Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно перетвореним аргументом.
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2018
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177189 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом / Г.П. Пелюх, Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 197-230. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177189 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1771892021-02-12T01:26:25Z Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом Пелюх, Г.П. Бельский, Д.В. Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно перетвореним аргументом. We find new properties of solutions of the functional-differential equation with a linearly transformed argument. 2018 Article Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом / Г.П. Пелюх, Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 197-230. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177189 517.929 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно перетвореним аргументом. |
| format |
Article |
| author |
Пелюх, Г.П. Бельский, Д.В. |
| spellingShingle |
Пелюх, Г.П. Бельский, Д.В. Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом Нелінійні коливання |
| author_facet |
Пелюх, Г.П. Бельский, Д.В. |
| author_sort |
Пелюх, Г.П. |
| title |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_short |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_full |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_fullStr |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_full_unstemmed |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| title_sort |
об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2018 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177189 |
| citation_txt |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом / Г.П. Пелюх, Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2018. — Т. 21, № 2. — С. 197-230. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT pelûhgp obasimptotičeskihsvojstvahrešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnopreobrazovannymargumentom AT belʹskijdv obasimptotičeskihsvojstvahrešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnogouravneniâslinejnopreobrazovannymargumentom |
| first_indexed |
2025-07-15T15:13:24Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:13:24Z |
| _version_ |
1837726334167547904 |
| fulltext |
УДК 517.929
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
С ЛИНЕЙНО ПРЕОБРАЗОВАННЫМ АРГУМЕНТОМ
Г. П. Пелюх, Д. В. Бельский
Ин-т математики НАН Украины
ул. Терещенковская, 3, Киев, 01601, Украина
We find new properties of solutions of the functional-differential equation with a linearly transformed
argument.
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння з лiнiйно пе-
ретвореним аргументом.
В данной статье исследуется уравнение
x′(t) = ax(t) + bx(qt) + cx′(qt), (1)
где {a, b, c} ⊂ C, 0 < q < 1, частные случаи которого изучались многими математиками.
Так, в [1] исследованы асимптотические свойства решений уравнения y′(x) = ay(λx) +
+ by(x), в [2] установлены новые свойства решений уравнения y′(x) = ay(λx), в [3] по-
лучены условия существования аналитических почти периодических решений уравнения
y′(x) = ay(λx) + by(x), в [4] построено представление общего решения уравнения (1) при
|c| > 1, в [5] получен ряд новых результатов о существовании ограниченных и финитных
решений уравнений с линейно преобразованным аргументом, в [6] исследовано поведение
решений уравнения (1) в окрестности точки t = 0, в [7] доказано существование решений
уравнения x′(t) = F (x(2t)) с периодическим модулем, в [9] исследовано уравнение (1) при
a = 0, в [10] — при a < 0. Такие уравнения находят широкие приложения в различных
областях науки и техники ([8] и цитированная в ней литература). Будет дано еще одно
доказательство результата работы [6], основанное на методах, изложеных в [11], также
будет получена некоторая асимптотическая формула для нелинейного уравнения (7).
В дальнейшем нам понадобятся следующие частные решения.
Пример 1. Если c 6= q−n, n = 0, 1, 2, . . . , то решением уравнения (1) будет функция
x1(t) =
∑+∞
n=0
αnt
n, где α0 — произвольное комплексное число и
αn+1 =
a+ bqn
(1− cqn) (n+ 1)
αn, n ≥ 0.
В развернутой форме
x1(t) = α0 +
a+ b
1− c
α0t+
(a+ b)(a+ bq)
(1− c)(1− cq)2!
α0t
2 +
(a+ b)(a+ bq)
(
a+ bq2
)
(1− c)(1− cq) (1− cq2) 3!
α0t
3 + . . . .
Пример 2. В [6] найдено следующее частное решение. Если c = q−m+1, m = 0, 1, 2, . . . ,
© Г. П. Пелюх, Д. В. Бельский, 2018
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2 197
198 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
то при m ≥ 1 решением уравнения (1) будет функция
x2(t) =
m−1∑
n=0
αnt
n + tm+1
+∞∑
n=0
βnt
n + tm ln t
+∞∑
n=0
αm+nt
n,
где α0 — произвольная постоянная,
αn =
a+ bqn−1
n (1− cqn−1)
αn−1, n = 1, 2, . . . ,m− 1,m+ 1, . . . ,
αm = −a+ bqm−1
m ln q
αm−1,
βn =
1
(m+ n+ 1) (1− cqm+n)
{
αm+nbq
m+n ln q + αm+n+1×
×
[
cqm+n − 1 + (m+ n+ 1)cqm+n ln q
]
+ βn−1
(
a+ bqm+n
)}
, n = 0, 1, 2, . . . , β−1 = 0.
Случай m = 0 выпишем отдельно:
x2(t) = t
+∞∑
n=0
βnt
n + ln t
+∞∑
n=0
αnt
n.
Ряд
∑+∞
n=m
αnt
n тоже будет решением уравнения (1), которое однако в дальнейшем не
понадобится.
Доказательство сходимости рядов в решении x2(t) повторим из [6]. Формулы коэффи-
циентов αn и βn означают линейную зависимость αn = α0ξn(a, b, c, q), βn = α0ηn(a, b, c, q).
Для некоторого числа ε выполняется неравенство |ξn| ≤
εn
n!
. Используя оценку ξn и уве-
личивая при необходимости ε, получаем
|ηn| ≤
1
m+ n+ 1
(ε |ηn−1|+ δn) ,
где δn =
εn+m
(n+m)!
. Тогда |ηn|−δn ≤
ε
m+ n+ 1
(|ηn−1| − δn−1). Отсюда следует сходимость
ряда
∑+∞
n=0
|ηn| tn при всех t.
Пример 3. Если c = qm+2, m ∈ N
⋃
{0}, то решением уравнения (1) будет функция
x3(t) = α−m−1t
−m−1 + . . .+ α−1t
−1 + ln t
∞∑
n=0
αnt
n + t
+∞∑
n=0
βnt
n,
где α−m−1 произвольное число;
α−j+1 =
a+ bq−j
(j − 1) (cq−j − 1)
α−j , j = m+ 1,m, . . . , 2;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. . . 199
α0 =
a+ bq−1
1− cq−1
α−1; αn+1 =
a+ bqn
(n+ 1) (1− cqn)
αn, n ≥ 0;
βn =
1
(n+ 1) (1− cqn)
(
αnb (ln q) qn+
+ αn+1
{
cqn − 1 + (ln q) (n+ 1)cqn
}
+ βn−1(a+ bqn)
)
, n ≥ 0, β−1 = 0.
Доказательство сходимости рядов такое же, как и в предыдущем примере.
Пример 4. В [6] также найдено следующее частное решение. Если c 6= qm+2, m =
= 0, 1, 2, . . . и c 6= 0, то решением уравнения (1) будет функция
x4(t) = g0
(
ln t
ln q−1
)
tv + g1
(
ln t
ln q−1
)
tv+1 + g2
(
ln t
ln q−1
)
tv+2 + g3
(
ln t
ln q−1
)
tv+3 + . . . ,
где v удовлетворяет уравнению cqv−1 = 1, g0 ∈ C1(R), g0(s+ 1) ≡ g0(s),
gn+1(u) =
ln q−1
1− qv+n+1
a+ bqv+n
1− cqv+n
0∫
−1
e(v+n+1)(ln q−1)sgn (s+ u) ds, n ≥ 0,
или
gn+1
(
ln t
ln q−1
)
=
1
1− qv+n+1
a+ bqv+n
1− cqv+n
t−(v+n+1)
t∫
qt
sv+ngn
(
ln s
ln q−1
)
ds, n ≥ 0,
gn(u) = (ln q−1)n
n∏
j=1
1
1− qv+j
n−1∏
k=0
a+ bqv+k
1− cqv+k
0∫
−1
0∫
−1
. . .
0∫
−1
e
∑n
h=1(v+m−h+1)(ln q−1)sh×
× g0 (sn + . . .+ s1 + u) dsn . . . ds2ds1, n ≥ 1.
Для доказательства сходимости ряда оценим
sup
s∈R
|gn(s)| ≤ Mn
1
n!
sup
s∈R
|g0(s)| ,
где M1 ≥ 0 — некоторая постоянная. В дальнейшем все Mj — неотрицательные числа.
Из равенства
d
dt
{
gn+1
(
ln t
ln q−1
)
tv+n+1
}
=
a+ bqv+n
1− cqv+n
tv+ngn
(
ln t
ln q−1
)
получаем дифференцируемость ряда и подтверждение того, что x4(t) — решение урав-
нения (1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
200 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Пример 5. Если c = qm+2, m = 0, 1, 2, . . . , то решением уравнения (1) будет функция
x5(t) = g0
(
ln t
ln q−1
)
tv + g1
(
ln t
ln q−1
)
tv+1 + g2
(
ln t
ln q−1
)
tv+2 + g3
(
ln t
ln q−1
)
tv+3 + . . . ,
где v удовлетворяет уравнению cqv−1 = 1, можно выбрать
v = −m− 1; g0 ∈ C1(R), g0(s+ 1) ≡ g0(s),
0∫
−1
g0(s)ds = 0;
gn+1(u) =
ln q−1
1− qv+n+1
a+ bqv+n
1− cqv+n
0∫
−1
e(v+n+1)(ln q−1)s×
× gn (s+ u) ds, n = 0, . . . ,m− 1,m+ 1, . . . ;
gm+1
(
ln t
ln q−1
)
=
1
ln q−1
a+ bqv+m
1− cqv+m
t−(v+m+1)
t∫
qt
sv+m (ln s) gm
(
ln s
ln q−1
)
ds
или
gm+1(u) = (ln q−1)
a+ bqv+m
1− cqv+m
0∫
−1
e(ln q
−1)(v+m+1)ssgm (s+ u) ds+
+ u(ln q−1)
a+ bqv+m
1− cqv+m
0∫
−1
gm(s)ds,
равенство
0∫
−1
gm(u)du =
0∫
−1
g0(u)du
m−1∏
j=0
a+ bqv+j
(1− cqv+j) (v + j + 1)
= 0
обеспечивает периодичность функции gm+1(u), тождество
d
dt
{
gm+1
(
ln t
ln q−1
)
tv+m+1
}
=
a+ bqv+m
1− cqv+m
gm
(
ln t
ln q−1
)
tv+m
также сохраняется.
Теорема 1. Для любого непрерывно дифференцируемого решения x(t) уравнения (1) при
c 6= 0 выполняется равенство
x(t) =
x1(t) + x4(t), c 6= qm, m ∈ Z,
x1(t) + x3(t) + x5(t), c = qm+2, m = 0, 1, 2, . . . ,
x2(t) + x4(t), c = q−m+1, m = 0, 1, 2, . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. . . 201
Доказательство. Сделаем в уравнении (1) замену переменных x(t) = y
(
ln t
ln q−1
)
:
y′(s) = e(ln q
−1)s(ln q−1) {ay(s) + by(s− 1)}+ cq−1y′(s− 1),
введем новую независимую переменную s = −u :
d
du
{y(−u)} = −e−(ln q−1)u(ln q−1) {ay (−u) + by (−(u+ 1))}+ cq−1
[
d
du
{y (−(u+ 1))}
]
.
Определив y(−u)
df
= y1(u), получаем
y′1(u) = −e−(ln q−1)u(ln q−1) {ay1(u) + by1(u+ 1)}+ cq−1y′1(u+ 1).
Сделаем замену y1(u) = eluy2(u) :
y′2(u) + ly2(u) = −e−(ln q−1)u(ln q−1)
{
ay2(u) + bely2(u+ 1)
}
+
+ cq−1el
{
y′2(u+ 1) + ly2(u+ 1)
}
.
Выберем l таким, чтобы выполнялось равенство cq−1el = 1, и наложим условие
Rel = ln
(
q
|c|
)
> 0.
Тогда
d
du
{
elu(y2(u+ 1)− y2(u))
}
= elue−(ln q
−1)u(ln q−1)
{
ay2(u) + bc−1qy2(u+ 1)
}
.
Проинтегрируем это равенство на отрезке [s0, s] :
y2(s+ 1) = e−l(s−s0) (y2(s0 + 1)− y2(s0)) +
+ y2(s) + e−ls
s∫
s0
e(l−ln q
−1)u(ln q−1)
{
ay2(u) + bc−1qy2(u+ 1)
}
du. (2)
Связь между решениями следующая x
(
e−s ln q
−1)
= y(−s) = y1(s) = elsy2(s).
Оценим решение
|y2(s+ 1)| ≤ |y2(s0 + 1)− y2(s0)|+ sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+
+ e−(Rel)s
s∫
s0
e(Rel−ln q−1)udu ln q−1|a|
(
sup
s0≤u≤s
|y2(u)|
)
+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
202 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
+ e−(Rel)s
s∫
s0
e(Rel−ln q−1)udu ln q−1
∣∣bc−1∣∣ q( sup
s0≤u≤s
|y2(u+ 1)|
)
.
Если Rel− ln q−1 = 0, то из условия Rel > 0 следует, что
e−(Rel)s(s− s0) ≤ e−(Rel)ss ≤ sup
s≥s0
(
e−(Rel)ss
) df
= ε(s0) ∀s ≥ s0,
ε(s0) > 0 и ε(s0)→ 0, s0 → +∞ ; если Rel− ln q−1 6= 0, то
e−(Rel)s
s∫
s0
e(Rel−ln q−1)udu = e−(ln q
−1)s0 e
−(ln q−1)(s−s0) − e−(Rel)(s−s0)
Rel− ln q−1
≤
≤ e−(ln q−1)s0 2
|Rel− ln q−1|
df
= ε(s0).
Оценку |y2(s+ 1)| можно продолжить:
|y2(s+ 1)| ≤ |y2(s0 + 1)− y2(s0)|+
+ sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+ ε(s0)(ln q
−1) |a|
(
sup
s0≤u≤s
|y2(u)|
)
+
+ ε(s0)(ln q
−1)
∣∣bc−1∣∣ q( sup
s0≤u≤s
|y2(u+ 1)|
)
.
Для произвольной точки s1 из отрезка s0 ≤ s1 ≤ s аналогично получаем неравенство
|y2(s1 + 1)| ≤ |y2 (s0 + 1)− y2(s0)|+
+ sup
s0≤u≤s1
|y2(u)|+ ε(s0)(ln q
−1) |a|
(
sup
s0≤u≤s1
|y2(u)|
)
+
+ ε(s0)(ln q
−1)
∣∣bc−1∣∣ q( sup
s0≤u≤s1
|y2(u+ 1)|
)
.
Расширяя у верхних границ (sup) отрезок изменения u до множества s0 ≤ u ≤ s, увели-
чиваем их и получаем неравенство
|y2 (s1 + 1)| ≤ |y2 (s0 + 1)− y2(s0)|+
+ sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+ ε(s0)(ln q
−1) |a|
(
sup
s0≤u≤s
|y2(u)|
)
+
+ ε(s0)(ln q
−1)
∣∣bc−1∣∣ q( sup
s0≤u≤s
|y2(u+ 1)|
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. . . 203
Поэтому
sup
s0≤s1≤s
|y2 (s1 + 1)| ≤ |y2 (s0 + 1)− y2(s0)|+ sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+
+ ε(s0)(ln q
−1) |a|
(
sup
s0≤u≤s
|y2(u)|
)
+
+ ε(s0)(ln q
−1)
∣∣bc−1∣∣ q( sup
s0≤u≤s
|y2(u+ 1)|
)
.
Перепишем и оценим
sup
s0≤u≤s
|y2(u+ 1)| = sup
s0+1≤u≤s+1
|y2(u)| ≤ sup
s0≤u≤s+1
|y2(u)|,
тогда
sup
s0+1≤u≤s+1
|y2(u)| ≤ |y2(s0 + 1)− y2(s0)|+
+ sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+ ε(s0)(ln q
−1) |a|
(
sup
s0≤u≤s
|y2(u)|
)
+
+ ε(s0)(ln q
−1)
∣∣bc−1∣∣ q( sup
s0≤u≤s+1
|y2(u)|
)
.
Отсюда
sup
s0≤u≤s+1
|y2(u)| ≤ sup
s0≤u≤s0+1
|y2(u)|+ sup
s0+1≤u≤s+1
|y2(u)| ≤
≤ sup
s0≤u≤s0+1
|y2(u)|+ |y2 (s0 + 1)− y2(s0)|+
+ sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+ ε(s0)(ln q
−1) |a|
(
sup
s0≤u≤s
|y2(u)|
)
+
+ ε(s0)(ln q
−1)
∣∣bc−1∣∣ q( sup
s0≤u≤s+1
|y2(u)|
)
.
Полагая s0 достаточно большим и ε(s0), соответственно, достаточно малым, получаем
sup
s0≤u≤s+1
|y2(u)| ≤
sup
s0≤u≤s0+1
|y2(u)|+ |y2 (s0 + 1)− y2(s0)|
1− ε(s0)(ln q−1) |bc−1| q
+
+
1 + ε(s0)(ln q
−1) |a|
1− ε(s0)(ln q−1) |bc−1| q
sup
s0≤u≤s
|y2(u)| .
Для сокращения записи определим
sup
s0≤u≤s
|y2(u)| df= g(s),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
204 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
sups0≤u≤s0+1 |y2(u)|+ |y2 (s0 + 1)− y2(s0)|
1− ε(s0)(ln q−1) |bc−1| q
df
= M2
и
1 + ε(s0)(ln q
−1) |a|
1− ε(s0)(ln q−1) |bc−1| q
df
= M3
в новых обозначениях
g(s+ 1) ≤M3g(s) +M2.
Коэффициент M3 = M3(s0) → 1, s0 → +∞ (ε(s0) → 0), поэтому существует δ(s0) > 0
такое, что δ(s0)→ 0, s0 → +∞ и M3(s0) < 1 + δ(s0). Следовательно,
g(s+ 1) ≤ (1 + δ(s0)) g(s) +M2.
Отсюда имеем
g(s+ 1)− γ ≤ (1 + δ(s0)) (g(s)− γ) ,
где γ = − M2
δ(s0)
. Тогда
g(s+ 1)− γ
e(s+1) ln(1+δ(s0))
≤ (1 + δ(s0)) (g(s)− γ)
e(s+1) ln(1+δ(s0))
=
g(s)− γ
es ln(1+δ(s0))
.
Далее получаем
g(s)− γ
es ln(1+δ(s0))
≤ max
s0≤τ≤s0+1
g(τ)− γ
eτ ln(1+δ(s0))
для всех s ≥ s0 или
|y2(s)| ≤ sup
s0≤u≤s
|y2(u)| = g(s) ≤
≤
(
max
s0≤τ≤s0+1
g(τ)− γ
eτ ln(1+δ(s0))
)
es ln(1+δ(s0)) + γ ≤M4e
s ln(1+δ(s0)), s ≥ s0.
В интегральном уравнении
y2(s+ 1)− y2(s) = e−l(s−s0) (y2 (s0 + 1)− y2(s0)) +
+ e−ls
s∫
s0
e(l−ln q
−1)u ln q−1
{
ay2(u) + bc−1qy2(u+ 1)
}
du
оценим левую часть, учитывая экспоненциальную оценку для |y2(s)| :
|y2(s+ 1)− y2(s)| ≤ e−(Rel)s
∣∣∣els0 (y2 (s0 + 1)− y2(s0))
∣∣∣+
+ e−(Rel)s
s∫
s0
e(Rel−ln q−1)u(ln q−1)
{
|a| |y2(u)|+
∣∣bc−1∣∣ q |y2(u+ 1)|
}
du ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. . . 205
≤ e−(Rel)s
∣∣∣els0 (y2 (s0 + 1)− y2(s0))
∣∣∣+ e−(Rel)s
s∫
s0
e(Rel−ln q−1)u ln q−1×
×
{
|a|M4e
u ln(1+δ(s0)) +
∣∣bc−1∣∣ qM4e
(u+1) ln(1+δ(s0))
}
du.
Выбирая подходящее значение δ(s0) > 0, сумируем Rel − ln q−1 + ln (1 + δ(s0)) 6= 0 и
продолжаем оценку
|y2(s+ 1)− y2(s)| ≤ e−(Rel)s
∣∣∣els0 (y2 (s0 + 1)− y2(s0))
∣∣∣+
+
e−(ln q−1−ln(1+δ(s0)))s
|Rel− ln q−1 + ln (1 + δ(s0))|
(ln q−1)
{
|a|+
∣∣bc−1∣∣ q (1 + δ(s0))
}
M4+
+ e−(Rel)s e(Rel−ln q−1+ln(1+δ(s0)))s0
|Rel− ln q−1 + ln (1 + δ(s0))|
(ln q−1)
{
|a|+
∣∣bc−1∣∣ q(1 + δ(s0))
}
M4. (3)
Полагая ln q−1 − ln (1 + δ(s0)) > 0, определяем
l1
df
= min
{
ln q−1 − ln (1 + δ(s0)) , Rel
}
.
Тогда |y2(s+ 1)− y2(s)| ≤M5e
−l1s, s ≥ s0.
Отсюда при n ≥ 0 и m ≥ 0 получаем оценку
|y2(s+ n+m)− y2(s+ n)| ≤ |y2(s+ n+m)− y2(s+ n+m− 1)|+
+ |y2(s+ n+m− 1)− y2(s+ n+m− 2)|+ . . .
. . .+ |y2(s+ n+ 2)− y2(s+ n+ 1)|+
+ |y2(s+ n+ 1)− y2(s+ n)| ≤
≤M5e
−l1(s+n+m−1) +M5e
−l1(s+n+m−2) + . . .
. . .+M5e
−l1(s+n+1) +M5e
−l1(s+n) ≤
≤M5e
−l1(s+n) 1
1− e−l1
.
Фундаментальность последовательности y2(s+ n) означает существование предела
lim
n→∞
y2(s+ n)
df
=w(s)
с периодом w(s) ≡ w(s+1). Устремляя в последнем неравенстве m→∞, получаем оценку
|w(s)− y2(s+ n)| ≤M5e
−l1(s+n) 1
1− e−l1
, s ≥ s0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
206 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Отсюда следует равномерная сходимость на полуоси s ≥ s0 непрерывныхфункций y2(s+n)
к предельной функции w(s), которая, следовательно, тоже непрерывна.
Для доказательства непрерывнойдифференцируемостипредельнойпериодическойфунк-
ции w(s) запишем интегральные равенства
y2(s+ 1)− y2(s) = e−lsels0 (y2 (s0 + 1)− y2(s0)) +
+ e−ls
∫ s
s0
e(l−ln q
−1)u ln q−1
{
ay2(u) + bc−1qy2(u+ 1)
}
du,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y2(s+ n+ 1)− y2(s+ n) = e−l(s+n)els0 (y2(s0 + 1)− y2(s0)) +
+ e−l(s+n)
s+n∫
s0
e(l−ln q
−1)u ln q−1
{
ay2(u) + bc−1qy2(u+ 1)
}
du.
Суммируя их, получаем
y2(s+ n+ 1)− y2(s) =
n∑
j=0
[
e−l(s+j)els0 (y2(s0 + 1)− y2(s0)) +
+ e−l(s+j)
s+j∫
s0
e(l−ln q
−1)u ln q−1
{
ay2(u) + bc−1qy2(u+ 1)
}
du
]
.
Устремляя n→ +∞ и учитывая равенство e−l = cq−1, в пределе находим
w(s) = y2(s) + e−lsels0 (y2 (s0 + 1)− y2(s0))
1
1− cq−1
+
+
+∞∑
j=0
e−l(s+j)
s+j∫
s0
e(l−ln q
−1)u ln q−1
{
ay2(u) + bc−1qy2(u+ 1)
}
du.
Из тождества y2(s) = w(s) +O
(
e−l1s
)
, s→ +∞, следует неравенство |y2(s)| ≤M6, s ≥ s0.
При выводе (3) было, в частности, получено неравенство∣∣∣∣∣∣e−ls
s∫
s0
e(l−ln q
−1)u ln q−1
{
ay2(u) + bc−1qy2(u+ 1)
}
du
∣∣∣∣∣∣ ≤M5e
−l1s, s ≥ s0. (4)
Формальное дифференцирование дает формулу
d
dt
+∞∑
j=0
e−l(s+j)
s+j∫
s0
e(l−ln q
−1)u ln q−1
{
ay2(u) + bc−1qy2(u+ 1)
}
du
=
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. . . 207
= −l
+∞∑
j=0
e−l(s+j)
s+j∫
s0
e(l−ln q
−1)u ln q−1
{
ay2(u) + bc−1qy2(u+ 1)
}
du+
+
+∞∑
j=0
e−(ln q
−1)(s+j) ln q−1
{
ay2(s+ j) + bc−1qy2(s+ j + 1)
}
.
Из оценки (4) и ограниченности решения y2(s) получаем абсолютную и равномерную схо-
димость на полуоси s ≥ s0 первого и второго ряда в последнем тождестве соответственно.
И функция w(s) непрерывно дифференцируема.
Если c 6= qm+2, m = 0, 1, 2, . . . , то решением уравнения (1) будет функция
x4(t) = g0
(
ln t
ln q−1
)
tv + g1
(
ln t
ln q−1
)
tv+1 + g2
(
ln t
ln q−1
)
tv+2 + g3
(
ln t
ln q−1
)
tv+3 + . . . =
= tv
{
g0
(
ln t
ln q−1
)
+O(t)
}
, t→ 0 + .
где v удовлетворяет уравнению cqv−1 = 1, g0(−s) ≡ w(s). Можно выбрать v = l/ ln q.
Используем связь между решениями
elsỹ2(s)
df
=x4
(
e−s ln q
−1)
= e−sv ln q
−1
{
g0 (−s) +O
(
e−s ln q
−1)}
= els
{
w(s) +O
(
e−s ln q
−1)}
,
ỹ2(s) = w(s) +O
(
e−s ln q
−1)
, s→ +∞.
Если c = qm+2, m = 0, 1, 2, . . . , то решением уравнения (1) будет функция
x5(t) = g0
(
ln t
ln q−1
)
tv + g1
(
ln t
ln q−1
)
tv+1 + g2
(
ln t
ln q−1
)
tv+2 + g3
(
ln t
ln q−1
)
tv+3 + . . . ,
где v удовлетворяет уравнению cqv−1 = 1. Можно выбрать l = −(m+ 1) ln q и v = l/ ln q =
= −m−1 ; для функции g0(s) ≡ w(−s)−
∫ 0
−1
w(−u)du выполняется условие
∫ 0
−1
g0(s)ds = 0.
Еще одним решением уравнения (1) будет функция
x3(t) = α−m−1t
−m−1 + . . .+ α−1t
−1 + ln t
∞∑
n=0
αnt
n + t
+∞∑
n=0
βnt
n,
где α−m−1 =
∫ 0
−1
w(−u)du. Асимптотическая формула суммы этих решений имеет вид
x3(t) + x5(t) = t−m−1
{
α−m−1 + g0
(
ln t
ln q−1
)
+O
(
t |ln t|max{1−m,0}
)}
, t→ 0 + .
Снова используем связь между решениями
elsỹ2(s)
df
=x3
(
e−s ln q
−1)
+ x5
(
e−s ln q
−1)
= els
{
w(s) +O
(
e−s ln q
−1
smax{1−m,0})} ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
208 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
ỹ2(s) = w(s) +O
(
e−s ln q
−1
smax{1−m,0}), s→ +∞.
В обоих случаях разность y2,1(s) df
= y2(s)− ỹ2(s) = O
(
e−l1s
)
, s→ +∞.
В интегральном уравнении
y2,1(s+ 1)− y2,1(s) = e−l(s−s0) (y2,1 (s0 + 1)− y2,1(s0)) +
+ e−ls
s∫
s0
e(l−ln q
−1)u ln q−1
{
ay2,1(u) + bc−1qy2,1(u+ 1)
}
du (5)
оценим левую часть, учитывая экспоненциальную оценку для y2,1(s) :
|y2,1(s+ 1)− y2,1(s)| ≤ e−(Rel)s
∣∣∣els0 (y2,1(s0 + 1)− y2,1(s0))
∣∣∣+
+ e−(Rel)s
s∫
s0
e(Rel−ln q−1)u(ln q−1)
{
|a| |y2,1(u)|+
∣∣bc−1∣∣ q |y2,1(u+ 1)|
}
du ≤
≤ e−(Rel)s
∣∣∣els0 (y2,1 (s0 + 1)− y2,1(s0))
∣∣∣+
+ e−(Rel)s
s∫
s0
e(Rel−ln q−1−l1)u(ln q−1)
{
|a|+
∣∣bc−1∣∣ qe−l1}M7 du.
Если ln q−1 < Rel, то
l1 = min
{
ln q−1 − ln (1 + δ(s0)) ,Rel
}
= ln q−1 − ln (1 + δ(s0))
и
Rel− ln q−1 − l1 = Rel− 2 ln q−1 + ln (1 + δ(s0)) 6= 0.
Последнее неравенство достигается подходящим выбором δ(s0) > 0. Продолжим оценку
|y2,1(s+ 1)− y2,1(s)| ≤ e−(Rel)s
∣∣∣els0 (y2,1 (s0 + 1)− y2,1(s0))
∣∣∣+
+
e−(2 ln q−1−ln(1+δ(s0)))s
|Rel− 2 ln q−1 + ln (1 + δ(s0))|
(ln q−1)
{
|a|+
∣∣bc−1∣∣ qe−l1}M7+
+ e−(Rel)s e(Rel−2 ln q−1+ln(1+δ(s0)))s0
|Rel− 2 ln q−1 + ln (1 + δ(s0))|
×
× (ln q−1)
{
|a|+
∣∣bc−1∣∣ qe−l1}M7
и определим l2
df
= min
{
2 ln q−1 − ln (1 + δ(s0)) ,Rel
}
. Тогда
|y2,1(s+ 1)− y2,1(s)| ≤M8e
−l2s, s ≥ s0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. . . 209
Отсюда имеем y2,1(s) = w1(s) +O
(
e−l2s
)
, s→ +∞, где w1(s) = lim
n→+∞
y2,1(s+ n) ≡ 0, т. е.
|y2,1(s)| ≤M9e
−l2s, s ≥ s0. Действуя таким образом несколько раз, приходим к неравенству
|y2,1(s)| ≤M10e
−ljs, s ≥ s0,
где lj = min
{
j ln q−1 − ln (1 + δ(s0)) , Rel
}
= Rel, т. е. |y2,1(s)| ≤M10e
−(Rel)s, s ≥ s0.
В уравнении (5) из последней оценки для |y2,1(s)| получаем существование интеграла
+∞∫
s0
e(l−ln q
−1)u ln q−1
{
ay2,1(u) + bc−1qy2,1(u+ 1)
}
du
и, следовательно, существование
lim
s→+∞
els (y2,1(s+ 1)− y2,1(s))
df
= Y ∈ C.
Для аналитического решения запишем равенство
elsȳ2(s)
df
=x1
(
e−s ln q
−1)
= α0
(
1 +
a+ b
1− c
e−s ln q
−1
+
(a+ b)(a+ bq)
(1− c)(1− cq)2!
e−2s ln q
−1
+ . . .
)
,
т. е. elsȳ2(s)→ α0, s→ +∞. Кроме того, |ȳ2(s)| ≤M11e
−(Rel)s, s ≥ s0. Имеем
els (ȳ2(s+ 1)− ȳ2(s)) =
c
q
el(s+1)ȳ2(s+ 1)− elsȳ2(s)→
(
c
q
− 1
)
α0, s→ +∞.
Выбирая α0 =
(
c
q
− 1
)−1
Y, для решения y2,2(s) df
= y2,1(s)− ȳ2(s) получаем предел
lim
s→+∞
els (y2,2(s+ 1)− y2,2(s)) = 0
и оценку |y2,2(s)| ≤M12e
−(Rel)s, s ≥ s0.
Устремим в равенстве
els (y2,2(s+ 1)− y2,2(s))− els0 (y2,2 (s0 + 1)− y2,2(s0)) =
=
s∫
s0
e(l−ln q
−1)u(ln q−1)
{
ay2,2(u) + bc−1qy2,2(u+ 1)
}
du
переменную s→ +∞. В пределе, заменив s0 снова переменной s, получим
y2,2 (s+ 1)− y2,2(s) = −e−ls
+∞∫
s
e(l−ln q
−1)u(ln q−1)
{
ay2,2(u) + bc−1qy2,2(u+ 1)
}
du.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
210 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Оценим модуль разности
|y2,2(s+ 1)− y2,2(s)| ≤
≤ e−(Rel)s
+∞∫
s
e(Rel−ln q−1)u(ln q−1)
{
|a| |y2,2(u)|+
∣∣bc−1∣∣ q |y2,2(u+ 1)|
}
du ≤
≤ e−(Rel)s
+∞∫
s
e(Rel−ln q−1)u(ln q−1)
{
|a|M12e
−(Rel)u +
∣∣bc−1∣∣ qM12e
−(Rel)(u+1)
}
du =
= M13e
−(Rel+ln q−1)s, s ≥ s0.
Суммируя равенства
y2,2(s+ n+ 1)− y2,2(s+ n) =
= −e−l(s+n)
+∞∫
s+n
e(l−ln q
−1)u(ln q−1)
{
ay2,2(u) + bc−1qy2,2(u+ 1)
}
du,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y2,2 (s+ 1)− y2,2(s) = −e−ls
+∞∫
s
e(l−ln q
−1)u(ln q−1)
{
ay2,2(u) + bc−1qy2,2(u+ 1)
}
du,
получаем
y2,2 (s+ n+ 1)− y2,2(s) =
= −
n∑
j=0
e−l(s+j)
+∞∫
s+j
e(l−ln q
−1)u(ln q−1)
{
ay2,2(u) + bc−1qy2,2(u+ 1)
}
du,
и, устремляя n→∞, в пределе находим
y2,2(s) =
∞∑
j=0
e−l(s+j)
+∞∫
s+j
e(l−ln q
−1)u(ln q−1)
{
ay2,2(u) + bc−1qy2,2(u+ 1)
}
du.
Сделаем замену y2,2(s) = e−lsy2,3(s), функция |y2,3(s)| ≤M12, s ≥ s0,
y2,3(s) =
∞∑
j=0
e−lj
+∞∫
s+j
e−(ln q
−1)u(ln q−1){ay2,3(u) + by2,3(u+ 1)}du.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. . . 211
Оценим левую часть
|y2,3(s)| ≤
|a|+ |b|
1− e−Rel−ln q−1 e
−(ln q−1)s sup
u≥s
|y2,3(u)| ,
для s ≤ s1 аналогично получаем
|y2,3(s1)| ≤
|a|+ |b|
1− e−Rel−ln q−1 e
−(ln q−1)s1 sup
u≥s1
|y2,3(u)| ≤
≤ |a|+ |b|
1− e−Rel−ln q−1 e
−(ln q−1)s sup
u≥s
|y2,3(u)|,
отсюда
sup
s1≥s
|y2,3 (s1)| ≤
|a|+ |b|
1− e−Rel−ln q−1 e
−(ln q−1)s sup
u≥s
|y2,3(u)| ,
при большом s коэффициент |a|+ |b|
1− e−Rel−ln q−1 e
−(ln q−1)s < 1, поэтому y2,3(u) ≡ 0.
Итак,
0 ≡ y2,2(s) = y2,1(s)− ȳ2(s) = y2(s)− ỹ2(s)− ȳ2(s)
и окончательно получаем
x
(
e−s ln q
−1)
= elsy2(s) = elsȳ2(s) + elsỹ2(s) =
=
x1
(
e−s ln q
−1)
+ x4
(
e−s ln q
−1)
, c 6= qm+2, m = 0, 1, 2, . . . ,
x1
(
e−s ln q
−1)
+ x3
(
e−s ln q
−1)
+ x5
(
e−s ln q
−1)
, c = qm+2, m = 0, 1, 2, . . . ,
или ( |c| < q )
x(t) =
x1(t) + x4(t), c 6= qm+2, m = 0, 1, 2, . . . ,
x1(t) + x3(t) + x5(t), c = qm+2, m = 0, 1, 2, . . . .
Теперь предположим, что Rel = ln
(
q
|c|
)
< 0. В интегральном уравнении
el(s+1)y2(s+ 1) =
q
c
els0 (y2(s0 + 1)− y2(s0)) +
+
q
c
elsy2(s) + el
s∫
s0
e−(ln q
−1)u ln q−1
{
aeluy2(u) + bel(u+1)y2(u+ 1)
}
du
оценим левую часть∣∣∣el(s+1)y2(s+ 1)
∣∣∣ ≤ ∣∣∣q
c
els0 (y2 (s0 + 1)− y2(s0))
∣∣∣+
q
|c|
∣∣∣elsy2(s)∣∣∣+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
212 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
+
q
|c|
s∫
s0
e−(ln q
−1)u(ln q−1)
{
|a|
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+ |b|
∣∣∣el(u+1)y2(u+ 1)
∣∣∣} du ≤
≤
∣∣∣q
c
els0 (y2 (s0 + 1)− y2(s0))
∣∣∣+
q
|c|
∣∣∣elsy2(s)∣∣∣+
q
|c|
s∫
s0
e−(ln q
−1)u(ln q−1)×
×
{
|a| sup
s0≤u≤s
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+ |b| sup
s0≤u≤s
∣∣∣el(u+1)y2(u+ 1)
∣∣∣} du ≤
≤
∣∣∣q
c
els0 (y2 (s0 + 1)− y2(s0))
∣∣∣+
q
|c|
∣∣∣elsy2(s)∣∣∣+
+
q
|c|
e−(ln q
−1)s0
{
|a| sup
s0≤u≤s
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+ |b| sup
s0+1≤u≤s+1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣} ≤
≤
∣∣∣q
c
els0 (y2 (s0 + 1)− y2(s0))
∣∣∣+
q
|c|
sup
s0≤u≤s
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+
+
q
|c|
e−(ln q
−1)s0
{
|a| sup
s0≤u≤s
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+ |b| sup
s0≤u≤s+1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣} .
Для точки s0 ≤ s1 ≤ s аналогично имеем∣∣∣el(s1+1)y2 (s1 + 1)
∣∣∣ ≤ ∣∣∣q
c
els0 (y2 (s0 + 1)− y2(s0))
∣∣∣+
q
|c|
sup
s0≤u≤s1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+
+
q
|c|
e−(ln q
−1)s0
{
|a| sup
s0≤u≤s1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+ |b| sup
s0≤u≤s1+1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣} .
Заменяя в правой части s1 на s, увеличиваем верхние границы (sup) и получаем нера-
венство∣∣∣el(s1+1)y2 (s1 + 1)
∣∣∣ ≤ ∣∣∣q
c
els0 (y2 (s0 + 1)− y2(s0))
∣∣∣+
q
|c|
sup
s0≤u≤s
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+
+
q
|c|
e−(ln q
−1)s0
{
|a| sup
s0≤u≤s
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+ |b| sup
s0≤u≤s+1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣} .
Точка s1 произвольная из отрезка s0 ≤ s1 ≤ s, поэтому
sup
s0+1≤u≤s+1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣ = sup
s0≤s1≤s
∣∣∣el(s1+1)y2 (s1 + 1)
∣∣∣ ≤ ∣∣∣q
c
els0 (y2 (s0 + 1)− y2(s0))
∣∣∣+
+
q
|c|
sup
s0≤u≤s
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+
q
|c|
e−(ln q
−1)s0×
×
{
|a| sup
s0≤u≤s
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+ |b| sup
s0≤u≤s+1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣} .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. . . 213
Отсюда имеем
sup
s0≤u≤s+1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣ ≤ sup
s0≤u≤s0+1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+ sup
s0+1≤u≤s+1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣ ≤
≤ sup
s0≤u≤s0+1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+
∣∣∣q
c
els0 (y2 (s0 + 1)− y2(s0))
∣∣∣+
+
q
|c|
sup
s0≤u≤s
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+
q
|c|
e−(ln q
−1)s0×
×
{
|a| sup
s0≤u≤s
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+ |b| sup
s0≤u≤s+1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣} ,
{
1− |b| q
|c|
e−(ln q
−1)s0
}
sup
s0≤u≤s+1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣ ≤
≤ sup
s0≤u≤s0+1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+
∣∣∣q
c
els0 (y2 (s0 + 1)− y2(s0))
∣∣∣+
+
q
|c|
{
1 + |a| e−(ln q−1)s0
}
sup
s0≤u≤s
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣ .
Полагая s0 достаточно большим, получаем
sup
s0≤u≤s+1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣ ≤ {1−
∣∣bc−1∣∣ qe−(ln q−1)s0
}−1
×
×
(
sup
s0≤u≤s0+1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+
∣∣∣q
c
els0 (y2 (s0 + 1)− y2(s0))
∣∣∣)+
+
q
|c|
1 + |a| e−(ln q−1)s0
1− |bc−1| qe−(ln q−1)s0
sup
s0≤u≤s
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣ .
Сократим запись
sup
s0≤u≤s
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣ df= g(s),
q
|c|
1 + |a| e−(ln q−1)s0
1− |bc−1| qe−(ln q−1)s0
df
=M14,
{
1−
∣∣bc−1∣∣ qe−(ln q−1)s0
}−1(
sup
s0≤u≤s0+1
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣+
∣∣∣q
c
els0 (y2 (s0 + 1)− y2(s0))
∣∣∣) df
=M15,
коэффициент M14 = M14(s0)→
q
|c|
< 1, s0 → +∞, т. е. при достаточно большом s0 можем
считать M14 < 1. В новых обозначениях имеем
g(s+ 1) ≤M14g(s) +M15,
g(s+ 1)− h ≤M14 (g(s)− h) ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
214 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
где h = (1−M14)
−1M15,
g(s+ 1)− h
e(s+1) lnM14
≤ M14 (g(s)− h)
e(s+1) lnM14
=
g(s)− h
es lnM14
,
g(s)− h
es lnM14
≤ sup
s0≤τ≤s0+1
g(τ)− h
eτ lnM14
,
∣∣∣elsy2(s)∣∣∣ ≤ sup
s0≤u≤s
∣∣∣eluy2(u)
∣∣∣ = g(s) ≤
(
sup
s0≤τ≤s0+1
g(τ)− h
eτ lnM14
)
es lnM14 + h, s ≥ s0,
число M14 < 1, поэтому lnM14 < 0, а следовательно,
∣∣elsy2(s)∣∣ ≤M16, s ≥ s0.
Запишем интегральное уравнение в следующем виде:
els (y2(s+ 1)− y2(s))− els0 (y2(s0 + 1)− y2(s0)) =
=
s∫
s0
e−(ln q
−1)u ln q−1
{
aeluy2(u) + bel(u+1)y2(u+ 1)
}
du. (6)
Из ограниченности произведения elsy2(s) вытекает сходимость интеграла
+∞∫
s0
e−(ln q
−1)u ln q−1
{
aeluy2(u) + bel(u+1)y2(u+ 1)
}
du,
поэтому существует предел
lim
s→+∞
els (y2(s+ 1)− y2(s))
df
= Y ∈ C.
Так как |c| > q, то равенство cqm−1 = 1, m ≥ 0, может выполняться при m = 1, 2, 3, . . . ,
т. е. минимальная степень t перед логарифмом в решении x2(t) равна m ≥ 1. Поэтому
оба возможных решения x1,2(t) стремятся к произвольной постоянной α0 при t → 0 + .
Используя связь между решениями, получаем
elsỹ2(s)
df
=
x1
(
e−s ln q
−1)
, c 6= q−m+1, m = 1, 2, 3, . . . ,
x2
(
e−s ln q
−1)
, c = q−m+1, m = 1, 2, 3, . . .
= α0 +O
(
se−s ln q
−1)
, s→ +∞.
Тогда lim
s→+∞
els (ỹ2(s+ 1)− ỹ2(s)) =
(
cq−1 − 1
)
α0. Выбирая α0 =
(
cq−1 − 1
)−1
Y, для раз-
ности y2,0(s) df
= y2(s)− ỹ2(s) получаем равенство lim
s→+∞
els (y2,0(s+ 1)− y2,0(s)) = 0.
В интегральном уравнении
els (y2,0(s+ 1)− y2,0(s))− els0 (y2,0 (s0 + 1)− y2,0(s0)) =
=
s∫
s0
e−(ln q
−1)u ln q−1
{
aeluy2,0(u) + bel(u+1)y2,0(u+ 1)
}
du
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. . . 215
устремим s→ +∞. В пределе, снова заменяя s0 переменной s, получаем
el(s+1)y2,0(s+ 1) =
q
c
elsy2,0(s)−
q
c
+∞∫
s
e−(ln q
−1)u ln q−1
{
aeluy2,0(u) + bel(u+1)y2,0(u+ 1)
}
du.
Для любого решения и, в частности, для y2,0(s), произведение elsy2,0(s) ограничено.
Поэтому
∣∣∣el(s+1)y2,0 (s+ 1)
∣∣∣ ≤ ∣∣∣q
c
∣∣∣ ∣∣∣elsy2,0(s)∣∣∣+
∣∣∣q
c
∣∣∣ +∞∫
s
e−(ln q
−1)u(ln q−1)×
×
{
|a|
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣+ |b|
∣∣∣el(u+1)y2,0(u+ 1)
∣∣∣} du ≤
≤
∣∣∣q
c
∣∣∣ sup
u≥s
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣+
∣∣∣q
c
∣∣∣ +∞∫
s
e−(ln q
−1)u(ln q−1)×
×
{
|a| sup
u≥s
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣+ |b| sup
u≥s
∣∣∣el(u+1)y2,0(u+ 1)
∣∣∣} du =
=
∣∣∣q
c
∣∣∣ sup
u≥s
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣+ |a|
∣∣∣q
c
∣∣∣ e−(ln q−1)s sup
u≥s
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣+
+ |b|
∣∣∣q
c
∣∣∣ e−(ln q−1)s sup
u≥s+1
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣ .
Для точки s1 ≥ s аналогично получаем∣∣∣el(s1+1)y2,0 (s1 + 1)
∣∣∣ ≤ ∣∣∣q
c
∣∣∣ sup
u≥s1
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣+ |a|
∣∣∣q
c
∣∣∣ e−(ln q−1)s1×
× sup
u≥s1
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣+ |b|
∣∣∣q
c
∣∣∣ e−(ln q−1)s1 sup
u≥s1+1
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣q
c
∣∣∣ sup
u≥s
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣+ |a|
∣∣∣q
c
∣∣∣ e−(ln q−1)s×
× sup
u≥s
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣+ |b|
∣∣∣q
c
∣∣∣ e−(ln q−1)s sup
u≥s+1
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣ .
Тогда
sup
u≥s+1
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣ = sup
s1≥s
∣∣∣el(s1+1)y2,0(s1 + 1)
∣∣∣ ≤ ∣∣∣q
c
∣∣∣ sup
u≥s
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣+
+ |a|
∣∣∣q
c
∣∣∣ e−(ln q−1)s sup
u≥s
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣+ |b|
∣∣∣q
c
∣∣∣ e−(ln q−1)s sup
u≥s+1
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣ ,
{
1− |b|
∣∣∣q
c
∣∣∣ e−(ln q−1)s
}
sup
u≥s+1
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣ ≤ ∣∣∣q
c
∣∣∣ {1 + |a| e−(ln q−1)s
}
sup
u≥s
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣ ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
216 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
при больших s справедливо
sup
u≥s+1
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣ ≤ ∣∣∣q
c
∣∣∣ 1 + |a| e−(ln q−1)s
1− |b|
∣∣ q
c
∣∣ e−(ln q−1)s
sup
u≥s
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣ .
Если s ≥ s0, s− s0 = n+ τ, s = s0 + τ + n, 0 ≤ τ < 1, n ≥ 0, то
sup
u≥s
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣ ≤ ∣∣∣q
c
∣∣∣ 1 + |a| e−(ln q−1)(s−1)
1− |b|
∣∣ q
c
∣∣ e−(ln q−1)(s−1) sup
u≥s−1
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣ ≤
≤
(
q
|c|
)n n∏
k=1
1 + |a| e−(ln q−1)(s−k)
1− |b|
∣∣ q
c
∣∣ e−(ln q−1)(s−k) sup
u≥s0
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣ =
=
(
q
|c|
)n n−1∏
j=0
1 + |a| e−(ln q−1)(s0+τ+j)
1− |b|
∣∣ q
c
∣∣ e−(ln q−1)(s0+τ+j)
sup
u≥s0
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣ ≤
≤
(
q
|c|
)n ∞∏
j=0
1 + |a| e−(ln q−1)(s0+τ+j)
1− |b|
∣∣ q
c
∣∣ e−(ln q−1)(s0+τ+j)
sup
u≥s0
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣ ≤
≤
(
q
|c|
)n
sup
s0≤u≤s0+1
∞∏
j=0
1 + |a| e−(ln q−1)(u+j)
1− |b|
∣∣ q
c
∣∣ e−(ln q−1)(u+j)
sup
u≥s0
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣ .
Число n = s− s0 − τ > s− s0 − 1 и q
|c|
< 1, поэтому
(
q
|c|
)n
<
(
q
|c|
)s−s0−1
и ∣∣elsy2,0(s)∣∣ ≤ sup
u≥s
∣∣eluy2,0(u)
∣∣
≤
(
q
|c|
)s−s0−1
sup
s0≤u≤s0+1
∞∏
j=0
1 + |a| e−(ln q−1)(u+j)
1− |b|
∣∣ q
c
∣∣ e−(ln q−1)(u+j)
×
× sup
u≥s0
∣∣eluy2,0(u)
∣∣ = e(Rel)sM17, s ≥ s0.
Перепишем интегральное уравнение в виде
y2,0 (s+ 1)− y2,0(s) = −e−ls
+∞∫
s
e−(ln q
−1)u(ln q−1)
{
aeluy2,0(u) + bel(u+1)y2,0(u+ 1)
}
du
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. . . 217
и оценим левую часть с учетом только что доказанной ограниченности решения y2,0(u) :
∣∣y2,0 (s+ 1)− y2,0(s)
∣∣ ≤ e−(Rel)s
+∞∫
s
e−(ln q
−1)u(ln q−1)×
×
{
|a|
∣∣∣eluy2,0(u)
∣∣∣+ |b|
∣∣∣el(u+1)y2,0(u+ 1)
∣∣∣} du ≤
≤ e−(Rel)s
+∞∫
s
e−(ln q
−1)u(ln q−1)×
×
{
|a| e(Rel)uM17 + |b| e(Rel)(u+1)M17
}
du =
= e−(ln q
−1)sM18.
Отсюда следует y2,0(s) = w(s) + O
(
e−(ln q
−1)s
)
, s → +∞, где w(s) — непрерывная 1-
периодическая функция.
Суммируя равенства
y2,0 (s+ 1)− y2,0(s) = −e−ls
+∞∫
s
e−(ln q
−1)u ln q−1
{
aeluy2,0(u) + bel(u+1)y2,0(u+ 1)
}
du,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y2,0(s+ n+ 1)− y2,0(s+ n) = −e−l(s+n)
+∞∫
s+n
e−(ln q
−1)u ln q−1×
×
{
aeluy2,0(u) + bel(u+1)y2,0(u+ 1)
}
du,
получаем
y2,0 (s+ n+ 1)− y2,0(s) = −
n∑
j=0
e−l(s+j)
+∞∫
s+j
e−(ln q
−1)u ln q−1×
×
{
aeluy2,0(u) + bel(u+1)y2,0(u+ 1)
}
du.
Устремляя n→ +∞, в пределе находим
w(s) = y2,0(s)−
+∞∑
j=0
e−l(s+j)
+∞∫
s+j
e−(ln q
−1)u ln q−1
{
aeluy2,0(u) + bel(u+1)y2,0(u+ 1)
}
du.
Из непрерывной дифференцируемости и ограниченности решения y2,0(s) следует непре-
рывная дифференцируемость функции w(s).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
218 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Условие |c| > q делает возможнымпостроить решение x4(t) с периодической функцией
g0(−s) ≡ w(s). Используем связь между решениями
elsÛy2(s) df
= x4
(
e−s ln q
−1)
= els
{
w(s) +O
(
e−s ln q
−1)}
,Ûy2(s) = w(s) +O
(
e−s ln q
−1)
, s→ +∞.
Для разности решений ȳ2(s)
df
= y2,0(s) − Ûy2(s) = O
(
e−(ln q
−1)s
)
, s → +∞, сделаем в
уравнении
ȳ2 (s+ 1) = ȳ2(s)− e−ls
+∞∫
s
e−(ln q
−1)u ln q−1
{
aeluȳ2(u) + bel(u+1)ȳ2(u+ 1)
}
du
замену ȳ2(s) = y2,1(s)e
−(ln q−1)s, |y2,1(s)| ≤M19, s ≥ s0 :
y2,1(s) = qy2,1 (s+ 1) + e(−l+ln q−1)s
+∞∫
s
e(l−2 ln q
−1)u(ln q−1)
{
ay2,1(u) + bc−1q2y2,1 (u+ 1)
}
du.
Оценим левую часть
|y2,1(s)| ≤ q |y2,1(s+ 1)|+ e(−Rel+ln q−1)s
+∞∫
s
e(Rel−2 ln q−1)u(ln q−1)×
×
{
|a||y2,1(u)|+
∣∣bc−1∣∣ q2 |y2,1 (u+ 1)|
}
du ≤ q sup
u≥s+1
|y2,1(u)|+
+ e(−Rel+ln q−1)s
+∞∫
s
e(Rel−2 ln q−1)u(ln q−1)×
×
{
|a| sup
u≥s
|y2,1(u)|+
∣∣bc−1∣∣ q2 sup
u≥s
|y2,1(u+ 1)|
}
du =
= q sup
u≥s+1
|y2,1(u)|+ |a| (ln q−1) e−(ln q
−1)s
−Rel + 2 ln q−1
sup
u≥s
|y2,1(u)|+
+
∣∣bc−1∣∣ q2(ln q−1) e−(ln q
−1)s
−Rel + 2 ln q−1
sup
u≥s+1
|y2,1(u)| .
Для произвольной точки s1 ≥ s аналогично получаем
|y2,1 (s1)| ≤ q sup
u≥s1+1
|y2,1(u)|+ |a| (ln q−1) e−(ln q
−1)s1
−Rel + 2 ln q−1
sup
u≥s1
|y2,1(u)|+
+
∣∣bc−1∣∣ q2(ln q−1) e−(ln q
−1)s1
−Rel + 2 ln q−1
sup
u≥s1+1
|y2,1(u)| ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. . . 219
≤ q sup
u≥s+1
|y2,1(u)|+ |a| (ln q−1) e−(ln q
−1)s
−Rel + 2 ln q−1
sup
u≥s
|y2,1(u)|+
+
∣∣bc−1∣∣ q2(ln q−1) e−(ln q
−1)s
−Rel + 2 ln q−1
sup
u≥s+1
|y2,1(u)| .
Отсюда имеем
sup
s1≥s
|y2,1 (s1)| ≤ q sup
u≥s+1
|y2,1(u)|+ |a| (ln q−1) e−(ln q
−1)s
−Rel + 2 ln q−1
sup
u≥s
|y2,1(u)|+
+
∣∣bc−1∣∣ q2(ln q−1) e−(ln q
−1)s
−Rel + 2 ln q−1
sup
u≥s+1
|y2,1(u)| ,
{
1− |a| (ln q−1) e−(ln q
−1)s
−Rel + 2 ln q−1
}
sup
u≥s
|y2,1(u)| ≤
≤ q
{
1 +
∣∣bc−1∣∣ q(ln q−1) e−(ln q
−1)s
−Rel + 2 ln q−1
}
sup
u≥s+1
|y2,1(u)| .
При достаточно большом s получаем
sup
u≥s
|y2,1(u)| ≤ q
1 +
∣∣bc−1∣∣ q(ln q−1) e−(ln q
−1)s
−Rel + 2 ln q−1
1− |a| (ln q−1) e−(ln q
−1)s
−Rel + 2 ln q−1
sup
u≥s+1
|y2,1(u)| ≤
≤ q
1 +
∣∣bc−1∣∣ q(ln q−1) e−(ln q
−1)s
−Rel + 2 ln q−1
1− |a| (ln q−1) e−(ln q
−1)s
−Rel + 2 ln q−1
sup
u≥s
|y2,1(u)| ,
при больших s коэффициент
q
1 +
∣∣bc−1∣∣ q(ln q−1) e−(ln q
−1)s
−Rel + 2 ln q−1
1− |a| (ln q−1) e−(ln q
−1)s
−Rel + 2 ln q−1
< 1,
поэтому y2,1(u) ≡ 0, т. е.
0 ≡ ȳ2(s) = y2,0(s)− Ûy2(s) = y2(s)− ỹ2(s)− Ûy2(s),
x
(
e−s ln q
−1)
= elsy2(s) = elsỹ2(s) + elsÛy2(s) =
=
x1
(
e−s ln q
−1)
+ x4
(
e−s ln q
−1)
, c 6= q−m+1, m = 1, 2, 3, . . . ,
x2
(
e−s ln q
−1)
+ x4
(
e−s ln q
−1)
, c = q−m+1, m = 1, 2, 3, . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
220 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
или окончательно ( |c| > q )
x (t) =
x1(t) + x4(t), c 6= q−m+1, m = 1, 2, 3, . . . ,
x2(t) + x4(t), c = q−m+1, m = 1, 2, 3, . . . .
Теперь предположим, что |c| = q и c 6= q. В уравнении (2) оценим левую часть при s ≥
≥ s0 :
|y2(s+ 1)| ≤ |y2 (s0 + 1)− y2(s0)|+ |y2(s)|+
s∫
s0
e−(ln q
−1)u(ln q−1)×
×
{
|a| |y2(u)|+ |b|
∣∣c−1∣∣ q |y2(u+ 1)|
}
du ≤
≤ |y2(s0 + 1)− y2(s0)|+ sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+
s∫
s0
e−(ln q
−1)u(ln q−1)×
×
{
|a| sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+ |b| sup
s0≤u≤s
|y2(u+ 1)|
}
du ≤
≤ |y2 (s0 + 1)− y2(s0)|+ sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+
+ |a| e−(ln q−1)s0 sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+ |b| e−(ln q−1)s0 sup
s0+1≤u≤s+1
|y2(u)| .
Для точки s1 из отрезка s0 ≤ s1 ≤ s аналогично получаем
|y2 (s1 + 1)| ≤ |y2 (s0 + 1)− y2(s0)|+ sup
s0≤u≤s1
|y2(u)|+
+ |a| e−(ln q−1)s0 sup
s0≤u≤s1
|y2(u)|+ |b| e−(ln q−1)s0 sup
s0+1≤u≤s1+1
|y2(u)| ≤
≤ |y2 (s0 + 1)− y2(s0)|+ sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+
+ |a| e−(ln q−1)s0 sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+ |b| e−(ln q−1)s0 sup
s0+1≤u≤s+1
|y2(u)| .
Поэтому выполняются соотношения
sup
s0≤s1≤s
|y2 (s1 + 1)| ≤ |y2 (s0 + 1)− y2(s0)|+ sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+
+ |a| e−(ln q−1)s0 sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+ |b| e−(ln q−1)s0 sup
s0+1≤u≤s+1
|y2(u)| ,
sup
s0+1≤u≤s+1
|y2(u)| = sup
s0≤s1≤s
|y2 (s1 + 1)| ≤ |y2 (s0 + 1)− y2(s0)|+ sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. . . 221
+ |a| e−(ln q−1)s0 sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+ |b| e−(ln q−1)s0 sup
s0≤u≤s+1
|y2(u)| ,
sup
s0≤u≤s+1
|y2(u)| ≤ sup
s0≤u≤s0+1
|y2(u)|+ sup
s0+1≤u≤s+1
|y2(u)| ≤ sup
s0≤u≤s0+1
|y2(u)|+
+ |y2 (s0 + 1)− y2(s0)|+ sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+
+ |a| e−(ln q−1)s0 sup
s0≤u≤s
|y2(u)|+ |b| e−(ln q−1)s0 sup
s0≤u≤s+1
|y2(u)| ,
{
1− |b| e−(ln q−1)s0
}
sup
s0≤u≤s+1
|y2(u)| ≤ sup
s0≤u≤s0+1
|y2(u)|+ |y2 (s0 + 1)− y2(s0)|+
+
{
1 + |a| e−(ln q−1)s0
}
sup
s0≤u≤s
|y2(u)| .
При достаточно большом s0 получаем
sup
s0≤u≤s+1
|y2(u)| ≤
sup
s0≤u≤s0+1
|y2(u)|+ |y2 (s0 + 1)− y2 (s0)|
1− |b| e−(ln q−1)s0
+
+
1 + |a| e−(ln q−1)s0
1− |b| e−(ln q−1)s0
sup
s0≤u≤s
|y2(u)| .
Дробь 1 + |a| e−(ln q−1)s0
1− |b| e−(ln q−1)s0
→ 1, s0 → +∞, поэтому существует δ(s0) > 0, δ(s0) → 0, s0 →
+∞, такое, что 1 + |a| e−(ln q−1)s0
1− |b| e−(ln q−1)s0
≤ 1 + δ(s0), и
sup
s0≤u≤s+1
|y2(u)| ≤
sup
s0≤u≤s0+1
|y2(u)|+ |y2 (s0 + 1)− y2(s0)|
1− |b| e−(ln q−1)s0
+ {1 + δ(s0)} sup
s0≤u≤s
|y2(u)| .
Для сокращения записи введем обозначения
sup
s0≤u≤s
|y2(u)| df= g(s),
sup
s0≤u≤s0+1
|y2(u)|+ |y2 (s0 + 1)− y2(s0)|
1− |b| e−(ln q−1)s0
df
=M20
и получим
g(s+ 1) ≤ {1 + δ(s0)} g(s) +M20,
g(s+ 1)− γ ≤ {1 + δ(s0)} (g(s)− γ),
где γ = − M20
δ(s0)
,
g(s+ 1)− γ
e(s+1) ln(1+δ(s0))
≤ {1 + δ(s0)} (g(s)− γ)
e(s+1) ln(1+δ(s0))
=
g(s)− γ
es ln(1+δ(s0))
≤ max
s0≤u≤s0+1
(
g(u)− γ
eu ln(1+δ(s0))
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
222 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
|y2(s)| ≤ sup
s0≤u≤s
|y2(u)| = g(s) ≤M21e
s ln(1+δ(s0)), s ≥ s0.
В уравнении (6) последняя экспоненциальная оценка для y2(s) делает определенным
интеграл
+∞∫
s0
elue−(ln q
−1)u ln q−1
{
ay2(u) + bc−1qy2(u+ 1)
}
du,
т. е. существует предел lim
s→+∞
els(y2(s+1)−y2(s))
df
=Y ∈ C. Как и ранее, для аналитического
решения запишем равенство elsȳ2(s) df
=x1
(
e−s ln q
−1)
. Тогда elsȳ2(s)→ α0, s→ +∞. Кроме
того, |ȳ2(s)| ≤ M22, s ≥ s0, и els (ȳ2(s+ 1)− ȳ2(s)) →
(
c
q − 1
)
α0, s → +∞. Выбирая
α0 =
(
c
q
− 1
)−1
Y, для решения y2,0(s) df
= y2(s)− ȳ2(s) получаем предел
lim
s→+∞
els (y2,0(s+ 1)− y2,0(s)) = 0
и оценку |y2,0(s)| ≤M23e
s ln(1+δ(s0)), s ≥ s0. Устремляя в равенстве
els
(
y2,0(s+ 1)− y2,0(s)
)
− els0
(
y2,0 (s0 + 1)− y2,0(s0)
)
=
=
s∫
s0
e(l−ln q
−1)u ln q−1
{
ay2,0(u) + bc−1qy2,0(u+ 1)
}
du
переменную s→ +∞, в пределе, заменяя s0 снова переменной s, получаем
y2,0 (s+ 1)− y2,0(s) = −e−ls
+∞∫
s
e(l−ln q
−1)u ln q−1
{
ay2,0(u) + bc−1qy2,0(u+ 1)
}
du.
Оценим модуль разности
|y2,0 (s+ 1)− y2,0(s)| ≤
≤
+∞∫
s
e−(ln q
−1)u(ln q−1)
{
|a| |y2,0(u)|+
∣∣bc−1∣∣ q |y2,0(u+ 1)|
}
du ≤
≤
+∞∫
s
e−(ln q
−1)u(ln q−1)
{
|a|M23e
u ln(1+δ(s0)) +
∣∣bc−1∣∣ qM23e
(u+1) ln(1+δ(s0))
}
du =
=
+∞∫
s
e
− ln
(
q−1
1+δ(s0)
)
u
du(ln q−1)
{
|a|+
∣∣bc−1∣∣ q (1 + δ(s0))
}
M23.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. . . 223
Считаем δ(s0) настолько достаточномалым, чтобывыполнялось неравенство q−1
1 + δ(s0)
>
> 1. Для сокращения записи обозначаем λ
df
= ln
(
q−1
1 + δ(s0)
)
> 0 и продолжаем оценку
|y2,0 (s+ 1)− y2,0(s)| ≤M24e
−λs, s ≥ s0.
Отсюда с помощьюпредыдущих рассуждений получаем y2,0(s) = w(s)+O
(
e−λs
)
, s→ +∞,
где w(s) — 1-периодическая непрерывная функция.
Суммируя равенства
y2,0(s+ 1)− y2,0(s) = −e−ls
+∞∫
s
e(l−ln q
−1)u ln q−1
{
ay2,0(u) + bc−1qy2,0(u+ 1)
}
du,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y2,0 (s+ n+ 1)− y2,0 (s+ n) =
= −e−l(s+n)
+∞∫
s+n
e(l−ln q
−1)u ln q−1
{
ay2,0(u) + bc−1qy2,0(u+ 1)
}
du,
получаем
y2,0 (s+ n+ 1)− y2,0(s) =
= −
n∑
j=0
e−l(s+j)
+∞∫
s+j
e(l−ln q
−1)u ln q−1
{
ay2,0(u) + bc−1qy2,0(u+ 1)
}
du.
Устремляя n→ +∞, в пределе находим
w(s) = y2,0(s)−
+∞∑
j=0
e−l(s+j)
+∞∫
s+j
e(l−ln q
−1)u ln q−1
{
ay2,0(u) + bc−1qy2,0(u+ 1)
}
du.
Из непрерывной дифференцируемости и ограниченности решения y2,0(s) следует непре-
рывная дифференцируемость функции w(s).
Условие |c| = q делает возможнымпостроить решение x4(t) с периодической функцией
g0(−s) ≡ w(s). Используем связь между решениями
elsÛy2(s) df
= x4
(
e−s ln q
−1)
= els
{
w(s) +O
(
e−s ln q
−1)}
,Ûy2(s) = w(s) +O
(
e−s ln q
−1)
, s→ +∞.
Для разности решений ȳ2(s) df
= y2,0(s)− Ûy2(s) = O
(
e−λs
)
, s→ +∞, в уравнении
ȳ2(s) =
+∞∑
j=0
e−l(s+j)
+∞∫
s+j
e(l−ln q
−1)u ln q−1
{
aȳ2(u) + bc−1qȳ2(u+ 1)
}
du,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
224 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
которое можно получить, повторив предыдущие рассуждения для решения y2,0(s), оценим
левую часть:
|ȳ2(s)| ≤
+∞∑
j=0
+∞∫
s+j
e−(ln q
−1)u(ln q−1)
{
|a| |ȳ2(u)|+
∣∣bc−1∣∣ q |ȳ2(u+ 1)|
}
du ≤
≤
+∞∑
j=0
+∞∫
s+j
e−(ln q
−1)u(ln q−1)
{
|a| sup
u≥s
|ȳ2(u)|+
∣∣bc−1∣∣ q sup
u≥s
|ȳ2(u+ 1)|
}
du ≤
≤ (ln q−1)
{
|a|+
∣∣bc−1∣∣ q}
+∞∑
j=0
+∞∫
s+j
e−(ln q
−1)udu
sup
u≥s
|ȳ2(u)| =
= e−(ln q
−1)s |a|+
∣∣bc−1∣∣ q
1− q
sup
u≥s
|ȳ2(u)| .
Для s1 ≥ s аналогично получаем
|ȳ2 (s1)| ≤ e−(ln q
−1)s1
|a|+
∣∣bc−1∣∣ q
1− q
sup
u≥s1
|ȳ2(u)| ≤ e−(ln q−1)s |a|+
∣∣bc−1∣∣ q
1− q
sup
u≥s
|ȳ2(u)| ,
поэтому
sup
s1≥s
|ȳ2 (s1)| ≤ e−(ln q
−1)s |a|+
∣∣bc−1∣∣ q
1− q
sup
u≥s
|ȳ2(u)| .
Так как при большом s произведение e−(ln q−1)s |a|+|bc−1|q
1−q < 1, то
0 ≡ ȳ2(s) = y2,0(s)− Ûy2(s) = y2(s)− ȳ2(s)− Ûy2(s),
x
(
e−s ln q
−1)
= elsy2(s) = elsȳ2(s) + elsÛyy2(s) = x1
(
e−s ln q
−1)
+ x4
(
e−s ln q
−1)
или, окончательно ( |c| = q и c 6= q ),
x (t) = x1 (t) + x4 (t) .
В случае c = q число l = 0. Так же, как и в случае |c| = q, c 6= q, получаем неравенство
|y2(s)| ≤M25e
s ln(1+δ(s0)), s ≥ s0.
Из уравнения
y2(s+ h+ 1)− y2(s+ h)− (y2 (s+ 1)− y2(s)) =
=
s+h∫
s
e−(ln q
−1)u ln q−1
{
ay2(u) + bc−1qy2(u+ 1)
}
du,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. . . 225
экспоненциальной оценки для y2(s) и принципа Коши следует существование предела
lim
s→+∞
{y2(s+ 1)− y2(s)}
df
= Y ∈ C. Для решения x2(t) при m = 0 выполняется равенство
x2(t) = t
+∞∑
n=0
βnt
n + ln t
+∞∑
n=0
αnt
n = α0 ln t+O (t ln t) , t→ 0 + .
Поэтому
ỹ2(s)
df
=x2
(
e−s ln q
−1)
= −α0(ln q
−1)s+O
(
se−s ln q
−1)
, s→ +∞,
и
ỹ2(s+ 1)− ỹ2(s) = −α0(ln q
−1) +O
(
se−s ln q
−1)→ −α0(ln q
−1), s→ +∞.
Если выбрать α0 = Y / ln q, то для решения y2,0(s) df
= y2(s)− ỹ2(s) предел
lim
s→+∞
{y2,0(s+ 1)− y2,0(s)} = 0.
Учитывая оценки y2(s) = O
(
es ln(1+δ(s0))
)
и ỹ2(s) = O(s), получаем равенство y2,0(s) =
= O
(
es ln(1+δ(s0))
)
, s→ +∞. Поэтому в интегральном уравнении для y2,0(s)
y2,0(s+ 1)− y2,0(s)− (y2,0 (s0 + 1)− y2,0(s0)) =
=
s∫
s0
e−(ln q
−1)u ln q−1
{
ay2,0(u) + bc−1qy2,0(u+ 1)
}
du
интеграл сходится на полуоси [s0,+∞) . Устремляя в последнем уравнении s → +∞ и
меняя s0 на s, в пределе находим
y2,0 (s+ 1)− y2,0(s) = −
+∞∫
s
e−(ln q
−1)u ln q−1
{
ay2,0(u) + bc−1qy2,0(u+ 1)
}
du.
Оценим модуль разности
|y2,0 (s+ 1)− y2,0(s)| ≤
+∞∫
s
e−(ln q
−1)u(ln q−1)
{
|a| |y2,0(u)|+
∣∣bc−1∣∣ q |y2,0(u+ 1)|
}
du ≤
≤
+∞∫
s
e−(ln q
−1)u(ln q−1)
{
|a|M26e
u ln(1+δ(s0)) +
∣∣bc−1∣∣ qM26e
(u+1) ln(1+δ(s0))
}
du ≤
≤M27e
−λs, s ≥ s0.
Отсюда y2,0(s) = w(s) + O
(
e−λs
)
, s → +∞, где w(s) — 1-периодическая непрерывная
функция. Как и в предыдущих случаях, получаем формулу
w(s) = y2,0(s)−
+∞∑
j=0
+∞∫
s+j
e−(ln q
−1)u ln q−1
{
ay2,0(u) + bc−1qy2,0(u+ 1)
}
du.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
226 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Из непрерывной дифференцируемости и ограниченности решения y2,0(s) следует непре-
рывная дифференцируемость функции w(s).
Условие c = q делает возможным построить решение x4 (t) с периодической функцией
g0(−s) ≡ w(s). Используем связь между решениямиÛy2(s) df
=x4
(
e−s ln q
−1)
= w(s) +O
(
e−s ln q
−1)
, s→ +∞.
Для разности решений ȳ2(s)
df
= y2,0(s) − Ûy2(s) = O
(
e−λs
)
, s → +∞, повторяя рассуж-
дения предыдущего случая |c| = q, c 6= q, доказываем тождество
0 ≡ ȳ2(s) = y2,0(s)− Ûy2(s) = y2(s)− ỹ2(s)− Ûy2(s),
x
(
e−s ln q
−1)
= y2(s) = ỹ2(s) + Ûy2(s) = x2
(
e−s ln q
−1)
+ x4
(
e−s ln q
−1)
или, окончательно (c = q ),
x (t) = x2 (t) + x4 (t) .
Теорема 1 доказана.
Исследуем уравнение
x′(t) = ax(t) + bx(qt) + cx′(qt) + f
(
x(t), x(qt)
)
, (7)
где {a, b, c} ⊂ C, 0 < q < 1, f(0, 0) = 0, и существует неубывающая функция h : [0,+∞)→
→ [0,+∞), h(0) = 0, такая, что∣∣f (x1, x2)− f (y1, y2)
∣∣ ≤ h(r)
(
|x1 − y1|+ |x2 − y2|
)
для всех |xi| ≤ r, |yi| ≤ r, i = 1, 2, в окрестности точки t = 0.
Теорема 2. Если |c| > q, то для каждого непрерывно дифференцируемого решения урав-
нения (7) x(t) = O (tv) , t → 0+, где v определяется из условия cqv−1 = 1, выполняется
равенство
x(t) = tv
{
g
(
ln t
ln q−1
)
+O(t)
}
, t→ 0+, (8)
где g(s) — некоторая непрерывно дифференцируемая периодическая функция с периодом 1.
И обратно, для каждой функции g(s) существует единственное решение уравнения (7) с
асимптотической формулой (8).
Доказательство. Как и в линейном случае, сделаем в уравнении (7) несколько замен
переменных x
(
e−s ln q
−1)
= y (−s) = y1(s) = elsy2(s), где l определяется из равенства
cq−1el = 1, для того чтобы получить уравнение
d
du
{
elu (y2(u+ 1)− y2(u))
}
= elue−(ln q
−1)u
[
(ln q−1)
{
ay2(u) + bc−1qy2(u+ 1)
}
+
+ (ln q−1)e−luf
(
eluy2(u), c−1qeluy2(u+ 1)
) ]
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. . . 227
Предполагая ограниченность y2(u) и учитывая неравенство Rel = ln
(
q
|c|
)
< 0, проинтег-
рируем тождество на полуоси [s,+∞) :
y2(s+ 1)− y2(s) = −e−ls
+∞∫
s
elue−(ln q
−1)u
[
(ln q−1)
{
ay2(u) + bc−1qy2(u+ 1)
}
+
+ (ln q−1)e−luf
(
eluy2(u), c−1qeluy2(u+ 1)
) ]
du.
Для сокращения записи определим функцию
g (u, x1, x2)
df
=(ln q−1)
{
ax1 + bc−1qx2
}
+ (ln q−1)e−luf
(
elux1, c
−1qelux2
)
,
имеющую свойства: g (u, 0, 0) = 0 и для u ≥ s0 ≥ 0, |x1| ≤ r, |x2| ≤ r, |y1| ≤ r, |y2| ≤ r
выполняется неравенство
|g (u, x1, x2)− g (u, y1, y2)| ≤
≤ (ln q−1) (|a|+ h(r)) |x1 − y1|+ (ln q−1) (|b|+ h(r))
∣∣c−1∣∣ q |x2 − y2| ,
где величина s0 определяется из условия
∣∣c−1qels0∣∣ ≤ 1. Тогда
y2(s+ 1)− y2(s) = −e−ls
+∞∫
s
elue−(ln q
−1)ug
(
u, y2(u), y2(u+ 1)
)
du. (9)
Из ограниченности решения y2(s), каки в линейном случае, получаемравенство y2(s) =
= w(s) + O
(
e−(ln q
−1)s
)
, s → +∞, где w(s) — непрерывная 1-периодическая функция, и
формулу
w(s) = y2(s)−
∞∑
m=0
e−l(s+m)
+∞∫
s+m
elue−(ln q
−1)ug
(
u, y2(u), y2(u+ 1)
)
du,
из которой следует непрерывная дифференцируемость w(s).
Примем эту формулу как отправной пункт дальнейших рассуждений, т. е. будем пола-
гать равенство
y2(s) = w(s) +
∞∑
m=0
e−l(s+m)
+∞∫
s+m
elue−(ln q
−1)ug
(
u, y2(u), y2(u+ 1)
)
du, (10)
где w(s) — непрерывно дифференцируемая 1-периодическая функция, интегральным
уравнением для новой искомой функции y2(s).
Для непрерывной периодическойфункции выполняется оценка sup
s∈R
|w(s)| ≤M28. Опре-
делим пространство функций
H
df
=
{
y(s)| y(s) ∈ C [s0,+∞) , sup
s≥s0
|y(s)| ≤M28 + 1
}
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
228 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
и для y2(s) ∈ H — оператор
Ty2(s)
df
=w(s) +
∞∑
m=0
e−l(s+m)
+∞∫
s+m
elue−(ln q
−1)ug
(
u, y2(u), y2(u+ 1)
)
du.
Для y2(s) ∈ H оценим суперпозицию
|Ty2(s)| ≤ |w(s)|+
∞∑
m=0
e−(Rel)(s+m)
+∞∫
s+m
e(Rel)ue−(ln q
−1)u
∣∣g (u, y2(u), y2(u+ 1))
∣∣du ≤
≤M28 +
∞∑
m=0
e−(Rel)(s+m)
+∞∫
s+m
e(Rel)ue−(ln q
−1)uM29du =
= M28 + e−(ln q
−1)s M29
−Rel + ln q−1
1
1− q
≤
≤M28 + e−(ln q
−1)s0 M29
−Rel + ln q−1
1
1− q
, s ≥ s0,
где число M29 не зависит от y2(s). Из последнего неравенства получаем абсолютную и
равномерную сходимость ряда на полуоси s ≥ s0, т. е. непрерывность функции Ty2(s), и
если s0 достаточно велико для выполнения неравенства
e−(ln q
−1)s0 M29
−Rel + ln q−1
1
1− q
≤ 1,
то |Ty2(s)| ≤M28 + 1 и Ty2(s) ∈ H. Для y2,1(s) ∈ H и y2,2(s) ∈ H оценим разность∣∣Ty2,1(s)− Ty2,2(s)∣∣ ≤
≤
∞∑
m=0
e−(Rel)(s+m)
+∞∫
s+m
e(Rel−ln q−1)u
∣∣∣g (u, y2,1(u), y2,1(u+ 1))−
− g (u, y2,2(u), y2,2(u+ 1))
∣∣∣du ≤
≤
∞∑
m=0
e−(Rel)(s+m)
+∞∫
s+m
e(Rel−ln q−1)u {(ln q−1) (|a|+ h (M28 + 1)) |y2,1(u)− y2,2(u)|+
+(ln q−1) (|b|+ h (M28 + 1))
∣∣c−1∣∣ q |y2,1(u+ 1)− y2,2(u+ 1)|
}
du ≤
≤ e−(ln q−1)s 1
−Rel + ln q−1
1
1− q
×
× (ln q−1)
{
(|a|+ h (M28 + 1)) + (|b|+ h (M28 + 1))
∣∣c−1∣∣ q} sup
u≥s0
|y2,1(u)− y2,2(u)| ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. . . 229
≤ e−(ln q−1)s0 1
−Rel + ln q−1
1
1− q
×
× (ln q−1)
{
(|a|+ h (M28 + 1)) + (|b|+ h (M28 + 1))
∣∣c−1∣∣ q} sup
u≥s0
|y2,1(u)− y2,2(u)| .
Отсюда имеем
sup
s≥s0
|Ty2,1(s)− Ty2,2(s)| ≤ e−(ln q
−1)s0 1
−Rel + ln q−1
1
1− q
(ln q−1)×
×
{
(|a|+ h (M28 + 1)) + (|b|+ h (M28 + 1))
∣∣c−1∣∣ q}
× sup
u≥s0
|y2,1(u)− y2,2(u)| .
Если s0 достаточно велико для выполнения неравенства
e−(ln q
−1)s0 1
−Rel + ln q−1
1
1− q
(ln q−1)
{
(|a|+ h (M28 + 1)) + (|b|+ h (M28 + 1))
∣∣c−1∣∣ q} < 1
то T : H → H — оператор сжатия относительно равномерной нормы.
Последовательность y2,0(s) = w(s), y2,n(s) = Tnw(s), n ≥ 0, фундаментальна и
sup
s≥s0
∣∣y2,n(s)− y2,∞(s)
∣∣→ 0, n→ +∞,
где y2,∞(s) ∈ H. Следовательно, y2,∞(s) — решение уравнения (10).
Предположим, что существует еще одно ограниченное решение ȳ2(s) уравнения (10).
Тогда
sup
s≥s0
|y2,∞(s)|+ sup
s≥s0
|ȳ2(s)| ≤M30
и
∣∣y2,∞(s)− ȳ2(s)
∣∣ ≤ ∞∑
m=0
e−(Rel)(s+m)×
×
+∞∫
s+m
e(Rel−ln q−1)u∣∣g (u, y2,∞(u), y2,∞(u+ 1))− g
(
u, ȳ2(u), ȳ2(u+ 1)
)∣∣ du ≤
≤ e−(ln q−1)s0 1
−Rel + ln q−1
1
1− q
×
× (ln q−1)
{
(|a|+ h (M30)) + (|b|+ h (M30))
∣∣c−1∣∣ q} sup
u≥s0
|y2,∞(u)− ȳ2(u)| ,
sup
s≥s0
|y2,∞(s)− ȳ2(s)| ≤ e−(ln q
−1)s0 1
−Rel + ln q−1
1
1− q
×
× (ln q−1)
{
(|a|+ h (M30)) + (|b|+ h (M30))
∣∣c−1∣∣ q} sup
u≥s0
|y2,∞(u)− ȳ2(u)| .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
230 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Если s0 велико и
e−(ln q
−1)s0 1
−Rel + ln q−1
1
1− q
(ln q−1)
{
(|a|+ h (M30)) + (|b|+ h (M30))
∣∣c−1∣∣ q} < 1,
то y2,∞(s) ≡ ȳ2(s).
Из (10) следует непрерывная дифференцируемость решения y2,∞(s). Если от тожде-
ства (10) перейти к равенству (9) и продифференцировать его, то можно убедиться, что
формула x
(
e−s ln q
−1)
= elsy2,∞(s) определяет решение уравнения (7).
Теорема 2 доказана.
Литература
1. Kato T., McLeod J. B. The functional-differential equation y′(x) = ay(λx) + by(x) // Bull. Amer. Math. Soc. –
1971. – 77. – P. 89 – 937.
2. de Bruijn N. G. The difference-differential equation F ′(x) = eαx+βF (x − 1) I, II // Nederl. Akad. Wetensch.
Proc. Ser. A 56. Indag. Math. – 1953. – 15. – P. 449 – 464.
3. Frederickson P. O. Series solutions for certain functional-differential equations // Lect. Notes. Math. – 1971. –
243. – P. 249 – 254.
4. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Введение в теорию функциональных уравнений. – Киев: Наук. думка,
1974. – 192 с.
5. Дерфель Г. А. Вероятностный метод исследования одного класса дифференциально-функциональных
уравнений // Укр. мат. журн. – 1989. – 41, № 10. – С. 1483 – 1491.
6. Полищук В. М., Шарковский А. Н. Представление решений линейных дифференциально-разностных
уравнений нейтрального типа // Дифференц. уравнения. – 1973. – 9, № 9. – С. 1627 – 1645.
7. Frederickson P. O. Global solutions to certain nonlinear functional differential equations // J. Math. Anal. Appl. –
1971. – 33. – P. 355 – 358.
8. Gumovski I., Mira C. Recurrences and discrete dynamic systems // Lect. Notes. Math. – 1980. – 809. – 267 p.
9. Бельский Д. В., Пелюх Г. П. Об асимптотических свойствах решений одного дифференциально-
функционального уравнения с линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2013. –
16, № 3. – С. 291 – 313.
10. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-
функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобра-
зованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. – 2012. – 15, № 4. – С. 466 – 493.
11. Пелюх Г. П. Об асимптотических свойствах решений систем нелинейных дифференциально-функцио-
нальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 2003. – 38, № 1. – С. 1 – 5.
Получено 15.11.15,
после доработки — 26.09.17
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2018, т. 21, № 2
|