Різницеві рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв'язками
Получены условия абсолютной неустойчивости нулевых решений нелинейных разностных уравнений.
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177173 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Різницеві рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв'язками / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 536-546. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177173 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771732021-02-12T01:26:29Z Різницеві рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв'язками Слюсарчук, В.Ю. Получены условия абсолютной неустойчивости нулевых решений нелинейных разностных уравнений. We obtain conditions for absolute instability of trivial solutions of nonlinear differenсе equations. 2013 Article Різницеві рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв'язками / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 536-546. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177173 517.929 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Получены условия абсолютной неустойчивости нулевых решений нелинейных разностных уравнений. |
| format |
Article |
| author |
Слюсарчук, В.Ю. |
| spellingShingle |
Слюсарчук, В.Ю. Різницеві рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв'язками Нелінійні коливання |
| author_facet |
Слюсарчук, В.Ю. |
| author_sort |
Слюсарчук, В.Ю. |
| title |
Різницеві рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв'язками |
| title_short |
Різницеві рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв'язками |
| title_full |
Різницеві рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв'язками |
| title_fullStr |
Різницеві рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв'язками |
| title_full_unstemmed |
Різницеві рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв'язками |
| title_sort |
різницеві рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв'язками |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177173 |
| citation_txt |
Різницеві рівняння з абсолютно нестійкими нульовими розв'язками / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 536-546. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT slûsarčukvû ríznicevírívnânnâzabsolûtnonestíjkiminulʹovimirozvâzkami |
| first_indexed |
2025-07-15T15:12:21Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:12:21Z |
| _version_ |
1837726267499085824 |
| fulltext |
УДК 517.929
РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ
З АБСОЛЮТНО НЕСТIЙКИМИ НУЛЬОВИМИ РОЗВ’ЯЗКАМИ
В. Ю. Слюсарчук
Нац. ун-т вод. госп-ва та природокористування
Україна, 33000, Рiвне, вул. Соборна, 11
e-mail: V.Ye.Slyusarchuk@NUWM.rv.ua
We obtain conditions for absolute instability of trivial solutions of nonlinear differenсе equations.
Получены условия абсолютной неустойчивости нулевых решений нелинейных разностных урав-
нений.
1. Основнi позначення й об’єкт дослiджень. Нехай R+ — множина всiх дiйсних невiд’єм-
них чисел, Z+ — множина всiх цiлих невiд’ємних чисел, N — множина всiх натуральних
чисел, C — множина всiх комплексних чисел, E — комплексний банаховий простiр не-
скiнченної розмiрностi з нормою ‖ · ‖E i L(X1, X2) — банаховий простiр усiх лiнiйних
неперервних операторiв A : X1 → X2 з нормою ‖A‖L(X1,X2) = sup‖x‖X1
=1 ‖Ax‖X2 (X1 i
X2 — довiльнi банаховi простори).
Позначимо через K алгебру цiлком неперервних операторiв K ∈ L(E,E), а через G
множину всiх послiдовностей (Gn) операторiв Gn : E → E, n ∈ Z+, для кожної з яких
iснують функцiя ϕ : R+ → R+ i послiдовнiсть (Kn), членами якої є елементи алгебри K,
для яких
lim
t→+0
ϕ(t) = ϕ(0) = 0 (1)
i
‖Gn(x)‖E ≤ ϕ(‖Knx‖E) (2)
для всiх n ∈ Z+ i x ∈ E.
Функцiя ϕ та оператори Gn : E → E, n ∈ Z+, неперервнi в нулi, в iнших точках
вони можуть бути розривними. Вважатимемо, що для кожного числа T > 0 для функцiї
ϕ виконується спiввiдношення
sup
t∈[0,T ]
ϕ(y) < ∞.
Завдяки цьому спiввiдношенню та спiввiдношенню (2) оператори Gn, n ∈ Z+, є обмеже-
ними, тобто для кожного числа r > 0
sup
‖x‖E6r
‖Gn(x)‖E < ∞, n ∈ Z+.
Очевидно, що на пiдставi (1) i (2)
Gn(0) ≡ 0
c© В. Ю. Слюсарчук, 2013
536 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ З АБСОЛЮТНО НЕСТIЙКИМИ НУЛЬОВИМИ РОЗВ’ЯЗКАМИ 537
для всiх (Gn) ∈ G.
Розглянемо рiзницеве рiвняння
xn+1 = Axn +Gn(xn), n ∈ Z+, (3)
де A ∈ L(E,E) i оператори Gn : E → E, n ∈ Z+, є такими, що (Gn) ∈ G.
Завдяки вимогам до розглянутих вище операторiв для кожного вектора x0 ∈ E рiв-
няння (3) має єдиний залежний вiд x0 розв’язок xn = xn(x0), що задовольняє початкову
умову
x0(x0) = x0.
Очевидно, що xn(0) ≡ 0, тобто рiвняння (3) має нульовий розв’язок.
Метою статтi є встановлення умов нестiйкостi нульового розв’язку рiвняння (3) одно-
часно для всiх послiдовностей (Gn) ∈ G.
Нульовий розв’язок рiвняння (3) будемо називати абсолютно нестiйким по вiдношен-
ню до послiдовностей (Gn) ∈ G, якщо цей розв’язок нестiйкий для кожної такої послiдов-
ностi.
Нагадаємо, що нульовий розв’язок рiвняння (3) називається нестiйким, якщо iснує
таке число a > 0, що для кожного як завгодно малого числа δ > 0 для деяких вектора
x0 ∈ E i числа n0 > 0 справджуються спiввiдношення
‖x0‖E < δ
i
‖xn0(x0)‖E > a.
2. Формулювання основного результату. Позначимо через σess.a(A) iстотно апрокси-
мативний спектр оператора A (означення та деякi властивостi цього спектра наведемо в
наступному пунктi). Множинi σess.a(A) поставимо у вiдповiднiсть число
ress.a(A) = sup{|λ| : λ ∈ σess.a(A)},
яке називатимемо iстотно апроксимативним спектральним радiусом оператора A.
Справджується така теорема.
Теорема 1. Нехай ress.a(A) > 1.
Тодi нульовий розв’язок рiвняння (3) абсолютно нестiйкий по вiдношенню до послi-
довностей (Gn) ∈ G.
Доведення теореми наведемо пiсля розгляду допомiжних результатiв.
3. Iстотно апроксимативний спектр оператора. Наведемо потрiбнi для подальшого да-
нi про iстотно апроксимативний спектр лiнiйного неперервного оператора.
Обмежену послiдовнiсть (yn) векторiв простору E будемо називати iстотно розбiж-
ною, якщо вона не мiстить збiжних пiдпослiдовностей. Множина таких послiдовностей не
є порожньою завдяки нескiнченнiй розмiрностi простору E (див., наприклад, доведення
некомпактностi одиничної кулi в E [1, с. 235, 236]).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
538 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Нехай Ω — довiльна пiдмножина простору E i diam Ω — її дiаметр, визначений рiвнi-
стю
diam Ω = sup {‖x− y‖ : x, y ∈ Ω},
який для необмеженого Ω вважається рiвним нескiнченностi, а для порожнього Ω — ну-
лю.
Для обмеженої множини Ω мiрою некомпактностi (див. [2, с. 321]) називається число
α(Ω) = inf
{
d : iснує скiнченне число пiдмножин Ω1, . . . ,Ωn простору E,
для яких diam Ω1 6 d, . . . ,diam Ωn 6 d i Ω ⊂
n⋃
i=1
Ωi
}
.
Iстотно апроксимативним спектром оператора A ∈ L(E,E) називається множина
σess.a(A) ⊂ σ(A) (σ(A) — спектр оператораA), для кожної точки λ якої iснує така iстотно
розбiжна послiдовнiсть (xn) елементiв простору E, що
lim
n→∞
‖(A− λI)xn‖E = 0.
Наведемо деякi властивостi iстотно апроксимативного спектра оператора за допомо-
гою наступних теорем.
Теорема 2 [3, с. 241]. Для кожного лiнiйного неперервного оператора A, що дiє в не-
скiнченновимiрному банаховому просторiE, iстотно апроксимативний спектр σess.a(A)
є непорожньою компактною множиною.
Теорема 3 [4]. Наступнi твердження є рiвносильними:
1) λ ∈ σess.a(A);
2) iснує обмежена множина B ⊂ E, для якої α(B) > 0 i α((A− λI)B) = 0;
3) dim ker(A− λI) = ∞ або Im(A− λI) 6= Im(A− λI).
Теорема 4 [4]. Кожна гранична не внутрiшня точка спектра σ(A) є точкою iстотно
апроксимативного спектра σess.a(A).
Теорема 5 [4]. Для довiльних числа λ ∈ σess.a(A) i вiдносно компактної множини B
цiлком неперервних операторiв K ∈ L(E,E1) (E1 — банаховий простiр) iснує iстотно
розбiжна послiдовнiсть (xn) векторiв простору E, для якої
lim
n→∞
(
‖(A− λI)xn‖E + sup
K∈B
‖Kxn‖E1
)
= 0.
Зауваження 1. У теоремi 5 вектори iстотно розбiжної послiдовностi (xn) можуть бути
нормованими.
4. Доведення теореми 1. Зафiксуємо довiльнi послiдовнiсть (Gn) ∈ G i число ε ∈ (0, 1).
Нехай функцiя ϕ i послiдовнiсть Kn ∈ K, n ∈ Z+, є такими, що виконуються спiввiд-
ношення (1) i (2), а µ є такою точкою множини σess.a(A), що |µ| = ress.a(A). Оскiльки
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ З АБСОЛЮТНО НЕСТIЙКИМИ НУЛЬОВИМИ РОЗВ’ЯЗКАМИ 539
ress.a(A) > 1, то iснує натуральне число n0(ε), для якого
ε|µ|n0(ε) > 2. (4)
За означенням iстотно апроксимативного спектра оператора та теоремою 5 для деякої
iстотно розбiжної послiдовностi нормованих векторiв am ∈ E, m ≥ 1,
lim
m→∞
‖Aam − µam‖E = 0 (5)
i
lim
m→∞
max
n=0,n(ε)
‖Knam‖E = 0. (6)
Розглянемо розв’язок xn(εam) рiзницевого рiвняння (3), що задовольняє початкову
умову
x0(εam) = εam.
Покажемо, що для n = 1, n(ε) i m ∈ N справджується спiввiдношення
xn(εam) = εµnam + ϕn,m, (7)
де ϕn,m ∈ E для всiх n = 1, n(ε) та m ∈ N i
lim
m→∞
‖ϕn,m‖E = 0 (8)
для кожного n = 1, n(ε).
Справдi, завдяки (3) при n = 0
x1(εam) = Aεam +G0(εam), m ∈ N.
Запишемо це спiввiдношення у виглядi
x1(εam) = εµam + ε(Aam − µam) +G0(εam), m ∈ N.
Завдяки (1), (2), (5) i (6)
lim
m→∞
(ε‖Aam − µam‖E + ‖G0(εam)‖E) = 0.
Тому спiввiдношення (7) виконується при n = 1, i в цьому випадку величина
ϕ1,m = ε(Aam − µam) +G0(εam)
задовольняє (8) (при n = 1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
540 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Далi проведемо мiркування з використанням методу математичної iндукцiї. Припус-
тимо, що спiввiдношення (7) виконується при n = l (l ∈ [0, n(ε))), тобто
xl(εam) = εµlam + ϕl,m, (9)
i для ϕl,m виконується спiввiдношення
lim
m→∞
‖ϕl,m‖E = 0. (10)
Використаємо (3) при n = l:
xl+1(εam) = Axl(εam) +Gl(xl(εam)), m ∈ N.
Це спiввiдношення на пiдставi (9) можна записати у виглядi
xl+1(εam) = εµl+1 + εµl (Aam − µam) +Aϕl,m +Gl(εµ
lam + ϕl,m), m ∈ N.
Завдяки (5) i (10)
lim
m→∞
∥∥∥εµl (Aam − µam) +Aϕl,m
∥∥∥
E
= 0,
а завдяки (1), (6), (10) та нерiвностi
‖Gl(εµlam + ϕl,m)‖E ≤ ϕ
(
εµlKlam +Klϕl,m
)
,
що випливає з (2), справджується спiввiдношення
lim
m→∞
∥∥∥Gl(εµlam + ϕl,m)
∥∥∥
E
= 0.
Тому виконуються спiввiдношення (7) та (8) i при n = l + 1.
Отже, спiввiдношення (7) та (8) справджуються для всiх n = 1, n(ε) i m ∈ N.
Звiдси та з того, що ‖am‖E = 1, m ≥ 1, на пiдставi (4) отримуємо, що для всiх досить
великих m
‖xn(ε)(εam)‖E > 2.
Це спiввiдношення та довiльнiсть вибору числа ε означають нестiйкiсть нульового розв’яз-
ку рiзницевого рiвняння (3).
Оскiльки послiдовнiсть (Gn) ∈ G є довiльною, то нульовий розв’язок рiвняння (3)
абсолютно нестiйкий.
Теорему 1 доведено.
5. Застосування теореми 1. Використаємо теорему 1 для отримання для рiзницевих
рiвнянь аналога теореми про нестiйкiсть за першим наближенням та для дослiдження
нестiйкостi розв’язкiв нелiнiйних диференцiально-рiзницевих рiвнянь нейтрального типу.
5.1. Аналог теореми про нестiйкiсть за першим наближенням. Розглянемо рiзницеве
рiвняння (3) у випадку ϕ(t) ≡ t.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ З АБСОЛЮТНО НЕСТIЙКИМИ НУЛЬОВИМИ РОЗВ’ЯЗКАМИ 541
Позначимо через r(A) спектральний радiус оператора A ∈ L(E,E).
Справджується така теорема.
Теорема 6. Нехай:
1) r(A) > 1;
2) iснує така обмежена послiдовнiсть (Kn) елементiв алгебри K цiлком неперервних
операторiв K ∈ L(E,E), що
‖Gn(x)‖E 6 ‖Knx‖E
для всiх n ∈ Z+ i x ∈ E.
Тодi для достатньо малого числа
Q = sup
n∈Z+
‖Kn‖L(E,E)
нульовий розв’язок рiвняння (3) є нестiйким.
Зауваження 2. У сформульованiй теоремi алгебру K цiлком неперервних операто-
рiв K ∈ L(E,E) не можна замiнити алгеброю L(E,E). Нульовий розв’язок рiвняння (3)
може стати експоненцiально стiйким [5].
Теорема 6 є наслiдком теореми 1 та наступного твердження.
Теорема 7 [6, с. 22]. Нехай:
1) iснує таке число r ≥ 1, що σ(A) ∩ {z : |z| = r} = ∅ i σ(A) ∩ {z : |z| > r} 6= ∅;
2) iснують такi числа q > 0 i ρ > 0, що supn∈Z+
‖Gn(x)‖E ≤ q‖x‖E , ‖x‖E ≤ ρ.
Тодi для достатньо малого числа q нульовий розв’язок рiвняння (3) є нестiйким.
Доведення теореми 6. Розглянемо число γ = maxz∈σ(A) |z| > 1. Очевидно, що σ(A) ∩
∩{z : |z| = r} = ∅ для деякого r ∈ [1, γ) або σ(A)∩{z : |z| = r} 6= ∅ для всiх r ∈ [1, γ). У
першому випадку з теореми 7 випливає нестiйкiсть нульового розв’язку рiвняння (3) при
достатньо малому Q. У другому випадку завдяки теоремi 4 σess.a(A) ∩ {z : |z| > 1} 6= ∅.
Тому за теоремою 1 нульовий розв’язок рiвняння (3) також нестiйкий (у цьому випадку Q
може бути довiльним).
Теорему 6 доведено.
Зауваження 3. Оператори Gn, n ∈ Z+, що задовольняють умову 2 теореми 6, можуть
не бути цiлком неперервними. Це пiдтверджується наступним прикладом.
Приклад. Розглянемо оператор G : E → E, що визначається формулою
G(x) = ‖Kx‖E sgn x, x ∈ E,
де K — ненульовий цiлком неперервний елемент простору L(E,E) i
sgn x =
{
‖x‖−1E x, якщо x ∈ E \ {0},
0, якщо x = 0.
Цей оператор не є цiлком неперервним. Справдi, розглянемо довiльний вектор a ∈ E
такий, що
‖a‖E > 1 (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
542 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
i
Ka 6= 0, (12)
та iстотно розбiжну послiдовнiсть нормованих векторiв xn, n ≥ 1, для якої
lim
n→∞
‖Kxn‖E = 0. (13)
Для цiєї послiдовностi
lim
k→∞
inf
m>n>k
‖xn − xm‖E > 0. (14)
Далi розглянемо обмежену послiдовнiсть (a+ xn). Покажемо, що послiдовнiсть
(‖K(a+ xn)‖E sgn(a+ xn))
не мiстить збiжних пiдпослiдовностей.
Припустимо, що iснує збiжна пiдпослiдовнiсть
(
‖K(a+ xnk
)‖E sgn (a+ xnk
)
)
послi-
довностi (‖K(a+ xn)‖E sgn(a+ xn)) . Тодi
lim
k1,k2→∞
∥∥∥∥∥∥K (a+ xnk1
)∥∥∥
E
sgn
(
a+ xnk1
)
−
∥∥∥K(a+ xnk2
)
∥∥∥
E
sgn
(
a+ xnk2
)∥∥∥
E
= 0.
Iз цього спiввiдношення, (12) та (13) випливає, що
lim
k1,k2→∞
∥∥∥sgn
(
a+ xnk1
)
− sgn
(
a+ xnk2
)∥∥∥
E
= 0,
тобто
lim
k1,k2→∞
∥∥∥∥∥∥∥a+ xnk1
∥∥∥−1
E
(
a+ xnk1
)
−
∥∥∥a+ xnk2
∥∥∥−1
E
(
a+ xnk2
)∥∥∥∥
E
= 0. (15)
Оскiльки послiдовнiсть
(
‖a+ xnk
‖−1E
)
числова й обмежена, то iснує збiжна пiдпослiдов-
нiсть цiєї послiдовностi. Не обмежуючи загальностi, можна вважати, що сама послiдов-
нiсть
(
‖a+ xnk
‖−1E
)
є збiжною. Завдяки (11) її границею є деяке додатне число. Звiдси та
(15) отримуємо
lim
k1,k2→∞
‖(a+ xnk1
)− (a+ xnk2
)‖E = 0.
Тому
lim
k1,k2→∞
‖xnk1
− xnk2
‖E = 0,
що суперечить (14).
Таким чином, припущення про iснування збiжної пiдпослiдовностi послiдовностi
(‖K(a+ xn)‖E sgn(a+ xn))
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ З АБСОЛЮТНО НЕСТIЙКИМИ НУЛЬОВИМИ РОЗВ’ЯЗКАМИ 543
є хибним. Тому оператор G не є цiлком неперервним.
Далi оператори Gn, n ∈ Z+, визначимо формулою
Gn = G, n ∈ Z+.
Цi оператори не є цiлком неперервними.
5.2. Нелiнiйнi диференцiально-рiзницевi рiвняння нейтрального типу. НехайC(S,C) —
простiр неперервних на множинi S функцiй x = x(s) зi значеннями в C, F — множина
елементiв F = F (s) простору C(C,C), для кожного з яких F (0) = 0, C1[0, 1) — бана-
ховий простiр функцiй z ∈ C([0, 1),C), похiдна z′ кожної з яких є елементом простору
C([0, 1),C), з нормою
‖z‖C1 = max{ sup
06s<1
|z(s)|, sup
0<s<1
|z′(s)|, |z′(+0)|}
i D — множина визначених на [0,+∞) функцiй z = z(s) зi значеннями в C, звуження
кожної з яких на [1 +∞) є елементом простору C([1,+∞),C), а звуження функцiї zn =
= z(n+ s) на [0, 1) — елементом простору C1[0, 1) для кожного n ∈ Z+.
Розглянемо диференцiально-рiзницеве рiвняння
x′(t) + ax′(t− 1) + bx(t) + cx(t− 1) = F
t−1∫
t−2
h(τ)x(τ)dτ
, t ≥ 2, (16)
де a, b, c ∈ C, F ∈ F i h ∈ C([0,+∞),C). Тут x′(t) для t ∈ N є x′(t+ 0), тобто
lim
δ→+0
δ−1(x(t+ δ)− x(t)).
Розв’язком рiвняння (16) називається довiльна функцiя z ∈ D, що перетворює це рiв-
няння в тотожнiсть, якщо x(t) замiнити на z(t).
Припустимо, що в рiвняннi (16) коефiцiєнти a, b i c є такими, що характеристичне
рiвняння
p(1 + ae−p) + b+ ce−p = 0 (17)
вiдповiдного лiнiйного диференцiально-рiзницевого рiвняння
y′(t) + ay′(t− 1) + by(t) + cy(t− 1) = 0
має нескiнченне число розв’язкiв pk, k ∈ N, для яких
inf
k∈N
Re pk > 0. (18)
Тодi нульовий розв’язок рiвняння (16) для F = 0 є нестiйким, множина {pk : k ∈ N} не
мiстить на C граничних точок [7, с. 198] та iснує таке число γ > 0, що на множинi {p ∈ C :
Re p ≥ γ} рiвняння (17) не має розв’язкiв (див. [8, с. 446 – 453]).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
544 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Зауважимо, що спiввiдношення (18) виконується, якщо, наприклад, a = −e (див. [8,
с. 454]). Тодi pk = 1 + i2kπ + o(1).
Покажемо, що не можна пiдiбрати такi h ∈ C([0,+∞),C) i F ∈ F , щоб нульовий
розв’язок рiвняння (16) був стiйким.
Для обґрунтування цього твердження кожному розв’язку x = x(t) рiвняння (16) по-
ставимо у вiдповiднiсть послiдовнiсть (xn(s))n≥0 елементiв простору C1[0, 1), що визнача-
ються рiвностями
xn(s) = x(n+ s), n ∈ Z+, s ∈ [0, 1). (19)
Очевидно, що
xn(0) = xn−1(1− 0), n ∈ N \ {1}. (20)
Тодi згiдно з (16)
x′n(s) + ax′n−1(s) + bxn(s) + cxn−1(s) =
= F
s∫
0
h(n− 1 + τ)xn−1(τ)dτ +
1∫
s
h(n− 2 + τ)xn−2(τ)dτ
для всiх n ≥ 2 i s ∈ [0, 1). Звiдси на пiдставi (20) отримуємо
xn(s)− xn−1(1− 0) + a(xn−1(s)− xn−1(0)) + b
s∫
0
xn(τ)dτ + c
s∫
0
xn−1(τ)dτ =
=
s∫
0
F
s1∫
0
h(n− 1 + τ)xn−1(τ)dτ +
1∫
s1
h(n− 2 + τ)xn−2(τ)dτ
ds1 (21)
для всiх n ≥ 2 i s ∈ [0, 1).
Розглянемо оператори
(A1x)(s) = x(1− 0)− a(x(s)− x(0))− c
s∫
0
x(τ) dτ,
(B1x)(s) = b
s∫
0
x(τ)dτ,
де x ∈ C1[0, 1), що дiють у просторi C1[0, 1), i оператори
(G1(n, x, y))(s) =
s∫
0
F
s1∫
0
h(n− 1 + τ)x(τ)dτ +
1∫
s1
h(n− 2 + τ)y(τ)dτ
ds1, n ≥ 2,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
РIЗНИЦЕВI РIВНЯННЯ З АБСОЛЮТНО НЕСТIЙКИМИ НУЛЬОВИМИ РОЗВ’ЯЗКАМИ 545
де x, y ∈ C1[0, 1), що дiють iз простору C1[0, 1)×C1[0, 1) у простiр C1[0, 1). За допомогою
цих операторiв рiзницеве рiвняння (21) запишемо у виглядi
(I +B1)xn = A1xn−1 +G1(n, xn−1, xn−2), n ≥ 2, (22)
де I — одиничний оператор. Оскiльки, очевидно,
|(Bm
1 x)(s)| ≤ bmsm
m!
‖x‖C1 , m ∈ N, s ∈ [0, 1),
i
d
ds
((Bm
1 x)(s)) = b(Bm−1
1 x)(s), m ≥ 2,
то оператор B1 є квазiнiльпотентним [9, c. 196]. Тому оператор I + B1 має обернений
неперервний оператор (I +B1)
−1, а рiзницеве рiвняння (22) можна записати так:
xn = (I +B1)
−1A1xn−1 + (I +B1)
−1G1(n, xn−1, xn−2), n ≥ 2. (23)
Визначимо рiвностями
A(x, y) = ((I +B1)
−1A1x, x)
i
Gn(x, y) = ((I +B1)
−1G1(n, x, y), 0),
де x, y ∈ C1[0, 1), оператори A i Gn, що дiють у просторi C1[0, 1)× C1[0, 1). Згiдно з (23)
(xn, xn−1) = A(xn−1, xn−2) +Gn(xn−1, xn−2), n ≥ 2. (24)
Отже, якщо x = x(t) — розв’язок диференцiально-рiзницевого рiвняння (16) i xn =
= xn(s), xn−1 = xn−1(s) — визначенi рiвнiстю (19) елементи просторуC1[0, 1), то (xn, xn−1)
є розв’язком рiвняння (24). Навпаки, якщо (xn, xn−1) задовольняє рiвняння (24), тобто
xn задовольняє рiвняння (21), то визначена рiвнiстю (19) для n ≥ 0 i s ∈ [0, 1) функцiя
x = x(t) є розв’язком рiвняння (16). Тому нульовi розв’язки рiвнянь (16) i (24) однаково
поводять себе в сенсi стiйкостi.
До рiвняння (24) можна застосувати теорему 1.
Справдi, ress.a(A) > 1 на пiдставi (18), включення {pk : k ∈ N} ⊂ {p : Re p < γ} та
того, що для оператора A точки epk , k ∈ N, є власними значеннями, а з вiдповiдної по-
слiдовностi власних векторiв (epks, epk(s−1)), k ∈ N, завдяки
∣∣limk→∞ Im pk
∣∣ = +∞ можна
видiлити iстотно розбiжну послiдовнiсть (тут можна було б використати i теорему 4).
Також виконується включення (Gn) ∈ G у випадку E = C1[0, 1)× C1[0, 1), оскiльки
‖Gn(x, y)‖C1[0,1)×C1[0,1) ≤
∥∥(I +B1)
−1∥∥
L(C1[0,1),C1[0,1))
ϕ×
×
max
sup
0≤s<1
∣∣∣∣∣∣
s∫
0
h(n− 1 + τ)x(τ)dτ +
+
1∫
s
h(n− 2 + τ)y(τ)dτ
∣∣∣∣∣∣ , sup
0≤s<1
|h(n− 1 + s)x(s)− h(n− 2 + s)y(s)|
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
546 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
для всiх x, y ∈ C1[0, 1), де ϕ(t) = max0≤x≤t |F (x)|, i визначений рiвнiстю
(Kn(x, y))(s) =
s∫
0
h(n− 1 + τ)x(τ)dτ +
1∫
s
h(n− 2 + τ)y(τ)dτ, 0
оператор Kn : C1[0, 1) × C1[0, 1) → C1[0, 1) × C1[0, 1) є цiлком неперервним на пiдставi
теореми Арцела [1, c. 106]. Тому на пiдставi теореми 1 нульовий розв’язок рiвняння (24) є
нестiйким для довiльних F ∈ F i h ∈ C([0,+∞),C).
Отже, не можна пiдiбрати такi F ∈ F i h ∈ C([0,+∞),C), щоб нульовий розв’язок
диференцiально-рiзницевого рiвняння (16) став стiйким.
1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,
1968. — 496 с.
2. Клемент Ф., Хейманс Х., Ангенент С., ван Дуйн К., де Пахтер В. Однопараметрические полугруп-
пы. — М.: Мир, 1992. — 352 с.
3. Слюсарчук В. Ю. Абсолютна стiйкiсть динамiчних систем iз пiслядiєю. — Рiвне: Рiвнен. держ. ун-т вод.
госп-ва та природокористування, 2003. — 288 с.
4. Слюсарчук В. Е. Существенно неустойчивые решения разностных уравнений // Укр. мат. журн. —
1999. — 51, № 12. — С. 1659 – 1672.
5. Слюсарчук В. Е. К вопросу о неустойчивости систем по первому приближению // Мат. заметки. —
1978. — 23, № 5. — С. 721 – 723.
6. Слюсарчук В. Е. Устойчивость решений разностных уравнений в банаховом пространстве: Дис. ...
канд. физ.-мат. наук. — Черновцы, 1972. — 91 с.
7. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций. — М.: Наука, 1966. — 388 с.
8. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967. — 548 с.
9. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972. — 740 с.
Одержано 02.08.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4
|