Крайові задачі для диференціальних рівнянь, що не розв'язані відносно похідної, у просторі обмежених числових послідовностей
Исследуется нелинейная счетноточечная краевая задача для дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной, которое вместе с нелинейным краевым условием определено в банаховом пространстве ограниченных числовых последовательностей. Рассмотрена возможность редукции поставленной...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177206 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Крайові задачі для диференціальних рівнянь, що не розв'язані відносно похідної, у просторі обмежених числових послідовностей / А.М. Самойленко, Ю.В. Теплінський, В.А. Недокіс // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 3. — С. 391-415. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177206 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772062021-02-12T01:25:42Z Крайові задачі для диференціальних рівнянь, що не розв'язані відносно похідної, у просторі обмежених числових послідовностей Самойленко, А.М. Теплінський, Ю.В. Недокіс, В.А. Исследуется нелинейная счетноточечная краевая задача для дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной, которое вместе с нелинейным краевым условием определено в банаховом пространстве ограниченных числовых последовательностей. Рассмотрена возможность редукции поставленной задачи к многоточечной краевой задаче в конечномерном пространстве. We study a nonlinear countable-point boundary-value problem for a differential equation that is not solved with respect to the derivative. Both the equation and the nonlinear boundary condition are defined in the Banach space of bounded number sequences. We also consider a possibility of reducing the posed problem to a multiple-point boundary-value problem in a finite-dimensional space. 2007 Article Крайові задачі для диференціальних рівнянь, що не розв'язані відносно похідної, у просторі обмежених числових послідовностей / А.М. Самойленко, Ю.В. Теплінський, В.А. Недокіс // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 3. — С. 391-415. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177206 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Исследуется нелинейная счетноточечная краевая задача для дифференциального уравнения,
не разрешенного относительно производной, которое вместе с нелинейным краевым условием
определено в банаховом пространстве ограниченных числовых последовательностей. Рассмотрена возможность редукции поставленной задачи к многоточечной краевой задаче в конечномерном пространстве. |
| format |
Article |
| author |
Самойленко, А.М. Теплінський, Ю.В. Недокіс, В.А. |
| spellingShingle |
Самойленко, А.М. Теплінський, Ю.В. Недокіс, В.А. Крайові задачі для диференціальних рівнянь, що не розв'язані відносно похідної, у просторі обмежених числових послідовностей Нелінійні коливання |
| author_facet |
Самойленко, А.М. Теплінський, Ю.В. Недокіс, В.А. |
| author_sort |
Самойленко, А.М. |
| title |
Крайові задачі для диференціальних рівнянь, що не розв'язані відносно похідної, у просторі обмежених числових послідовностей |
| title_short |
Крайові задачі для диференціальних рівнянь, що не розв'язані відносно похідної, у просторі обмежених числових послідовностей |
| title_full |
Крайові задачі для диференціальних рівнянь, що не розв'язані відносно похідної, у просторі обмежених числових послідовностей |
| title_fullStr |
Крайові задачі для диференціальних рівнянь, що не розв'язані відносно похідної, у просторі обмежених числових послідовностей |
| title_full_unstemmed |
Крайові задачі для диференціальних рівнянь, що не розв'язані відносно похідної, у просторі обмежених числових послідовностей |
| title_sort |
крайові задачі для диференціальних рівнянь, що не розв'язані відносно похідної, у просторі обмежених числових послідовностей |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177206 |
| citation_txt |
Крайові задачі для диференціальних рівнянь, що не розв'язані відносно похідної, у просторі обмежених числових послідовностей / А.М. Самойленко, Ю.В. Теплінський, В.А. Недокіс // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 3. — С. 391-415. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT samojlenkoam krajovízadačídlâdiferencíalʹnihrívnânʹŝonerozvâzanívídnosnopohídnoíuprostoríobmeženihčislovihposlídovnostej AT teplínsʹkijûv krajovízadačídlâdiferencíalʹnihrívnânʹŝonerozvâzanívídnosnopohídnoíuprostoríobmeženihčislovihposlídovnostej AT nedokísva krajovízadačídlâdiferencíalʹnihrívnânʹŝonerozvâzanívídnosnopohídnoíuprostoríobmeženihčislovihposlídovnostej |
| first_indexed |
2025-07-15T15:14:30Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:14:30Z |
| _version_ |
1837726403343155200 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ,
ЩО НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ, У ПРОСТОРI
ОБМЕЖЕНИХ ЧИСЛОВИХ ПОСЛIДОВНОСТЕЙ
А. М. Самойленко
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
Ю. В. Теплiнський, В. А. Недокiс
Кам’янець-Подiл. ун-т
Україна, 32300, Кам’янець-Подiльський Хмельницької обл., вул. Огiєнка, 61
We study a nonlinear countable-point boundary-value problem for a differential equation that is not solved
with respect to the derivative. Both the equation and the nonlinear boundary condition are defined in the
Banach space of bounded number sequences. We also consider a possibility of reducing the posed problem
to a multiple-point boundary-value problem in a finite-dimensional space.
Исследуется нелинейная счетноточечная краевая задача для дифференциального уравнения,
не разрешенного относительно производной, которое вместе с нелинейным краевым условием
определено в банаховом пространстве ограниченных числовых последовательностей. Рассмот-
рена возможность редукции поставленной задачи к многоточечной краевой задаче в конечно-
мерном пространстве.
Зрозумiло, що можливостi конструктивного дослiдження рiзноманiтних крайових задач
для звичайних диференцiальних рiвнянь суттєво залежать вiд розмiрностi простору, в
якому розглядається конкретна крайова задача. На даний час найбiльш повно вивче-
но крайовi задачi рiзних типiв у скiнченновимiрних просторах. Результатам дослiджень
таких задач в абстрактних банахових просторах присвячено порiвняно невелику кiль-
кiсть публiкацiй, що стосуються переважно перiодичних крайових задач. Початок ви-
вченню крайових задач у банаховому просторi M обмежених числових послiдовностей
x = (x1, x2, x3, . . . ) дiйсних чисел з нормою ||x|| = supi{|xi|, i = 1, 2, 3, . . . } було покладе-
но в роботах [1 – 4], де дослiджувались перiодична крайова задача для рiвнянь першого i
другого порядкiв та двоточкова крайова задача для нелiнiйного рiвняння першого поряд-
ку з лiнiйною крайовою умовою. У роботах [5, 6] авторами цiєї статтi вивчалися злiченно-
точковi крайовi задачi для звичайних нелiнiйних диференцiальних рiвнянь нормального
виду, що визначенi у просторi M.
Ця робота є логiчним продовженням статей [5, 6]. Тут ми розглядаємо крайову зада-
чу з нелiнiйною крайовою умовою, що мiстить необмежену злiченну множину крайових
моментiв на додатнiй пiвосi у випадку, коли саме рiвняння i крайову умову задачi визна-
чено у просторi M, причому це рiвняння не розв’язане вiдносно похiдної. У випадку, ко-
ли множина крайових моментiв належить скiнченному вiдрiзку [0, T ], початкову крайову
задачу редуковано до аналогiчної багатоточкової крайової задачi у скiнченновимiрному
c© А. М. Самойленко, Ю. В. Теплiнський, В. А. Недокiс, 2007
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3 391
392 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
просторi. Зауважимо, що триточкова крайова задача з лiнiйною крайовою умовою для
рiвняння у скiнченновимiрному просторi, що не розв’язане вiдносно похiдної, розгляда-
лася в [7].
1. Крайова задача на пiвосi. Розглянемо рiвняння
dx
dt
= f
(
t, x,
dx
dt
)
, (1)
праву частину якого f(t, x, x1) визначено на множинi
(t, x, x1) ∈ D1 = [0,+∞)×D ×D1,
де
D = {x| x ∈ M, ‖x‖ ≤ M0 = const > 0} ,
D1 = {x1 |x1 ∈ M, ‖x1‖ ≤ M1 = const > 0} ,
f = {f1, f2, f3, . . . } : D1 → M, а пiд похiдною
dx(t)
dt
розумiють вектор(
dx1(t)
dt
,
dx2(t)
dt
,
dx3(t)
dt
, . . .
)
.
Задача полягає у вiдшуканнi розв’язку рiвняння (1), який задовольняє умову
A0x(0) +
∞∑
i=1
Aix(ti) = ϕ(x(0);x(t1), x(t2), . . .), (2)
де
0 < t1 < t2 < t3 < . . . , sup
i
{ti} = +∞; x = (x1, x2, x3, . . .) ∈ D;
Ai, i = 0, 1, 2, . . ., — нескiнченнi матрицi, такi, що
∞∑
i=1
‖Ai‖ < ∞; норму матрицi A =
= [aij ]
∞
i,j=1, узгоджену з нормою вектора x ∈ M, визначено рiвнiстю ‖A‖ = sup
i
∞∑
j=1
|aij |;
ϕ(ψ1, ψ2, . . .) = {ϕ1(ψ1, ψ2, . . .), ϕ2(ψ1, ψ2, . . .), . . .} : D∞ → M, D∞ = {ψ ∈ M∞ | ‖ψ‖ ≤
≤ M0}; M∞ — простiр послiдовностей ψ = (ψ1, ψ2, ψ3, . . .), ψi ∈ M ∀i ∈ Z+, обмежених
за нормою ‖ψ‖ = sup
i∈Z+
{‖ψi‖}, де ‖ψi‖ — норма у просторi M, Z+ — множина додатних
цiлих чисел.
Через h(t) позначимо функцiю h : [0,+∞) → [0, T ) , T = const > 0, що має власти-
востi:
1∗) h(0) = 0, h(+∞) = lim
t→+∞
h(t) = T ;
2∗) на пiвосi [0,+∞) iснує неперервна невiд’ємна похiдна h′(t), обмежена сталою
h′ = sup
t≥0
h′(t).
Наступнi умови назвемо умовами (А1):
1) для будь-яких {ψ,ψ∗} ⊂ D∞ справджуються нерiвностi
‖ϕ(ψ)‖ ≤ Mϕ, ‖ϕ(ψ)− ϕ(ψ∗)‖ ≤ Kϕ ‖ψ − ψ∗‖ , (3)
де Mϕ та Kϕ — додатнi сталi;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ, ЩО НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ . . . 393
2) функцiя f(t, x, x1) є неперервною на D1 вiдносно (t, x, x1) та iснує така функцiя h(t)
з властивостями 1∗, 2∗, що для всiх {x, x′} ⊂ D, {x1, x
′
1} ⊂ D1 виконуються нерiвностi
‖f(t, x, x1)‖ ≤ Mhh
′(t),
(4)∥∥f(t, x, x1)− f(t, x′, x′1)
∥∥ ≤ [Kh
∥∥x− x′
∥∥+K1h
∥∥x1 − x′1
∥∥]h′(t),
де Mh,Kh,K1h — додатнi сталi, що не залежать вiд вибору точок (t, x, x1), (t, x′, x′1) з мно-
жини D1;
3) матриця
∞∑
i=1
h(ti)Ai є оборотною, а обернена до неї матриця
( ∞∑
i=1
h(ti)Ai
)−1
— обме-
женою за нормою.
Зауважимо, що питання iснування функцiї h(t) докладно вивчалося в [5].
Легко помiтити, що при виконаннi третьої з умов (A1) оборотною є матриця
∞∑
i=1
h(ti)
T
Ai
й обернена до неї матриця Hh = T
( ∞∑
i=1
h(ti)Ai
)−1
теж обмежена за нормою.
Через Dβϕh (в [5] цю множину позначено через Dβ ) позначимо пiдмножину з D,
кожна точка x0 якої мiститься у множинi D разом зi своїм βϕh-околом, де
βϕh(x0) =
T
2
Mh + β1ϕh(x0),
β1ϕh(x0) = ‖Hh‖
∥∥∥∥∥d−
∞∑
i=0
Aix0
∥∥∥∥∥+
∞∑
i=1
‖HhAi‖α1h(ti)Mh,
α1h(t) = 2h(t)
(
1− h(t)
T
)
,
а вектор d = (d1, d2, . . .) визначено так, що |di| = Mϕ, sign di = −sign d 0
i , причому d 0 =
= colon
(
d 0
1 , d
0
2 , . . .
)
=
∞∑
j=0
Ajx0, i ∈ Z+.
Через γϕh(x0) позначимо вираз 2Mhh′ +
h′
T
β1ϕh(x0), а через D1γϕh — множину еле-
ментiв x0 ∈ D1, якi входять у D1 разом зi своїми γϕh(x0)-околами.
Наступнi умови назвемо умовами (В1):
а) перетин Dβγϕh множин Dβϕh та D1γϕh непорожнiй;
б) норма матрицi
Q0 =
KhT
2
(
1 +
∞∑
i=1
‖HhAi‖
)
+Kϕ ‖Hh‖
K1hT
2
(
1 +
∞∑
i=1
‖HhAi‖
)
Khh′
(
2 +
1
2
∞∑
i=1
‖HhAi‖
)
+
h′
T
Kϕ ‖Hh‖ K1hh′
(
2 +
1
2
∞∑
i=1
‖HhAi‖
)
менша за одиницю.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
394 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
Розглянемо рекурентну послiдовнiсть вектор-функцiй {xm(t, x0)}∞m=0, яку формально
означимо так:
x0(t, x0) = x0 = (x01, x02, . . .) ∈ Dβγϕh,
xm(t, x0) = x0 +
t∫
0
[
f
(
τ, xm−1(τ, x0),
dxm−1(τ, x0)
dτ
)
− h′(τ)
T
∞∫
0
f
(
s, xm−1(s, x0),
dxm−1(s, x0)
ds
)
ds
]
dτ +
h(t)
T
Hh
{
ϕ(xm−1(0);xm−1(t1), xm−1(t2), . . .)−
−
∞∑
i=0
Aix0 −
∞∑
i=1
Ai
ti∫
0
[
f
(
τ, xm−1(τ, x0),
dxm−1(τ, x0)
dτ
)
−
− h′(τ)
T
∞∫
0
f
(
s, xm−1(s, x0),
dxm−1(s, x0)
ds
)
ds
]
dτ
}
, m ∈ Z+. (5)
Достатнiми умовами iснування такої послiдовностi є неперервнiсть за нормою вiднос-
но t ≥ 0 функцiй xi(t, x0) i
dxi(t, x0)
dt
та їх належнiсть множинам D i D1 вiдповiдно при
всiх i ∈ Z+. У цьому разi властивостi 1∗ та 2∗ забезпечують покоординатну збiжнiсть
iнтеграла
∞∫
0
f
(
τ, xm−1(τ, x0),
dxm−1(τ, x0)
dτ
)
dτ .
Теорема 1. Нехай справджуються умови (A1) i (B1). Тодi:
1) приm → ∞ послiдовнiсть {xm(t, x0)}∞m=0 , яка визначена рiвностями (5), рiвномiр-
но вiдносно (t, x0) ∈ [0,+∞)×Dβγϕh збiгається до диференцiйовної по tфункцiї x∗(t, x0),
а послiдовнiсть
{
dxm(t, x0)
dt
}∞
m=0
— до функцiї
dx∗(t, x0)
dt
, причому
sup
t∈[0,+∞)
{
‖xm(t, x0)− x∗(t, x0)‖ ,
∥∥∥∥dxm(t, x0)
dt
− dx∗(t, x0)
dt
∥∥∥∥} ≤
≤ ‖Qm
0 (E2 −Q0)−1Z0
1‖ ∀m ∈ Z+, (6)
де E2 — одинична матриця розмiрностi 2× 2, Z0
1 =
[
βϕh(x0)
γϕh(x0)
]
;
2) функцiя x∗(t, x0) задовольняє крайову умову (2) i є розв’язком рiвняння
dx
dt
= f
(
t, x,
dx
dt
)
+ µh′(t), (7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ, ЩО НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ . . . 395
де
µ = ∆0
ϕh(x0) =
1
T
Hh
{
ϕ(x∗(0);x∗(t1), x∗(t2), . . .)−
∞∑
i=0
Aix0−
−
∞∑
i=1
Ai
ti∫
0
[
f
(
τ, x∗(τ, x0),
dx∗(τ, x0)
dτ
)
−
− h′(τ)
T
∞∫
0
f
(
s, x∗(s, x0),
dx∗(s, x0)
ds
)
ds
]
dτ
}
−
− 1
T
∞∫
0
f
(
τ, x∗(τ, x0),
dx∗(τ, x0)
dτ
)
dτ ; (8)
3) якщо
∆0
ϕh(x0) = 0, (9)
то функцiя x∗(t, x0) є розв’язком крайової задачi (1), (2).
Доведення цiєї теореми проводиться аналогiчно до доведення теореми 1 з [5] з деяки-
ми технiчними ускладненнями.
Через Q01 позначимо матрицю
TKh
(
1 +
∞∑
i=1
‖HhAi‖
)
1−Kϕ ‖Hh‖
TK1h
(
1 +
∞∑
i=1
‖HhAi‖
)
1−Kϕ ‖Hh‖
h′Kh
(
1 +
∞∑
i=1
‖HhAi‖
)
1−Kϕ ‖Hh‖
h′K1h
(
1 +
∞∑
i=1
‖HhAi‖
)
1−Kϕ ‖Hh‖
.
Умовами (B0
1) назвемо умови (B1), в яких нерiвнiсть ‖Q0‖ < 1 замiнено оцiнкою
max{‖Q0‖, ‖Q01‖} < 1.
Неважко переконатися, що для обраної функцiї h(t) за умов (A1) i (B0
1) не iснує iншого
значення µ, при якому розв’язок рiвняння (7) з початковою умовою x(0) = x0 ∈ Dβγϕh
задовольняв би крайову умову (2).
Функцiю ∆0
ϕh(x0) називатимемо точною визначальною функцiєю, її значення µ при
фiксованому x0 — керуючим параметром або керуванням, а рiвняння (9) — точним ви-
значальним рiвнянням i розглядатимемо поряд з (9) наближене визначальне рiвняння
∆0
ϕhm(x0) = 0, (10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
396 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
де ∆0
ϕhm(x0) — наближена визначальна функцiя, яка одержується з точної шляхом замiни
у виразi (8) функцiї x∗(s, x0) на функцiю xm(s, x0).
Зрозумiло, що крайова задача (1), (2) зводиться до розв’язування рiвняння (9), а оскiль-
ки записати його неможливо, то доводиться використовувати наближене визначальне
рiвняння (10).
Наслiдок 1. Справджуються наступнi твердження:
1) якщо при умовах (A1) та (B1) iснує замкнена пiдмножина W ⊂ Dβγϕh така, що
для деякого m ∈ Z+ функцiя ∆0
ϕhm топологiчно вiдображує W на ∆0
ϕhmW, рiвняння (10)
має в W єдиний розв’язок x0 i на межi ΓW множини W виконується нерiвнiсть
inf
x∈ΓW
‖∆0
ϕhm(x)‖ ≥
(
1
T
Kϕ‖Hh‖+ (Kh +K1h)
[
1 +
1
2
∞∑
i=1
‖HhAi‖
])
×
× ‖Qm
0 (E2 −Q0)−1Z0
1‖ = σ(m),
то крайова задача (1), (2) має розв’язок x = x∗(t) з початковою умовою x∗(0) = x∗0 ∈
∈ W ;
2) якою б не була функцiя h(t), при якiй виконуються умови (A1) та (B0
1), для того
щоб деяка пiдмножина D2 ⊂ Dβγϕh мiстила початкове значення x∗(0) = x∗0 розв’язку
цiєї крайової задачi, необхiдно, щоб виконувалась нерiвнiсть
‖∆0
ϕhm(x̄0)‖ ≤ sup
x0∈D2
{
1
T
‖Rh‖+
(
1
T
Kϕ‖Hh‖+ (Kh +K1h)
(
1
2
∞∑
i=1
‖HhAi‖+ 1
))
×
×max
{
1 + ‖Rh‖;
h′
T
‖Rh‖
}
‖(E2 −Q0)−1‖
}
‖x̄0 − x0‖+ σ(m, x̄0)
∀m ∈ Z+ ∀x0 ∈ D2,
де через Rh позначено вираз Hh
∞∑
i=0
Ai, а через σ(m,x0) — вираз
{
1
T
Kϕ‖Hh‖+(Kh +K1h)
[
1
2
Kh
∞∑
i=1
‖HhAi‖+ 1
]}
‖Qm
0 (E2 −Q0)−1Z0
1‖.
Доведення наслiдку 1 традицiйне i забезпечується обґрунтуванням рiвномiрної непе-
рервностi вiдображення ∆0
ϕh на множинi W .
2. Крайовi задачi на скiнченному вiдрiзку. Розглянемо спочатку крайову задачу для
рiвняння (1) з крайовою умовою
A0x(0) +
∞∑
i=1
Aix(ti) + Cx(T ) = ϕ(x(0), x(T );x(t1), x(t2), . . .),
(11)
0 < ti < ti+1 < T, i ∈ Z+.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ, ЩО НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ . . . 397
Зберiгаючи обмеження, накладенi ранiше на матрицi Ai i функцiю ϕ(ψ), вважати-
мемо, що C — обмежена за нормою нескiнченна матриця, функцiя f(t, x, x1) : [0, T ] ×
×D ×D1 = D10 → M неперервна за сукупнiстю змiнних на D10, причому для будь-яких
{x, x′} ⊂ D, {x1, x
′
1} ⊂ D1 справджуються аналогiчнi до умов (4) нерiвностi
‖f(t, x, x1)‖ ≤ M,
(12)∥∥f(t, x, x1)− f(t, x′, x′1)
∥∥ ≤ K
∥∥x− x′
∥∥+K1
∥∥x1 − x′1
∥∥ ,
де M , K, K1 — додатнi сталi.
Через Dβϕ позначимо множину точок x0 ∈ M, що належать областi D разом зi своїм
βϕ-околом, де βϕ(x0) =
T
2
M + β1ϕ(x0), 0 ≤ α1(t) = 2t
(
1− t
T
)
,
β1ϕ(x0) = ‖H‖
∥∥∥∥∥d−
( ∞∑
i=0
Ai + C
)
x0
∥∥∥∥∥+
∞∑
i=1
‖HAi‖α1(ti)M,
вектор d ∈ M пiдiбрано таким чином, що |di| = Mϕ, sign di = −sign d 0
i , i ∈ Z+, причому
d 0 = colon (d 0
1 , d
0
2 , . . .) =
( ∞∑
i=0
Ai + C
)
x0, а матрицю H визначено нижче в умовi а1
1).
Через D1γϕ позначимо пiдмножину точок множини D1, що належать цiй множинi ра-
зом зi своїми γϕ-околами, де γϕ(x) = 2M +
1
T
β1ϕ(x).
Припустимо, що справджуються наступнi умови:
а1
1) матриця
∞∑
i=1
ti
T
Ai + C є оборотною, а обернена до неї матриця H — обмеженою за
нормою;
б1
1) перетин Dβγϕ множин Dβϕ та D1γϕ непорожнiй;
в1
1) норма матрицi
Q1
0 =
KT
2
(
1 + ‖H‖
∞∑
i=1
‖Ai‖
)
+Kϕ‖H‖
K1T
2
(
1 + ‖H‖
∞∑
i=1
‖Ai‖
)
K
(
2 +
‖H‖
2
∞∑
i=1
‖Ai‖
)
+
1
T
Kϕ‖H‖ K1
(
2 +
‖H‖
2
∞∑
i=1
‖Ai‖
)
менша за одиницю.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
398 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
Означимо послiдовнiсть функцiй {xm(t, x0)}∞m=0 такими рекурентними спiввiдношеннями:
xm(t, x0) = x0 +
t∫
0
[
f
(
τ, xm−1(τ, x0),
dxm−1(τ, x0)
dτ
)
−
− 1
T
T∫
0
f
(
s, xm−1(s, x0),
dxm−1(s, x0)
ds
)
ds
]
dτ+
+
t
T
H
{
ϕ(xm−1(0), xm−1(T );xm−1(t1), xm−1(t2), . . .)−
−
( ∞∑
i=0
Ai + C
)
x0 −
∞∑
i=1
Ai
ti∫
0
[
f
(
τ, xm−1(τ, x0),
dxm−1(τ, x0)
dτ
)
−
− 1
T
T∫
0
f
(
s, xm−1(s, x0),
dxm−1(τ, x0)
dτ
)
ds
]
dτ
}
, m = 1, 2, . . . ,
(13)
x0(t, x0) = (x01, x02, . . .) ≡ x0, x0 ∈ Dβγϕ.
Умови iснування послiдовностi (13) та її збiжностi до функцiї x∗(t, x0), що задовольняє
рiвнiсть
x∗(t, x0) = x0 +
t∫
0
[
f
(
τ, x∗(τ, x0),
dx∗(τ, x0)
dτ
)
−
− 1
T
T∫
0
f
(
s, x∗(s, x0),
dx∗(s, x0)
ds
)
ds
]
dτ+
+
t
T
H
{
ϕ(x∗(0), x∗(T );x∗(t1), x∗(t2), . . .)−
( ∞∑
i=0
Ai + C
)
x0−
−
∞∑
i=1
Ai
ti∫
0
[
f
(
τ, x∗(τ, x0),
dx∗(τ, x0)
dτ
)
− 1
T
T∫
0
f
(
s, x∗(s, x0),
dx∗(s, x0)
ds
)
ds
]
dτ
}
,
(14)
наведено в наступному твердженнi.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ, ЩО НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ . . . 399
Теорема 2. Нехай виконуються умови (3), (12) i а1
1), б1
1), в1
1). Тодi при m → ∞ по-
слiдовнiсть {xm(t, x0)}∞m=0 , визначена рiвностями (13), рiвномiрно вiдносно (t, x0) ∈
∈ [0, T ] × Dβγϕ збiгається до функцiї x∗(t, x0), що задовольняє рiвнiсть (14), причому
для всiх m ∈ Z+ справджується аналогiчна до оцiнки (6) нерiвнiсть
sup
t∈[0,T ]
{
‖xm(t, x0)− x∗(t, x0)‖ ,
∥∥∥∥dxm(t, x0)
dt
− dx∗(t, x0)
dt
∥∥∥∥} ≤
≤ ‖Q1
0
m(E2 −Q1
0)
−1Z0
2‖,
де Z0
2 =
[
βϕ(x0)
γϕ(x0)
]
. Функцiя x∗(t, x0) задовольняє крайову умову (11) i є розв’язком збу-
реного рiвняння
dx
dt
= f
(
t, x,
dx
dt
)
+ µ, (15)
де
µ = ∆0
ϕ(x0) =
1
T
H
{
ϕ(x∗(0), x∗(T );x∗(t1), x∗(t2), . . .)−
( ∞∑
i=0
Ai + C
)
x0−
−
∞∑
i=1
Ai
ti∫
0
[
f
(
τ, x∗(t, x0),
dx∗(t, x0)
dt
)
− 1
T
T∫
0
f
(
τ, x∗(t, x0),
dx∗(t, x0)
dt
)
ds
]
dτ
}
−
− 1
T
T∫
0
f
(
τ, x∗(t, x0),
dx∗(t, x0)
dt
)
dτ, (16)
причому умова ∆0
ϕ(x0) = 0 є достатньою для того, щоб функцiя x∗(t, x0) була розв’яз-
ком крайової задачi (1), (11).
Зауваження 1. Якщо в теоремi 2 умову в1
1) замiнити умовою
в01
1 ) max{‖Q1
0‖, ‖Q1
01‖} < 1,
де
Q1
01 =
TK
(
1 + ‖H‖
∞∑
i=1
‖Ai‖
)
1−Kϕ ‖H‖
TK1
(
1 + ‖H‖
∞∑
i=1
‖Ai‖
)
1−Kϕ ‖H‖
K
(
1 + ‖H‖
∞∑
i=1
‖Ai‖
)
1−Kϕ ‖H‖
K1
(
1 + ‖H‖
∞∑
i=1
‖Ai‖
)
1−Kϕ ‖H‖
,
то не iснує iншого значення µ, при якому розв’язок рiвняння (15) з початковою умовою
x(0) = x0 задовольняв би крайову умову (11).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
400 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
Сформулюємо тепер аналогiчнi результати для рiвняння (1), розв’язки якого задо-
вольняють багатоточкову крайову умову
A0x(0) +
p∑
i=1
Aix(ti) + Cx(T ) = ϕp (x(0), x(T );x(t1), . . . , x(tp)) , (17)
де функцiя ϕp(ψ) = ϕp (ψ1, ψ2, . . . , ψp+2) : Dp+2 → M,
‖ϕp(ψ)‖ ≤ Mϕp, ‖ϕp(ψ)− ϕp(ψ∗)‖ ≤ Kϕp ‖ψ − ψ∗‖ ∀ { ψ,ψ∗} ⊂ Dp+2, (18)
а Mϕp та Kϕp — додатнi сталi.
Через Dβϕp позначимо множину точок x0 ∈ M, якi входять в область D разом зi своїм
βϕp-околом. Тут βϕp(x0) =
T
2
M + β1ϕp(x0),
β1ϕp(x0) = ‖Hp‖
∥∥∥∥∥dp −
(
p∑
i=0
Ai + C
)
x0
∥∥∥∥∥+
p∑
i=1
‖HpAi‖α1(ti)M,
dp = (d1p, d2p, . . .) ∈ M, |dip| = Mϕp, i ∈ Z+,
sign dip = −sign d 0
ip, d 0
p = colon (d 0
1p, d
0
2p, . . .) =
(
p∑
i=0
Ai + C
)
x0,
а матрицю Hp визначено нижче в умовi а1
2).
ЧерезD1γϕp позначимо пiдмножину елементiв множиниD1, що належать цiй множинi
разом зi своїми γϕp-околами, де γϕp(x) = 2M +
1
T
β1ϕp(x).
Припустимо, що справджуються наступнi умови:
а1
2) матриця
p∑
i=1
ti
T
Ai + C є оборотною, а обернена до неї матриця Hp — обмеженою за
нормою;
б1
2) перетин Dβγϕp множин Dβϕp та D1γϕp непорожнiй;
в1
2) норма матрицi
Q1
0p =
KT
2
(
1 + ‖Hp‖
p∑
i=1
‖Ai‖
)
+Kϕp‖Hp‖
K1T
2
(
1 + ‖Hp‖
p∑
i=1
‖Ai‖
)
K
(
2 +
1
2
‖Hp‖
p∑
i=1
‖Ai‖
)
+
1
T
Kϕp‖Hp‖ K1
(
2 +
1
2
‖Hp‖
p∑
i=1
‖Ai‖
)
менша за одиницю.
При цих умовах iснує послiдовнiсть функцiй {xpm(t, x0)}, визначена рiвностями, що
одержанi з (13) замiнами в них символiв xm(t, x0) на xpm(t, x0), ϕ на ϕp, Dβγϕ на Dβγϕp,
∞∑
i=0
,
∞∑
i=1
на
p∑
i=0
та
p∑
i=1
вiдповiдно. Цi функцiї задовольняють вiдповiднi рекурентнi крайовi
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ, ЩО НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ . . . 401
умови
A0xpm(0) +
p∑
i=1
Aixpm(ti) + Cxpm(T ) =
= ϕ(xpm−1(0), xpm−1(T );xpm−1(t1), . . . , xpm−1(tp))
при довiльних x0 ∈ Dβγϕp.
Умови збiжностi послiдовностi {xpm(t, x0)} до функцiї xp(t, x0), що задовольняє рiв-
нiсть (14), в якiй виконано замiну символiв x∗(t, x0) на xp(t, x0), ϕ(x∗(0), x∗(T );x∗(t1),
x∗(t2), . . .) на ϕp(xp(0), xp(T );xp(t1), . . . , xp(tp)),
∞∑
i=0
та
∞∑
i=1
на
p∑
i=0
та
p∑
i=1
вiдповiдно, наведено
в наступному твердженнi.
Наслiдок 2. Припустимо, що виконуються умови (12), (18) та а1
2),б
1
2), в1
2). Тодi:
1) послiдовнiсть функцiй {xpm(t, x0)}∞m=0 рiвномiрно вiдносно (t, x0) ∈ [0, T ] ×Dβγϕp
збiжна при m → ∞ до граничної функцiї xp(t, x0), причому
sup
t∈[0,T ]
{
‖xpm(t, x0)− xp(t, x0)‖ ,
∥∥∥∥dxpm(t, x0)
dt
− dxp(t, x0)
dt
∥∥∥∥} ≤
≤ ‖(Q1
0p)
m(E2 −Q1
0p)
−1Z0
2p‖,
де Z0
2p =
[
βϕp(x0)
γϕp(x0)
]
;
2) функцiя xp(t, x0) є розв’язком рiвняння
dx
dt
= f
(
t, x,
dx
dt
)
+ µp (19)
з крайовою умовою (17), де µp = ∆0
ϕp(x0) визначається правою частиною рiвностi (16),
в якiй виконано ту ж саму замiну символiв, що i в рiвностi (14), а H замiнено на Hp, при-
чому умова ∆0
ϕp(x0) = 0 є достатньою для того, щоб функцiя xp(t, x0) була розв’язком
крайової задачi (1), (17).
Зауваження 2. Якщо в припущеннях наслiдку 2 умову в1
2) замiнити умовою
в01
2 ) max{‖Q1
0p‖, ‖Q1
01p‖} < 1,
де
Q1
01p =
TK
(
1 + ‖Hp‖
p∑
i=1
‖Ai‖
)
1−Kϕp‖Hp‖
TK1
(
1 + ‖Hp‖
p∑
i=1
‖Ai‖
)
1−Kϕp‖Hp‖
K
(
1 + ‖Hp‖
p∑
i=1
‖Ai‖
)
1−Kϕp‖Hp‖
K1
(
1 + ‖Hp‖
p∑
i=1
‖Ai‖
)
1−Kϕp‖Hp‖
,
то не iснує iншого значення µp, при якому розв’язок рiвняння (19) з початковою умовою
x(0) = x0 задовольняв би крайову умову (17).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
402 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
3. Редукцiя крайової задачi (15), (11) до багатоточкової крайової задачi для рiвняння
у скiнченновимiрному просторi . Введемо позначення, що уточнюють позначення з [6, с.
1208]:
(n)
x = (x1, x2, . . . , xn),
(n)
x0 = (x01, x02, . . . , x0n),
(n)
f = (f1, f2, . . . , fn),
(n)
f (t,
(n)
x ,
(n)
x1) = (f1(t, x1, . . . , xn, 0, 0, . . . , x11, . . . , x1n, 0, 0, . . .), . . .
. . . , fn(t, x1, . . . , xn, 0, 0, . . . , x11, . . . , x1n, 0, 0, . . .)),
ψ = (ψ1, ψ2, . . .), ψi = (ψ1i, ψ2i, . . .),
n
ψi = (ψ1i, . . . , ψni), {n, i} ⊂ Z+,
ϕp(ψ1, . . . , ψp+2) =
{
ϕ1p(ψ1, . . . , ψp+2), ϕ2p(ψ1, . . . , ψp+2), . . .
}
=
= ϕ(ψ1, . . . , ψp+2, 0, 0, . . . ) =
=
{
ϕ1(ψ1, . . . , ψp+2, 0, 0, . . . ), ϕ2(ψ1, . . . , ψp+2, 0, 0, . . . ) . . .
}
,
n
ϕp(
n
ψ1, . . . ,
n
ψp+2) =
{
ϕ1p(
n
ψ1, . . . ,
n
ψp+2), . . . , ϕnp(
n
ψ1, . . . ,
n
ψp+2)
}
=
=
{
ϕ1(
n
ψ1, 0, 0, . . . ; . . . ;
n
ψp+2, 0, 0, . . . ; 0, 0, . . .), . . .
. . . , ϕn(
n
ψ1, 0, 0, . . . ; . . . ;
n
ψp+2, 0, 0, . . . ; 0, 0, . . .)
}
,
(n)
Ai = [a(i)
jk ]nj,k=1, i ∈ Z+, та
(n)
C = [cjk]nj,k=1 — матрицi розмiрностi n × n, що одержуються
внаслiдок укорочення матриць Ai =
[
a
(i)
jk
]∞
j,k=1
та C = [cjk]
∞
j,k=1 вiдповiдно.
Розглянемо крайову задачу для рiвняння
d
(n)
x
dt
=
(n)
f
t, (n)
x ,
d
(n)
x
dt
(20)
з крайовою умовою
(n)
A0
(n)
x (0) +
p∑
i=1
(n)
Ai
(n)
x (ti) +
(n)
C
(n)
x (T ) =
=
(n)
ϕ p(
(n)
x (0,
(n)
x0),
(n)
x (T,
(n)
x0);
(n)
x (t1,
(n)
x0), . . . ,
(n)
x (tp,
(n)
x0)), (21)
яка є багатоточковою крайовою задачею у просторi Rn.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ, ЩО НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ . . . 403
Як i ранiше, вважатимемо, що функцiї f(t, x, x1) та ϕp(ψ) пiдпорядковано умовам
(12) та (18) вiдповiдно. Вважатимемо також, що y ∈ Rn належить множинi D̃(n) (множинi
D̃
(n)
1 ), якщо (y, 0, 0, 0, . . .) ∈ D((y, 0, 0, 0, . . .) ∈ D1). Очевидно, що для довiльних {
(n)
x ,
(n)
x′ } ⊂
⊂ D̃(n), {
(n)
x1,
(n)
x′1} ⊂ D̃
(n)
1 i t ∈ [0, T ] виконуються нерiвностi
‖
(n)
f (t,
(n)
x ,
(n)
x1)‖ ≤ M,
(22)
‖
(n)
f (t,
(n)
x ,
(n)
x1)−
(n)
f (t,
(n)
x′ ,
(n)
x′1)‖ ≤ K‖
(n)
x −
(n)
x′ ‖+K1‖
(n)
x1 −
(n)
x′1‖.
Якщо yi ∈ D̃(n), i = 1, p+ 2, то Y = (y1, y2, . . . yp+2) ∈ D̃(n)p+2
i для будь-яких
{Y1, Y2} ⊂ D̃(n)p+2
виконуються нерiвностi
‖
(n)
ϕ p(Y1)‖ ≤ Mϕp, ‖
(n)
ϕ p(Y1)−
(n)
ϕ p(Y2)‖ ≤ Kϕp‖Y1 − Y2‖. (23)
Припустимо, що виконуються такi умови:
а1
3) iснує матриця
(n)
Hp, обернена до матрицi
p∑
i=1
ti
T
(n)
Ai +
(n)
C ;
б1
3) перетин D̃(n)
βγϕp множин D̃(n)
(n)
βϕp
та D̃(n)
1(n)
γϕp
непорожнiй, де D̃(n)
(n)
βϕp
та D̃(n)
1n
γϕp
— множини
таких точок
(n)
x0 = (x01, x02, . . . , x0n) ∈ Rn, що точки (
(n)
x0, 0, 0, . . .) належать областi D
разом зi своїм
(n)
βϕp-околом та областi D1 разом зi своїм
(n)
γϕp-околом, де
(n)
βϕp(x0) =
T
2
M +
(n)
β1ϕp(x0),
(n)
γ ϕp(x0) = 2M +
1
T
(n)
β1ϕp(x0),
(n)
β1ϕp(x0) = ‖
(n)
Hp‖
∥∥∥∥∥(n)
dp −
(
p∑
i=0
(n)
Ai +
(n)
C
)
(n)
x0
∥∥∥∥∥+
p∑
i=1
‖
(n)
Hp
(n)
Ai ‖α1(ti)M,
а вектор
(n)
dp =
{(n)
d1p,
(n)
d2p, . . . ,
(n)
dnp
}
∈ Rn пiдiбрано так, що |
(n)
dip| = Mϕp, sign
(n)
dip =
= −sign
(n)
d
0
ip,
(n)
d
0
p = colon
{(n)
d
0
1p,
(n)
d
0
2p, . . . ,
(n)
d
0
np
}
=
(
p∑
i=0
(n)
A i +
(n)
C
)
(n)
x0;
в1
3) норма матрицi
(n)
Q
1
0p =
KT
2
(
1 + ‖
(n)
Hp‖
p∑
i=1
‖
(n)
Ai‖
)
+Kϕp‖
(n)
Hp‖
K1T
2
(
1 + ‖
(n)
Hp‖
p∑
i=1
‖
(n)
Ai‖
)
K
(
2 +
1
2
‖
(n)
Hp‖
p∑
i=1
‖
(n)
Ai‖
)
+
1
T
Kϕp‖
(n)
Hp‖ K1
(
2 +
1
2
‖
(n)
Hp‖
p∑
i=1
‖
(n)
Ai‖
)
менша за одиницю.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
404 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
Виходячи з цих умов та нерiвностей (12), (18), можна встановити, що послiдовнiсть
функцiй {
(n)
xpm(t,
(n)
x0)}∞m=0,
(n)
xp0(t,
(n)
x 0) ≡
(n)
x
0
,яка визначена при m ∈ Z+ рекурентним спiв-
вiдношенням (13), в якому виконано замiни символiв xm(t, x0) на
(n)
x pm(t,
(n)
x0), x0 на
(n)
x 0, f
на
(n)
f , H на
(n)
H p,
∞∑
i=0
та
∞∑
i=1
на
p∑
i=0
та
p∑
i=1
вiдповiдно, Ai на
(n)
A i, ϕ(xm−1(0), xm−1(T );
xm−1(t1), xm−1(t2), . . .) на
(n)
ϕp(
(n)
x pm−1(0,
(n)
x0),
(n)
xpm−1(T,
(n)
x0);
(n)
x pm−1(t1,
(n)
x0), . . . ,
(n)
xpm−1(tp,
(n)
x0)),
при m → ∞ є збiжною до функцiї
(n)
xp(t,
(n)
x0), а послiдовнiсть
{
d
(n)
x pm(t,
(n)
x0)
dt
}∞
m=0
— до
функцiї
d
(n)
xp(t,
(n)
x0)
dt
рiвномiрно вiдносно (t,
(n)
x0) ∈ [0, T ]× D̃βγϕp. При цьому цi функцiї задо-
вольняють рiвнiсть (14), в якiй покладено
(n)
x p(t,
(n)
x0) замiсть x∗(t, x0),
(n)
ϕ p(
(n)
x p(0,
(n)
x0),
(n)
x p(T,
(n)
x0);
(n)
x p(t1,
(n)
x0), . . . ,
(n)
x p(tp,
(n)
x0)) замiсть ϕ(x∗(0), x∗(T ), x∗(t1), x∗(t2), . . . ) та проведено iншi
замiни символiв так само, як у рiвностi (13), i функцiя
(n)
xp(t,
(n)
x0) є розв’язком збуреного
рiвняння
d
(n)
x
dt
=
(n)
f
t, (n)
x ,
d
(n)
x
dt
+
(n)
µp (24)
з крайовою умовою (21), де керування
(n)
µp =
(n)
∆ϕp(
(n)
x0) визначається правою частиною
рiвностей (16), в якiй виконано тi ж самi замiни символiв, що й останнiй раз у рiвностi (14).
Умова
(n)
∆ϕp(
(n)
x 0) = 0 є достатньою для того, щоб функцiя
(n)
xp(t,
(n)
x0) визначала розв’язок
крайової задачi (20), (21).
Зауваження 3. Умова
в01
3 ) max{‖
(n)
Q
1
0p‖, ‖
(n)
Q
1
01p‖} < 1,
де
(n)
Q
1
01p =
TK(1 + ‖
(n)
Hp‖
p∑
i=1
‖
(n)
Ai‖)
1−Kϕp‖
(n)
Hp‖
TK1(1 + ‖
(n)
Hp‖
p∑
i=1
‖
(n)
Ai‖)
1−Kϕp‖
(n)
Hp‖
K(1 + ‖
(n)
Hp‖
p∑
i=1
‖
(n)
Ai‖)
1−Kϕp‖
(n)
Hp‖
K1(1 + ‖
(n)
Hp‖
p∑
i=1
‖
(n)
Ai‖)
1−Kϕp‖
(n)
Hp‖
,
забезпечує єдинiсть керування
(n)
µp =
(n)
∆ϕp(
(n)
x0) у правiй частинi рiвняння (24), розв’язок
якого задовольняє крайову умову (21).
Говорять, що f(t, x, x1) ∈ CLip(t), якщо
‖f(t′, x, x1)− f(t′′, x, x1)‖ ≤ K̃‖t′ − t′′‖, K̃ = const > 0,
для довiльних x ∈ D, x1 ∈ D1, {t′, t′′} ⊂ [0, T ].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ, ЩО НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ . . . 405
Домовимось вважати, що функцiя f(t, x, x1) ∈ ĈLip(x, x1), якщо вона неперервна в
областi D10, є обмеженою в цiй областi сталою M i задовольняє пiдсилену умову Кошi –
Лiпшиця вiдносно {x, x1}:
‖f(t, x′, x′1)− f(t, x′′, x′′1)‖ ≤ α(t)ε(m)(‖x′ − x′′‖+ ‖x′1 − x′′1‖),
де x′, x′′ — довiльнi точки областi D, першi m вiдповiдних координат яких збiгаються,
x′1, x
′′
1 — довiльнi точки областiD1, першim вiдповiдних координат яких збiгаються,α(t) ≥
≥ 0 — функцiя, неперервна на [0, T ], ε(m) −→
m→∞
≥ 0.
Будемо говорити також, що ϕ(ψ) ∈ ĈLip(ψ), якщо функцiя ϕ(ψ) обмежена на D∞
сталою Mϕ i для всiх { ψ, ψ̃, ψg} ⊂ D∞ справджуються нерiвностi
‖ϕ(ψ)− ϕ(ψ̃)‖ ≤ δ0(n)‖ψ − ψ̃‖, (25)
‖ϕ(ψ)− ϕ(ψg)‖ ≤ δ(g)‖ψ − ψg‖, (26)
причому δ0(n) → 0 при n → ∞, δ(g) → 0 при g → ∞. Приклад такої функцiї побудовано
в [6].
ПокладемоK∗ = max
t∈[0,T ]
α(t)·ε(0) i далi вважатимемо в другiй умовi (12)K1 = K = K∗.
Введемо позначення
β∗ϕp(x, n0) =
2
K∗T − 1
p∑
i=1
‖
(n0)
Ai ‖+ 2Kϕp
K∗T
(
Mϕ +
(
p∑
i=0
‖Ai‖+ ‖C‖
)
‖x‖
)
+
M
K∗ ;
γ∗ϕp(x, n0) =
2
K∗ − 4
T
p∑
i=1
‖
(n0)
Ai ‖+ 2Kϕp
K∗
(
Mϕ +
(
p∑
i=0
‖Ai‖+ ‖C‖
)
‖x‖
)
+
M
K∗ , n0 ∈ Z+;
D∗
βϕp — множина, всi точки якої належать множинiD разом зi своїм β∗ϕp(x)-околом;D∗
1γϕp
— множина, всi точки якої належать множинi D1 разом зi своїм γ∗ϕp(x)-околом.
Вважаючи, що ϕ(ψ) ∈ ĈLip(ψ), покладемо в правих частинах нерiвностей (25) i (26)
δ(0) = δ0(0) = Kϕ.
Справджується наступне твердження.
Лема 1. Нехай f(t, x, x1) ∈ ĈLip(x, x1)∩CLip(t), перетин D∗
βγϕp множин D∗
βϕp та D∗
1γϕp
непорожнiй i справджуються умови а1
2), в01
2 ), (3) та (26). Якщо для будь-якого n ≥ n0
виконуються умови а1
3), в1
3), то для будь-якого x0 ∈ D∗
βγϕp у сенсi покоординатного
граничного переходу мають мiсце спiввiдношення
lim
n→∞
(n)
xp(t,
(n)
x0) = xp(t, x0), lim
n→∞
(n)
µp = µp, (27)
lim
n→∞
d
(n)
xp(t,
(n)
x0)
dt
=
dxp(t, x0)
dt
, (28)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
406 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
в яких функцiї xp(t, x0) i
(n)
xp(t,
(n)
x0) є розв’язками крайових задач (19), (17) та (24), (21)
вiдповiдно.
Доведення проведемо аналогiчно до доведення леми 2.1 з [6]. Неважко зрозумiти, що
з умови (3) випливають умова (18) та нерiвностi (23) для будь-якого n ∈ Z+, а з вклю-
чення f(t, x, x1) ∈ ĈLip(x, x1) — нерiвностi (12) та (22) при всiх n ∈ Z+. При цьому сталi
M , K = K1 = K∗, Mϕp та Kϕp не залежать вiд n.
Враховуючи, що з умов в01
2 ) та в1
3) випливають оцiнки
KT
2
[
1 + ‖Hp‖
p∑
i=1
‖A1‖
]
≤ ‖Q1
0p‖ < 1,
KT
2
[
1 + ‖
(n)
Hp‖
p∑
i=1
‖
(n)
A1‖
]
≤ ‖
(n)
Q
1
0p‖ < 1,
одержуємо, що при n ≥ n0
(n)
βϕp < β∗ϕp, βϕp < β∗ϕp ∀x0 ∈ D∗
βγϕp. Це означає, що з
включення x0 ∈ D∗
βϕp випливають спiввiдношення x0 ∈ Dβϕp i
(n)
x0 ∈ D̃
(n)
(n)
βϕp
∀n ≥ n0.
Аналогiчно з включення x0 ∈ D∗
1γϕp випливають включення x0 ∈ D1γϕp i
(n)
x0 ∈ D̃
(n)
1(n)
γϕp
.
Для цього досить показати, що для будь-якого n ≥ n0 справджуються нерiвностi γϕp <
< γ∗ϕp ,
(n)
γ ϕp < γ∗ϕp.
Умова в1
3) приводить до нерiвностей
‖
(n)
∆ϕp(
(n)
x 0)‖ ≤
2
K∗T − 1
T
p∑
i=1
‖
(n0)
A i‖+ 2Kϕ
K∗
(
Mϕ +
(
p∑
i=0
‖Ai‖+ ‖C‖
)
‖x0‖+
+
MT
2
p∑
i=1
‖Ai‖
)
+M ≤ M ′ = const < ∞,
де n ≥ n0, x0 ∈ D∗
βγϕp. Тому послiдовнiсть
{
(n)
µ p
}∞
n=n0
рiвномiрно обмежена за нормою
простору M, i з неї методом дiагоналiзацiї можна видiлити пiдпослiдовнiсть
{
(si)
µ p
}∞
i=1
,
покоординатно збiжну при i → ∞ . Запишемо тепер вiдповiдну послiдовнiсть рiвнянь
вигляду (24), замiнивши iндекс n на iндекс si:
d
(si)
x
dt
=
(si)
f
t, (si)
x ,
d
(si)
x
dt
+
(si)
µ p, i ∈ Z+. (29)
Кожному рiвнянню (29) вiдповiдає крайова умова (21), в якiй виконано вказану вище
замiну iндексiв.
Оскiльки для будь-якого i ∈ Z+, t ∈ [0, T ] ‖
(si)
xp (t,
(si)
x0 )‖ ≤ M0, то послiдовнiсть фун-
кцiй
{
(si)
x p(t,
(si)
x0 )
}∞
i=1
рiвномiрно обмежена на цьому вiдрiзку. Покажемо, що вона на ньо-
му рiвностепенево неперервна.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ, ЩО НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ . . . 407
Дiйсно, позначивши si через k, для будь-яких {t(1), t(2)} ⊂ [0, T ] , t(1) < t(2), маємо
(k)
xp(t(2),
(k)
x0)−
(k)
xp(t(1),
(k)
x0) =
t(2)∫
t(1)
[
(k)
f
(
τ,
(k)
xp(τ,
(k)
x0),
d
(k)
xp(τ,
(k)
x0)
dτ
)
−
− 1
T
T∫
0
(k)
f
(
s,
(k)
xp(s,
(k)
x0),
d
(k)
xp(s,
(k)
x0)
ds
)
ds
]
dτ +
(t(2) − t(1))
T
(k)
H p×
×
{
(k)
ϕ p(
(k)
x p(0,
(k)
x0),
(k)
x p(T,
(k)
x0);
(k)
x p(t1,
(k)
x0), . . . ,
(k)
x p(tp,
(k)
x0))−
(
p∑
i=0
(k)
Ai +
(k)
C
)
(k)
x0−
−
p∑
i=1
(k)
Ai
ti∫
0
[
(k)
f
(
τ,
(k)
xp(τ,
(k)
x0),
d
(k)
xp(τ,
(k)
x0)
dτ
)
− 1
T
T∫
0
(k)
f
(
s,
(k)
xp(s,
(k)
x0),
d
(k)
xp(s,
(k)
x0)
ds
)
ds
]
dτ
}
,
звiдки одержуємо нерiвнiсть
‖
(k)
xp(t(2),
(k)
x0)−
(k)
xp(t(1),
(k)
x0)‖ ≤ (t(2) − t(1))M ′′, M ′′ = const < ∞.
Стала M ′′ не залежить вiд si. Тому остання нерiвнiсть забезпечує рiвностепеневу не-
перервнiсть послiдовностi
{
(si)
x p(t,
(si)
x0 )
}∞
i=1
на сегментi [0, T ], i застосування теореми Ар-
цела та методу дiагоналiзацiї дає можливiсть вибрати з неї пiдпослiдовнiсть, рiвномiрно
збiжну в покоординатному сенсi вiдносно t ∈ [0, T ]. Для зручностi вважатимемо, що та-
кою вже є сама послiдовнiсть
{
(si)
x p(t,
(si)
x0 )
}∞
i=1
, i, знову позначивши si через k, для всiх
{t(1), t(2)} ⊂ [0, T ] таких, що t(1) < t(2), з (24) отримаємо∥∥∥∥∥d
(k)
xp(t(2),
(k)
x0)
dt
− d
(k)
xp(t(1),
(k)
x0)
dt
∥∥∥∥∥ ≤ K∗
∥∥∥(k)
xp(t(2),
(k)
x0)−
(k)
xp(t(1),
(k)
x0)
∥∥∥+
+K∗
∥∥∥∥∥d
(k)
xp(t(2),
(k)
x0)
dt
− d
(k)
xp(t(1),
(k)
x0)
dt
∥∥∥∥∥+ K̃(t(2) − t(1)) ≤
≤ 1
1−K∗ [K̃ +K∗M ′′](t(2) − t(1)).
Отже, послiдовнiсть
d
(si)
x p(t,
(si)
x0 )
dt
∞
i=1
рiвностепенево неперервна на сегментi [0, T ], i,
ще раз застосувавши теорему Арцела та метод дiагоналiзацiї, можна вибрати з неї пiдпо-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
408 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
слiдовнiсть
d
(ki)
x p(t,
(ki)
x0 )
dt
∞
i=1
, рiвномiрно вiдносно t ∈ [0, T ] збiжну в покоординатному
розумiннi одночасно з послiдовнiстю
{
(ki)
x p(t,
(ki)
x0 )
}∞
i=1
.
Нехай
d
(ki)
x
dt
=
(ki)
f
t, (ki)
x ,
d
(ki)
x
dt
+
(ki)
µp , i ∈ Z+,
— вiдповiдна пiдпослiдовнiсть послiдовностi рiвнянь (29) i кожному її рiвнянню вiдповiдає
крайова умова, одержана з (21) замiною iндексу n на ki.
Ввiвши позначення µ̄p = lim
i→∞
(si)
µp , x̄p(t, x0) = lim
i→∞
(ki)
x p(t,
(ki)
x0 ), де граничнi переходи
здiйснюються у покоординатному сенсi, покажемо, що справджуються рiвностi
x̄p(t, x0) = xp(t, x0), µ̄p = µp. (30)
Введемо позначення
(ki)
xp (t,
(ki)
x0 ) =
(ki)
xp = (
(ki)
x1p, . . . ,
(ki)
xkip),
d
(ki)
xp (t,
(ki)
x0 )
dt
=
d
(ki)
xp
dt
=
d (ki)
x1p
dt
, . . . ,
d
(ki)
xkip
dt
,
(ki)
f (t,
(ki)
xp ) =
(ki)
f = (
(ki)
f1 ,
(ki)
f2 , . . . ,
(ki)
fki
), i ∈ Z+,
i розглянемо при фiксованому натуральному ` послiдовнiсть
{
(ki)
f`
}∞
i=1
, скiнченна кiль-
кiсть елементiв якої, що вiдповiдають значенням i ∈ {1, 2, . . . ,m}, є нулями, якщо km <
< ` ≤ km+1.
Тодi для будь-якого i ≥ m+ 1
(ki)
f` = f`
t, (ki)
x1p, . . . ,
(ki)
xkip, 0, 0, . . . ,
d
(ki)
x1p
dt
, . . . ,
d
(ki)
xkip
dt
, 0, 0, . . .
,
тобто вказана послiдовнiсть має вигляд
0, 0, . . . , 0︸ ︷︷ ︸
m
, f`
t, (km+1)
x1p ,
(km+1)
x2p , . . . ,
(km+1)
xkm+1p, 0, 0, . . . ,
d
(km+1)
x1p
dt
,
d
(km+1)
x2p
dt
, . . . ,
d
(km+1)
xkm+1p
dt
, 0, 0, . . .
,
f`
t, (km+2)
x1p ,
(km+2)
x2p , . . . ,
(km+2)
xkm+2p, 0, 0, . . . ,
d
(km+2)
x1p
dt
,
d
(km+2)
x2p
dt
, . . . ,
d
(km+2)
xkm+2p
dt
, 0, 0, . . .
, . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ, ЩО НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ . . . 409
Покажемо, що {
(ki)
f`
}∞
i=1
→ f`
(
t, x̄p(t, x0),
dx̄p(t, x0)
dt
)
при i → ∞. Для цього оцiнимо модуль рiзницi
I
(ki)
` =
∣∣∣∣∣∣f`
t, (ki)
x1p,
(ki)
x2p, . . . ,
d
(ki)
x1p
dt
,
d
(ki)
x2p
dt
, . . .
− f`
(
t, x̄1p, x̄2p, . . . ,
dx̄1p
dt
,
dx̄2p
dt
, . . .
)∣∣∣∣∣∣ ,
де
(ki)
x ki+1 =
(ki)
x ki+2 = . . . = 0, i ≥ m+ 1.
Неважко переконатися, що
I
(ki)
` ≤ A0(`, g) +B0(`, g),
де
A0(`, g) =
∣∣∣∣∣f`
(
t,
(ki)
x1p(t),
(ki)
x2p(t), . . . ,
d
(ki)
x1p(t)
dt
,
d
(ki)
x2p(t)
dt
, . . .
)
− f`
(
t, x̄1p(t), . . . , x̄gp(t),
(ki)
x (g+1)p(t),
(ki)
x (g+2)p(t), . . . ,
dx̄1p(t)
dt
, . . . ,
dx̄gp(t)
dt
,
d
(ki)
x (g+1)p(t)
dt
,
d
(ki)
x (g+2)p(t)
dt
, . . .
)∣∣∣∣∣,
B0(`, g) =
∣∣∣∣∣f`
(
t, x̄1p(t), . . . , x̄gp(t),
(ki)
x (g+1)p(t),
(ki)
x (g+2)p(t), . . . ,
dx̄1p(t)
dt
, . . . ,
dx̄gp(t)
dt
,
d
(ki)
x (g+1)p(t)
dt
,
d
(ki)
x (g+2)p(t)
dt
, . . .
)
− f`
(
t, x̄1p, x̄2p, . . . ,
dx̄1p
dt
,
dx̄2p
dt
, . . .
)∣∣∣∣∣.
Оскiльки f(t, x, x1) ∈ ĈLip(x, x1), то справджується оцiнка
B0(`, g) ≤ α(t)2(M0 +M1)ε(g) ≤ max
t∈[0,T ]
α(t)2(M0 +M1)ε(g),
де ε(g) −→
g→∞
0. Тодi, обравши для як завгодно малого числа ν > 0 iндекс g0 так, щоб
виконувалась нерiвнiсть ε(g0) < ν, матимемо
B0(`, g0) < 2(M0 +M1)ν max
t∈[0,T ]
α(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
410 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
Для A0(`, g0) справджується нерiвнiсть
A(`, g0) ≤ α(t)ε(0)
[
sup
{
|
(ki)
x1p − x̄1p|, . . . , |
(ki)
xg0p − x̄g0p|
}
+
+ sup
{∣∣∣∣∣d
(ki)
x1p
dt
− dx̄1p
dt
∣∣∣∣∣, . . . ,
∣∣∣∣∣d
(ki)
xg0p
dt
−
dx̄g0p
dt
∣∣∣∣∣
}]
.
Оскiльки покоординатно
(ki)
xp −→
i→∞
x̄p та
d
(ki)
xp
dt
−→
i→∞
dx̄p
dt
рiвномiрно вiдносно t ∈ [0, T ], то
iснує такий номер N(`, ν), що для будь-якого ki ≥ N(`, ν)
sup
{
|
(ki)
x1p − x̄1p|, . . . , |
(ki)
xg0p − x̄g0p|
}
+
+ sup
{∣∣∣∣∣d
(ki)
x1p
dt
− dx̄1p
dt
∣∣∣∣∣, . . . ,
∣∣∣∣∣d
(ki)
xg0p
dt
−
dx̄g0p
dt
∣∣∣∣∣
}
< ν.
Очевидно, що нерiвнiсть ki ≥ N(`, ν) виконується для будь-якого i ≥ i0 ∈ Z+. Отже,
I
(ki)
` ≤ ν(2(M0 +M1) + ε(0)) max
t∈[0,T ]
α(t) ∀ i ≥ i0. Тому рiвномiрно вiдносно t ∈
∈ [0, T ]
{
(ki)
f`
}∞
i=1
−→
i→∞
f`
(
t, x̄p,
dx̄p
dt
)
. Це означає, що в покоординатному сенсi
(ki)
f
(
t,
(ki)
xp ,
d
(ki)
xp
dt
)
∞
i=1
−→
i→∞
f
(
t, x̄p,
dx̄p
dt
)
рiвномiрно вiдносно t ∈ [0, T ]. Тодi, здiйснивши покоординатний граничний перехiд при
i → ∞ в рiвностях
d
(ki)
xp (t,
(ki)
x0 )
dt
=
(ki)
f
t, (ki)
xp (t,
(ki)
x0 ),
d
(ki)
xp (t,
(ki)
x0 )
dt
+
(ki)
µp ,
(ki)
xp (0,
(ki)
x0 ) =
(ki)
x0 ,
одержимо спiввiдношення
dx̄p(t, x0)
dt
= f
(
t, x̄p(t, x0),
dx̄p(t, x0)
dt
)
+ µ̄p, x̄p(0, x0) = x0. (31)
Неважко також переконатися, що функцiя xp(t, x0) задовольняє рiвнiсть (17).
Отже, на пiдставi рiвностей (31) функцiя x̄p(t, x0) є розв’язком крайової задачi (19),
(17), i з єдиностi керування µp для фiксованого x0 випливають рiвностi (30).
Завершується доведення леми 1 аналогiчно до доведення леми 2.1 з [6].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ, ЩО НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ . . . 411
Введемо позначення
β∗ϕ(x, n0, p0) =
2
K∗T − 1
p0∑
i=1
‖
(n0)
Ai ‖+ 2Kϕ
K∗T
(
Mϕ +
( ∞∑
i=0
‖Ai‖+ ‖C‖
)
‖x‖
)
+
M
K∗ ;
D∗
βϕ — множина, кожна точка якої належить множинi D разом зi своїм β∗ϕ(x, n0, p0)-
околом;
γ∗ϕ(x, n0, p0) =
2
K∗ − 4
T
p0∑
i=1
‖
(n0)
Ai ‖+ 2Kϕ
K∗
(
Mϕ +
( ∞∑
i=0
‖Ai‖+ ‖C‖
)
‖x‖
)
+
M
K∗ ;
D∗
1γϕ — множина, кожна точка якої належить множинi D1 разом зi своїм γ∗ϕ(x, n0, p0)-
околом.
Теорема 3 (аналог теореми 2.1 з [6]). Нехай f(t, x, x1) ∈ ĈLip(x, x1) ∩ CLip(t), ϕ (ψ) ∈
∈ ĈLip(ψ), перетин множин D∗
βϕ та D∗
1γϕ непорожнiй i для будь-яких n ≥ n0, p ≥ p0
виконуються умови а1
1), а1
2), а1
3) та умови в1
1), в01
2 ), в1
3), в яких покладено Kϕp = Kϕ. Тодi
для будь-якого x0 ∈ D∗
βϕ ∩D∗
1γϕ справджуються граничнi спiввiдношення
x∗(t, x0) = lim
p→∞
(
lim
n→∞
(n)
xp(t,
(n)
x0)
)
, (32)
µ = lim
p→∞
( lim
n→∞
(n)
µp), (33)
dx∗(t, x0)
dt
= lim
p→∞
lim
n→∞
d
(n)
x p(t,
(n)
x0)
dt
, (34)
де збiжнiсть вiдносно n є покоординатною, вiдносно p— за нормою простору M, x∗(t, x0)
та µ визначено в теоремi 2.
Якщо умову в01
2 ) замiнити умовою
в01∗
2 ) max{ ‖Q1
0p‖, ‖Q1
01p‖ } ≤ q = const < 1,
то не iснує iншого значення µ ∈ M такого, при якому розв’язок рiвняння (15) з почат-
ковою умовою x(0) = x0 задовольняв би крайову умову (11).
Доведення. Неважко показати, що з включення x0 ∈ D∗
βϕ ∩ D∗
1γϕ випливають вклю-
чення
x0 ∈ Dβϕ ∩D1γϕ, x0 ∈ Dβϕp ∩D1γϕp,
(n)
x 0 ∈ D̃
(n)
(n)
β ϕp
∩ D̃(n)
1(n)
γ ϕp
∀ n ≥ n0, p ≥ p0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
412 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
для чого достатньо переконатися в iстинностi iмплiкацiй
(x0 ∈ D∗
βϕ) ⇒ (x0 ∈ Dβϕ) ∧ (x0 ∈ Dβϕp) ∧ (
(n)
x 0 ∈ D̃
(n)
(n)
β ϕp
),
(x0 ∈ D∗
1γϕ) ⇒ (x0 ∈ D1γϕ) ∧ (x0 ∈ D1γϕp) ∧ (
(n)
x 0 ∈ D̃
(n)
1(n)
γ ϕp
).
Справджуються спiввiдношення
‖xp(t, x0)− x∗(t, x0)‖ ≤ Γ1 + Γ2 + Γ3,
∥∥∥∥∥dxp(t, x0)
dt
− dx∗(t, x0)
dt
∥∥∥∥∥ ≤ Γ1
1 +
1
T
(Γ2 + Γ3),
де
Γ1 =
∥∥∥∥∥∥
t∫
0
[
f
(
τ, x∗(τ, x0),
dx∗(τ, x0)
dτ
)
− f
(
τ, xp(τ, x0),
dxp(τ, x0)
dτ
)
−
− 1
T
T∫
0
(
f
(
s, x∗(s, x0),
dx∗(s, x0)
ds
)
− f
(
s, xp(s, x0),
dxp(s, x0)
ds
))
ds
]
dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ α1(t)K∗
[
sup
t∈[0,T ]
∥∥x∗(t, x0)− xp(t, x0)
∥∥+ sup
t∈[0,T ]
∥∥∥∥∥dx∗(t, x0)
dt
− dxp(t, x0)
dt
∥∥∥∥∥
]
,
Γ1
1 =
∥∥∥∥∥f
(
τ, x∗(τ, x0),
dx∗(τ, x0)
dτ
)
− f
(
τ, xp(τ, x0),
dxp(τ, x0)
dτ
)
−
− 1
T
T∫
0
(
f
(
s, x∗(s, x0),
dx∗(s, x0)
ds
)
− f
(
s, xp(s, x0),
dxp(s, x0)
ds
))
ds
∥∥∥∥∥ ≤
≤ 2K∗
[
sup
t∈[0,T ]
‖x∗(t, x0)− xp(t, x0)‖+ sup
t∈[0,T ]
∥∥∥∥∥dx∗(t, x0)
dt
− dxp(t, x0)
dt
∥∥∥∥∥
]
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ, ЩО НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ . . . 413
Γ2 =
∥∥∥∥∥H
{
ϕ(x∗(0), x∗(T );x∗(t1), x∗(t2), . . .)−
( ∞∑
i=0
Ai + C
)
x0
}
−
−Hp
{
ϕp(xp(0), xp(T );xp(t1), . . . , xp(tp))−
(
p∑
i=0
Ai + C
)
x0
}∥∥∥∥∥ ≤
≤ K(1)‖H −Hp‖+ ‖H‖Kϕ sup
t∈[0,T ]
‖x∗(t, x0)− xp(t, x0)‖+
+ ‖H‖M0
{ ∞∑
i=p+1
‖Ai‖+ δ0(p+ 2)
}
,
Γ3 =
∥∥∥∥∥∥H
∞∑
i=1
Ai
ti∫
0
[
f
(
τ, x∗(τ, x0),
dx∗(τ, x0)
dτ
)
−
− 1
T
T∫
0
f
(
s, x∗(s, x0),
dx∗(s, x0)
ds
)
ds
]
dτ−
−Hp
p∑
i=1
Ai
ti∫
0
[
f
(
τ, xp(τ, x0),
dxp(τ, x0)
dτ
)
−
− 1
T
T∫
0
f
(
s, xp(s, x0),
dxp(s, x0)
ds
)
ds
]
dτ
∥∥∥∥∥∥ ≤
≤ ‖H‖K
∗T
2
∞∑
i=1
‖Ai‖
[
sup
t∈[0,T ]
‖x∗(t, x0)− xp(t, x0)‖+
+ sup
t∈[0,T ]
∥∥∥∥∥dx∗(t, x0)
dt
− dxp(t, x0)
dt
∥∥∥∥∥
]
+
+ ‖H‖TM
2
∞∑
i=p+1
‖Ai‖+ ‖H −Hp‖
TM
2
∞∑
i=1
‖Ai‖.
Поклавши sup
t∈[0,T ]
‖x∗(t, x0)− xp(t, x0)‖ = ξ, sup
t∈[0,T ]
∥∥∥∥∥dx∗(t, x0)
dt
− dxp(t, x0)
dt
∥∥∥∥∥ = ξ1, одер-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
414 А. М. САМОЙЛЕНКО, Ю. В. ТЕПЛIНСЬКИЙ, В. А. НЕДОКIС
жимо оцiнки
ξ ≤ K∗T
2
(ξ + ξ1) +K(1)‖H −Hp‖+ ‖H‖‖Kϕξ+
+ ‖H‖M0
{ ∞∑
i=p+1
‖Ai‖+ δ0(p+ 2)
}
+
+
‖H‖K∗T
2
(ξ + ξ1)
∞∑
i=1
‖Ai‖+ ‖H‖TM
2
∞∑
i=p+1
‖Ai‖+ ‖H −Hp‖
TM
2
∞∑
i=1
‖Ai‖,
ξ1 ≤ 2K∗(ξ + ξ1) +K(1)‖H −Hp‖+
‖H‖
T
Kϕξ+
+
‖H‖M0
T
{ ∞∑
i=p+1
‖Ai‖+ δ0(p+ 2)
}
+
+
K∗‖H‖
2
(ξ + ξ1)
∞∑
i=1
‖Ai‖+ ‖H‖M
2
∞∑
i=p+1
‖Ai‖+ ‖H −Hp‖
M
2
∞∑
i=1
‖Ai‖,
що в сукупностi дають покомпонентну нерiвнiсть[
ξ
ξ1
]
≤ Q1
0
[
ξ
ξ1
]
+ ‖H −Hp‖K(1)
[
1
1
]
+
(
‖H −Hp‖
TM
2
∞∑
i=1
‖Ai‖+
+ ‖H‖
(
M0 +
TM
2
) ∞∑
i=p+1
‖Ai‖+ ‖H‖M0δ0(p+ 2)
)[
1
1
T
]
,
де в матрицi Q1
0 покладено K1 = K = K∗.
Оскiльки K(1) — стала, що не залежить вiд p, ряд
∞∑
i=1
‖Ai‖ є збiжним, δ0(p) прямує до
нуля при p → ∞, то, врахувавши умову в1
1), з останньої нерiвностi матимемо max{ξ, ξ1} ≤
≤ η(p)‖(E2 −Q1
0)
−1‖, де η(p) −→
p→∞
0. Це означає, що при всiх x0 ∈ D∗
βϕ ∩ D∗
1γϕ послi-
довностi {xp(t, x0)}∞p=p0
та
{
dxp(t, x0)
dt
}∞
p=p0
збiжнi за нормою простору M при p → ∞
до x∗(t, x0) та
dx∗(t, x0)
dt
вiдповiдно. Використовуючи (27) та (28), одержуємо (32) та (34).
Оскiльки з (32) випливає (33), а з умови в01
1 ) — умова в1
1), то справджується зауваження
1, що й завершує доведення теореми.
Насамкiнець зауважимо, що достатнiх умов, при яких збiжнiсть вiдносно n у гранич-
них переходах (32) — (34) здiйснювалася б за нормою простору M, на цей час не знайдено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
КРАЙОВI ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ, ЩО НЕ РОЗВ’ЯЗАНI ВIДНОСНО ПОХIДНОЇ . . . 415
1. Самойленко А. М. Численно-аналитический метод исследования счетных систем периодических диф-
ференциальных уравнений // Мат. физика. — 1966. — Вып. 2. — С. 115 – 132.
2. Мартинюк О. М., Мартинюк С. В. Исследование периодических решений счетных систем дифферен-
циальных уравнений второго порядка // Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах.
— Киев: Ин-т математики АН УССР, 1991. — С. 88 – 90.
3. Ронто Н. И., Мартынюк О. М. Исследование периодических решений счетных систем второго по-
рядка // Укр. мат. журн. — 1991. — 44, № 1. — С. 83 – 93.
4. Мартынюк О. М. О решении двухточечной краевой задачи для счетных систем // Нелинейные крае-
вые задачи математической физики и их приложения. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1992.
— С. 68 – 70.
5. Теплiнський Ю. В., Недокiс В. А. Про злiченноточкову нелiнiйну крайову задачу на пiвосi для звичай-
них диференцiальних рiвнянь у просторi обмежених числових послiдовностей // Нелiнiйнi коливання.
— 2003. — 6, № 4. — С. 530 – 549.
6. Самойленко А. М., Теплiнський Ю. В., Недокiс В. А. Метод укорочення для злiченноточкових крайо-
вих задач у просторi обмежених числових послiдовностей // Укр. мат. журн. — 2004. — 56, № 9. — С.
1203 – 1230.
7. Савiна Т. В. Триточкова крайова задача для системи рiвнянь першого порядку, не розв’язаної вiднос-
но похiдної // Конструктивнi методи дослiдження диференцiальних рiвнянь. — Київ: Iн-т математики
НАН України, 1993. — С. 166 – 173.
Одержано 25.10.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
|