Про силову взаємодію в задачах динаміки пружних резервуарів, частково заповнених рідиною

В нелинейной постановке рассматривается задача об определении сил взаимодействия между подвижным резервуаром с деформируемыми стенками и частично заполняемой его жидкостью. В разрезе динамики относительного движения механических систем в поле сил земного тяготения установлены теоремы об изменении...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2018
1. Verfasser:	Луковський, I.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2018
Schriftenreihe:	Нелінійні коливання
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177180
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Про силову взаємодію в задачах динаміки пружних резервуарів, частково заповнених рідиною / I.О. Луковський // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 1. — С. 54-65. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-177180
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1771802021-02-12T01:26:30Z Про силову взаємодію в задачах динаміки пружних резервуарів, частково заповнених рідиною Луковський, I.О. В нелинейной постановке рассматривается задача об определении сил взаимодействия между подвижным резервуаром с деформируемыми стенками и частично заполняемой его жидкостью. В разрезе динамики относительного движения механических систем в поле сил земного тяготения установлены теоремы об изменении главных векторов количества движения и кинетического момента количества движения системы тело-жидкость при условиях, когда центр масс системы наперед неизвестен. Сформулированы принципы построения нелинейных математических моделей движения рассматриваемых механических систем в целом на языке нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. We consider the problem, in a nonlinear setting, of determining the forces of interaction between a moving tank with deformed walls and fluid that partially fills it. For the dynamics of the relative motion of the mechanical systems in the gravity field, we establish theorems on a change of impulse principal and kinetic momentum principal vectors of the body-fluid system in the case where the center if mass of the system is not known in advance. We formulate principals for constructing mathematical models for global motion of the mechanical systems under consideration in terms of nonlinear ordinary differential equations. 2018 Article Про силову взаємодію в задачах динаміки пружних резервуарів, частково заповнених рідиною / I.О. Луковський // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 1. — С. 54-65. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177180 532.595 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	В нелинейной постановке рассматривается задача об определении сил взаимодействия между подвижным резервуаром с деформируемыми стенками и частично заполняемой его жидкостью. В разрезе динамики относительного движения механических систем в поле сил земного тяготения установлены теоремы об изменении главных векторов количества движения и кинетического момента количества движения системы тело-жидкость при условиях, когда центр масс системы наперед неизвестен. Сформулированы принципы построения нелинейных математических моделей движения рассматриваемых механических систем в целом на языке нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
format	Article
author	Луковський, I.О.
spellingShingle	Луковський, I.О. Про силову взаємодію в задачах динаміки пружних резервуарів, частково заповнених рідиною Нелінійні коливання
author_facet	Луковський, I.О.
author_sort	Луковський, I.О.
title	Про силову взаємодію в задачах динаміки пружних резервуарів, частково заповнених рідиною
title_short	Про силову взаємодію в задачах динаміки пружних резервуарів, частково заповнених рідиною
title_full	Про силову взаємодію в задачах динаміки пружних резервуарів, частково заповнених рідиною
title_fullStr	Про силову взаємодію в задачах динаміки пружних резервуарів, частково заповнених рідиною
title_full_unstemmed	Про силову взаємодію в задачах динаміки пружних резервуарів, частково заповнених рідиною
title_sort	про силову взаємодію в задачах динаміки пружних резервуарів, частково заповнених рідиною
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2018
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177180
citation_txt	Про силову взаємодію в задачах динаміки пружних резервуарів, частково заповнених рідиною / I.О. Луковський // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 1. — С. 54-65. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT lukovsʹkijio prosilovuvzaêmodíûvzadačahdinamíkipružnihrezervuarívčastkovozapovnenihrídinoû
first_indexed	2025-07-15T15:12:47Z
last_indexed	2025-07-15T15:12:47Z
_version_	1837726294471606272
fulltext	УДК 532.595 ПРО СИЛОВУ ВЗАЄМОДIЮ В ЗАДАЧАХ ДИНАМIКИ ПРУЖНИХ РЕЗЕРВУАРIВ, ЧАСТКОВО ЗАПОВНЕНИХ РIДИНОЮ I. О. Луковський Iн-т математики НАН України вул. Терещенкiвська, 3, Київ, 01004, Україна We consider the problem, in a nonlinear setting, of determining the forces of interaction between a moving tank with deformed walls and fluid that partially fills it. For the dynamics of the relative motion of the mechanical systems in the gravity field, we establish theorems on a change of impulse principal and kinetic momentum principal vectors of the body-fluid system in the case where the center if mass of the system is not known in advance. We formulate principals for constructing mathematical models for global motion of the mechanical systems under consideration in terms of nonlinear ordinary differential equations. В нелинейной постановке рассматривается задача об определении сил взаимодействия между подвижным резервуаром с деформируемыми стенками и частично заполняемой его жидкостью. В разрезе динамики относительного движения механических систем в поле сил земного тяготе- ния установлены теоремы об изменении главных векторов количества движения и кинетиче- ского момента количества движения системы тело-жидкость при условиях, когда центр масс системы наперед неизвестен. Сформулированы принципы построения нелинейных математи- ческих моделей движения рассматриваемых механических систем в целом на языке нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. 1. Попереднi зауваження i постановка задачi. Ряд практичних проблем, пов’язаних iз дос- лiдженнями динамiки та стiйкостi об’єктiв аерокосмiчної i морської технiки, до складу яких входять значнi маси рiдинних вантажiв, потребують розробки ефективних матема- тичних моделей з точки зору їх практичних застосувань. Бiльшiсть таких проблем необхiдно розглядати з позицiй нелiнiйної теорiї. Насампе- ред слiд розглядати математичнi проблеми, пов’язанi з постановкою i створенням методiв дослiдження нелiнiйних крайових задач математичної фiзики для областей зi змiнними межами. Внаслiдок нелiнiйностi математичних моделей єдинiсть їх розв’язкiв є швидше винятком, нiж правилом. Типовою задачею такого роду є задача динамiки пружного тiла, частково заповненого iдеальною нестисливою рiдиною. Розглядаючи просторовий рух цiєї механiчної системи, вводимо до розгляду двi сис- теми координат: прямокутну систему O′x′y′z′, яку умовно будемо вважати нерухомою, i прямокутну системуOxyz, незмiнно зв’язану з системою тiло-рiдина в їх незбуреному ста- нi. Початок рухомої системи координатOxyz виберемо на незбуренiй вiльнiй поверхнi рi- дини Σ0, направивши вiсь Ox у напрямку, протилежному напрямку вектора прискорення сил земного тяжiння g. Перемiщення, що здiйснюються частинками стiнок резервуара в результатi їх пруж- них деформацiй, будемо позначати вектором u(x, y, z, t), де t — час, а x, y, z — коорди- нати, що визначають положення даної частинки резервуара при недеформованому його станi. c© I. О. Луковський, 2018 54 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1 ПРО СИЛОВУ ВЗАЄМОДIЮ В ЗАДАЧАХ ДИНАМIКИ ПРУЖНИХ РЕЗЕРВУАРIВ . . . 55 Пружнi перемiщенняu(x, y, z, t) будуть представляти собою вiдноснi перемiщення час- тинок стiнок резервуара в рухомiй системi координат x, y, z. У подальшому розглядi будемо вважати вектор пружних перемiщень вiдомою функ- цiєю нарiвнi з вектором поступального руху v0 i вектором миттєвої кутової швидкостi ω, що характеризують просторовий рух координатної системи Oxyz. Як вiдомо, в потенцiальному силовому полi потенцiал сил тяжiння має вигляд U = −g · r′, до того ж r′ = r′0 + r, де r′ — радiус-вектор точки системи тiло-рiдина вiдносно початкуO′ абсолютної системи координат, r′0 — радiус-вектор точки O вiдносно нерухомої точки O′, r — радiус-вектор довiльної точки системи вiдносно точки O рухомої системи координат Oxyz. З огляду на викладене вище можна сформулювати так звану першу задачу динамi- ки системи тiло-рiдина, яка полягає у визначеннi руху рiдини, викликаного просторовим рухом резервуара i його пружними стiнками, а також сил взаємодiї мiж резервуаром i рiдиною. Будемо припускати, що в початковий момент часу рiдина знаходиться у станi спо- кою або у станi безвихрового руху. Тодi за теоремою Лагранжа її рух у подальшому буде безвихровим. З цього випливає iснування скалярної функцiї Φ, яка має назву потенцiалу швидкостей, для якої в занятiй рiдиною областi Q(t) справджується рiвнiсть va = grad Φ, де va — абсолютна швидкiсть частинок рiдини в рухомiй системi координат. Позначаючи через r{x(t), y(t), z(t)} радiус-вектор частинки рiдини вiдносно резерву- ара (тобто системи координат Oxyz), а через ∗ r{ẋ(t), ẏ(t), ż(t)} її вiдносну швидкiсть, на основi теореми про розподiл швидкостей у складному русi механiчної системи маємо va = 5Φ = v0 + ω × r + ∗ r . (1) Тут i в подальшому зiрочкою позначено вектори, проекцiї яких на осi зв’язаної системи координат Oxyz дорiвнюють похiдним за часом вiд проекцiй на них вiдповiдних векто- рiв [1]. За визначенням величина ∗ r є вектором швидкостi, зв’язаним iз частинкою. Для цiєї частинки аргументи x, y, z довiльної гiдродинамiчної величини A(x, y, z, t) є функцiями часу t, якi характеризують рух частинки. За правилом диференцiювання складної функ- цiї маємо dA dt = ∂A ∂t + v · 5A. Нелiнiйна крайова задача для потенцiалу швидкостей Φ(x, y, z, t),що описує абсолют- ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1 56 I. О. ЛУКОВСЬКИЙ ний рух рiдини в рухомiй системi координат, формулюється таким чином [2]: 52Φ = 0, r ∈ Q(t), (2) ∂Φ ∂ν = v0 · ν + ω · (r × ν) + vν , r ∈ Σ(t), (3) ∂Φ ∂ν = v0 · ν + ω · (r× ν) + ∂uν ∂t , r ∈ S(t), (4) ∂Φ ∂t + 1 2 (5Φ)2 −5Φ · (v0 + ω × r) + U = 0, r ∈ Σ(t), (5) де ν — орт зовнiшньої нормалi до поверхнi областi Q(t), r — радiус-вектор точок об’єму рiдини Q(t) у зв’язанiй системi координат, Σ(t) i S(t) — вiдповiдно вiльна поверхня рiдини i змочувана поверхня резервуара, vν — вiдносна нормальна швидкiсть частинок вiльної поверхнi рiдини, uν — проекцiя пружного перемiщення u(x, y, z, t) на напрям зовнiшньої нормалi до поверхнi S(t). Так звану динамiчну умову на вiльнiй поверхнi рiдини Σ(t) (5) одержано з iнтеграла Лагранжа – Кошi у зв’язанiй системi координат ∂Φ ∂t + 1 2 (5Φ)2 −5Φ · (v0 + ω × r) + U + p ρ = 0, (6) де ρ— масова густина рiдини, при умовi рiвностi тиску p на вiльнiй поверхнi сталiй величи- нi p0. Похiдна по часу ∂Φ ∂t в (6) обчислюється в рухомiй системi координат, тобто для точки M, яка незмiнно зв’язана з рухомою системою координат i має вiдносно неї координати x, y, z. При формулюваннi кiнематичних умов крайової задачi (2) – (5) використовувалося спiввiдношення (1), згiдно з яким grad Φ · ν = v0 · ν + (ω × r) · ν + vr · ν, де vr — вiдносна швидкiсть частинок рiдини на пружнiй стiнцi резервуара чи на вiльнiй поверхнi рiдини. Для частинок рiдини, що лежать на змочуванiй поверхнi резервуара S(t), вона визначається похiдною за часом вiд пружного перемiщення цiєї частинкиu(x, y, z, t), тодi як для частинок рiдини вiльної поверхнi Σ(t), заданої рiвнянням ζ(x, y, z, t) = 0, маємо ∂ϕ ∂ν = − ζt√ \| 5 ζ\|z = vν , де vν — спiльна швидкiсть рiдини i вiльної поверхнi в напрямку зовнiшньої нормалi до поверхнi Σ(t). 2. Визначення сил взаємодiї мiж пружними стiнками резервуара i рiдиною, що частко- во його заповнює. Найбiльш складним для аналiзу силової взаємодiї резервуара з рiди- ною є випадок просторового руху механiчної системи при значних деформацiях вiльної поверхнi коливального типу. Для класу потенцiальних рухiв рiдини нижче ми одержимо ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1 ПРО СИЛОВУ ВЗАЄМОДIЮ В ЗАДАЧАХ ДИНАМIКИ ПРУЖНИХ РЕЗЕРВУАРIВ . . . 57 вирази для головного вектора i головного моменту сил тиску вiдносно точкиO в термiнах кiнематичних i динамiчних величин аналiтичної механiки. За означенням головний вектор P i головний момент N сил тиску, якi дiють з боку рiдини на рухомий резервуар, мають вигляд P = ∫ S pν dS, N = ∫ S r × pν dS, (7) де S(t) — змочувана поверхня резервуара. Пов’язуючи визначення головних векторiв P i N iз розв’язком нелiнiйної крайової задачi для потенцiалу швидкостей Φ(x, y, z, t) (2) – (5), пiдставляємо у (7) значення тиску p з iнтеграла Лагранжа – Кошi (6). Тодi для головного вектора P одержимо P = −ρ ∫ S [ ∂Φ ∂t + 1 2 (5Φ)2 −5Φ · (v0 + ω × r) + U ] ν dS. (8) Вираз (8) перетворимо, застосувавши iнтегральнi теореми теорiї поля. Спочатку за iнтегральною теоремою Гаусса – Остроградського знайдемо ρ ∫ S+Σ ∂Φ ∂t ν dS = ρ ∫ Q ∇ ( ∂Φ ∂t ) dQ = ρ ∫ Q ∂ ∂t (∇Φ)dQ. (9) До iнтеграла (9) застосуємо формулу d dt ∫ Q f dQ = ∫ Q ftdQ+ ∫ S+Σ fvνdS, (10) справедливу для довiльної функцiї f(x, y, z, t) у випадку, коли областьQ залежить вiд часу t. У спiввiдношеннi (10) vν означає нормальну швидкiсть точок межi областi Q, яка прий- мається позитивною в напрямку зовнiшньої нормалi до межi. Пiсля цього отримаємо ρ ∫ Q ∂ ∂t (∇Φ)dQ = ∗ K −ρ ∫ S+Σ ∇Φvν dS, (11) де ∗ K = ρ ∫ Q ∇ΦdQ — кiлькiсть руху об’єму рiдини Q(t), обмеженого вiльною поверхнею Σ(t) i пружною стiнкою S(t). В результатi для першого члена у формулi (8) маємо ρ ∫ S ∂Φ ∂t ν dS = ∗ K −ρ ∫ Σ ∇Φvν dS − ρ ∫ Σ ∂Φ ∂t ν dS. (12) Другий доданок у виразi (8) перетворимо за допомогою формули 1 2 ∫ S+Σ [ νa2 − 2(ν · a)a ] dS = ∫ Q [a(∇ · a)− a× (∇× a)] dQ, (13) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1 58 I. О. ЛУКОВСЬКИЙ яка є наслiдком теореми Гаусса – Остроградського i таких спiввiдношень векторної алгеб- ри: ∇(a · b) = a× (∇× b) + (a · ∇)b+ b× (∇× a) + (b · ∇)a, (∇ · b)a = a(∇ · b) + (b · ∇)a. Якщо у (13) покласти a = ∇Φ, то знайдемо 1 2 ρ ∫ S (∇Φ)2νdS = ρ ∫ S+Σ ∇Φ ∂Φ ∂ν dS − 1 2 ρ ∫ Σ (∇Φ)2ν dS. (14) За теоремою Гаусса – Остроградського можна встановити спiввiдношення∫ S+Σ [ν(a · b)− (ν · b)a] dS = ∫ Q [a× (∇× b) + (a · ∇)b+ b× (∇× a)− a(∇ · b)] dQ, з якого при a = ∇Φ i b = v0 + ω × r випливає вираз ρ ∫ S [∇Φ · (v0 + ω × r)]ν dS = ρ ∫ S+Σ ∂Φ ∂ν ∇Φ dS − ρ ∫ Q (ω ×∇Φ) dQ− − ρ ∫ Σ [∇Φ · (v0 + ω × r)]ν dS − ρ ∫ Σ vν∇Φ dS. (15) Для останнього доданка у виразi (8) одержуємо ρ ∫ S Uν dS = −ρ ∫ S [ g · ( r′0 + r )] ν dS = −ρ ∫ Q ∇(g · r) dQ+ + ρ ∫ Σ [ g · (r′0 + r) ] νdS = −m1g + ρ ∫ Σ [ g · (r′0 + r) ] ν dS, (16) де m1 — маса рiдини. Пiдставляючи вирази (11), (14) – (16) i використовуючи при цьому динамiчну умову (5) на вiльнiй поверхнi рiдини Σ(t), iз (8) отримуємо P = m1g − ∗ K −ω ×K. (17) Перейдемо до визначення головного моменту сил тиску N вiдносно початку рухомої системи координат Oxyz. Пiдставляючи p iз (6) у (7), одержуємо N = −ρ ∫ S r × [ ∂Φ ∂t + 1 2 (∇Φ)2 −∇Φ · (v0 + ω × r) + U ] ν dS. (18) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1 ПРО СИЛОВУ ВЗАЄМОДIЮ В ЗАДАЧАХ ДИНАМIКИ ПРУЖНИХ РЕЗЕРВУАРIВ . . . 59 Перетворимо цей вираз, застосувавши вiдповiднi iнтегральнi теореми. Спочатку знаходимо ρ ∫ S+Σ ( r × ∂Φ ∂t ν ) dS = ρ ∫ Q ( r ×∇∂Φ ∂t ) dQ = ρ ∫ Q [ r × ∂ ∂t (∇Φ) ] dQ = = ρ ∫ Q ∂ ∂t (r ×∇Φ)dQ− ρ ∫ Q (vr ×∇Φ)dQ = = ρ d dt ∫ Q (r ×∇Φ) dQ− ρ ∫ Σ+S (r ×∇Φ)vν dS − ρ ∫ Q (vr ×∇Φ) dQ, де vr — вiдносна швидкiсть руху рiдини. Таким чином, ρ ∫ S ( r × ∂Φ ∂t ν ) dS = ∗ G−ρ ∫ Σ+S (r ×∇Φ)vνdS− − ρ ∫ Q (vr ×∇Φ)dQ− ρ ∫ Σ ( r × ∂Φ ∂v ν ) dS, (19) де G = ρ ∫ Q (r ×∇Φ) dQ — момент кiлькостi руху обмеженого об’єму рiдини Q вiдносно точки O. По аналогiї з (13) маємо спiввiдношення 1 2 ∫ S+Σ r × [ νa2 − 2(ν · a)a ] dS = ∫ Q r × [a(∇ · a)− a× (∇× a)] dQ, з якого при a = ∇Φ випливає 1 2 ρ ∫ S [ r × (∇Φ)2ν ] dS = ρ ∫ S+Σ ( r ×∇Φ ∂Φ ∂ν ) dS− − 1 2 ρ ∫ Σ [ r × (∇Φ)2ν ] dS = ρ ∫ S+Σ ( r ×∇Φ ∂Φ ∂ν ) dS+ + ρ ∫ Σ r × [ ∂Φ ∂t −∇Φ · (v0 + ω × r) + U ] νdS. (20) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1 60 I. О. ЛУКОВСЬКИЙ Третiй доданок у (18) перетворимо, взявши до уваги (15): ρ ∫ S r × [∇Φ · (v0 + ω × r)]ν dS = ρ ∫ S+Σ r ×∇Φ ∂Φ ∂ν dS − ρ ∫ Q r × (ω ×∇Φ)dQ− − ρ ∫ Σ r × [∇Φ · (v0 + ω × r)]ν dS − ρ ∫ Σ+S (r ×∇Φ)vν dS. (21) Для четвертої складової в формулi (18) маємо ρ ∫ S r × Uν dS = −ρ ∫ S r × [ g · ( r′0 + r )] ν dS = = −ρ ∫ Q r ×∇(g · r) dQ+ ρ ∫ Σ r × [ g · ( r′0 + r )] ν dS = = −m1r1C × g + ρ ∫ Σ r × [ g · ( r′0 + r )] ν dS. (22) Пiдставимо (19) i (20) – (22) у (18). Тодi отримаємо N = m1r1C × g − ∗ G+ρ ∫ Q vr ×∇Φ− ρ ∫ Q r × (ω ×∇Φ) dQ. Зважаючи на те, що vr ×∇Φ = −v0 ×∇Φ− (ω × r)×∇Φ, ω × (r ×∇Φ) = r × (ω ×∇Φ)−∇Φ× (ω × r), остаточно знаходимо N = m1r1C × g − ∗ G−ω ×G− v0 ×K. (23) Вирази (17) i (23) — це математичне формулювання теорем про змiну кiлькостi руху та моменту кiлькостi руху вiдносно точкиO механiчної системи резервуар-рiдина. Кiнематичнi крайовi умови крайової задачi (2) – (4) дозволяють записати потенцiал швидкостей Φ(x, y, z, t) абсолютного руху рiдини в рухомiй системi координат у виглядi Φ(x, y, z, t) = v0 · V + ω ·Ω + ϕ, (24) де V (x, y, z) i Ω — гармонiчнi вектори, тобто вектори, проекцiї яких V1, V2, V3 i Ω1, Ω2, Ω3 на осi рухомої системи координат Oxyz є гармонiчними функцiями, що задовольняють ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1 ПРО СИЛОВУ ВЗАЄМОДIЮ В ЗАДАЧАХ ДИНАМIКИ ПРУЖНИХ РЕЗЕРВУАРIВ . . . 61 крайовi умови ∂V1 ∂ν ∣∣∣∣ S+Σ = ν1, ∂V2 ∂ν ∣∣∣∣ S+Σ = ν2, ∂V3 ∂ν ∣∣∣∣ S+Σ = ν3, ∂Ω1 ∂ν ∣∣∣∣ S+Σ = yν3 − zν2, ∂Ω2 ∂ν ∣∣∣∣ S+Σ = zν1 − xν3, ∂Ω3 ∂ν ∣∣∣∣ S+Σ = xν2 − yν1, де ν1, ν2, ν3 — проекцiї орта ν на осi системи Oxyz. Гармонiчна функцiя ϕ у (24) задовольняє граничнi умови ∂ϕ ∂ν ∣∣∣∣ S = ∂uν ∂t , ∂ϕ ∂ν = − ζt√ \|∇ζ\|2 = ft N , де ζ(x, y, z, t) = x− f(y, z, t) = 0 — рiвняння вiльної поверхнi Σ(t). Потенцiал швидкостей ϕ характеризує рух рiдини, викликаний пружними коливання- ми стiнок резервуара i гравiтацiйними силами. Вирази для P (17) i N (23) перетворимо з урахуванням потенцiалу швидкостей Φ(x, y, z, t) (24). Спочатку для вектора кiлькостi рухуK одержимо K = ρ ∫ Q ∇Φ dQ = m1v0 + ρ ∫ Q ∇(ω ·Ω) dQ+ ρ ∫ Q ∇ϕdQ. (25) Перетворимо другий i третiй доданки у (25) з урахуванням крайових умов задачi (2) – (5). Маємо ρ ∫ Q ∇(ω ·Ω) dQ = ρ ∫ S+Σ (ω ·Ω)ν dS = ρ ∫ S+Σ ( ω · ∂Ω ∂ν ) r dS = = ρ ∫ S+Σ [ω · (r × ν)] r dS = ρ ∫ Q [ω · (r ×∇)] r dQ = = ρ ∫ Q (ω × r) dQ = m1ω × r1C , (26) ρ ∫ Q ∇ϕdQ = ρ ∫ S+Σ ϕν dS = ρ ∫ S+Σ r ∂ϕ ∂ν dS, (27) де r1C — радiус-вектор вiдносно точки O центра мас обмеженого об’єму рiдини. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1 62 I. О. ЛУКОВСЬКИЙ Запишемо потенцiал швидкостей ϕ у виглядi суми ϕ = ϕ1 + ϕ2, складовi якої задовольняють такi крайовi задачi: 4ϕ1 = 0, r ∈ Q(t), ∂ϕ1 ∂ν ∣∣∣∣ S(t) = 0, ∂ϕ1 ∂ν ∣∣∣ Σ0 = − ζt√ \|∇ζ\|2 = ft N , N = √ 1 + f2 y + f2 z , (28) 4ϕ2 = 0, r ∈ Q(t), ∂ϕ2 ∂ν ∣∣∣∣ S(t) = ∂uν ∂t , ∂ϕ2 ∂ν ∣∣∣∣ Σ(t) = 0. (29) Крайова задача (28) природно виникає в динамiцi твердого тiла з порожнинами, част- ково заповненими рiдиною [2], а крайова задача (29) може бути об’єктом дослiджень ди- намiки пружних тiл iз порожнинами, повнiстю заповненими рiдиною. В розглядуванiй тут задачi пружнi перемiщення u(x, y, z, t) трактуються на основi лi- нiйної моделi теорiї пружностi, в якiй розглядається дiя поверхневих сил на недеформо- вану поверхню пружного тiла S0. За означенням радiус-вектор центра мас обмеженого об’єму рiдиниQ(t) визначається формулою m1r1C = ρ ∫ Q(t) r dQ, у вiдповiдностi з якою на основi (10) знаходимо m1 ρ ∗ r1C = ∫ S+Σ rvν dS = ∫ S+Σ r ∂ϕ ∂ν dS = ∫ Σ r ft N dS + ∫ S0 r ∂uν ∂t dS. (30) Таким чином, вектор кiлькостi рухуK на пiдставi (26), (27) i (30) набирає вигляду K = m1(v0 + ω × r1C + ∗ r1C), а головний вектор сил тиску рiдини (17) остаточно має вигляд P = m1g −m1 [∗ v0 + ω × v0 + ω × (ω × r1C) + ω̇ × r1C + 2ω × ∗r1C + ∗∗ r 1C ] . (31) У вiдповiдностi iз загальною теорiєю динамiки вiдносного руху вираз у квадратних дужках формули (31) є абсолютним прискоренням центра мас обмеженого об’єму рiдини Q(t). При цьому група членiв we = ∗ v0 + ω × v0 + ω̇ × r1C + ω × (ω × r1C) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1 ПРО СИЛОВУ ВЗАЄМОДIЮ В ЗАДАЧАХ ДИНАМIКИ ПРУЖНИХ РЕЗЕРВУАРIВ . . . 63 визначає переносне прискорення, що складається iз прискорення полюса w0, вiдцентро- вого wc i обертального wrot: w0 = ∗ v0 + ω × v0, wc = ω × (ω × r1C), wrot = ω̇ × r1C . Доданки wCor = 2ω × ∗r1C i wr = ∗∗ r 1C є вiдповiдно прискоренням Корiолiса i вiдносним прискоренням. Знайдемо тепер момент кiлькостi руху G об’єму рiдини Q вiдносно точки O з ура- хуванням виразу (24) для потенцiалу швидкостей Φ(x, y, z, t) абсолютного руху рiдини в рухомiй системi координат Oxyz. Маємо G = ρ ∫ Q r ×∇Φ dQ = ρ ∫ Q r × v0 dQ+ ρ ∫ Q r ×∇(ω · Ω) dQ+ + ρ ∫ Q r ×∇ϕdQ = m1r1C × v0+ + ρ ∫ S+Σ (ω ·Ω)(r × ν) dS + ρ ∫ S+Σ (r × ν)ϕdS. (32) Беручи до уваги граничнi умови (3), (4) крайової задачi (2) – (5), записуємо вираз (32) у виглядi G = m1r1C × v0 + ρ ∫ S+Σ (ω ·Ω) ∂Ω ∂ν dS + ρ ∫ S+Σ Ω ∂ϕ ∂ν dS = = m1r1C × v0 + ω · J1 + ρ ∫ S+Σ Ω ∂ϕ ∂ν dS = m1r1C × v0 + ω · J1+ + ρ d dt ∫ Q Ω dQ− ρ ∫ Q ∂Ω ∂t dQ = m1r1C × v0 + ω · J1 + ∗ lω − lωt, (33) де J1 ij = ρ ∫ S+Σ ∂Ωi ∂ν Ωj dS — компоненти тензора iнерцiї об’єму рiдини Q(t) вiдносно точ- ки O, lω = ρ ∫ Q Ω dQ, lωt = ρ ∫ Q ∂Ω ∂t dQ, ∗ lω — вектор, проекцiї якого на осi зв’язаної системи координат дорiвнюють похiдним вiд проекцiй на них вектора lω. Пiсля визначення моменту кiлькостi руху об’єму рiдини Q(t) у формi (33) головний момент сил тискуN вiдносно точки O набере вигляду N = m1r1C × ( g − ω × v0 − ∗ v0 ) − J1 · ω̇ − ∗ J1 · ω− − ω × ( J1 · ω ) − ∗∗ l ω + ∗ lωt − ω × ( ∗ lω − lωt). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1 64 I. О. ЛУКОВСЬКИЙ Зазначимо, що ω̇ = ∗ ω + ω × ω = ∗ ω, оскiльки система координат Oxyz зв’язана з несучим тiлом. Таким чином, у випадку заданого просторового руху резервуара з пружними стiнками рух рiдини можна вважати вiдомим, якщо знайдено розв’язки крайових задач для складо- вих потенцiалу швидкостей Ωi, ϕ1 та ϕ2. Для побудови цих розв’язкiв можна використати модальнi методи, якi ґрунтуються на конструктивних зображеннях збуреної вiльної по- верхнi рiдини Σ(t) та пружних перемiщень стiнок резервуара S(t) у виглядi узагальнених рядiв Фур’є за системами власних функцiй спектральних задач iз параметром у крайових умовах. За аналогiєю нелiнiйних задач динамiки рухомих резервуарiв з абсолютно жорсткими стiнками запишемо шукану збурену вiльну поверхню f(y, z, t) у виглядi розвинення f(y, z, t) = ∑ i βi(t)fi(y, z), де fi(y, z) — повна ортогональна разом з константою система функцiй, задана на незбу- ренiй вiльнiй поверхнi рiдини Σ0, а βi(t) — узагальненi коефiцiєнти Фур’є, якi залежать вiд часу як вiд параметра i вiдiграють у подальшому роль узагальнених координат, що характеризують вiдхилення вiльної поверхнi вiд положення рiвноваги: βi(t) = ∫ Σ0 f(y, z, t) fi(y, z) dS. (34) В аналогiчнiй формi запишемо також i проекцiю вектора пружного перемiщення стi- нок резервуара на зовнiшню нормаль до поверхнi S0 uν(x, y, z, t) = ∑ k qk(t) f ∗ k (x, y, z), де f∗k = κ∗kϕ∗k(x, y, z) — повна система, задана на недеформованiй поверхнi резервуара S0 i породжена введеною ранiше автором задачею на власнi значення з параметром κ∗ у граничнiй умовi (див., наприклад, [3], розд. II, § 5): ∇2ϕ∗ = 0, r ∈ Q, ∂ϕ∗ ∂ν ∣∣∣∣ Σ0 = 0, ∂ϕ∗ ∂ν ∣∣∣∣ S0 = κ∗ ϕ∗. (35) Крайова задача на власнi значення (35) нарiвнi з аналогiчною задачею ∇2ϕ = 0, r ∈ Q, ∂ϕ ∂ν ∣∣∣∣ Σ0 = κ ϕ, ∂ϕ ∂ν ∣∣∣∣ S0 = 0, яка природно виникає в задачi про гравiтацiйнi хвилi в обмеженому об’ємi рiдини з вiль- ною поверхнею, вiдносяться до базових задач лiнiйної i нелiнiйної теорiї модальних ме- тодiв. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1 ПРО СИЛОВУ ВЗАЄМОДIЮ В ЗАДАЧАХ ДИНАМIКИ ПРУЖНИХ РЕЗЕРВУАРIВ . . . 65 Введення до розгляду узагальнених координат βi(t) (34) i qk(t) за принципом qk(t) = ∫ S0 uν(x, y, z, t) f∗k (x, y, z) dS (36) дозволяє описувати змiннiсть у часi положення центра мас механiчної системи резервуар- рiдина злiченною системою координат βi(t) i qk(t), що дає змогу включити до розгля- ду бiльш широке коло задач аналiтичної механiки. Зокрема, вiдкривається можливiсть бiльш ґрунтовно розглянути другу задачу динамiки оболонок, частково заповнених рiди- ною, на основi математичної моделi у виглядi нелiнiйної системи звичайних диференцi- альних рiвнянь. Вектор пружних перемiщень u(x, y, z, t) у другiй задачi динамiки також пiдлягає ви- значенню, що зумовлює включення до розгляду вiдповiдних рiвнянь iз частинними по- хiдними теорiї оболонок. Кожна iз трьох компонент вектора перемiщень тепер зобра- жується своєю сукупнiстю узагальнених координат типу qk(t) (36), так що розмiрнiсть математичних моделей iз ростом числа додаткових ступенiв вiльностi в цьому випадку значно збiльшується. В бiльш повнiй постановцi можуть бути розглянутi також задачi про вiльнi i виму- шенi коливання оболонок, частково заповнених рiдиною, без додаткових обмежень на мализну деформацiй вiльної поверхнi рiдини, якi часто виключають iз поля зору важливi фiзичнi процеси [4, 5], та iншi. Лiтература 1. Лурье А. И. Аналитическая механика. — М.: Физматгиз, 1961. — 824 с. 2. Луковский И. А. Математические модели нелинейной динамики тел с жидкостью. — Киев: Наук. думка, 2010. — 407 с. 3. Фещенко С. Ф., Луковский И. А., Рабинович Б. И., Докучаев Л. В. Методы определения присоединен- ных масс жидкости в подвижных полостях. — Киев: Наук. думка, 1969. — 250 с. 4. Брусиловский А. Д., Шмаков В. П., Яблуков В. А. Метод расчета собственных и вынужденных ко- лебаний упругих оболочек вращения, заполненных идеальной несжимаемой жидкостью // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. —1973. — № 3. — С. 99 – 110. 5. Троценко В.А., Троценко Ю.В. Неосесимметричные колебания оболочки вращения, частично запол- ненной жидкостью // Нелiнiйнi коливання. — 2015. — 18, № 3. — С. 394 – 412. Одержано 21.11.17 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т . 21, N◦ 1

Про силову взаємодію в задачах динаміки пружних резервуарів, частково заповнених рідиною

Institution

Ähnliche Einträge