Існування розв’язку задачі Діріхле для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою
Приведены достаточные условия существования слабого решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности со случайным воздействием, описываемым с помощью интеграла по общей стохастической мере....
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2018
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177178 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Існування розв’язку задачі Діріхле для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою / М.Ф. Городнiй // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 1. — С. 29-35. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177178 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771782021-02-12T01:25:47Z Існування розв’язку задачі Діріхле для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою Городнiй, М.Ф. Приведены достаточные условия существования слабого решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности со случайным воздействием, описываемым с помощью интеграла по общей стохастической мере. We give sufficient conditions for existence of a weak solution to the Dirichlet problem for the heat equation with a random effect described by an integral and a general stochastic measure. 2018 Article Існування розв’язку задачі Діріхле для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою / М.Ф. Городнiй // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 1. — С. 29-35. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177178 519.21 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Приведены достаточные условия существования слабого решения задачи Дирихле для уравнения теплопроводности со случайным воздействием, описываемым с помощью интеграла по
общей стохастической мере. |
| format |
Article |
| author |
Городнiй, М.Ф. |
| spellingShingle |
Городнiй, М.Ф. Існування розв’язку задачі Діріхле для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою Нелінійні коливання |
| author_facet |
Городнiй, М.Ф. |
| author_sort |
Городнiй, М.Ф. |
| title |
Існування розв’язку задачі Діріхле для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| title_short |
Існування розв’язку задачі Діріхле для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| title_full |
Існування розв’язку задачі Діріхле для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| title_fullStr |
Існування розв’язку задачі Діріхле для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| title_full_unstemmed |
Існування розв’язку задачі Діріхле для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| title_sort |
існування розв’язку задачі діріхле для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177178 |
| citation_txt |
Існування розв’язку задачі Діріхле для рівняння теплопровідності із загальною стохастичною мірою / М.Ф. Городнiй // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 1. — С. 29-35. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT gorodnijmf ísnuvannârozvâzkuzadačídíríhledlârívnânnâteploprovídnostíízzagalʹnoûstohastičnoûmíroû |
| first_indexed |
2025-07-15T15:12:39Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:12:39Z |
| _version_ |
1837726286561148928 |
| fulltext |
УДК 519.21
IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI ДIРIХЛЕ
ДЛЯ РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI
IЗ ЗАГАЛЬНОЮ СТОХАСТИЧНОЮ МIРОЮ
М. Ф. Городнiй
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
вул. Володимирська, 64, Київ, 01033, Україна
We give sufficient conditions for existence of a weak solution to the Dirichlet problem for the heat equation
with a random effect described by an integral and a general stochastic measure.
Приведены достаточные условия существования слабого решения задачи Дирихле для урав-
нения теплопроводности со случайным воздействием, описываемым с помощью интеграла по
общей стохастической мере.
1. Вступ. В останнi роки науковий доробок А. М. Самойленка поповнився, зокрема, фун-
даментальними результатами з дослiдження систем диференцiальних рiвнянь з випадко-
вими збуреннями у правiй частинi (див. [1] та наведену там бiблiографiю). Дана робо-
та вiдноситься до цiєї ж тематики. У нiй дослiджується питання про iснування слабкого
розв’язку задачi Дiрiхле для рiвняння теплопровiдностi з випадковим збуренням, яке опи-
сується за допомогою iнтеграла за загальною стохастичною мiрою. Аналогiчний резуль-
тат для задачi Неймана для рiвняння теплопровiдностi у випадку, коли „вхiднi” функцiї не
залежать вiд просторової змiнної, вiдносно якої накладається крайова умова, отримано
в [2]. Про застосування рiвнянь iз частинними похiдними iз стохастичними мiрами див.
[2 – 5] та наведену там бiблiографiю.
2. Формулювання основного результату. Перелiк необхiдних у подальшому теоретич-
них вiдомостей щодо узагальнених випадкових функцiй та загальних стохастичних мiр
мiститься в [2].
Зафiксуємо натуральне число n ≥ 2. Якщо x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, то |x| =
(
x21 + . . .
. . .+ x2n
)1/2
, x′ = (x1, . . . , xn−1), а отже, x = (x′, xn) , Rn+ = {x ∈ Rn | xn > 0},
(x, t) = (x′, xn, t), i при цьому t iнтерпретується як часова, а x1, . . . , xn — як просторовi ко-
ординати; символом4x =
∂2
∂x21
+ . . .+
∂2
∂x2n
позначаємо оператор Лапласа,A— замикання
множини A.
Нехай µk, k = 1, 2, 3, — стохастичнi мiри на B
(
Rn−1
)
. Розглянемо задачу Дiрiхле для
рiвняння теплопровiдностi
∂Vt,xn
∂t
= a24xVt,xn + fµ̇1, t > 0, xn > 0, (1)
Vt,xn |t=0 = gµ̇2, xn > 0, (2)
Vt,xn |xn=0 = hµ̇3, t > 0, (3)
вiдносно невiдомого узагальненого випадкового вiдображення Vt,xn , t > 0, xn > 0,що на-
буває значення в D′r(Rn−1). Тут a — фiксоване додатне число; f(x′, xn, t), g(x′, xn), h(x′, t)
c© М. Ф. Городнiй, 2018
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1 29
30 М. Ф. ГОРОДНIЙ
— вимiрнi, обмеженi, фiнiтнi, дiйснi функцiї, визначенi вiдповiдно на множинах Rn+ ×
×(0,∞), Rn+ та Rn−1 × (0,∞) i такi, що функцiї
∂f
∂t
,
∂f
∂xn
,
∂3g
∂y3n
,
∂2h
∂t2
визначенi i обмеже-
нi на Rn+ × (0,∞), Rn+ × (0,∞), Rn+ i Rn−1 × (0,∞) вiдповiдно.
Покладемо
G1(t, x) = (2a
√
π)−nt−
n+2
n xn exp
{
− |x|
2
4a2t
}
, t > 0, x ∈ Rn,
G0(t, x, ξ) = (2a
√
πt)−n exp
{
−|x
′ − ξ′|2
4a2t
}
×
×
(
exp
{
−(xn − ξn)2
4a2t
}
− exp
{
−(xn + ξn)
2
4a2t
})
, t > 0, x ∈ Rn, ξ ∈ Rn.
Означення. Вiдображення Vt,xn , t > 0, xn > 0, називається розв’язком задачi Дiрiхле
(1) – (3), якщо для кожної ϕ ∈ D
(
Rn−1
)
виконуються такi умови:
a1) для довiльних t > 0, xn > 0
∂(Vt,xn , ϕ)
∂t
= a2
(
(Vt,xn ,4x′ϕ) +
∂2(Vt,xn , ϕ)
∂x2n
)
+
∫
Rn−1
f
(
x′, xn, t
)
ϕ
(
x′
)
dµ1
(
x′
)
;
a2) для довiльного xn > 0
P− lim
t→0+
(Vt,xn , ϕ) =
∫
Rn−1
g(x′, xn)ϕ
(
x′
)
dµ2
(
x′
)
;
a3) для довiльного t > 0
P− lim
xn→0+
(Vt,xn , ϕ) =
∫
Rn−1
h(x′, t)ϕ(x′) dµ3(x
′).
При ϕ ∈ D(Rn−1), x = (x′, xn) ∈ Rn+, t > 0 покладемо
r1
(
x′, xn, t, ϕ
)
=
t∫
0
dτ
∫
Rn
+
G0(t− τ, x, ξ)f
(
x′, ξn, τ
)
ϕ
(
ξ′
)
dξ,
r2(x
′, xn, t, ϕ) =
∫
Rn
+
G0(t, x, ξ)g
(
x′, ξn
)
ϕ(ξ′)dξ,
r3(x
′, xn, t, ϕ) =
t∫
0
dτ
∫
Rn−1
G1
(
t− τ, x− ξ′
)
h(x′, τ)ϕ(ξ′)dξ′
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI ДIРIХЛЕ ДЛЯ РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 31
i при k = 1, 2, 3 визначимо узагальнене випадкове вiдображення Vt,xn,k, t > 0, xn > 0, за
правилом
(Vt,xn,k, ϕ) =
∫
Rn−1
rk(x
′, xn, t, ϕ)dµk(x
′), ϕ ∈ D(Rn−1).
Основним результатом цiєї статтi є така теорема.
Теорема 1. Вiдображення
(Vt,xn , ϕ) =
3∑
k=1
(Vt,xn,k, ϕ), ϕ ∈ D(Rn−1),
є розв’язком задачi Дiрiхле (1) – (3).
3. Доведення теореми 1. Спочатку перевiримо, що вiдображення Vt,xn,1, t > 0, xn > 0,
є розв’язком задачi Дiрiхле
∂Wt,xn
∂t
= a24xWt,xn + fµ̇1, t > 0, xn > 0, (4)
Wt,xn |t=0 = 0, xn > 0, (5)
Wt,xn |xn=0 = 0, t > 0. (6)
Зафiксуємо ϕ ∈ D
(
Rn−1
)
i при кожному фiксованому x = (x′, xn) ∈ Rn+ розглянемо
задачу Дiрiхле для класичного рiвняння теплопровiдностi
∂r(y, t)
∂t
= a24yr(y, t) + f(x′, yn, t)ϕ(y
′), (y, t) ∈ Rn+ × (0,∞), (7)
r(y, t)|t=0 = 0, y ∈ Rn+, (8)
r(y, t)|yn=0 = 0, y′ ∈ Rn−1, t > 0. (9)
Оскiльки f фiнiтна по t, має обмеженi похiднi
∂f
∂xn
,
∂f
∂t
i ϕ ∈ D
(
Rn−1
)
, то задача
Дiрiхле (7) – (9) має класичний розв’язок rx(y, t) (див., наприклад, [6, с. 67]), який нале-
жить простору Гельдера C2+α(Rn+ × (0,∞),R) i зображується у виглядi
rx(y, t) =
t∫
0
dτ
∫
Rn
+
G0(t− τ, y, ξ)f
(
x′, ξn, τ
)
ϕ(ξ′)dξ, (y, t) ∈ Rn+ × (0,∞).
Поклавши
v(yn, ξn, t) = exp
{
−(yn − ξn)2
4a2t
}
− exp
{
−(yn + ξn)
2
4a2t
}
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
32 М. Ф. ГОРОДНIЙ
i скориставшись явним виглядом G0, можна переконатися, що
rx(y, t) =
(
1√
π
)n t∫
0
dτ
∞∫
0
dξn
∫
Rn−1
e−|η
′|2
2a
√
t− τ
f(x′, ξn, τ)v(yn, ξn, t− τ)ϕ
(
y′ + 2aη′
√
t− τ
)
dη′,
(10)
(y, t) ∈ Rn+ × (0,∞).
Зауважимо, що для кожного 1 ≤ k ≤ n−1 iснує похiдна
∂2rx(y, t)
∂y2k
, i її можна обчисли-
ти за допомогою теореми про диференцiювання по параметру yk iнтеграла Лебега. Для
знаходження
∂2rx(y, t)
∂y2n
при фiксованих t > 0, y′ ∈ Rn−1 для кожного k ≥ 1, покладемо
tk = t− t
k + 1
,
Hk(yn) =
(
1√
π
)n tk∫
0
dτ
∞∫
0
dξn
∫
Rn−1
e−|η
′|2
2a
√
t− τ
f
(
x′, ξn, t
)
v(yn, ξn, t− τ)ϕ
(
y′ + 2aη′
√
t− τ
)
dη′.
Оскiльки H ′′k (yn), yn > 0, iснує i знаходиться за допомогою теореми про диференцiюван-
ня iнтеграла по параметру, то з урахуванням оцiнки
∃K > 0 ∀
(
x′, ξn, τ
)
,
(
x′, yn, t
)
∈ Rn+ × (0,∞) :∣∣f (x′, ξn, τ)− f (x′, yn, t)∣∣ ≤ K(
√
t− τ + |ξn − yn|)
за допомогою граничного переходу неважко переконатися, що для кожного yn > 0 iснує
∂2rx(y, t)
∂y2n
=
(
1√
π
)n t∫
0
dτ
∞∫
0
dξn
∫
Rn−1
e−|η
′|2
2a
√
t− τ
∂2v(yn, ξn, t− τ)
∂y2n
×
×
(
f(x′, ξn, τ)− f(x′, yn, t)
)
ϕ
(
y′ + 2aη′
√
t− τ
)
dη′+
+ f(x′, yn, t)
(
1√
π
)n t∫
0
dτ
∞∫
0
dξn
∫
Rn−1
∂2v(yn, ξ, t− τ)
∂y2n
ϕ
(
y′ + 2aη′
√
t− τ
)
dη′.
Тому, поклавши в (10) y = x i застосувавши теорему про диференцiювання iнтеграла вiд
числової функцiї по параметру, для кожної (x, t) ∈ Rn+ × (0,∞) будемо мати
r1(x
′, xn, t, ϕ) = rx(x, t), (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI ДIРIХЛЕ ДЛЯ РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 33
∂r1(x
′, xn, t, ϕ)
∂t
=
∂rx(y, t)
∂t
∣∣∣∣
y=x
= a24yrx(y, t)
∣∣
y=x
+ f(x′, xn, t)ϕ(x
′) =
= a2
(
1√
π
)n t∫
0
dτ
∞∫
0
dξn
∫
Rn−1
e−|η
′|2
2a
√
t− τ
f(x′, ξn, τ)×
× v(xn, ξn, t− τ)
(
ϕ′′11
(
x′ + 2aη′
√
t− τ
)
+ . . .
. . .+ ϕ′′n−1n−1
(
x′ + 2aη′
√
t− τ
))
dη′+
+ a2
∂2rx(y, t)
∂y2n
∣∣∣∣
y=x
+ f(x′, xn, t)ϕ(x
′) =
= a2r1 (x, t,4x′ϕ) + a2
∂2r1 (x
′, xn, t, ϕ)
∂x2n
+ f(x′, xn, t)ϕ(x
′). (12)
Iз (10), (11) випливає, що при фiксованих t > 0, xn > 0, ϕ ∈ D
(
Rn−1
)
функцiя
r1 (x
′, xn, t, ϕ) вимiрна за змiнною x′, а також
sup
x′∈Rn−1
∣∣r1 (x′, xn, t, ϕ)∣∣ ≤ 2t‖f‖∞‖ϕ‖∞.
Тут i в подальшому ‖ · ‖∞ позначає sup-норму для обмеженої в своїй областi визначення
числової функцiї. Враховуючи також лiнiйнiсть r1 (x′, xn, t, ϕ) по ϕ ∈ D
(
Rn−1
)
i теоре-
му 1, робимо висновок, що Vt,xn,1 належить D′r
(
Rn−1
)
для довiльних t > 0, xn > 0.
Внаслiдок (12) при фiксованих b > 0, xn > 0, ϕ ∈ D
(
Rn−1
)
знайдеться така залежна
вiд a, xn, b стала M, що
sup
t∈(0,b), x′∈Rn−1
∣∣∣∣∂r1 (x′, xn, t, ϕ)∂t
∣∣∣∣ ≤ M (‖f‖∞‖4x′ϕ‖∞ + ‖ϕ‖∞ + ‖f‖∞‖ϕ‖∞) .
Тому до
∫
Rn−1
r1
(
x′, xn, t, ϕ
)
dµ1(x
′) можна застосувати теорему 2 iз [2], а отже, з ураху-
ванням (12) при фiксованих t > 0, xn > 0 матимемо
∂(Vt,xn,1, ϕ)
∂t
=
∫
Rn−1
∂r1 (x
′, xn, t, ϕ)
∂t
dµ1(x
′) = a2(Vt,xn,1,4x′ϕ)+
+ a2
∫
Rn−1
∂2r1(x
′, xn, t, ϕ)
∂x2n
dµ1(x
′) +
∫
Rn−1
f(x′, xn, t)ϕ(x
′)dµ1(x
′). (13)
Також зазначимо, що при фiксованих t > 0, ϕ ∈ D
(
Rn−1
)
до
∫
Rn−1
r1
(
x′, xn, t, ϕ
)
dµ1(x
′)
можна двiчi застосувати аналог теореми про диференцiювання iнтеграла Лебега по па-
раметру xn ∈ (ε, b), де 0 < ε < b — довiльнi додатнi числа. Тому∫
Rn−1
∂2r1(x
′, xn, t, ϕ)
∂x2n
dµ1(x
′) =
∂2(Vt,xn,1, ϕ)
∂x2n
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
34 М. Ф. ГОРОДНIЙ
Iз фiнiтностi f за змiнною t на (0,∞) випливає, що
∃t0 > 0 ∀t ∈ (0, t0] ∀(x′, xn) ∈ Rn+ ∀ϕ ∈ D(Rn−1) : r1
(
x′, xn, t, ϕ
)
= 0.
Тому при фiксованих xn > 0, ϕ ∈ D
(
Rn−1
)
P− lim
t→0+
(Vt,xn,1, ϕ) = 0. (14)
Використовуючи означення розв’язку класичної задачi Дiрiхле (7) – (9) i рiвнiсть (11), ро-
бимо висновок, що при фiксованих t > 0, ϕ ∈ D
(
Rn−1
)
∀x′ ∈ Rn−1 : r1
(
x′, xn, t, ϕ
)
→ 0, xn → 0 + .
Тому
P− lim
xn→0+
(Vt,xn,1, ϕ) = 0. (15)
Згiдно з (13) – (15) вiдображення Vt,xn,1, t > 0, xn > 0 є розв’язком задачi Дiрiхле (4) – (6).
Мiркуючи аналогiчно, можна встановити, що вiдображення Vt,xn,2, t > 0, xn > 0, є
розв’язком задачi Дiрiхле
∂Wt,xn
∂t
= a24xWt,xn , t > 0, xn > 0, (16)
Wt,xn |t=0 = gµ̇2, xn > 0, (17)
Wt,xn |xn=0 = 0, t > 0. (18)
Також, використовуючи метод, подiбний до запропонованого для доведення iснування
розв’язку задачi Неймана (19) – (21) у роботi [2], неважко переконатися, що узагальне-
не випадкове вiдображення Vt,xn,3, t > 0, xn > 0, є розв’язком задачi Дiрiхле
∂Wt,xn
∂t
= a24xWt,xn , t > 0, xn > 0, (19)
Wt,xn |t=0 = 0, xn > 0, (20)
Wt,xn |xn=0 = hµ̇3, t > 0. (21)
Насамкiнець зауважимо, що сума розв’язкiв задач (4) – (6), (16) – (18), (19) – (21) є розв’яз-
ком задачi Дiрiхле (1) – (3).
Теорему 1 доведено.
Лiтература
1. Самойленко А. М., Станжицький О. М. Якiсний та асимптотичний аналiз диференцiальних рiвнянь з
випадковими збуреннями. — Київ: Наук. думка, 2009. — 335 с.
2. Городнiй М., Полюля Д. Iснування розв’язку задачi Неймана для рiвняння теплопровiдностi iз загаль-
ною стохастичною мiрою // Нелiнiйнi коливання. — 2015. — 18, № 2. — С. 192 – 199.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ ЗАДАЧI ДIРIХЛЕ ДЛЯ РIВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI . . . 35
3. Радченко В. Н. Уравнение теплопроводности и волновое уравнение с общими случайными мерами //
Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 12. — С. 1675 – 1685.
4. Кляцкин В. И. Стохастические уравнения глазами физика. — М.: Физматлит, 2001. — 528 с.
5. Sturm A. On convergence of population prosesses in random enviroments to the stochastic heat equation
with colored noise // Electron. J. Probab. — 2003. — 8, № 6. — P. 1 – 39.
6. Ивасишен С. Д. Линейные параболические граничные задачи. — Киев: Вища шк., 1987. — 72 с.
Одержано 31.10.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1
|