Об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом
Встановлено новi властивостi розв’язкiв систем диференцiально-функцiональних рiвнянь y'(t) = Ay(t) + By'(qt) + F (t, y(t), y(qt), y'(qt)).
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177146 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 149-163 — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177146 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771462021-02-12T01:26:09Z Об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. Встановлено новi властивостi розв’язкiв систем диференцiально-функцiональних рiвнянь y'(t) = Ay(t) + By'(qt) + F (t, y(t), y(qt), y'(qt)). We find new properties of solutions of systems of the differential-functional equations y'(t) = Ay(t) + By'(qt) + F (t, y(t), y(qt), y'(qt)). 2015 Article Об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 149-163 — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177146 517.929 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено новi властивостi розв’язкiв систем диференцiально-функцiональних рiвнянь y'(t) = Ay(t) + By'(qt) + F (t, y(t), y(qt), y'(qt)). |
| format |
Article |
| author |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. |
| spellingShingle |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. Об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. |
| author_sort |
Бельский, Д.В. |
| title |
Об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_short |
Об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_full |
Об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_fullStr |
Об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_full_unstemmed |
Об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_sort |
об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177146 |
| citation_txt |
Об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 149-163 — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT belʹskijdv obasimptotičeskihsvojstvahrešenijsistemnelinejnyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenijslinejnopreobrazovannymargumentom AT pelûhgp obasimptotičeskihsvojstvahrešenijsistemnelinejnyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenijslinejnopreobrazovannymargumentom |
| first_indexed |
2025-07-15T15:10:26Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:10:26Z |
| _version_ |
1837726148560158720 |
| fulltext |
УДК 517.929
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ЛИНЕЙНО ПРЕОБРАЗОВАННЫМ АРГУМЕНТОМ
Д. В. Бельский, Г. П. Пелюх
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3
We find new properties of solutions of systems of the differential-functional equations y′(t) = Ay(t) +
+By′(qt) + F (t, y(t), y(qt), y′(qt)) .
Встановлено новi властивостi розв’язкiв систем диференцiально-функцiональних рiвнянь
y′(t) = Ay(t) +By′(qt) + F (t, y(t), y(qt), y′(qt)) .
Эта статья является небольшим дополнением некоторых результатов работы [1] относи-
тельно асимптотических свойств решений системы
y′(t) = Ay(t) +By′(qt) + F
(
t, y(t), y(qt), y′(qt)
)
, (1)
где A = diag (A1, A2), B — постоянные (n × n)-матрицы; A1, A2 — матрицы размеров
m×m, (n−m)×(n−m) соответственно и такие, что Reλj(A1) < 0, j = 1,m,Reλj(A2) > 0,
j = n−m,n; 0 < q < 1; функция F (t, y1, y2, y3) : R × Cn × Cn × Cn → Cn непрерывна
по всем аргументам, F (t, 0, 0, 0) = 0, и существует неубывающая непрерывная функция
h : [0,+∞) → [0,+∞), h(0) = 0, такая, что
|F (t, x1, x2, x3)− F (t, y1, y2, y3)| ≤ h(r)(|x1 − y1|+ |x2 − y2|+ |x3 − y3|) (2)
для всех |xi| ≤ r, |yi| ≤ r, i = 1, 3. Частные случаи этой системы изучались в [1 – 4].
В дальнейшем нам понадобится матричная функция
G(t) =
{
diag (eA1t, 0), t > 0,
−diag (0, eA2t), t < 0,
которая имеет такие свойства: G(+0) − G(−0) = In; |G(t)| ≤ Le−a|t| при всех t 6= 0, где
L, a = const > 0 и норма матрицы G = (gij) определяется с помощью соотношения
|G = max1≤i≤n
∑n
j=1 |gij |; G′(t) = AG(t), t 6= 0.
Теорема 1. Пусть выполняется условие |B| + |BA|2L
a
< 1. Тогда система (1) име-
ет m-параметрическое семейство ограниченных на полуоси t ≥ 0 решений y(t, w), где
w = (w1, . . . , wm)T , |w| < r1, r1 — некоторое положительное число, для которых
выполняется неравенство
|y(t, w)| ≤ L1
(
e−at +
e−aqt
1− q2
+
β1e
−aq2t
1− q4
+ . . .+
β1 . . . βme
−aqm+1t
1− q2m+2
+ . . .
)
|w|, t ≥ 0,
c© Д. В. Бельский, Г. П. Пелюх, 2015
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2 149
150 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
где L1 — некоторая постоянная, βm = |B| + 2|BA|L
a
1
1− q2m
+ h1
(
1 + 2
L
a
2 + |A|
1− q2m
)
,
m ≥ 1, коэффициент h1 > 0 такой, что |B|+ 2|BA|L
a
+ h1
(
1 + 2
L
a
(2 + |A|)
)
< 1.
Любое решение системы (1), удовлетворяющее условиям supt≥0 |y(t)| ≤ r2 и |y′(0)| <
< 2{1+ |A|/(1−|B|)}r2, где r2 — некоторое положительное число, тождественно равно
некоторому решению y(t, w0).
Доказательство. Предположим, что решение системы (1) существует и ограничено
на полуоси t ≥ 0. Определим условия, при которых производная решения тоже ограни-
чена. Пусть k df
= 2{1 + |A|/(1− |B|)}, r > 0 удовлетворяет условию h(kr) < t(1− |B|)/2 и
supt≥0 |y(t)| ≤ r. Тогда если |y′(0)| < kr, то существует δ > 0 такое, что |y′(t)| ≤ kr для
всех 0 ≤ t ≤ δ, и в силу (2) при 0 ≤ t ≤ q−1δ выполняется неравенство
|y′(t)| ≤ |A||y(t)|+ |B||y′(qt)|+ h(kr)(|y(t)|+ |y(qt)|+ |y′(qt)|) ≤
≤ |A|r + |B| sup
0≤s≤q−1δ
|y′(qs)|+ h(kr)(2r + sup
0≤s≤q−1δ
|y′(qs)|),
откуда
sup
0≤t≤q−1δ
|y′(t)| ≤ |A|r + |B| sup
0≤s≤q−1δ
|y′(s)|+ h(kr)(2r + sup
0≤s≤q−1δ
|y′(s)|),
sup
0≤s≤q−1δ
|y′(s)| ≤ |A|+ 2h(kr)
1− |B| − h(kr)
r ≤ kr.
Повторяя этот процесс, получаем supt≥0 |y′(t)| ≤ kr.
Поэтому „неоднородность” в уравнении (1) z(t) df
=By′(qt) + F (t, y(t), y(qt), y′(qt)) при
всех t ≥ 0 удовлетворяет неравенству
|z(t)| ≤ |B|kr + h(kr)(2r + kr) = {|B|k + h(kr)(k + 2)}r, (3)
и ограниченное решение y(t) уравнения (1) y′(t) = Ay(t) + z(t) имеет вид [7] (§ III. 6)
y(t) = eAtπ−y(0) +
+∞∫
0
G(t− u)z(u)du, (4)
где π− = diag (Im, 0), Im — единичная (m×m)-матрица.
Иными словами, любое решение уравнения (1), имеющее свойства supt≥0 |y(t)| ≤ r и
|y′(0)| < kr, имеет вид (4) с некоторой ограниченной функцией z(t) (3).
Для доказательства существования таких решений и их вычисления в работе [1] фор-
мула (4) используется как начальная замена переменных в исходном уравнении (1), по-
сле которой для новой искомой функции z(t) авторы получают интегральное уравнение.
Особое преимущество этого способа в том, что удается избавиться от производной в ар-
гументе функции F. Наши рассуждения будут очень близки к таковым в работе [1]. Для
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ . . . 151
краткости определим величину π−y(0)
df
= y−. Выполняя замену (4) в уравнении (1), полу-
чаем
z(t) = BAeAqty− +BAq
+∞∫
0
G(q(t− s))z(qs)ds+Bz(qt)+
+ F
t, eAty− +
+∞∫
0
G(t− u)z(u)du, eAqty− + q
+∞∫
0
G(q(t− s))z(qs)ds,
AeAqty− +Aq
+∞∫
0
G(q(t− s))z(qs)ds+ z(qt)
. (5)
Если sups≥0 |z(s)| ≤ ρ и |y−| ≤ σρ, 0 < σ < 1, то три последних аргумента функции F
ограничены числом
{
(|A|+ 1)L
(
1 +
2
a
)
+ 1
}
ρ
df
= lρ.
Определим оператор
Tz(t) = BAeAqty− +BAq
+∞∫
0
G(q(t− s))z(qs)ds+Bz(qt)+
+ F
t, eAty− +
+∞∫
0
G(t− u)z(u)du, eAqty− + q
+∞∫
0
G(q(t− s))z(qs)ds,
AeAqty− +Aq
+∞∫
0
G(q(t− s))z(qs)ds+ z(qt)
.
Оценим
|Tz(t)| ≤ |BA|Lσρ+ |BA|2L
a
ρ+ |B|ρ+ 3h(lρ)lρ =
[
|BA|Lσ + |BA|2L
a
+ |B|+ 3h(lρ)l
]
ρ.
Поскольку |B| + |BA|2L/a < 1, при достаточно малых ρ и σ получаем неравенство
|Tz(t)| ≤ ρ.
Пусть x : [0,+∞) → Cn — непрерывная функция и sups≥0 |x(s)| ≤ ρ. Оценим раз-
ность
|Tx(t)− Tz(t)| ≤ |BA|2L
a
sup
s≥0
|x(s)− z(s)|+ |B| sup
s≥0
|x(s)− z(s)|+
+ h(lρ)
(
2L
a
sup
s≥0
|x(s)− z(s)|+ 2L
a
sup
s≥0
|x(s)− z(s)| +
+ |A|2L
a
sup
s≥0
|x(s)− z(s)|+ sup
s≥0
|x(s)− z(s)|
)
=
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
152 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
=
[
|BA|2L
a
+ |B|+ h(lρ)
(
2L
a
(2 + |A|) + 1
)]
sup
s≥0
|x(s)− z(s)| df= γ sup
s≥0
|x(s)− z(s)|.
Так как |B|+ |BA|2L
a
< 1, при малом ρ выполняется неравенство
|Tx(t)− Tz(t)| ≤ γ sup
s≥0
|x(s)− z(s)|, γ < 1.
Поэтому T — оператор сжатия относительно равномерной топологии, действующий из
множества, например W, непрерывных функций z(t) с sups≥0 |z(s)| ≤ ρ в W, т. е. в W
существует единственная неподвижная точка Tz(t) = z(t) — решение уравнения (5).
Свойства функции z(t) можно изучить с помощью последовательных приближений
z0(t) = 0,
zm(t) = BAeAqty− +BAq
+∞∫
0
G(q(t− s))zm−1(qs)ds+Bzm−1(qt)+
+ F
t, eAty− +
+∞∫
0
G(t− u)zm−1(u)du, eAqty− + q
+∞∫
0
G(q(t− s))zm−1(qs)ds,
AeAqty− +Aq
+∞∫
0
G(q(t− s))zm−1(qs)ds+ zm−1(qt)
, (6)
|z1(t)− z0(t)| = |z1(t)| ≤ |BA|Le−aqt|y−|+ h(ρ)
(
Le−at|y−|+ Le−aqt|y−|+ |A|Le−aqt|y−|
)
≤
≤ {|BA|+ h(lρ)(2 + |A|)}Le−aqt|y−|.
Докажем методом математической индукции неравенство
|zm(t)− zm−1(t)| ≤ Kb0 . . . bm−1e
−aqmt|y−|, m ≥ 1, (7)
гдеK = {|BA|+h(lρ)(2+|A|)}L, b0 = 1, bm = |B|+2|BA|L
a
1
1− q2m
+h(lρ)
(
1 + 2
L
a
2 + |A|
1− q2m
)
,
m ≥ 1. При m = 1 оценка (7) выполняется. Предположим, что она справедлива при m, и
оценим разность
|zm+1(t)− zm(t)| ≤ |BA|q
+∞∫
0
|G(q(t− s))||zm(qs)− zm−1(qs)|ds+ |B||zm(qt)− zm−1(qt)|+
+ h(lρ)
+∞∫
0
|G(t− u)||zm(u)− zm−1(u)|du +
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ . . . 153
+ q
+∞∫
0
|G(q(t− s))||zm(qs)− zm−1(qs)|ds+
+ |A|q
+∞∫
0
|G(q(t− s))||zm(qs)− zm−1(qs)|ds+ |zm(qt)− zm−1(qt)|
≤
≤ |BA|q
t∫
0
|G(q(t− s))||zm(qs)− zm−1(qs)|ds+
+ |BA|q
+∞∫
t
|G(q(t− s))||zm(qs)− zm−1(qs)|ds+ |B||zm(qt)− zm−1(qt)|+
+ h(lρ)
t∫
0
|G(t− u)||zm(u)− zm−1(u)|du+
+∞∫
t
|G(t− u)||zm(u)− zm−1(u)|du +
+ q
t∫
0
|G(q(t− s))||zm(qs)− zm−1(qs)|ds+ q
+∞∫
t
|G(q(t− s))||zm(qs)− zm−1(qs)|ds+
+ |A|q
t∫
0
|G(q(t− s))||zm(qs)− zm−1(qs)|ds+
+ |A|q
+∞∫
t
|G(q(t− s))||zm(qs)− zm−1(qs)|ds+ |zm(qt)− zm−1(qt)|
≤
≤ |BA|q
t∫
0
Le−aq(t−s)K
m−1∏
j=0
bje
−aqm+1s|y−|ds+
+ |BA|q
+∞∫
t
Le−aq(s−t)K
m−1∏
j=0
bje
−aqm+1s|y−|ds+ |B|K
m−1∏
j=0
bje
−aqm+1t|y−|+
+ h(lρ)
t∫
0
Le−a(t−u)K
m−1∏
j=0
bje
−aqmu|y−|du+
+∞∫
t
Le−a(u−t)K
m−1∏
j=0
bje
−aqmu|y−|du +
+ q
t∫
0
Le−aq(t−s)K
m−1∏
j=0
bje
−aqm+1s|y−|ds+ q
+∞∫
t
Le−aq(s−t)K
m−1∏
j=0
bje
−aqm+1s|y−|ds+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
154 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
+ |A|q
t∫
0
Le−aq(t−s)K
m−1∏
j=0
bje
−aqm+1s|y−|ds+ |A|q
+∞∫
t
Le−aq(s−t)K
m−1∏
j=0
bje
−aqm+1s|y−|ds+
+ K
m−1∏
j=0
bje
−aqm+1t|y−|
= K
m−1∏
j=0
bj |y−|
{
|BA|qLe−aqm+1t 1− e−aq(1−q
m)t
aq(1− qm)
+
+ |BA|qL e−aq
m+1t
aq(1 + qm)
+ |B|e−aqm+1t + h(lρ)
(
Le−aq
mt 1− e−a(1−q
m)t
a(1− qm)
+ L
e−aq
mt
a(1 + qm)
+
+ qLe−aq
m+1t 1− e−aq(1−q
m)t
aq(1− qm)
+ qL
e−aq
m+1t
aq(1 + qm)
+ |A|qLe−aqm+1t 1− e−aq(1−q
m)t
aq(1− qm)
+
+ |A|qL e−aq
m+1t
aq(1 + qm)
+e−aq
m+1t
)}
≤K
m−1∏
j=0
bje
−aqm+1t|y−|
{
|B|+2|BA|L
a
1
(1− qm)(1 + qm)
+
+ h(lρ)
(
1 + 2
L
a
1
(1− qm)(1 + qm)
+ 2(1 + |A|)L
a
1
(1− qm)(1 + qm)
)}
=
= K
m∏
j=0
bje
−aqm+1t|y−|.
Оценка (7) доказана.
Множитель bm → |B|+2|BA|L
a
+h(lρ)
(
1 + 2
L
a
(2 + |A|)
)
= γ < 1, m → +∞, поэтому
ряды
|z(t)| ≤ |z0(t)|+ |z1(t)− z0(t)|+ |z2(t)− z1(t)|+ . . .+ |zm(t)− zm−1(t)|+ . . . ≤
≤ Kb0e
−aqt|y−|+Kb0b1e
−aq2t|y−|+ . . .+Kb0 . . . bm−1e
−aqmt|y−|+ . . . =
= K
(
b0e
−aqt + b0b1e
−aq2t . . .+ b0 . . . bm−1e
−aqmt + . . .
)
|y−|
сходятся.
Оценим решение y(t) = eAty− +
∫ t
0
G(t− u)z(u)du+
+∞∫
t
G(t− u)z(u)du:
|y(t)| ≤ Le−at|y−|+
t∫
0
|G(t− u)||z(u)|du+
+∞∫
t
|G(t− u)||z(u)|du ≤ Le−at|y−|+
+
t∫
0
Le−a(t−u)K
(
b0e
−aqu + b0b1e
−aq2u + . . .+ b0 . . . bm−1e
−aqmu + . . .
)
|y−|du+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ . . . 155
+
+∞∫
t
Le−a(u−t)K
(
b0e
−aqu + b0b1e
−aq2u + . . .+ b0 . . . bm−1e
−aqmu + . . .
)
|y−|du ≤
≤ L
{
e−at +
2K
a
(
b0e
−aqt
1− q2
+
b0b1e
−aq2t
1− q4
+ . . .+
b0 . . . bm−1e
−aqmt
1− q2m
+ . . .
)}
|y−|. (8)
Решение интегрального уравнения — это функция двух переменных z(t, y−). Изучим за-
висимость от второй переменной. Для этого определим функции
z1(t, y−) = BAeAqty− + F
(
t, eAty−, e
Aqty−, Ae
Aqty−
) df
= z1(t),
z1(t, ỹ−) = BAeAqtỹ− + F
(
t, eAty−, e
Aqty−, Ae
Aqtỹ−
) df
= z̃1(t),
для которых справедлива оценка
|z1(t)− z̃1(t)| ≤ |BA|Le−aqt|y− − ỹ−|+
+ h(lρ)
(
Le−at|y− − ỹ−|+ Le−aqt|y− − ỹ−|+ |A|Le−aqt|y− − ỹ−|
)
≤
≤ {|BA|+ h(lρ)(2 + |A|)}Le−aqt|y− − ỹ−|.
Докажем методом математической индукции неравенство
|zm(t)− z̃m(t)| ≤ Kcm−1e
−aqmt|y− − ỹ−|, m ≥ 1, (9)
где c0 = 1, cm = 1 + cm−1bm, m ≥ 1. При m = 1 оценка выполняется. Предположим, что
она справедлива при m, тогда
|zm+1(t)−z̃m+1(t)| ≤ |BA|Le−aqt |y− − ỹ−|+
+ |BA| q
+∞∫
0
|G (q(t− s))| |zm(qs)− z̃m(qs)| ds+ |B| |zm(qt)− z̃m(qt)|+
+ h(lρ)
(
Le−at |y− − ỹ−|+
+∞∫
0
|G(t− u)||zm(u)− z̃m(u)|du+
+ Le−aqt|y− − ỹ−|+ q
+∞∫
0
|G(q(t− s))||zm(qs)− z̃m(qs)|ds+
+ |A|Le−aqt |y− − ỹ−|+ |A|q
+∞∫
0
|G (q(t− s))| |zm(qs)− z̃m(qs)| ds+
+ |zm(qt)− z̃m(qt)|
)
≤
{
|BA|Le−aqt + |BA|Kcm−1q×
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
156 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
×
t∫
0
|G(q(t− s))|e−aqm+!sds+ |BA|Kcm−1q
+∞∫
t
|G(q(t− s))|e−aqm+!sds+
+ |B|Kcm−1e−aq
m+1t + h(lρ)
(
Le−at +Kcm−1
t∫
0
|G(t− u)|e−aqmudu+
+Kcm−1
+∞∫
t
|G(t− u)|e−aqmudu+ Le−aqt +Kcm−1q
t∫
0
|G(q(t− s))|e−aqm+1s ds+
+Kcm−1q
∫ +∞
t
|G(q(t− s))|e−aqm+1sds+ |A|Le−aqt+
+ |A|Kcm−1q
t∫
0
|G(q(t− s))|e−aqm+1sds+ |A|Kcm−1q
+∞∫
t
|G(q(t− s))|e−aqm+1sds+
+Kcm−1e
−aqm+1t
)}
|y− − ỹ−| ≤
{
|BA|Le−aqt + |BA|Kcm−1q
t∫
0
Le−aq(t−s)e−aq
m+!sds+
+ |BA|Kcm−1q
+∞∫
t
Le−aq(s−t)e−aq
m+1sds+ |B|Kcm−1e−aq
m+1t+
+ h(lρ)
(
Le−at +Kcm−1
t∫
0
Le−a(t−u)e−aq
mudu+Kcm−1
+∞∫
t
Le−a(u−t)e−aq
mudu+
+ Le−aqt +Kcm−1q
t∫
0
Le−aq(t−s)e−aq
m+1sds+Kcm−1q
+∞∫
t
Le−aq(s−t)e−aq
m+1sds+
+ |A|Le−aqt + |A|Kcm−1q
t∫
0
Le−aq(t−s)e−aq
m+1sds+
+ |A|Kcm−1q
+∞∫
t
Le−aq(s−t)e−aq
m+1sds+Kcm−1e
−aqm+1t
)}
|y− − ỹ−| =
=
{
|BA|Le−aqt + |BA|Kcm−1qLe−aq
m+1t 1− e−aq(1−q
m)t
aq(1− qm)
+
+ |BA|Kcm−1qL
e−aq
m+1t
aq(1 + qm)
+ |B|Kcm−1e−aq
m+1t+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ . . . 157
+ h(lρ)
(
Le−at +Kcm−1Le
−aqmt 1− e−a(1−q
m)t
a(1− qm)
+Kcm−1L
e−aq
mt
a(1 + qm)
+
+ Le−aqt +Kcm−1qLe
−aqm+1t 1− e−aq(1−q
m)t
aq(1− qm)
+Kcm−1qL
e−aq
m+1t
aq(1 + qm)
+
+ |A|Le−aqt + |A|Kcm−1qLe−aq
m+1t 1− e−aq(1−q
m)t
aq(1− qm)
+
+ |A|Kcm−1qL
e−aq
m+1t
aq(1 + qm)
+Kcm−1e
−aqm+1t
)}
|y− − ỹ−| ≤
≤
{
|BA|L+ h(lρ)(2 + |A|)L+Kcm−1
[
|B|+ 2|BA|L
a
1
(1− qm)(1 + qm)
+
+ h(lρ)
(
1 + 2(2 + |A|)L
a
1
(1− qm)(1 + qm)
)]}
e−aq
m+1t|y− − ỹ−| =
= K(1 + cm−1bm)e−aq
m+1t|y− − ỹ−| = Kcme
−aqm+1t|y− − ỹ−|.
Оценка (9) доказана.
Исследуем последовательность cm = 1 + cm−1bm, c0 = 1. Нам известно, что суще-
ствует limm→+∞ bm
df
= γ < 1. Пусть ε > 0 и γ + ε < 1, тогда существует n0 ∈ N та-
кое, что bm < γ + ε ∀m ≥ n0. Если число M ≥ 1 такое, что cn0−1 ≤
M
1− γ − ε
, то
cn0 = 1 + cn0−1bn0 ≤ M +
M
1− γ − ε
(γ + ε) =
M
1− γ − ε
и т. д., т. е. все cm ≤
M
1− γ − ε
,
m ≥ n0 − 1. Если для некоторого m ≥ n0 выполняется неравенство cm − cm−1 ≤ 0, то
cm−cm−1 = 1−cm−1(1−bm) ≤ 0, cm−1 ≥
1
1− bm
, cm = 1+cm−1bm ≥ 1+
bm
1− bm
=
1
1− bm
,
cm+1−cm = 1−cm(1−bm+1) ≤ 1− 1− bm+1
1− bm
=
bm+1 − bm
1− bm
≤ 0 и т. д., т. е. cm — невозраста-
ющая последовательность, ограниченная снизу нулем и поэтому имеющая предел. Если
для всех m ≥ n0 выполняется неравенство cm − cm−1 ≥ 0, то cm — неубывающая огра-
ниченная последовательность и поэтому также имеющая предел. Устремляя m → +∞ в
равенстве cm = 1 + cm−1bm, получаем limm→+∞ cm =
1
1− γ
.
Устремляя m → +∞ в (9), получаем
|z(t, y−)− z(t, ỹ−)| ≤ K
1− γ
|y− − ỹ−|. (10)
С помощью последнего неравенства легко доказывается непрерывность функции z(t, y−)
по обеим переменным на множестве t ≥ 0, |y−| ≤ σρ.
Функция y(0, y−) = y−+
∫ +∞
0
G(−u)z(u, y−)du— биекция между замкнутым шаром в
пространстве Cm радиуса σρ с центром в нуле и некоторым множеством S(ρ) начальных
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
158 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
значений ограниченных решений y(t).Обратная функция — это проектор π−.В силу (10)
и неравенства
|y(0, y−)− y(0, ỹ−)| ≤ |y− − ỹ−|+
+∞∫
0
|G(−u)||z(u, y−)− z(u, ỹ−)|du ≤
≤ |y− − ỹ−|+
+∞∫
0
|G(−u)| K
1− γ
|y− − ỹ−|du ≤
(
1 +
L
a
K
1− γ
)
|y− − ỹ−|
обе функции непрерывны, поэтому y(0, y−) — гомеоморфизм.
Из (10) получаем неравенство
|y(t, y−)− y(t, ỹ−)| ≤ Le−at|y− − ỹ−|+
+∞∫
0
|G(t− u)||z(u, y−)− z(u, ỹ−)|du ≤
≤ L|y− − ỹ−|+
+∞∫
0
|G(t− u)| K
1− γ
|y− − ỹ−|du ≤
≤ L
(
1 +
2
a
K
1− γ
)
|y− − ỹ−|, t ≥ 0,
с помощью которого легко доказывается непрерывность функции y(t, y−) по обеим пе-
ременным на множестве t ≥ 0, |y−| ≤ σρ, т. е. y(t, y−) — m-параметрическое семейство
функций.
Теорема 1 доказана.
Функции в доказательстве теоремы имеют дополнительные свойства.
Если матрица B невырожденная, то η df
= inf |x|=1 |BAx| > 0. При этом условии и доста-
точно малом ρ докажем от противного, что функции z(t, y−) различны для разных y−.
Предположим, что z(t, y−) ≡ z(t, ỹ−) для y− 6= ỹ−. Тогда
|z(0, y−)− z(0, ỹ−)| ≥ |BA(y− − ỹ−)| − h(lρ) (|y− − ỹ−|+ |y− − ỹ−|+ |A||y− − ỹ−|) =
=
{∣∣∣∣BA(y− − ỹ−)
|y− − ỹ−|
∣∣∣∣− h(lρ)(2 + |A|)
}
|y− − ỹ−| ≥
≥ {η − h(lρ)(2 + |A|)} |y− − ỹ−|.
При малом ρ коэффициент η − h(lρ)(2 + A|) > 0 и z(0, y−) 6= z(0, ỹ−). Пришли к проти-
воречию.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ . . . 159
Из (10) получаем неравенство
|y(0, y−)− y(0, ỹ−)| ≥ |y− − ỹ−| −
+∞∫
0
|G(−u)||z(u, y−)− z(u, ỹ−)|du ≥
≥ |y− − ỹ−| −
+∞∫
0
|G(−u)| K
1− γ
|y− − ỹ−|du ≥
(
1− L
a
K
1− γ
)
|y− − ỹ−|.
Определим проектор π+ = diag (0, In−m), тогда π+y(0, y−) =
∫ +∞
0
G(−u)z(u, y−)du и
|π+y(0, y−)| ≤
+∞∫
0
|G(−u)||z(u, y−)|du ≤ L
a
K
1− γ
|y−| =
L
a
K
1− γ
|π−y(0, y−)|.
Оценим убывание ряда
e−at + be−aqt + b2e−aq
2t + b3e−aq
3t + . . .+ bne−aq
nt + . . . ,
где 0 < b, q < 1, применив формулу суммирования Эйлера – Маклорена [8] (§ 3.6) к
функции f(x) = bxe−aq
xt. А именно,
n∑
k=0
f(k) = f(0) + f(1) + . . .+ f(n) =
n∫
0
f(x)dx+
1
2
f(0)− B2
2!
f ′(0)+
+
1
2
f(n) +
B2
2!
f ′(n)−
n∫
0
f ′′(x)
B2(x− [x])
2
dx.
Устремив n → +∞, в пределе получим
+∞∑
k=0
f(k) =
+∞∫
0
f(x)dx+
1
2
f(0)− B2
2!
f ′(0)−
+∞∫
0
f ′′(x)
B2(x− [x])
2
dx =
=
+∞∫
0
f(x)dx+
1
2
e−at − B2
2!
e−at(ln b− at ln q)−
+∞∫
0
f ′′(x)
B2(x− [x])
2
dx.
Вторая производная
f ′′(x) = f(x)(ln b)2 − f(x)qxta(2 ln b ln q + (ln q)2) + f(x)q2xt2a2(ln q)2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
160 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Исследуем интеграл
∫ +∞
0
f(x)qmx dx как функцию от t, для краткости определив c df
= bqm:
+∞∫
0
f(x)qmx dx =
+∞∫
0
bxe−aq
xtqmxdx =
=
+∞∫
0
cxe−aq
xtdx = {u = aqx} =
c
− ln a
ln q
ln q−1
a∫
0
u
−1+ ln c
ln q e−utdu =
=
c
− ln a
ln q
ln q−1
+∞∫
0
u
−1+ ln c
ln q e−utdu− c
− ln a
ln q
ln q−1
+∞∫
a
u
−1+ ln c
ln q e−utdu.
Изучим каждый интеграл отдельно:
+∞∫
0
u
−1+ ln c
ln q e−ut du = {s = ut} =
1
t
ln c
ln q
+∞∫
0
s
−1+ ln c
ln q e−sds = t
− ln c
ln qΓ
(
ln c
ln q
)
,
+∞∫
a
u
−1+ ln c
ln q e−utdu =
+∞∫
a
u
−1+ ln c
ln q e−u(t−1)e−udu ≤ e−a(t−1)
+∞∫
a
u
−1+ ln c
ln q e−udu, t ≥ 1.
Поэтому
+∞∫
0
f(x)qmxdx =
c
− ln a
ln q
ln q−1
t
− ln c
ln qΓ
(
ln c
ln q
)
+O(e−at) = O
(
t
− ln b
ln q
−m
)
, t → +∞.
Оценим интеграл
+∞∫
0
|f ′′(x)|dx =
+∞∫
0
∣∣f(x)(ln b)2 − f(x)qxta(2 ln b ln q + (ln q)2) + f(x)q2xt2a2(ln q)2
∣∣ dx ≤
≤ (ln b)2
+∞∫
0
f(x)dx+ a
(
2 ln b ln q + (ln q)2
)
t
+∞∫
0
f(x)qxdx+
+ a2(ln q)2t2
+∞∫
0
f(x)q2xdx = O
(
t
− ln b
ln q
)
, t → +∞.
Суммируя изложенное, получаем
e−at + be−aqt + b2e−aq
2t + b3e−aq
3t + . . .+ bne−aq
nt + . . . =
+∞∑
k=0
f(k) =O
(
t
− ln b
ln q
)
, t → +∞.
(11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ . . . 161
Качество этой формулы можно оценить на следующем примере. Уравнение x′(t) =
= −ax(t) + bx(qt) + cx′(qt) имеет при a > 0, b > 0, c ≤ 0 и
∣∣∣∣ ba
∣∣∣∣ < 1 частное решение
x(t) =
∑+∞
k=0 xke
−aqkt, где x0 = 1, xk =
b− acqk−1
a(1− qk)
xk−1, k ≥ 1. Все слагаемые этого
ряда — положительные числа. При c = 0 [5] и c < 0 [6] это решение имеет асимптоти-
ческую формулу x(t) = t
−
ln| ba |
ln q
{
f0
(
ln t
ln q−1
)
+O
(
1
t
)}
, t → +∞, где f0(u) — ненулевая
периодическая функция с периодом 1. В то же время из формулы суммирования Эйле-
ра – Маклорена следует, что x(t) =
(
t
−
ln| ba |
ln q
+ε
)
, ε > 0, t → +∞.
Применив оценку (11) к неравенству (8), получим |y(t, y−)| ≤ Λ(ε)t
− ln(γ+ε)
ln q |y−|.
Для исследования решений системы (1) в окрестности нуля усилим требование к не-
однородности. Пусть выполняется неравенство
|F (t, x1, x2, x3)− F (t, y1, y2, y3)| ≤ l1 (|x1 − y1|+ |x2 − y2|+ |x3 − y3|) , (12)
где l1 — некоторая постоянная.
Теорема 2. Если |λj(B)| > q, j = 1, n, то при достаточно малой l1 все решения
уравнения (1) имеют конечный предел при t → 0 + .
Доказательство. Выполним замену переменных y(t) = z(1/t), t = 1/(qτ):
z′(τ) =
1
τ2
B−1Az(qτ) + q2B−1z′(qτ) +
1
τ2
B−1F
(
1
qτ
, z(qτ), z(τ), z′(τ)(−τ2)
)
.
Отсюда и из (12) следует, что
(
1−
∣∣B−1∣∣ l1) ∣∣z′ (τ)
∣∣ ≤ 1
τ2
(∣∣B−1A∣∣+
∣∣B−1∣∣ l1) |z (qτ)|+ 1
τ2
∣∣B−1∣∣ l1 |z (τ)|+
∣∣qB−1∣∣ ∣∣qz′ (qτ)
∣∣ .
Интегрируя последнее неравенство на отрезке [1, t], получаем
(1− |B−1|l1)
t∫
1
∣∣z′ (τ)
∣∣ dτ ≤ (|B−1A|+ |B−1|l1) t∫
1
|z (qτ)|
τ2
dτ + |B−1|l1
t∫
1
|z(τ)|
τ2
dτ+
+ |qB−1|
1∫
q
|z′(τ)|dτ + |qB−1|
qt∫
1
|z′(τ)||dτ |. (13)
Определим
∫ u
1
|z′(τ)||dτ | df= s(u), u > 0. Тогда при τ > 0 имеем |z(τ)| ≤ |z(1)|+ s(τ). Если
1 ≤ t ≤ q−1, то s(qt) =
∫ qt
1
|z′(τ)||dτ | =
∫ 1
qt
|z′(τ)|dτ ≤
∫ 1
q
|z′(τ)|dτ df
=N ≤ N + s(t). При
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
162 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
t ≥ q−1 получаем s(qt) =
∫ qt
1
|z′(τ)|dτ ≤
∫ t
1
|z′(τ)|dτ = s(t) ≤ s(t) + N. Поэтому при
t ≥ 1 имеем s(qt) ≤ N + s(t).
Из (13) следует, что(
1−
∣∣B−1∣∣ l1) s(t) ≤
≤
(∣∣B−1A∣∣+
∣∣B−1∣∣ l1) t∫
1
|z(1)|+N + s(τ)
τ2
dτ +
∣∣B−1∣∣ l1 t∫
1
|z(1)|+ s(τ)
τ2
dτ+
+ |qB−1|
1∫
q
|z′(τ)|dτ + |qB−1|N + |qB−1|s(t).
Без ограничения общности можем считать, что матрица B−1 имеет жорданову нормаль-
ную форму, у которой над главной диагональю не единицы, а достаточно малые числа
ε > 0 такие, что выполняется неравенство |qB−1| < 1. Тогда при малой l1 получаем
|qB−1|+ |B−1|l1 < 1, и последнее неравенство для s(t) можно записать в виде
s(t) ≤
|B−1A|
+∞∫
1
|z(1)|+N
τ2
dτ + |B−1|l1
+∞∫
1
2|z(1)|+N
τ2
dτ + |qB−1|
1∫
q
|z′(τ)|dτ + |qB−1|N
1− |qB−1| − |B−1|l1
+
+
|B−1A|+ 2|B−1|l1
1− |qB−1| − |B−1|l1
t∫
1
s(τ)
τ2
dτ,
определив для краткости
M1
df
=
|B−1A|
∫ +∞
1
|z(1)|+N
τ2
dτ + |B−1|l1
∫ +∞
1
2|z(1)|+N
τ2
dτ + |qB−1|
∫ 1
q |z
′(τ)|dτ + |qB−1|N
1− |qB−1| − |B−1|l1
,
L1
df
=
|B−1A|+ 2|B−1|l1
1− |qB−1| − |B−1|l1
.
Тогда s(t) ≤ M1 + F1
∫ t
1
s(τ)
τ2
dτ. Отсюда и из леммы Гронуолла – Беллмана следует, что∫ 1
1/t
|y′(u)|du=
∫ t
1
|z′(τ)||dτ | = s(t)≤M1e
F1
∫ t
1
1
s2
ds ≤ M1e
F1
∫+∞
1
1
s2
ds.
Теорема 2 доказана.
1. Самойленко А. М., Пелюх Г. П. Ограниченные на всей вещественной оси решения систем нелинейных
дифференциально-функциональных уравнений и их свойства // Укр. мат журн. — 1994. — 46, № 6. —
С. 737 – 747.
2. Бельский Д. В. Об ограниченных на R+ решениях линейных систем дифференциально-функциональ-
ных уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом и их свой-
ствах // Докл. АН Украины. — 2005. — № 8. — С. 10 – 14.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ . . . 163
3. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифферен-
циально-функциональных уравнений нейтрального типа // Междунар. мат. конф. им. В. Я. Скороба-
гатько (27.09.2004 – 1.10.2004, Дрогобыч): Тез. докл. — Львов, 2004. — С. 52.
4. Бельский Д. В. О поведении решений систем линейных дифференциально-функциональных уравне-
ний с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом в окрестности особой
точки // Нелiнiйнi коливання. — 2009. — 12, № 4. — С. 435 – 442.
5. Kato T., McLeod J. B. The functional-differential equation y′(x) = ay(λx) + by(x) // Bull. Amer. Math.
Soc. — 1971. — 77. — P. 891 – 937.
6. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-
функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобра-
зованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2012. — 15, № 4. — С. 466 – 493.
7. Hale J. Ordinary differential equations. — Malabar, Florida: Krieger Publ. Co., 1980. — 361 p.
8. де Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. — М.: Мир, 1961. — 247 с.
Получено 18.12.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
|