Системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з виродженнями
Будуються асимптотичнi розв’язки сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь з виродженою в точцi матрицею при похiднiй.
Збережено в:
| Дата: | 1999 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177163 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з виродженнями / М.І. Шкіль, Г.В. Завізіон // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 414-425. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177163 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771632021-02-26T21:50:08Z Системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з виродженнями Шкіль, М.І. Завізіон, Г.В. Будуються асимптотичнi розв’язки сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь з виродженою в точцi матрицею при похiднiй. Asymptotic solutions of singular perturbed system of the differential equations with singularity in point matrix derivaty is constructed. 1999 Article Системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з виродженнями / М.І. Шкіль, Г.В. Завізіон // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 414-425. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177163 517.928 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Будуються асимптотичнi розв’язки сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь з виродженою в точцi матрицею при похiднiй. |
| format |
Article |
| author |
Шкіль, М.І. Завізіон, Г.В. |
| spellingShingle |
Шкіль, М.І. Завізіон, Г.В. Системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з виродженнями Нелінійні коливання |
| author_facet |
Шкіль, М.І. Завізіон, Г.В. |
| author_sort |
Шкіль, М.І. |
| title |
Системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з виродженнями |
| title_short |
Системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з виродженнями |
| title_full |
Системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з виродженнями |
| title_fullStr |
Системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з виродженнями |
| title_full_unstemmed |
Системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з виродженнями |
| title_sort |
системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з виродженнями |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177163 |
| citation_txt |
Системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з виродженнями / М.І. Шкіль, Г.В. Завізіон // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 414-425. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT škílʹmí sistemisingulârnozburenihdiferencíalʹnihrívnânʹzvirodžennâmi AT zavízíongv sistemisingulârnozburenihdiferencíalʹnihrívnânʹzvirodžennâmi |
| first_indexed |
2025-07-15T15:11:42Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:11:42Z |
| _version_ |
1837726227186581504 |
| fulltext |
т. 2 •№ 3 • 1999
УДК 517 . 928
СИСТЕМИ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНИХ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
З ВИРОДЖЕННЯМИ
М. I. Шкiль, Г. В. Завiзiон
Нац. пед. ун-т,
Україна, 252030, Київ, вул. Пирогова, 9
Asymptotic solutions of singular perturbed system of the differential equations with singularity in point
matrix derivaty is constructed.
Будуються асимптотичнi розв’язки сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь з
виродженою в точцi матрицею при похiднiй.
В роботах [1 3] запропонованi методи асимптотичного iнтегрування сингулярно збуре-
ної системи диференцiальних рiвнянь з неособливою або тотожно виродженою матри-
цею при похiднiй. В данiй статтi будуються асимптотичнi розв’язки сингулярно збурених
систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь з виродженнями в однiй точцi.
1. Формальнi розв’язки однорiдної системи. Розглянемо систему диференцiальних рiв-
нянь вигляду
εhB (t, ε)
dx
dt
= A (t, ε)x , (1)
де ε, 0 < ε ≤ ε0, малий параметр, h ∈ N , t ∈ [0;L]; A(t, ε), B(t, ε) (n× n)-вимiрнi мат-
рицi, x(t, ε) n-вимiрний вектор. Припускаємо виконання умов: 1) матрицiA(t, ε),B(t, ε)
мають розвинення за степенями малого параметра
A(t, ε) =
∞∑
r=0
εrAr(t) , B(t, ε) = tB0(t) +
∞∑
r=1
εrBr(t) ;
2) матрицi Ar(t), Br(t) нескiнченно диференцiйовнi на вiдрiзку [0;L]; 3) алгебраїчне рiв-
няння
det ‖A0 (t)− ω (t)B0 (t) ‖ = 0 (2)
має рiзнi коренi при t ∈ [0;L]; 4) коренi рiвняння
det ‖B1 (t)− ω (t)B0 (t) ‖ = 0 (3)
414 c© М. I.Шкiль, Г. В. Завiзiон, 1999
простi або це рiвняння має один кратний корiнь з простими елементарними дiльниками;
5) виконуються спiввiдношення
t+ εωj (t) 6= 0 ;
t
(
ωi(t)− ωj(t)
)
+ ε
(
ωj(t)ωi(t)− ωi(t)ωj(t)
)
6= 0
∀ t ∈ [0;L], ε ∈ [0, ε0], i, j = 1, n, i 6= j ,
де ωj(t), ωj(t) коренi рiвнянь вiдповiдно (2), (3).
Згiдно з умовами 3, 4 i [1], iснують неособливi нескiнченно диференцiйовнi матрицi
S1(t), S2(t), T1(t), T2(t) такi, що
A0(t) = S−1
1 (t)W (t)T−1
1 (t) ,
B0(t) = S−1
1 (t)T−1
1 (t) = S−1
2 (t)T−1
2 (t) ,
B1(t) = S−1
2 (t)W (t)T−1
2 (t) ,
(4)
де W (t) = diag {ω1(t), . . . , ωn(t)}, W (t) = diag {ω1(t), . . . , ωn(t)}.
Тодi справедлива така теорема.
Теорема 1. Якщо виконуються умови 1 5 i умова: 6) матриця S2(t)S−1
1 (t) є комута-
тивною з матрицею W (t), то система диференцiальних рiвнянь (1) має n формальних
розв’язкiв вигляду
x (t, ε) = u (t, ε) exp
1
εh
t∫
0
λ (t, ε) dt
, (5)
де u (t, ε) n-вимiрний вектор, λ (t, ε) скалярна функцiя, якi мають розвинення
u (t, ε) =
∞∑
r=0
εrur(t) , λ (t, ε) =
∞∑
r=0
εrλr(t) . (6)
Доведення. Покажемо, що коефiцiєнти розвинень (6) можна визначити так, щоб век-
тор (5) задовольняв систему (1) в розумiннi рiвностi формальних рядiв [3]. Для цього пiд-
ставимо (5) в (1) i одержимо тотожнiсть
εhB (t, ε)u′ (t, ε) +B (t, ε)u (t, ε)λ (t, ε) = A (t, ε)u (t, ε) (7)
(тут штрих означає похiдну по t).
Коефiцiєнти формальних рядiв (6) визначатимемо iз системи рiвнянь [4](
A0(t)−
(
B0(t) + εB1(t)
)
λ0(t, ε)
)
u0(t, ε) = 0 , (8)
(
A0(t)−
(
B0(t) + εB1(t)
)
λ`(t, ε)
)
u`(t, ε) = ϕ`(t, ε) +
+λ`(t, ε)
(
B0(t) + εB1(t)
)
u0(t, ε) , (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 415
де
ϕ`(t, ε) = −
∑̀
i=1
Ai(t)u`−i(t, ε) +
(
B0(t) + εB1(t)
) `−1∑
i=1
ui(t, ε)λ`−i(t, ε)+
+ ε
∑̀
i=1
λ0(t, ε)Bi+1(t)u`−i(t, ε) + ε
`−1∑
i=1
`−i∑
j=1
λi(t, ε)Bj+1(t)u`−i−j(t, ε)+
+
(
B0(t) + εB1(t)
)
u′`−h(t, ε) + ε
`−h−1∑
i=2
Bi(t)u′`−h−i+1(t, ε) .
Покажемо, що система рiвнянь (8), (9) має розв’язок. Пiдставивши (4) в (8), (9), по-
множивши злiва обидвi частини рiвнянь (8), (9) на матрицю S2(t) i скориставшись умовою
6, систему рiвнянь (8), (9) перепишемо у виглядi(
W (t)−
(
tE + εW (t)
)
λ0(t, ε)
)
q0(t, ε) = 0 , (10)
(
W (t)−
(
tE + εW (t)
)
λ0(t, ε)
)
q`(t, ε) = ψ`(t, ε) + λ`(t, ε)×
×
(
tE + εW (t)
)
q0(t, ε) , (11)
де q`(t, ε) = T−1
2 (t)u`(t, ε), ψ`(t, ε) = S2(t)ϕ`(t, ε).
Покладемо в (10), (11) λ0(t, ε) =
ω1(t)
t+ εω1(t)
. З умови 5 випливає, що функцiя λ0(t, ε)
визначена на множинi K = {(t, ε) | 0 ≤ t ≤ L, 0 < ε ≤ ε0} i нескiнченно диференцiйовна
по t на множинi K. Тодi компоненти вектора q0(t, ε) задовольняють рiвняння{
q0(t)
}
1
= 0,
(
ωi(t)−
(
t+ εωi(t)
)
λ0(t, ε)
){
q0(t)
}
i
= 0, i = 2, n .
Використовуючи вигляд функцiї λ0(t, ε), останнє рiвняння перепишемо у виглядi
t(ωi(t)− ω1(t)) + ε(ω1(t)ωi(t)− ωi(t)ω1(t))
t+ εω1(t)
{
q0(t)
}
i
= 0 .
Далi, згiдно з умовою 5, при j = 1 маємо {q0(t)}i = 0, i = 2, n, а {q0(t)}1 довiльна
функцiя, тому покладемо {q0(t)}i = 1. З першого скалярного рiвняння векторного рiв-
няння (11) знайдемо функцiю λ`(t, ε), яка має вигляд
λ`(t, ε) = −{ψ`(t, ε)}1
t+ εω1(t)
, ` = 2, n ;
при цьому {q`(t, ε)}1 довiльна функцiя, тому покладемо {q`(t, ε)}1 = 0. Iншi компоненти
вектора q`(t, ε) знаходяться таким чином:
{q`(t, ε)}i =
{ψ`(t, ε)}i(t+ εω1(t))
t(ωi(t)− ω1(t)) + ε(ω1(t)ωi(t)− ωi(t)ω1(t))
, ` = 1, n , i = 2, n .
416 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
Поклавши
λ0(t, ε) = λ
(i)
0 (t, ε) =
ωi(t)
t+ εωi(t)
, i = 1, n ,
ми аналогiчно знайдемо вiдповiднi функцiї λ(i)
s (t, ε), u(i)
s (t, ε), причому λ(i)
s (t, ε), u(i)
s (t, ε) є
визначеними i нескiнченно диференцiйовними на множинi K.
Теорему доведено.
Розглянемо спосiб побудови формального розв’язку системи (1) у випадку, коли мат-
риця S2(t)S−1
1 (t) не комутативна з матрицею W (t).
Для цього доведемо таку лему.
Лема 1. Якщо виконуються умови 1 4, а також умови:
5) виконуються спiввiдношення t+ εωi(t) 6= 0, i = 1, n, на множинi K;
6) рiвняння det ‖Sij(0)(ωj(0)ωi1(0) . . . ωik(0) . . . ωin−1(0) − λ)‖ = 0, i, j = 1, n, має рiзнi
коренi, де ik, k = 1, n− 1, набуває значень вiд 1 до n, причому ik 6= i; Sij(t) елементи
матрицi S2(t)S−1
1 (t),
то коренi рiвняння
det
∥∥∥A0(t)−
(
tB0(t) + εB1(t)
)
λ (t, ε)
∥∥∥ = 0 (12)
рiзнi на множинi K.
Доведення. Пiдставляючи (4) в (12), перетворимо його до вигляду
det
∥∥∥S2(t)S−1
1 (t)W (t)−
(
tE + εW (t)
)
S2(t)S−1
1 (t)λ (t, ε)
∥∥∥ = 0 .
Через елементи Sij(t), i, j = 1, n, матрицi S2(t)S−1
1 (t) останнє рiвняння перепишемо у
виглядi
det
∥∥∥Sij(t)(ωj(t)− (t+ εωi(t)
)
λ (t, ε)
)∥∥∥ = 0 , i, j = 1, n . (13)
Виконаємо в (13) замiну змiнних за формулою
λ (t, ε) =
λ (t, ε)
(t+ εω1(t)) . . . (t+ εωn(t))
. (14)
Тодi рiвняння (13) набере вигляду
C
(
t, λ(t, ε), ε
)
= det
∥∥∥Sij(t)(ωj(t)(t+ εω1(t)
)
. . .
(
t+ εωi(t)
)
. . .
. . .
(
t+ εωin−1(t)
)
− λ (t, ε)
)∥∥∥ = 0 , (15)
де ik, k = 1, n− 1, набуває значень вiд 1 до n, причому ik 6= i, i, j = 1, n.
Розв’язок (15) будемо шукати у виглядi
λ (t, ε) =
∞∑
r=0
εrλr (t) . (16′)
Пiдставляючи (16′) в (15) i розкладаючи визначник C(t, λ(t, ε), ε) за формулою
C
(
t, λ (t, ε), ε
)
=
∞∑
r=0
1
r!
∂rC(t, λ (t, ε), ε)
∂εr
∣∣∣
ε=0
εr ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 417
переконуємось, що функцiя λ0(t) задовольняє рiвняння
C
(
t, λ0(t), 0
)
= 0 або det
∥∥∥Sij(t)(ωj(t) tn−1 − λ0(t)
)∥∥∥ = 0 , i, j = 1, n . (16)
Безпосередньою перевiркою переконуємось, що n функцiй λ01(t) = tn−1ω1(t), . . .
. . . , λ0n(t) = tn−1ωn(t) задовольняють рiвняння (16). Функцiю λ1(t) знаходимо з рiв-
няння
∂C (t, λ(t, ε), ε)
∂ε
∣∣∣
ε=0
= 0 . (17)
Пiдставляючи в (17) замiсть λ0(t) вираз λ0i(t) = tn−1ωi(t), одержуємо функцiю λ1i(t), i =
= 1, n:
λ1i(t) = tn−2λ1i(t) ,
де
λ1i(t) =
1
det ‖sij‖
n∑
j=1
sji(t)ωi(t)
(
ωj1(t) + · · ·+ ωjk(t) + · · ·+ ωjn−1(t)
)
Aji ,
ik, k = 1, n− 1, набуває значень вiд 1 до n, причому ik 6= i, Aji алгебраїчне доповнення
до елемента sji, i, j = 1, n, матрицi S2(t)S−1
1 (t). Методом математичної iндукцiї доведено,
що λsi(t) = tn−s−1λsi(t), де λsi(t) визначена i нескiнченно диференцiйовна на вiдрiзку
[0;L], λsi(0) 6= 0.
Таким чином, розклад (16′) справедливий при t > 0. Позначимо через λ
(i)(t, ε), i = 1, n,
всi коренi рiвняння (15). Тодi при t > 0, згiдно з розкладом (16′), рiзниця λ
(i)(t, ε)−λ(j)(t, ε),
i, j = 1, n; i 6= j, має таке розвинення:
λ
(i)(t, ε)− λ(j)(t, ε) =
(
λ0i(t)− λ0j(t)
)
+
∞∑
r=1
εr
(
λri(t)− λrj(t)
)
. (18)
Оскiльки λ0i(t) 6= λ0j(t) при t > 0, внаслiдок довiльностi ε iз (18) випливає, що λ
(i)(t, ε) 6=
6= λ
(j)(t, ε), i, j = 1, n; i 6= j, а iз спiввiдношення (14) λ(i)(t, ε) 6= λ
(j)(t, ε). Умова (6)
забезпечує те, що коренi рiвняння (12) рiзнi при t = 0.
Лему доведено.
З використанням iдей [4, 5] доведено таку лему.
Лема 2. Якщо виконується лема 1, то iснують неособливi i нескiнченно диференцi-
йовнi по t на множинi K матрицi P (t, ε), Q(t, ε) такi, що справедливi рiвностi
S2(t)S−1
1 (t)W (t)
(
S2(t)S−1
1 (t)
)−1
= P−1(t, ε) Λ(t, ε)Q−1(t, ε) ,
tE + εW (t) = P−1(t, ε)Q−1(t, ε) ,
(19)
де Λ(t, ε) = diag
{
λ(1)(t, ε), . . . , λ(n)(t, ε)
}
, λ(i)(t, ε) коренi рiвняння (12), причому функ-
цiї λ(i)(t, ε), i = 1, n, є нескiнченно диференцiйовними на множинi K.
Справедлива така теорема.
418 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
Теорема 2. Якщо виконується лема 1, то система диференцiальних рiвнянь (1) має n
формальних розв’язкiв вигляду (5), де u(t, ε) n-вимiрний вектор, а λ(t, ε) скалярна
функцiя, якi мають розвинення (6).
Доведення. Функцiї ur(t), λr(t), r = 0, 1, . . . , задовольняють систему рiвнянь (8), (9).
Покажемо, що з цих систем рiвнянь можна визначити довiльнi коефiцiєнти розвинень (6).
Позначивши q`(t, ε) = T−1
2 (t)u`(t, ε), ψ`(t, ε) = S2(t)ϕ`(t, ε), систему (10), (11) запишемо
у виглядi(
S2(t)S−1
1 (t)W (t)
(
S2(t)S−1
1 (t)
)−1
−
(
tE + εW (t)
)
λ0(t, ε)
)
q0(t, ε) = 0 , (20)
(
S2(t)S−1
1 (t)W (t)
(
S2(t)S−1
1 (t)
)−1
−
(
tE + εW (t)
)
λ0(t, ε)
)
q`(t, ε) =
= λ`(t, ε)
(
tE + εW (t)
)
q`(t, ε) + ψ`(t, ε) , ` = 1, 2, . . . . (21)
Згiдно з лемою 2, виконуються рiвностi (19). Пiдставивши (19) в (20), (21) i помножив-
ши злiва обидвi частини рiвнянь (20), (21) на матрицю P (t, ε), системи (20), (21) записуємо
у виглядi(
Λ (t, ε)− λ0(t, ε)E
)
z0(t, ε) = 0 , (22)
(
Λ (t, ε)− λ0(t, ε)E
)
z`(t, ε) = λ`(t, ε) z0(t, ε) + ψ`(t, ε) , (23)
де z`(t, ε) = Q−1(t, ε)q`(t, ε), ψ`(t, ε) = P (t, ε)ψ`(t, ε).
Покладемо в (22), (23) λ0(t, ε) = λ(1)(t, ε). З (22) знаходимо, що перша компонента
вектора z0(t, ε) довiльна, а тому покладемо {z0(t)}1 = 1, а {z0(t)}i = 1, i = 2, n, тобто
z0(t)=
∥∥∥∥∥1
0...
0
∥∥∥∥∥. З першого скалярного рiвняння векторного рiвняння (23) знайдемо функцiю
λ`(t, ε), яка має вигляд λ`(t, ε) = −{ψ`(t, ε)}1; при цьому {z`(t, ε)}1 довiльна функцiя, а
тому покладемо {z`(t, ε)}1 = 0.
Iншi компоненти вектора z`(t, ε) знаходяться таким чином:{
z`(t, ε)
}
i
=
1
λ(i)(t, ε)− λ(1)(t, ε)
{
ψ`(t, ε)
}
i
, i = 2, n .
Знайденi функцiї λ`(t, ε), u`(t, ε) = T2(t, ε)Q (t, ε)Z`(t, ε) визначенi i нескiнченно дифе-
ренцiйовнi на множинi K.
Теорему доведено.
2. Асимптотична властивiсть формальних розв’язкiв. Доведемо таку лему.
Лема 3. Якщо виконуються умови теореми 1, то функцiї λ0(t, ε), λ`(t, ε), {q`(t, ε)}i,
` = 1, 2, . . . ; i = 2, n, можна зобразити у виглядi
λ0(t, ε) =
λ00(t, ε)
εβ
, λ`(t, ε) =
λ0`(t, ε)
εβ
,
{
q`(t, ε)
}
i
=
{
q0`(t, ε)
}
i
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 419
де λ00(t, ε), λ0`(t, ε), {q0`(t, ε)}i при всiх t ∈ [0;L] мають порядок O(1) при ε → 0. При
цьому β ∈ (0, 1], якщо t ∈ [0;Cεα] (α дiйсне додатне число); β = 0, якщо t ∈ [t0(ε), L],
t0(ε) = O(1) при ε→ 0.
Доведення. Запишемо деякi допомiжнi спiввiдношення. Функцiї
1
t+ εω1(t)
,
t+ εω1(t)
t(ωi(t)− ω1(t)) + ε(ω1(t)ωi(t)− ωi(t)ω1(t))
подамо у виглядi
1
t+ εω1(t)
=
b(t, ε)
εβ
,
t+ εω1(t)
t(ωi(t)− ω1(t)) + ε(ω1(t)ωi(t)− ωi(t)ω1(t))
=
=
t
εβ
+ ε1−βω1(t)
t
εβ
(ωi(t)− ω1(t)) + ε1−β(ω1(t)ωi(t)− ωi(t)ω1(t))
= a (t, ε) = O(1) , (24)
де
b(t, ε) =
1
t
εβ
+ ε1−βω1(t)
= O(1) ∀ t ∈ [0;L].
Використовуючи послiдовно формулу Лейбнiца для похiдної вищих порядкiв добутку
функцiй, одержуємо(
1
t+ εg(t)
)(s)
=
as(t, g(t), ε)
εβ(s+1)
, (25)
де
as
(
t, g(t), ε
)
=
1(
t
εβ
+ ε1−βg(t)
)s+1
(
−
(
t+ εg(t)
)s−1(
1 + εg′(t)
)(s−1)
+
+2
(
t+ εg(t)
)s−2(
1 + εg′(t)
)(
1 + εg′(t)
)(s−2)
+ · · ·
· · ·+ (k − 1)!(−1)k−1
(
t+ εg(t)
)s+1−k s−1∑
i=2
i−1∑
i1=2
i1−1∑
i2=2
· · ·
· · ·
ik−4−1∑
ik−3=2
(
1 + εg′(t)
)(ik−3−1)(
1 + εg′(t)
)(ik−4−1−ik−3)
. . .
. . .
(
1+εg′(t)
)(i1−1−i2)(
1+εg′(t)
)(i−1−i1)(
1+εg′(t)
)(s−1−i)
+
+(−1)k k!
(
t+ εg(t)
)s−k s−1∑
i=2
i−1∑
i1=2
i1−1∑
i2=2
· · ·
ik−4−1∑
ik−3=2
(
1 + εg′(t)
)
×
×
(
1 + εg′(t)
)(ik−3−2)(
1 + εg′(t)
)(ik−4−1−ik−3)
. . .
420 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
. . .
(
1 + εg′(t)
)(i1−1−i2)(
1 + εg′(t)
)(i−1−i1)
×
×
(
1 + εg′(t)
)(s−1−i)
+ (−1)ss!
(
1 + εg′(t)
)s)
; (26)
fs(t) означає s-й степiнь функцiї f(t), а f (s)(t) s-ту похiдну функцiї f(t).
З виразу (26) видно, що a(t, g(t), ε) = O(1) ∀ t ∈ [0;L] при ε → 0. Поклавши в (25)
g(t) = ω1(t), одержимо(
1
t+ εω1(t)
)(s)
=
bs(t, ε)
εβ(s+1)
, (27)
де bs(t, ε) = a(t, ω1(t), ε).
Далi, покладаючи в (25)
g(t) =
ω1(t)ωi(t)− ωi(t)ω1(t)
ωi(t)− ω1(t)
i використовуючи формулу Лейбнiца для похiдної вищих порядкiв добутку функцiй,
маємо(
t+ εω1(t)
t(ωi(t)− ω1(t)) + ε(ω1(t)ωi(t)− ωi(t)ω1(t))
)(s)
=
as(t, ε)
εβs
, (28)
де
as(t, ε) =
(
s∑
i=0
εβiCis
(
t
εβ
+ ε1−βω1(t)
)(
1
ωi(t)− ω1(t)
)(i)
+
+
s∑
i=0
i∑
j=1
CisC
j
i
(
t+ εω1(t)
)(j)
εβ(i−1)
(
1
ωi(t)− ω1(t)
)(i−j)
×
×as−i
(
t,
ω1(t)ωi(t)− ωi(t)ω1(t)
ωi(t)− ω1(t)
, ε
)
,
причому as(t, ε) = O(1) ∀ t ∈ [0;L] при ε→ 0; s = 1, 2, . . . .
Функцiю λ0(t, ε) запишемо у виглядi
λ0 (t, ε) =
λ00(t, ε)
εβ
, (29)
де λ00(t, ε) має вигляд
λ00(t, ε) =
ω1(t)
t
εβ
+ ε1−βω1(t)
= O(1) ∀ t ∈ [0;L] при ε→ 0 .
Використовуючи (27) та формулу Лейбнiца, s-ту похiдну вiд функцiї λ0(t, ε) зображаємо
у виглядi
λ
(s)
0 (t, ε) =
λs0(t, ε)
εβ(s+1)
, (30)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 421
де
λs0(t, ε) =
s∑
i=1
εβ(s−i)bi(t, ε)ω
(s−i)
1 (t) = O(1)
∀ t ∈ [0;L] при ε→ 0; s = 1, 2, . . . .
З явного вигляду функцiї {q1(t, ε)}i, 2 ≤ i ≤ n, а також (30) випливає{
q1(t, ε)
}
i
=
{
q01(t, ε)
}
i
= O(1) ∀ t ∈ [0;L] при ε→ 0 ,
де {
q01(t, ε)
}
i
= a(t, ε)
{
− S2(t)A1(t)T2(t)q0(t) + ε1−βS2(t)B2(t)T2(t)q0(t)λ00(t, ε)+
+δh1
(
tE + εW (t)
)
T−1
2 (t)T ′2(t)q0(t)
}
i
,
δh1 символ Кронекера.
Диференцiюючи s разiв функцiї {q1(t, ε)}i i при цьому враховуючи (28) (30), функцiї
{q(s)(t, ε)}i зобразимо таким чином:{
q
(s)
1 (t, ε)
}
i
=
{qs1(t, ε)}i
εβs
,
де {
qs1(t, ε)
}
i
=
s∑
j=0
Cjs
{
− εβj
(
S2(t)A1(t)T2(t)q0(t)
)(j)
+
+ε1−β
j∑
j1=0
Cj1j λj1;0(t, ε)εβ(j−j1)
(
S2(t)B2(t)T2(t)q0(t)
)(j−j1)
+
+εβjδh1
((
tE + εW (t)
)
T−1
2 (t)T ′2(t)q0(t)
)(j)
}
i
as−j(t, ε) = O(1)
∀ t ∈ [0;L] при ε→ 0 .
З використанням явного вигляду функцiї λ1(t, ε), а також (28) (30), аналогiчним спо-
собом, як i для функцiї {q1(t, ε)}i, показуємо, що функцiю λ1(t, ε) та її s-ту похiдну λ(s)
1 (t, ε)
можна зобразити у виглядi
λ1(t, ε) =
λ01(t, ε)
εβ
, λ
(s)
1 (t, ε) =
λs1(t, ε)
εβ(s+1)
,
де λ01(t, ε), λs1(t, ε) однозначно визначенi i λ01(t, ε) = O(1), λs1(t, ε) = O(1) ∀ t ∈ [0;L] при
ε→ 0.
Методом математичної iндукцiї доведемо справедливiсть рiвностей{
q`(t, ε)
}
i
=
{
q0`(t, ε)
}
i
,
{
q
(s)
` (t, ε)
}
i
=
{qs`(t, ε)}i
εβs
, (31)
λ`(t, ε) =
λ0`(t, ε)
εβ
, λ
(s)
` (t, ε) =
λs`(t, ε)
εβ(s+1)
(32)
422 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
при будь-якому натуральному `, причому
{q0`(t, ε)}i = O(1), {qs`(t, ε)}i = O(1),
λ`(t, ε) = O(1), λs`(t, ε) = O(1)
∀ t ∈ [0;L] при ε→ 0.
Припустимо, що при ` < k виконуються спiввiдношення (31), (32). Тодi, виходячи з
явного вигляду функцiї {qk(t, ε)}i, одержуємо{
qk(t, ε)
}
i
=
{
q0k(t, ε)
}
i
,
де {
q0k(t, ε)
}
i
= a(t, ε)
{
−
k∑
i=1
S2(t)Ai(t)T2(t)q0;k−i(t, ε)+
+
(
t
εβ
E + ε1−βW (t)
) k∑
i=1
q0i(t, ε)λ0;k−i(t, ε)+
+ε1−β
k∑
i=1
λ00(t, ε)S2(t)Bi+1(t)T2(t)q0;k−i(t, ε)+
+ε1−β
k∑
i=1
k−i∑
j=1
λ0i(t, ε)S2(t)Bj+1(t)T2(t)q0;k−i−j(t, ε)+
+
(
tE + εW (t)
)
T−1
2 (t)T ′2(t)q0;k−h(t, ε)+
+
(
t
εβ
E + ε1−βW (t)
)
q1;k−h(t, ε)+
+ε
k−h−1∑
i=2
S2(t)Bi(t)Q′(t)q0;k−i−h+1(t, ε)+
+ε1−β
k−h−1∑
i=2
S2(t)Bi(t)T2(t)q1;k−i−h+1(t, ε)
}
i
= O(1)
∀ t ∈ [0;L] при ε→ 0 .
Застосовуючи послiдовно до явного вигляду функцiї {qk(t, ε)}i формулу Лейбнiца для
похiдної s-го порядку, використовуючи (28) i припущення про справедливiсть (31) при
` < k, доводимо, що k-ту похiдну функцiї {qk(t, ε)}i можна зобразити у виглядi{
q
(s)
k (t, ε)
}
i
=
{qsk(t, ε)}i
εβs
, i = 2, n ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 423
де {
qsk(t, ε)
}
i
=
s∑
j=0
Cjs
{
k∑
i1=1
j∑
j1=1
εj1
(
S2(t)Ai1(t)T2(t)
)(j1)
qj−j1;k−i1(t, ε)+
+
k∑
i1=1
(
t
εβ
E + ε1−βW (t)
)
qj1;i1(t, ε)λj;k−i1(t, ε)+
+
k−1∑
i1=1
j∑
j1=1
j1∑
j2=1
εβ(j2−1)Cj1j C
j2
j1
(
tE + εW (t)
)(j2)
qj1−j2;i1(t, ε)λj−j1;k−i1(t, ε)+
+
k∑
i=1
j∑
j1=0
j1∑
j2=0
Cj1j C
j2
j1
εβj2
(
S2(t)Bi1+1(t)T2(t)
)(j2)
qj1−j2;i1(t, ε)λj−j1;0(t, ε)+
+
k∑
i1=1
k−i1∑
i2=1
j∑
j1=0
j1∑
j2=0
Cj1j C
j2
j1
(
S2(t)Bi2+1(t)T2(t)
)(j2)
×
×qj1−j2;k−i1−i2(t, ε)λj−j1;i1(t, ε)εβj2+
+
j∑
j1=0
j1∑
j2=0
Cj1j C
j2
j1
εβj2
(
tE + εW (t)
)(j2)(
T−1
2 (t)T ′2(t)
)(j1−j2)
qj−j1;k−h(t, ε)+
+
(
t
εβ
E + ε1−βW (t)
)
qj+1;k−h(t, ε)+
+
j∑
j1=1
Cj1j
(
tE + εW (t)
)(j2)
εβ(j1−1)qj−j1+1;k−h(t, ε)+
+ε
k−h−1∑
i1=2
j∑
j1=0
Cj1j
(
S2(t)Bi1(t)T2(t)
)(j1)
εβj1qj−j1;k−i1−h+1(t, ε)+
+ε
k−h−1∑
i1=2
j∑
j1=0
Cj1j
(
S2(t)Bi1(t)T2(t)
)(j1)
qj−j1;k−i1−h+1(t, ε)εβj1
}
i
×
×as−j(t, ε) = O(1) ∀ t ∈ [0;L] при ε→ 0 .
Таким чином, доведено (31) при ` = k. Аналогiчно доводиться (32) для ` = k.
Лему доведено.
Дослiдження розв’язкiв функцiй λ`(t, ε), u`(t, ε), ` = 1, 2, . . . , ∀ t ∈ [0;L] при ε → 0, якi
визначенi в теоремi 2, проводиться з допомогою леми 3.
Поведiнка функцiй λ`(t, ε), u`(t, ε), ` = 1, 2, . . . , на вiдрiзку [0;L] при ε→ 0, якi знаходя-
ться за допомогою теорем 1 i 2, дала змогу довести теорему про асимптотичний характер
формальних розв’язкiв (5).
Теорема 3. Якщо виконуються умови теорем 1 i 2, а також справедливi нерiвностi
Re
h∑
r=0
εrλr(t, ε) ≤ 0 на множинi K, то для кожного формального розв’язку x(t, ε) має
мiсце оцiнка ‖xm(t, ε)−x(t, ε)‖ ≤ Cεm−h, де xm(t, ε), x(t, ε) вiдповiдноm-те наближення
i точний розв’язок системи (1).
424 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3
1. Шкиль Н.И., Старун И.И., Яковец В.П. Асимптотическое интегрирование линейных систем обыкно-
венных дифференциальных уравнений. Киев: Выща шк., 1989. 287 с.
2. Шкиль Н.И., Старун И.И., Яковец В.П. Асимптотическое интегрирование линейных систем диффе-
ренциальных уравнений с вырождениями. Киев: Выща шк., 1991. 207 с.
3. Шкиль Н.И. Об асимптотических методах в теории линейных дифференциальных уравнений и их
применении. Киев, 1996. 207 с.
4. Шкиль Н.И. О периодических решениях систем дифференциальных уравнений второго порядка //
Arch. mat. 1987. 23, № 1. C. 53 62.
5. Завизион Г.В. Асимптотическое представление решений систем линейных дифференциальных урав-
нений при наличии точек поворота: Автореф. ... канд. физ.-мат. наук. Киев, 1990. 14 с.
Одержано 01.12.98
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 3 425
|