Симметрийная классификация одномерного уравнения Фоккера - Планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии

Вивчається симетрiя одновимiрних рiвнянь Фоккера - Планка для довiльних коефiцiєнтiв знесення та дифузiї. Доведено, що група симетрiї цих рiвнянь може бути одно-, дво-, чотири- чи шестипараметричною, i встановлено вiдповiднi критерiї. У випадку, коли рiвняння Фоккера - Планка допускають шести- i чот...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	1999
Автори:	Спичак, С.В., Стогний, В.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 1999
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177162
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Симметрийная классификация одномерного уравнения Фоккера - Планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии / С.В. Спичак, В.И. Стогний // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 401-413. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-177162
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1771622021-02-26T21:49:14Z Симметрийная классификация одномерного уравнения Фоккера - Планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии Спичак, С.В. Стогний, В.И. Вивчається симетрiя одновимiрних рiвнянь Фоккера - Планка для довiльних коефiцiєнтiв знесення та дифузiї. Доведено, що група симетрiї цих рiвнянь може бути одно-, дво-, чотири- чи шестипараметричною, i встановлено вiдповiднi критерiї. У випадку, коли рiвняння Фоккера - Планка допускають шести- i чотирипараметричну групи, отримано замiни змiнних, якi зводять цi рiвняння вiдповiдно до рiвняння теплопровiдностi i рiвняння Шредiнгера з певним потенцiалом. Symmetry properties of the one-dimentional Fokker - Planck equations with arbitrary coefficients of drift and diffusion are investigated. It is proved that the group symmetry of these equations can be one-, two-, four- or six-parametric and corresponding criteries are obtained. The changes of the variables reducing Fokker - Planck equations to the heat equation and Schrodinger one with certain potential are determined. 1999 Article Симметрийная классификация одномерного уравнения Фоккера - Планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии / С.В. Спичак, В.И. Стогний // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 401-413. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177162 517.44:519.46 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Вивчається симетрiя одновимiрних рiвнянь Фоккера - Планка для довiльних коефiцiєнтiв знесення та дифузiї. Доведено, що група симетрiї цих рiвнянь може бути одно-, дво-, чотири- чи шестипараметричною, i встановлено вiдповiднi критерiї. У випадку, коли рiвняння Фоккера - Планка допускають шести- i чотирипараметричну групи, отримано замiни змiнних, якi зводять цi рiвняння вiдповiдно до рiвняння теплопровiдностi i рiвняння Шредiнгера з певним потенцiалом.
format	Article
author	Спичак, С.В. Стогний, В.И.
spellingShingle	Спичак, С.В. Стогний, В.И. Симметрийная классификация одномерного уравнения Фоккера - Планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии Нелінійні коливання
author_facet	Спичак, С.В. Стогний, В.И.
author_sort	Спичак, С.В.
title	Симметрийная классификация одномерного уравнения Фоккера - Планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии
title_short	Симметрийная классификация одномерного уравнения Фоккера - Планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии
title_full	Симметрийная классификация одномерного уравнения Фоккера - Планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии
title_fullStr	Симметрийная классификация одномерного уравнения Фоккера - Планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии
title_full_unstemmed	Симметрийная классификация одномерного уравнения Фоккера - Планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии
title_sort	симметрийная классификация одномерного уравнения фоккера - планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	1999
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177162
citation_txt	Симметрийная классификация одномерного уравнения Фоккера - Планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии / С.В. Спичак, В.И. Стогний // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 401-413. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT spičaksv simmetrijnaâklassifikaciâodnomernogouravneniâfokkeraplankasproizvolʹnymikoéfficientamisnosaidiffuzii AT stognijvi simmetrijnaâklassifikaciâodnomernogouravneniâfokkeraplankasproizvolʹnymikoéfficientamisnosaidiffuzii
first_indexed	2025-07-15T15:11:38Z
last_indexed	2025-07-15T15:11:38Z
_version_	1837726223064629248
fulltext	т. 2 •№ 3 • 1999 517.44:519.46 СИММЕТРИЙНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА ПЛАНКА С ПРОИЗВОЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ СНОСА И ДИФФУЗИИ С.В. Спичак∗ Ин-т математики НАН Украины, Украина, 252601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3 e-mail: spichak@apmat.freenet.kiev.ua В.И. Стогний Нац. техн. ун-т Украины „КПИ” , Украина, 252056, Киев, пр. Победы, 37 e-mail: valerii@apmat.freenet.kiev.ua Symmetry properties of the one-dimentional Fokker Planck equations with arbitrary coefficients of drift and diffusion are investigated. It is proved that the group symmetry of these equations can be one-, two-, four- or six-parametric and corresponding criteries are obtained. The changes of the variables reducing Fokker Planck equations to the heat equation and Schrödinger one with certain potential are determined. Вивчається симетрiя одновимiрних рiвнянь Фоккера Планка для довiльних коефiцiєнтiв зне- сення та дифузiї. Доведено, що група симетрiї цих рiвнянь може бути одно-, дво-, чотири- чи шестипараметричною, i встановлено вiдповiднi критерiї. У випадку, коли рiвняння Фоккера Планка допускають шести- i чотирипараметричну групи, отримано замiни змiнних, якi зво- дять цi рiвняння вiдповiдно до рiвняння теплопровiдностi i рiвняння Шредiнгера з певним по- тенцiалом. Введение. Уравнение Фоккера Планка (УФП) является основным уравнением в теории непрерывных марковских процессов. В одномерном случае оно имеет вид [1,2] ∂u ∂t = − ∂ ∂x [A(t, x)u] + 1 2 ∂2 ∂x2 [B(t, x)u], (1) где u = u(t, x) переходная плотность вероятности, A(t, x) и B(t, x) достаточно глад- кие функции, соответственно называемые коэффициентами сноса и диффузии. Будем предполагать, что все условия, при которых правомерно использование операций диф- ференцирования, интегрирования, выполняются. Возникновение названия уравнения (1) связано с работами Фоккера [3] и Планка [4], в которых оно встречалось. Фоккер ис- следовал броуновское движение в поле излучения, а Планк на этой основе попытался построить полную теорию флуктаций. Строгое математическое обоснование УФП бы- ло дано А.Н Колмогоровым [1]. Уравнение (1), определяющее временной ход плотно- сти вероятности для данной системы, является основой аналитических методов изучения * Частично поддержана Государственным фондом фундаментальных исследований Украины (проект № 1.4/356). c© С.В. Спичак, В.И. Стогний, 1999 401 диффузионных процессов в естественных науках [5 9]. В последнее время интенсивно развиваются теоретико-групповые методы исследования дифференциальных уравнений в частных производных. Исследованием симметрийных свойств уравнения теплопровод- ности (частного случая УФП) занимался еще C. Ли [10]. Нахождению групп симметрии УФП с различными коэффициентами сноса и диффузии посвящены работы [9, 11 17]. С использованием замены [6, 18] в работе [17] дана полная классификация с симметрийной точки зрения УФП при A(t, x) ≡ A(x) и B(t, x) ≡ B(x) (соответствующие однородному диффузионному процессу). В настоящей работе мы осуществим полную симметрийную классификацию УФП (1) для произвольных коэффициентов сноса и диффузии. Кроме того, рассмотрим ряд других задач, тесно примыкающих к теоретико-алгебраическим исследованиям уравнения (1). Для исследования симметрийных свойств уравнения (1) ис- пользуем алгоритм Ли [19, 20]. В подходе Ли операторы алгебры инвариантности запи- сываются в виде X = ξ0(t, x, u) ∂ ∂t + ξ1(t, x, u) ∂ ∂x + η(t, x, u) ∂ ∂u (2) и определяются из условия инвариантности X̂ 2 L\|L=0 = 0. (3) Здесь L = ∂u ∂t + ∂ ∂x [A(t, x)u]− 1 2 ∂2 ∂x2 [B(t, x)u], X̂ 2 второе продолжение оператора X , которое строится по формулам Ли [19, 20]. Из этих формул и условия инвариантности (3) можно получить следующую систему уравнений для функций ξ0, ξ1, η: ξ0 = ξ0(t), ξ1 = ξ1(t, x), η = χ(t, x)u, 2ξ1 xB − ξ0 tB − ξ1Bx − ξ0Bt = 0, ξ0 t (A−Bx)− ξ1 t + ξ0(At −Btx) + ξ1(Ax −Bxx)− ξ1 x(A−Bx) + 1 2 Bξ1 xx = Bχx, (4) χt + ξ0 t ( Ax − 1 2 Bxx ) + ξ0 ( Atx − 1 2 Btxx ) + +ξ1 ( Axx − 1 2 Bxxx ) + χx(A−Bx)− 1 2 Bχxx = 0. Здесь нижние индексы t, x означают дифференцирование по соответствующим перемен- ным. Введем также обозначения ∂ ∂t = ∂t, ∂ ∂x = ∂x, ∂ ∂u = ∂u. Замечание 1. Здесь не рассматриваются операторы симметрии f(t, x) ∂ ∂u , где f(t, x) произвольное решение уравнения (1). 402 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 1. Основная теорема. Теорема 1. Если УФП (1) имеет хотя бы один оператор сим- метрии (2) Q 6= u∂u, то существует преобразование вида t̃ = T (t), x̃ = X(t, x), u = v(t, x)ũ, которое сводит его к уравнению (1) с A = A(x̃), B = B(x̃). Доказательство. Из условия теоремы следует, что существует решение ξ0, ξ1, χ опре- деляющих уравнений (4) такое, что ξ0, ξ1 не равны тождественно нулю одновременно. Действительно, из условий ξ0 ≡ ξ1 ≡ 0 следует, что χ = λ = const, т. е. Q = u∂u. Далее рассмотрим две возможности: 1) существует решение ξ0 6≡ 0, ξ1, χ; 2) существует решение ξ0 ≡ 0, ξ1 6≡ 0, χ (в этом случае все ξ0 ≡ 0). Докажем теорему для каждого из этих случаев. 1. Пусть ξ0 6≡ 0, ξ1, χ решение определяющих уравнений (4). Рассмотрим преобра- зование t̃ = T (t), x̃ = ω, u = v(t, x)ũ, (5) где T (t) = ∫ dt ξ0(t) , а функции ω = ω(t, x), v(t, x) удовлетворяют уравнениям ξ0ωt + ξ1ωx = 0, ξ0vt + ξ1vx = χv. (6) Пусть далее ω 6= const любое фиксированное решение. Нетрудно показать, что опера- тор симметрии Q = ξ0∂t + ξ1∂x + χu∂u в новых переменных (t̃, x̃, ũ) имеет вид Q̃ = ∂t̃. Покажем теперь, что среди класса преоб- разований (5) существует такое, которое уравнение (1) переводит в УФП с коэффициен- тами Ã(t̃, x̃), B̃(t̃, x̃). Но поскольку преобразованное уравнение имеет оператор симмет- рии Q̃ = ∂t̃, то отсюда будет следовать Ã = Ã(x̃), B̃ = B(x̃). Итак, применяя преобразо- вание (5) к уравнению (1), получаем следующее уравнение в новых переменных: ũt̃ = ξ0 v {[ −vt + ( 1 2 Bxx −Ax ) v + (Bx −A)vx + 1 2 Bvxx ] ũ+ + [ −vωt + (Bx −A)vωx + 1 2 B(2vxωx + vωxx) ] ũx̃ + 1 2 Bvω2 xũx̃x̃ } . (7) Здесь подразумевается, что в выражениях, которые зависят от переменных (t, x), нужно сделать замену (t, x) → (t̃, x̃). Для того чтобы уравнение (7) было УФП, необходимо, чтобы существовали такие функции Ã(t̃, x̃), B̃(t̃, x̃), которые удовлетворяют следующим уравнениям: B̃(t̃, x̃) = Bξ0ω2 x, B̃x̃ − Ã = −ξ0ωt + (Bx −A)ξ0ωx + vx v ξ0ωxB + 1 2 ξ0ωxxB, 1 2 B̃x̃x̃ − Ãx̃ = −ξ0 vt v + ( 1 2 Bxx −Ax ) ξ0 + ξ0 vx v (Bx −A) + 1 2 vxx v ξ0B. (8) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 403 a) Рассмотрим первое из уравнений (8). Покажем, что ∂t̃B̃ = 0. Из преобразований (5), (6) нетрудно получить ∂t̃ = ξ0∂t + ξ1∂x. (9) Тогда из первого уравнения (6) и (9) вытекает ∂t̃(Bξ 0ω2 x) = ξ0ω2 x[ξ0Bt + ξ1Bx + ξ0 tB − 2Bξ1 x] = 0. Последнее равенство выполняется в силу уравнений (4). б) Рассмотрим второе уравнение системы (8). Из первого уравнения этой системы получаем B̃x̃ = ξ0 ωx ∂x(Bω2 x). Подставляя это выражение во второе уравнение системы (8), находим Ã: Ã = ξ0ωt +Aξ0ωx − vx v ξ0ωxB + 3 2 ξ0ωxxB. (10) Как и в п. а), можно показать, что cледствием системы уравнений (4) является соотноше- ние ∂t̃Ã = (ξ0∂t + ξ1∂x) [ ξ0ωt +Aξ0ωx − vx v ξ0ωxB + 3 2 ξ0ωxxB ] = 0. Отсюда получаем Ã = Ã(x̃). в) Рассмотрим третье уравнение системы (8). Из пп. а) и б) следует, что левая часть этого уравнения 1 2 B̃x̃x̃ − Ãx̃ = F (x̃) = F (ω). Из второго уравнения системы (6) следует, что v(t, x) = v∗(t, x)G(ω), где v∗(t, x) частное решение этого уравнения, G(ω) про- извольная функция. Подставляя это соотношение в правую часть третьего из уравнений (8), получаем F (ω) = F1(t, x) + F2(t, x)G′ + F3(t, x)[G′′ +G′ 2], F3(t, x) 6= 0. Так же, как и в пп. a), б), можно убедиться, что с учетом уравнений (4), (6) выполняются соотношения ∂t̃Fi(t, x) = [ξ0∂t + ξ1∂x]Fi(t, x) = 0, i = 1, 2, 3. Таким образом, Fi = Fi(x̃) = Fi(ω). Окончательно имеем F (ω) = F1(ω) + F2(ω)G′ + F3(ω)[G′′ +G′ 2], F3 6= 0. Выбирая в качестве функцииG(ω) частное решение этого уравнения, получаем преобра- зование (5), где T = ∫ dt ξ0 , v(t, x) = v∗(t, x)G(ω), которое сводит соответствующее УФП (1) к УФП с коэффициентами B̃(x̃), Ã(x̃). 404 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 2. Пусть существует решение определяющих уравнений (4) ξ0 ≡ 0, ξ1 6= 0, χ. В этом случае выберем преобразование t̃ = t, x̃ = R(t, x), u = v(t, x)ũ (11) при условии ξ1Rx = 1, ξ1vx = χv. (12) Доказательство того, что существует преобразование (11), (12), сводящее УФП к уравне- ниям того же типа, аналогично доказательству, приведенному в п. 1. При этом оператор Q = ξ1∂x+χu∂u сводится к Q̃ = ∂x̃. Таким образом, новые коэффициенты Ã, B̃ в преобра- зованном УФП зависят только от t. Как известно, такие уравнения сводятся к уравнению теплопроводности преобразованиями вида t̃ = T (t), x̃ = R(t, x), u = v(t, x)ũ. (13) Теорема доказана. Теорема 2. УФП (1) может иметь алгебру инвариантности 1, 2, 4, 6. Доказательство. Если алгебра размерности больше 1, то она сводится к уравнению с Ã = Ã(x̃), B̃ = B̃(x̃), а классификация таких уравнений известна: размерность их алгебры инвариантности либо 2, либо 4, либо 6. 2. Критерии инвариантности УФП относительно четырех- и шестипараметрической группы симметрии. В работе [21] показано, что любой диффузионный процесс с коэф- фициентом переноса A(t, x) и коэффициентом диффузии B(t, x) можно свеcти с помо- щью случайной замены времени τ(t) к диффузионному процессу с соответствующими коэффициентами Ã(t, x) = A(t, x)/B(t, x) и B̃(t, x) = 1. Используя результат теоремы 1, выполним классификацию УФП для коэффициента B(t, x) = 1 и произвольного A(t, x) подобно тому, как это было сделано в [17] для случая A = A(x) (однородный процесс). Итак, полагая в уравнениях (4) B = 1, можно показать, что выполняются соотношения ξ0 = τ(t), ξ1 = 1 2 xτ ′ + ϕ(t), 3 2 τ ′M + τMt + ( 1 2 τ ′x+ ϕ ) Mx = 1 2 τ ′′′x+ ϕ′′, (14) χ = 1 2 τ ′xA(t, x)− 1 4 x2τ ′′ − ϕ′x+ ϕA(t, x) + τ x∫ x0 ∂A(t, ξ) ∂t dξ + θ(t), где M = At + 1 2Axx +AAx, x0 произвольная точка, θ(t) произвольная функция. Найдем условие, которому удовлетворяет M , такое, чтобы существовало, по крайней мере, 2 линейно независимых решения τ(t) уравнения (14). Из следствия теоремы 1 выте- кает, что существует либо 3, либо 5 операторов симметрии (помимо тривиального u∂u). Предположим, что Mxx 6= 0. Продифференцировав дважды по x обе части (14), получим 5 2 τ ′Mxx + τMtxx + ( 1 2 τ ′x+ ϕ ) Mxxx = 0. (15) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 405 Теперь, если предположить, что Mxxx = 0, т. е. Mxx = F (t), получим условие 5 2 τ ′F + τF ′ = 0. (16) Для этого уравнения существует только одно линейно независимое решение, поэтому Mxxx 6= 0. Тогда из (15 ) получаем −ϕ(t) = 5Mxx + xMxxx 2Mxxx τ ′ + Mtxx Mxxx τ = h(t, x)τ ′ + r(t, x)τ. Отсюда следует, что если (τ1, ϕ1), (τ2, ϕ2) линейно независимы, то и τ1, τ2 линейно независимы, а также hxτ ′ + rxτ = 0. Таким образом, hxτ ′ 1 + rxτ1 = 0, hxτ ′ 1 + rxτ1 = 0. Поскольку вронскиан ∣∣∣∣ τ ′1 τ1 τ ′2 τ2 ∣∣∣∣ 6= 0, из этой системы вытекает hx ≡ 0, rx ≡ 0, т. е. 5Mxx + xMxxx 2Mxxx = h(t), Mxxt Mxxx = r(t). (17) Из условий (17) нетрудно получить M = λ(x−H(t))−3 + F (t)x+G(t), (18) где λ = const 6= 0, H , F , G произвольные функции. Заметим, что если Mxx = 0, то M имеет вид (18) с λ = 0. Таким образом, условие (18) является необходимым для того, чтобы алгебра инвариантности имела размерность либо 4, либо 6. Подставляя (18) в (15) и приравнивая нулю коэффициенты при x−H , (x−H)−4 и 1, получаем следующие условия: 2τ ′F + τF ′ = 1 2 τ ′′′, λ ( τH ′ − 1 2 τ ′H − ϕ ) = 0, 3 2 τ ′(FH +G) + τ(F ′H +G′) + F ( 1 2 τ ′H + ϕ ) = 1 2 τ ′′′H + ϕ′′′. (19) 1. Пусть λ 6= 0. Тогда, выражая из второго уравнения ϕ(t) = τH ′ − 1 2 τ ′H и подставляя его в третье уравнение, получаем 3 2 τ ′(FH + G − H ′′) + τ(FH + G − H ′′)′ = 0. Условие существования по крайней мере двух независимых решений τ1, τ2 приводит к уравнению FH + G − H ′′ = 0. В этом случае система (19) имеет три фундаментальных решения. Действительно, есть три линейно независимых решения τ1, τ2, τ3 первого уравнения (19). Из второго уравнения (19) ϕi выражается через τi, i = 1, 2, 3. 2. Если λ = 0, то система уравнений (19) имеет 5 решений (τi, ϕi), i = 1, 5. Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 3. 1. Класс УФП (1) при B = 1, допускающих четырехмерную алгебру инва- риантности, описывается условием At + 1 2 Axx +AAx = λ(x−H(t))−3 + F (t)x+G(t), (20) 406 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 где λ = const 6= 0, G удовлетворяет условию G = H ′′ − FH, (21) F (t), H(t) произвольные функции. 2. Класс УФП (1) при B = 1, допускающих шестимерную алгебру инвариантности, описывается условием (20), в котором λ = 0, F и G произвольные функции. Замечание 2. В частности, если коэффициент A(t, x) удовлетворяет уравнению Бюр- герса, то УФП (1) сводится к уравнению теплопроводности (см. [22]). 3. Преобразование УФП к однородным. 1. Оказывается, что УФП (1) (B = 1), (20) при λ = 0 сводится к уравнению теплопроводности [12, 23]. Найдем соответствующее преобразование (5), (6). Пусть τ любое решение системы (19) и τ > 0. С помощью формул (6), (14) нетрудно убедиться, что ω = τ−1/2x − t∫ t0 ϕτ−3/2dt, где t0 произволь- ное фиксирoванное значение (всегда можно выбрать решение τ(t) > 0 на каком-либо интервале). Рассмотрим преобразование t̃ = 1 2 ∫ dt τ , x̃ = ω = τ−1/2x− t∫ t0 ϕτ−3/2dξ, u(t, x) = v(t, x)ũ(t̃, x̃). (22) Выполнив в (1), (20) замену переменных (22), получим уравнение ũt̃ = −2τ ( vt v +Ax +A vx v − 1 2 vxx v ) ũ− 2 ( −1 2 τ1/2τ ′x− −ϕτ−1/2 +Aτ1/2 − vx v τ1/2 ) ũx̃ + ũx̃x̃. (23) Приравнивая нулю коэффициент при ũx̃, имеем v = exp −1 4 τ−1τ ′x2 − τ−1ϕx+ x∫ x0 A(t, ξ)dξ + h(t)  , (24) где h(t) произвольная функция, x0 произвольное фиксированное число. Подставляя (24) в выражение vt v + Ax + A vx v − 1 2 vxx v (коэффициент при ũ в (23)) и приравнивая его нулю, получаем h′(t) = 1 2 [ τ−2ϕ2 − 1 2 τ−1τ1 −Ax(t, x0)−A2(t, x0) ] , (25) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 407 1 2 τ−1τ ′′ − 1 4 τ2(τ ′)2 = F, τ−1ϕ′ − 1 2 τ2τ ′ϕ = G. (26) Нетрудно убедиться, что если (τ 6= 0, ϕ) любое решение системы (26), то оно удовле- творяет системе (19) (λ = 0,M = 0). Всегда можно считать, что τ > 0 на каком-либо промежутке (сделав, если необходимо, замену τ → τ , ϕ→ −ϕ). Тогда мы имеем преобра- зование (22), (24), (25), сводящее УФП (1), (20) (c λ = 0) к уравнению теплопроводности ũt̃ = ũx̃x̃. (27) Заметим, что система (26) сводится к следующей: 2y′ + y2 = 4F, y = τ ′ τ , ϕ = τ1/2 t∫ t0 τ1/2Gdt. (28) 2. Рассмотрим теперь УФП (1), (20) c λ 6= 0. Kак и в случае 1, преобразование (22) сво- дит это уравнение к уравнению (23). Условие того, что (23) является УФП, следующее: Ã = Ã(ω) = −1 2 τ−1/2τ ′x− ϕτ− 1 2 +Aτ1/2τ1/2 vx v , Ãω = τ ( vt v +Ax +A vx v − 1 2 vxx v ) , (29) где ω задано в (22). Первое условие эквивалентно уравнению (см. (9)) ∂t̃Ã [ τ∂t + ( 1 2 τ ′x+ ϕ ) ∂x ]( 1 2 τ−1/2τ ′x− ϕτ 1 2 +Aτ1/2 − τ1/2 vx v ) = 0. (30) Oпуская промежуточные вычисления, записываем общее решение v(t, x) уравнения (30) в виде v(t, x) = exp  x∫ x0 A(t, ξ)dξ − 1 4 τ−1τ ′x2 − τ−1ϕx+ k(ω)  , (31) где k(ω) произвольная функция, x0 фиксированная точка. Подставляя (31) в первое уравнение (29), нетрудно убедиться, что Ã = −k′(ω)( k′(ω) = dk(ω) dω ) . Подставим далее Ã(ω) = −k′(ω), v(t, x) (31) во второе уравнение (29). Можно убедиться, что выбрав условия τ1/2 t∫ t0 ϕτ−3/2dt = H, 1 2 τ−1τ ′′ − 1 4 τ−2τ ′2 = F, τ−1ϕ′ − 1 2 τ−2τ ′ϕ = G, (32) k′′ − k′2 = λω−2, (33) 408 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 мы удовлетворим уравнение (29). Условие (32) можно выбрать потому, что любое реше- ние τ 6= 0, ϕ данной системы, как нетрудно убедиться, является частным решением систе- мы уравнений (19), (21), чего достаточно для построения преобразования (22). Система (32) (с учетом (21)) эквивалентна следующей: 2y′ + y2 = 4F, y = τ ′ τ , ϕ = τ3/2(τ−1/2H)′. (34) Таким образом, мы доказали следующую теорему. Теорема 4. УФП (1), (20), (21) c λ 6= 0, инвариантноe относительно четырехмерной алгебры инвариантности, с помощью преобразований t̃ = T (t), x̃ = τ−1/2x− τ−1/2H(t), u = v(t, x)ũ(t̃, x̃), где T = 1 2 ∫ dt τ(t) , v(t, x) имеет вид (31), τ 6= 0 произвольное решение первого уравне- ния (34), k(ω) решение уравнения (33), сводится к уравнению ũt̃ = 2k′′(ω)ũ+ 2k′(ω)ũω + ũωω. Если в последнем уравнении сделать замену t̄ = t̃, x̄ = ω, ũ = exp(−k(ω))ū, то это уравнение в силу условия (33) сведется к уравнению Шредингера ūt̄ = ūx̄x̄ + λ x̄2 ū. Таким образом, в случае УФП с четырехпараметрической группой симметрии суще- ствует „каноническое” уравнение, к которому они сводятся, хотя оно и не является УФП, как это имело место в случае шестипараметрической группы. 4. Примеры oднородных УФП, имеющих шести- и четырехпараметрическую группу симметрии. В п. 3 мы указали необходимое и достаточное условие сводимости УФП (1) с коэффициентом диффузии B = 1 к однородному УФП с B = 1, т. е. к уравнению с ко- эффициентом сноса A = A(x). Также построены соответствующие замены переменных (t, x, u) → (t̃, x̃, ũ). Поэтому вполне естественно теперь привести примеры однородных уравнений, которые часто встречаются в приложениях. А. Уравнения, сводящиеся к уравнению теплопроводности. 1. Уравнение, описывающее процесс Орнштейна Уленбена [7]: ∂u ∂t = ∂ ∂k (kxu) + 1 2 D ∂2u ∂x2 . (35) Здесь A = −kx, B = D = const. Далее во всех примерах, где B = const 6= 0, можно, без ограничения общности, поло- жить B = 1. С помощью замены u(t, x) = v(t, x)ũ(t̃(t), x̃(t, x)), (36) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 409 где v(t, x), t̃, x̃ функции, которые находятся из формул (22), (24) (26): v = exp(kt), x̃ = exp(kt)x, t̃ = 1 4k exp(2kt), уравнение Oрнштейна Уленбена (35) сводится к уравнению теплопроводности (27). 2. Процесс диффузии в поле силы тяжести [7]: ∂u ∂t = ∂ ∂x (gu) + 1 2 ∂2u ∂x2 . (37) Уравнение (37) сводится к (27) с помощью замены (36), где v = exp ( −gx− g2 2 t ) , x̃ = x, t̃ = 1 2 t. 3. Уравнение процесса рэлеевского типа [15]: ∂u ∂t = ∂ ∂x [( γx− 1 x ) u ] + 1 2 ∂2u ∂x2 (38) сводится к (27) с помощью замены (36), где v = exp(2γt)x, x̃ = exp(γt)x, t̃ = 1 4γ exp(2γt). Рассмотрим три уравнения, описывающие модели в популяционной генетике [9]. 4. Первое из них ∂u ∂t = ∂2 ∂x2 [(1− x2)2u]. (39) Используя замену [6] u = 1√ B(x) w(τ, y), τ = t, y = ∫ dx√ B(x) , сводим уравнение (39) к виду Wτ = −(A(y)w)τ + 1 2 wyy, где A(y) = √ 2th( √ 2y), B = 1. Легко проверить, что A(y) удовлетворяет условию (20) (λ = 0). Тогда суперпозиция приведенного преобразования и соответствующей замены (22), (24) (26) дает замену (36), где v = exp(−t)(1− x2)−3/2, x̃ = 1 2 ln 1 + x 1− x , t̃ = t, которая сводит уравнение (39) к уравнению теплопроводности (27). 5. Второе из указанных уравнений имеет вид ∂u ∂t = α 2 ∂2 ∂x2 [x2(1− x2)u]. (40) 410 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 Поступая так же, как и в п. 4, получаем замену (36), где v = exp ( −α 8 t ) x−3/2(1− x2)−3/2, x̃ = ln x 1− x , t̃ = α 2 t. 6. Третье из указанных уравнений таково: ∂u ∂t = α 2 ∂2 ∂x2 [(x− c)2u] + β ∂ ∂x [(x− c)u]. (41) Уравнение (41) сводится к уравнению теплопроводности (27) заменой (36), где v = exp { − ( β2 2α + β 2 + α 8 ) t } (x− c)(−3/2+β/α), x̃ = √ 2/α ln(x− c), t̃ = t. 7. УФП вида [6, 14] ∂u ∂t = − ∂ ∂k [a(t)x+ b(t)]u+ c(t) ∂2u ∂x2 (42) сводится к уравнению теплопроводности (27) заменой (36), где [6, 15] v = exp{α(t)}, x̃ = exp{α(t)}x+ β(t), t̃ = γ(t) и, кроме того, α(t) = − t∫ 0 a(s)ds, β(t) = t∫ 0 b(s) exp{α(s)}ds, γ = t∫ 0 c(s) exp{2α(s)}ds. B. Уравнения с четырехпараметрической группой симметрии. 1. В работе [5] рассматривалось уравнение ∂u ∂t = − ∂ ∂x (αxu) + ∂2 ∂x2 (βxu). (43) Используя замену u = 1√ 2βx w(τ, y), τ = t, y = √ 2x/β, уравнение (43) переводим в следующее УФП: ∂w ∂τ = − ∂ ∂y [( αy 2 − 1 2y ) w ] + 1 2 ∂2w ∂y2 , где A(y) = ( αy 2 − 1 2y ) удовлетворяет условию (20). 2. Рассмотрим УФП [9] ∂u ∂t = − ∂ ∂x ( 1 4 x−2pu ) + 1 2 ∂2 ∂x2 ( 1 2 x1−2pu ) , (44) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 411 где p 6= −1 2 (случай p = 1 2 соответствует шестипараметрической группе (см. пример 6)). Используя замену u = √ 2x(2p−1)/2w(τ, y), τ = t, y = 2 √ 2 2p+ 1 x(2p+1)/2, уравнение (44) переводим в следующее УФП: ∂w ∂τ = − ∂ ∂y ( 1 2y w ) + 1 2 ∂2w ∂y2 , где A(y) = 1 2y удовлетворяет условию (20). 3. Рассмотрим УФП для процесса Рэлея: ∂u ∂t = − ∂ ∂x [(µ x − γx ) u ] + µ ∂2u ∂x2 , (45) где γ, µ произвольные постоянные. Функция A(x) 2µ = 1 2x − γx 2µ удовлетворяeт условию (20). Таким образом, группа инвариантности уравнения (45) не изоморфна группе инва- риантности уравнения теплопроводности и не сводится к нему с помощью локальных преобразований. 1. Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятности // Успехи мат. наук. 1938. 5. С. 5 41. 2. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наук. думка, 1968. 353 с. 3. Fokker A.D. Ann. Phys. 1915. 43. 310 p. 4. Planck M. Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl. 1917. 325 p. 5. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: В 2-х т. М.: Мир, 1984. 738 с. 6. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977. 488 с. 7. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986. 528 с. 8. Портенко М.I. Дифузiя в середовищах з напiвпрозорими мембранами. Київ: I-т математики НАН України, 1994. 134 с. 9. Nariboli G.A. Group-invariant solutions of the Fokker Planck equation // Stochast. Process. and Appl. 1977. № 5. P. 157 171. 10. Lie S. Gesammelte Abhandlungen. Leipzig: B.G. Teubner; Oslo: H.Aschehoug & Co., 1922. Bd. 3. 11. Blumаn G.W., Cole J.D. Similarity methods for differential equations. Berlin: Springer, 1974. 332 p. 12. Blumen G.W. J. Appl. Math. 1980. 39. P. 238. 13. Sastri C.C.A., Dann K.A. Lie symmetries of some equations of the Fokker Planck type // J. Math. Phys. 1985. 26, № 12. P. 3042 3047. 14. Wolf F. Lie algebraic solutions of linear Fokker Planck equations // Ibid. 1988. 29 (2). P. 305 307. 15. Shtelen W.M., Stogny V.I. Symmetry properties of one- and two-dimensional Fokker Planck equations // J. Phys. A: Math. and Gen. 1989. 22. P. 539 543. 16. Rudra P. Symmetry classes of Fokker Planck equations // Ibid. 1990. 23. P. 1663 1670. 17. Cicogna G., Vitali D. Classification on the extended symmetries of Fokker Planck equations // Ibid. 1990. 23. P. 85 88. 412 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 18. Miyadzawa T. Theory of the one-variable Fokker Planck equation // Phys. Rev. A. 1989. 39, № 3. P. 1447 1468. 19. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с. 20. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных урав- нений математической физики. Киев: Наук. думка, 1989. 335 с. 21. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: Физматгиз, 1963. 860 с. 22. Жданов Р.З., Лагно В.И. О критерии разделения переменных для уравнения Фоккера Планка, инва- риантного относительно сдвигов по временной переменной // Докл. НАН Украины. 1993. № 2. C. 18 21. 23. Черкасов И.Д. О преобразовании диффузионного процесса в винеровский // Теория вероятностей и ее применения. 1957. 2, вып. 3. C. 384 388. Получено 26.05.99 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 413

Симметрийная классификация одномерного уравнения Фоккера - Планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии

Репозитарії

Схожі ресурси