О скорости сходимости суммы квадратов s-чисел интегрального оператора Гильберта - Шмидта
Gespeichert in:
| Datum: | 1999 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177160 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О скорости сходимости суммы квадратов s-чисел интегрального оператора Гильберта - Шмидта / Е.И. Радзиевская // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 384-390. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177160 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771602021-02-26T21:47:38Z О скорости сходимости суммы квадратов s-чисел интегрального оператора Гильберта - Шмидта Радзиевская, Е.И. 1999 Article О скорости сходимости суммы квадратов s-чисел интегрального оператора Гильберта - Шмидта / Е.И. Радзиевская // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 384-390. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177160 517.98+517.5 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| format |
Article |
| author |
Радзиевская, Е.И. |
| spellingShingle |
Радзиевская, Е.И. О скорости сходимости суммы квадратов s-чисел интегрального оператора Гильберта - Шмидта Нелінійні коливання |
| author_facet |
Радзиевская, Е.И. |
| author_sort |
Радзиевская, Е.И. |
| title |
О скорости сходимости суммы квадратов s-чисел интегрального оператора Гильберта - Шмидта |
| title_short |
О скорости сходимости суммы квадратов s-чисел интегрального оператора Гильберта - Шмидта |
| title_full |
О скорости сходимости суммы квадратов s-чисел интегрального оператора Гильберта - Шмидта |
| title_fullStr |
О скорости сходимости суммы квадратов s-чисел интегрального оператора Гильберта - Шмидта |
| title_full_unstemmed |
О скорости сходимости суммы квадратов s-чисел интегрального оператора Гильберта - Шмидта |
| title_sort |
о скорости сходимости суммы квадратов s-чисел интегрального оператора гильберта - шмидта |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177160 |
| citation_txt |
О скорости сходимости суммы квадратов s-чисел интегрального оператора Гильберта - Шмидта / Е.И. Радзиевская // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 384-390. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT radzievskaâei oskorostishodimostisummykvadratovsčiselintegralʹnogooperatoragilʹbertašmidta |
| first_indexed |
2025-07-15T15:11:30Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:11:30Z |
| _version_ |
1837726213946212352 |
| fulltext |
т. 2 •№ 3 • 1999
УДК 517 . 98+517 . 5
О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ СУММЫ КВАДРАТОВ S-ЧИСЕЛ
ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ГИЛЬБЕРТА ШМИДТА∗
Е.И. Радзиевская
Укр. ун-т пищ. технологий,
Украина, 252033, Киев, ул. Владимирская, 68
e-mail: radz@imath.kiev.ua
Let A be an integral operator of Hilbert Schmidt with kernel A(t, ξ) acting in the space L2(0, 1; Cm)
and let sk(A) its singular values. We establish, in particular, that for all r = m+ 1, m+ 2,... the estimate
∞∑
k=r
sk(A)2 ≤ 2ω1
(
m
r −m
,A
)2
(∗)
holds. Here ω1(δ,A) is the modulus of continuiti of the kernel A(t, ξ) given by the formulas
ω1(δ,A) := sup
0≤h≤δ
( 1∫
0
1−h∫
0
‖A(t+ h, ξ)−A(t, ξ)‖2dtdξ
)1/2
(∗∗)
if 0 ≤ δ ≤ 1 and ω1(δ,A) := ω1(1,A) if δ > 1. The Frobenius’s matrix norm ‖ · ‖ is contained in the
wright part of the formula (∗∗). From the estimate (∗) we have obtained both the estimates for every value
sr(A), r = m+ 1, m+ 2,..., and creterion of convergence of the series
∞∑
k=1
sk(A)p in terms of ω1(δ, A).
Нехай A iнтегральний оператор Гiльберта Шмiдта, що дiє у просторi L2(0, 1; Cm) з ядром
A(t, ξ), i sk(A) його сингулярнi числа. Встановлено, що для всiх r = m+1,m+2,... справедлива
оцiнка
∞∑
k=r
sk(A)2 ≤ 2ω1
(
m
r −m
,A
)2
, (∗)
де модуль неперервностi ядра A(t, ξ) задається рiвностями
ω1(δ,A) := sup
0≤h≤δ
( 1∫
0
1−h∫
0
‖A(t+ h, ξ)−A(t, ξ)‖2dtdξ
)1/2
, (∗∗)
якщо 0 ≤ δ ≤ 1, i ω1(δ,A) := ω1(1,A), якщо δ > 1. У формулi (∗∗) ‖ · ‖ матрична норма
Фробенiуса. З оцiнки (∗) у термiнах ω1(δ, A) отриманi як оцiнки кожного конкретного числа
sr(A), r = m+ 1, m+ 2,..., так i ознаки збiжностi ряду
∞∑
k=1
sk(A)p.
* Выполнена при финансовой поддержке Фонда фундаментальных исследований при Министерстве
науки Украины.
384 c© Е.И. Радзиевская, 1999
1. Формулировка основных результатов. Пусть m фиксированное натуральное чи-
сло, а C m m-мерное комплексное арифметическое евклидово пространство, состо-
ящее из вектор-столбцов f = {f1,...,fm} =: {fj}mj=1, где fj ∈ C, и с нормой ‖f‖C m =
=
(
m∑
j=1
|fj |2
)1/2
. Введем гильбертово пространство L2(0,1; C m), состоящее из всех m-
мерных вектор-функций f(t) = {f1(t),..., fm(t)} = {fj(t)}mj=1, 0 ≤ t ≤ 1, с измеримыми
координатами fj(t), для которых
‖f‖L2(0,1;Cm) =
( 1∫
0
‖f(t)‖2
Cmdt
)1/2
<∞.
Множество комплексных (m × m)-мерных матриц {aj,k}mj,k=1 обозначим через
C
m×m и зададим на нем евклидову норму Фробениуса равенством ‖{aj,k}mj,k=1‖C m×m =
=
(
m∑
j=1
m∑
k=1
|aj,k|2
)1/2
.
Далее определим пространство L2([0, 1]× [0, 1]; Cm×m), элементами которого являю-
тся матрицы-функцииA(t, ξ) = {aj,k(t, ξ)}mj,k=1 с измеримыми на квадрате [0, 1]× [0, 1] эле-
ментами aj,k (t, ξ) такими, что
‖A‖
L2([0,1]×[0,1];C m×m) =
( 1∫
0
1∫
0
‖A(t, ξ)‖2
C m×mdtdξ
)1/2
<∞.
Для каждого A ∈ L2([0, 1] × [0, 1];C m×m) определим оператор A, действующий в про-
странстве L2(0, 1; C m) по правилу
(Af)(t) =
1∫
0
A(t, ξ)f(ξ)dξ =:
{ 1∫
0
m∑
k=1
aj,k(t, ξ)fk(ξ)dξ
}m
j=1
. (1)
Матрица-функцияA(t, ξ) называется ядром оператора A. Известно, что равенство (1)
задает общий вид оператора Гильберта Шмидта, действующего в пространстве L2(0, 1;
C
m) , а величина ‖A‖
L2([0,1]×[0,1];C m×m) совпадает с нормой Гильберта Шмидта этого
оператора, т. е.
∞∑
k=1
sk(A)2 = ‖A‖2
L2([0,1]×[0,1];C m×m), (2)
где через sk(A) обозначены s-числа оператора A [1] (гл. III, § 9).
Равенствами
ω1(δ,A) := sup
0≤h≤δ
( 1∫
0
1−h∫
0
‖A(t+ h, ξ)−A(t, ξ)‖2
Cm×mdtdξ
)1/2
, (3)
ω2(δ,A) := sup
0≤h≤δ
( 1∫
0
1−h∫
0
‖A(t, ξ + h)−A(t, ξ)‖2
Cm×mdξdt
)1/2
, (4)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 385
где 0 ≤ δ ≤ 1, задаются модули непрерывности соответственно по первой и второй пере-
менной ядра A (t, ξ) и пусть ωj(δ, A) := ωj(1,A) при δ > 1 и j = 1 или j = 2.
Следующий модуль непрерывности ядраA (t, ξ) учитывает влияние как первой, так и
второй переменной:
Ω(δ,A) = min{ω1(δ,A), ω2(δ,A)}, δ ≥ 0. (5)
Основным результатом работы является следующая теорема.
Теорема. ПустьA ∈ L2([0, 1]× [0, 1]; Cm×m). Тогда для s-чисел оператора A, заданно-
го равенством (1), справедлива оценка
∞∑
k=r
sk(A)2 ≤ 2 Ω
(
m
r −m
,A
)2
, r = m+ 1,m+ 2, . . . . (6)
Приведем частные случаи этой теоремы.
Следствие 1. Пусть A ∈ L2([0, 1]× [0, 1]; Cm×m). Тогда для s-чисел оператора A, за-
данного равенством (1), справедлива оценка
sr(A) ≤
(
2(m+ 1)
mr −m2 + 1
)1/2
Ω
(
m
[[r/(m+ 1)]]
,A
)
, r = m+ 1,m+ 2, . . . .
Здесь и далее [[γ] целая часть положительного числа γ.
Доказательство. Для произвольного натурального числа r ≥ m + 1 выполнено нера-
венство
sr(A)2 ≤ m+ 1
mr −m2 + 1
r∑
k=m+[[r/(m+1)]]
sk(A)2. (7)
Действительно, число слагаемых в сумме, находящихся в правой части этого неравенства,
равно
r −m−
[[
r
m+ 1
]]
+ 1 ≥ mr −m2 + 1
m+ 1
,
а наименьшее слагаемое в ней sr(A)2, откуда и следует (7). Применяя последовательно
неравенства (7) и (6), заключаем, что
sr(A)2 ≤ m+ 1
mr −m2 + 1
∞∑
k=m+[[r/(m+1)]]
sk(A)2 ≤ 2
m+ 1
mr −m2 + 1
Ω
(
m
[[r/(m+ 1)]]
,A
)2
.
Из этих оценок вытекает утверждение следствия 1.
Следствие 2. Пусть A ∈ L2([0, 1]× [0, 1]; Cm) и при некотором p > 0
1∫
0
Ω(δ,A)p
δ2−p/2 dδ <∞. (8)
Тогда для s-чисел оператора A, заданного равенством (1), ряд
∞∑
k=1
sk (A)p сходится.
386 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
Доказательство. Из утверждения следствия 1 и обычных свойств модуля непрерывно-
сти заключаем, что найдется такая постоянная c m, для которой sr(A) ≤ c mr−1/2Ω(r−1,A)
при всех r = m+ 1, m+ 2,... . Отсюда выводим, что
∞∑
r=m+1
sr(A)p ≤ cpm
∞∑
r=m+1
1
rp/2
Ω
(
1
r
,A
)p
≤ cpm
∞∫
m
1
ξp/2
Ω
(
1
ξ
,A
)p
dξ.
Из этих оценок и условия (8) вытекает утверждение следствия 2.
Следствие 3. Пусть A ∈ L2([0, 1]× [0, 1]; Cm×m) и для некоторых фиксированных
c > 0 и α ∈ (0, 1] модуль непрерывности ядра A удовлетворяет оценке Ω(δ, A) ≤ c δα
при всех δ > 0. Тогда для s-чисел оператора A, заданного равенством (1), ряд
∞∑
k=1
sk(A)p
сходится при p > 2 (2α+ 1)−1.
Утверждение следствия 3 непосредственно вытекает из утверждения следствия 2 и
оно является уточнением одного результата Фредгольма [2]. Интересно отметить, что
вопрос о справедливости ослабленного варианта утверждения следствия 3 был поставлен
в [1] (гл. III, § 10, п. 3). Впоследствии положительный ответ на этот вопрос был дан,
например, в теореме 2 из работы [3] и в следствии к теореме 3.1 из работы [4] методами,
отличными от изложенного в настоящей работе.
2. Доказательство теоремы опирается на простое распространение леммы 3 работы
П.Л. Ульянова [5] на вектор-функции f со значением в банаховом пространстве B. А
именно, обозначим через Lp(0,1; B) банахово пространство сильно измеримых функций
f , определенных на отрезке [0, 1], для которых
‖f‖
Lp(0,1;B)
=
( 1∫
0
‖f(t)‖p
B
dt
)1/p
<∞,
1 ≤ p < ∞ (см., например, п. 3.5 и 3.8 в [6]). Определим модуль непрерывности вектор-
функции f ∈ Lp(0, 1; B) равенством
ω(δ, f)
Lp(0,1;B)
= sup
0≤h≤δ
( 1−h∫
0
‖f(t+ h)− f(t)‖p
B
dt
)1/p
, 0 ≤ δ ≤ 1.
В введенных обозначениях, полностью повторяя доказательство леммы 3 из работы
[5] с заменой в соответствующих местах модуля числа на норму вектора, получаем такое
утверждение.
Лемма. Пусть f ∈ Lp(0, 1; B), 1 ≤ p < ∞, а для натурального числа n функции ψn
определены равенствами
ψn(t) = n
(l+1)/n∫
l/n
f(τ)dτ, l/n ≤ t < (l + 1)/n, l = 0, . . . , n− 1.
Тогда
‖f − ψn‖Lp(0,1;B)
≤ 21/pω
(
1/n, f
)
Lp(0,1;B)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 387
Используя эту лемму, приведем теперь доказательство теоремы. Вначале покажем,
что
∞∑
k=r
sk(A)2 ≤ 2ω1
(
m
r −m
,A
)2
, r = m+ 1,m+ 2, . . . . (9)
Для произвольного натурального числа n определим матрицы-функции
Bl,n(ξ) = n
(l+1)/n∫
l/n
A(τ, ξ)dτ, l = 0, . . . , n− 1, 0 ≤ ξ ≤ 1. (10)
Очевидно, что Bl,n ∈ L2(0, 1;Cm×m), где через L2 (0, 1; Cm×m) обозначено гильбертово
пространство матриц-функций B(ξ) = {bj,k (ξ)}mj,k=1 с измеримыми на отрезке [0, 1] эле-
ментами bj,k(ξ) и с нормой
‖B‖L2(0,1;Cm×m) =
( 1∫
0
‖B(ξ)‖2
Cm×mdξ
)1/2
<∞.
Теперь по матрицам-функциям Bl,n зададим ядро
Bn(t, ξ) := Bl,n(ξ), l/n ≤ t < (l + 1)/n, l = 0, . . . , n− 1, 0 ≤ ξ ≤ 1, (11)
которое принадлежит L2([0, 1] × [0, 1];Cm×m), и рассмотрим это ядро, как вектор-
функцию, зависящую от t ∈ [0, 1] и принимающую свои значения по ξ (т.
е. при почти каждом фиксированном t из [0, 1]) в пространстве L2(0,1; Cm×m).
Отсюда, учитывая определение (3) модуля непрерывности ω1(δ, A) и вид (10),
(11) ядра Bn (t, ξ), на основании сформулированной леммы (в которой полагаем
p = 2, а банахово пространство B = L2(0,1; Cm×m), и значит, L2(0,1; B) =
= L2([0,1]× [0, 1]; Cm×m)) имеем
‖A − Bn‖L2([0,1]×[0,1];Cm×m) ≤ 21/2ω1
(
1
n
,A
)
. (12)
Обозначим через Bn интегральный оператор с ядром Bn (t, ξ), заданным равенствами
(10) и (11). Тогда в левой части неравенства (12) находится норма Гильберта Шмидта
оператора A−Bn, т. е., согласно равенству (2),
∞∑
k=1
sk(A−Bn)2 ≤ 2ω1
(
1
n
,A
)2
. (13)
ПустьB∗n сопряженный в пространствеL2(0, 1;Cm) оператор к операторуBn. Тогда
из равенств (10) и (11) следует, что ядром оператора B∗n является матрица-функция
Cn(t, ξ) = Bl,n(t)∗, 0 ≤ t ≤ 1, l/n ≤ ξ ≤ (l + 1)/n, l = 0, . . . , n− 1,
где через Bl,n(t)∗ обозначена матрица, получаемая из Bl,n(t) транспонированием с после-
дующей заменой элементов на комплексно-сопряженные. В этих обозначениях оператор
B∗n действует по правилу
(B∗nf)(t) =
1∫
0
Cn(t, ξ)f(ξ)dξ =
n−1∑
l=0
Bl,n(t)∗
(l+1)/n∫
l/n
f(ξ)dξ, f ∈ L2(0, 1;Cm).
388 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
Из этих равенств следует, что область значений оператора B∗n находится в линейной
оболочке столбцов матриц Bl,n(t)∗, l = 0, ..., n− 1. Но число столбцов у каждой матрицы
Bl,n (t)∗ равно m и поэтому размерность области значений оператора B∗n не превышает
mn. Иными словами, размерность оператораB∗n, а значит, и размерностьBn не превыша-
ет mn. Отсюда, согласно следствию 2.1 из книги [1] (гл. II, § 2, п. 3), вытекает оценка
sk+mn(A) ≤ sk(A− Bn), подставляя которую в левую часть неравенства (13), получаем
∞∑
k=1+mn
sk(A)2 ≤ 2ω1
(
1
n
,A
)2
, n = 1, 2, ... . (14)
Пусть теперь r произвольное натуральное число, больше или равное m + 1. Тогда
найдется такое натуральное число n1, для которого справедливы неравенства 1 +mn1 ≤
≤ r ≤mn1 +m. Полагая в (14) n = n1, выводим
∞∑
k=r
sk(A)2 ≤
∞∑
k=1+mn1
sk(A)2 ≤ 2ω1
(
1
n1
,A
)2
. (15)
Но так как r ≤ mn1 +m, то 1/n1 ≤ m/(r −m), а учитывая неубываемость модуля непре-
рывности ω1(δ, A) по δ, имеем ω1(1/n1, A) ≤ ω1(m/(r− m), A). Из этой оценки и оценки
(15) следует (9).
Выведем теперь из (9) утверждение (6). Действительно, пусть A∗(t, ξ) :=
:= A(ξ, t)∗. Тогда, согласно определениям (3) и (4) модулей непрерывности ω1(δ, A) и
ω2(δ, A), имеем ω1(δ, A∗) = ω2(δ, A), а поскольку сопряженный оператор к оператору A
действует по правилу
(A∗f)(t) =
1∫
0
A∗(t, ξ)f(ξ)dξ,
то для него оценка (9) запишется в виде
∞∑
k=r
sk(A∗) ≤ ω2
(
m
r −m
,A
)
, r = m+ 1,m+ 2, ... . (16)
Но [1] (гл. II, § 2, п. 2) sk(A) = sk(A∗), k = 1, 2,..., поэтому из (5), (9) и (16) следует утвер-
ждение (6) доказываемой теоремы.
Замечание. Оценить сумму
∞∑
k=r
sk (A)2 и индивидуальное s-число sr(A) непосредствен-
но через модуль непрерывности ядра Ω(δ,A) в случае r = 1,..., m, вообще говоря, нельзя.
Действительно, пусть ядро оператора равно Im, где Im единичная (m×m)-мерная мат-
рица. Тогда, как несложно видеть, у соответствующего этому ядру оператора Im первые
m сингулярных чисел равны 1, а остальные 0. Очевидно также, что Ω(δ, Im) = 0 для
всех δ ≥ 0. Поэтому для указанного здесь оператора оценить сверху
∞∑
k=r
sk (Im)2 =m+1−
−r и sr (Im) = 1 для r = 1,..., m через Ω(δ, Im) = 0 при всех δ ≥ 0 невозможно.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 389
1. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Нау-
ка, 1965. 448 с.
2. Fredholm I. Sur une classe d’équations fonctionnelles // Acta math. 1903. 27. P. 365 390.
3. Мирошин Н.В., Хромов В.В. Об одной задаче наилучшей аппроксимации функций многих перемен-
ных // Мат. заметки. 1982. 32, № 5. С. 721 726.
4. Темляков В.А. Билинейная аппроксимация и приложения // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1989. 187.
С. 191 215.
5. Ульянов П.Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями не-
прерывности) в разных метриках // Мат. сб. 1970. 81, №1. С. 104 131.
6. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Изд-во иност. лит., 1962. 830 с.
Получено 01.12.98
390 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
|