Об абсолютной устойчивости неточных крупномасштабных сингулярно возмущенных систем

Розглянуто неточну великомасштабну сингулярно збурену систему диференцiальних рiвнянь. Iз використанням матричнозначних функцiй Ляпунова для пiдсистем побудовано скалярну функцiю Ляпунова, яка дозволяє встановити абсолютну параметричну стiйкiсть вихiдної системи. Оцiнено множину значень параметрi...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автор:	Хорошун, А.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2013
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177175
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Об абсолютной устойчивости неточных крупномасштабных сингулярно возмущенных систем / А.С. Хорошун // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 558-574. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-177175
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1771752021-02-12T01:25:54Z Об абсолютной устойчивости неточных крупномасштабных сингулярно возмущенных систем Хорошун, А.С. Розглянуто неточну великомасштабну сингулярно збурену систему диференцiальних рiвнянь. Iз використанням матричнозначних функцiй Ляпунова для пiдсистем побудовано скалярну функцiю Ляпунова, яка дозволяє встановити абсолютну параметричну стiйкiсть вихiдної системи. Оцiнено множину значень параметрiв, для яких вказана властивiсть системи зберiгається. We study an imprecise large-scale singularly perturbed differential system. Using matrix-valued Lyapunov functions for subsystems we construct a scalar-valued Lyapunov function thus proving absolute parametric stability of the initial system, and find an estimate for the set of parameter values for which the system has the above property. 2013 Article Об абсолютной устойчивости неточных крупномасштабных сингулярно возмущенных систем / А.С. Хорошун // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 558-574. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177175 531.36 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Розглянуто неточну великомасштабну сингулярно збурену систему диференцiальних рiвнянь. Iз використанням матричнозначних функцiй Ляпунова для пiдсистем побудовано скалярну функцiю Ляпунова, яка дозволяє встановити абсолютну параметричну стiйкiсть вихiдної системи. Оцiнено множину значень параметрiв, для яких вказана властивiсть системи зберiгається.
format	Article
author	Хорошун, А.С.
spellingShingle	Хорошун, А.С. Об абсолютной устойчивости неточных крупномасштабных сингулярно возмущенных систем Нелінійні коливання
author_facet	Хорошун, А.С.
author_sort	Хорошун, А.С.
title	Об абсолютной устойчивости неточных крупномасштабных сингулярно возмущенных систем
title_short	Об абсолютной устойчивости неточных крупномасштабных сингулярно возмущенных систем
title_full	Об абсолютной устойчивости неточных крупномасштабных сингулярно возмущенных систем
title_fullStr	Об абсолютной устойчивости неточных крупномасштабных сингулярно возмущенных систем
title_full_unstemmed	Об абсолютной устойчивости неточных крупномасштабных сингулярно возмущенных систем
title_sort	об абсолютной устойчивости неточных крупномасштабных сингулярно возмущенных систем
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2013
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177175
citation_txt	Об абсолютной устойчивости неточных крупномасштабных сингулярно возмущенных систем / А.С. Хорошун // Нелінійні коливання. — 2013. — Т. 16, № 4. — С. 558-574. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT horošunas obabsolûtnojustojčivostinetočnyhkrupnomasštabnyhsingulârnovozmuŝennyhsistem
first_indexed	2025-07-15T15:12:28Z
last_indexed	2025-07-15T15:12:28Z
_version_	1837726275206119424
fulltext	УДК 531.36 ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕТОЧНЫХ КРУПНОМАСШТАБНЫХ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ А. С. Хорошун Ин-т механики НАН Украины, Украина, 03057, Киев, ул. Нестерова, 3 e-mail:center@inmech.kiev.ua We study an imprecise large-scale singularly perturbed differential system. Using matrix-valued Lyapunov functions for subsystems we construct a scalar-valued Lyapunov function thus proving absolute parametric stability of the initial system, and find an estimate for the set of parameter values for which the system has the above property. Розглянуто неточну великомасштабну сингулярно збурену систему диференцiальних рiвнянь. Iз використанням матричнозначних функцiй Ляпунова для пiдсистем побудовано скалярну функцiю Ляпунова, яка дозволяє встановити абсолютну параметричну стiйкiсть вихiдної системи. Оцiнено множину значень параметрiв, для яких вказана властивiсть системи зберiга- ється. 1. Постановка задачи. Рассмотрим неточную сингулярно возмущенную крупномасштаб- ную систему дифференциальных уравнений вида ẋ = F̄ (x, y, p), (1) µiẎi = Ḡi(x, y, p), i = 1, r, где x(t) ∈ Rn, y(t) ∈ Rm — переменные, определяющие состояние системы в момент времени t ∈ R+, y = (Y T 1 , . . . , Y T r )T , Yi ∈ Rmi , m1 + . . . + mr = m. Векторные функции F̄ (x, y, p) ∈ Rn, Ḡi(x, y, p) ∈ Rmi непрерывно дифференцируемы по переменным x и y и непрерывно зависимы от векторного параметра p ∈ Rl, µi ∈ (0, 1] — малые параметры. Поскольку малые параметры взаимно не связаны, система (1) имеет r существенно независимых временных шкал, т. е. градуирование временной шкалы неравномерно. Отметим, что состояние равновесия данной системы является подвижным. Подвиж- ность состояния равновесия, т. е. изменение его координат x и y, вызвано изменением значений параметра p. Это означает, что если для некоторого фиксированного значения параметра p найдено соответствующее состояние равновесия исследуемой системы, то при другом фиксированном значении параметра будем иметь, возможно, другое состоя- ние равновесия, т. е. состояние равновесия поменяет свое местоположение. Приведем определение абсолютной параметрической устойчивости неточной системы. Определение 1. Неточная cистема дифференциальных уравнений (1) называется аб- солютно параметрически устойчивой относительно области P ⊆ Rl, если для всех p ∈ P выполняются следующие условия: c© А. С. Хорошун, 2013 558 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕТОЧНЫХ КРУПНОМАСШТАБНЫХ . . . 559 1) существует единственное состояние равновесия xe(p) рассматриваемой сис- темы; 2) xe(p) глобально асимптотически устойчиво. Представим систему (1) как совокупность r взаимосвязанных сингулярно возмущен- ных подсистем Ẋi = Fi(Xi, Yi, p) + fi(x, y, p), (2) µiẎi = Gi(Xi, Yi, p) + gi(x, y, p), где x = (XT 1 , . . . , X T r )T , Xi ∈ Rni , n1+ . . .+nr = n, F̄ = (F̄ T 1 , . . . , F̄ T r )T , F̄i ∈ Rni ,функции Fi(Xi, Yi, p) = F̄i(0, . . . , Xi, . . . , 0, . . . , Yi, . . . , 0, p), Gi(Xi, Yi, p) = Ḡi(0, . . . , Xi, . . . , 0, . . . , Yi, . . . , 0, p) описывают динамику подсистем, fi(x, y, p) = F̄i(x, y, p) − Fi(Xi, Yi, p), gi(x, y, p) = = Ḡi(x, y, p)−Gi(Xi, Yi, p) — функции взаимодействия. Пусть для некоторого p∗ система (1) имеет состояние равновесия ( (x∗)T , (y∗)T )T , (x∗)T = ( (X∗1 )T , . . . , (X∗r )T ) , (y∗)T = ( (Y ∗1 )T , . . . , (Y ∗r )T ) , так что 0 = Fi(X ∗ i , Y ∗ i , p ∗) + fi(x ∗, y∗, p∗), (3) 0 = Gi(X ∗ i , Y ∗ i , p ∗) + gi(x ∗, y∗, p∗), i = 1, r. Заметим, что из (3) не следует, что 0 = Fi(X ∗ i , Y ∗ i , p ∗), 0 = Gi(X ∗ i , Y ∗ i , p ∗), i = 1, r, т. е. ( (X∗i )T , (Y ∗i )T ) не обязательно является состоянием равновесия i-й независимой син- гулярно возмущенной подсистемы. Определим функции F̃i(Xi, Yi, p) = Fi(Xi, Yi, p)− Fi(X e i (p), Y e i (p), p), f̃i(x, y, p) = fi(x, y, p)− fi(xe(p), ye(p), p), G̃i(Xi, Yi, p) = Gi(Xi, Yi, p)−Gi(X e i (p), Y e i (p), p), g̃i(x, y, p) = gi(x, y, p)− gi(xe(p), ye(p), p), i = 1, r, где xe(p) = ( (Xe 1(p))T , . . . , (Xe r (p))T )T , ye(p) = ( (Y e 1 (p))T , . . . , (Y e r (p))T )T — состояние равновесия системы (2), соответствующее значению параметра p. Рассмотрим совокуп- ность подсистем Ẋi = F̃i(Xi, Yi, p) + f̃i(x, y, p), (4) µiẎi = G̃i(Xi, Yi, p) + g̃i(x, y, p), i = 1, r, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 560 А. С. ХОРОШУН для которой F̃i(X e i (p), Y e i (p), p) = 0, f̃i(x e(p), ye(p), p) = 0, G̃i(X e i (p), Y e i (p), p) = 0, g̃i(x e(p), ye(p), p) = 0 при всех i = 1, r и которая, очевидно, имеет одинаковые решения с системой (2) при одинаковых начальных условиях. Таким образом, вместе с системой (2) будем исследовать систему (4), которая состоит из r взаимосвязанных сингулярно возмущенных подсистем Ẋi = F̃i(Xi, Yi, p), (5) µiẎi = G̃i(Xi, Yi, p), i = 1, r. Относительно системы (2) сделаем следующее предположение. Предположение 1. Система уравнений (2) такова, что: 1) существует значение параметра p = p∗такое, что при этом значении параметра существует состояние равновесия x = x∗, y = y∗ рассматриваемой системы; 2) существуют такие положительные числа αi, βi, γi, δi, αij , βij , γij , δij < +∞, что справедливы оценки∥∥∥∥∥ ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) ∥∥∥∥∥ ≤ αi, ∥∥∥∥∥ ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) ∥∥∥∥∥ ≤ βi, ∥∥∥∥∥ ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) ∥∥∥∥∥ ≤ γi, ∥∥∥∥∥ ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) ∥∥∥∥∥ ≤ δi, i = 1, r, ∥∥∥∥∥ ∂fi∂Xj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ∥∥∥∥∥ ≤ αij , ∥∥∥∥∥ ∂fi∂Yj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ∥∥∥∥∥ ≤ βij , ∥∥∥∥∥ ∂gi∂Xj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ∥∥∥∥∥ ≤ γij , ∥∥∥∥∥ ∂gi∂Yj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ∥∥∥∥∥ ≤ δij , i, j = 1, r, для всех Xi ∈ Rni , Yi ∈ Rmi , x ∈ Rn, y ∈ Rm, p ∈ P ⊆ Rl; 3) матрица A(x∗, y∗, p∗) =  M(x∗, y∗, p∗) N(x∗, y∗, p∗) L(x∗, y∗, p∗) Q(x∗, y∗, p∗)  , где Mii(x, y, p) = ∂Fi(Xi, Yi, p) ∂Xi + ∂fi(x, y, p) ∂Xi , Mij(x, y, p) = ∂fi(x, y, p) ∂Xj , Nii = ∂Fi(Xi, Yi, p) ∂Yi + ∂fi(x, y, p) ∂Yi , Nij(x, y, p) = ∂fi(x, y, p) ∂Yj , Lii(x, y, p) = ∂Gi(Xi, Yi, p) ∂Xi + ∂gi(x, y, p) ∂Xi , Lij(x, y, p) = ∂gi(x, y, p) ∂Xj , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕТОЧНЫХ КРУПНОМАСШТАБНЫХ . . . 561 Qii(x, y, p) = ∂Gi(Xi, Yi, p) ∂Yi + ∂gi(x, y, p) ∂Yi , Qij(x, y, p) = ∂gi(x, y, p) ∂Yj , i, j = 1, r, i 6= j, невырождена. Замечание 1. В данной работе, если это специально не оговорено, используется спект- ральная норма для матриц и евклидова норма для векторов. В работе [1] исследована абсолютная параметрическая устойчивость сингулярно воз- мущенной системы без предположения о ее крупномасштабности. Для этого использо- валась матричнозначная функция Ляпунова, что позволило отказаться от требования устойчивости линейного приближения медленной подсистемы. В данной работе на осно- вании результатов роботы [1] для каждой подсистемы системы (2) будет построена функ- ция Ляпунова, сумма которых будет использована в качестве таковой для исходной круп- номасштабной системы. С помощью полученной функции будут определены достаточ- ные условия абсолютной параметрической устойчивости системы (1), а также область в пространстве параметров Rl и множество значений параметров µi, i = 1, r, при которых указанное свойство системы (1) сохраняется. 2. Условия существования состояния равновесия исследуемой системы. Состояние равновесия системы (1), если оно существует, является решением системы уравнений 0 = F̄ (x, y, p), 0 = Ḡi(x, y, p), i = 1, r, или, что аналогично, решением совокупности подсистем 0 = Fi(Xi, Yi, p) + fi(x, y, p), (6) 0 = Gi(Xi, Yi, p) + gi(x, y, p), i = 1, r. Для уравнений i-й подсистемы с помощью формулы конечных приращений Лагранжа получено представление 0 = ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (X̃i,Ỹi,p) Xi + ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (X̃i,Ỹi,p) Yi + c̃1i(p) + ∂fi ∂Xi ∣∣∣∣ (x̂,ŷ,p) Xi + ∂fi ∂Yi ∣∣∣∣ (x̂,ŷ,p) Yi+ + r∑ j=1 j 6=i ∂fi ∂Xj ∣∣∣∣ (x̂,ŷ,p) Xj + r∑ j=1 j 6=i ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x̂,ŷ,p) Yj + ĉ1i(p), 0 = ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ ( ˜̃Xi, ˜̃Yi,p) Xi + ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ ( ˜̃Xi, ˜̃Yi,p) Yi + ˜̃c2i(p) + ∂gi ∂Xi ∣∣∣∣ (ˆ̂x,ˆ̂y,p) Xi + ∂gi ∂Yi ∣∣∣∣ (ˆ̂x,ˆ̂y,p) Yi+ + r∑ j=1 j 6=i ∂gi ∂Xj ∣∣∣∣ (ˆ̂x,ˆ̂y,p) Xj + r∑ j=1 j 6=i ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (ˆ̂x,ˆ̂y,p) Yj + ˆ̂c2i(p), i = 1, r, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 562 А. С. ХОРОШУН где c̃1i(p) = Fi(0, 0, p), ĉ1i(p) = fi(0, 0, p), ˜̃c2i(p) = Gi(0, 0, p), ˆ̂c2i(p) = gi(0, 0, p) или, что то же, 0 = ( ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (X̃i,Ỹi,p) + ∂fi ∂Xi ∣∣∣∣ (x̂,ŷ,p) ) Xi + ( ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (X̃i,Ỹi,p) + ∂fi ∂Yi ∣∣∣∣ (x̂,ŷ,p) ) Yi+ + r∑ j=1 j 6=i ∂fi ∂Xj ∣∣∣∣ (x̂,ŷ,p) Xj + r∑ j=1 j 6=i ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x̂,ŷ,p) Yj + c1i(p), 0 = ( ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ ( ˜̃Xi, ˜̃Yi,p) + ∂gi ∂Xi ∣∣∣∣ (ˆ̂x,ˆ̂y,p) ) Xi + ( ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ ( ˜̃Xi, ˜̃Yi,p) + ∂gi ∂Yi ∣∣∣∣ (ˆ̂x,ˆ̂y,p) ) Yi+ + r∑ j=1 j 6=i ∂gi ∂Xj ∣∣∣∣ (ˆ̂x,ˆ̂y,p) Xj + r∑ j=1 j 6=i ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (ˆ̂x,ˆ̂y,p) Yj + c2i(p), i = 1, r, где c1i(p) = c̃1i(p) + ĉ1i(p), c21(p) = ˜̃c2i(p) + ˆ̂c2i(p). Использовав полученные представления, запишем совокупность подсистем (6) в виде матричного уравнения A(x, y, p)z = C(p), где zT = (xT , yT ) = (XT 1 , . . . , X T r , Y T 1 , . . . , Y T r ), A(x, y, p) =  M(x, y, p) N(x, y, p) L(x, y, p) Q(x, y, p)  , Mii(x, y, p) = ∂Fi(Xi, Yi, p) ∂Xi + ∂fi(x, y, p) ∂Xi , Mij(x, y, p) = ∂fi(x, y, p) ∂Xj , Nii(x, y, p) = ∂Fi(Xi, Yi, p) ∂Yi + ∂fi(x, y, p) ∂Yi , Nij(x, y, p) = ∂fi(x, y, p) ∂Yj , Lii(x, y, p) = ∂Gi(Xi, Yi, p) ∂Xi + ∂gi(x, y, p) ∂Xi , Lij(x, y, p) = ∂gi(x, y, p) ∂Xj , Qii(x, y, p) = ∂Gi(Xi, Yi, p) ∂Yi + ∂gi(x, y, p) ∂Yi , Qij(x, y, p) = ∂gi(x, y, p) ∂Yj , i, j = 1, r, i 6= j, C(p)T = ( c11(p) T , . . . , cT1r(p), c T 21(p), . . . , c T 2r(p) ) . Таким образом, если для некоторых x ∈ Rn, y ∈ Rm, p ∈ P ⊆ Rl определена матрица A−1(x, y, p), то существует единственное состояние равновесия исходной системы. Опре- делим область P и ограничения на элементы исходной системы, при которых матрица A(x, y, p) невырождена. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕТОЧНЫХ КРУПНОМАСШТАБНЫХ . . . 563 Поскольку матрица A(x∗, y∗, p∗) невырождена, представим матрицу A(x, y, p) в виде A(x, y, p) = A(x∗, y∗, p∗) + (A(x, y, p)−A(x∗, y∗, p∗)) = = A(x∗, y∗, p∗) ( I2r×2r +A−1(x∗, y∗, p∗) (A(x, y, p)−A(x∗, y∗, p∗)) ) , где I2r×2r — единичная матрица размерности 2r × 2r. Из полученного соотношения сле- дует, что невырожденность исходной матрицы эквивалентна невырожденности матрицы I2r×2r +A−1(x∗, y∗, p∗) (A(x, y, p)−A(x∗, y∗, p∗)) , что будет иметь место, если выполняется соотношение∥∥A−1(x∗, y∗, p∗) (A(x, y, p)−A(x∗, y∗, p∗)) ∥∥≤ ‖A−1(x∗, y∗, p∗)‖‖A(x, y, p)−A(x∗, y∗, p∗)‖< 1. Рассмотрим норму разности матриц ‖A(x, y, p)−A(x∗, y∗, p∗)‖. Для блочной матрицы, например, размера 2× 2 с блоками размерностей n× n, n×m, m× n, m×m имеет место оценка ∥∥∥∥( A B C D )∥∥∥∥ 2 ≤ ∥∥∥∥( A B C D )∥∥∥∥ E =  n∑ i,j=1 a2ij + n∑ i=1 m∑ j=1 b2ij + m∑ i=1 n∑ j=1 c2ij + m∑ i,j=1 d2ij  1 2 = = ( SpATA+ SpBTB + SpCTC + SpDTD ) 1 2 ≤ ≤ ( n‖A‖22 + n‖B‖22 +m‖C‖22 +m‖D‖22 ) 1 2 , где ‖ · ‖2 — спектральная, а ‖ · ‖E — евклидова норма соответствующей матрицы, Sp (·) — ее след. Очевидно, что указанная оценка будет иметь место и для большего количества блоков. Таким образом, для блочной матрицы A(x, y, p) − A(x∗, y∗, p∗) справедлива сле- дующая оценка ее нормы: ‖A(x, y, p)−A(x∗, y∗, p∗)‖2 ≤ ≤  r∑ i=1 ni ∥∥∥∥∥ ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + ∂fi ∂Xi ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ∥∥∥∥∥ 2 2 + + r∑ i=1 ni ∥∥∥∥∥ ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + ∂fi ∂Yi ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ∥∥∥∥∥ 2 2 + + r∑ i=1 ni r∑ j=1 j 6=i ∥∥∥∥∥ ∂fi∂Xj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ∥∥∥∥∥ 2 2 + r∑ i=1 ni r∑ j=1 j 6=i ∥∥∥∥∥ ∂fi∂Yj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ∥∥∥∥∥ 2 2 + + r∑ i=1 mi ∥∥∥∥∥ ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ∥∥∥∥∥ 2 2 + ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 564 А. С. ХОРОШУН + r∑ i=1 mi ∥∥∥∥∥ ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + ∂gi ∂Yi ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ∥∥∥∥∥ 2 2 + + r∑ i=1 mi r∑ j=1 j 6=i ∥∥∥∥∥ ∂gi∂Xj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ∥∥∥∥∥ 2 2 + r∑ i=1 mi r∑ j=1 j 6=i ∥∥∥∥∥ ∂gi∂Yj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ∥∥∥∥∥ 2 2  1 2 ≤ ≤  r∑ i=1 ni(αi + αii) 2 + r∑ i=1 ni r∑ j=1 j 6=i α2 ij + r∑ i=1 ni(βi + βii) 2 + r∑ i=1 ni r∑ j=1 j 6=i β2ij + + r∑ i=1 mi(γi + γii) 2 + r∑ i=1 mi r∑ j=1 j 6=i γ2ij + r∑ i=1 mi(δi + δii) 2 + r∑ i=1 ni r∑ j=1 j 6=i δ2ij  1 2 = ∆. Значит, используя соотношение ‖A−1(x∗, y∗, p∗)‖∆ < 1, (7) можем определить область P ⊆ Rl и ограничения на элементы исходной системы, при выполнении которых совокупность подсистем (6) имеет единственное решение или, что аналогично, исходная система имеет единственное состояние равновесия. Отметим, что ∆ = 0 при нулевых значениях αi, βi, γi, δi, αij , βij γij , δij , i, j = 1, r, и неравенство (7) выполняется. Поэтому всегда можно выбрать ненулевые значения ука- занных констант так, чтобы (7) выполнялось, т. е. возможно определить область P ⊆ Rl и оценки на элементы исходной системы, чтобы для всех p ∈ P существовало единствен- ное состояние равновесия исходной системы. 3. Достаточные условия абсолютной параметрической устойчивости неточных круп- номасштабных сингулярно возмущенных систем. Пусть для совокупности подсистем (2) выполняются условия предположения 1 и найдена область P ⊆ Rl, для всех значений па- раметра из которой существует состояние равновесия ((xe(p))T , (ye(p))T )T исходной сис- темы, причем xe(p) = ( (Xe 1(p))T , . . . , (Xe r (p))T )T , ye(p) = ( (Y e 1 (p))T , . . . , (Y e r (p))T )T , где( (Xe i (p))T , (Y e i (p))T ) — состояние равновесия i-й подсистемы (5). Рассмотрим матричнозначную функцию вида (см. [2 – 4]) Vi(Xi, Yi, µi) =  v11(Xi) v12(Xi, Yi, µi) v21(Xi, Yi, µi) v22(Yi, µi)  , (8) где v11(Xi) = (Xi−Xe i )TPi1(Xi−Xe i ), v22(Yi, µi) = µi(Yi−Y e i )TPi3(Yi−Y e i ), v21(Xi, Yi, µi) = = v12(Xi, Yi, µi) = µi(Xi−Xe i )TPi2(Yi−Y e i ), Pi1 ∈ Rni×ni , Pi3 ∈ Rmi×mi — симметрические положительно определенные матрицы, Pi2 ∈ Rni×mi — постоянная матрица. Выбрав ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕТОЧНЫХ КРУПНОМАСШТАБНЫХ . . . 565 вектор ηT = (1, 1), следуя [2], образуем скалярную функцию vi(Xi, Yi, µi) = ηTVi(Xi, Yi, µi)η. (9) Поскольку для элементов матричнозначной функции (8) имеют место оценки v11(Xi) ≥ λmin(Pi1)‖Xi −Xe i ‖2 для всех Xi ∈ Rni , v22(Yi, µi) ≥ µiλmin(Pi3)‖Yi − Y e i ‖2 для всех Yi ∈ Rmi , µi ∈ (0, 1], v12(Xi, Yi, µi)≥−µi(λmax(Pi2P T i2))1/2‖Xi −Xe i ‖‖Yi − Y e i ‖ для всех Xi ∈ Rni , Yi ∈ Rmi , µi ∈ (0, 1], где λmin(·) и λmax(·) — минимальное и максимальное собственные значения соответству- ющей матрицы, для скалярной функции (9) справедлива оценка v(Xi, Yi, µi) ≥ uTAi(µi)u для всех (Xi, Yi, µi) ∈ Rni × Rmi × (0, 1], где uT = (‖Xi −Xe i ‖, ‖Yi − Y e i ‖), Ai(µi) =  λmin(Pi1) −µi(λmax(Pi2P T i2))1/2 −µi(λmax(Pi2P T i2))1/2 µiλmin(Pi3)  . (10) Найдем производную функции (9) по времени в силу i-й подсистемы (4): v̇i(Xi, Yi, µi)\|(4) = ( F̃i(Xi, Yi, p)− F̃i(X e i , Y e i , p) )T Pi1(Xi −Xe i )+ + (f̃i(x, y, p)− f̃i(xe, ye, p) )T Pi1(Xi −Xe i )+ + (Xi −Xe i )TPi1 ( F̃i(Xi, Yi, p)− F̃i(X e i , Y e i , p) ) + + (Xi −Xe i )TPi1 ( f̃i(x, y, p)− f̃i(xe, ye, p) ) + + ( G̃i(Xi, Yi, p)− G̃i(X e i , Y e i , p) )T Pi3(Yi − Y e i )+ + (g̃i(x, y, p)− g̃i(xe, ye, p))T Pi3(Yi − Y e i )+ + (Yi − Y e i )TPi3 ( G̃i(Xi, Yi, p)− G̃i(X e i , Y e i , p) ) + + (Yi − Y e i )TPi3 (g̃i(x, y, p)− g̃i(xe, ye, p)) + + 2µi ( F̃i(Xi, Yi, p)− F̃i(X e i , Y e i , p) )T Pi2(Yi − Y e i )+ ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 566 А. С. ХОРОШУН + 2µi ( f̃i(x, y, p)− f̃i(xe, ye, p) )T Pi2(Yi − Y e i )+ + 2(Xi −Xe i )TPi2 ( G̃i(Xi, Yi, p)− G̃i(X e i , Y e i , p) ) + + 2(Xi −Xe i )TPi2 (g̃i(x, y, p)− g̃i(xe, ye, p)) , (11) где учтено, что F̃i(X e i , Y e i , p) + f̃i(x e, ye, p) = 0 и G̃i(X e i , Y e i , p) + g̃i(x e, ye, p) = 0. Используя формулу конечных приращений Лагранжа для соответствующих разнос- тей, из (11) получаем v̇i(Xi, Yi, µi)\|(4) = (Xi −Xe i )T ( ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T Pi1 + Pi1 ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + + ( ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T P T i2 + Pi2 ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + + ( ∂fi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi1 + Pi1 ∂fi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + + ( ∂gi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T P T i2 + Pi2 ∂gi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + + 2Pi1 ( ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) ) + + 2Pi1 ( ∂fi ∂Xi ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ) + + 2Pi2 ( ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) ) + + 2Pi2 ( ∂gi ∂Xi ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )] (Xi −Xe i )+ + r∑ j=1 j 6=i (Xi −Xe i )T [ Pi1 ∂fi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) +Pi1 ( ∂fi ∂Xj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ) + + Pi2 ∂gi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + Pi2 ( ∂gi ∂Xj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )] (Xj −Xe j )+ ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕТОЧНЫХ КРУПНОМАСШТАБНЫХ . . . 567 + r∑ j=1 j 6=i (Xj −Xe j )T ( ∂fi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi1 + ( ∂fi ∂Xj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi1+ + ( ∂gi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T P T i2 + ( ∂gi ∂Xj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T P T i2  (Xi −Xe i )+ + (Xi −Xe i )T [ Pi1 ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + Pi1 ( ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) ) + + Pi1 ∂fi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + Pi1 ( ∂fi ∂Yi ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ) + + ( ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T Pi3 + ( ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T Pi3+ + ( ∂gi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi3 + ( ∂gi ∂Xi ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi3+ + µi ( ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T Pi2 + µi ( ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T Pi2+ + µi ( ∂fi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi2 + µi ( ∂fi ∂Xi ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi2+ + Pi2 ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + Pi2 ( ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) ) + + Pi2 ∂gi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + Pi2 ( ∂gi ∂Yi ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )] (Yi − Y e i )+ + (Yi − Y e i )T [ Pi1 ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + Pi1 ( ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) ) + + Pi1 ∂fi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + Pi1 ( ∂fi ∂Yi ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ) + + ( ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T Pi3 + ( ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T Pi3+ + ( ∂gi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi3 + ( ∂gi ∂Xi ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi3+ ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 568 А. С. ХОРОШУН + µi ( ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T Pi2 + µi ( ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T Pi2+ + µi ( ∂fi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi2 + µi ( ∂fi ∂Xi ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi2+ + Pi2 ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + Pi2 ( ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) ) + + Pi2 ∂gi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + Pi2 ( ∂gi ∂Yi ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )]T (Xi −Xe i )+ + r∑ j=1 j 6=i (Yj − Y e j )T ( ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi1 + ( ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi1 + + ( ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T P T i2 + ( ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T P T i2  (Xi −Xe i )+ + r∑ j=1 j 6=i (Xi −Xe i )T [ Pi1 ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + Pi1 ( ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ) + + Pi2 ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + Pi2 ( ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )] (Yj − Y e j )+ + r∑ j=1 j 6=i (Xj −Xe j )T ( ∂gi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi3 + ( ∂gi ∂Xj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi3 + + µi ( ∂fi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi2 + µi ( ∂fi ∂Xj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi2  (Yi − Y e i )+ + r∑ j=1 j 6=i (Yi − Y e i )T [ Pi3 ∂gi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + Pi3 ( ∂gi ∂Xj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ) + + µiP T i2 ∂fi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + µiP T i2 ( ∂fi ∂Xj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )] (Xj −Xe j )+ + (Yi − Y e i )T ( ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T Pi3 + Pi3 ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕТОЧНЫХ КРУПНОМАСШТАБНЫХ . . . 569 + µi ( ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T Pi2 + µiP T i2 ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + + ( ∂gi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi3 + Pi3 ∂gi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + + µi ( ∂fi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi2 + µiP T i2 ∂fi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + + 2Pi3 ( ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) ) + 2Pi3 ( ∂gi ∂Yi ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ) + + 2µi ( ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (Xi,Yi,p) − ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T Pi2+ + 2µi ( ∂fi ∂Yi ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi2  (Yi − Y e i )+ + r∑ j=1 j 6=i (Yj − Y e j )T ( ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi3 + ( ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi3 + + µi ( ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi2 + µi ( ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi2  (Yi − Y e i )+ + r∑ j=1 j 6=i (Yi − Y e i )T [ Pi3 ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + Pi3 ( ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ) + + µiP T i2 ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + µiP T i2 ( ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x,y,p) − ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )] (Yj − Y e j ). (12) В качестве функции Ляпунова, разрешающей вопрос об абсолютной параметриче- ской устойчивости исходной системы, используем функцию вида V (x, y, µ) = r∑ i=1 vi(Xi, Yi, µi), µ = (µ1, . . . , µr) T . (13) Для производной функции V (x, y, µ) в силу совокупности подсистем (4), суть в силу ис- ходной системы, учитывая (12) и условия предположения 1, получаем оценку V̇ (x, y, µ) ∣∣∣ (4) ≤ ζTN(αi, βi, γi, δi, αij , βij , γijδij , µ)ζ, (14) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 570 А. С. ХОРОШУН где ζT = (‖X1 −Xe 1‖, . . . , ‖Xr −Xe r‖, ‖Y1 − Y e 1 ‖, . . . , ‖Yr − Y e r ‖) , N(αi, βi, γi, δi, αij , βij , γijδij , µ) =  K L LT M  , K, L,M ∈ Rr×r, (15) Kii = λmax ( ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T Pi1 + Pi1 ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + + ( ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T P T i2 + Pi2 ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + + ( ∂fi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi1 + Pi1 ∂fi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + + ( ∂gi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T P T i2 + Pi2 ∂gi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + + 2αi‖Pi1‖+ 2αii‖Pi1‖+ 2γi‖Pi2‖+ 2γii‖Pi2‖, Kij = Kji = ∥∥∥∥∥Pi1 ∂fi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + Pi2 ∂gi ∂Xj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ∥∥∥∥∥+ αij‖Pi1‖+ γij‖Pi2‖, Mii = λmax ( ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T Pi3 + Pi3 ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + µi ( ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T Pi2+ + µiP T i2 ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + ( ∂gi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi3 + Pi3 ∂gi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + + µi ( ∂fi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi2 + µiP T i2 ∂fi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + + 2δi‖Pi3‖+ 2δii‖Pi3‖+ 2µiβi‖Pi2‖+ 2µiβii‖Pi2‖, Mij = Mji = ∥∥∥∥∥Pi3 ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + µiP T i2 ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ∥∥∥∥∥+ δij‖Pi3‖+ µiβij‖Pi2‖, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕТОЧНЫХ КРУПНОМАСШТАБНЫХ . . . 571 Lii = ∥∥∥∥∥∥Pi1 ∂Fi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + Pi1 ∂fi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + ( ∂Gi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T Pi3 + + ( ∂gi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) )T Pi3 + Pi2 ∂Gi ∂Yi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) + Pi2 ∂gi ∂Yi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + + µi ( ∂fi ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + ∂Fi ∂Xi ∣∣∣∣ (X∗ i ,Y ∗ i ,p∗) )T Pi2 ∥∥∥∥∥∥+ µiαi‖Pi2‖+ µiαii‖Pi2‖+ + βi‖Pi1‖+ βii‖Pi1‖+ γi‖Pi3‖+ γii‖Pi3‖+ δi‖Pi2‖+ δii‖Pi2‖, Lij = ∥∥∥∥∥Pi1 ∂fi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + Pi2 ∂gi ∂Yj ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ∥∥∥∥∥+ βij‖Pi1‖+ δij‖Pi2‖+ + ∥∥∥∥∥Pj3 ∂gj ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) + µjP T j2 ∂fj ∂Xi ∣∣∣∣ (x∗,y∗,p∗) ∥∥∥∥∥+ γji‖Pj3‖+ µjαji‖Pj2‖, i, j = 1, r, i 6= j. Использовав полученные оценки, сформулируем и докажем теорему, которая опреде- ляет достаточные условия абсолютной параметрической устойчивости неточной сингу- лярно возмущенной системы относительно некоторой области в пространстве парамет- ров. Теорема 1. Пусть для совокупности подсистем (2) неточной сингулярно возмущен- ной системы (1) выполняются условия предположения 1, построена матричнозначная функция (8), для матриц Pi1, Pi2, Pi3, величин αi, βi, γi, δi, αij , βij , γij , δij , всех 0 < µi ≤ ≤ µ∗i < λmin(Pi1)λmin(Pi3) λ 1/2 max(Pi2P T i2) , i, j = 1, r, справедливо соотношение (7) и матрица (15) отрицательно определена. Тогда система (1) абсолютно параметрически устойчива относительно области P для всех µi ∈ (0, µ∗i ], i = 1, r. Доказательство. Поскольку для совокупности подсистем (2) исходной системы диф- ференциальных уравнений (1) справедливо предположение 1 и для величин αi, βi, γi, δi, αij , βij , γij , δij , i, j = 1, r, имеет место соотношение (7), согласно п. 2, для всех p ∈ P ⊆ Rl существует единственное состояние равновесия системы (1). Пусть p — некоторое зна- чение параметра из области P и ( (xe(p))T , (ye(p))T )T — соответствующее ему состояние равновесия. Рассмотрим скалярную функцию (13), образованную из функций (9), кото- рые, в свою очередь, построены с помощью матричнозначных функций (8). При всех µi ∈ (0, µ∗i ], i = 1, r, матрицы (10) положительно определены, т. е. скалярная функция (13) положительна для всех (x, y, µ) ∈ Rn × Rm × ∏r i=1(0, µ ∗ i ]. Для производной функ- ции (13) по времени в силу совокупности подсистем (2) исходной системы имеет место оценка (14). Согласно условям теоремы 1, матрица (15) отрицательно определена, т. е. рассматриваемая производная отрицательна для всех (x, y, µ) ∈ Rn × Rm × ∏r i=1(0, µ ∗ i ]. Значит, функция (13) является функцией Ляпунова, позволяющей в силу теоремы 12.1 (см. [5]) установить глобальную асимптотическую устойчивость состояния равновесия ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 572 А. С. ХОРОШУН ( (xe(p))T , (ye(p))T )T . Так как p — произвольная точка множества P, система (1) абсо- лютно параметрически устойчива относительно этой области. Теорема доказана. 4. Пример. Рассмотрим неточную сингулярно возмущенную систему дифференциаль- ных уравнений 8-го порядка вида (1) и исследуем поведение ее решений. В рассматрива- емом примере r = 2, x ∈ R4, y = (Y T 1 , Y T 2 )T , Y1 ∈ R2, Y2 ∈ R2, p — скалярный параметр, µ1 ∈ (0, 1], µ2 ∈ (0, 1] — малые параметры. Разбив вектор x на субвекторыX1 иX2 следу- ющим образом: x = (XT 1 , X T 2 )T , X1 ∈ R2, X2 ∈ R2, представим исходную систему в виде (2). Здесь F1(X1, Y1, p) =  0, 5x1 + 0, 2x2 − 90y1 + 0, 2y2 − 0, 15 cos(p(x1 + y1)) + 0, 15 0, 1x1 + 0, 35x2 + 0, 1y1 − 90, 15y2 + arctan(0, 15(x2 + y2)) + 20p3  , f1(x, y, p) = =  0, 1x3 − 0, 3x4 − 1, 2y3 + 0, 6y4 + 0, 15p2 ln(x3 + √ x23 + 1)(y3 + √ y23 + 1) 0, 4x3 + 0, 5x4 + 0, 4y3 − 0, 25y4 − 0, 15 cos(px4) + arctan(0, 15y4) + 0, 15 cos(p)  , G1(X1, Y1, p) = =  29, 85x1 − x2 − 2y1 + 0, 2y2 + arctan(0, 15(x1 + p)) x1 + 30x2 − 0, 3y1 − 2y2 − 0, 15 cos(x2) + 0, 15(1− e−p2) ln(y2 + √ x22 + 1) + 0, 15  , g1(x, y, p) =  2x3 + 0, 3x4 + 0, 6y3 + 0, 1y4 − 0, 15 cos(x3 + y3) + 0, 15ep 0, 1x3 − x4 + y4 − 0, 15p cos(x4 + y4)  , F2(X2, Y2, p) =  x3 + 0, 5x4 − 60y3 + 0, 15 sin2(p) ln x3 + √ x23 + 1 y3 + √ y23 + 1 0, 85x4 + 0, 2y3 − 60, 15y4 + arctan(0, 15(x4 + y4)) + ln(p2 + 1)  , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕТОЧНЫХ КРУПНОМАСШТАБНЫХ . . . 573 а б в г д э е ж f2(x, y, p) =  x1 + 0, 5x2 + 0, 85y1 − 0, 1y2 + 0, 15p4 ln(x1 + √ x21 + 1) + arctan(0, 15y1) −0, 8x1 − 0, 65x2 − 0, 4y1 + 0, 85y2 + arctan(0, 15(x2 + y2)) + 5p2  , G2(X2, Y2, p) =  20x3 + 0, 2x4 − 2, 15y3 + 0, 1y4 + arctan(0, 15y3 + 1− πp)) 0, 3x3 + 20x4 + 0, 1y3 − 2y4 − 0, 15 sin(p) cos(x4)  , g2(x, y, p) =  0, 3x1 + 0, 2x2 + y1 + y2 + 0, 15 p2 1 + p2 ln(x1 + √ x21 + 1)(y1 + √ y21 + 1) −x1 − 0, 7x2 + y1 − y2 − 0, 15 cos(x2 + y2) + 0, 15(p15 + 1)  . Рассматриваемая система имеет при p∗ = 0 состояние равновесия x∗ = 0, y∗ = 0, для производных функций, входящих в ее состав, выполняются пп. 2, 3 предположения 1, где αi = βi = γi = δi = 0, 15, αii = βii = γii = δii = 0, i = 1, 2, αij = βij = γij = δij = 0, 15, i, j = 1, 2, i 6= j, P = [−1, 1] и матрица A(x∗, y∗, p∗) невырождена. То есть все условия предположения 1 справедливы. Построим матричнозначные функции вида (8) для под- систем, где P11 = P21 = ( 1 0 0 1 ) , P12 = P22 = ( −1 0 0 −1 ) , P13 = P23 = ( 3 0 0 3 ) и определим верхние оценки для величин малых параметров: µ1 = µ2 = 3, т. е. можно рас- сматривать µ1 ∈ (0, 1] и µ2 ∈ (0, 1]. Для исследуемой системы выполняется соотношение (7) и матрица (15) устойчива для всех µ1 ∈ (0, 0, 02], µ2 ∈ (0, 0, 03]. Значит, согласно теоре- ме 1, исследуемая система абсолютно параметрически устойчива относительно области P = [−1, 1]. На рисунке представлены графики, которые иллюстрируют поведение ре- шений системы при p = 0, 9, µ1 = 0, 015, µ2 = 0, 025 и начальных значениях переменных xT0 = (10, 45, −39, 75), yT0 = (210, −50, −25, 15). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4 574 А. С. ХОРОШУН 5. Заключительные замечания. В работе рассмотрена неточная крупномасштабная сингулярно возмущенная система дифференциальных уравнений общего вида. Исходная система интерпретируется в виде взаимосвязи подсистем, для каждой из которых на осно- вании результатов работы [1] построена функция Ляпунова. С помощью скалярной функ- ции Ляпунова, образованой суммированием таковых для каждой независимой подсисте- мы, получены достаточные условия абсолютной параметрической устойчивости исход- ной системы дифференциальных уравнений. Применение предложенного подхода проил- люстрировано на примере неточной сингулярно возмущенной системы дифференциаль- ных уравнений восьмого порядка со скалярным параметром. Отметим, что в иллюстративном примере линейное приближение „медленных” под- систем для каждой подсистемы исходной системы неустойчиво и применить для иссле- дования устойчивости всей системы векторную функцию не удается. Однако использо- вание матричнозначной функции и предложенного в работе подхода позволяет сделать вывод о глобальной асимптотической устойчивости системы и определить множество значений параметров p и µi, i = 1, r, при которых такая устойчивость сохраняется. 1. Хорошун А. С. Об абсолютной параметрической устойчивости сингулярно возмущенных систем // Докл. НАН Украины. — 2013. — № 4. — С. 53 – 58. 2. Martynyuk A. A. Stability by Lyapunov’s matrix function method with applications. — New York: Marcel Dekker, 1998. — 276 p. 3. Martynyuk A. A. Uniform asymptotic stability of a singularly perturbed system via the Lyapunov matrix- function // Nonlinear Anal. — 1987. — № 11. — P. 1 – 4. 4. Martynyuk A. A., Miladzhanov V. G. Stability investigation of autonomous singularly perturbed systems on the basis of matrix Lyapunov function // Дифференц. уравнения. — 1988. — № 24. — P. 416 – 424. 5. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 223 с. Получено 11.01.13, после доработки — 01.11.13 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2013, т . 16, N◦ 4

Об абсолютной устойчивости неточных крупномасштабных сингулярно возмущенных систем

Репозитарії

Схожі ресурси