Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою
Приведены достаточные условия существования слабого решения задачи Неймана для уравнения теплопроводности со случайным воздействием, описываемым с помощью интеграла по общей стохастической мере....
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177149 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою / М.Ф. Городній, Д.М. Полюля // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 192-199 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177149 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771492021-02-12T01:26:08Z Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою Городній, М.Ф. Полюля, Д.М. Приведены достаточные условия существования слабого решения задачи Неймана для уравнения теплопроводности со случайным воздействием, описываемым с помощью интеграла по общей стохастической мере. We find sufficient conditions for existence of a weak solution of the Neumann problem for the heat equation with stochastic action described by an integral and a general stochastic measure. 2015 Article Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою / М.Ф. Городній, Д.М. Полюля // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 192-199 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177149 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Приведены достаточные условия существования слабого решения задачи Неймана для уравнения теплопроводности со случайным воздействием, описываемым с помощью интеграла по общей стохастической мере. |
| format |
Article |
| author |
Городній, М.Ф. Полюля, Д.М. |
| spellingShingle |
Городній, М.Ф. Полюля, Д.М. Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою Нелінійні коливання |
| author_facet |
Городній, М.Ф. Полюля, Д.М. |
| author_sort |
Городній, М.Ф. |
| title |
Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| title_short |
Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| title_full |
Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| title_fullStr |
Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| title_full_unstemmed |
Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| title_sort |
існування розв’язку задачі неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177149 |
| citation_txt |
Існування розв’язку задачі Неймана для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою / М.Ф. Городній, Д.М. Полюля // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 2. — С. 192-199 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT gorodníjmf ísnuvannârozvâzkuzadačínejmanadlârívnânnâteploprovídnostíízzagalʹnoûstohastičnoûmíroû AT polûlâdm ísnuvannârozvâzkuzadačínejmanadlârívnânnâteploprovídnostíízzagalʹnoûstohastičnoûmíroû |
| first_indexed |
2025-07-15T15:10:41Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:10:41Z |
| _version_ |
1837726163800162304 |
| fulltext |
УДК 517.9
IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI НЕЙМАНА
ДЛЯ РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI
IЗ ЗАГАЛЬНОЮ СТОХАСТИЧНОЮ МIРОЮ
М. Ф. Городнiй, Д. М. Полюля
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64
We find sufficient conditions for existence of a weak solution of the Neumann problem for the heat equation
with stochastic action described by an integral and a general stochastic measure.
Приведены достаточные условия существования слабого решения задачи Неймана для урав-
нения теплопроводности со случайным воздействием, описываемым с помощью интеграла по
общей стохастической мере.
1. Вступ. У роботi [1] встановлено iснування слабкого розв’язку задачi Кошi для рiвнян-
ня теплопровiдностi з випадковим впливом, який описується за допомогою iнтеграла за
загальною стохастичною мiрою. Для випадку n просторових змiнних такий розв’язок ви-
значається як деякий узагальнений випадковий процес Vt, t > 0, такий, що при фiксова-
ному t > 0 Vt є узагальненою випадковою функцiєю, визначеною на просторi Шварца
S(Rn) швидкоспадних основних функцiй. Аналогiчний результат щодо iснування слаб-
кого розв’язку задачi Кошi для хвильового рiвняння з випадковим впливом отримано в
[1] для n = 1 i у [2] для n = 2, 3. Про застосування хвильових рiвнянь iз стохастичними
мiрами див. [1, 3, 4] та наведенi там посилання.
Мета цiєї статтi — довести твердження про iснування слабкого розв’язку задачi Ней-
мана для рiвняння теплопровiдностi з таким випадковим впливом.
2. Необхiднi теоретичнi вiдомостi. Позначимо через L0 множину всiх випадкових ве-
личин, якi заданi на повному ймовiрнiсному просторi (Ω, F,P) i розглядаються з точнi-
стю до P -еквiвалентностi; збiжнiсть в L0 — це збiжнiсть за ймовiрнiстю. Нехай D(Rm) —
простiр дiйсних основних функцiй з компактним носiєм (див., наприклад, [5, c. 85]).
Означення 1. Узагальненою випадковою функцiєю (у.в.ф.) називається лiнiйне непе-
рервне вiдображення ξ : D(Rm) → L0.
Набiр усiх у.в.ф. позначатимемо через D′r(Rm). Дiї з у.в.ф. визначаються, як i для зви-
чайних узагальнених функцiй (див., наприклад, [5], § 5, 6).
Нехай B(Rm) — σ-алгебра борелевих множин простору Rm.
Означення 2. Стохастичною мiрою називається σ-адитивне вiдображення
µ : B(Rm) → L0.
У монографiї [6] визначено
∫
A
fdµ, в якому A ∈ B(Rm), f — дiйсна вимiрна (за Бо-
релем) функцiя, та дослiджено його властивостi. Зокрема, кожна вимiрна й обмежена
c© М. Ф. Городнiй, Д. М. Полюля, 2015
192 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI НЕЙМАНА . . . 193
на A функцiя є iнтегровною по множинi A за загальною стохастичною мiрою, а також
виконуються потрiбнi для подальшого викладу твердження.
Теорема 1 (аналог теореми Лебега (див. наслiдок 1.2 [6])). Нехай функцiї g, fn, n ≥ 1,
iнтегровнi по множинi A за загальною стохастичною мiрою µ, а також виконуються
такi умови:
1) ∀n ≥ 1 ∀x ∈ A : |fn(x)| ≤ g(x);
2) fn → f поточково на A.
Тодi f є iнтегровною по множинi A за загальною стохастичною мiрою µ i
P− lim
n→∞
∫
A
fndµ =
∫
A
f dµ.
Теорема 2 (про диференцiювання iнтеграла за загальною стохастичною мiрою по па-
раметру (див. лему 5 [1])). Нехай функцiя h : Rm × (a, b) → R задовольняє такi умови:
1) для кожного фiксованого t ∈ (a; b) функцiя h(·, t) є iнтегровною по множинi Rm за
загальною стохастичною мiрою λ;
2) для кожного фiксованого x ∈ Rm iснує
∂h(x, ·)
∂t
на (a; b);
3) iснує така iнтегровна по множинi Rm за загальною стохастичною мiрою λ функ-
цiя g, що
∀(x, t) ∈ Rm × (a, b) :
∣∣∣∣∂h(x, t)
∂t
∣∣∣∣ ≤ g(x).
Тодi для випадкового процесу η(t) =
∫
Rm
h(x, t)dλ(x), t ∈ (a, b), iснує похiдна в кожнiй
точцi iнтервалу (a, b), причому
dη(t)
dt
=
∫
Rm
∂h(x, t)
∂t
dλ(x), t ∈ (a, b).
Тут i далi похiдна вiд випадкового процесу розглядається у сенсi збiжностi за ймовiр-
нiстю.
Зазначимо, що узагальнена стохастична мiра µ i вимiрна обмежена на Rm функцiя f
визначають у.в.ф. fµ̇ за правилом
(fµ̇, ϕ) =
∫
Rm
f(x)ϕ(x)dµ(x), ϕ ∈ D(Rm).
3. Формулювання основного результату. Зафiксуємо натуральне число n ≥ 2. Якщо
x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, то |x| = (x21 + . . .+ x2n)1/2, x′ = (x1, . . . , xn−1), а отже, x = (x′, xn),
Rn+ = {x ∈ Rn | xn > 0}, (x, t) = (x′, xn, t), i при цьому t iнтерпретується як часова,
а x1, . . . , xn — як просторовi координати; символом 4x =
∂2
∂x21
+ . . . +
∂2
∂x2n
позначаємо
оператор Лапласа, A — замикання множини A.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
194 М. Ф. ГОРОДНIЙ, Д. М. ПОЛЮЛЯ
Нехай µk, k = 1, 2, 3, — стохастичнi мiри на B(Rn). Розглянемо задачу Неймана для
рiвняння теплопровiдностi
∂Vt,xn
∂t
= a24xVt,xn + fµ̇1, t > 0, xn > 0, (1)
Vt,xn
∣∣
t=0
= gµ̇2, xn > 0, (2)
∂Vt,xn
∂xn
∣∣∣∣
xn=0
= hµ̇3, t > 0, (3)
вiдносно невiдомого узагальненого випадкового вiдображення Vt,xn , t > 0, xn > 0, що
набуває значень у D′r(Rn−1). Тут f(x′, t), g(x′), h(x′, t) — вимiрнi, обмеженi, фiнiтнi, дiйснi
функцiї, визначенi вiдповiдно на множинах Rn−1× (0,∞), Rn−1 та Rn−1× (0,∞) i такi, що
функцiя
∂h
∂t
є визначеною й обмеженою на Rn−1 × (0,∞).
Покладемо
G1(t, x) = − 2a2
(2a
√
πt)n
exp
{
− |x|
2
4a2t
}
, t > 0, x ∈ Rn,
G0(t, x, ξ) = (2a
√
πt)−n exp
{
−|x
′ − ξ′|2
4a2t
}(
exp
{
−(xn − ξn)2
4a2t
}
+
+ exp
{
−(xn + ξn)2
4a2t
})
, t > 0, x ∈ Rn, ξ ∈ Rn.
Означення 3. Вiдображення Vt,xn , t > 0, xn > 0, називається розв’язком задачi Ней-
мана (1) – (3), якщо для кожної ϕ ∈ D(Rn−1) виконуються такi умови:
a1) для довiльних t > 0, xn > 0
∂(Vt,xn , ϕ)
∂t
= a2
(
(Vt,xn ,4x′ϕ) +
∂2(Vt,xn , ϕ)
∂x2n
)
+
∫
Rn−1
f(x′, t)ϕ(x′)dµ1(x
′);
a2) для довiльного xn > 0
P− lim
t→0+
(Vt,xn , ϕ) =
∫
Rn−1
g(x′)ϕ(x′)dµ2(x
′);
a3) для довiльного t > 0
P− lim
xn→0+
∂(Vt,xn , ϕ)
∂xn
=
∫
Rn−1
h(x′, t)ϕ(x′)dµ3(x
′).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI НЕЙМАНА . . . 195
Покладемо при ϕ ∈ D(Rn−1), x = (x′, xn) ∈ Rn+, t > 0
r1(x
′, xn, t, ϕ) =
t∫
0
dτ
∫
Rn
+
G0(t− τ, x, ξ)f(x′, τ)ϕ(ξ′)dξ,
r2(x
′, xn, t, ϕ) =
∫
Rn
+
G0(t, x, ξ)g(x′)ϕ(ξ′)dξ,
r3(x
′, xn, t, ϕ) =
t∫
0
dτ
∫
Rn−1
G1(t− τ, x− ξ′)h(x′, τ)ϕ(ξ′)dξ′
i при k = 1, 2, 3 визначимо узагальнене випадкове вiдображення Vt,xn,k, t > 0, xn > 0, за
правилом
(Vt,xn,k, ϕ) =
∫
Rn−1
rk(x
′, xn, t, ϕ)dµk(x
′), ϕ ∈ D(Rn−1).
Основним результатом цiєї статтi є наступна теорема.
Теорема 3. Вiдображення
(Vt,xn , ϕ) =
3∑
k=1
(Vt,xn,k, ϕ), ϕ ∈ D(Rn−1),
є розв’язком задачi Неймана (1) – (3).
4. Доведення теореми 3. Спочатку перевiримо, що вiдображення Vt,xn,1, t > 0, xn > 0,
є розв’язком задачi Неймана
∂Wt,xn
∂t
= a24x′Wt,xn + fµ̇1, t > 0, xn > 0, (4)
Wt,xn
∣∣
t=0
= 0, xn > 0, (5)
∂Wt,xn
∂xn
∣∣∣∣
xn=0
= 0, t > 0. (6)
Зафiксуємо ϕ ∈ D(Rn−1) i при кожному фiксованому x = (x′, xn) ∈ Rn+ розглянемо
задачу Неймана для класичного рiвняння теплопровiдностi
∂r(y, t)
∂t
= a24yr(y, t) + f(x′, t)ϕ(y′), (y, t) = (y′, yn, t) ∈ Rn+ × (0,∞), (7)
r(y, t)
∣∣
t=0
= 0, y ∈ Rn+, (8)
∂r(y, t)
∂yn
∣∣∣∣
yn=0
= 0, y′ ∈ Rn−1, t > 0. (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
196 М. Ф. ГОРОДНIЙ, Д. М. ПОЛЮЛЯ
Оскiльки f фiнiтна по t i ϕ належить D(Rn−1), то задача Неймана (7) – (9) має класич-
ний розв’язок rx(y, t) (див., наприклад, [7, с. 67]), що належить простору Гельдера C2+α×
×(Rn+ × (0,∞),R) i зображується у виглядi
rx(y, t) =
t∫
0
dτ
∫
Rn
+
G0(t− τ, y, ξ)f(x′, τ)ϕ(ξ′)dξ, (y, t) ∈ Rn+ × (0,∞).
Використавши явний вигляд G0, можна переконатися, що
rx(y, t) =
(
1√
π
)n−1 t∫
0
dτ
∫
Rn−1
e−|η
′|2f(x′, τ)ϕ(y′ + 2aη′
√
t− τ)dη′, (10)
(y, t) ∈ Rn+ × (0,∞).
Тому, поклавши в (10) y = x i застосувавши теорему про диференцiювання iнтеграла вiд
числової функцiї по параметру, для кожної (x, t) ∈ Rn+ × (0,∞) матимемо
r1(x
′, xn, t, ϕ) = rx(x, t), (11)
∂r1(x
′, xn, t, ϕ)
∂t
=
∂rx(y, t)
∂t
∣∣∣∣
y=x
= a24yrx(y, t)
∣∣
y=x
+f(x′, t)ϕ(x′) =
= a2
(
1√
π
)n−1 t∫
0
dτ
∫
Rn−1
e−|η
′|2f(x′, τ)(ϕ′′11(x
′ + 2aη′
√
t− τ) + . . .
. . .+ ϕ′′n−1n−1(x
′ + 2aη′
√
t− τ))dη′ = a2r1(x
′, xn, t,4x′ϕ) + f(x′, t)ϕ(x′).
(12)
Iз (10), (11) випливає, що при фiксованих t > 0, xn > 0, ϕ ∈ D(Rn−1) функцiя
r1(x
′, xn, t, ϕ) є вимiрною за змiнною x′, а також
sup
x′∈Rn−1
|r1(x′, xn, t, ϕ)| ≤ t‖f‖∞‖ϕ‖∞.
Тут i в подальшому ‖ · ‖∞ позначає sup-норму для обмеженої на своїй областi визначення
числової функцiї. Враховуючи також лiнiйнiсть r1(x′, xn, t, ϕ) по ϕ ∈ D(Rn−1) i теорему 1,
робимо висновок, що Vt,xn,1 ∈ D′r(Rn−1) для довiльних t > 0, xn > 0.
Внаслiдок (12) при фiксованих b > 0, ϕ ∈ D(Rn−1)
sup
t∈(0,b), x∈Rn
+
∣∣∣∣∂r1(x′, xn, t, ϕ)
∂t
∣∣∣∣ ≤ b‖f‖∞‖4x′ϕ‖∞ + ‖f‖∞‖ϕ‖∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI НЕЙМАНА . . . 197
Тому до
∫
Rn−1
r1(x
′, xn, t, ϕ)dµ1(x
′) можна застосувати теорему 2, а отже, з урахуванням
(12) при фiксованих t > 0, xn > 0 матимемо
∂(Vt,xn,1, ϕ)
∂t
=
∫
Rn−1
∂r1(x
′, xn, t, ϕ)
∂t
dµ1(x
′) =
= a2
∫
Rn−1
r1(x
′, xn, t,4x′ϕ)dµ1(x
′) +
∫
Rn−1
f(x′, t)ϕ(x′)dµ1(x
′) =
= a2(Vt,xn ,4x′ϕ) +
∫
Rn−1
f(x′, t)ϕ(x′)dµ1(x
′). (13)
Iз фiнiтностi f за змiнною t на (0,∞) випливає, що
∃t0 > 0 ∀t ∈ (0, t0] ∀(x′, xn) ∈ Rn+ ∀ϕ ∈ D(Rn−1) : r1(x
′, xn, t, ϕ) = 0.
Тому при фiксованих xn > 0, ϕ ∈ D(Rn−1)
P− lim
t→0+
(Vt,xn,1, ϕ) = 0. (14)
Також внаслiдок (10), (11) при фiксованих t > 0, ϕ ∈ D(Rn−1) випадковий процес η(xn) :=
:= (Vt,xn,1, ϕ), xn > 0, не залежить вiд xn. Тому
P− lim
xn→0+
∂(Vt,xn,1, ϕ)
∂xn
= 0,
∂2(Vt,xn,1, ϕ)
∂x2n
= 0, xn > 0. (15)
Згiдно з (13) – (15) вiдображення Vt,xn,1 є розв’язком задачi Неймана (4) – (6).
Мiркуючи аналогiчно, можна встановити, що вiдображення Vt,xn,2, t > 0, xn > 0, є
розв’язком задачi Неймана
∂Wt,xn
∂t
= a24x′Wt,xn , t > 0, xn > 0, (16)
Wt,xn
∣∣
t=0
= gµ̇2, xn > 0, (17)
∂Wt,xn
∂xn
∣∣∣∣
xn=0
= 0, t > 0. (18)
Доведемо тепер, що узагальнене випадкове вiдображення Vt,xn,3, t > 0, xn > 0, є
розв’язком задачi Неймана
∂Wt,xn
∂t
= a24x′Wt,xn , t > 0, xn > 0, (19)
Wt,xn
∣∣
t=0
= 0, xn > 0, (20)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
198 М. Ф. ГОРОДНIЙ, Д. М. ПОЛЮЛЯ
∂Wt,xn
∂xn
∣∣∣∣
xn=0
= hµ̇3, t > 0. (21)
Для цього зауважимо, що при фiксованих x = (x′, xn) ∈ Rn+, ϕ ∈ D(Rn−1) задача Нейма-
на для класичного рiвняння теплопровiдностi
∂w(y, t)
∂t
= a24yw(y, t), (y, t) ∈ Rn+ × (0,∞), (22)
w(y, t)
∣∣
t=0
= 0, y ∈ Rn+, (23)
∂w(y, t)
∂yn
∣∣∣∣
yn=0
= h(x′, t)ϕ(y′), y′ ∈ Rn−1, t > 0, (24)
має єдиний розв’язок wx(y, t) у просторi Гельдера C2+α(Rn+ × (0,∞),R), i цей розв’язок
записується у виглядi
wx(y, t) =
t∫
0
dτ
∫
Rn−1
G1(t− τ, y − ξ′)h(x′, τ)ϕ(ξ′)dξ′ =
=
(
1√
π
)n−1 t∫
0
dτ
∫
Rn−1
e−|η
′|2v(t− τ, yn)h(x′, τ)ϕ(y′ + 2aη′
√
t− τ)dη′,
(y, t) ∈ Rn+ × (0,∞),
де v(t, yn) = − a√
πt
exp
(
− y2n
4a2t
)
, t > 0, yn ∈ R. Тому аналогiчно до (12)
4ywx(y, t) =
(
1√
π
)n−1 t∫
0
dτ
∫
Rn−1
e−|η
′|2v(t− τ, yn)h(x′, τ)(ϕ′′11(y
′ + 2aη′
√
t− τ) + . . .
. . .+ ϕ′′n−1n−1(y
′ + 2aη′
√
t− τ))dη′+
+
(
1√
π
)n−1 t∫
0
dτ
∫
Rn−1
e−|η
′|2 ∂
2v(t− τ, yn)
∂y2n
h(x′, τ)ϕ(y′ + 2aη′
√
t− τ) dη′,
i при y = x дiстанемо
∂r3(x
′, xn, t, ϕ)
∂t
= a2r3(x
′, xn, t,4x′ϕ)+
+ a2
t∫
0
dτ
∫
Rn−1
∂2G1(t− τ, x− ξ′)
∂x2n
h(x′, τ)ϕ(ξ′)dξ′. (25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI НЕЙМАНА . . . 199
Використавши теорему 2, можна переконатися, що для довiльних t > 0, xn > 0, ϕ ∈
∈ D(Rn−1) iснує
∂2(Vt,xn,3, ϕ)
∂x2n
=
∫
Rn−1
dµ3(x
′)
t∫
0
dτ
∫
Rn−1
∂2G1(t− τ, x− ξ′)
∂x2n
h(x′, τ)ϕ(ξ′)dξ′. (26)
З урахуванням (25), (26) той факт, що вiдображення Vt,xn,3, t > 0, xn > 0, задоволь-
няє умови a1), a2) з означення розв’язку задачi Неймана (19) – (21), перевiряється за до-
помогою мiркувань, подiбних до використаних для перевiрки рiвностей (13), (14). Для
перевiрки умови a3) досить зауважити, що для довiльних фiксованих x′ ∈ Rn−1, t > 0,
ϕ ∈ D(Rn−1)
∂r3(x
′, xn, t, ϕ)
∂xn
→ h(x′, t)ϕ(x′), xn → 0+,
i застосувати теорему 1.
Залишилось зауважити, що сума розв’язкiв задач (4) – (6), (16) – (18), (19) – (21) є розв’яз-
ком задачi Неймана (1) – (3).
Теорему 3 доведено.
1. Радченко В. Н. Уравнение теплопроводности и волновое уравнение с общими случайными мерами //
Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 12. — С. 1675 – 1685.
2. Радченко В., Городня Д. Iснування розв’язкiв задач Кошi для хвильових рiвнянь iз стохастичними мi-
рами // Вiсн. Київ. нац. ун-ту iм. Т. Шевченка. Математика. Механiка. — 2011. — 25. — С. 29 – 32.
3. Кляцкин В. И. Стохастические уравнения глазами физика. — М.: Физматлит, 2001. — 528 с.
4. Sturm A. On convergence of population prosesses in random enviroments to the stochastic heat equation
with colored noise // Electron. J. Probab. — 2003. — 8, № 6. — P. 1 – 39.
5. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1981. — 512 с.
6. Радченко В. Н. Интегралы по общим случайным мерам // Труды Ин-та математики НАН Украины,
1999. — 196 с.
7. Ивасишен С. Д. Линейные параболические граничные задачи. — Киев: Вища шк., 1987. — 72 с.
Одержано 25.09.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 2
|