Зображення напівгруп ітераціями відображень інтервалу
Описаны полугруппы, порожденные двумя идемпотентами, которые имеют точные представления непрерывными отображениями интервала в себя. Для каждой из этих полугрупп приведено такое представление....
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177204 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Зображення напівгруп ітераціями відображень інтервалу / М.В. Плахотник // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 3. — С. 365-377. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177204 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772042021-02-13T01:25:50Z Зображення напівгруп ітераціями відображень інтервалу Плахотник, М.В. Описаны полугруппы, порожденные двумя идемпотентами, которые имеют точные представления непрерывными отображениями интервала в себя. Для каждой из этих полугрупп приведено такое представление. We describe semigroups that are generated by two idempotents and have faithful representations in continuous maps of an interval into itself. For each such a semigroup, we give the above representation. 2007 Article Зображення напівгруп ітераціями відображень інтервалу / М.В. Плахотник // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 3. — С. 365-377. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177204 519.44 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Описаны полугруппы, порожденные двумя идемпотентами, которые имеют точные представления непрерывными отображениями интервала в себя. Для каждой из этих полугрупп приведено такое представление. |
| format |
Article |
| author |
Плахотник, М.В. |
| spellingShingle |
Плахотник, М.В. Зображення напівгруп ітераціями відображень інтервалу Нелінійні коливання |
| author_facet |
Плахотник, М.В. |
| author_sort |
Плахотник, М.В. |
| title |
Зображення напівгруп ітераціями відображень інтервалу |
| title_short |
Зображення напівгруп ітераціями відображень інтервалу |
| title_full |
Зображення напівгруп ітераціями відображень інтервалу |
| title_fullStr |
Зображення напівгруп ітераціями відображень інтервалу |
| title_full_unstemmed |
Зображення напівгруп ітераціями відображень інтервалу |
| title_sort |
зображення напівгруп ітераціями відображень інтервалу |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177204 |
| citation_txt |
Зображення напівгруп ітераціями відображень інтервалу / М.В. Плахотник // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 3. — С. 365-377. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT plahotnikmv zobražennânapívgrupíteracíâmivídobraženʹíntervalu |
| first_indexed |
2025-07-15T15:14:23Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:14:23Z |
| _version_ |
1837726396137340928 |
| fulltext |
УДК 519 . 44; 517 . 9
ЗОБРАЖЕННЯ НАПIВГРУП IТЕРАЦIЯМИ ВIДОБРАЖЕНЬ IНТЕРВАЛУ
М. В. Плахотник
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64
We describe semigroups that are generated by two idempotents and have faithful representations in conti-
nuous maps of an interval into itself. For each such a semigroup, we give the above representation.
Описаны полугруппы, порожденные двумя идемпотентами, которые имеют точные представ-
ления непрерывными отображениями интервала в себя. Для каждой из этих полугрупп приве-
дено такое представление.
1. Вступ. Неперервнi динамiчнi системи, породженi вiдображеннями iнтервалу, почали
iнтенсивно вивчати з 1964 року завдяки вiдомiй теоремi Шарковського. Iдемпотенти (вiд-
ображення, для яких виконується умова f2 = f ), що вiдображають iнтервал у себе, опи-
сано в [1].
Теорема 1 [1]. Вiдображення f ∈ C0([0, 1], [0, 1]) є iдемпотентом тодi i лише тодi,
коли iснують такi дiйснi числа a i b, a ≤ b, що вiдображення f вiдображає промiжок
[0, 1] у промiжок [a, b] i для кожного x ∈ [a, b] має мiсце рiвнiсть f(x) = x.
Задачу про вивчення властивостей скiнченних напiвгруп вiдображень iнтервалу в се-
бе розглянуто, зокрема, в [2]. В роботi [3] наведено велику кiлькiсть прикладiв того, як
крайовi задачi математичної фiзики зводяться до рiзницевих рiвнянь, а останнi легко зво-
дяться до динамiчних систем. В [4] показано, що вiдображення зв’язного замкненого одно-
вимiрного компактного многовиду, яке має скiнченну напiвгрупу iтерацiй, топологiчно
спряжене або з поворотом кола на рацiональний кут, або з вiдображенням замкненого
iнтервалу.
Теорема 2 [4]. Для неперервного вiдображення f iнтервалу в себе з тотожностi
fk+m(x) ≡ fk(x) для деяких чисел m та k випливає тотожнiсть fk+2(x) ≡ fk(x).
2. Скiнченнi напiвгрупи. Позначення та домовленостi. Нехай S — скiнченна напiвгру-
па, що породжена двома твiрними f та g i може бути зображена iтерацiями неперервних
вiдображень замкненого iнтервалу в себе. Далi вважатимемо, що вiдображення f та g є
iдемпотентами.
Оскiльки напiвгрупа S є скiнченною, то її циклiчнi напiвгрупи, породженi елемента-
ми fg та gf , також скiнченнi. Тому iснують числа n1 та k1, для яких (fg)n1 = (fg)n1+k1 , а
також числа n2 та k2, для яких (gf)n2 = (gf)n2+k2 . Виберемо числа n1, k1, n2 та k2 наймен-
шими з можливих. Будемо говорити, що напiвгрупа S має показниковий тип (n1, k1, n2,
k2). Таким чином, для довiльної напiвгрупи S визначено функцiї n1(S), k1(S), n2(S) та
k2(S). Задачу опису напiвгруп, породжених iдемпотентами, якi зображаються iтерацiями
неперервних вiдображень замкненого iнтервалу, будемо розв’язувати для кожного показ-
никового типу окремо.
c© М. В. Плахотник, 2007
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3 365
366 М. В. ПЛАХОТНИК
Не всi четвiрки натуральних чисел можуть бути показниковим типом деякої напiвгру-
пи композицiй двох iдемпотентiв, якi вiдображають замкнений iнтервал в себе. Наприк-
лад, з теореми 2 випливає, що {k1, k2} ⊂ {1, 2}.
Нехай k1(S) = 1. Тодi для деякого натурального числа n виконується рiвнiсть (fg)n =
= (fg)n+1. Домножаючи її на g злiва та на f справа, отримуємо (gf)n+1 = (gf)n+2, звiдки
випливає k2(S) = 1. Аналогiчно, з того, що k2(S) = 1, випливає k1(S) = 1. З наведених
мiркувань i теореми 2 випливає наступна теорема.
Теорема 3. З точнiстю до перейменування твiрних напiвгрупа, породжена двома
iдемпотентами, що зображається композицiями неперервних вiдображень замкненого
iнтервалу в себе, має один з таких показникових типiв:
(n, 1, n, 1), (n + 1, 1, n, 1), (n, 2, n, 2) або (n, 2, n + 1, 2), n ∈ N.
Звiсно, крiм спiввiдношень вигляду (fg)k = (fg)m та (gf)k = (gf)m можуть бути й iн-
шi спiввiдношення. Напiвгруповi спiввiдношення, якi не суперечать показниковому типу
напiвгрупи та не є наслiдками з нього, називатимемо додатковими. Оскiльки твiрнi еле-
менти напiвгрупи є iдемпотентами, то кожне з додаткових спiввiдношень можна подати
як прирiвнювання двох напiвгрупових слiв, кожне з яких має вигляд f(gf)m, (gf)n, g(fg)k
або (fg)l для деяких чисел m, n, k, l. Для кожного з чотирьох можливих показникових ти-
пiв напiвгруп запишемо всi можливi додатковi спiввiдношення, дiючи таким чином. На-
приклад, взявши в напiвгрупi показникового типу (n, 1, n, 1) рiвнiсть f(gf)m = (gf)l,
переконаємось, що l ≤ n та m ≤ n, iнакше їх можна зменшити внаслiдок показни-
кового типу напiвгрупи. Домноживши рiвнiсть f(gf)m = (gf)l на g злiва, отримаємо
(gf)m+1 = (gf)l, звiдки m + 1 ≥ n та l ≥ n, бо iнакше число n1(S) або n2(S) вiдповiдно
можна зменшити, що суперечитиме показниковому типу напiвгрупи. Тому l = n, а m = n
або m = n − 1. Аналогiчнi дiї можна виконати з усiма можливими типами напiвгрупо-
вих слiв i для всiх можливих показникових типiв напiвгруп. У роботi ми не наводитимемо
вiдповiдних викладок через їх тривiальнiсть та громiздкiсть, а формулюватимемо лише
списки можливих додаткових спiввiдношень для кожного типу напiвгруп.
Для неперервних вiдображень p та q пiд добутком pq розумiтимемо композицiю q(p),
тобто спершу на аргумент дiятиме перший множник, а потiм другий. Замiсть того щоб го-
ворити, що графiк вiдображення проходить через точку, говоритимемо, що вiдображення
проходить через точку.
3. Показниковий тип напiвгрупи (n, 1, n, 1). 3.1. Додатковi спiввiдношення.
Лема 1. Нехай напiвгрупа S має показниковий тип (n, 1, n, 1). Тодi можливими спiв-
вiдношеннями можуть бути лише такi 16 спiввiдношень:
v1 : f(gf)n−1 = f(gf)n, v2 : f(gf)n−1 = (gf)n, v3 : f(gf)n = (gf)n,
v4 : f(gf)n−1 = g(fg)n−1, v5 : f(gf)n−1 = g(fg)n, v6 : f(gf)n = g(fg)n−1,
v7 : f(gf)n = g(fg)n, v8 : f(gf)n−1 = (fg)n, v9 : f(gf)n = (fg)n,
v10 : (gf)n = g(fg)n−1, v11 : (gf)n = g(fg)n, v12 : (gf)n−1 = (fg)n,
v13 : (gf)n = (fg)n, v14 : g(fg)n−1 = g(fg)n, v15 : g(fg)n−1 = (fg)n,
v16 : g(fg)n = (fg)n,
iмплiкацiї мiж якими можна подати у виглядi графа
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
ЗОБРАЖЕННЯ НАПIВГРУП IТЕРАЦIЯМИ ВIДОБРАЖЕНЬ IНТЕРВАЛУ 367
v1 ← v8 → v9 � v11 ← v10 → v14 v2
↑ ↑ ↑ ↓
v4 → v5 → v7 � v13 ← v6 ← v12 → v1
↓ ↓ ↓ ↓
v14 v2 → v3 � v16 ← v15 → v14,
тобто стрiлка з vi до vj у графi означає, що з iснування в напiвгрупi рiвностi vi випли-
ває, що в нiй є рiвнiсть vj .
Зауважимо, що цей граф не є планарним, тому для наочностi деяким додатковим спiв-
вiдношенням (v1, v2, v14) вiдповiдають двi рiзнi вершини цього графа.
Зауважимо, що в лемi 1 не йдеться про повноту перелiку iмплiкацiй. Повнота не буде
використовуватись при доведеннi основного результату роботи. Доведемо кiлька iмплi-
кацiй.
v2 → v16. Справдi, якщо f(gf)n−1 = (gf)n, то, помноживши на g справа, отримаємо
f(gf)n−1g = (gf)ng, тобто (fg)n = g(fg)n.
v4 → v5. Нехай f(gf)n−1 = g(fg)n−1. Зауважимо, що кожна з частин рiвностi не змi-
нюється при множення на f та при множеннi на g злiва та справа. Тодi маємо ланцюг
рiвностей f(gf)n−1 = g(fg)n−1 = g(fg)n−1fg = g(fg)n, звiдки f(gf)n−1 = g(fg)n.
v7 → v13. Нехай виконується рiвнiсть f(gf)n = g(fg)n. Помноживши цю рiвнiсть
на f злiва, отримаємо f(gf)n = (fg)n+1, звiдки f(gf)n = (fg)n, а помноживши рiвнiсть
f(gf)n = g(fg)n на g злiва, одержимо (gf)n+1 = g(fg)n, звiдки (gf)n = g(fg)n. З остан-
ньої рiвностi та рiвностi f(gf)n = (fg)n маємо (gf)n = (fg)n.
Наявнiсть решти iмплiкацiй для всiх показникових типiв доводиться аналогiчно. Ос-
кiльки граф додаткових спiввiдношень для показникового типу (n, 1, n, 1) є досить склад-
ним i мiстить багато вершин, то виписування можливих напiвгруп цього показникового
типу розiб’ємо на природнi частини.
3.2. Точнi зображення напiвгруп показникового типу (n, 1, n, 1) неперервними вi-
дображеннями iнтервалу, якi не мають спiльних нерухомих точок. Така напiвгрупа не
може мати додатковi спiввiдношення вигляду a(f, g)f = b(f, g)g, де a та b — деякi на-
пiвгруповi слова. Доведемо це.
За теоремою 1 образи вiдображень f та g збiгаються з їх множинами нерухомих то-
чок. Оскiльки цi вiдображення не мають спiльних нерухомих точок, то їх образи не пе-
ретинаються, звiдки рiвнiсть вигляду a(f, g)f = b(f, g)g не може виконатись у жоднiй
точцi, i, тим паче, не може бути напiвгруповою тотожнiстю.
Лема 2. Нехай напiвгрупа показникового типу (n, 1, n, 1), породжена iдемпотента-
ми, зображається вiдображеннями iнтервалу, якi не мають спiльних нерухомих точок.
Тодi мiж додатковими спiввiдношеннями є iмплiкацiї, якi можна зобразити у виглядi
графа v14 ← v15 → v3 � v16 ← v2 → v1.
Зауважимо, що рiвностi v14 та v15 отримуються з рiвностей v1 та v2 вiдповiдно простим
перейменуванням твiрних напiвгрупи. Це зауваження та наведений вище граф дозволя-
ють сформулювати список можливих напiвгруп.
Лема 3. Нехай напiвгрупа показникового типу (n, 1, n, 1), породжена iдемпотента-
ми, зображається вiдображеннями iнтервалу, якi не мають спiльних нерухомих точок.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
368 М. В. ПЛАХОТНИК
Тодi ця напiвгрупа є однiєю з наведеного нижче списку:
S1(n) = < f, g >, S2(n) =< f, g| v14 >,
S3(n) = < f, g| v3, v16 >, S4(n) = < f, g| v1, v14 >,
S5(n) = < f, g| v15 >, S6(n) = < f, g| v2, v15 > .
3.3. Виконуються умови v7 та v13. Рiвнiсть v13 : (gf)n = (gf)n означає, що iтерацiї
вiдображень gf та fg асимптотично збiгаються. Якщо в попередньому пунктi ми розгля-
дали напiвгрупи, породженi вiдображеннями, якi не мають спiльних нерухомих точок, то
тут розглянемо вiдображення, якi мають єдину спiльну нерухому точку, до того ж асимп-
тотично iтерацiї вiдображень fg та gf будуть тотожно дорiвнювати цiй спiльнiй нерухо-
мiй точцi.
З графа, наведеного в лемi 1, маємо, що якщо в напiвгрупi виконується спiввiдношен-
ня v7, то виконуються i спiввiдношення v3, v9, v11, v16.
З транзитивностi вiдношення рiвностi можемо отримати кiлька тверджень про iмплi-
кацiї мiж додатковими спiввiдношеннями в напiвгрупi, в якiй є спiввiдношення v7: 1) якщо
в напiвгрупi виконуються додатковi спiввiдношення v1 та v7, то в цiй напiвгрупi виконую-
ться спiввiдношення v5; 2) якщо в напiвгрупi виконуються спiввiдношення v2 та v11, то в
цiй напiвгрупi виконується спiввiдношення v5; 3) якщо в напiвгрупi виконуються спiввiд-
ношення v14 та v7, то в цiй напiвгрупi виконується спiввiдношення v6.
Лема 4. Якщо графiки (fg)n та (gf)n є однiєю i тiєю ж прямою, то граф додаткових
спiввiдношень напiвгрупи, утвореної композицiями вiдображень f та g, має вигляд
v4 → v2 � v5 � v8 � v1 → v3 → v7 → v9
↑ ↓
v4 → v15 � v6 � v10 � v14 → v16 ← v13 ← v11.
Лема 5. Нехай у напiвгрупi S виконуються спiввiдношення v2 та v15. Тодi в цiй напiв-
групi виконується спiввiдношення v4.
Лема 6. Якщо скiнченна напiвгрупа, породжена iдемпотентами, зображається ком-
позицiями вiдображень iнтервалу, графiки яких мають єдину спiльну точку, i iтерацiї
кожного з твiрних асимптотично сталi, то напiвгрупа є однiєю з напiвгруп S7(n) =
= < f, g| v4 >, S8(n) = < f, g| v2 >= < f, g| v6 >, S9(n) = < f, g| v3 >.
3.4. Умови v7 та v13 не виконуються, а умови v9 та v11 виконуються. Зауважимо, що
цей випадок вичерпує всi напiвгрупи показникового типу (n, 1, n, 1), якi ще не виписа-
нi. Оскiльки умови v9, v11 i v16, v3 вiдповiдно отримуються одна з одної перейменуванням
твiрних, то не принципово, чи клас напiвгруп, в яких умови v7 та v13 не виконуються, а
умови v9 та v11 виконуються, збiгається з класом напiвгруп, в яких умови v7 та v13 вико-
нуються, а умови v9 та v11 не виконуються. Крiм того, якщо не виконується жодна з умов
v3, v7, v9, v11, v13, v16, то можуть виконуватись лише умови v1 та v14, а такi напiвгрупи
описано серед тих, якi можуть бути зображенi вiдображеннями, що не мають спiльних
нерухомих точок.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
ЗОБРАЖЕННЯ НАПIВГРУП IТЕРАЦIЯМИ ВIДОБРАЖЕНЬ IНТЕРВАЛУ 369
Лема 7. 1. Якщо в напiвгрупi виконуються спiввiдношення v3 та v11, то в нiй викону-
ється спiввiдношення v7. 2. Якщо в напiвгрупi виконуються спiввiдношення v3 та v11,
то в нiй виконується спiввiдношення v7. 3. Якщо в напiвгрупi виконуються спiввiдно-
шення v1 та v9, то в нiй виконується спiввiдношення v8.
Лема 8. Якщо скiнченна напiвгрупа, породжена iдемпотентами, є такою, що додат-
кове спiввiдношення v7 не виконується, а спiввiдношення v9 виконується, то граф до-
даткових спiввiдношень є таким: v1 ↔ v8 → v9 � v11 ← v10 ↔ v14.
Лема 9. Якщо скiнченна напiвгрупа, породжена iдемпотентами, є такою, що додат-
кове спiввiдношення v7 не виконується, а спiввiдношення v9 виконується, то напiвгру-
па є однiєю з напiвгруп S10(n) = < f, g| v9 >, S11(n) = < f, g| v8 > = < f, g| v10 >,
S12(n) = < f, g| v8, v10 >.
4. Показниковий тип напiвгрупи (n + 1, 1, n, 1).
Лема 10. Нехай напiвгрупа має показниковий тип (n + 1, 1, n, 1). Тодi можливими
додатковими спiввiдношеннями можуть бути лише 6 спiввiдношень:
v1 : g(fg)n = (fg)n+1, v2 : g(fg)n+1 = (fg)n+1, v3 : g(fg)n = f(gf)n,
v4 : g(fg)n = (gf)n, v5 : (fg)n+1 = (gf)n, v6 : f(gf)n = (gf)n.
Лема 11. Iмплiкацiї мiж спiввiдношеннями v1 − v6 можна подати у виглядi графа
v3 → v5 → v2 � v1 � v6
↓
v4
.
Зауважимо, що з виконання рiвностей v4 та v6 випливає рiвнiсть v3.
Лема 12. Якщо скiнченна напiвгрупа показникового типу (n + 1, 1, n, 1), породжена
iдемпотентами, зображається композицiями вiдображень iнтервалу, то напiвгрупа є
однiєю з напiвгруп S13(n) = < g, f >, S14(n) = < g, f | v2 >, S15(n) = < f, g| v3 >,
S16(n) = < f, g| v4 >.
5. Показниковий тип напiвгрупи (n, 2, n, 2) та (n, 2, n + 1, 2).
Лема 13. Нехай напiвгрупа S має показниковий тип (n, 2, n, 2). Тодi можливими додат-
ковими спiввiдношеннями можуть бути лише 2 спiввiдношення: v1 : f(gf)n−1 = f(gf)n+1,
v2 : g(fg)n−1 = g(fg)n+1.
Лема 14. Нехай напiвгрупа показникового типу (n, 2, n, 2), породжена iдемпотента-
ми, зображається вiдображеннями iнтервалу, якi не мають спiльних нерухомих точок.
Тодi ця напiвгрупа є однiєю з напiвгруп S17(n) = < g, f | >, S18(n) = < g, f | v1 > або
S19(n) = < g, f | v1, v2 >.
Лема 15. Напiвгрупа S показникового типу (n, 2, n+1, 2) не може мати додаткових
спiввiдношень.
Пiдсумовуючи викладене, можемо записати 20 серiй напiвгруп, якi вичерпуватимуть
всi напiвгрупи, породженi двома iдемпотентами, що можуть бути точно зображенi ком-
позицiями неперервних вiдображень.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
370 М. В. ПЛАХОТНИК
Теорема 4. Нехай скiнченна напiвгрупа, породжена iдемпотентами, зображається
вiдображеннями iнтервалу. Тодi ця напiвгрупа є однiєю з наведеного нижче списку:
S1(n) = < f, g|(fg)n = (fg)n+1, (gf)n = (gf)n+1 >,
S2(n) = < f, g| g(fg)n−1 = g(fg)n >,
S3(n) = < f, g| f(gf)n = (gf)n, g(fg)n = (fg)n >,
S4(n) = < f, g| f(gf)n−1 = f(gf)n, g(fg)n−1 = g(fg)n >,
S5(n) = < f, g| g(fg)n−1 = (fg)n, (fg)n = (fg)n+1, (gf)n = (gf)n+1 >,
S6(n) = < f, g| f(gf)n−1 = (gf)n, g(fg)n−1 = (fg)n (fg)n = (fg)n+1, (gf)n = (gf)n+1 >,
S7(n) = < f, g| f(gf)n−1 = g(fg)n−1, (gf)n = (fg)n >,
S8(n) = < f, g| f(gf)n−1 = (gf)n, (gf)n = (fg)n >,
S9(n) = < f, g| f(gf)n = (gf)n, (gf)n = (fg)n >,
S10(n) = < f, g| f(gf)n = (fg)n, (gf)n = (gf)n+1 >,
S11(n) = < f, g| f(gf)n−1 = (fg)n, (gf)n = (gf)n+1, (fg)n = (fg)n+1 >,
S12(n) = < f, g|f(gf)n−1 = (fg)n, (gf)n = g(fg)n−1, (gf)n = (gf)n+1, (fg)n = (fg)n+1 >,
S13(n) = < g, f |(fg)n+1 = (fg)n+2, (gf)n = (gf)n+1 >,
S14(n) = < g, f | g(fg)n+1 = (fg)n+1, (gf)n = (gf)n+1 >,
S15(n) = < f, g| g(fg)n = f(gf)n, (fg)n+1 = (fg)n+2, (gf)n = (gf)n+1 >,
S16(n) = < f, g| g(fg)n = (gf)n >,
S17(n) = < g, f |(fg)n = (fg)n+2, (gf)n = (gf)n+2 >,
S18(n) = < g, f | f(gf)n−1 = f(gf)n+1 >,
S19(n) = < g, f | f(gf)n−1 = f(gf)n+1, g(fg)n−1 = g(fg)n+1 >,
S20(n) = < g, f | (fg)n = (fg)n+2 >.
Нижче ми покажемо, як саме кожна з цих напiвгруп зображається неперервними вiд-
ображеннями. Зауважимо, що для рiзних n та m напiвгрупи Si(n) та Sj(n) неiзоморфнi,
оскiльки в напiвгрупi Si(n) число n є найменшим, для якого виконується умова (fg)n =
= (fg)n+k або (gf)n = (gf)n+k для деякого k. Тому сформульована вище теорема справдi
описує всi скiнченнi напiвгрупи, породженi двома iдемпотентами, якi зображаються не-
перервними вiдображеннями iнтервалу.
6. Точнi зображення серiй напiвгруп. Доведення того, що кожна з 20 серiй напiвгруп
може бути зображена неперервними вiдображеннями, буде зводитись до того, що для
кожної з цих серiй ми явно запишемо однопараметричну сiм’ю вiдображень, що точно
зображатиме кожну з напiвгруп серiї при вiдповiдному значеннi параметра.
Лема 16. Напiвгрупа S5(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Нехай f та g вiдображають вiдрiзок [0, 128] в себе.
f(x)
g(x)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
ЗОБРАЖЕННЯ НАПIВГРУП IТЕРАЦIЯМИ ВIДОБРАЖЕНЬ IНТЕРВАЛУ 371
Позначимо δ =
32
n
, n > 0. Нехай вiдображення f проходить через точки (0, 0), (32,
32), (64 − δ, δ), (64 + δ, δ), (96, 32), (128, 32), а вiдображення g — через точки (0, 64 + δ),
(32− δ, 96), (32, 96), (64, 64), (96, 96), (128, 96).
На рисунку вертикальнi пунктирнi вiдрiзки вiдповiдають прямим x = 32, x = 64 та
x = 96, а горизонтальнi пунктирнi вiдрiзки — прямим y = 64 та y = 96.
Запишемо вiдображення gf . Почнемо з промiжку [0, 32− δ], на якому вiдображення g
є лiнiйним i вiдображає вiдрiзок [0, 32− δ] у вiдрiзок [64 + δ, 96], на якому вiдображення f
є лiнiйним. Тому вiдображення gf на вiдрiзку [0, 32− δ] є лiнiйним. Знайдемо значення gf
на кiнцях вказаного вiдрiзка: (gf)(0) = f(64+ δ) = δ, (gf)(32− δ) = f(96) = 32. Оскiльки
вiдображення g є сталим на промiжку [32− δ, 32], то вiдображення gf також буде сталим
на цьому промiжку i дорiвнюватиме 32 (з неперервностi вiдображення gf у точцi 32− δ).
Вiдрiзок [32, 64] пiд дiєю вiдображення g переходить у вiдрiзок [64, 96], на якому вiд-
ображення f має злам у точцi 64 + δ. Оскiльки вiдображення g має кутовий коефiцiєнт
−1 на вiдрiзку [32, 64] i g(64) = 64, то g(64 − δ) = 64 + δ i вiдображення gf є лiнiйним на
вiдрiзку [32, 64 − δ], до того ж (gf)(64 − δ) = δ. Оскiльки для кожного x ∈ [64 − δ, 64]
виконується умова g(x) ∈ [64, 64 + δ], а вiдображення f є сталим на вiдрiзку [64, 64 + δ],
то (gf)(x) = δ для кожного x ∈ [64− δ, 64].
Оскiльки на вiдрiзку [64, 96] виконується тотожнiсть g(x) ≡ x, то вiдображення gf
збiгається з вiдображенням f на цьому вiдрiзку. Таким чином, вiдображення gf проходить
через точки (0, 0), (32− δ, 32), (32, 32), (64− δ, δ), (64 + δ, δ), (96, 32), (128, 32).
Встановимо, через якi точки проходить кожна з iтерацiй вiдображення gf . Оскiльки
образом вiдрiзка [0, 128] при дiї цього вiдображення є [0, 32], а на вiдрiзку [0, 32] вiдобра-
ження gf проходить через точки (0, 0), (32 − δ, 32), (32, 32), то можна сказати, що за
кожну iтерацiю кожна точка (x, y) графiка вiдображення (gf)k або пiднiмається на δ,
якщо y ≤ 32− δ, або y набуває значення 32 i при подальших iтерацiях не змiнюється.
Зауважимо, що δ пiдiбрано таким чином, що 32/δ є цiлим числом. Тому довжина гори-
зонтального вiдрiзка в правому кiнцi промiжку [0, 32], яка дорiвнює δ для вiдображення
gf , дорiвнює kδ для вiдображення (gf)k, а на вiдрiзку [32 − kδ, 32] графiк вiдображення
(gf)k є паралельним до прямої y = x. Зокрема, (gf)n−1(0) = 32− δ та (gf)n(0) = 32, вiд-
ображення (gf)n−1 проходить через точки (0, 32− δ), (δ, 32), (64− 2δ, 32), (64− δ, 32− δ),
(64 + δ, 32− δ), (64 + 2δ, 32) та (128, 32), а (gf)n ≡ 32.
gf (gf)n−1 (gf)n
Тепер знайдемо вiдображення fg. Оскiльки f(x) ≡ x на вiдрiзку [0, 32], то вiдобра-
ження fg збiгається з вiдображенням g на цьому вiдрiзку.
З огляду на те, що вiдображення f має кутовий коефiцiєнт −1 на вiдрiзку [32, 64 − δ]
та f(32) = 32, маємо f(32 + δ) = 32− δ. Оскiльки при цьому вiдображення g є сталим на
вiдрiзку [32− δ, 32], то вiдображення fg тотожно дорiвнює 64 на вiдрiзку [32, 32 + δ].
Далi, внаслiдок того, що вiдображення f вiдображає вiдрiзок [32 + δ, 64− δ] у вiдрiзок
[δ, 32−δ], на якому вiдображення g є лiнiйним, вiдображення fg також є лiнiйним на цьому
вiдрiзку. Маємо (fg)(64 − δ) = g(δ) = 2δ. Оскiльки вiдображення f стале на вiдрiзку
[64− δ, 64 + δ], то (fg)(x) ≡ 2δ на цьому вiдрiзку.
З огляду на те, що вiдображення f має кутовий коефiцiєнт 1 на вiдрiзку [64 + δ, 96]
i f(96) = 32, маємо f(96 − δ) = 32 − δ. Звiдси отримуємо, що f вiдображає вiдрiзок
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
372 М. В. ПЛАХОТНИК
[64 + δ, 96 − δ] у вiдрiзок [2δ, 32 − δ], на якому вiдображення g є лiнiйним. Крiм того,
(fg)(96− δ) = g(32− δ) = 96, тому на вiдрiзку [64− δ, 96− δ] вiдображення fg проходить
через точки (64− δ, 2δ), (64 + δ, 2δ), (96− δ, 32).
Оскiльки вiдображення f переводить вiдрiзок [96−δ, 128] у вiдрiзок [32−δ, 32], на яко-
му вiдображення g тотожно дорiвнює 96, то вiдображення fg також тотожно дорiвнює
96 на вiдрiзку [96 − δ, 128], звiдки випливає, що вiдображення fg проходить через точки
(0, 64 + δ), (32− δ, 96), (36, 96), (64− δ, 64 + 2δ), (64 + δ, 64 + 2δ), (96− δ, 96), (128, 96).
Так само, як iтерацiї вiдображення gf , кожна точка (x, y) графiка iтерацiй вiдобра-
ження fg або пiднiмається на δ, якщо y ≤ 96, або y набуває значення 96.
fg (fg)n−1 (fg)n
Оскiльки мiнiмум вiдображення (fg)k дорiвнює 64 + kδ, то умова (fg)k = (fg)k+1
виконується для того k, для якого min(fg)k = 96, тобто 64 + kδ = 96, звiдки k = n.
Перевiримо виконання додаткових спiввiдношень. Рiвнiсть v1 : f(gf)n−1 = f(gf)n
порушується для x ∈ (0, δ), бо вiдображення (gf)n−1 < 32 на цьому промiжку, в той час
як вiдображення f(gf)n є сталим. Спiввiдношення v15 : g(fg)n−1 = g(fg)n виконується,
бо вiдображення (fg)n−1 тотожно дорiвнює 96 на образi вiдображення g. Таким чином, за
лемою 2 композицiї побудованих вiдображень f та g утворюють напiвгрупу S5(n).
Лему доведено.
Лема 17. Напiвгрупа S7(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Нехай n > 1. Нехай кусково-лiнiйнi вiдображення f та g вiдображають
вiдрiзок [0, 80] в себе. Позначимо δ =
40
n− 1
, n > 1. Нехай вiдображення f проходить че-
рез точки (0, 0), (40, 40), (40 + δ/2, 40), (80, δ/2), а вiдображення g — через точки (0, 80−
−δ/2), (40− δ/2, 40), (40, 40), (80, 80). Наведемо композицiї вiдображень f та g.
f(x)
g(x)
gf (gf)n−2 (gf)n−1
fg (fg)n−2 (fg)n−1
Вiдображення gf проходитиме через точки (0, δ), (40− δ, 40), (40 + δ/2, 40), (80, δ/2),
а вiдображення fg — через точки (0, 80− δ/2), (40− δ/2, 40), (40 + δ, 40), (80, 80− δ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
ЗОБРАЖЕННЯ НАПIВГРУП IТЕРАЦIЯМИ ВIДОБРАЖЕНЬ IНТЕРВАЛУ 373
Як i при доведеннi леми 16, можемо показати, що кожна точка (x, y) графiка вiдобра-
ження (gf)k, для якої виконується нерiвнiсть y ≤ 40 − δ, переходить у точку (x, y + δ),
iнакше y набуває значення 40. Також кожна точка (x, y) графiка вiдображення (fg)k, для
якої виконується нерiвнiсть y ≥ 40 + δ, переходить у точку (x, y − δ), iнакше y набуває
значення 40.
Для невеликих k мiнiмум вiдображення (gf)k дорiвнює δ/2+δ(k−1). Умова (gf)k+1 =
= (gf)k вперше виконується для того k, для якого (gf)k−1(0) = 40− δ/2, тобто 40− δ/2 =
= δ/2 + δ(k − 2), звiдки k = 40/δ + 1 = n.
Для невеликих k максимум вiдображення (fg)k дорiвнює (fg)k(0) = 80−δ/2−δ(k−1).
Умова (fg)k = (fg)k+1 вперше виконується для того k, для якого (fg)k−1(0) = 40 + δ,
тобто 80− δ/2− δ(k − 2) = 40 + δ, звiдки k = 40/δ + 1 = n.
Переконаймось у тому, що рiвнiсть v4 : (gf)n−1g = (gf)n−1g виконується. Це так,
бо вiдображення (gf)n−1 вiдрiзняється вiд сталої 40 лише на промiжку (80 − δ/2, 80] i
вiдображає цей промiжок у промiжок (38, 40], який вiдображення g вiдображає в точку
40. Так само (gf)n−1g(x) ≡ 40. Тому за лемою 4 композицiї вiдображень f та g утворюють
напiвгрупу S7(n). Напiвгрупа S7(1) = f, g : | f = g точно зображається довiльними двома
iдемпотентами, якi збiгаються.
Лема 18. Напiвгрупа S10(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Позначимо δ =
40
n− 1
, n > 1. Нехай кусково-лiнiйнi вiдображення f та g
вiдображають вiдрiзок [0, 80 + δ] в себе. Нехай вiдображення f проходить через точки
(0, 0), (40+ δ/2, 40+ δ/2), (40+3δ/4, 40+ δ/2), (80+3δ/4, δ/2), (80+ δ, 0), а вiдображення
g — через точки (0, 80+ δ/4), (40, 40+ δ/4), (40+ δ/4, 40+ δ/4), (80+13δ/16, 80+13δ/16),
(80 + δ, 80 + 13δ/16).
Запишемо композицiї вiдображень f та g. Вiдображення gf проходитиме через точки
(0, δ), (40−δ/4, 40+δ/2), (40−δ/4, 40+δ/2), (40, 40+δ/4), (40+δ/4, 40+δ/4), (40+δ/2, 40+
+δ/2), (40+3δ/4, 40+ δ/2), (80+3δ/4, δ/2), (80+13δ/16, 3δ/8), (80+ δ, 3δ/8). Для невели-
ких k мiнiмум вiдображення (gf)k дорiвнюватиме (gf)k(80 + δ) = 3δ/8 + δ(k − 1). Умова
(gf)k+1 = (gf)k вперше виконується для того k, для якого (gf)k−1(80+ δ) = 40− δ +3δ/8,
тобто 3δ/8 + δ(k − 2) = 40− δ + 3δ/8, звiдки k = 40/δ + 1 = n.
Вiдображення fg проходитиме через точки (0, 80 + δ/4), (40, 40 + δ/4), (40 + δ/4, 40 +
+δ/4), (40 + δ/2, 40 + δ/2), (40 + 3δ/4, 40 + δ/2), (40 + δ, 40 + δ/4), (40 + 5δ/4, 40 + δ/4),
(80 + 3δ/4, 80 − δ/4), (80 + δ, 80 + δ/4). Для невеликих k максимум вiдображення (fg)k
дорiвнює (fg)k(0) = 80 + δ/4 − δ(k − 1). Умова (fg)k = (fg)k+1 уперше виконується для
того k, для якого (fg)k−1(0) = 40 + 5δ/4, звiдки 80 + δ/4 − δ(k − 2) = 40 + 5δ/4, тобто
k = 40/δ + 1 = n.
Рiвнiсть v13 : (fg)n = (gf)n не виконується тому, що на вiдрiзку (80+3δ/4, 80+ δ) вiд-
ображення (gf)n пройде через точки (80+δ/2, 40+δ/2), (80+13δ/16, 40+3δ/8), (80+δ, 40+
+3δ/8), в той час як вiдображення (fg)n проходить через точки (80+3δ/4, 40+δ/2), (80+
+7δ/8, 40 + δ/4), (80 + δ, 40 + δ/4). Водночас виконується рiвнiсть v9 : (fg)nf = (fg)n, бо
образом вiдрiзка [0, 80+δ] пiд дiєю вiдображення (fg)n є [40+δ/4, 40+δ/2], а вiдображен-
ня f не рухає жодну з точок цього вiдрiзка. Перевiримо рiвнiсть v8 : f(gf)n−1 = (fg)n.
Зауважимо, що для кожного x ∈ [0, δ/8] виконується нерiвнiсть (gf)n−1(x) ≤ 40 i при
цьому вiдображення f не рухає жодну точку образу (gf)5([0, δ/8]) = [40, 40+δ/8] вiдрiзка
[0, δ/8] пiд дiєю вiдображення (gf)n−1. Тому для кожної точки x ∈ [0, δ/8) виконується не-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
374 М. В. ПЛАХОТНИК
рiвнiсть f(gf)n−1(x) < 40, що разом з очевидною рiвнiстю (fg)n([0, 80+δ]) = [40, 40+δ/4]
дає нерiвнiсть f(gf)n−1 6= (fg)n. Перевiримо виконання рiвностi v10 : (gf)n = g(fg)n−1.
Зауважимо, що для кожного x ∈ [80 + δ/2, 80 + δ] виконується нерiвнiсть (fg)n−1(x) >
> 40 + δ/4 i вiдображення g не рухає жодну точку вiдрiзка [80 + δ/2, 80 + 13δ/16]. Тому
для кожного x ∈ (80 + δ/2, 80 + 13δ/16] виконується нерiвнiсть g(fg)n−1(x) > 40 + δ/4, в
той час як для кожного x ∈ [0, 80 + δ] виконується включення (gf)n(x) ∈ [40, 40 + δ/4].
Це означає, що в напiвгрупi композицiй вiдображень f та g рiвнiсть v10 не виконується.
Тому за лемою 9 композицiї вiдображень f та g утворюють напiвгрупу S10(n), n > 1.
Побудуємо вiдображення вiдрiзка [0, 80], композицiї яких зображають напiвгрупу
S10(1). Нехай вiдображення f проходить через точки (0, 0), (40, 40), (60, 40) та (80, 0),
а вiдображення g — через точки (0, 40), (20, 20), (70, 70) та (80, 70). Так заданi вiдобра-
ження зображають потрiбну напiвгрупу.
Лему доведено.
Як бачимо, схеми доведення лем 16 – 18 є аналогiчними. Тому для iнших серiй напiв-
груп лише наводитимемо вiдображення i не описуватимемо технiчнi кроки для перевiрки
того, що данi вiдображення зображають потрiбну напiвгрупу. В доведеннях наступних
лем будемо використовувати число b, яке є правим кiнцем промiжку [0, b], на якому дiють
вiдображення; записуватимемо параметр δ = δ(n), що фiгуруватиме в заданнi функцiй f
та g, множину F точок, через якi проходить кусково-лiнiйне вiдображення f , та множину
точок G, через якi проходить вiдображення g.
Лема 19. Напiвгрупа S1(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Для n > 1, δ =
20
n− 1
, b = 240 та F : (0, 0), (80, 80), (160, 0), (180, 40),
(180 + δ, 40) (220 − δ/2, 80− 3δ/2), (220, 80), (240, 80); G: (0, 160), (40, 180), (40 + δ, 180),
(80−δ/2, 220− 3δ/2), (80, 220−δ/2), (100+δ/2, 220−δ/2), (160, 160), (220, 220), (240, 220).
Для n = 1, b = 45 та F : (0, 0), (15, 15), (0, 30), (45, 15); G: (0, 30), (10, 40), (25, 40),
(30, 30), (42, 42), (45, 30).
Лема 20. Напiвгрупа S2(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Для n > 1, δ =
20
n− 1
, b = 240 та F : (0, 0), (80, 80), (160, 0), (180, 40),
(180 + δ, 40), (220 − δ/2, 80 − 3δ/2), (240, 80 − 3δ/2); G: (0, 160), (40, 180), (40 + δ, 180),
(80−δ/2, 220−3δ/2), (80, 220−δ/2), (100+δ/2, 220−δ/2), (160, 160), (220, 220), (240, 220).
Для n = 1, b = 120 та F : (0, 0), (30, 30), (60, 0), (75, 30), (90, 30), (120, 0); G: (0, 60),
(30, 75), (60, 60), (90, 90), (120, 90).
Лема 21. Напiвгрупа S3(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Для n > 1, δ =
20
n− 1
, b = 240 та F : (0, 0), (80, 80), (160, 0), (180, 40),
(180 + δ, 40), (220 − δ/2, 80 − 3δ/2), (220, 80), (240, 80); G: (0, 160), (40, 180), (40 + δ, 180),
(80− δ/2, 220− 3δ/2), (80, 220− δ/2), (80 + δ/2, 220− 3δ/2), (120− δ, 180), (120, 180), (160,
160), (220, 220), (240, 220).
Для n = 1, b = 90 та F : (0, 0), (30, 30), (0, 60), (90, 30); G: (0, 60), (20, 80), (40, 80),
(60, 60), (85, 85), (90, 85).
Лема 22. Напiвгрупа S4(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
ЗОБРАЖЕННЯ НАПIВГРУП IТЕРАЦIЯМИ ВIДОБРАЖЕНЬ IНТЕРВАЛУ 375
Доведення. Для n > 1, δ =
20
n− 1
, b = 240 та F : (0, 0), (80, 80), (160, 0), (180, 40),
(180 + δ, 40), (220, 80 − δ), (240 − δ, 80 − δ), (240, 80); G: (0, 160), (40, 180), (40 + δ, 180),
(80, 220− δ), (100 + δ, 220− δ), (160, 160), (220, 220), (240, 220).
Для n = 1, b = 90 та F : (0, 0), (30, 30), (60, 0), (90, 30), (105, 30), (120, 0); G: (0, 60),
(30, 90), (60, 60), (90, 90), (120, 60).
Лема 23. Напiвгрупа S6(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Для n > 1, δ =
10
n− 1
, b = 140 та F : (0, 0), (40, 40), (80, 0), (90, 20), (90 +
+ δ, 20), (110, 40− δ), (140, 40− δ); G: (0, 80), (20, 90), (20+ δ, 90), (40, 110− δ), (60− δ, 90),
(60, 90), (80, 80), (110, 110), (140, 110).
Для n = 1, b = 120 та F : (0, 0), (30, 30), (90, 0), (120, 30); G: (0, 90), (30, 105), (90, 90),
(120, 120).
Лема 24. Напiвгрупа S8(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Для n > 1, δ =
40
n
, b = 80 та F : (0, 0), (40, 40), (40 + δ, 40), (80, δ);
G: (0, 80− δ), (δ, 80− δ), (40, 40), (80, 80).
Для n = 1, b = 80 та F : (0, 0), (40, 40), (40, 40); G: (0, 0), (80, 80).
Лема 25. Напiвгрупа S9(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Для n > 1, δ =
40
n− 1
, b = 80 та F : (0, 0), (40, 40), (40 + δ, 40), (80 −
− δ/2, 3δ/2), (80, δ/2); G: (0, 80− δ/4), (δ/4, 80− δ/4), (40, 40), (80, 80).
Для n = 1, b = 80 та F : (0, 0), (40, 40), (80, 40); G: (0, 80), (40, 40), (80, 80).
Лема 26. Напiвгрупа S11(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Для n > 1, δ =
40
n− 1
, b = 80 + δ та F : (0, 0), (40 + δ/2, 40 + δ/2), (40 +
+ 3δ/4, 40 + δ/2), (80 + 3δ/4, δ/2), (80 + 7δ/8, δ/4), (80 + δ, δ/4); G: (0, 80), (δ/4, 80) (40,
40 + δ/4), (40 + δ/4, 40 + δ/4), (80 + 13δ/16, 80 + 13δ/16), (80 + δ, 80 + 13δ/16).
Для n = 1, b = 80 та F : (0, 0), (40, 40), (60, 40), (80, 0); G: (0, 40), (20, 20), (60, 60),
(80, 60).
Лема 27. Напiвгрупа S12(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Для n > 2, δ =
40
n− 1
, b = 80 та F : (0, 0), (40, 40), (40 + δ/2, 40), (80 −
− δ/4, 3δ/4), (80, δ/4); G: (0, 80 − δ/2), (40 − δ/4, 40 − δ/4), (80 − 3δ/16, 80 − 3δ/16), (80,
80− 3δ/16).
Для n = 1 напiвгрупа S12(1) точно зображається довiльними рiзними iдемпотентами,
чиї множини нерухомих точок збiгаються.
Для n = 2, b = 90 та F : (0, 0), (50, 50), (70, 50), (80, 40), (90, 20); G: (0, 60), (30, 30),
(60, 60), (85, 85), (90, 85).
Лема 28. Напiвгрупа S13(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Для n > 1, δ =
20
n
, b = 120 та F : (0, 0), (40, 40), (80, 0), (90, 20), (90 +
+ δ, 20), (110, 40−δ), (120, 40−δ); G: (0, 80), (20, 90), (40, 110), (50, 110), (80, 80), (110, 110),
(120, 110).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
376 М. В. ПЛАХОТНИК
Для n = 1, b = 120 та F : (0, 0), (40, 40), (80, 0), (90, 20), (120, 20); G: (0, 80), (20, 90),
(40, 110), (50, 110), (80, 80), (110, 110), (120, 110).
Лема 29. Напiвгрупа S14(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Для n > 1, δ =
20
n
, b = 120 та F : (0, 0), (40, 40), (80, 0), (90, 20), (90+δ, 20),
(110 − δ, 40 − 2δ), (110 − δ/2, 40 − δ), (120, 40 − δ); G: (0, 80), (20, 90), (40, 110), (60, 90),
(80, 80), (110, 110), (120, 110).
Для n = 1, b = 120 та F : (0, 0), (40, 40), (80, 0), (90, 20), (120, 20); G: (0, 80), (20, 90),
(40, 110), (60, 90), (80, 80), (110, 110), (120, 110).
Лема 30. Напiвгрупа S15(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Для n > 0, δ =
40
n
, b = 80 та F : (0, 0), (40, 40), (40+δ, 40), (80, δ); G: (0, 80),
(40, 40), (80, 80).
Лема 31. Напiвгрупа S16(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Для n > 0, δ =
40
n
, b = 80 та F : (0, 0), (40 + 3δ/8, 40 + 3δ/8), (80− δ/4, δ),
(80, δ/2); G: (0, 80− δ/4), (40− δ/4, 40), (40, 40), (80− δ/4, 80− δ/4), (80, 80− δ/4).
Лема 32. Напiвгрупа S17(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Для n > 2, δ =
32
n
, b = 192 та F : (0, 3δ/4), (3δ/4, 3δ/4), (64 − δ, 64 − δ),
(64+ δ, 64− δ), (128−3δ/4, 3δ/4), (128+ δ/2, 3δ/4), (128+3δ/4, 7δ/4), (160− δ/2, 32+ δ/2),
(160 + δ/2, 32− δ/2), (192, 64− δ); G: (0, 128), (64, 192), (128, 128), (192, 192).
Для n = 1, b = 81 та F : (0, 6), (6, 6), (18, 18), (33, 18), (51, 6), (61.5, 12), (69, 18), (78, 9),
(81, 18); G: (0, 54), (27, 81), (54, 54), (81, 81).
Для n = 2, b = 96 та F : (0, 4), (4, 4), (24, 24), (40, 24), (60, 4), (66, 4), (68, 12), (80, 24),
(88, 16), (96, 24); G: (0, 64), (32, 96), (64, 64), (96, 96).
Лема 33. Напiвгрупа S18(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Для n > 0, δ =
32
n + 1
, b = 96 та F : (0, 0), (32, 32), (64, 0), (96 − δ, 32 − δ),
(96, 32− δ); G: (0, 64 + δ), (δ, 64), (32, 96− δ), (32 + δ, 96− δ), (64, 64), (96, 96).
Лема 34. Напiвгрупа S19(n) зображається неперервними вiдображеннями iнтервалу.
Доведення. Для n > 2, δ =
32
n
, b = 192 та F : (0, 0), (64, 64), (64+ δ, 64), (128, δ), (192−
− 3δ, 64−2δ), (192−2δ, 64−2δ), (192−δ, 64−δ), (192, 64−δ); G: (0, 128+δ), (64−2δ, 192−δ),
(64− δ, 192− 2δ), (64, 192− δ), (64 + δ, 192− δ), (128, 128), (192, 192).
Для n = 1, b = 81 та F : (0, 6), (6, 6), (18, 18), (33, 18), (51, 6), (61.5, 12), (69, 18), (78, 9),
(81, 18); G: (0, 54), (27, 81), (54, 54), (81, 81).
Для n = 2, b = 96 та F : (0, 4), (4, 4), (24, 24), (40, 24), (60, 4), (66, 4), (68, 12), (80, 24),
(88, 16), (96, 24); G: (0, 64), (32, 96), (64, 64), (96, 96).
Лема 35. Для кожного n напiвгрупа S20(n) показникового типу (n, 2, n + 1, 2) зобра-
жається композицiями неперервних вiдображень iнтервалу.
Доведення. Для n > 0, δ =
32
n + 1
, b = 96 та F : (0, 0), (32, 32), (64, 0), (96, 32) ; G:
(0, 64 + δ), (32− δ, 96), (32, 96− δ), (32 + δ, 96− δ), (64, 64), (96, 96).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
ЗОБРАЖЕННЯ НАПIВГРУП IТЕРАЦIЯМИ ВIДОБРАЖЕНЬ IНТЕРВАЛУ 377
З лем 16 – 34 та теорем 2 i 4 випливає така теорема, анонсована в [5].
Теорема 5. Скiнченна напiвгрупа, породжена двома iдемпотентами, точно зобража-
ється неперервними вiдображеннями iнтервалу в себе тодi i лише тодi, коли для кож-
ного її елемента z з рiвностi zk = zk+m для натуральних k та m випливає zk = zk+2.
1. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Введение в теорию функциональных уравнений. — Киев: Наук. думка,
1974.
2. Romanenko E. Yu. Limit properties of the semigroup generated by a continuous map of an intervals // Доп.
НАН України. — 1998. — № 3.
3. Шарковський О. М. Динамiчнi системи, породжуванi крайовими задачами. Iдеальна турбулентнiсть,
комп’ютерна турбулентнiсть // Пр. Укр. мат. конгресу-2001. — Київ: Iн-т математики НАН України,
2003. — С. 125 – 149.
4. Плахотник М. В., Федоренко B. В., Федоренко Ю. В. Одновимiрнi динамiчнi системи з обмеженими у
сукупностi потужностями орбiт // Вiсн. Київ. ун-у. — 2006. — № 4. — С. 119 – 128.
5. Плахотник М. В. Напiвгрупи iтерацiй n-вимiрного куба // Тези доп. наук. конф. мол. учених i студентiв
з диференц. рiвнянь та їх застосувань, присвяченої 100-рiчному ювiлею Я. Б. Лопатинського (Донецьк,
2006). — 2006. — С. 102 – 104.
Одержано 28.04.2007
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
|