Усреднение импульсных дифференциальных включений с производной Хукухары
Наведено обґрунтування методу повного i часткового усереднення для диференцiальних включень iз похiдною Хукухари, що зазнають iмпульсного впливу в фiксованi моменти часу....
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177207 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Усреднение импульсных дифференциальных включений с производной Хукухары / Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 3. — С. 416-432. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177207 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772072021-02-12T01:25:43Z Усреднение импульсных дифференциальных включений с производной Хукухары Скрипник, Н.В. Наведено обґрунтування методу повного i часткового усереднення для диференцiальних включень iз похiдною Хукухари, що зазнають iмпульсного впливу в фiксованi моменти часу. We give a substantiation for the method of complete or partial averaging for differential inclusions that contain the Hukuhara derivative and are subject to impulsive effects at fixed times. 2007 Article Усреднение импульсных дифференциальных включений с производной Хукухары / Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 3. — С. 416-432. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177207 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Наведено обґрунтування методу повного i часткового усереднення для диференцiальних включень iз похiдною Хукухари, що зазнають iмпульсного впливу в фiксованi моменти часу. |
| format |
Article |
| author |
Скрипник, Н.В. |
| spellingShingle |
Скрипник, Н.В. Усреднение импульсных дифференциальных включений с производной Хукухары Нелінійні коливання |
| author_facet |
Скрипник, Н.В. |
| author_sort |
Скрипник, Н.В. |
| title |
Усреднение импульсных дифференциальных включений с производной Хукухары |
| title_short |
Усреднение импульсных дифференциальных включений с производной Хукухары |
| title_full |
Усреднение импульсных дифференциальных включений с производной Хукухары |
| title_fullStr |
Усреднение импульсных дифференциальных включений с производной Хукухары |
| title_full_unstemmed |
Усреднение импульсных дифференциальных включений с производной Хукухары |
| title_sort |
усреднение импульсных дифференциальных включений с производной хукухары |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177207 |
| citation_txt |
Усреднение импульсных дифференциальных включений с производной Хукухары / Н.В. Скрипник // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 3. — С. 416-432. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT skripniknv usrednenieimpulʹsnyhdifferencialʹnyhvklûčenijsproizvodnojhukuhary |
| first_indexed |
2025-07-15T15:14:34Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:14:34Z |
| _version_ |
1837726407130611712 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ
С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ
Н. В. Скрипник
Одес. нац. ун-т
Украина, 27026, Одесса, ул. Дворянская, 2
e-mail: talie@ukr.net
We give a substantiation for the method of complete or partial averaging for differential inclusions that
contain the Hukuhara derivative and are subject to impulsive effects at fixed times.
Наведено обґрунтування методу повного i часткового усереднення для диференцiальних вклю-
чень iз похiдною Хукухари, що зазнають iмпульсного впливу в фiксованi моменти часу.
Хукухара [1] ввел интеграл и производную для многозначных отображений и рассмотрел
их связь между собой. Впоследствии в работе [2] было впервые рассмотрено дифферен-
циальное уравнение с производной Хукухары, решение которого являлось многознач-
ным отображением. В последующих работах [3, 4] были введены различные определе-
ния решения этого уравнения и доказаны теоремы их существования. M. Kisieliwicz [5] и
А. В. Плотников [6] рассмотрели возможность применения некоторых схем усреднения
для такого класса задач.
В [7] было введено понятие дифференциального включения с производной Хукуха-
ры, получены некоторые свойства их решений и рассмотрена возможность применения
некоторых схем усреднения для такого типа включений в стандартной форме [6, 8, 9]. В
работе [10] были получены некоторые аналогичные результаты для дифференциальных
включений с производной Хукухары с запаздыванием.
Обозначим через cc (Rn)(cocc (Rn)) пространство, состоящее из всех непустых (и вы-
пуклых) подмножеств пространства conv (Rn) с метрикой
χ(A,B) = max{max
a∈A
min
b∈B
h(a, b),max
b∈B
min
a∈A
h(a, b)},
где h(a, b) — расстояние по Хаусдорфу между множествами a, b ∈ conv (Rn).
Определим также скалярную функцию dist (a,B), a ∈ conv (Rn), B ∈ cc (Rn), следую-
щим образом:
dist (a,B) = min
b∈B
h(a, b).
Определение 1. Под интегралом Аумана – Хукухары от многозначного отображе-
ния F : [t0, T ] → cc (Rn) будем понимать множество G ∈ cc (Rn), определяемое следую-
щим образом:
G =
g ∈ conv (Rn), g =
t∫
t0
f(t)dt : f(·) ∈ F (·)
,
c© Н. В. Скрипник, 2007
416 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 417
где f : [t0, T ] → conv (Rn) и интеграл от многозначного отображения f(·) понимается
в смысле Хукухары [10].
Теорема 1 [6]. Пусть многозначное отображение F : [t0, T ] → cocc (Rn) ограничено
и интегрируемо. Тогда множество G =
∫ T
t0
F (s)ds выпукло и компактно.
Рассмотрим дифференциальное включение с производной Хукухары
DhX ∈ F (t, X), (1)
где F : R× conv (Rn) → cc (Rn) — многозначное отображение.
Определение 2. Решением дифференциального включения (1) называется абсолют-
но непрерывное многозначное отображение X(·), определенная на промежутке I ⊂ R
производная которого удовлетворяет включению (1) почти всюду на I.
Теорема 2 [8, 6]. Пусть:
1) отображение F : [t0, T ] × conv (Rn) → cc (Rn) непрерывно по (t, X) и удовлетво-
ряет условию Липшица по X с суммируемой функцией k(t);
2) отображение Y (·) абсолютно неперывно на [t0, T ] и
dist (DhY (t), F (t, Y (t))) < ρ(t)
почти всюду на [t0, T ], где ρ(·) — суммируемая функция на [t0, T ];
3) для некоторого X0 ∈ conv (Rn) выполнено условие
h(Y (t0), X0) ≤ δ.
Тогда существует решение X(·) задачи (1), определенное на [t0, T ], такое, что:
1) X(t0) = X0;
2) h(X(t), Y (t)) ≤ ξ(t), t ∈ [t0, T ];
3) h(DhX(t), DhY (t)) ≤ k(t)ξ(t) + ρ(t) почти всюду на [t0, T ], где
ξ(t) = δem(t) +
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
em(t)−m(s)ρ(s)ds
∣∣∣∣∣∣ , m(t) =
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
k(s)ds
∣∣∣∣∣∣ , t ∈ [t0, T ].
Рассмотрим обоснование метода полного усреднения на конечном промежутке для
дифференциальных включений, подвергающихся импульсному воздействию в фиксиро-
ванные моменты времени вида
DhX ∈ εF (t, X), t 6= τi, X(0) = X0, (2)
∆X|t=τi ∈ Ii(x).
Если для любого X ∈ D существует предел
F0(X) = lim
T→∞
1
T
t+T∫
t
F (t, X)dt +
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(X)
, (3)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
418 Н. В. СКРИПНИК
то включению (2) поставим в соответствие усредненное включение
DhY ∈ εF0(Y ), Y (0) = X0. (4)
Теорема 3. Пусть в области Q{t ≥ 0, X ∈ D ⊂ conv (Rn)} выполнены следующие
условия:
1) многозначные отображения F : Q → cocc (Rn), Ii : D → cocc (Rn) непрерыв-
ны, равномерно ограничены постоянной M и удовлетворяют условию Липшица по X с
постоянной λ;
2) равномерно относительно t ≥ 0 и X ∈ D существует предел (3) и
1
T
i(t, t + T ) ≤ d < ∞,
где i(t, t + T ) — количество точек последовательности τi на промежутке (t, t + T ];
3) решения включения (4) для всех X0 ∈ D′ ⊂ D при t ∈ [0, Lε−1] вместе с некоторой
ρ-окрестностью принадлежат области D.
Тогда для любого η > 0 и L > 0 существует ε0(η, L) > 0 такое, что при ε ∈ (0, ε0] и
t ∈ [0, Lε−1] справедливы следующие утверждения:
1) для любого решения Y (t) включения (4) существует решение X(t) включения (2)
такое, что выполняется неравенство
h(X(t), Y (t)) < η; (5)
2) для любого решения X(t) включения (2) существует решение Y (t) включения (4)
такое, что имеет место неравенство (5).
Таким образом, справедлива оценка
χ(R(t), R0(t)) < η,
где R(t) — сечение семейства решений исходного включения, R0(t) — сечение семейства
решений усредненного включения.
Доказательство. В силу условий 1, 2 теоремы 2 и теоремы 1 многозначное отображе-
ние F0 : D → cocc (Rn) является ограниченным постоянной M1 = M(1 + d) и удовлетво-
ряет условию Липшица с постоянной λ1 = λ(1 + d).
Действительно,
|F0(X)| = χ(F0(X), {0}) ≤ χ
F0(X),
1
T
t+T∫
t
F (t, X)dt +
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(X)
+
+ χ
1
T
t+T∫
t
F (t, X)dt +
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(X), {0}
< α +
1
T
t+T∫
t
|F (s,X)|ds+
+
1
T
∑
t≤τi<t+T
|Ii(X)| < α + M + dM = α + M(1 + d),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 419
χ(F0(X1), F0(X2)) ≤ χ
F0(X1),
1
T
t+T∫
t
F (t, X1)dt +
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(X1)
+
+ χ
1
T
t+T∫
t
F (t, X1)dt +
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(X1),
1
T
t+T∫
t
F (t, X2)dt +
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(X2)
+
+ χ
1
T
t+T∫
t
F (t, X2)dt +
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(X2), {0}
<
< 2α +
1
T
t+T∫
t
χ(F (s,X1), F (s,X2))ds +
1
T
∑
t≤τi<t+T
χ(Ii(X1), Ii(X2))
≤ 2α + λh(X1, X2) + λdh(X1, X2) = 2α + λ(1 + d)h(X1, X2),
где α может быть сделано сколь угодно малым за счет выбора T. Таким образом,
|F0(X)| ≤ M(1 + d), χ(F0(X1), F0(X2)) ≤ λ(1 + d)h(X1, X2).
Докажем, что
R0(t) ⊂ Sη(R(t)),
где Sη(R(t)) − η-окрестность множества R(t). Пусть Y (t) — некоторое решение вклю-
чения (4). Разобьем отрезок [0, Lε−1] на частичные с шагом γ(ε) таким, что γ(ε) → ∞
и εγ(ε) → 0 при ε → 0. Тогда существует измеримая ветвь V (t) отображения F0(Y (t))
такая, что
Y (t) = Y (tj) + ε
t∫
tj
V (s)ds, Y (0) = X0, t ∈ [tj , tj+1], (6)
где tj = jγ(ε), mγ(ε) ≤ Lε−1 < (m + 1)γ(ε), j = 0,m.
Рассмотрим функцию
Y 1(t) = Y 1(tj) + εVj(t− tj), t ∈ [tj , tj+1], Y 1(0) = X0, (7)
где множества Vj ∈ conv (Rn) таковы, что
h
γ(ε)Vj ,
tj+1∫
tj
V (s)ds
= min
V ∈F0(Y 1(tj))
h
γ(ε)V,
tj+1∫
tj
V (s)ds
. (8)
Множество Vj существует в силу компактности множества F0(Y 1(tj)) и непрерывнос-
ти минимизируемой функции.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
420 Н. В. СКРИПНИК
Обозначим δj = h(Y (tj), Y 1(tj)). При t ∈ [tj , tj+1] в силу (6) и (7)
h(Y (t), Y (tj)) ≤ M1εγ(ε), h(Y 1(t), Y 1(tj)) ≤ M1εγ(ε). (9)
Следовательно,
h(Y (t), Y 1(tj)) ≤ h(Y (tj), Y 1(tj)) + h(Y (t), Y (tj)) ≤ δj + εM1(t− tj), t ∈ [tj , tj+1],
(10)
χ(F0(Y (t)), F0(Y 1(tj)) ≤ λ1h(Y (t), Y 1(tj)) ≤ λ1(δj + εM1(t− tj)).
Из (8) и (10) следует, что
h
tj+1∫
tj
V (s)ds, γ(ε)Vj
≤
tj+1∫
tj
χ(F0(Y (s)), F0(Y 1(tj)))ds ≤ λ1
(
δjγ(ε) + εM1
γ2(ε)
2
)
. (11)
Учитывая (6) и (7), получаем
δj+1 ≤ δj + ελ1
(
δjγ(ε) + εM1
γ2(ε)
2
)
= (1 + λ1εγ(ε))δj + λ1M1
ε2γ2(ε)
2
. (12)
Из неравенства (12) с учетом того, что δ0 = 0, имеем
δ1 ≤ λ1M1
ε2γ2(ε)
2
,
δ2 ≤ (1 + λ1εγ(ε))δ1 + λ1M1
ε2γ2(ε)
2
≤ λ1M1
ε2γ2(ε)
2
((1 + λ1εγ(ε)) + 1),
(13)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
δj+1 ≤ λ1M1
ε2γ2(ε)
2
((1 + λ1εγ(ε))i + (1 + λ1εγ(ε))i−1 + ... + 1) =
=
M1εγ(ε)
2
(
(1 + λ1εγ(ε))i+1 − 1
)
≤ M1εγ(ε)
2
(
(1 + λ1εγ(ε))
L
εγ(ε) − 1
)
≤
≤ M1εγ(ε)
2
(eλ1L − 1).
Таким образом, в силу неравенств (9) справедлива оценка
h(Y (t), Y 1(t)) ≤ h(Y (t), Y (tj)) + h(Y (tj), Y 1(tj)) + h(Y 1(tj), Y 1(t)) ≤
≤ 2M1εγ(ε) +
M1εγ(ε)
2
(eλ1L − 1) ≤ M1εγ(ε)
2
(eλ1L + 3). (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 421
Из условия 2 теоремы следует, что для любого η1 > 0 существует ε1(η1) > 0 такое,
что при ε ≤ ε1(η1) выполняется неравенство
χ
F0(Y 1(tj)),
1
γ(ε)
tj+1∫
tj
F (s, Y 1(tj))ds +
1
γ(ε)
∑
tj≤τi<tj+1
Ii(Y 1(tj))
< η1. (15)
Следовательно, существуют множества Uj(t) ∈ F (t, Y 1(tj)), Pij ∈ Ii(Y 1(tj)) такие, что
h
Vj ,
1
γ(ε)
tj+1∫
tj
Uj(s)ds +
∑
tj≤τi<tj+1
Pij
< η1. (16)
Рассмотрим семейство функций
X1(t) = X1(tj) + ε
t∫
tj
Uj(s)ds + ε
∑
tj≤τi<t
Pij , t ∈ (tj , tj+1]. (17)
Из (7), (17) и (16) с учетом того, что X1(0) = Y 1(0), следует, что при j = 1,m
h(X1(tj), Y 1(tj)) ≤ h(X1(tj−1), Y 1(tj−1)) + η1εγ(ε) ≤ ... ≤ jη1εγ(ε) ≤ Lη1. (18)
Поскольку при t ∈ (tj , tj+1]
h(X1(t), X1(tj)) ≤ M(1 + d)εγ(ε) = M1εγ(ε),
то, учитывая неравенство (9), имеем
h(X1(t), Y 1(t)) ≤ Lη1 + 2M1εγ(ε),
(19)
h(X1(t), Y 1(tj)) ≤ Lη1 + M1εγ(ε).
Покажем, что существует решение
X(t) = X(tj) + ε
t∫
tj
U(τ) dτ + ε
∑
tj≤τi<t
Qi, X(0) = X0, t ∈ (tj , tj+1],
включения (2), которое является достаточно близким к X1(t).
Пусть θ1, ..., θp — моменты импульсов τi, попадающие в полуинтервал (tj , tj+1]. Для
удобства обозначим θ0 = tj , θp+1 = tj+1. Пусть µ+
k = h(X1(θk + 0), X(θk + 0)),
µ−k = h(X1(θk), X(θk)), k = 0, p + 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
422 Н. В. СКРИПНИК
Учитывая условие Липшица, получаем
dist
(
DhX1(t), εF (t, X1(t))
)
≤ χ
(
εF (t, Y 1(tj)), εF (t, X1(t))
)
≤
≤ ελh(X1(t), Y 1(tj)) ≤ ελ(M1εγ(ε) + Lη1) = η∗,
dist
(
∆X1|t=θk
, εIi(X1(θk))
)
≤ χ
(
εIi(Y 1(tj)), εIi(X1(θk))
)
≤
≤ ελh(Y 1(tj), X1(θk)) ≤ ελ(M1εγ(ε) + Lη1) = η∗.
Согласно теореме 2 между точками импульсов существует решение X(t) включения
(2) такое, что при t ∈ (θk, θk+1] справедлива оценка
h(X(t), X1(t)) ≤ µ+
k eελ(t−θk) + ε
t∫
θk
eελ(t−s)η∗ds.
Обозначим γk = θk+1 − θk ≤ γ(ε), γ0 + ... + γp = γ(ε). Тогда
µ−k+1 ≤ µ+
k eελγk +
η∗
λ
(
eλεγ(ε) − 1
)
. (20)
При переходе через точку импульса получим
µ+
k+1 ≤ µ−k+1 + εχ
(
Ii(Y 1(tj)), Ii(X(θk+1))
)
≤
≤ µ−k+1 + εχ
(
Ii(X1(θk+1)), Ii(X(θk+1))
)
+ εχ
(
Ii(Y 1(tj)), Ii(X1(θk+1))
)
≤
≤ µ−k+1 + ελµ−k+1 + εχ
(
Ii(Y 1(tj)), Ii(X1(θk+1))
)
≤
≤ (1 + ελ)µ−k+1 + η∗. (21)
Из (20) и (21) следует, что
µ+
k+1 ≤ (1 + ελ)eελγkµ+
k + β, β =
η∗
λ
(1 + ελ)
(
eλεγ(ε) − 1
)
+ η∗.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 423
Следовательно,
µ+
1 ≤ (1 + ελ)eλεγ0µ+
0 + β ≤ (1 + ελ)eλεγ(ε)µ+
0 + β,
µ+
2 ≤ (1 + ελ)eελγ1µ+
1 + β ≤ (1 + ελ)2eελ(γ0+γ1)µ+
0 +
+ β(1 + ελ)eελγ1 + β ≤ (1 + ελ)2eλεγ(ε)µ+
0 + β
(
(1 + ελ)eλεγ(ε) + 1
)
,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
µ+
k+1 ≤ (1 + ελ)k+1eελγ(ε)µ+
0 + β
(
eλεγ(ε)((1 + ελ)k + ... + (1 + ελ)) + 1
)
=
= (1 + ελ)k+1eλεγ(ε)µ+
0 + β
(
eλεγ(ε) (1 + ελ)k − 1
ελ
(1 + ελ) + 1
)
≤
≤ eλ(1+d)εγ(ε)µ+
0 + η∗
(
1 + ελ
λ
(eλεγ(ε) − 1) + 1
)(
eλεγ(ε) e
λdεγ(ε) − 1
ελ
(1 + ελ) + 1
)
=
= αµ+
0 + β1,
где
α = eλεγ(ε)(1+d),
β1 = (M1εγ(ε) + Lη1)
(
1 + ελ
λ
(eλεγ(ε) − 1) + 1
)(
eλεγ(ε)
(
eλdεγ(ε) − 1
)
(1 + ελ) + ελ
)
.
Таким образом,
δ+
j+1 = h(X(tj+1), X1(tj+1)) ≤ αδ+
j + β1.
Получаем цепочку неравенств
δ+
0 = 0, δ+
1 ≤ β1, δ+
2 ≤ αβ1 + β1 = (α + 1)β1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
δ+
j+1 ≤ (αj + ... + 1)β1 =
αj+1 − 1
α− 1
β1 ≤
≤ eλL(1+d) − 1
eλ(1+d)εγ(ε) − 1
(M1εγ(ε) + Lη1)
(
1 + ελ
λ
(eλεγ(ε) − 1) + 1
)
×
×
(
eλεγ(ε)
(
eλdεγ(ε) − 1
)
(1 + ελ) + ελ
)
.
Поскольку
lim
ε↓0
(
1 + ελ
λ
(eλεγ(ε) − 1) + 1
)
= 1
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
424 Н. В. СКРИПНИК
и
lim
ε↓0
eλεγ(ε)
(
eλdεγ(ε) − 1
)
(1 + ελ) + ελ
eλ(1+d)εγ(ε) − 1
= lim
ε→0
eλεγ(ε) eλdεγ(ε)−1
λεγ(ε) + 1
γ(ε)
eλ(1+d)εγ(ε)−1
λεγ(ε)
=
d
1 + d
,
то
δ+
j+1 ≤ C(M1εγ(ε) + Lη1)
при ε ≤ ε2.
Следовательно, при t ∈ (tj , tj+1] имеет место неравенство
h(X(t), X1(t)) ≤ h(X(t), X(tj)) + h(X(tj), X1(tj))) + h(X1(t), X1(tj)) ≤
≤ M(1 + d)εγ(ε) + M1εγ(ε) + C(M1εγ(ε) + Lη1) = M1(2 + C)εγ(ε) + CLη1.
(22)
В силу неравенств (14), (26) и (22) получаем, что h(X(t), Y (t)) может быть сделано
меньше любого наперед заданного η за счет выбора ε ≤ ε0 и η1.
Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.
Если многозначные отображения F (t, X) и Ii(X) являются периодичными по t, то
можно получить более точную оценку.
Теорема 4. Пусть в области Q{t ≥ 0, X ∈ D ⊂ conv (Rn)} выполнены следующие
условия:
1) многозначные отображения F : Q → cocc (Rn), Ii : D → cocc (Rn) непрерыв-
ны, равномерно ограничены постоянной M и удовлетворяют условию Липшица по X с
постоянной λ;
2) многозначное отображение F (t, X) 2π-периодично по t и существует p ∈ N та-
кое, что для всех i ∈ N справедливы равенства τi+p = τi + 2π, Ii+p(X) ≡ Ii(X);
3) решения включения (4) для всех X0 ∈ D′ ⊂ D при t ∈ [0, Lε−1] вместе с некоторой
ρ-окрестностью принадлежат области D.
Тогда для любого L > 0 существуют такие ε0(L) > 0 и C(L) > 0, что при ε ∈ (0, ε0]
и t ∈ [0, Lε−1] справедливы следующие утверждения:
1) для любого решения Y (t) включения (4) существует решение X(t) включения (2)
такое, что выполняется неравенство
h(X(t), Y (t)) ≤ Cε; (23)
2) для любого решения X(t) включения (2) существует решение Y (t) включения (4)
такое, что имеет место неравенство (23).
Таким образом, справедлива оценка
χ(R(t), R0(t)) < Cε,
где R(t) — сечение семейства решений исходного включения, R0(t) — сечение семейства
решений усредненного включения.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 425
Доказательство. В силу условия 2 теоремы формула усреднения (3) принимает вид
F0(X) ≡ 1
2π
2π∫
0
F (s,X)ds +
1
2π
∑
0≤τi<2π
Ii(X). (24)
В силу условия 1 теоремы и формулы (24) многозначное отображение F0 : D → cocc (Rn)
ограничено постоянной M1 = M(1 + d) и удовлетворяет условию Липшица с постоянной
λ1 = λ(1 + d).
Действительно,
|F0(X)| = χ(F0(X), {0}) = χ
1
2π
2π∫
0
F (t, X)dt +
1
2π
∑
0≤τi<2π
Ii(X), {0}
≤
≤ 1
2π
2π∫
0
|F (s,X)|ds +
1
2π
∑
t≤τi<t+T
|Ii(X)| ≤ M + dM = M(1 + d),
χ(F0(X1), F0(X2)) = χ
1
2π
2π∫
0
F (t, X1)dt +
1
2π
∑
0≤τi<2π
Ii(X1),
1
2π
2π∫
0
F (t, X2)dt +
1
2π
∑
0≤τi<2π
Ii(X2)
≤ 1
2π
2π∫
0
χ(F (s,X1), F (s,X2))ds+
+
1
2π
∑
0≤τi<2π
χ(Ii(X1), Ii(X2)) ≤ λh(X1, X2) + λdh(X1, X2) =
= λ(1 + d)h(X1, X2).
Пусть Y (t) — некоторое решение включения (4). Разобьем отрезок [0, Lε−1] на частич-
ные с шагом 2π точками tj = 2πj, j = 0,m, где m таково, что tm ≤ Lε−1 < tm+1. Тогда
существует измеримая ветвь V (t) отображения F0(Y (t)) такая, что
Y (t) = Y (tj) + ε
t∫
tj
V (s)ds, Y (0) = X0, t ∈ [tj , tj+1]. (25)
Рассмотрим функцию
Y 1(t) = Y 1(tj) + εVj(t− tj), t ∈ [tj , tj+1], Y 1(0) = X0, (26)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
426 Н. В. СКРИПНИК
где множества Vj ∈ conv (Rn) таковы, что
h
2πVj ,
tj+1∫
tj
V (s)ds
= min
V ∈F0(Y 1(tj))
h
2πV,
tj+1∫
tj
V (s)ds
. (27)
Множество Vj существует в силу компактности множества F0(Y 1(tj)) и непрерывнос-
ти минимизируемой функции.
Обозначим δj = h(Y (tj), Y 1(tj)). При t ∈ [tj , tj+1] в силу (25) и (26)
h(Y (t), Y (tj)) ≤ 2πM1ε, h(Y 1(t), Y 1(tj)) ≤ 2πM1ε. (28)
Следовательно,
h(Y (t), Y 1(tj)) ≤ h(Y (tj), Y 1(tj)) + h(Y (t), Y (tj)) ≤ δj + εM1(t− tj), t ∈ [tj , tj+1],
(29)
χ(F0(Y (t)), F0(Y 1(tj)) ≤ λ1h(Y (t), Y 1(tj)) ≤ λ1(δj + εM1(t− tj)).
Из (27) и (29) следует, что
h
tj+1∫
tj
V (s)ds, 2πVj
≤
tj+1∫
tj
χ(F0(Y (s)), F0(Y 1(tj)))ds ≤ λ1
(
2πδj + 2π2M1ε
)
. (30)
Учитывая (25) и (26), получаем
δj+1 ≤ δj + ελ1
(
2πδj + 2π2M1ε
)
= (1 + 2πλ1ε)δj + 2π2λ1M1ε
2. (31)
Из неравенства (31) с учетом того, что δ0 = 0, имеем
δ1 ≤ 2π2λ1M1ε
2,
δ2 ≤ (1 + 2πλ1ε)δ1 + 2π2λ1M1ε
2 ≤ 2π2λ1M1ε
2((1 + 2πλ1ε) + 1), (32)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
δj+1 ≤ 2π2λ1M1ε
2((1 + 2πλ1ε)i + (1 + 2πλ1ε)i−1 + ... + 1) =
= πM1ε
(
(1 + 2πλ1ε)i+1 − 1
)
≤ πM1ε
(
(1 + 2πλ1ε)
L
2πε − 1
)
≤ πM1ε(eλ1L − 1).
Таким образом, в силу неравенств (9) справедлива оценка
h(Y (t), Y 1(t)) ≤ h(Y (t), Y (tj)) + h(Y (tj), Y 1(tj)) + h(Y 1(tj), Y 1(t)) ≤
≤ 4πM1ε + πM1ε(eλ1L − 1) ≤ πM1ε(eλ1L + 3). (33)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 427
Из условия 2 теоремы следует
F0(Y 1(tj)) =
1
2π
tj+1∫
tj
F (s, Y 1(tj))ds +
1
2π
∑
tj≤τi<tj+1
Ii(Y 1(tj)). (34)
Следовательно, существуют множества Uj(t) ∈ F (t, Y 1(tj)), Pij ∈ Ii(Y 1(tj)) такие, что
Vj =
1
2π
tj+1∫
tj
Uj(s)ds +
∑
tj≤τi<tj+1
Pij
. (35)
Рассмотрим семейство функций
X1(t) = X1(tj) + ε
t∫
tj
Uj(s)ds + ε
∑
tj≤τi<t
Pij , t ∈ (tj , tj+1]. (36)
Из (26), (36) и (35) с учетом того, что X1(0) = Y 1(0), следует, что при j = 1,m
X1(tj) = Y 1(tj)), h(X1(t), X1(tj)) ≤ 2πM1ε, h(X1(t), Y 1(t)) ≤ 4πM1ε. (37)
Покажем, что существует решение
X(t) = X(tj) + ε
t∫
tj
U(τ) dτ + ε
∑
tj≤τi<t
Qi, X(0) = X0, t ∈ (tj , tj+1],
включения (2), которое является достаточно близким к X1(t).
Пусть θ1, ..., θp− моменты импульсов τi, попадающие в полуинтервал (tj , tj+1]. Для
удобства обозначим θ0 = tj , θp+1 = tj+1. Пусть
µ+
k = h(X1(θk + 0), X(θk + 0)), µ−k = h(X1(θk), X(θk)), k = 0, p + 1.
Учитывая условие Липшица, получаем
dist
(
DhX1(t), εF (t, X1(t))
)
≤ χ
(
εF (t, Y 1(tj)), εF (t, X1(t))
)
≤
≤ ελh(X1(t), X1(tj)) ≤ 2πλM1ε
2 = η∗,
dist
(
∆X1|t=θk
, εIi(X1(θk))
)
≤ χ
(
εIi(Y 1(tj)), εIi(X1(θk))
)
≤
≤ ελh(X1(tj), X1(θk)) ≤ 2πλM1ε
2 = η∗.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
428 Н. В. СКРИПНИК
Согласно теореме 2 между точками импульсов существует решение X(t) включения (2)
такое, что при t ∈ (θk, θk+1] справедлива оценка
h(X(t), X1(t)) ≤ µ+
k eελ(t−θk) + ε
t∫
θk
eελ(t−s)η∗ds.
Обозначим γk = θk+1 − θk ≤ 2π, γ0 + ... + γp = 2π. Тогда
µ−k+1 ≤ µ+
k eελγk +
η∗
λ
(
e2πλε − 1
)
. (38)
При переходе через точку импульса имеем
µ+
k+1 ≤ µ−k+1 + εχ
(
Ii(Y 1(tj)), Ii(X(θk+1))
)
≤
≤ µ−k+1 + εχ
(
Ii(X1(θk+1)), Ii(X(θk+1))
)
+
+ εχ
(
Ii(X1(tj)), Ii(X1(θk+1))
)
≤
≤ µ−k+1 + ελµ−k+1 + εχ
(
Ii(X1(tj)), Ii(X1(θk+1))
)
≤
≤ (1 + ελ)µ−k+1 + η∗. (39)
Из (20) и (21) следует, что
µ+
k+1 ≤ (1 + ελ)eελγkµ+
k + β,
β =
η∗
λ
(1 + ελ)
(
e2πλε − 1
)
+ η∗.
Следовательно,
µ+
1 ≤ (1 + ελ)eλεγ0µ+
0 + β ≤ (1 + ελ)e2πλεµ+
0 + β,
µ+
2 ≤ (1 + ελ)eελγ1µ+
1 + β ≤ (1 + ελ)2eελ(γ0+γ1)µ+
0 +
+ β(1 + ελ)eελγ1 + β ≤ (1 + ελ)2e2πλεµ+
0 +
+ β
(
(1 + ελ)e2πλε + 1
)
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 429
µ+
k+1 ≤ (1 + ελ)k+1e2πλεµ+
0 + β
(
e2πλε((1 + ελ)k + ... + (1 + ελ)) + 1
)
=
= (1 + ελ)k+1e2πλεµ+
0 + β
(
e2πλε (1 + ελ)k − 1
ελ
(1 + ελ) + 1
)
≤
≤ e2πλ(1+d)εµ+
0 + η∗
(
1 + ελ
λ
(e2πλε − 1) + 1
)
×
×
(
e2πλε eλdε2π − 1
ελ
(1 + ελ) + 1
)
=
= αµ+
0 + β1,
где
α = e2πλ(1+d)ε,
β1 = 2πM1ε2π
(
1 + ελ
λ
(e2πλε − 1) + 1
)(
e2πλε
(
e2πλdε − 1
)
(1 + ελ) + ελ
)
.
Таким образом,
δ+
j+1 = h(X(tj+1), X1(tj+1)) ≤ αδ+
j + β1.
Получаем цепочку неравенств
δ+
0 = 0,
δ+
1 ≤ β1,
δ+
2 ≤ αβ1 + β1 = (α + 1)β1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
δ+
j+1 ≤ (αj + ... + 1)β1 =
αj+1 − 1
α− 1
β1 ≤
≤ eλL(1+d) − 1
e2πλ(1+d)ε − 1
(M1ε2π + Lη1)
(
1 + ελ
λ
(e2πλε − 1) + 1
)
×
×
(
e2πλε
(
e2πλdε − 1
)
(1 + ελ) + ελ
)
.
Поскольку
lim
ε→0
(
1 + ελ
λ
(e2πλε − 1) + 1
)
= 1
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
430 Н. В. СКРИПНИК
и
lim
ε→0
e2πλε
(
e2πλdε − 1
)
(1 + ελ) + ελ
e2πλ(1+d)ε − 1
= lim
ε→0
e2πλε e2πλdε−1
λε + 1
e2πλ(1+d)ε−1
λε
=
2dπ + 1
2(1 + d)π
,
то
δ+
j+1 ≤ C0ε
при ε ≤ ε2.
Следовательно, при t ∈ (tj , tj+1] имеет место неравенство
h(X(t), X1(t)) ≤ h(X(t), X(tj)) + h(X(tj), X1(tj))) + h(X1(t), X1(tj)) ≤
≤ 2πM(1 + d)ε + 2πM1ε + C0ε = 2πM1(2 + C0)ε. (40)
В силу неравенств (33), (37) и (40) получаем
h(X(t), Y (t)) ≤ C1ε, (41)
где C1 = πM1(eλ1L + 3) + 4πM1 + C0.
Взяв произвольное решение X(t) включения (2) и выполнив выкладки, аналогичные
предыдущим, можем построить решение Y (t) включения (4) такое, что выполняется не-
равенство вида (41) с некоторой константой C2. Выбирая C = max{C1, C2} и ε0 таким
образом, чтобы решения Y (t) не выходили за ρ-окрестность решений X(t), получаем
справедливость всех утверждений теоремы.
Для дифференциальных включений с производной Хукухары можно проводить ча-
стичное усреднение, т. е. усреднять только некоторые слагаемые или сомножители.
Приведем результат по обоснованию схемы частичного усреднения.
Теорема 5. Пусть в области Q определены дифференциальные включения
DhX ∈ εF (t, X), t 6= τi, X(0) = X0, (42)
∆X|t=τi ∈ Ii(x),
DhY ∈ εF (t, Y ), t 6= νj , Y (0) = X0, (43)
∆Y |t=νj ∈ Ij(x),
и пусть в этой области:
1) многозначные отображения F, F : Q → cc (Rn), Ii, Ij : D → cc (Rn) непрерыв-
ны, равномерно ограничены постоянной M и удовлетворяют условию Липшица по X с
постоянной λ;
2) равномерно относительно t ≥ 0 и X ∈ D существует предел
lim
T→∞
χ
1
T
t+T∫
t
F (t, X)dt +
1
T
∑
t≤τi<t+T
Ii(X),
1
T
t+T∫
t
F (t, X)dt +
1
T
∑
t≤νj<t+T
Ij(X)
= 0
(44)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
УСРЕДНЕНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 431
и
1
T
i(t, t + T ) ≤ d < ∞,
1
T
j(t, t + T ) ≤ d < ∞,
где i(t, t+T ), j(t, t+T ) — количество точек последовательностей τi, νj на промежутке
(t, t + T ];
3) решения включения (43) для всех X0 ∈ D′ ⊂ D при t ∈ [0, Lε−1] принадлежат
вместе с некоторой ρ-окрестностью области D.
Тогда для любого η > 0 и L > 0 существует такое ε0(η, L) ∈ (0, σ], что при ε ∈
∈ (0, ε0] и t ∈ [0, Lε−1] справедливы следующие утверждения:
1) для любого решения Y (t) включения (43) существует решение X(t) включения
(42) такое, что выполняется неравенство
h(X(t), Y (t)) < η; (45)
2) для любого решения X(t) включения (42) существует решение Y (t) включения
(43) такое, что имеет место неравенство (45).
Таким образом, справедлива оценка
χ(R(t), R(t)) < η,
где R(t), R(t) — замыкания сечения семейств решений включений (42) и (43).
Замечания. 1. Если многозначные отображения F (t, X), F (t, X), Ii(X) и Ii(X) явля-
ются периодичными по t, то можно получить оценку, аналогичную полученной в теоре-
ме 4.
2. В случае, когда F, F : R × conv (Rn) → conv (Rn), Ij , Ij : conv (Rn) → conv (Rn),
отсюда следуют результаты, полученные в работах В. А. Плотникова и П. М. Китанова.
3. В случае, когда F, F : R×Rn → conv (Rn), Ij , Ij : Rn → conv (Rn), отсюда следуют
результаты, полученные в работе В. А. Плотникова [11].
4. В случае, когда F, F : R×Rn → Rn, Ij , Ij : Rn → Rn, отсюда следуют результаты,
полученные в работе В. А. Плотникова [12].
1. Hukuhara M. Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe // Funkc. ekvaci-
oj. — 1967. — № 10. — P. 205 – 223.
2. De Blasi F. S., Iervolino F. Equazioni differentiali con soluzioni a valore compatto convesso // Boll. Unione
mat. ital. — 1969. — 2, № 4-5. — P. 491 – 501.
3. Brandao Lopes Pinto A. J., De Blasi F. S., Iervolino F. Uniqueness and existence theorems for differential
equations with compact convex valued solutions // Ibid. — 1970. — 4. — P. 534 – 538.
4. Kisielewicz M. Description of a class of differential equations with set-valued solutions // Lincei-Rend. sci.
fis. e mat. e nat. — 1975. — 58. — P. 158 – 162.
5. Kisielewicz M. Method of averaging for differential equations with compact convex valued solutions // Rend.
mat. — 1976. — 9, № 3. — P. 397 – 408.
6. Плотников А.В. Исследование некоторых дифференциальных уравнений с многозначной правой ча-
стью: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. — Одесса, 1994.
7. Плотников А. В. Дифференциальные включения с производной Хукухары и некоторые задачи управ-
ления. — Одесса, 1982. — 35 с. — Деп. в УкрНИИНТИ, № 2036-82.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
432 Н. В. СКРИПНИК
8. Плотников А. В. Дифференциальные включения с производной Хукухары. — Одесса, 1987. — 43 с.
— Деп. в УкрНИИНТИ, № 989-Ук87.
9. Плотников А. В. Усреднение дифференциальных включений с производной Хукухары // Укр. мат.
журн. — 1989. — 42, № 1. — С. 121 – 125.
10. Dabrowska R., Janiak T. Stability of functional-differential equations with compact convex valued solutions
// Discuss. Math. — 1993. — № 13. — P. 87 – 92.
11. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной
правой частью. Асимптотические методы. — Одесса: Астропринт, 1999. — 356 с.
12. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. — Киев; Одесса: Лыбидь, 1992. — 188 с.
Получено 27.11.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 3
|