Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями
Встановлюються умови iснування деяких класiв розв’язкiв неавтономного диференцiального рiвняння n-го порядку з правильно змiнними нелiнiйностями, а також асимптотичнi при t ↑ ω (ω ≤ +∞) зображення для таких розв’язкiв та їх похiдних до порядку n − 1 включно....
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2018
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177187 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями / В.М. Евтухов, А.Г. Дорошенко // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 166-188. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177187 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771872021-02-12T01:26:02Z Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями Евтухов, В.М. Дорошенко, А.Г. Встановлюються умови iснування деяких класiв розв’язкiв неавтономного диференцiального рiвняння n-го порядку з правильно змiнними нелiнiйностями, а також асимптотичнi при t ↑ ω (ω ≤ +∞) зображення для таких розв’язкiв та їх похiдних до порядку n − 1 включно. We establish conditions for the existence of some classes of solutions of the nonautonomous differential equations of the nth order with regularly varying nonlinearities and asymptotic representations of these solutions and their derivatives up to order n − 1 inclusively as t ↑ ω (ω ≤ +∞). 2018 Article Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями / В.М. Евтухов, А.Г. Дорошенко // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 166-188. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177187 517.925 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлюються умови iснування деяких класiв розв’язкiв неавтономного диференцiального
рiвняння n-го порядку з правильно змiнними нелiнiйностями, а також асимптотичнi при t ↑ ω
(ω ≤ +∞) зображення для таких розв’язкiв та їх похiдних до порядку n − 1 включно. |
| format |
Article |
| author |
Евтухов, В.М. Дорошенко, А.Г. |
| spellingShingle |
Евтухов, В.М. Дорошенко, А.Г. Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями Нелінійні коливання |
| author_facet |
Евтухов, В.М. Дорошенко, А.Г. |
| author_sort |
Евтухов, В.М. |
| title |
Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями |
| title_short |
Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями |
| title_full |
Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями |
| title_fullStr |
Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями |
| title_full_unstemmed |
Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями |
| title_sort |
асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177187 |
| citation_txt |
Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями / В.М. Евтухов, А.Г. Дорошенко // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 166-188. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT evtuhovvm asimptotičeskoepovedenierešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijngoporâdkaspravilʹnomenâûŝimisânelinejnostâmi AT dorošenkoag asimptotičeskoepovedenierešenijobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijngoporâdkaspravilʹnomenâûŝimisânelinejnostâmi |
| first_indexed |
2025-07-15T15:13:15Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:13:15Z |
| _version_ |
1837726324943224832 |
| fulltext |
УДК 517.925
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ n-ГО ПОРЯДКА
С ПРАВИЛЬНО МЕНЯЮЩИМИСЯ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
В. М. Евтухов, А. Г. Дорошенко
Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова
ул. Дворянская, 2, Одесса, 65026, Украина
We establish conditions for the existence of some classes of solutions of the nonautonomous differential
equations of the nth order with regularly varying nonlinearities and asymptotic representations of these
solutions and their derivatives up to order n− 1 inclusively as t ↑ ω (ω ≤ +∞).
Встановлюються умови iснування деяких класiв розв’язкiв неавтономного диференцiального
рiвняння n-го порядку з правильно змiнними нелiнiйностями, а також асимптотичнi при t ↑ ω
(ω ≤ +∞) зображення для таких розв’язкiв та їх похiдних до порядку n− 1 включно.
1. Введение. Рассматривается уравнение
y(n) =
m∑
k=1
αkpk(t)
n−1∏
j=0
ϕkj
(
y(j)
)
, (1.1)
где αk ∈ {−1; 1}, k = 1,m, pk : [a, ω[ →]0,+∞[, k = 1,m, — непрерывные функции,
ϕkj : 4Yj →]0,+∞[, k = 1,m, j = 0, n− 1, — непрерывные и правильно меняющиеся при
y(j) → Yj функции порядков σkj , −∞ < a < ω ≤ +∞*, 4Yj — односторонняя окрестность
Yj , Yj равно либо 0, либо ±∞.
Определение 1.1. Непрерывная функция ϕ : ∆Y → ]0,+∞[, где Y равно либо нулю, либо
±∞ и ∆Y — односторонняя окрестность Y, называется правильно меняющейся при y → Y,
если существует число σ ∈ R такое, что
lim
y→Y
y∈∆Y
ϕ(λy)
ϕ(y)
= λσ для любого λ > 0.
При этом число σ называется порядком функции ϕ.
Частным случаем уравнения (1.1) является уравнение
y(n) = α0p(t)ϕ(y),
где α0 ∈ {−1, 1}, p : [a, ω[ → ]0,+∞[ — непрерывная функция, а ϕ : ∆Y0 −→ ]0,+∞[ —
непрерывная и правильно меняющаяся при y −→ Y0 функция порядка σ, Y0 равно либо
нулю, либо ±∞, ∆Y0 — односторонняя окрестность Y0. Для такого уравнения в работе
В. М. Евтухова и А. М. Самойленко [1] изучалась асимптотика так называемых Pω(Y0, λ0)-
решений. Результаты данного исследования в работах В. М. Евтухова и А. М. Клопота
[2 – 4] частично распространены на случай уравнения вида (1.1).
*Считаем, что a > 1 при ω = +∞ и ω − 1 < a < ω при ω < +∞.
© В. М. Евтухов, А. Г. Дорошенко, 2018
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2 166
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. . . 167
Определение 1.2. Решение уравнения (1.1) будем называтьPω(Y0, . . . , Yn−1, λ0)-решением,
где −∞ ≤ λ0 ≤ +∞, если оно определено на промежутке [t0, ω[ ⊂ [a, ω[ и удовлетворяет
условиям
y(j)(t) ∈ ∆Yj при t ∈ [t0, ω[, lim
t↑ω
y(j)(t) = Yj , j = 0, n− 1, (1.2)
lim
t↑ω
[
y(n−1)(t)
]2
y(n)(t)y(n−2)(t)
= λ0.
В [2 – 4] исследовалась ситуация, когда правая часть уравнения (1.1) на каждом из воз-
можных типов Pω(Y0, . . . , Yn−1, λ0)-решений эквивалентна одному слагаемому, т. е. когда
для некоторого s ∈ {1, . . . ,m} справедливо
lim
t↑ω
pk(t)
∏n−1
j=0
ϕkj(y
(j)(t))
ps(t)
∏n−1
j=0
ϕsj(y
(j)(t))
= 0 при k ∈ {1, . . . ,m} \ {s}.
Целью настоящей работы является распространение некоторых из этих результатов на
случай, когда на изучаемом классе решений в правой части такого уравнения имеется
несколько главных слагаемых, т. е. когда для некоторого s ∈ {1, . . . ,m} и не пустого
множества Γ ⊂ {1, . . . ,m}
lim
t↑ω
pk(t)
∏n−1
j=0
ϕkj(y
(j)(t))
ps(t)
∏n−1
j=0
ϕsj(y
(j)(t))
= 0 при k ∈ {1, . . . ,m} \ Γ, (1.3)
lim
t↑ω
pk(t)
∏n−1
j=0
ϕkj(y
(j)(t))
ps(t)
∏n−1
j=0
ϕsj(y
(j)(t))
= cks = const 6= 0 при k ∈ Γ. (1.4)
При этом будут исследованы Pω(Y0, . . . , Yn−1, λ0)-решения, для которых
λ0 ∈ R \
{
0,
1
2
,
2
3
, . . . ,
n− 2
n− 1
, 1
}
и λ0 = 1.
Выберем числа bj ∈ ∆Yj , j = 0, n− 1, такими, чтобы выполнялись неравенства
|bj | < 1 при Yj = 0, bj > 1 (bj < −1) при Yj = +∞ (Yj = −∞)
и в дальнейшем, не ограничивая общности, будем считать, что
∆Yj =
[bj , Yj [, если ∆Yj — левая окрестность Yj ,
]Yj , bj ], если ∆Yj — правая окрестность Yj ,
j = 0, n− 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
168 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ДОРОШЕНКО
Из определения Pω(Y0, . . . , Yn−1, λ0)-решения уравнения (1.1) и выбора bj , j = 0, n− 1,
ясно, что каждое такое решение и все его производные до порядка n − 1 включительно
отличны от нуля на промежутке [t0, ω[, причем на этом промежутке (j + 1)-я производная
данного решения положительна (j ∈ {0, . . . , n − 1}), если ∆Yj — левая окрестность Yj , и
отрицательна в противном случае. Учитывая этот факт, введем числа
ν0j = sign bj ,
(1.5)
ν1j =
1, если ∆Yj — левая окрестность Yj ,
−1, если ∆Yj — правая окрестность Yj ,
j = 0, n− 1,
определяющие соответственно знаки j-й и (j + 1)-й производных Pω(Y0, . . . , Yn−1, λ0)-
решения. При этом заметим, что для Pω(Y0, . . . , Yn−1, λ0)-решения уравнения (1.1) выпол-
няются условия
ν0jν1j < 0, если Yj = 0, ν0jν1j > 0, если Yj = ±∞ j = 0, n− 2. (1.6)
2. Вспомогательные утверждения. В работе потребуются некоторые известные факты
(см. [5]) из теории правильно меняющихся функций.
Определение 2.1. Правильно меняющаяся при y → Y функция L : ∆Y −→ ]0,+∞[, где Y
равно либо 0, либо ±∞ и ∆Y — односторонняя окрестность Y, порядка σ = 0 называется
медленно меняющейся функцией.
В силу определений 1.1 и 2.1 правильно меняющаяся при y → Y функция ϕ порядка σ
представима в виде
ϕ(y) = |y|σL(y),
где L(y) — медленно меняющаяся функция при y → Y.
Из результатов, представленных в монографии [5, с. 9 – 24] (гл. 1, пп. 1, 3, 5), вытекает
следующее утверждение.
Лемма 2.1. Пусть L : ∆Y −→ ]0,+∞[ — медленно меняющаяся функция при y → Y, где
Y равно либо 0, либо ±∞. Тогда:
1) для любого λ > 0
lim
y→Y
y∈∆Y
L(λy)
L(y)
= 1
и это предельное соотношение выполняется равномерно по λ на любом промежутке [c, d] ⊂
⊂]0,+∞[;
2) существует непрерывно дифференцируемая медленно меняющаяся при y → Y функция
L0 : ∆Y −→]0,+∞[ такая, что
lim
y→Y
y∈∆Y
L (y)
L0(y)
= 1 и lim
y→Y
y∈∆Y
yL′0 (y)
L0(y)
= 0; (2.1)
3) справедливо предельное соотношение
lim
y→Y
y∈∆y
lnL(y)
ln |y|
= 0. (2.2)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. . . 169
Определение 2.2 [4, с. 54]. Будем говорить, что медленно меняющаяся при y → Y функ-
ция L : ∆Y → ]0,+∞[ (Y равно либо 0, либо ±∞, ∆Y — односторонняя окрестность Y )
удовлетворяет условию S, если
L
(
νe[1+o(1)] ln |y|
)
= L(y)[1 + o(1)] при y → Y (y ∈ ∆Y ),
где ν = sign y.
Замечание 2.1 [1, с. 56]. Если функция L : ∆Y −→ ]0,+∞[ удовлетворяет условию S, а
функция y : [t0, ω[−→ ∆Y непрерывно дифференцируема и такова, что
lim
t↑ω
y(t) = Y,
y′(t)
y(t)
=
ξ′(t)
ξ(t)
[r + o(1)] при t ↑ ω,
где r — отличная от нуля вещественная постоянная, ξ — непрерывно дифференцируемая
в некоторой левой окрестности ω вещественная функция, для которой ξ′(t) 6= 0, то
L(y(t)) = L (ν0|ξ(t)|r) [1 + o(1)] при t ↑ ω (ν0 = sign y(t)).
Для того чтобы описать априорные свойства исследуемых типов Pω(Y0, . . . , Yn−1, λ0)-
решений, положим
a0i = (n− i)λ0 − (n− i− 1), i = 1, . . . , n, при λ0 ∈ R, (2.3)
πω(t) =
t, если ω = +∞,
t− ω, если ω < +∞.
(2.4)
Лемма 2.2 [1]. Пусть y : [t0, ω[−→ ∆Y0 —произвольноеPω(Y0, . . . , Yn−1, λ0)-решение урав-
нения (1.1). Тогда:
1) если λ0 ∈ R \
{
0,
1
2
,
2
3
, . . . ,
n− 2
n− 1
, 1
}
, то при t ↑ ω имеют место асимптотические
соотношения
y(j)(t) ∼ [(λ0 − 1)πω(t)]n−j−1∏n−1
i=j+1
a0i
y(n−1)(t), j = 0, 1, . . . , n− 2, y(n)(t) ∼ y(n−1)(t)
(λ0 − 1)πω(t)
;
(2.5)
2) если λ0 = 1, то
y′(t)
y(t)
∼ y′′(t)
y′(t)
∼ · · · ∼ y(n)(t)
y(n−1)(t)
при t ↑ ω и lim
t↑ω
πω(t)y′(t)
y(t)
= ±∞. (2.6)
Наряду с понятиями и свойствами правильно меняющихся функций, в работе будут
также использоваться некоторые известные результаты о существовании исчезающих ре-
шений системы квазилинейных дифференциальных уравнений вида
dvi
dt
= h(t)
fi(t, v1, . . . , vn) +
n∑
j=1
aijvj + Vi(t, v1, . . . , vn)
, i = 1, n, (2.7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
170 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ДОРОШЕНКО
в которой aij ∈ R, i, j = 1, n, h : [t0, ω[→ R, i, j = 1, n, — непрерывная функция и fi,
Vi : [t0, ω[×Rnc → R, i = 1, n,— непрерывные функции, удовлетворяющие условиям
lim
t↑ω
fi(t, v1, . . . , vn) = 0, i = 1, n, равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ Rnc ,
lim
|v1|+···+|vn|→0
Vi(t, v1, . . . , vn)
|v1|+ · · ·+ |vn|
= 0, i = 1, n, равномерно по t ∈ [t0, ω[,
где
−∞ < t0 < ω ≤ +∞, Rnc = {(v1, . . . , vn) ∈ Rn : |vi| ≤ c, i = 1, . . . , n} , c > 0.
В работе В. М. Евтухова и А. М. Самойленко [6] установлен следующий результат.
Лемма 2.3. Пусть h : [t0, ω[→ R— непрерывная функция такая, что
h(t) 6= 0 при t ∈ [t0, ω[,
ω∫
t0
h(t)dt = ±∞.
Пусть, кроме того, матрица A = (aij)
n
i,j=1 не имеет собственных значений с нулевой дей-
ствительной частью. Тогда система дифференциальных уравнений (2.7) имеет хотя бы
одно решение (vi)
n
i=1 : [t1,+∞[→ Rnc (t1 ∈ [t0, ω[), стремящееся к нулю при t ↑ ω, причем та-
ких решений существует m-параметрическое семейство, если среди собственных значений
матрицы A имеется m собственных значений (с учетом кратных), действительные части
которых имеют знак, противоположный знаку функции h на промежутке [t0, ω[.
3. Основные результаты. Для формулировки первого основного результата, относяще-
гося к случаю λ0 ∈ R \
{
0,
1
2
,
2
3
, . . . ,
n− 2
n− 1
, 1
}
, учитывая (2.3) и (2.4), введем следующие
обозначения для k = 1,m:
γk = 1−
n−1∑
j=0
σkj , µkn =
n−2∑
j=0
σkj(n− j − 1),
Ck =
n−2∏
j=0
∣∣∣∣∣∣∣
(λ0 − 1)n−j−1∏n−1
i=j+1
a0i
∣∣∣∣∣∣∣
σkj
, Jkn(t) =
t∫
Akn
pk(τ)|πω(τ)|µkn dτ,
где
Akn =
a, если
ω∫
a
pk(t)|πω(t)|µkn dt = +∞,
ω, если
ω∫
a
pk(t)|πω(t)|µkn dt < +∞.
Теорема 3.1. Пусть λ0 ∈ R \
{
0,
1
2
, . . . ,
n− 2
n− 1
, 1
}
. Пусть, кроме того, для некоторого
s ∈ {1, . . . ,m} выполняется неравенство γs 6= 0 и для непустого множества Γ ⊂ {1, . . . ,m}
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. . . 171
медленно меняющиеся составляющие Lkj(y) функций ϕkj удовлетворяют условию S для каж-
дого k ∈ Γ и j ∈ {0, . . . , n − 1}. Тогда для существования Pω(Y0, . . . , Yn−1, λ0)-решения урав-
нения (1.1), для которого выполняется (1.3), (1.4) и
∑
k∈Γ
αkcks 6= 0, необходимо, чтобы
наряду с (1.6) выполнялись неравенства
ν0jν1ja0j+1(λ0 − 1)πω(t) > 0, j = 0, n− 2,
ν0n−1γs
(∑
k∈Γ
αkcks
)
Jsn(t) > 0 при t ∈]a, ω[,
(3.1)
а также условия
lim
t↑ω
πω(t)J ′sn(t)
Jsn(t)
=
γs
λ0 − 1
, (3.2)
lim
t↑ω
pk(t)
∏n−1
j=0
ϕkj (Yj(t))
ps(t)
∏n−1
j=0
ϕsj (Yj(t))
= 0 при k ∈ {1, . . . ,m} \ {s}, (3.3)
lim
t↑ω
pk(t)
∏n−1
j=0
ϕkj (Yj(t))
ps(t)
∏n−1
j=0
ϕsj (Yj(t))
= cks при k ∈ Γ, (3.4)
где
Yj(t) = ν0n−1
[(λ0 − 1)πω(t)]n−j−1∏n−1
k=j+1
a0k
|Y (t)|1/γs ,
Y (t) = γsCs
(∑
k∈Γ
αkcks
)
Jsn(t)
n−1∏
j=0
Lsj
(
ν0j |πω(t)|
a0j+1
λ0−1
)
.
Более того, для каждого такого решения при t ↑ ω имеют место асимптотические
представления
y(j−1)(t) = Yj−1(t)[1 + o(1)], j = 1, . . . , n. (3.5)
Доказательство. Пусть y : [t0, ω[−→ ∆Y0 является Pω(Y0, . . . , Yn−1, λ0)-решением урав-
нения (1.1), для которого выполняются условия (1.3), (1.4) и
∑
k∈Γ
αkcks 6= 0. Тогда, как
было указано ранее, справедливы неравенства (1.6) и в силу леммы 2.2 имеют место асимп-
тотические соотношения (2.5), из которых следует, что
y(j+1)(t)
y(j)(t)
=
a0j+1
(λ0 − 1)πω(t)
[1 + o(1)], j = 0, n− 1, при t ↑ ω,
откуда с учетом (1.5) выполняются первые из неравенств (3.1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
172 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ДОРОШЕНКО
Учитывая условия (1.3), (1.4) из (1.1), получаем
y(n)(t) =
(∑
k∈Γ
αkcks
)
ps(t)
n−1∏
j=0
ϕsj(y
(j)(t)) [1 + o(1)] при t ↑ ω.
Отсюда с учетом представления правильно меняющихся функций через медленно
меняющиеся и асимптотических соотношений (2.5) имеем
y(n)(t)
∣∣y(n−1)(t)
∣∣γs−1∏n−1
j=0
Lsj(y
(j)(t))
= Cs
(∑
k∈Γ
αkcks
)
ps(t)|πω(t)|µsn [1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.6)
Интегрируя это соотношение на промежутке от t0 до t, если Asn = a, и на промежутке
от t до ω, если Asn = ω, получаем
t∫
Asn
y(n)(τ)
∣∣y(n−1)(τ)
∣∣γs−1∏n−1
j=0
Lsj(y
(j)(τ))
dτ = Cs
(∑
k∈Γ
αkcks
)
Jsn(t) [1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.7)
В силу леммы 2.1 существуют непрерывно дифференцируемые функции L0kj : ∆Yj →
→ ]0,+∞[ такие, что при k = 1,m, j = 0, n− 1
Lkj
(
y(j)
)
∼ L0kj(y
(j)) при y(j) → Yj , lim
y(j)→Yj
y(j)L′0kj
(
y(j)
)
L0kj
(
y(j)
) = 0. (3.8)
Учитывая условия леммы 2.1, с использованием правила Лопиталя находим
lim
t↑ω
|y(n−1)(t)|γs∏n−1
j=0
L0sj(y
(j)(t))∫ t
Bsn
y(n)(τ)
∣∣y(n−1)(τ)
∣∣γs−1∏n−1
j=0
Lsj(y
(j)(τ))
dτ
=
= sign y(n−1)(t) lim
t↑ω
∏n−1
j=0
Lsj(y
(j)(t))∏n−1
j=0
L0sj(y
(j)(t))
×
×
γs − y(n−1)(t)
y(n)(t)
n−1∑
j=0
y(j)(t)L′osj
(
y(j)(t)
)
Losj(y(j)(t))
y(j+1)(t)
y(j)(t)
=
= ν0n−1γs.
В силу этого предельного соотношения из (3.7) с учетом (3.8) следует, что∣∣y(n−1)(t)
∣∣γs∏n−1
j=0
Lsj(y
(j)(t))
= ν0n−1γsCs
(∑
k∈Γ
αkcks
)
Jsn(t) [1 + o(1)] при t ↑ ω, (3.9)
откуда, в частности, вытекает выполнение второго из неравенств (3.1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. . . 173
Так как функции Lsj удовлетворяют условию S, то с учетом замечания 2.1 выполнено
равенство
Lsj(yj(t)) = Lsj
(
ν0j |πω(t)|
a0j+1
λ0−1
)
[1 + o(1)] при t ↑ ω, j = 0, n− 1,
поэтому из (3.9) получим
y(n−1)(t) = ν0n−1
∣∣∣∣∣∣
n−1∏
j=0
Lsj(νj |πω(t)|
a0j+1
λ0−1 )γsCsJsn(t)
(∑
k∈Γ
αkcks
)∣∣∣∣∣∣
1/γs
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Отсюда вытекают представления (3.5), и из (3.9), (3.6) находим, что
y(n)(t)
y(n−1)(t)
=
ps(t)|πω(t)|µsn
γsJsn(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Поэтому в силу последнего из предельных соотношений (2.5) выполняется условие (3.2).
Теорема 3.1 доказана.
Теорема 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.1 и наряду с (1.6), (3.2) – (3.4) алгеб-
раическое относительно ρ уравнение
n−1∑
m=0
Bm
n−1∏
i=m+1
a0i
m∏
j=1
(a0j + ρ) =
n∏
j=1
(a0j + ρ), (3.10)
где
Bm =
∑
k∈Γ
αkcksσkm∑
k∈Γ
αkcks
, (3.11)
не имеет корней с нулевой действительной частью. Тогда дифференциальное уравнение (1.1)
имеет Pω(Y0, . . . , Yn−1, λ0)-решение вида (3.5), причем существует l-параметрическое се-
мейство решений с такими представлениями в случае, когда среди корней алгебраического
уравнения (3.10) имеется l (с учетом кратных) корней, действительные части которых
имеют знак, противоположный знаку функции πω(t)(λ0 − 1).
Доказательство. Применим к уравнению (1.1) преобразование
y(i−1)(t) = ν0n−1 |Y0(t)|1/γs [(λ0 − 1)πω(t)]n−i∏n−1
k=i
a0k
[1 + vi(τ)], i = 1, n, τ = β ln |πω(t)|,
(3.12)
где
β =
1, если ω = +∞,
−1, если ω < +∞,
и
Y0(t) = γsCsJsn(t)
n−1∏
j=0
L0sj
(
ν0j |πω(t)|
a0j+1
λ0−1
)∑
k∈Γ
αkcks.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
174 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ДОРОШЕНКО
В результате преобразования получим систему дифференциальных уравнений вида
v′i =
β
λ0 − 1
[a0i(1 + vi+1)− ((n− i)(λ0 − 1) + h(τ))(1 + vi)] , i = 1, n− 2,
v′n−1 =
β
λ0 − 1
[a0n−1(1 + vn)− ((λ0 − 1) + h(τ))(1 + vn−1)] ,
v′n =
β
λ0 − 1
[G(τ, v1, . . . , vn)− h(τ)[1 + vn]] ,
(3.13)
в которой
G(τ(t), v1, . . . , vn) =
ν0n−1(λ0 − 1)πω(t)
|Y0(t)|1/γs
m∑
k=1
αkpk(t)
n−1∏
j=0
ϕkj
(
Y 0
j (t)[1 + vj+1]
)
,
где
Y 0
j (t) = ν0n−1
[(λ0 − 1)πω(t)]n−j−1∏n−1
k=j+1
a0k
|Y0(t)|1/γs ,
и
h(τ(t)) =
(λ0 − 1)πω(t)Y ′0(t)
γsY0(t)
.
Правые части этой системы непрерывны на множестве [τ0,+∞[×Rn1/2, где
Rn1/2 =
{
(v1, . . . , vn) ∈ Rn; |vi| ≤
1
2
, i = 1, n)
}
, τ0 = β ln |πω(a)|.
Кроме того, в силу условия (3.2) и (3.8)
lim
τ→+∞
h(τ(t)) = lim
t↑ω
h(t) = lim
t↑ω
πω(t)(λ0 − 1)Y ′0(t)
γsY0(t)
= 1. (3.14)
Далее, получим удобное для дальнейшего использования представление функции G.
В силу представления правильно меняющейся функции через медленно меняющуюся,
условия 1 леммы 2.1 и соотношения (3.12), получаем
ϕkj
(
Y 0
j (t)(1 + vj+1)
)
= |Y 0
j (t)(1 + vj+1)|σkjLkj(Y 0
j (t)(1 + vj+1)) =
= |1 + vj+1|σkj [1 + rkj(t)]ϕkj(Y
0
j (t)), (3.15)
где k = 1,m, j = 0, n− 1, функции rkj таковы, что lim
t↑ω
rkj(t, vj+1) = 0 равномерно по
(vj+1) ∈ R2
1/2.
Учитывая соотношения (3.15), получаем
ν0n−1πω(t)
|Y0(t)|1/γs
m∑
k=1
αkpk(t)
n−1∏
j=0
ϕkj
(
Y 0
j (t)[1 + vj+1]
)
=
=
ν0n−1πω(t)
|Y0(t)|1/γs
m∑
k=1
αkpk(t)
n−1∏
j=0
|Y 0
j (t)|σkj |1 + vj+1|σkjLkj
(
Y 0
j (t)
)
[1 + rkj(t, vj+1)] =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. . . 175
=
ν0n−1πω(t)
|Y0(t)|1/γs
m∑
k=1
αkpk(t)
n−1∏
j=0
ϕkj
(
Y 0
j (t)
)
|1 + vj+1|σkj
[1 + rk(t, v1, . . . , vn)],
где lim
t↑ω
rk(t, v1, . . . , vn) = 0 равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ Rn1/2.
Таким образом, с учетом предельных соотношений (3.3) и (3.4) имеем
ν0n−1πω(t)
|Y0(t)|
1
γs
ps(t)
n−1∏
j=0
ϕsj(Y
0
j (t))×
×
∑
k∈Γ
αkpk(t)
∏n−1
j=0
ϕkj(Y
0
j (t))[1 + rk(1, v1, . . . , vn)]
∏n−1
j=0
|1 + vj+1|σkj
ps(t)
∏n−1
j=0
ϕsj(Y
0
j (t))
+
+
ν0n−1πω(t)
|Y0(t)|
1
γs
ps(t)
n−1∏
j=0
ϕsj(Y
0
j (t))×
×
∑
k∈{1,...,m}\Γ
αkpk(t)
∏n−1
j=0
ϕkj(Y
0
j (t))[1 + rk(1, v1, . . . , vn)]
∏n−1
j=0
|1 + vj+1|σkj
ps(t)
∏n−1
j=0
ϕsj(Y
0
j (t))
=
=
ν0n−1πω(t)
|Y0(t)|
1
γs
ps(t)
n−1∏
j=0
ϕsj(Y
0
j (t))
∑
k∈Γ
αkcks
n−1∏
j=0
|1 + vj+1|σkj +Rk(t, v1, . . . , vn)
.
С учетом предельных соотношений (3.3) и (3.4) получаем
ν0n−1πω(t)
|Y0(t)|1/γs
ps(t)
n−1∏
j=0
ϕsj(Y
0
j (t))
∑
k∈Γ
αkcks
n−1∏
j=0
|1 + vj+1|σkj +Rk(t, v1, . . . , vn)
,
где lim
t↑ω
Rk(t, v1, . . . , vn) = 0, равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ Rn1/2. Здесь, в силу (3.8) множитель
перед скобкой имеет вид
ν0n−1πω(t)
|Y0(t)|1/γs
ps(t)
n−1∏
j=0
ϕsj
(
Y 0
j (t)
)
=
ν0n−1πω(t)
|Y0(t)|1/γs
ps(t)
n−1∏
j=0
∣∣Y 0
j (t)
∣∣σsj L0sj
(
Y 0
j (t)
)
=
=
ν0n−1πω(t)ps(t)|πω(t)|µsnCs
∏n−1
j=0
L0sj(Y
0
j (t))∣∣∣∣γsCsJsn(t)
∏n−1
j=0
L0sj
(
ν0j |πω(t)|
a0j+1
λ0−1
)∑
k∈Γ
αkcks
∣∣∣∣ ∼
∼
ν0n−1πω(t)ps(t)|πω(t)|µsnCs
∏n−1
j=0
Lsj(Y
0
j (t))∣∣∣∣γsCsJsn(t)
∏n−1
j=0
Lsj
(
ν0j |πω(t)|
a0j+1
λ0−1
)∑
k∈Γ
αkcks
∣∣∣∣ при t→ ω.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
176 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ДОРОШЕНКО
Принимая во внимание эти соотношения, второе из неравенств (3.1) и то, что функции
Lsj удовлетворяют условию S, последнее уравнение системы дифференциальных уравне-
ний запишем в виде
v′n = − β
λ0 − 1
(1 + ξ(τ))(1 + vn) +
β
λ0 − 1
1∑
k∈Γ
αkcks
×
×
∑
k∈Γ
αkcks
n−1∏
j=0
|1 + vj+1|σkj (1 + R̃k(τ, v1, . . . , vn)) +
˜̃
Rk(τ, v1, . . . , vn)
.
Исходя из предыдущих преобразований, в силу (3.14) система дифференциальных урав-
нений (3.13) принимает следующий вид:
v′i =
β
λ0 − 1
[fi(τ, v1, . . . , vn) + a0i(1 + vi+1)− a0i(1 + vi)] , i = 1, n− 2,
v′n−1 =
β
λ0 − 1
[fn−1(τ, v1, . . . , vn) + a0n−1(1 + vn)− a0n−1(1 + vn−1)] ,
v′n =
β
λ0 − 1
fn(τ, v1, . . . , vn)− (1 + vn) +
1∑
k∈Γ
αkcks
∑
k∈Γ
αkcks
n−1∏
j=0
|1 + vj+1|σkj
,
где функции fi, i = 1, n, непрерывны на множестве [τ0,+∞[×Rn1/2 и таковы, что
lim
τ→+∞
fi(τ, v1, . . . , vn) = 0 равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ Rn1/2. (3.16)
Выделим в последнем слагаемом системы (3.13) линейную часть:
n−1∏
j=0
|1 + vj+1|σkj = 1 +
n−1∑
j=0
σkjvj+1 + Vk(v1, . . . , vn), (3.17)
где
Vk =
n−1∏
j=0
|1 + vj+1|σkj − 1−
n−1∑
j=0
σkjvj+1.
Здесь
lim
|v1|+...+|vn|→0
∂Vk(v1, . . . , vn)
∂vi
= 0, i = 1, n, Vk(0, . . . , 0) = 0. (3.18)
Используя (3.17), получаем
v′n =
β
λ0 − 1
f(τ, v1, . . . , vn)− vn +
∑n−1
j=0
(∑
k∈Γ
αkcksσkj
)
vj+1∑
k∈Γ
αkcks
+
∑
k∈Γ
αkcksVk∑
k∈Γ
αkcks
v′n =
β
λ0 − 1
f(τ, v1, . . . , vn) +
∑n−2
j=0
(∑
k∈Γ
αkcksσkj
)
vj+1∑
k∈Γ
αkcks
+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. . . 177
+
∑k∈Γ
αkcksσkn−1∑
k∈Γ
αkcks
− 1
vn + Vn(v1, . . . , vn)
.
Таким образом, система дифференциальных уравнений (3.13) приобретает вид
v′i =
β
λ0 − 1
[fi(τ, v1, . . . , vn) + a0i(1 + vi+1)− a0i(1 + vi)] , i = 1, n− 2,
v′n−1 =
β
λ0 − 1
[fn−1(τ, v1, . . . , vn) + a0n−1(1 + vn)− a0n−1(1 + vn−1)] ,
v′n =
β
λ0 − 1
[fn(τ, v1, . . . , vn) +
∑n−2
j=0
(∑
k∈Γ
αkcksσkj
)
vj+1∑
k∈Γ
αkcks
+
+
∑k∈Γ
αkcksσkn−1∑
k∈Γ
αkcks
− 1
vn + Vn(v1, . . . , vn)].
(3.19)
Матрицей коэффициентов, стоящих при линейной части в системе (3.19), является
A =
−a01 a01 0 . . . 0 0
0 −a02 a02 . . . 0 0
0 0 −a03 . . . 0 0
− − − . . . − −
0 0 0 . . . −an−1 a0n−1
B0 B1 B2 . . . Bn−2 −a0n +Bn−1
.
Запишем характеристическое уравнение этой матрицы:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−a01 − ρ a01 0 . . . 0 0
0 −a02 − ρ a02 . . . 0 0
0 0 −a03 − ρ . . . 0 0
− − − . . . − −
0 0 0 . . . −an−1 − ρ a0n−1
B0 B1 B2 . . . Bn−2 −a0n − ρ+Bn−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0.
Отсюда следует, что характеристическим уравнением матрицы является уравнение (3.10),
которое в силу условий теоремы не имеет корней с нулевой действительной частью.
Ввиду этого факта и (3.16), (3.18) для системы дифференциальных уравнений (3.19)
выполнены все условия леммы 2.3. Согласно этой лемме у системы дифференциальных
уравнений (3.19) существует хотя бы одно решение (vi)
n
i=1 : [τ1,+∞[ → Rn, τ1 ≥ τ0, стре-
мящееся к нулю при τ → +∞. Более того, когда среди корней характеристического
уравнения (3.10) имеется l корней (с учетом кратных), действительные части которых
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
178 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ДОРОШЕНКО
имеют знак, противоположный знаку числа β(λ0 − 1), тогда таких решений существует l-
параметрическое семейство. Каждому такому решению в силу замен (3.12) и условий (3.8)
соответствует решение дифференциального уравнения (1.1), допускающее при t ↑ ω асимп-
тотические представления
y(i−1)(t) = ν0n−1 |Y0(t)|1/s [(λ0 − 1)πω(t)]n−i∏n−1
k=i
a0k
[1 + o(1)], i = 1, . . . , n.
Поскольку в силу условия 2 леммы2.1 Y0(t) ∼ Y (t), то данные представления эквивалентны
представлениям (3.5).
Теорема 3.2 доказана.
Замечание 3.1. Алгебраическое уравнение (3.10) заведомо не имеет корней с нулевой
действительной частью, если
∑n−2
m=0
|Bm| < |Bn−1 − 1|.
Замечание 3.2. Покажем, что указанные в теореме условия (1.3) заведомо будут выпол-
нены, если справедливы неравенства
lim sup
t↑ω
ln pk(t)− ln ps(t)
| ln |πω(t)||
<
β
λ0 − 1
n−1∑
j=0
(σsj − σkj)a0j+1 при всех k ∈ {1, . . . ,m} \ Γ.
(3.20)
Действительно, поскольку каждая из функций ϕkj , k ∈ {1, . . . ,m}, j ∈ {0, 1, . . . , n− 1},
является правильно меняющейся порядка σkj при y(j) → Yj и выражается через медленно
меняющуюся, то из определения правильно меняющейся функции следует, что
ϕkj
(
y(j)(t)
)
= |y(j)(t)|σkjLkj
(
y(j)(t)
)
, k = 1,m, j = 0, n− 1, (3.21)
где Lkj : ∆Yj → ]0,+∞[, k ∈ {1, . . . ,m}, j ∈ {0, n − 1}), — непрерывная медленно меняю-
щаяся функция при y(j) → Yj .
Из (3.21) с учетом (2.2) и соотношений (2.5) следует, что
lnϕkj
(
y(j)(t)
)
= σkj ln |y(j)(t)|+ lnLkj(y
(j)(t) = ln |y(j)(t)|[σkj + o(1)] =
=
a0j+1
λ0 − 1
ln |πω(t)|[σkj + o(1)] k = 1,m, j = 0, n− 1, при t ↑ ω.
Тогда для любого k ∈ {1, . . . ,m} \ Γ
ln
pk(t)
∏n−1
j=0
ϕkj(y
(j)(t))
ps(t)
∏n−1
j=0
ϕsj(y
(j)(t))
= ln
pk(t)
ps(t)
+
n−1∑
j=0
[
lnϕkj(y
(j)(t))− lnϕsj(y
(j)(t))
]
=
= ln
pk(t)
ps(t)
+
ln |πω(t)|
λ0 − 1
n−1∑
j=0
[a0j+1(σkj − σsj) + o(1)] =
= β ln |πω(t)|
ln pk(t)− ln ps(t)
| ln |πω(t)||
+
β
λ0 − 1
n−1∑
j=0
(σkj − σsj)a0j+1 + o(1)
при t ↑ ω.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. . . 179
Поскольку выражение, стоящее в данном соотношении справа, в силу условий (3.20) стре-
мится к −∞ при t ↑ ω, отсюда вытекает (1.3).
Замечание 3.3. Заметим, что как только хотя бы для одного k ∈ {1, . . . ,m} \ Γ выпол-
няется
lim
t↑ω
inf
ln pk(t)− ln ps(t)
| ln |πω(t)||
>
β
λ0 − 1
n−1∑
j=0
(σsj − σkj)a0j+1,
то, повторяя рассуждения замечания 3.2, легко показать, что
lim
t↑ω
pk(t)
∏n−1
j=0
ϕkj(y
(j)(t))
ps(t)
∏n−1
j=0
ϕsj(y
(j)(t))
= +∞,
и поэтому условия (1.3) не выполняются.
Для формулировки следующего результата введем вспомогательные обозначения, по-
лагая
Jk0(t) =
t∫
Ak0
pk(s) ds, Jk00(t) =
t∫
Ak00
Jk0(s) ds, k = 1,m,
Jkn(t) =
t∫
Akn
pk(s)|πω(s)|µkn
n−2∏
j=0
Lkj
(
ν0j |πω(s)|n−j−1
)
ds, k = 1,m,
где каждый из пределов интегрирования Akm, Akmm, m ∈ {0, 1}, выбирается равным точке
a0 ∈ [a, ω[ (справа от которой, т. е. при t ∈ [a0, ω[, подынтегральная функция непрерывна),
если при этом значении предела интегрирования соответствующий интеграл стремится к
±∞ при t ↑ ω, и равным ω, если при таком значении предела интегрирования он стремится
к нулю при t ↑ ω.
Теорема 3.3. Пусть для некоторого s ∈ {1, . . . ,m} выполняется неравенство γs 6= 0 и для
непустого множества Γ ⊂ {1, . . . ,m} медленно меняющиеся составляющие Lkj(y) функций
ϕkj удовлетворяют условию S для каждого k ∈ Γ, j ∈ {0, . . . , n − 1}. Пусть, кроме того,
существует непрерывная функция bs : [a, ω[−→ R \ {0} такая, что
lim
t↑ω
|πω(t)bs(t)| = +∞. (3.22)
Тогда для существования Pω (Y0, . . . , Yn−1, 1)-решения дифференциального уравнения (1.1),
для которого выполняются условия (1.3), (1.4),
∑
k∈Γ
αkcks 6= 0 и
y′(t)
y(t)
∼ bs(t) при t ↑ ω, (3.23)
где bs : [a, ω[→ R \ {0}— непрерывная функция такая, что
lim
t↑ω
|πω(t)bs(t)| = +∞, (3.24)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
180 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ДОРОШЕНКО
необходимо, а если алгебраическое относительно ρ уравнение
(1 + ρ)n =
n−1∑
j=0
σsj(1 + ρ)j (3.25)
не имеет корней с нулевой действительной частью, то и достаточно, чтобы
bs(t) ∼
ps(t)
γsJs0(t)
,
ps(t)
Js0(t)
∼ Js0(t)
Js00(t)
при t ↑ ω, ν0j lim
t↑ω
|Js0(t)|1/γs = Yj , j = 0, n− 1,
(3.26)
выполнялись неравенства (1.6) и следующие неравенства:∑
k∈Γ
αkcksν0n−1γsJs0(t) > 0, ν0jν0n−1 (γsJs0(t))n−j−1 > 0, j = 0, n− 2, при t ∈]a, ω[.
(3.27)
Более того, для каждого такого решения при t ↑ ω имеют место асимптотические пред-
ставления
y(j)(t) =
(
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
y(n−1)(t)[1 + o(1)], j = 0, n− 2, (3.28)
|y(n−1)(t)|γs∏n−1
j=0
Lsj
((
γsJso0(t)
Js0(t)
)n−j−1
y(n−1)(t)
) =
=
(∑
k∈Γ
αkcks
)
ν0n−1γsJs0(t)
∣∣∣∣γsJs00(t)
Js00(t)
∣∣∣∣µsn [1 + o(1)], (3.29)
причем решений с такими представлениями существует целое l-параметрическое семейство,
если среди корней алгебраического уравнения (3.25) имеется l (с учетом кратных) корней,
действительные части которых имеют знак, противоположный знаку ν0n−1
∑
k∈Γ
αkcks.
Доказательство. Необходимость. Пусть y : [t0, ω[−→ R — произвольное Pω(Y0, . . .
. . . , Yn−1, 1)-решение дифференциального уравнения (1.1), для которого наряду с (1.3),
(1.4) и
∑
k∈Γ
αkcks 6= 0 выполняется условие (3.23). Тогда, как было указано ранее, спра-
ведливы неравенства (1.6) и в силу леммы 2.2, а также из условий (3.24) имеем
y(k)(t)
y(k−1)(t)
∼ bs(t) при t ↑ ω(k = 1, n) и ββs lim
t↑ω
πω(t)y′(t)
y(t)
= +∞. (3.30)
Отсюда, в частности, следует, что
ln |y(k−1)(t)| ∼
t∫
a
bs(τ) dτ → ±∞, k = 1, n, при t ↑ ω. (3.31)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. . . 181
В силу условий (1.3) и (1.4) из (1.1) следует, что для данного решения имеет место асимп-
тотическое соотношение
y(n)(t) =
(∑
k∈Γ
αkcks
)
ps(t)[1 + o(1)]
n−1∏
j=0
ϕsj(y
(j)(t)) при t ↑ ω. (3.32)
Согласно лемме 2.1 существуют непрерывно дифференцируемые правильно меняю-
щиеся при y(j) → Yj функции ϕ0sj : ∆Yj −→ ]0,+∞[ порядков σsj , j = 0, n− 1, такие,
что
ϕsj(y
(j)) ∼ ϕ0sj(y
(j)) при t ↑ ω, lim
y(j)→Yj
y(j)∈∆Yj
y(j)ϕ′0sj(y
(j))
ϕ0sj(y(j))
= σsj , j = 0, n− 1. (3.33)
В силу (3.33) и (3.30) имеем y(k−1)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj
(
y(j)(t)
)
′
=
y(k)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj
(
y(j)(t)
)
×
1−
n−1∑
j=0
y(k−1)(t)y(j+1)(t)
y(k)(t)y(j)(t)
y(j)(t)ϕ′0sj
(
y(j)(t)
)
ϕ0sj
(
y(j)(t)
)
=
=
y(k)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj
(
y(j)(t)
) [γs + o(1)], k = 1, . . . , n при t ↑ ω.
(3.34)
Поэтому соотношение (3.32) может быть переписано в виде y(n−1)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj
(
y(j)(t)
)
′
=
y(n)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj(y
(j)(t))
[γs + o(1)] =
=
(∑
k∈Γ
αkcks
)
γsps(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Интегрируя это соотношение на промежутке от t1 до t, получаем
y(n−1)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj(y
(j)(t))
= C +
(∑
k∈Γ
αkcks
)
γsJs0(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω
где C — некоторая вещественная постоянная.
В случае, когда в функции Js0 предел интегрирования As0 = a, тогда Js0(t)→ +∞ при
t ↑ ω и полученное соотношение представимо в виде
y(n−1)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj
(
y(j)(t)
) =
(∑
k∈Γ
αkcks
)
γsJs0(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.35)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
182 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ДОРОШЕНКО
Покажем, что в случаеAs0 = ω, когда Js0(t)→ 0 при t ↑ ω, постояннаяC = 0.Предположим
противное, т. е. что в этом случае C 6= 0. Тогда
y(n−1)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj
(
y(j)(t)
) = C + o(1) при t ↑ ω,
но этого быть не может, поскольку в силу (3.31)
ln
∣∣∣∣∣∣∣
y(n−1)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj(y
(j)(t))
∣∣∣∣∣∣∣ =
t∫
a
bs(τ) dτ [γs + o(1)]→ ±∞ при t ↑ ω.
Значит, при As0 = ω также имеет место представление (3.35).
Аналогично из (3.35) с использованием (3.34) при k = n− 1 получаем
y(n−2)(t)∏n−1
j=0
ϕ0sj
(
y(j)(t)
) =
(∑
k∈Γ
αkcks
)
γ2
sJs00(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω. (3.36)
Из (3.32), (3.35) и (3.36) c учетом (3.33) имеем
y(n)(t)
y(n−1)(t)
=
ps(t)
γsJs0(t)
[1 + o(1)],
y(n−1)(t)
y(n−2)(t)
=
Js0(t)
γsJs00(t)
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Поэтому в силу (2.6) и (3.23) выполняется условия (3.26) и ввиду тождеств
y(j)(t) =
y(j)(t)
y(j+1)(t)
· · · y
(n−2)(t)
y(n−1)(t)
y(n−1)(t), j = 0, n− 2,
имеют место асимптотические представления (3.28). Кроме того, из (3.35) и (3.28) следует,
что выполняются неравенства (3.27).
Используя теперь приведенные выше тождества, представления (3.28) и лемму 2.1,
находим
ϕ0sj(y
(j)(t)) =
∣∣∣y(j)(t)
∣∣∣σsj L0sj(y
(j)(t)) ∼
∼
∣∣∣∣∣
(
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
y(n−1)(t)
∣∣∣∣∣
σsj
×
× L0sj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
y(n−1)(t)[1 + o(1)]
)
∼
∼
∣∣∣∣γsJs00(t)
Js0(t)
∣∣∣∣(n−j−1)σsj ∣∣∣y(n−1)(t)
∣∣∣σsj ×
× L0sj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
y(n−1)(t)
)
, j = 0, n− 1 при t ↑ ω.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. . . 183
Ввиду этих соотношений из (3.35) получаем представление
|yn−1(t)|γs
∣∣∣∣ Js0(t)
γsJs00(t)
∣∣∣∣µsn∏n−1
j=0
L0sj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
y(n−1)(t)
) =
=
(∑
k∈Γ
αkcks
)
ν0n−1γsJs0(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω,
из которого с учетом первых из соотношений (2.1) вытекает представление (3.29).
Достаточность. Пусть соблюдаются условия (1.6), (3.23), (3.26), (3.27) и алгебраичес-
кое уравнение (3.25) не имеет корней с нулевой действительной частью.
Покажем, что в данном случае существуютPω(Y0, . . . , Yn−1, 1)-решения уравнения (1.1),
допускающие при t ↑ ω асимптотические представления (3.28), (3.29) и выясним вопрос о
количестве таких решений.
Сначала рассмотрим соотношение
|Y |γs∏n−1
j=0
L0sj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y
) = Qs(t)(1 + vn), (3.37)
где L0sj : ∆Yj −→ ]0,+∞[, j = 0, n− 1,—непрерывно дифференцируемые медленно меня-
ющиеся при y(j) → Yj функции, удовлетворяющие условиям (2.1) (при k = s) и существу-
ющие в силу леммы 2.1, а также
Qs(t) =
(∑
k∈Γ
αkcks
)
ν0n−1γsJs0(t)
∣∣∣∣γsJs00(t)
Js0(t)
∣∣∣∣µsn .
Положим
d =
1
2|γs|
, Rd = {z ∈ R : |z| ≤ d}, R1/2 =
{
vn ∈ R : |vn| ≤
1
2
}
и покажем, что соотношение (3.37) однозначно определяет заданную на множестве
[t0, ω[×R1/2, t0 ∈ [a, ω[, непрерывно дифференцируемую неявную функцию Y = Y (t, vn)
вида
Y (t, vn) = ν0n−1 |Js0(t)|
1
γs
+z(t,vn)
, (3.38)
где функция z такова, что
|z(t, vn)| ≤ d при (t, vn) ∈ [t0, ω[×R1/2
и
lim
t↑ω
z(t, vn) = 0 равномерно по vn ∈ R1/2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
184 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ДОРОШЕНКО
Полагая в (3.37)
Y = νon−1 |Js0(t)|
1
γs
+z (3.39)
и затем логарифмируя полученное при этом соотношение, после элементарных преобра-
зований находим, что
z = a(t) + b(t, vn) + Z(t, z), (3.40)
где
a(t) =
1
γs
(
lnQs(t)
ln |Js0(t)|
− 1
)
, b(t, vn) =
ln(1 + vn)
γs ln |Js0(t)|
,
Z(t, z) =
1
γs ln |Jso(t)|
n−1∑
j=0
lnL0s
(
ν0n−1
(
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
|Js0(t)|
1
γs
+z
)
.
В силу последних из неравенств (3.27), а также второго и третьего из условий (3.26)
ν0n−1 lim
t↑ω
(
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
|Js0(t)|
1
γs
+z
= ν0j lim
t↑ω
∣∣∣∣γsJs00(t)
Js0(t)
∣∣∣∣n−j−1
|Js0(t)|
1
γs
+z
=
= νoj lim
t↑ω
exp
(
ln |Js0(t)|
[
1
γs
+ z + (n− j − 1)
(
ln |γsJs00(t)|
ln |Js0(t)|
− 1
)])
=
= νoj lim
t↑ω
exp
(
ln |Js0(t)|
[
1
γs
+ z + o(1)
])
=
= ν0j lim
t↑ω
|Js0(t)|1/γs = Yj , j = 0, n− 1 при |z| ≤ d.
Поэтому правая часть в (3.40) непрерывно дифференцируема на множестве [t0, ω[×R1/2 ×
× Rd, где t0 — некоторое число на промежутке [a, ω[.
Кроме того, в силу второго и третьего из условий (3.26), а также вторых из условий (1.6)
имеем
lim
t↑ω
a(t) = 0, lim
t↑ω
b(t, vn) = 0 равномерно по vn ∈ R1/2, (3.41)
lim
t↑ω
Z(t, z) = 0, lim
t↑ω
∂Z(t, z)
∂z
= 0 равномерно по z ∈ Rd. (3.42)
Согласно этим условиям существует число t2 ∈ [t1, ω[ такое, что на множестве [t2, ω[×R1/2×
× Rd выполняется неравенство
|a(t) + b(t, v1, v2) + Z(t, z)| ≤ d (3.43)
и условие Липшица
|Z(t, z1)− Z(t, z2)| ≤ 1
2
|z1 − z2| при t ∈ [t2, ω[ и z1, z2 ∈ Rd. (3.44)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. . . 185
Аналогично работе [2] заключаем, что в силу замены (3.39) полученной функции z
соответствует непрерывно дифференцируемая на множестве [t0, ω[×R1/2 функция Y вида
(3.38), которая является решением уравнения (3.37) и удовлетворяет условиям
ν0j
(
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn) ∈ ∆Yj , j = 0, n− 1 при (t, vn) ∈ [t0, ω[×R1/2,
(3.45)
ν0j lim
t↑ω
(
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn) = Yj , j = 0, n− 1, равномерно по vn ∈ R1/2.
Теперь, применяя к дифференциальному уравнению (1.1) преобразование
y(j)(t)
y(n−1)(t)
=
(
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
[1 + vj+1(τ)], j = 0, n− 1,
y(n−1)(t) = Y (t, vn(τ)), τ =
(∑
k∈Γ
αkcks
)
ν0n−1 ln |Js00(t)|1/γs
(3.46)
и учитывая, что функция y(n−1)(t) = Y (t, vn(τ)) при t ∈ [t0, ω[ и vn(τ) ∈ R1/2 удовлетворяет
уравнению
|y(n−1)(t)|γs∏n−1
j=0
L0sj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
y(n−1)(t)
) = Qs(t)[1 + vn(τ)],
получаем систему дифференциальных уравнений вида
v′i = ν0n−1(∑
k∈Γ
αkcks
)
(
1 + vi+1 − (n− j − 1)γs[1− h(τ)](1 + vi)−
−h(τ)
(1+vi)
∏n−2
j=0
|1 + vj+1|σsj
1+vn
G(τ, v1, . . . , vn)
)
, i = 1, n− 2,
v′n−1 = ν0n−1(∑
k∈Γ
αkcks
)
(
1− γs[1− h(τ)](1 + vn−1)−
−h(τ)
(1+vn−1)
∏n−2
j=0
|1 + vj+1|σsj
1+vn
G(τ, v1, . . . , vn)
)
,
v′n = ν0n−1(∑
k∈Γ
αkcks
)
(
γsh(τ)
∏n−2
j=0
|1 + vj+1|σsjG(τ, v1, . . . , vn)−
−H(τ, v1, . . . , vn)(1 + vn)− γsq(τ)(1 + vn)
)
,
(3.47)
в которой
h(τ(t)) =
ps(t)Js00(t)
J2
s0(t)
, q(τ) = h(τ) + µsn[1− h(τ)],
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
186 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ДОРОШЕНКО
G(τ(t), v1, . . . , vn) =
=
Lsn−1(Y (t, vn))
∏n−2
j=0
Lsj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn)(1 + vj+1)
)
∏n−1
j=0
L0sj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn))
) ×
×
∑m
k=1
αkpk(t)ϕkn−1(Y (t, vn))
∏n−2
j=0
ϕkj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn)(1 + vj+1)
)
(∑
k∈Γ
αkcks
)
ps(t)ϕsn−1(Y (t, vn))
∏n−2
j=0
ϕsj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn)(1 + vj+1)
) ,
H(τ(t), v1, . . . , vn) =
n−1∑
j=0
(
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn)L′0sj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn)
)
L0sj
((
γsJs00(t)
Js0(t)
)n−j−1
Y (t, vn)
) ×
×
γs(n− j − 1)[1− h(τ(t))] + h(τ)
∏n−2
j=0
|1 + vj+1|σsj
1 + vn
G(τ, v1, . . . , vn)
.
В силу (3.26) и (3.27) функция
τ(t) =
(∑
k∈Γ
αkcks
)
ν0n−1 ln |Js00(t)|1/γs
имеет свойства
τ ′(t) > 0 при t ∈ [t0, ω[, lim
t↑ω
τ(t) = +∞
и существует t1 ∈ [t0, ω[ такое, что на множестве
[τ1,+∞[×Rn1/2, где τ1 = τ(t1), Rn1/2 =
{
(v1, . . . , vn) ∈ Rn : |vi| ≤
1
2
(i = 1, n)
}
правые части системы уравнений (3.47) непрерывны. Согласно второму из условий (3.26)
имеем
lim
τ→+∞
h(τ) = lim
t↑ω
h(τ(t)) = 1, lim
τ→+∞
q(τ) = 1. (3.48)
Далее, используя условия (3.45), показываем, что вторая дробь в представлении функции
G стремится к единице при t ↑ ω равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ Rn1/2. Кроме того, в силу
условий (3.45), леммы 2.1, условий (1.6) и (3.48) равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ Rn1/2 первая
дробь в представлении функции G стремится к единице и функция H стремится к нулю
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. . . 187
при t ↑ ω. Поэтому система дифференциальных уравнений (3.47) может быть записана в
виде
v′i =
ν0n−1(∑
k∈Γ
αkcks
)
fi(τ, v1, . . . , vn) + 1 + vi+1 −
(1+vi)
∏n−2
j=0
|1 + vj+1|σsj
1+vn
,
i = 1, n− 2,
v′n−1 =
ν0n−1(∑
k∈Γ
αkcks
)
fn−1(τ, v1, . . . , vn) + 1−
(1+vn−1)
∏n−2
j=0
|1 + vj+1|σsj
1+vn
,
v′n =
ν0n−1(∑
k∈Γ
αkcks
)
fn(τ, v1, . . . , vn) + γs
n−2∏
j=0
|1 + vj+1|σsj − γs(1 + vn)
,
где
lim
τ→+∞
fi(τ, v1, . . . , vn) = 0, i = 1, n, равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ Rn1/2.
Далее, выделяя линейные части в слагаемых, стоящих после функций fi, i = 1, n, получаем
систему дифференциальных уравнений
v′i =
ν0n−1(∑
k∈Γ
αkcks
) (fi(τ, v1, . . . , vn) +
n∑
k=1
pikvk + Vi(v1, . . . , vn)
)
, i = 1, n, (3.49)
в которой
pii = −1− σsi−1, pii+1 = 1− σsi, pik = −σsk−1
при k 6= i, i+ 1, n pin = 1, i = 1, n− 2,
pn−1k = −σsk−1 при k = 1, n− 2,
pn−1n−1 = −1− σsn−2, pn−1n = 1,
pnk = γsσsk−1 при k = 1, n− 1, pnn = −γs,
Vi(v1, . . . , vn) = −
(1 + vi)
∏n−2
j=0
|1 + vj+1|σsj
1 + vn
− vn+
+ (1 + σsi−1)vi +
n−1∑
k=1
k 6=i
σsk−1vk, i = 1, n− 1,
Vn(v1, . . . , vn) = γs
n−2∏
j=0
|1 + vj+1|σsj − γs
n−1∑
k=1
σsk−1vk.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
188 В. М. ЕВТУХОВ, А. Г. ДОРОШЕНКО
Здесь
lim
|v1|+···+|vn|→0
∂Vi(v1, . . . , vn)
∂vk
= 0, i, k = 1, n,
характеристическое уравнение det[P − ρE] = 0, где P = (pik)
n
i,k=1 и E — единичная
матрица размерности n × n, имеет вид (3.35). В силу условий теоремы это уравнение
не имеет корней с нулевой действительной частью. Тем самым показано, что для систе-
мы (3.49) выполнены все условия леммы 2.3. Согласно этой лемме данная система имеет
по крайней мере одно решение (vi)
n
i=1 : [τ2,+∞[ → Rn, где τ2 ≥ τ1, стремящееся к ну-
лю при τ → +∞, причем таких решений существует l-параметрическое семейство, если
среди корней алгебраического уравнения (3.35) имеется l корней (с учетом кратных), дей-
ствительные части которых имеют знак, противоположный знаку числа αsν0n−1. Каждому
такому решению, в силу замены (3.46) и первых из условий (1.6), соответствует решение
y : [t2, ω[ → R, где t2 ∈ [a, ω[, дифференциального уравнения (1.1), которое допускает при
t ↑ ω асимптотические представления (3.28) и (3.29). Используя эти представления, усло-
вия (3.26), (3.27), нетрудно проверить, что каждое такое решение уравнения (1.1) является
Pω(Y0, . . . , Yn−1, 1)-решением.
Теорема 3.3 доказана.
Литература
1. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений с правильно меняющимися нелинейностями // Дифференц. уравнения. –
2011. – 47, № 5. – С. 628 – 650.
2. Евтухов В. М., Клопот А. М. Асимптотика некоторых классов решений обыкновенных дифференциальных
уравнений n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 3. –
С. 354 – 380.
3. Евтухов В. М., Клопот А. М. Асимптотическое поведение решений обыкновенных дифференциальных
уравнений n-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями // Укр. мат. журн. – 2011. – 56, № 3. –
18 с.
4. Клопот А. М. Асимптотические представления решений дифференциальных уравнений n-го порядка с
правильно меняющимися нелинейностями. – Дис. . . . канд. физ-мат. наук. – 2014. – 148 с.
5. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
6. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений у веще-
ственных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн. – 2010. –
62, № 1. – С. 52 – 80.
Получено 26.10.2017
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
|