Дослідження згасання розв’язків рівняння Маккі ‒ Гласса з імпульсною дією
Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение Макки – Гласса с переменными коэффициентами, непостоянным запаздыванием и импульсным воздействием. Получены условия угасания положительных решений данного уравнения....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177170 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Дослідження згасання розв’язків рівняння Маккі ‒ Гласса з імпульсною дією / О.I. Неня // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 511-517. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177170 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771702021-02-12T01:26:28Z Дослідження згасання розв’язків рівняння Маккі ‒ Гласса з імпульсною дією Неня, О.I. Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение Макки – Гласса с переменными коэффициентами, непостоянным запаздыванием и импульсным воздействием. Получены условия угасания положительных решений данного уравнения. We consider a functional-differential Mackey – Glass equation with variable coefficients, nonconstant delay, and impulsive effects, and find conditions for attenuation of its positive solutions. 2013 Article Дослідження згасання розв’язків рівняння Маккі ‒ Гласса з імпульсною дією / О.I. Неня // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 511-517. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177170 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение Макки – Гласса с переменными коэффициентами, непостоянным запаздыванием и импульсным воздействием. Получены условия угасания положительных решений данного уравнения. |
| format |
Article |
| author |
Неня, О.I. |
| spellingShingle |
Неня, О.I. Дослідження згасання розв’язків рівняння Маккі ‒ Гласса з імпульсною дією Нелінійні коливання |
| author_facet |
Неня, О.I. |
| author_sort |
Неня, О.I. |
| title |
Дослідження згасання розв’язків рівняння Маккі ‒ Гласса з імпульсною дією |
| title_short |
Дослідження згасання розв’язків рівняння Маккі ‒ Гласса з імпульсною дією |
| title_full |
Дослідження згасання розв’язків рівняння Маккі ‒ Гласса з імпульсною дією |
| title_fullStr |
Дослідження згасання розв’язків рівняння Маккі ‒ Гласса з імпульсною дією |
| title_full_unstemmed |
Дослідження згасання розв’язків рівняння Маккі ‒ Гласса з імпульсною дією |
| title_sort |
дослідження згасання розв’язків рівняння маккі ‒ гласса з імпульсною дією |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177170 |
| citation_txt |
Дослідження згасання розв’язків рівняння Маккі ‒ Гласса з імпульсною дією / О.I. Неня // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 511-517. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT nenâoi doslídžennâzgasannârozvâzkívrívnânnâmakkíglassazímpulʹsnoûdíêû |
| first_indexed |
2025-07-15T15:12:09Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:12:09Z |
| _version_ |
1837726254969651200 |
| fulltext |
УДК 517.9
ДОСЛIДЖЕННЯ ЗГАСАННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ
РIВНЯННЯ МАККI – ГЛАССА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ
О. I. Неня
Київ. нац. економ. ун-т iм. В. Гетьмана
Україна, 03680, Київ, просп. Перемоги, 54/1
We consider a functional-differential Mackey – Glass equation with variable coefficients, nonconstant delay,
and impulsive effects, and find conditions for attenuation of its positive solutions.
Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение Макки – Гласса с переменными
коэффициентами, непостоянным запаздыванием и импульсным воздействием. Получены усло-
вия угасания положительных решений данного уравнения.
Вступ. Розглянемо нелiнiйне функцiонально-диференцiальне рiвняння Маккi – Гласса з
iмпульсною дiєю
·
x(t) =
p(t)x(g(t))
1 + xn(g(t))
− δ(t)x(t), t 6= tk, (1)
x(tk + 0) = (1 + bk)x(tk), k ∈ Z, (2)
де n > 0, p(t) ≥ 0, δ(t) > 0, g(t) — кусково-неперервнi функцiї, g(t) < t, limt→∞ g(t) = ∞,
limt→∞ sup(t−g(t)) < ∞, послiдовнiсть точок iмпульсної дiї задовольняє умови tk+1−tk >
> 0, k ∈ Z+.
Рiвняння Маккi – Гласса було представлене як модель гематопоезу (вiдтворення клi-
тин кровi) у роботi [1]. Дослiдження даного рiвняння та деяких схожих моделей див., на-
приклад, у [2 – 4]. Рiвняння Маккi – Гласса iз запiзненням описує модель генерацiї бiлих
кров’яних тiлець [5, 6], а iмпульсна дiя характеризує короткочаснi зовнiшнi впливи на
систему [7, 8].
Основними питаннями, що дослiджуються в вищезгаданих працях, є iснування перiо-
дичних розв’язкiв, властивiсть перманентностi розв’язку, локальний та глобальний аналiз
стiйкостi розв’язкiв.
Пiд розв’язком рiвняння (1) iз початковим значенням
x(t) = ϕ(t), t < t0, x(t0) = x0 > 0, (3)
де ϕ : (−∞, t0) → R, ϕ(t) ≥ 0 — кусково-неперервна обмежена функцiя, розумiємо
абсолютно неперервну на кожному iнтервалi (tj , tj+1] функцiю, яка задовольняє рiвняння
(1) майже скрiзь, а також задовольняє умови iмпульсiв (2).
Виходячи з бiологiчної iнтерпретацiї даного рiвняння, розглядаємо розв’язки, якi на-
бувають невiд’ємних значень.
c© О. I. Неня, 2013
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 511
512 О. I. НЕНЯ
Означення 1. Розв’язок x(t) рiвняння (1) будемо називати згасаючим, якщо
x(t) > 0, lim
t→∞
x(t) = 0.
Допомiжнi результати. Розглянемо лiнiйне рiвняння
·
x(t) = c(t)x(g(t))− a(t)x(t), t 6= tk,
(4)
x(tk + 0) = (1 + bk)x(tk), t = tk,
з початковою функцiєю та початковим значенням
x(t) = ϕ(t) ≥ 0, t < t0, x(t0) = x0 > 0. (5)
Введемо до розгляду також вiдповiднi нерiвностi з iмпульсною дiєю:
·
y(t) ≤ c(t)y(g(t))− a(t)y(t),
(6)
y(tk + 0) = (1 + bk)y(tk)
та
·
w(t) ≥ c(t)w(g(t))− a(t)w(t),
(7)
w(tk + 0) = (1 + bk)w(tk).
Теорема 1. Нехай a(t) ≥ 0, c(t) > 0, g(t) — кусково-неперервнi функцiї. Тодi розв’язок
рiвняння (4), (5) є додатним. Якщо x(t) = y(t) = w(t), t ≤ t0, то y(t) ≤ x(t) ≤ w(t),
t ≥ t0, де y(t) i w(t) — вiдповiдно розв’язки нерiвностей (6), (7).
Доведення. При доведеннi теореми використаємо iдеї статтi [5]. Позначимо
z(t) = x(t) exp
t∫
t0
a(s) ds
∏
t0≤tk<t
(1 + bk)
−1, t > t0, (8)
z(t) = ϕ(t) при t < t0, z(t0) = x(t0).
Пiдставивши z(t) в (4), отримаємо рiвняння
·
z(t) = c(t)z(g(t)) exp
t∫
g(t)
a(s)ds
∏
g(t)≤tk<t
(1 + bk)
−1. (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
ДОСЛIДЖЕННЯ ЗГАСАННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ РIВНЯННЯ МАККI – ГЛАССА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ 513
Звiдси робимо висновок, що при додатних початкових умовах z′(t) ≥ 0, тому функцiя z(t)
є додатною i неспадною. Розв’язок x(t) теж буде додатною функцiєю, оскiльки знаки x(t)
i z(t) збiгаються.
Розглянемо фундаментальну функцiю X(t, s) для рiвняння (4), яка є його розв’язком
при t ≥ s з початковими умовами X(t, s) = 0, t < s, X(s, s) = 1, i тому X(t, s) > 0.
Позначимо u(t) = x(t) − y(t), де y(t) — розв’язок рiвняння, яке отримується iз нерiв-
ностi (6):
·
y(t) = c(t)y(g(t))− a(t)y(t)− f(t),
y(tk + 0) = (1 + bk)y(tk), f(t) ≥ 0.
Тодi
·
u(t) = c(t)u(g(t))− a(t)u(t) + f(t), u(t) = 0, t ≤ t0,
(10)
u(tk + 0) = (1 + bk)u(tk), t = tk.
Розв’язок рiвняння (10) має вигляд
u(t) =
t∫
t0
X(t, s)f(s)ds ≥ 0. (11)
Звiдси x(t) ≥ y(t) при t ≥ t0.
Аналогiчно, якщо u(t) = w(t) − x(t), де w(t) — розв’язок нерiвностi (7), отримуємо
u(t) ≥ 0 i тому x(t) ≤ w(t).
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Якщо виконуються умови
inf
t>t0
a(t)c(t)
∏
g(t)≤tk<t
(1 + bk)
> ρ > 1, (12)
lim
t→∞
∏
t0≤tk<t
(1 + bk) e
−α(t−t0)
= 0, (13)
де α визначається формулою
0 < α < inf
t∈(t0,+∞)
a(t)
(
1− 1
ρ
)
,
1
h(t)
ln
inf
t>t0
a(t)
ρc(t)
∏
g(t)≤tk<t
(1 + bk)
, (14)
h(t) = t− g(t), то для будь-якого розв’язку x(t) рiвняння (4) limt→∞ x(t) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
514 О. I. НЕНЯ
Доведення. При доведеннi теореми скористаємося методикою, запропонованою в [9].
Введемо функцiю
y(t) = k exp
t∫
t0
[a(s)− α] ds
, (15)
де k вибирається достатньо великим, щоб для довiльного t ≤ t0 виконувалась умова
z(t) ≤ y(t), z(t) — розв’язок рiвняння (9).
Можна показати, що для t ≥ t0
y′(t) = (a(t)− α) exp
t∫
g(t)
[a(s)− α]ds
y(g(t)). (16)
Розiб’ємо iнтервал [t0; +∞) на iнтервали запiзнення. Iснує значення t1 таке, що g(t) > t0
при t > t1, тому g(t1) = t0. Тобто маємо iнтервал [t0, t1). Аналогiчно будується iнтервал
[t1, t2), де g(t2) = t1, i т. д.
Далi, для довiльного t ∈ [t0, t1] маємо розв’язок рiвняння (9)
z(t) = z(t0) +
t∫
t0
c(s) exp
s∫
g(s)
a(σ)dσ
∏
g(s)≤tk<s
(1 + bk)
−1z(g(s))ds.
Тодi
z(t) ≤ y(t0) +
t∫
t0
c(s) exp
s∫
g(s)
a(σ)dσ
∏
g(s)≤tk<s
(1 + bk)
−1y(g(s))ds ≤
≤ y(t0) +
t∫
t0
(a(s)− α) exp
s∫
g(s)
[a(σ)− α]ds
y(g(s))ds = y(t).
Перехiд в останнiй нерiвностi можливий за умови
c(t) exp
t∫
g(t)
a(s)ds
∏
g(t)≤tk<t
(1 + bk)
−1 ≤ (a(t)− α) exp
t∫
g(t)
[a(s)− α]ds
,
звiдки
α ≤ a(t)− c(t)eαh(t)
∏
g(t)≤tk<t
(1 + bk)
−1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
ДОСЛIДЖЕННЯ ЗГАСАННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ РIВНЯННЯ МАККI – ГЛАССА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ 515
Якщо виконується умова (14), то для t > t0 отримуємо
a(t)− c(t)eαh(t)
∏
g(t)≤tk<t
(1 + bk)
−1 ≥ a(t)− c(t) a(t)
ρc(t)
= a(t)
(
1− 1
ρ
)
> α.
Отже, на промiжку [t0, t1] виконується оцiнка z(t) ≤ y(t).
Аналогiчно для розв’язку z(t) на iнтервалi [t1, t2]:
z(t) = z(t1) +
t∫
t1
c(s) exp
s∫
g(s)
a(σ)dσ
∏
g(s)≤tk<s
(1 + bk)
−1z(g(s))ds ≤
≤ y(t1) +
t∫
t1
c(s) exp
s∫
g(s)
a(σ)dσ
∏
g(s)≤tk<s
(1 + bk)
−1y(g(s))ds ≤
≤ y(t1) +
t∫
t1
(a(s)− α) exp
s∫
g(s)
[a(σ)− α]ds
y(g(s))ds = y(t).
Аналогiчно оцiнку z(t) ≤ y(t) можна продовжити на решту iнтервалiв [tn−1, tn]. Тому,
використовуючи замiну (8), отримуємо
x(t) = z(t) exp
− t∫
t0
a(s)ds
∏
t0≤tk<t
(1 + bk) ≤
≤ k exp
t∫
t0
[a(s)− α]ds
exp
− t∫
t0
a(s)ds
∏
t0≤tk<t
(1 + bk) =
= k exp
− t∫
t0
αds
∏
t0≤tk<t
(1 + bk) = ke−α(t−t0)
∏
t0≤tk<t
(1 + bk).
З останньої нерiвностi та умови (13) випливає, що для довiльного розв’язку рiвняння (4)
має мiсце limt→∞ x(t) = 0.
Теорему 2 доведено.
Умови згасання розв’язку рiвняння Маккi – Гласса.
Теорема 3. Будь-який розв’язок рiвняння (1) – (3) є додатним для всiх t.
Доведення. Позначимо
x(t) = z(t) exp
−
t∫
t0
δ(s)ds+
∑
t0≤tk<t
ln(1 + bk)
, t > t0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
516 О. I. НЕНЯ
z(t) = ϕ(t) при t < t0, z(t0) = x(t0).
Тодi рiвняння (1) – (3) набере вигляду
·
z(t) =
p(t)z(g(t)) exp
{∫ t
g(t)
δ(s)ds−
∑
g(t)≤tk<t ln(1 + bk)
}
1 +
[
z(g(t)) exp
{
−
∫ g(t)
t0
δ(s)ds+
∑
t0≤tk<g(t) ln(1 + bk)
}]n .
Оскiльки ϕ(t) > 0, x0 = z0 > 0, то
·
z(t) ≥ 0 i функцiя z(t) є неспадною. Тому z(t) > 0 при
t ≥ t0 i вiдповiдно x(t) > 0 при t ≥ t0.
Теорему 3 доведено.
Теорема 4. Нехай виконуються умови
inf
t>t0
δ(t)p(t)
∏
g(t)≤tk<t
(1 + bk)
> ρ > 1, (17)
lim
t→∞
∏
t0≤tk<t
(1 + bk) e
−α(t−t0)
= 0, (18)
де
0 < α < inf
t∈(t0,+∞)
δ(t)
(
1− 1
ρ
)
,
1
h(t)
ln
inf
t>t0
δ(t)
ρp(t)
∏
g(t)≤tk<t
(1 + bk)
.
Тодi для будь-якого розв’язку x(t) рiвняння (1) limt→∞ x(t) = 0.
Доведення. Оскiльки розв’язок x(t) є додатним, то
·
x(t) ≤ p(t)x(g(t))− δ(t)x(t), t ≥ 0,
x(tk + 0) = (1 + bk)x(tk).
Далi, використовуючи теореми 1, 2, доводимо дану теорему.
1. Mackey M. C., Glass L. Oscillation and chaos in physiological control systems // Science. — 1977. — 197. —
P. 287 – 289.
2. Hale J. K., Sternberg N. Onset of chaos in differential delay equations // J. Comput. Phys. — 1988. — 77,
№ 1. — P. 221 – 239.
3. Gopalsamy K., Trofimchuk S. I., Bantsur N. R. A note on global attractivity in models of hematopoiesis //
Ukr. Math. J. — 1998. — 50, № 1. — P. 5 – 12.
4. Liz E., Pinto M., Tkachenko V., Trofimchuk S. A global stability criterion for a family of delayed population
models // Quart. Appl. Math. — 2005. — 63. — P. 56 – 70.
5. Berezansky L., Braverman E. Mackey – Glass equation with variable coefficients // Comput. and Math. Appl. —
2006. — 51. — P. 1 – 16.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
ДОСЛIДЖЕННЯ ЗГАСАННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ РIВНЯННЯ МАККI – ГЛАССА З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ 517
6. Мисло Ю. М., Ткаченко В. I. Майже перiодичнi розв’язки рiвнянь Маккi – Гласса з iмпульсною дiєю //
Нелiнiйнi коливання. — 2011. — 14, № 4. — С. 507 – 515.
7. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Вища шк., 1987. — 288 с.
8. Lakshmikantham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations. — Singapure:
World Sci., 1989. — 273 p.
9. Lisena B. Global attractivity in nonautonomous logistic equations with delay // Nonlinear Anal.: Real World
Appl. — 2008. — 9. — P. 53 – 63.
Одержано 19.06.12,
пiсля доопрацювання — 28.08.13
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
|