Про побудову асимптотики розв'язку багатоточкової крайової задачі для лінійної виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь
Рассматривается возможность построения асимптотического решения многоточечной краевой задачи для линейной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений с тождественно вырожденной матрицей при производных в случае кратного спектра главного оператора. С этой целью использованы результаты а...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177147 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про побудову асимптотики розв'язку багатоточкової крайової задачі для лінійної виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь / М.Б. Віра // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 164-175 — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177147 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771472021-02-12T01:26:27Z Про побудову асимптотики розв'язку багатоточкової крайової задачі для лінійної виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь Віра, М.Б. Рассматривается возможность построения асимптотического решения многоточечной краевой задачи для линейной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений с тождественно вырожденной матрицей при производных в случае кратного спектра главного оператора. С этой целью использованы результаты асимптотического анализа общего решения линейной вырожденной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений. Получены условия существования и единственности решения этой краевой задачи. We consider a possibility of constructing an asymptotic solution to a multipoint boundary-value problem for a linear singularly perturbed differential system with identically degenerate derivative matrix in the case where the main operator has multiple spectrum. The study is carried out with a use of asymptotic analysis results for a general solution of linear degenerate singularly perturbed differential system. We find conditions for existence and uniqueness of a solution of the problem under consideration. 2015 Article Про побудову асимптотики розв'язку багатоточкової крайової задачі для лінійної виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь / М.Б. Віра // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 164-175 — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177147 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Рассматривается возможность построения асимптотического решения многоточечной краевой задачи для линейной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений с тождественно вырожденной матрицей при производных в случае кратного спектра главного оператора. С этой целью использованы результаты асимптотического анализа общего решения линейной вырожденной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений. Получены условия существования и единственности решения этой краевой задачи. |
| format |
Article |
| author |
Віра, М.Б. |
| spellingShingle |
Віра, М.Б. Про побудову асимптотики розв'язку багатоточкової крайової задачі для лінійної виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь Нелінійні коливання |
| author_facet |
Віра, М.Б. |
| author_sort |
Віра, М.Б. |
| title |
Про побудову асимптотики розв'язку багатоточкової крайової задачі для лінійної виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь |
| title_short |
Про побудову асимптотики розв'язку багатоточкової крайової задачі для лінійної виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь |
| title_full |
Про побудову асимптотики розв'язку багатоточкової крайової задачі для лінійної виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь |
| title_fullStr |
Про побудову асимптотики розв'язку багатоточкової крайової задачі для лінійної виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Про побудову асимптотики розв'язку багатоточкової крайової задачі для лінійної виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь |
| title_sort |
про побудову асимптотики розв'язку багатоточкової крайової задачі для лінійної виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177147 |
| citation_txt |
Про побудову асимптотики розв'язку багатоточкової крайової задачі для лінійної виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь / М.Б. Віра // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 164-175 — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT víramb propobudovuasimptotikirozvâzkubagatotočkovoíkrajovoízadačídlâlíníjnoívirodženoísingulârnozburenoísistemidiferencíalʹnihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-15T15:10:31Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:10:31Z |
| _version_ |
1837726152666382336 |
| fulltext |
УДК 517.9
ПРО ПОБУДОВУ АСИМПТОТИКИ РОЗВ’ЯЗКУ БАГАТОТОЧКОВОЇ
КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ ЛIНIЙНОЇ ВИРОДЖЕНОЇ СИНГУЛЯРНО
ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
М. Б. Вiра
Нiжин. держ. ун-т
Україна, 16600, Нiжин Чернiгiвської обл., вул. Кропив’янського, 2
e-mail: VyraMaryna@mail.ru
We consider a possibility of constructing an asymptotic solution to a multipoint boundary-value problem
for a linear singularly perturbed differential system with identically degenerate derivative matrix in the
case where the main operator has multiple spectrum. The study is carried out with a use of asymptotic
analysis results for a general solution of linear degenerate singularly perturbed differential system. We find
conditions for existence and uniqueness of a solution of the problem under consideration.
Рассматривается возможность построения асимптотического решения многоточечной кра-
евой задачи для линейной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений с
тождественно вырожденной матрицей при производных в случае кратного спектра главного
оператора. С этой целью использованы результаты асимптотического анализа общего реше-
ния линейной вырожденной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений.
Получены условия существования и единственности решения этой краевой задачи.
1. Постановка задачi. Розглянемо крайову задачу вигляду
εB(t)
dx
dt
= A(t, ε)x+ f(t, ε), (1.1)
p∑
i=1
Mix(ti, ε) = d(ε), (1.2)
в якiй x(t, ε) — шуканий n-вимiрний вектор, t ∈ [t1; tp], ε ∈ (0; ε0] — малий параметр,
A(t, ε), B(t) — (n × n)-матрицi, d(ε) i f(t, ε) — (n − 1)- та n-вимiрний вектори-стовпцi
вiдповiдно;Mi, i = 1, p,— (n−1)×n-матрицi зi сталими елементами, ti < ti+1, i = 1, p− 1.
Нехай виконуються такi умови:
1◦) матрицi A(t, ε), B(t) i вектор f(t, ε) допускають на вiдрiзку [t1; tp] рiвномiрнi асим-
птотичнi розвинення за степенями малого параметра ε, тобто
A(t, ε) ∼
∞∑
k=0
εkAk(t), f(t, ε) ∼
∞∑
k=0
εkfk(t); (1.3)
2◦) матрицi Ak(t), B(t) i вектори fk(t) нескiнченно диференцiйовнi на вiдрiзку [t1; tp];
3◦) вектор d(ε) зображується у виглядi асимптотичного розвинення d(ε) ∼
∑∞
k=0 ε
kdk
при ε → 0;
4◦) detB(t) = 0 ∀t ∈ [t1; tp];
c© М. Б. Вiра, 2015
164 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ПРО ПОБУДОВУ АСИМПТОТИКИ РОЗВ’ЯЗКУ БАГАТОТОЧКОВОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 165
5◦) detA0(t) 6= 0 ∀t ∈ [t1; tp];
6◦) гранична в’язка матриць L(t, ε) = A0(t)− λB(t) є регулярною при всiх t ∈ [t1; tp] i
зберiгає на цьому вiдрiзку сталу кронекерову структуру.
Крайову задачу вигляду (1.1), (1.2) розглянуто в роботi [1] за умови B(t) = E, де E —
одинична матриця. При цьому для побудови асимптотики було використано метод приме-
жових функцiй [2]. На основi асимптотичного аналiзу загального розв’язку системи (1.1),
виконаного у [3, 4], у роботах [5, 6] розглянуто двоточкову крайову задачу для системи
вигляду (1.1) за умови, що гранична в’язка матриць має кратний спектр.
У данiй статтi ми узагальнимо результати, описанi у [5], на випадок багатоточкової
крайової задачi. Знову ж таки будемо припускати, що гранична в’язка матриць L(t, λ) має
на вiдрiзку [t1; tp] кратний спектр, а саме: один скiнченний елементарний дiльник кратнос-
тi n− 1 i один простий нескiнченний елементарний дiльник.
Тодi, як показано у [3], з цiєї умови випливає, що власному значенню λ0(t) граничної
в’язки вiдповiдає жорданiв ланцюжок векторiв ϕi(t), i = 1, n− 1, матрицi A0(t) вiдносно
B(t), якi визначаються за формулами
ϕi(t) = [H(t)B(t)]i−1ϕ(t), i = 1, n− 1,
де H(t) — напiвобернена матриця до матрицi A0(t) − λ0B(t), а ϕ(t) — власний вектор
в’язки L(t, λ). Нульовому власному значенню матрицi B(t) вiдповiдає лише один власний
вектор, який позначимо через ϕ̃(t).
Позначимо через ψ(t) та ψ̃(t) нулi матриць (A0(t) − λ0(t)B(t))∗ та B∗(t) вiдповiдно i
визначимо їх так, щоб виконувалися спiввiдношення
(B(HB)i−1ϕ,ψ) = δi,n−1, i = 1, n− 1, (A0ϕ̃, ψ̃) = 1,
де δi,j — символ Кронекера.
2. Асимптотика розв’язку лiнiйної однорiдної системи диференцiальних рiвнянь. Згiд-
но з теорiєю асимптотичного iнтегрування вироджених лiнiйних систем диференцiаль-
них рiвнянь, розробленою в [3], асимптотичнi розвинення лiнiйно незалежних розв’язкiв
однорiдної системи
εB(t)
dx
dt
= A(t, ε)x, (2.1)
що вiдповiдають скiнченному елементарному дiльнику, можна побудувати у виглядi
x(t, ε) = u(t, ε) exp
ε−1 t∫
0
(λ0(τ) + λ(τ, ε))dτ
, (2.2)
де u(t, ε) — n-вимiрна вектор-функцiя, λ(t, ε) — скалярна функцiя, якi зображуються фор-
мальними розвиненнями за дробовими степенями малого параметра. При цьому, як пока-
зано у [3], функцiя λ(t, ε) повинна задовольняти рiвняння розгалуження
λn−1 +
∞∑
s=1
εsL0s +
∞∑
k=1
∞∑
s=1
εsLks[λ
k] = 0, (2.3)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
166 М. Б. ВIРА
коефiцiєнти якого виражаються формулами
L0s =
s∑
j=1
(−1)j(P sj (HΓ)ϕ,ψ), s = 1, 2, . . . ,
Lks[λ
k] =
s∑
i=0
s−i∑
j=0
(−1)jDi[λk](P s−ii+k,j(HB,HΓ)ϕ,ψ), k, s = 1, 2, . . . .
Вiдповiдний вектор u(t, ε) зображується у виглядi
u(t, ε) = ϕ+
∞∑
s=1
εsHL̃0sϕ+
∞∑
k=1
∞∑
s=0
εsHL̃ks[λ
k]ϕ, (2.4)
де
L̃0s =
s∑
j=1
(−1)jP sj (HΓ), s = 1, 2, . . . ,
(2.5)
L̃ks[λ
k] =
s∑
i=0
s−i∑
j=0
(−1)jDi[λk]P s−ii+k,j(HB,HΓ), k = 1, 2, . . . , s = 0, 1, . . . .
Символом Pms,k(HB,HΓ) тут позначено суму всеможливих „добуткiв” s множникiв
матрицьHB i k операторiвHΓj1 , HΓj2 , . . . ,HΓjk з натуральними iндексами, сума яких j1+
+j2+jk = m, де Γk = Ak(t)−δk,1B(t)
d
dt
, k = 1, 2, . . . .При цьому перший множникH у всiх
доданках цього виразу „вiдбирається”. СимволомDi[λk] позначають диференцiальний ви-
раз, що є сумою всеможливих добуткiв k „множникiв” λ та i „множникiв” D =
d
dt
. При
цьому оператор D дiє на весь вираз, який мiститься праворуч вiд нього, наприклад,
D2[λ2] = D2λ2 +DλDλ+ λD2λ = 3(λ′)2 + 4λλ′′.
Доведено, що за вiдсутностi точок повороту рiвняння розгалуження (2.3) завжди має n−1
розв’язок λi(t, ε), якi можна знайти у виглядi формальних розвинень за дробовими степе-
нями малого параметра, показники яких залежать вiд поведiнки коефiцiєнтiв Lks[λ
k] i
визначаються за допомогою дiаграм Ньютона.
Як i в роботi [5], припустимо, що виконується умова
7◦) L01 = −(Γ1ϕ,ψ) = −(A1ϕ,ψ) + (Bϕ′, ψ) 6= 0 ∀t ∈ [t1; tp].
Тодi вiдповiднi розвинення для функцiй λi(t, ε) можна побудувати за степенями µ = ε
1
n−1 :
λj(t, ε) =
∞∑
k=1
µkλ
(j)
k (t), j = 1, n− 1, (2.6)
причому перший коефiцiєнт задовольняє визначальне рiвняння
(λ
(j)
1 (t))n−1 + L01 = 0. (2.7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ПРО ПОБУДОВУ АСИМПТОТИКИ РОЗВ’ЯЗКУ БАГАТОТОЧКОВОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 167
Звiдси отримуємо
λ
(j)
1 (t) = n−1
√
|(Γ1ϕ,ψ)| exp
(
i
arg(Γ1ϕ,ψ) + 2π(j − 1)
n− 1
)
, j = 1, n− 1.
Пiдставляючи ряд (2.6) у рiвняння розгалуження (2.3), дiстаємо
∞∑
k=n−1
µkP kn−1(λ
(i)) +
∞∑
k=n−1
µkL0, k
n−1
+
∞∑
k=n
[ k−1
n−1
]∑
s=1
k−s(n−1)∑
j=1
µkLjs[P
k−s(n−1)
j (λ(i))] = 0, (2.8)
де L0, k
n−1
= 0, якщо число k не дiлиться на n − 1. Прирiвнюючи в (2.8) вирази при одна-
кових степенях µ, отримуємо нескiнченну систему рiвнянь
P kn−1(λ
(i)) + L0, k
n−1
+
[ k−1
n−1
]∑
s=1
k−s(n−1)∑
j=1
Ljs[P
k−s(n−1)
j (λ(i))] = 0, k = n− 1, n, . . . . (2.9)
Перше рiвняння цiєї системи (при k = n − 1) збiгається iз визначальним рiвнянням
(2.7). Покладаючи в ньому n+ k − 1 замiсть k i беручи до уваги, що
Pn+k−1n−1 (λ(i)) = (n− 1)(λ
(i)
1 )nλ
(i)
k+1 + P̃n+k−1n−1 (λ(i)),
де P̃n+k−1n−1 (λ(i)) — частина виразу Pn+k−1n−1 (λ(i)), яка мiстить тiльки тi λ(i)j , iндекси яких
j < k + 1, а третiй доданок у (2.9) не мiстить λ(i)j , iндекси яких перевищують k, маємо
таку рекурентну формулу для визначення коефiцiєнтiв розвинення (2.6):
λ
(i)
k+1(t) = − 1
(n− 1)(λ
((i))
1 )n
(
P̃n+k−1n−1 (λ(i)) + L0,n+k−1
n−1
+
[n+k−2
n−1
]∑
s=1
×
×
n+k−s(n−1)−1∑
j=1
Ljs[P
n+k−s(n−1)−1
j (λ(i))]
)
. (2.10)
Щоб одержати вiдповiднi розвинення для векторiв ui(t, ε), пiдставимо (2.6) у (2.3). Пере-
групувавши доданки, дiстанемо розвинення
ui(t, ε) = ϕ(t) +
∞∑
k=1
µku
(i)
k (t), i = 1, n− 1,
коефiцiєнти яких визначаються формулами
u
(i)
k (t) =
[ k−1
n−1
]∑
s=0
k−s(n−1)∑
j=1
HL̃js[P
k−s(n−1)
j (λ(i))]ϕ+
+HL̃0, k
n−1
ϕ, k = 1, 2, . . . , i = 1, n− 1. (2.11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
168 М. Б. ВIРА
3. Побудова частинного розв’язку неоднорiдної системи. Як показано у [3], частинний
розв’язок неоднорiдної системи (1.1) можна побудувати у виглядi
x(t, ε) = ṽ(t, ε), (3.1)
де v(t, ε) — n-вимiрний вектор, який зображується формальним розвиненням
ṽ(t, ε) =
∞∑
k=0
εkṽk(t). (3.2)
Для визначення коефiцiєнтiв ṽk(t) пiдставимо ряд (3.2) у систему (1.1) i, прирiвнявши ви-
рази при однакових степенях ε, дiстанемо рiвняння
A0(t)ṽ0(t) = −f0(t),
A0(t)ṽk(t) = B(t)ṽ′k−1(t)−
k∑
i=1
Ai(t)ṽk−i(t)− fk(t), k = 1, 2, . . . .
Звiдси, завдяки виконанню умови 5◦, однозначно визначаються вектори ṽ0(t), ṽk(t):
ṽ0(t) = −A−10 (t)f0(t), (3.3)
ṽk(t) = A−10 (t)
[
B(t)ṽ′k−1(t)−
k∑
i=1
Ai(t)ṽk−i(t)− fk(t)
]
, k = 1, 2, . . . . (3.4)
4. Побудова формального розв’язку крайової задачi. Перейдемо до побудови розв’яз-
ку крайової задачi (1.1), (1.2). Припустимо, що виконується умова
8◦) Reλ0(t) < 0 ∀t ∈ [t1; tp].
Тодi розв’язок крайової задачi (1.1), (1.2) будемо будувати у виглядi
x(t, ε) = µ−(n−2)
n−1∑
i=1
ui(t, µ)ci(ε) exp
ε−1 t∫
t1
λi(τ, µ)dτ
+ ṽ(t, ε), (4.1)
де ci(ε), i = 1, n− 1, — скалярнi множники, якi розкладаються у формальнi степеневi
ряди
ci(ε) =
∞∑
k=0
µkc
(i)
k , i = 1, n− 1,
коефiцiєнти яких c(i)k , k = 0, 1, . . . , пiдлягають визначенню iз крайової умови (1.2).
Пiдставивши вектор (4.1) у крайову умову (1.2), дiстанемо
M1
n−1∑
j=1
uj(t1, µ)cj(ε) +
p∑
i=2
n−1∑
j=1
Miuj(ti, µ)cj(ε)×
× exp
ε−1 ti∫
t1
λj(τ, µ)dτ
= µn−2(d(ε)−
p∑
i=1
Miṽ(ti, ε)).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ПРО ПОБУДОВУ АСИМПТОТИКИ РОЗВ’ЯЗКУ БАГАТОТОЧКОВОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 169
Беручи до уваги умову 8◦, можемо стверджувати, що доданки, якi мiстять експоненти,
є експоненцiально малими. Знехтувавши ними, будемо розглядати рiвняння
n−1∑
j=1
M1uj(t1, µ)cj(ε) = µn−2(d(ε)−
p∑
i=1
Miṽ(ti, ε)).
Прирiвнявши в ньому коефiцiєнти при однакових степенях µ, дiстанемо систему рiвнянь
n−1∑
i=1
k∑
j=0
M1u
(j)
i (t1)c
(j)
k−i = d k−n+2
n−1
−
p∑
i=1
Miṽ k−n+2
n−1
(ti), (4.2)
де вектори d k−n+2
n−1
та ṽ k−n+2
n−1
дорiвнюють 0, якщо k − n + 2 не дiлиться на n − 1 або
k − n+ 2
n− 1
< 0.
Розглянемо рiвняння (4.2) при k < n− 2:
n−1∑
j=1
k∑
i=0
M1u
(j)
i (t1)c
(j)
k−i = 0. (4.3)
Оскiльки u(i)j (t) =
∑j
s=1 P
j
s (λ(i))(HB)sϕ при j < n − 2, останнi рiвняння набирають
вигляду
n−1∑
i=1
k∑
s=0
k−s∑
j=0
P k−js (λ(i)(t1))c
(i)
j M1(H(t1)B(t1))
sϕ(t1) = 0, k = 0, n− 3. (4.4)
Припустимо, що виконується умова
9◦) detM1U0 6= 0, де
U0 = [ϕ(t1), H(t1)B(t1)ϕ(t1), . . . , (H(t1)B(t1))
n−2ϕ(t1)].
Тодi, враховуючи лiнiйну незалежнiсть векторiв M1(H(t1)B(t1))
iϕ(t1), i = 0, n− 3, отри-
муємо систему рiвнянь
n−1∑
i=1
k−s∑
j=0
P k−js (λ(i)(t1))c
(i)
j = 0, s = 0, k, k = 0, n− 3. (4.5)
Поклавши в (4.2) k = n− 2 i пiдставивши вiдповiднi вирази для коефiцiєнтiв u(i)k (t), дiста-
немо
n−1∑
i=1
n−2∑
j=0
j∑
s=0
P js (λ(i)(t1))c
(i)
n−2−jM1(H(t1)B(t1))
sϕ(t1) = d0 −
p∑
i=1
Miṽ0(ti). (4.6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
170 М. Б. ВIРА
Позначимо вектор у правiй частинi через ln−2 i розкладемо його за базисомM1(H(t1)×
×B(t1))
iϕ(t1), i = 0, n− 2:
ln−2 =
n−2∑
i=0
α
(n−2)
i M1(H(t1)B(t1))
iϕ(t1).
Враховуючи цей розклад i лiнiйну незалежнiсть векторiв, що утворюють матрицю M1U0,
iз рiвняння (4.6) знаходимо
n−1∑
i=1
n−s−2∑
j=0
Pn−j−2s (λ(i)(t1))c
(i)
j = α(n−2)
s , s = 0, n− 2. (4.7)
Взявши n−2 рiвняння iз системи (4.5) при s = k, k = 0, n− 3, i останнє рiвняння iз системи
(4.7) при s = n− 2, одержимо лiнiйну алгебраїчну систему
n−1∑
i=1
c
(i)
0 = 0,
n−1∑
i=1
λ
(i)
1 (t1)c
(i)
0 = 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
n−1∑
i=1
[λ
(i)
1 (t1)]
n−3c
(i)
0 = 0,
n−1∑
i=1
[λ
(i)
1 (t1)]
n−2c
(i)
0 = α
(n−2)
n−2 ,
яку можна записати у виглядi
Wc0 = m0,
де
W =
1 1 . . . 1
λ
(1)
1 (t1) λ
(2)
1 (t1) . . . λ
(n−1)
1 (t1)
· · · · · · · · · · · ·
(λ
(1)
1 (t1))
n−2 (λ
(2)
1 (t1))
n−2 . . . (λ
(n−1)
1 (t1))
n−2
,
c0 = col (c
(1)
0 , c
(2)
0 , . . . , c
(n−1)
0 ), m0 = col (0, . . . , 0, α
(n−2)
n−2 ). Визначник матрицi W є визнач-
ником Вандермонда i завдяки виконанню умови 7◦ не дорiвнює нулю. Тодi з останнього
рiвняння дiстанемо
c0 = W−1m0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ПРО ПОБУДОВУ АСИМПТОТИКИ РОЗВ’ЯЗКУ БАГАТОТОЧКОВОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 171
Розглянемо рiвняння (4.2) у загальному виглядi. Беручи до уваги формули коефiцiєн-
тiв u(i)k (t), маємо
n−1∑
i=1
k∑
j=0
j∑
s=0
M1H(ti)L̃s0[P
j
s (λ(i)(t1))]ϕ(t1)c
(i)
k−j = d k−n+2
n−1
−
p∑
i=1
Miṽ k−n+2
n−1
(ti)−
−
n−1∑
i=1
k∑
j=0
M1HL̃0 j
n−1
ϕ(t1)c
(i)
k−j−
−
n−1∑
i=1
k∑
j=0
[ j−1
n−1
]∑
s=1
j−(n−1)s∑
r=1
M1HL̃rs[P
j−(n−1)s
r (λ(i)(t1))]c
(i)
k−jϕ(t1). (4.8)
Позначивши через lk вектор у правiй частинi цього рiвняння, розкладемо його за базисом
lk =
n−2∑
i=0
α
(k)
i M1(H(t1)B(t1))
iϕ(t1).
Врахувавши цей розклад i лiнiйну незалежнiсть векторiв базиса, вiд рiвняння (4.8) пере-
йдемо до системи рiвнянь
n−1∑
i=1
k−s∑
j=0
P k−js (λ(i)(t1))c
(i)
j = α(k)
s , s = 0, k, k = 0, 1, . . . . (4.9)
Визначивши на попереднiх кроках рiвняння системи (4.9), що мiстять сталi c(i)0 , . . . , c
(i)
k−1,
i = 1, n− 1, отримаємо системи для визначення c(i)k , i = 1, n− 1:
n−1∑
i=1
c
(i)
k = α
(k)
0 ,
n−1∑
i=1
λ
(i)
1 (t1)c
(i)
k = α
(k+1)
1 −
n−1∑
i=1
k−1∑
j=0
P k+1−j
1 (λ(i)(t1))c
(i)
j ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n−1∑
i=1
[λ
(i)
1 (t1)]
n−2c
(i)
k = α
(k+n−2)
n−2 −
n−1∑
i=1
k−1∑
j=0
P k+n−2−jn−2 (λ(i)(t1))c
(i)
j .
Тодi цю систему можна записати у виглядi
Wck = mk,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
172 М. Б. ВIРА
де ck = col (c
(1)
k , c
(2)
k , . . . , c
(n−1)
k ), mk — вектор у правiй частинi одержаної системи. Звiдси
однозначно визначається вектор ck, k = 1, 2, . . .:
ck = W−1mk.
Визначення цих сталих i завершує побудову формального розв’язку крайової задачi (1.1),
(1.2).
5. Доведення асимптотичного характеру побудованого формального розв’язку. Пока-
жемо, що побудований формальний розв’язок має асимптотичний характер. Для цього
розглянемо m-те наближення
xm(t, ε) = µ−(n−2)
n−1∑
i=1
m∑
k=0
µk
k∑
j=0
c
(i)
j u
(i)
k−j
exp
ε−1 t∫
t1
λ(i)m (τ, ε)dτ
+
m∑
k=0
εkṽk(t), (5.1)
де
λ(i)m (t, ε) = λ0(t) +
m∑
k=1
µkλ
(i)
k (t).
Запишемо точний розв’язок крайової задачi (1.1), (1.2) у виглядi
x(t, ε) = xm(t, ε) + ym(t, ε),
де ym(t, ε) — вектор вiдхилу.
Виходячи iз способу побудови вектора xm(t, ε),можна переконатися, що вектор ym(t, ε)
є розв’язком крайової задачi
εB(t)
dym
dt
= A(t, ε)ym + µm−n+3a(t, ε), (5.2)
p∑
i=1
Miym(ti, ε) = µm−n+3b(ε), (5.3)
в якiй a(t, ε) — вектор-функцiя, рiвномiрно обмежена на [t1; tp] при ε → 0; b(ε) — деякий
обмежений n-вимiрний вектор.
Згiдно з [3], фундаментальна матриця однорiдної системи (2.1) виражається асимпто-
тичною формулою
X(t, µ) = [Um(t, ε) +O(µα)] exp
ε−1 t∫
t1
Λm(τ, ε)dτ
,
де α = m−n+3, Um(t, ε) =
∑m
k=0 µ
kUk(t), аUk(t), k = 0,m,— матрицi, що утворюються iз
векторiв-стовпцiв u(i)k (t), i = 1, n− 1, Λm(t, ε) = diag {λ(1)m (t, ε), . . . , λ
(n−1)
m (t, ε)}. Подiбну
структуру має i фундаментальна матриця спряженої системи
ε
d
dt
B∗(t)x = −A∗(t, ε)x :
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ПРО ПОБУДОВУ АСИМПТОТИКИ РОЗВ’ЯЗКУ БАГАТОТОЧКОВОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 173
Y (t, ε) = [Ûm(t, ε) +O(µα)] exp
−ε−1 t∫
t1
Λ?m(τ, ε)dτ
.
Тодi за формулою [3, с. 61] загальний розв’язок системи (5.2) запишемо у виглядi
ym(t, ε) = [Um(t, ε) +O(µα)] exp
ε−1 t∫
t1
Λm(τ, ε)dτ
c(ε)+
+
t∫
t1
[Um(t, ε) +O(εα)] exp
ε−1 t∫
τ
Λm(s, ε)ds
×
× [Û?m(τ, ε) +O(εα)]q(τ, ε)dτ − ϕ̃(t)[ψ̃∗(t)Lϕ̃(t)]−1ψ̃∗(t)q(t, ε), (5.4)
де q(t, ε) = µm−2n+4a(t, ε), L = A(t, ε)−εB(t)
d
dt
, c(ε) — довiльний (n−1)-вимiрний вектор.
Визначимо вектор c(ε) iз крайової умови (5.3) i пiдставимо його у вираз (5.4). Тодi
розв’язок крайової задачi (5.2), (5.3) запишемо у виглядi
ym(t, ε) = s(t, ε) + k(t, ε) +
tp∫
t1
G(t, τ, ε)q(τ, ε)dτ, (5.5)
де
s(t, ε) = µα[Um(t, ε) +O(µα)] exp
ε−1 t∫
t1
Λm(τ, ε)dτ
×
× ([M1Um(t1, ε)]
−1 +O(µα))b(ε),
k(t, ε) = [Um(t, ε) +O(µα)] exp
ε−1 t∫
t1
Λm(τ, ε)dτ
×
× ([M1Um(t1, ε)]
−1 +O(µα))
p∑
i=1
Miϕ̃(ti)[ψ̃
∗(ti)Lϕ̃(ti)]
−1ψ̃∗(ti)q(ti, ε)−
− ϕ̃(t)[ψ̃∗(t)Lϕ̃(t)]−1ψ̃∗(t)q(t, ε),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
174 М. Б. ВIРА
а матриця Грiна G(t, τ, ε) має вигляд
G(t, τ, ε) =
−(Um(t, ε) +O(µα)) exp
(
ε−1
∫ t
t1
Λm(τ, ε)dτ
)
×
×([M1Um(t1, ε)]
−1 +O(µα))
∑p
i=2 χ[t1;ti](τ)×
×(MiUm(ti, ε) +O(µα)) exp
(
ε−1
∫ ti
τ Λm(s, ε)ds
)
×
×(Û∗m(τ, ε) +O(µα)),
якщо t1 ≤ t < τ ≤ t2 ≤ . . . ≤ tp,
(Um(t, ε) +O(µα)) exp
(
ε−1
∫ t
τ Λm(s, ε)ds
)
×
×(Û∗m(τ, ε) +O(µα))− (Um(t, ε) +O(µα))×
× exp
(
ε−1
∫ t
t1
Λm(τ, ε)dτ
)
([M1Um(t1, ε)]
−1 +O(µα))×
×
∑p
i=2 χ[t1;ti](τ)(MiUm(ti, ε) +O(µα))×
× exp
(
ε−1
∫ ti
τ Λm(s, ε)ds
)
(Û∗m(τ, ε) +O(µα)),
якщо t1 ≤ τ ≤ t ≤ t2 ≤ . . . ≤ tp,
,
де χ[t1;ti](τ) — характеристична функцiя вiдрiзка [t1; ti],
χ[t1;ti](τ) =
1, якщо τ ∈ [t1; ti],
0, якщо τ 6∈ [t1; ti].
Оцiнивши вираз (5.5) за нормою, дiстанемо
‖ym(t, ε)‖ ≤ ‖s(t, ε)‖+
tp∫
t1
‖G(t, τ, ε)‖ ‖q(τ, ε)‖dτ + ‖k(t, ε)‖.
З неособливостi матрицi M1U0(t1) випливає iснування та обмеженiсть матрицi
[M1Um(t1, ε)]
−1 при досить малих ε > 0. Крiм того, матриця [M1Um(t, ε)] неособлива при
m ≥ n−2, а обернена до неї має полюс (n−2)-го порядку в точцi µ = 0, i її можна подати
у виглядi
[M1Um(t, ε)]−1 = µ−(n−2)R(t, ε),
де R(t, ε) — деяка матриця (n− 1)-го порядку, рiвномiрно обмежена на [t1; tp].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
ПРО ПОБУДОВУ АСИМПТОТИКИ РОЗВ’ЯЗКУ БАГАТОТОЧКОВОЇ КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI . . . 175
Враховуючи цей факт, а також умову 8◦, з якої випливає обмеженiсть експоненцi-
альних матриць, що входять у вираз (5.5), дiстанемо таку асимптотичну оцiнку вектора
вiдхилу ym(t, ε):
‖ym(t, ε)‖ ≤ µm−3n+6c,
де c — деяка стала, що не залежить вiд ε.
Пiдсумком наведених мiркувань є наступна теорема.
Теорема. Якщо гранична в’язка матриць A0(t) − λ0B(t) має на вiдрiзку [t1; tp] один
скiнченний елементарний дiльник кратностi n − 1 i один простий нескiнченний, Mi,
i = 1, p, — прямокутнi матрицi розмiрностi (n− 1)× n i виконуються умови 1◦ – 9◦, то
при досить малих ε iснує єдиний розв’язок крайової задачi (1.1), (1.2), що виражається
асимптотичною формулою
x(t, ε) = xm(t, ε) +O(µm−3n+6),
де вектор xm(t, ε) зображується у виглядi розвинення
xm(t, ε) = µ−(n−2)
m∑
k=0
n−1∑
i=1
µk
k∑
j=0
c
(i)
j u
(i)
k−j(t)
×
× exp
ε−1 t∫
t1
(
λ0(τ) +
m∑
k=1
µkλ
(i)
k (τ)
)
dτ
+
[ m
n−1
]∑
k=0
µk(n−1)ṽk(t),
а вектор-функцiї u(i)k (t), i = 1, n− 1, ṽ(t), скалярнi функцiї λ(i)k (t), i = 1, n− 1, коефiцiєн-
ти c(i)k , i = 1, n− 1, визначаються за описаним вище алгоритмом.
1. Каранджулов Л. И. Линейные краевые задачи для сингулярно возмущенных дифференциальных
систем // Докл. АН Украины. — 1996. — № 7. — С. 1 – 5.
2. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.:
Высш. шк., 1990.
3. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродження-
ми. — Київ: Вища шк., 2000.
4. Шкиль Н. И., Старун И. И., Яковец В. П. Асимптотическое интегрирование линейных систем обыкно-
венных дифференциальных уравнений. — Киев: Вища шк., 1989.
5. Вiра М. Б. Двоточкова крайова задача для виродженої сингулярно збуреної системи диференцiальних
рiвнянь у випадку кратного спектра головного оператора // Тр. Ин-та прикл. математики и механики
НАН Украины. — 2009. — 18. — С. 19 – 28.
6. Вiра М. Б. Про побудову асимптотичного розв’язку двоточкової крайової задачi для лiнiйної сингуляр-
но збуреної диференцiально-алгебраїчної системи // Динам. системы: межведом. науч. сб. — 2009. —
1(29), № 1. — С. 15 – 30.
Одержано 17.09.14,
пiсля доопрацювання — 08.11.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
|