ β cos (γ∆))(1− 3v2 1 − 3s). Отже, система (20) має стацiонарнi розв’язки (0, 1 /√ 3) та (±1 /√ 5, √ 2 /√ 15). Неважко перевiрити, що першому з них вiдпо- вiдають стiйкi хвилi при β(cos(k∆)− 1) < 0, (α+ β)(α+ β cos (k∆)) < 0, а двом iншим — стiйкi хвилi при β(cos (k∆)− 1) < 0, (α+ β)(α+ β cos (k∆)) > 0. Зауваження 2. Для рiвняння вигляду (13), у якому немає запiзнення у правiй частинi, аналогiчнi питання розглядалися в [7]. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1 76 I. I. КЛЕВЧУК 3. Перiодичнi режими рiвняння спiнового горiння. Розглянемо задачу ∂2ξ ∂t2 + ξ = 2ε [ ∂ξ ∂t ( 1− 4 3 ( ∂ξ ∂t )2 ) + 1 ρ2 ∆ ∂ξ ∂t ] , ξ(t, x+ 2π) = ξ(t, x), (22) де ε — малий додатний параметр, ∆ — одновимiрний оператор Лапласа, ρ > 0. Теорема 4. Бiжучi хвилi задачi (22) мають вигляд ξk(t, x) = √ 1− k2 ρ2 cos(t+kx)+O(ε), де k ∈ Z, k2 < ρ2. Доведення. Задача (22) еквiвалентна системi ∂ξ ∂t = p, ∂p ∂t + ξ = 2ε [ p ( 1− 4 3 p2 ) + 1 ρ2 ∆p ] , (23) ξ(t, x+ 2π) = ξ(t, x), p(t, x+ 2π) = p(t, x). Розв’язок системи (23) будемо шукати у виглядi бiжучої хвилi ξ = θ1(y), p = θ2(y), y = = σt+ x, де функцiї θ1(y), θ2(y) мають перiод 2π. Тодi одержимо систему σ dθ1 dy = θ2, σ dθ2 dy + θ1 = 2ε [ θ2 ( 1− 4 3 θ2 2 ) + 1 ρ2 d2θ2 dy2 ] . (24) Позначимо через λ1, λ2, λ3 коренi характеристичного рiвняння σ2λ2 + 1 = 2ε [ σλ+ σ ρ2 λ3 ] лiнеаризованої системи, причому корiнь λ3 є дiйсним, а коренi λ1, λ2 — комплексно- спряженими. Цi коренi характеристичного рiвняння можна зобразити у виглядi λ1,2 = ± i σ + ε σ − ε σ3ρ2 +O(ε2), λ3 = σρ2 2ε + 2ε σ3ρ2 − 2ε σ +O(ε2). Замiною θ3 = θ ′ 2 система (24) зводиться до системи трьох диференцiальних рiвнянь, яку в свою чергу лiнiйною замiною можна звести до вигляду u1 ′ = λ1u1 + α(λ1u1 + λ2u2 + λ3u3)3, u2 ′ = λ2u2 + β(λ1u1 + λ2u2 + λ3u3)3, (25) u3 ′ = λ3u3 + γ(λ1u1 + λ2u2 + λ3u3)3, де θ1 = u1 + u2 + u3, u2 = ū1, α = 4ρ2σ2 3(λ2 − λ1)(λ3 − λ1) , β = 4ρ2σ2 3(λ1 − λ2)(λ3 − λ2) , γ = 4ρ2σ2 3(λ1 − λ3)(λ2 − λ3) . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1 IСНУВАННЯ ЗЛIЧЕННОГО ЧИСЛА ЦИКЛIВ У ГIПЕРБОЛIЧНИХ СИСТЕМАХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . 77 Зауважимо, що лiнiйна частина системи (25) має дiагональний вигляд. При малих ε та \|u1\| ≤ K, K > 2, iснує iнтегральний многовид системи (25), який можна зобразити у виглядi u3 = g(ε, u1, u2), де u2 = ū1, причому g(ε, u1, u2) = O(ε3) при ε → 0. Система рiвнянь на цьому многовидi набере вигляду u1 ′ = λ1u1 + α(λ1u1 + λ2u2)3 +O(ε3), (26) u2 ′ = λ2u2 + β(λ1u1 + λ2u2)3 +O(ε3). Оскiльки α = O(ε), β = O(ε), то замiною u1 = v1 exp ( iy σ ) , u2 = v2 exp ( − iy σ ) систему (26) зведемо до стандартної форми i застосуємо усереднення вiдносно y [10]. В результатi одержимо перiодичний розв’язок u1 = r0 exp ( iy σ ) +O(ε), u2 = r0 exp ( − iy σ ) +O(ε), 2r0 = √ 1− 1 ρ2σ2 , системи (26). Тут v1 = v2 = r0 — стацiонарний розв’язок усередненої системи. Звiдси знаходимо θ1 = u1 + u2 +O(ε3) = r0 exp ( iy σ ) + r0 exp ( − iy σ ) +O(ε) = 2r0 cos y σ +O(ε). Враховуючи, що функцiя θ1 повинна мати перiод 2π, одержуємо σ = 1 k + O(ε), k = = ±1,±2, . . . , отже, θ1 = √ 1− k2 ρ2 cos(ky) + O(ε). Тому бiжучi хвилi задачi (22) мають вигляд ξk(t, x) = √ 1− k2 ρ2 cos(t+ kx) +O(ε), де k ∈ Z, k2 < ρ2. Теорему доведено. Зауваження 3. Аналогiчно [8] можна показати, що бiжучi хвилi ξk(t, x) задачi (22) екс- поненцiально орбiтально стiйкi тодi i тiльки тодi, коли k2 < 1 6 (2ρ2 + 1). 1. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Миp, 1984. — 421 c. 2. Фодчук В. И., Клевчук И. И. Интегральные множества и принцип сведения для дифференциально- функциональных уравнений // Укр. мат. журн. — 1982. — 34, № 3. — С. 334 – 340. 3. Клевчук И. И., Фодчук В. И. Бифуркация особых точек дифференциально-функциональных уравне- ний // Укp. мат. жуpн. — 1986. — 38, № 3. — C. 324 – 330. 4. Клевчук I. I. Гомоклiнiчнi точки для сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь iз запiзнен- ням // Укр. мат. журн. — 2002. — 54, № 4. — С. 563 – 567. 5. Клевчук И. И. Бифуркация положения равновесия в системе нелинейных параболических уравнений с преобразованным аргументом // Укp. мат. жуpн. — 1999. — 51, № 10. — C. 1342 – 1351. 6. Клевчук I. I. Iснування злiченного числа перiодичних розв’язкiв у системах диференцiальних рiвнянь з перетвореним аргументом // Вiсн. Київ. ун-ту. Сер. фiз.-мат. науки. — 2001. — Вип. 5. — С. 67 – 72. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1 78 I. I. КЛЕВЧУК 7. Колесов А. Ю. Существование счетного числа устойчивых циклов в средах с дисперсией // Изв. РАН. Сер. мат. — 1995. — 59, № 3. — С. 141 – 158. 8. Белан Е. П., Самойленко А. М. Динамика периодических режимов феноменологического уравнения спинового горения // Укp. мат. жуpн. — 2013. — 65, № 1. — C. 21 – 43. 9. Мищенко Е. Ф., Садовничий В. А., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. — М.: Физматлит, 2005. — 430 с. 10. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974. — 502 с. 11. Hale J. K. Averaging methods for differential equations with retarded arguments and a small parameter // J. Different. Equat. — 1966. — 2, № 1. — P. 57 – 73. Одержано 14.04.14, пiсля доопрацювання — 16.09.14 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 1

Існування зліченного числа циклів у гіперболічних системах диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом

Репозитарії

Схожі ресурси