О порядках наилучших приближений интегралов функций с помощью интегралов ранга σ
Дослiджуються величини eσ(f) найкращих наближень iнтегралiв функцiй iз просторiв Lp(A, dµ) з допомогою iнтегралiв рангу σ. Знайдено порядки при σ → ∞ верхнiх меж цих величин у випадку, коли функцiя f є добутком двох невiд’ємних функцiй, одну з яких зафiксовано, а iнша варiюється на одиничнiй кул...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177214 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О порядках наилучших приближений интегралов функций с помощью интегралов ранга \sigma / А.И. Степанец, А.Л. Шидлич // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 4. — С. 528-559. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177214 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772142021-02-12T01:26:05Z О порядках наилучших приближений интегралов функций с помощью интегралов ранга σ Степанец, А.И. Шидлич, А.Л. Дослiджуються величини eσ(f) найкращих наближень iнтегралiв функцiй iз просторiв Lp(A, dµ) з допомогою iнтегралiв рангу σ. Знайдено порядки при σ → ∞ верхнiх меж цих величин у випадку, коли функцiя f є добутком двох невiд’ємних функцiй, одну з яких зафiксовано, а iнша варiюється на одиничнiй кулi Up(A) простору Lp(A, dµ). Розглянуто застосування одержаних результатiв до задач наближення у просторах Sφ^p We study the values eσ(f) of the best approximations of integrals of functions from the space Lp(A, dµ) with rank σ integrals. We find the orders for the least upper bounds of these quantities as σ → ∞ in the case where the function f is a product of two nonnegative functions one of which is fixed and the other varies over the unit ball Up(A) in the space Lp(A, dµ). We consider applications of the obtained results to approximation problems in the spaces Sφ^p. 2007 Article О порядках наилучших приближений интегралов функций с помощью интегралов ранга \sigma / А.И. Степанец, А.Л. Шидлич // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 4. — С. 528-559. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177214 517.5 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Дослiджуються величини eσ(f) найкращих наближень iнтегралiв функцiй iз просторiв Lp(A, dµ)
з допомогою iнтегралiв рангу σ. Знайдено порядки при σ → ∞ верхнiх меж цих величин у випадку, коли функцiя f є добутком двох невiд’ємних функцiй, одну з яких зафiксовано, а iнша
варiюється на одиничнiй кулi Up(A) простору Lp(A, dµ). Розглянуто застосування одержаних
результатiв до задач наближення у просторах Sφ^p |
| format |
Article |
| author |
Степанец, А.И. Шидлич, А.Л. |
| spellingShingle |
Степанец, А.И. Шидлич, А.Л. О порядках наилучших приближений интегралов функций с помощью интегралов ранга σ Нелінійні коливання |
| author_facet |
Степанец, А.И. Шидлич, А.Л. |
| author_sort |
Степанец, А.И. |
| title |
О порядках наилучших приближений интегралов функций с помощью интегралов ранга σ |
| title_short |
О порядках наилучших приближений интегралов функций с помощью интегралов ранга σ |
| title_full |
О порядках наилучших приближений интегралов функций с помощью интегралов ранга σ |
| title_fullStr |
О порядках наилучших приближений интегралов функций с помощью интегралов ранга σ |
| title_full_unstemmed |
О порядках наилучших приближений интегралов функций с помощью интегралов ранга σ |
| title_sort |
о порядках наилучших приближений интегралов функций с помощью интегралов ранга σ |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177214 |
| citation_txt |
О порядках наилучших приближений интегралов функций с помощью интегралов ранга \sigma / А.И. Степанец, А.Л. Шидлич // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 4. — С. 528-559. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT stepanecai oporâdkahnailučšihpribliženijintegralovfunkcijspomoŝʹûintegralovrangas AT šidličal oporâdkahnailučšihpribliženijintegralovfunkcijspomoŝʹûintegralovrangas |
| first_indexed |
2025-07-15T15:15:00Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:15:00Z |
| _version_ |
1837726434751152128 |
| fulltext |
УДК 517 . 5
О ПОРЯДКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛОВ
ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ РАНГА σ
А. И. Степанец , А. Л. Шидлич
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев, ул. Терещенковская, 3
We study the values eσ(f) of the best approximations of integrals of functions from the space Lp(A, dµ)
with rank σ integrals. We find the orders for the least upper bounds of these quantities as σ → ∞ in the
case where the function f is a product of two nonnegative functions one of which is fixed and the other
varies over the unit ball Up(A) in the space Lp(A, dµ). We consider applications of the obtained results to
approximation problems in the spaces Sp
ϕ.
Дослiджуються величини eσ(f) найкращих наближень iнтегралiв функцiй iз просторiв Lp(A, dµ)
з допомогою iнтегралiв рангу σ. Знайдено порядки при σ → ∞ верхнiх меж цих величин у ви-
падку, коли функцiя f є добутком двох невiд’ємних функцiй, одну з яких зафiксовано, а iнша
варiюється на одиничнiй кулi Up(A) простору Lp(A, dµ). Розглянуто застосування одержаних
результатiв до задач наближення у просторах Sp
ϕ.
1. Основные обозначения и постановка задачи. Пусть (Rm, dµ), m ≥ 1, — m-мерное ев-
клидово пространство точек x = (x1, . . . , xm), оснащенное σ-конечной σ-аддитивной не-
прерывной мерой dµ, A — µ-измеримое подмножество из (Rm, dµ), µ-мера которого рав-
на a, где a — конечное число, или же a = ∞ :
mesµA = |A|µ = a, a ∈ (0,∞];
Y = Y (A, dµ) — множество всех заданных на A функций y = y(x), измеримых относи-
тельно меры dµ.
При заданном p ∈ (0,∞) черезLp(A, dµ) обозначим подмножество функций из Y (A, dµ),
для которых величина
‖y‖Lp(A,dµ) =
∫
A
|y(x)|pdµ
1/p
(1)
является конечной.
Известно, что функционал ‖ · ‖Lp(A,dµ), определенный соотношением (1), при p ≥ 1
задает норму, а при p ∈ (0, 1) — квазинорму на Lp(A, dµ).
Пусть, далее, f ∈ L1(A, dµ), σ — некоторое положительное число и Γσ = Γσ(A) —
множество всех µ-измеримых подмножеств γσ из A, µ-мера которых равна σ.
В работе рассматриваются величины
eσ(f) = eσ(f)A
df= inf
γσ∈Γσ
∣∣∣∣∣∣
∫
A
f(x)dµ−
∫
γσ
f(x)dµ
∣∣∣∣∣∣ (2)
c© А. И. Степанец , А. Л. Шидлич, 2007
528 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
О ПОРЯДКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИЙ . . . 529
в случае, когда функция f является произведением двух неотрицательных функций, одна
из которых фиксирована, а другая варьируется на единичном шаре Up(A) пространства
Lp(A, dµ),
Up(A) = {y ∈ Y (A, dµ) : ‖y‖Lp(A,dµ) ≤ 1}.
Величины eσ(f) впервые рассматривались в работе [1]. Идея их введения восходит к
работе С. Б. Стечкина [2], в которой появилось известное понятие наилучшего n-членного
приближения. Величины eσ(f) можно рассматривать в качестве интегрального аналога
этого понятия и называть наилучшими приближениями интеграла функции f по мно-
жеству A посредством интегралов ранга (порядка) σ.
Пусть U+
p (A) — подмножество всех неотрицательных функций из Up(A) и ϕ(x) — не-
отрицательная существенно ограниченная на A функция, для которой в случае, когда
множество A неограничено, предполагается, что
lim
|x|→∞
ϕ(x) = 0 (3)
(в таком случае записываем ϕ ∈ Φ(A)).
Для заданного σ > 0, произвольной функции ϕ ∈ Φ(A) и любой неотрицательной
функции y положим
eσ(y, ϕ) = eσ(y, ϕ,A, dµ) df= inf
γσ∈Γσ
∫
A\γσ
ϕ(x)y(x)dµ (4)
и будем рассматривать величины eσ(y, ϕ), когда y принадлежит U+
p (A) для всех p ∈ (0,∞)
при условиях, гарантирующих существование интегралов в правой части (4). В случае,
когда p > 1, достаточным условием существования этих интегралов, в силу неравенства
Гельдера, является условие на функцию ϕ :
‖ϕ‖Lq(A,dµ) < ∞, 1/p+ 1/q = 1. (5)
При p ∈ (0, 1), в отличие от случая p ≥ 1, одними условиями на функцию ϕ достигнуть
этого можно только в тривиальном случае. В связи с этим полагаем
Up(A) = Up(A, dµ) =
{
U+
p (A) ∩ L1(A, dµ), p ∈ (0, 1),
U+
p (A), p ∈ [1,∞),
и рассматриваем eσ(y, ϕ) только при y ∈ Up(A).
Основной задачей данной работы является исследование поведения при σ → ∞ вели-
чин
eσ(ϕ, p) = sup
y∈Up(A)
eσ(y, ϕ), p ∈ (0,∞). (6)
Понятно, что такая задача имеет смысл только в случае, когда mesµA = ∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
530 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. Л. ШИДЛИЧ
Точные значения этих величин при p = 1 были найдены в работе [1], а для всех
p ∈ (0,∞) — в работе [3] (см. также [4]). Для этих значений справедливы следующие
утверждения.
Теорема А. Пусть ϕ ∈ Φ(A). Тогда при любых p ∈ (0, 1] и σ > 0 справедливо равен-
ство
eσ(ϕ, p) = sup
s∈(0,a]
(s− σ)
s∫
0
dt
ϕ̄ p(t)
− 1
p
, (7)
в котором ϕ̄(t) — убывающая перестановка функции ϕ(x). При этом точная верхняя
грань в правой части (7) достигается при некотором конечном значении s = s∗. Точная
верхняя грань в правой части соотношения (6) реализуется функцией y∗ = y∗(x, ϕ, σ, p),
задаваемой равенством
y∗(x) =
(
ϕp(x)
∫
E
ϕ−p(t)dµ
)− 1
p
, x ∈ E,
0, x ∈ A \ E,
где E — любое измеримое подмножество множества {x ∈ A : ϕ(x) ≥ ϕ̄(s∗ − 0)},
mesµE = s∗, содержащее множество {x ∈ A : ϕ(x) > ϕ̄(s∗ − 0)}.
Теорема В. Пусть eσ(ϕ, p) — величина, определяющаяся равенством (6), p ∈ (1,∞)
и ϕ — произвольная функция из множества Φ(A), удовлетворяющая условию (5). Тогда
при любом σ > 0 справедливо равенство
eσ = eσ(ϕ, p) =
(s∗ − σ)q
s∗∫
0
ϕ̄−p(t) dt
− q
p
+
a∫
s∗
ϕ̄ q(t) dt
1
q
, (8)
где ϕ̄(t) — убывающая перестановка функции ϕ(x), а s∗ — наибольшее на промежутке
(σ, a] число такое, что при всех s ∈ (σ, s∗) выполняется неравенство
s− σ ≤ ϕ̄ p(s)
s∫
0
ϕ̄−p(t) dt. (9)
Такое число s∗ всегда существует. Верхняя грань в соотношении (6) реализуется функ-
цией y∗ = y∗(x, ϕ, σ, p) из Up(A), в которой при s∗ = a < ∞
y∗(x) =
ϕp(x)
∫
A
ϕ−p(t)dµ
− 1
p
, x ∈ A,
а при s∗ < a
y∗(x) =
ϕ−1(x)(s∗ − σ)
q
p
(∫
E
ϕ−p(t)dµ
)− q
p
e
− q
p
σ , x ∈ E,
ϕ
q
p (x)e
− q
p
σ , x ∈ A \ E,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
О ПОРЯДКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИЙ . . . 531
где E = {x ∈ A : ϕ(x) ≥ ϕ̄(s∗ − 0)}.
Следовательно, задача об исследовании поведения величин eσ(ϕ, p) при σ → ∞ сво-
дится к исследованию величин Gσ(ϕ, p), которые в случае, когда p ∈ (0, 1] и ϕ ∈ Φ(A),
задаются равенством
Gσ(ϕ, p)
df= eσ(ϕ, p) = sup
s>0
(s− σ)
s∫
0
dt
ϕ̄ p(t)
− 1
p
, (10)
где ϕ̄(t) — убывающая перестановка функции ϕ(x). Если же p ∈ (1,∞) и функция ϕ ∈
∈ Φ(A) удовлетворяет условию (5), то
Gσ(ϕ, p)
df= eσ(ϕ, p) =
(s∗ − σ)q
s∗∫
0
ϕ̄−p(t) dt
− q
p
+
∞∫
s∗
ϕ̄ q(t) dt
1
q
, (11)
где ϕ̄(t) — убывающая перестановка функции ϕ(x), а s∗ — наибольшее на промежутке
(σ,∞) число такое, что при всех s ∈ (σ, s∗] выполняется неравенство
s− σ ≤ ϕ̄ p(s)
s∫
0
ϕ̄−p(t) dt. (12)
Заметим, что условие (3) гарантирует тот факт, что для функции ϕ(x) ее функция
распределения Fϕ(y),
Fϕ(y) df=mesµEy, Ey = {x ∈ A : ϕ(x) ≥ y}, y > 0,
принимает только конечные значения из промежутка [0, a]. Поэтому, согласно определе-
нию убывающей перестановки функции (см., например, [1,] [5] (гл. 6), [6] (гл. X)), вели-
чина ϕ̄(t) определена при любом t > 0.
Отметим также, что величины Gσ(ϕ, p) вида (10) и (11) в случае, когда σ = n ∈ N,
носителем меры dµ в пространстве R+ является множество N, где она равна единице:
µ(k) ≡ 1, k ∈ N, и A = N, встречались, в частности, в работах [7 – 17], [18] (гл. VI). На-
пример, в работах [16, 17] и [18] (гл. VI) в терминах величин вида (10) даны точные зна-
чения поперечников по Колмогорову октаэдров в гильбертовом пространстве, в работах
[7 – 9] в терминах таких величин — точные значения наилучших n-членных приближе-
ний q-эллипсоидов пространств Sqϕ в пространствах Spϕ, 0 < p, q < ∞. Поэтому изучение
поведения величин Gσ(ϕ, p) при σ → ∞, наверное, имеет и самостоятельный интерес.
Для упрощения записей в случае, когда p ∈ (0, 1], положим ψ(t+ 1) = ϕ̄p(t), t > 0, и
Ḡσ(ψ, p)
df=Gσ(ϕ, p) = sup
s>0
(s− σ)
s∫
0
dt
ϕ̄ p(t)
− 1
p
= sup
s>σ
(s− σ)
s+1∫
1
dt
ψ(t)
− 1
p
, (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
532 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. Л. ШИДЛИЧ
а при p ∈ (1,∞) — ψ(t+ 1) = ϕ̄(t), t > 0, и
Ḡσ(ψ, p)
df=Gσ(ϕ, p) =
(s∗ − σ)q
s∗∫
0
ϕ̄−p(t) dt
− q
p
+
∞∫
s∗
ϕ̄ q(t) dt
1
q
=
=
(s∗ − σ)q
s∗+1∫
1
dt
ψp(t)
− q
p
+
∞∫
s∗+1
ψ q(t) dt
1
q
, (14)
где s∗ = s∗(σ) — наибольшее на промежутке (σ,∞) число такое, что при всех s ∈ (σ, s∗)
выполняется неравенство
s− σ ≤ ψ p(s+ 1)
s+1∫
1
dt
ψ p(t)
. (15)
Будем рассматривать величины Ḡσ(ψ, p) в случае, когда функции ψ выбираются из мно-
жества M всех положительных непрерывных выпуклых вниз и исчезающих на бесконеч-
ности функций непрерывного аргумента t ≥ 1 :
M = {ψ(t) : ψ(t) > 0, ψ(t1)− 2ψ((t1 + t2)/2) + ψ(t2) ≥ 0 ∀t1, t2 ∈ [1,∞), lim
t→∞
ψ(t) = 0}.
Таким образом, к условиям монотонного убывания к нулю функций ψ(·), которым они
удовлетворяют автоматически как степени перестановок, добавляются условия их вы-
пуклости. Эти условия являются техническими, поскольку здесь применяется развитый
аппарат выпуклых функций. В то же время следует отметить, что для практических при-
ложений такое ограничение малозначительно.
Множество M весьма не однородно по скорости стремления к нулю при t → ∞ его
элементов: функции ψ(t) могут убывать как сколь угодно медленно, так и сколь угодно
быстро. Поэтому возникает необходимость разбиения множества M на подмножества,
объединяющие функции ψ ∈ M, которые в определенном смысле имеют одинаковый
характер стремления к нулю.
Следуя монографии [19, с. 159] (см. также [20]), в качестве характеристики, с учетом
которой удобно проводить такое разбиение, выбираем пару функций η(t) = η(ψ; t) и
µ(t) = µ(ψ; t), которые определяются следующим образом. Пусть ψ ∈ M, тогда через
η(t) = η(ψ; t) обозначим функцию, связанную с ψ равенством
ψ(η(t)) =
1
2
ψ(t), t ≥ 1. (16)
В силу строгой монотонности функции ψ, η(t) для всех t ≥ 1 из (16) определяется
однозначно:
η(t) = η(ψ; t) = ψ−1
(
1
2
ψ(t)
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
О ПОРЯДКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИЙ . . . 533
Функция µ(t) определяется равенством
µ(t) = µ(ψ; t) =
t
η(t)− t
.
Если ψ1(t) = t−r, r > 0, то µ(ψ1; t) = (21/r − 1)−1; если ψ2(t) = 1/ ln(t + a), a > e,
то µ(ψ2; t) = t/((t + a)2 + a − t); если же ψ3(t) = e−t, то µ(ψ3; t) = t/ ln 2. Эти примеры
показывают, что величина µ(ψ; t) может быть ограниченной сверху и снизу некоторыми
положительными числами, стремиться к нулю при t → ∞ и быть неограниченной сверху.
Именно по этим признакам из множества M выделяют следующие подмножества:
M0 = {ψ ∈ M : 0 < µ(ψ; t) ≤ K ∀t ≥ 1} , (17)
M∞ = {ψ ∈ M : 0 < K ≤ µ(ψ; t) < ∞ ∀t ≥ 1} , (18)
MC = M0 ∩M∞ = {ψ ∈ M : 0 < K1 ≤ µ(ψ; t) ≤ K2 ∀t ≥ 1} . (19)
Здесь и в дальнейшемK,K1, . . .— некоторые положительные постоянные, не зависящие
от величин, которые являются в данном рассмотрении параметрами (в рассматриваемом
случае — от переменной t).
Далее, через M+
0 обозначим подмножество функций ψ ∈ M0, для которых величина
µ(ψ; t) при t → ∞ монотонно стремится к нулю:
M+
0 = {ψ ∈ M : µ(ψ; t) ↓ 0}, (20)
а через M+
∞ — подмножество функций ψ ∈ M∞, у которых µ(ψ; t) монотонно и неогра-
ниченно возрастает, когда t → ∞ :
M+
∞ = {ψ ∈ M : µ(ψ; t) ↑ ∞}. (21)
Отметим, что естественными представителями множества MC являются функции t−r,
r > 0, t−r lnε(t+e), ε ∈ R, и др., множества M+
0 — функции lnε(t+e) при ε < 0, множеству
M+
∞ принадлежат функции exp(−αtr) при любых α > 0 и r > 0.
2. Основные результаты. Основными результатами работы являются следующие
утверждения.
Теорема 1. Если функция ψ принадлежит множеству M0, то для любого p ∈ (0, 1]
справедливо порядковое при σ → ∞ равенство
Ḡσ(ψ; p) � ψ
1
p (σ + 1)
σ
1
p
−1
. (22)
Здесь и далее под выражением „a(σ) � b(σ) при σ → ∞” понимается, что существуют
постоянные 0 < K1 < K2 такие, что при всех σ, больших некоторого числа σ0, выполня-
ется неравенство
K1a(σ) ≤ b(σ) ≤ K2a(σ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
534 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. Л. ШИДЛИЧ
Из теоремы 1, учитывая теорему A и принятые обозначения, получаем следующее
утверждение.
Следствие 1. Если p ∈ (0, 1] и функция ϕ ∈ Φ(A) такова, что при любом t ≥ 0
выполняется равенство ϕ̄ p(t) = ψ(t + 1), где ψ ∈ M0, то справедливо порядковое при
σ → ∞ равенство
eσ(ϕ, p) �
ϕ̄(σ)
σ
1
p
−1
.
В случае, когда ψ ∈ M+
∞, рассмотрим следующие подмножества множества M+
∞ :
M ′
∞ = {ψ ∈ M+
∞ : α(ψ; t) ↓ 0, ψ(t)/|ψ′(t)| ↑ ∞ },
где
α(t) = α(ψ; t) =
ψ(t)
t|ψ′(t)|
, ψ′(t) = ψ′(t+ 0), (23)
и
M′′
∞ = {ψ ∈ M+
∞ ψ(t)/|ψ′(t)| ↓ 0 }.
Отметим, что естественными представителями множеств M ′
∞ и M′′
∞ являются функ-
ции exp(−αtr), α > 0, в случаях, когда r ∈ (0, 1) и r > 1 соответственно.
Теорема 2. Если функция ψ принадлежит множеству M ′
∞ или же функция ψ при-
надлежит M′′
∞ и такая, что функция ψ′′(t) не возрастает на [1,∞), то для любого
p ∈ (0, 1] справедливо порядковое при σ → ∞ равенство
Ḡσ(ψ; p) � ψ
1
p (σ + 1)
(η(ψ;σ + 1)− σ − 1)
1
p
−1
. (24)
Из теорем A и 2, учитывая принятые обозначения, а также то, что согласно опреде-
лению для любого t > 0
η(ϕ̄; t) = η(ψ; t+ 1)− 1, (25)
получаем следующее утверждение.
Следствие 2. Если p ∈ (0, 1] и функция ϕ ∈ Φ(A) при любом t ≥ 0 удовлетворяет
равенству ϕ̄ p(t) = ψ(t+1), где ψ ∈ M ′
∞ или же функция ψ ∈ M′′
∞ и такая, что функция
ψ′′(t) не возрастает на [1,∞), то справедливо порядковое при σ → ∞ равенство
eσ(ϕ, p) �
ϕ̄(σ)
(η(ϕ̄;σ)− σ)
1
p
−1
.
Пусть теперь p ∈ (1,∞). Если ограничиться рассмотрением функций ψ из мно-
жества M и учесть обозначения (17) – (21), то понятно, что интегралы в (14) могут быть
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
О ПОРЯДКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИЙ . . . 535
конечными только когда эти функции принадлежат множеству M∞. Рассмотрим сначала
случай, когда ψ ∈ MC ⊂ M∞.
Теорема 3. Пусть p ∈ (1,∞), а функция ψ ∈ MC такая, что ‖ψ‖Lq [1,∞) < ∞,
1
p
+
1
q
=
= 1, и функция 1/ψ(t) выпукла вниз при всех t ≥ t0 ≥ 1. Тогда справедливо соотношение
Ḡσ(ψ, p) � ψ(σ + 1)σ1− 1
p . (26)
Из теоремы 3, учитывая теорему B и принятые обозначения, получаем следующее
утверждение.
Следствие 3. Если p ∈ (1,∞) и функция ϕ ∈ Φ(A) при любом t ≥ 0 удовлетворяет
равенству ϕ̄(t) = ψ(t + 1), где ϕ̄ — убывающая перестановка функции ϕ, а функция
ψ ∈ MC такая, что ‖ψ‖Lq [1,∞) < ∞,
1
p
+
1
q
= 1, и функция 1/ψ(t) выпукла вниз при всех
t ≥ t0 ≥ 1, то при σ → ∞ справедливо соотношение
eσ(ϕ, p) � ϕ̄(σ)σ1− 1
p .
В случае, когда функция ψ принадлежит множеству M+
∞, условие ‖ψ‖Lq [1,∞) < ∞ все-
гда выполняется, поскольку справедливо следующее утверждение, доказательство кото-
рого будет приведено в п. 6.
Утверждение 1. Если ψ ∈ M+
∞, то для произвольного r > 0 найдется число K > 0
такое, что для любого t ≥ 1
ψ(t) ≤ Kt−r. (27)
Как и при рассмотрении случая p ∈ (0, 1], функции ψ будем выбирать из множеств
M′
∞ и M′′
∞.
Теорема 4. Если функция ψ принадлежит множеству M ′
∞, или же функция ψ при-
надлежит M′′
∞ и такая, что производная (ψp(t))′′ не возрастает при t ≥ 1, то для
любого p ∈ (1,∞) справедливо равенство
Ḡσ(ψ; p) � ψ
1
p (σ + 1)(η(ψ;σ + 1)− σ − 1)1−
1
p , σ → ∞. (28)
Из теоремы 4, учитывая теорему B, принятые обозначения и соотношение (25), полу-
чаем следующее утверждение.
Следствие 4. Если функция ϕ ∈ Φ(A) при любом t ≥ 0 удовлетворяет равенству
ϕ̄(t) = ψ(t + 1), где ψ ∈ M ′
∞ или же функция ψ ∈ M′′
∞ и такая, что производная
(ψp(t))′′ не возрастает на [1,∞), то для любого p ∈ (1,∞) при σ → ∞ справедливо
соотношение
eσ(ϕ, p) � ϕ̄(σ)(η(ψ;σ)− σ)1−
1
p .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
536 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. Л. ШИДЛИЧ
Во второй части работы рассматриваются некоторые приложения полученных ре-
зультатов. В частности, получены порядковые равенства при n → ∞ для величин наи-
лучших n-членных приближений q-эллипсоидов в пространствах Spϕ, а также порядковые
равенства для некоторых поперечников.
3. Доказательство теоремы 1. При заданных ν > 1 и s > ν рассмотрим функ-
цию Fν(s) :
Fν(s) =
s− ν(∫ s
1
dt
ψ(t)
) 1
p
, 0 < p ≤ 1. (29)
Критическая точка s = sν функции Fν(s) является точкой максимума и удовлетворя-
ет соотношению
F ′
ν(s) =
∫ s
1
dt
ψ(t) −
1
p(s− ν)ψ−1(s)(∫ s
1
dt
ψ(t)
) 1
p
+1
= 0. (30)
При этом
Fν(sν) =
sν − ν∫ sν
1
dt
ψ(t)
1(∫ sν
1
dt
ψ(t)
) 1
p
−1
=
pψ(sν)(∫ sν
1
dt
ψ(t)
) 1
p
−1
. (31)
Покажем сначала, что в рассматриваемом случае
ψ(sν) � ψ(ν). (32)
Вследствие монотонности функции ψ всегда ψ(sν) ≤ ψ(ν), поэтому для доказательства
(32) достаточно убедиться в существовании постоянной K1 > 0, для которой
ψ(ν) ≤ K1ψ(sν). (33)
Рассмотрим возрастающую последовательность чисел {νk}∞k=1 таких, что при любом
k ∈ N νk = η(ψ; νk−1), a ν0
df= ν.Поскольку функция ψ принадлежит множеству M0, вслед-
ствие (17) для любого k ∈ N и ν ≥ 1 имеем
νk − ν
ν
=
νk
νk−1
νk−1
νk−2
. . .
ν1
ν
− 1 ≥ (K2 + 1)k − 1, K2 = const.
Поэтому начиная с некоторого номера k0 ≥ 1 будем иметь
νk0 − ν > ν.
Покажем, что sν ≤ νk0+1. Тогда, согласно определению последовательности {νk}∞k=1,
ψ(sν) ≥ ψ(νk0+1) = ψ(ν)/2k0+1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
О ПОРЯДКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИЙ . . . 537
что и доказывает неравенство (33), а с ним и порядковое равенство (32).
Из соотношения (30) следует
sν∫
1
dt
ψ(t)
=
sν − ν
pψ(sν)
или
ν∫
1
dt
ψ(t)
= Φ(sν),
где
Φ(s) =
s∫
ν
(
1
ψ(s)
− 1
ψ(t)
)
dt+
(
1
p
− 1
)
s− ν
ψ(s)
. (34)
Функция Φ(s) не убывает при всех s > ν. Поэтому если при s = νk0+1 выполняется
неравенство
ν∫
1
dt
ψ(t)
dt ≤ Φ(s), (35)
то выполняется и соотношение sν ≤ νk0+1.
Согласно определению последовательности {νk},
1
ψ(νk0+1)
− 1
ψ(νk0)
=
1
ψ(νk0)
=
2k0
ψ(ν)
≥ 1
ψ(ν)
.
Отсюда, учитывая монотонность функции ψ, получаем
Φ(νk0+1) ≥
νk0+1∫
ν
(
1
ψ(νk0+1)
− 1
ψ(t)
)
dt ≥
(
1
ψ(νk0+1)
− 1
ψ(νk0)
)
(νk0−ν) ≥
ν
ψ(ν)
≥
ν∫
1
dt
ψ(t)
,
т. е. неравенство (35) при s = νk0+1 выполняется. Поэтому действительно sν ≤ νk0+1 и,
следовательно, справедливо соотношение (32).
Если p = 1, то вследствие (29) имеем
Ḡσ(ψ; p) = sup
t≥σ
Fσ+1(t+ 1) = sup
s≥ν
Fν(s),
где ν = σ + 1 > 1, s = t+ 1 ≥ ν. Отсюда в силу (31) и (32) получаем
Ḡσ(ψ; p) = sup
s≥ν
Fν(s) = Fν(sν) = pψ(sν) � ψ(ν) = ψ(σ + 1),
и соотношение (22) в таком случае доказано.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
538 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. Л. ШИДЛИЧ
Если же p ∈ (0, 1), то для доказательства соотношения (22) следует еще показать, что
sν∫
1
dt
ψ(t)
� ν − 1
ψ(ν)
. (36)
Имеем
sν∫
1
dt
ψ(t)
=
sν−1∫
0
dt
ψ(t+ 1)
=
sν − 1
ψ(sν)
−
sν−1∫
0
t|ψ′(t+ 1)|
ψ2(t+ 1)
dt ≥ sν − 1
ψ(sν)
−
sν−1∫
0
dt
α(t+ 1)ψ(t+ 1)
,
где величина α(t) = α(ψ; t) определяется равенством (23).
Поскольку ψ ∈ M0, в силу теоремы 12.1 из [19] (см. также [20], теорему 1), при лю-
бом t ≥ 1 выполняется неравенство α(ψ; t) ≥ K3 > 0, K3 = const, учитывая которое,
получаем
sν∫
1
dt
ψ(t)
≥ sν − 1
ψ(sν)
− 1
K3
sν∫
1
dt
ψ(t)
и, значит,
sν∫
1
dt
ψ(t)
≥ K3
K3 + 1
sν − 1
ψ(sν)
.
С другой стороны, так как функция ψ убывает, то
sν∫
1
dt
ψ(t)
≤ sν − 1
ψ(sν)
. (37)
Поэтому
sν∫
1
dt
ψ(t)
� sν − 1
ψ(sν)
. (38)
Из соотношений (30) и (37) следует
(sν − 1)− (ν − 1) = pψ(sν)
sν∫
1
dt
ψ(t)
≤ pψ(sν)
sν − 1
ψ(sν)
= p (sν − 1),
откуда видим, что
ν − 1 ≤ sν − 1 ≤ ν − 1
1− p
.
Объединяя это соотношение с соотношениями (32) и (38), получаем (36).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
О ПОРЯДКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИЙ . . . 539
Таким образом, положив ν = σ + 1, будем иметь
Ḡσ(ψ; p) = sup
s≥ν
Fν(s) = Fν(sν) = pψ(sν)
sν∫
1
dt
ψ(t)
1− 1
p
�
� ψ(ν)
(
ν − 1
ψ(ν)
)1− 1
p
=
ψ
1
p (ν)
(ν − 1)
1
p
−1
=
ψ
1
p (σ + 1)
σ
1
p
−1
.
Теорема доказана.
4. Доказательство теоремы 2. Как отмечено ранее, критическая точка s = sν функ-
ции Fν(s) является точкой максимума и удовлетворяет соотношениям (30), (31).
Покажем сначала, что для произвольной функции ψ, удовлетворяющей условиям тео-
ремы 2, справедливо порядковое при s → ∞ равенство
s∫
1
dt
ψ(t)
� η(ψ; s)− s
ψ(s)
. (39)
Имеем
s∫
1
dt
ψ(t)
=
s
ψ(s)
− 1
ψ(1)
−
s∫
1
dt
α(ψ; t)ψ(t)
.
В силу определения для любой функции ψ ∈ M ′
∞ ∪ M′′
∞ величина α(ψ; t) монотонно
убывает к нулю. Отсюда, учитывая соотношение
ψ(t)
2|ψ′(t)|
≤ η(ψ; t)− t ≤ K1
ψ(t)
|ψ′(t)|
∀t ≥ 1 (40)
(см., например, [17, с. 164, 166]), получаем
s∫
1
dt
ψ(t)
≥ α(ψ; s)
1 + α(ψ; s)
(
s
ψ(s)
− 1
ψ(1)
)
≥ K2
1
|ψ ′(s)|
≥ K3
η(ψ; s)− s
ψ(s)
. (41)
С другой стороны, если ψ ∈ M ′
∞, то производная функции ψ(t)/|ψ′(t)| положительна.
Отсюда следует, что для любого t ≥ 1 имеет место неравенство
ψ(t) ≥ ψ ′2(t)/ψ′′(t), ψ′′(t) df=ψ′′(t+ 0),
учитывая которое, получаем
s∫
1
dt
ψ(t)
≤
s∫
1
ψ′′(t)dt
ψ ′2(t)
=
1
|ψ ′(s)|
− 1
|ψ ′(1)|
≤ K4
η(ψ; s)− s
ψ(s)
. (42)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
540 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. Л. ШИДЛИЧ
Таким образом, если ψ ∈ M ′
∞, то равенство (39) доказано.
Покажем, что соотношение, аналогичное (42), справедливо и для функций ψ ∈ M ′′
∞.
Рассмотрим систему точек s0, s−1, s−2, . . . , s−N , N ∈ N, таких, что при любом k = 1, N
η(ψ; s−k) = s1−k, s0
df= s, a s−N ∈ [1, η(1)]. Тогда в силу монотонности функции ψ
s∫
1
dt
ψ(t)
≤
η(1)∫
1
dt
ψ(t)
+
N∑
k=1
s1−k∫
s−k
dt
ψ(t)
≤
≤
η(1)∫
1
dt
ψ(t)
+
N∑
k=1
s1−k − s−k
ψ(s1−k)
=
η(1)∫
1
dt
ψ(t)
+
N∑
k=1
s1−k − s−k
2k−1ψ(s)
. (43)
Далее, для оценки величины в правой части соотношения (43) будем использовать
следующую лемму.
Лемма 1. Пусть функция ψ ∈ M′′
∞ такова, что функция ψ′′(t) не возрастает на
[1,∞). Тогда при любом t ≥ 1 выполняется неравенство
η(ψ; η(ψ; t))− η(ψ; t)
η(ψ; t)− t
≥ 1 + ln 2
2
. (44)
Доказательство. Для любой функции ψ ∈ M ′′
∞, в силу монотонности функции ψ′′,
имеем
η ′(t) = η ′(ψ; t) =
|ψ′(t)|
2|ψ′(η(t))|
=
1
2
+
|ψ′(t)| − |ψ′(η(t))|
2|ψ′(η(t))|
≥ 1
2
+
ψ′′(η(t))(η(t)− t)
2|ψ′(η(t))|
. (45)
Согласно определению множества M ′′
∞, величина ψ(t)/|ψ′(t)| монотонно стремится к
нулю. Поэтому для любого t ≥ 1 справедливо соотношение
ln 2 =
η(t)∫
t
|ψ′(τ)|
ψ(τ)
dτ ≤ |ψ′(η(t))|
ψ(η(t))
(η(t)− t). (46)
Кроме того, поскольку производная функции ψ(t)/|ψ′(t)| отрицательна, заключаем, что
для любого t ≥ 1
ψ(t) ≤ ψ ′2(t)/ψ′′(t). (47)
Объединяя соотношения (45) – (47), получаем
η ′(t) ≥ 1
2
+
ψ′′(η(t))
2|ψ′(η(t))|
ψ(η(t)) ln 2
|ψ′(η(t))|
≥ 1 + ln 2
2
,
и, следовательно,
η(η(t))− η(t) =
η(t)∫
t
η ′(τ)dτ ≥ 1 + ln 2
2
(η(t)− t).
Лемма доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
О ПОРЯДКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИЙ . . . 541
Учитывая неравенство (44), из (43) получаем
s∫
1
dt
ψ(t)
≤
a∫
1
dt
ψ(t)
+
N∑
k=1
2k(η(ψ; s)− s)
2k(1 + ln 2)kψ(s)
≤
a∫
1
dt
ψ(t)
+
η(ψ; s)− s
ψ(s) ln 2
≤ K5
η(ψ; s)− s
ψ(s)
. (48)
Объединяя соотношения (41) и (48), делаем вывод, что в случае, когда ψ ∈ M ′′
∞, также
справедливо соотношение (39).
Покажем теперь, что для любой функции ψ, удовлетворяющей условиям теоремы 1,
справедливо соотношение
ψ(sν) � ψ(ν) при ν → ∞. (49)
Для этого, как отмечалось при доказательстве теоремы 1, достаточно показать, что су-
ществует постоянная K6 > 0, для которой
ψ(ν) ≤ K6ψ(sν). (50)
Из соотношения (39) следует, что существует постоянная K7 > 0 такая, что при всех
достаточно больших ν будет выполняться неравенство
ν∫
1
dt
ψ(t)
≤ K7
η(ψ; ν)− ν
ψ(ν)
. (51)
Возьмем число k0 = k0(K7) ∈ N так, чтобы выполнялось неравенство
2k0 − 3
K7
≥ 1, (52)
и, как и при доказательстве теоремы 1, покажем, что sν ≤ νk0 , где νk = η(ψ; νk−1), k ∈ N,
ν0 = ν. Отсюда будет следовать, что
ψ(sν) ≥ ψ(νk0) = ψ(ν)/2k0 ,
и, значит, справедливы соотношения (50), (49).
Рассмотрим функцию Φ(s), определяемую равенством (34). Покажем, что при доста-
точно больших ν выполняется неравенство
ν∫
1
ψ(t)dt ≤ Φ(νk0),
из которого будет следовать, что sν ≤ νk0 .
В силу (34), (51) и (52) имеем
Φ(νk0) ≥
νk0∫
ν
(
1
ψ(νk0)
− 1
ψ(t)
)
dt ≥ (2k0 − 3)
η(ν)− ν
ψ(ν)
≥ 2k0 − 3
K7
ν∫
1
dt
ψ(t)
≥
ν∫
1
dt
ψ(t)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
542 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. Л. ШИДЛИЧ
Поэтому действительно sν ≤ νk0 и ψ(sν) � ψ(ν) при ν → ∞.
Если p = 1, то
Ḡσ(ψ; p) = sup
s≥ν
Fν(s) = Fν(sν) = pψ(sν) � ψ(ν) = ψ(σ + 1),
и соотношение (24) в таком случае доказано.
Если же p ∈ (0, 1), то для доказательства соотношения (24) остается показать, что
sν∫
1
dt
ψ(t)
� η(ψ; ν)− ν
ψ(ν)
при ν → ∞. (53)
В силу (39) и того, что sν > ν, имеем
sν∫
1
dt
ψ(t)
≥
ν∫
1
dt
ψ(t)
≥ K8
η(ν)− ν
ψ(ν)
. (54)
С другой стороны, sν ≤ νk0 , и поэтому, учитывая (51), получаем
sν∫
1
dt
ψ(t)
≤
νk0∫
1
dt
ψ(t)
=
ν∫
1
dt
ψ(t)
+
νk0∫
ν
dt
ψ(t)
≤ K7
η(ν)− ν
ψ(ν)
+
νk0 − ν
ψ(νk0)
. (55)
Функция ψ принадлежит множеству M+
∞. Поэтому в силу теоремы 13.3 из [19] при всех
t ≥ 1 выполняется неравенство
η(ψ; η(ψ; t))− η(ψ; t)
η(ψ; t)− t
≤ K,
из которого следует оценка
νk0 − ν
ψ(νk0)
≤ 2k0
(η(ν)− ν)(Kk0−1 +Kk0−2 + . . .+ 1)
ψ(ν)
= K9
η(ν)− ν
ψ(ν)
.
Подставляя эту оценку в (55), получаем неравенство
sν∫
1
dt
ψ(t)
≤ K7
η(ν)− ν
ψ(ν)
+K9
η(ν)− ν
ψ(ν)
= K10
η(ν)− ν
ψ(ν)
,
которое в сочетании с соотношением (54) дает (53).
Таким образом, при ν = σ + 1 → ∞ и s = t+ 1 ≥ ν будем иметь
Ḡσ(ψ; p) = sup
t≥σ
Fσ+1(t+ 1) = sup
s≥ν
Fν(s) = Fν(sν) =
= pψ(sν)
sν∫
1
dt
ψ(t)
1− 1
p
� ψ(ν)
(
η(ν)− ν
ψ(ν)
)1− 1
p
=
ψ
1
p (ν)
(η(ν)− ν)
1
p
−1
=
ψ
1
p (σ + 1)
(η(σ + 1)− σ − 1)
1
p
−1
.
Теорема доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
О ПОРЯДКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИЙ . . . 543
5. Доказательство теоремы 3. При любых ν > 1 и s > ν рассмотрим функцию Fν(s),
определяемую равенством
Fν(s) =
s− ν∫ s
1
dt
ψp(t)
. (56)
Ее производная имеет вид
F ′
ν(s) =
∫ s
1
dt
ψp(t) − (s− ν)ψ−p(s)∫ s
1
dt
ψp(t)
.
Пусть теперь sν — наибольшее на промежутке (ν,∞) число такое, что при всех s ∈ (ν, sν)
выполняется неравенство
s− ν ≤ ψ p(s)
s∫
1
dt
ψ p(t)
. (57)
Видим, что функция F ′(s) при переходе s через число sν меняет знак с плюса на минус.
Поэтому точка sν является точкой максимума функции Fν(s) и справедливо равенство
F ′
ν(sν) = 0, из которого следует
Fν(sν) =
sν − ν∫ sν
1
dt
ψ p(t)
= ψ p(sν). (58)
Покажем, что, как и в теоремах 1 и 2, в рассматриваемом случае
ψ(sν) � ψ(ν) при ν → ∞. (59)
Из соотношения (58) следует
ν∫
1
dt
ψp(t)
= Φ(sν),
где
Φ(s) =
s∫
ν
(
1
ψp(s)
− 1
ψp(t)
)
dt. (60)
Функция Φ(s) возрастает при всех s > ν. Поэтому если при некотором s будет выпол-
няться неравенство
ν∫
1
dt
ψp(t)
dt ≤ Φ(s), (61)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
544 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. Л. ШИДЛИЧ
то будет выполняться и соотношение sν ≤ s.
Рассмотрим возрастающую последовательность чисел {νk}∞k=1 таких, что при любом
k ∈ N νk = η(ψ; νk−1), a ν0
df= ν. Поскольку функция ψ принадлежит множеству MC , то
вследствие (19) для любого k ∈ N и ν ≥ 1 имеем
(K1 + 1)k − 1 ≤ νk − ν
ν
=
νk
νk−1
νk−1
νk−2
. . .
ν1
ν
− 1 ≤ (K2 + 1)k − 1, (62)
и поэтому начиная с некоторого номера k0 ≥ 1 будем иметь νk0 − ν > ν. Убедимся, что
при s = νk0+1 справедливо соотношение (61).
Согласно определению последовательности {νk}
1
ψp(νk0+1)
− 1
ψp(νk0)
=
2p − 1
ψp(νk0)
=
2k0(2p − 1)
ψp(ν)
≥ 1
ψp(ν)
.
Отсюда, учитывая монотонность функции ψ, получаем
Φ(νk0+1) ≥
νk0+1∫
ν
(
1
ψp(νk0+1)
− 1
ψp(t)
)
dt ≥
≥
(
1
ψp(νk0+1)
− 1
ψp(νk0)
)
(νk0 − ν) ≥ ν
ψp(ν)
≥
ν∫
1
dt
ψp(t)
,
т. е. неравенство (61) при s = νk0+1 выполняется и, следовательно, sν ≤ νk0+1. Поэтому
ψ(ν) ≥ ψ(sν) ≥ ψ(νk+1) = ψ(ν)/2k0+1,
т. е. действительно соотношение (59) выполняется.
Покажем теперь, что при ν → ∞
sν∫
1
dt
ψp(t)
� ν − 1
ψp(ν)
. (63)
Имеем
sν∫
1
dt
ψp(t)
=
sν−1∫
0
dt
ψp(t+ 1)
=
sν − 1
ψp(sν)
−p
sν−1∫
0
t|ψ′(t+ 1)|
ψp+1(t+ 1)
dt ≥ sν − 1
ψ(sν)
−p
sν−1∫
0
dt
α(t+ 1)ψp(t+ 1)
,
где α(t) = α(ψ; t).
Поскольку ψ ∈ MC , в силу теоремы 12.1 из [19], для любого t ≥ 1 справедливо со-
отношение
0 < K3 ≤ α(ψ; t) =
ψ(t)
t|ψ′(t)|
≤ K4, (64)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
О ПОРЯДКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИЙ . . . 545
учитывая которое, получаем оценки
sν∫
1
dt
ψp(t)
≥ sν − 1
ψp(sν)
− p
K3
sν∫
1
dt
ψp(t)
и
sν∫
1
dt
ψp(t)
≥ K3
K3 + p
sν − 1
ψp(sν)
.
С другой стороны,
sν∫
1
dt
ψp(t)
≤ sν − 1
ψp(sν)
,
поэтому
sν∫
1
dt
ψp(t)
� sν − 1
ψp(sν)
. (65)
Поскольку sν ≤ νk0+1, вследствие (62) заключаем, что
ν − 1 ≤ sν − 1 ≤ νk0+1 − 1 ≤ (K2 + 1)k0+1ν − 1
и, следовательно,
sν − 1 � ν − 1 при ν → ∞. (66)
Объединяя это соотношение с соотношениями (59) и (65), получаем (63).
Для завершения доказательства теоремы убедимся, что при ν → ∞
∞∫
sν
ψ q(t) dt � (ν − 1)ψ q(ν). (67)
Для этого покажем, что при s → ∞
∞∫
s
ψ q(t) dt � (s− 1)ψ q(s). (68)
В силу (64) существует постоянная K5 > 0 такая, что для любого t ≥ 1
ψq(t)
t|(ψq(t))′|
≥ K5.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
546 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. Л. ШИДЛИЧ
Отсюда следует, что для любого s ≥ 1
∞∫
s
ψ q(t) dt ≥ −K5
∞∫
s
t(ψq(t))′ dt ≥ −K5s
∞∫
s
(ψq(t))′ dt = K5sψ
q(s). (69)
Для оценки последнего интеграла сверху положим s0 = s и sk = η(ψ; sk−1), k ∈ N.
Тогда в силу монотонности функции ψ
∞∫
s
ψ q(t) dt =
∞∑
k=0
sk+1∫
sk
ψ q(t) dt ≤
∞∑
k=0
ψ q(sk)(sk+1 − sk) =
∞∑
k=0
ψ q(s)
2qk
(sk+1 − sk). (70)
Далее понадобится следующая лемма.
Лемма 2. Пусть функция ψ0 ∈ M такова, что функция f(t) df=1/ψ0(t) выпукла вниз
при t ≥ t0 ≥ 1. Тогда при любом t ≥ t0 ≥ 1 выполняется неравенство
η ′(ψ0; t) ≤ 2. (71)
Доказательство. Действительно, согласно определению функции η при любом t ≥ 1
имеем
f(η(ψ0; t)) = 2f(t),
так что
f ′(η(ψ0; t))η′(ψ0; t) = 2f ′(t).
Поскольку функция f(t) выпукла вниз при t ≥ a, ее производная f ′(t) на этом про-
межутке не убывает, и поэтому справедливо соотношение (71):
η′(ψ0; t) =
2f ′(t)
f ′(η(ψ0; t))
≤ 2.
Полагая ψ0(t) = ψ(t), видим, что функция ψ0 удовлетворяет условиям леммы 2, и
поэтому при всех t ≥ t0 выполняется неравенство η ′(ψ; t) ≤ 2. Следовательно,
η(ψ; η(ψ; t))− η(ψ; t) =
η(ψ;t)∫
t
η ′(ψ; τ)dτ ≤ 2(η(ψ; t)− t).
Подставляя эту оценку в (70) и учитывая (19), находим
∞∫
s
ψ q(t) dt ≤
∞∑
k=0
ψ q(s)
2qk
(sk+1 − sk) ≤ ψ q(s)(η(ψ; s)− s)
∞∑
k=0
2k
2qk
≤ K1sψ
q(s)
2q−1
2q−1 − 1
.
Объединяя эту оценку с оценкой (69), получаем (68). Полагая в (68) s = sν и учитывая
(59) и (66), видим, что действительно при ν → ∞ справедливо соотношение (67).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
О ПОРЯДКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИЙ . . . 547
Таким образом, в силу (59), (63) и (67) при ν = σ + 1 → ∞ имеем
Ḡσ(ψ, p) =
(s∗ − σ)q
s∗+1∫
1
dt
ψp(t)
− q
p
+
∞∫
s∗+1
ψ q(t) dt
1
q
=
=
(sν − ν)q
sν∫
1
dt
ψp(t)
− q
p
+
∞∫
sν
ψ q(t) dt
1
q
�
� (ψq(ν)(ν − 1))
1
q � ψ(σ + 1)σ
1
q ,
и соотношение (26) доказано.
6. Доказательство теоремы 4. Сначала убедимся в справедливости утверждения 1.
Действительно, записывая равенство (23) в виде
ψ′(t)
ψ(t)
= − 1
tα(t)
и интегрируя последнее соотношение по промежутку [1, t], t > 1, получаем
ψ(t) = ψ(1)exp
− t∫
1
dτ
τα(τ)
.
Если ψ ∈ M+
∞, то µ(ψ; t) монотонно стремится к бесконечности при t → ∞, поэтому в
силу (40) имеем
α(ψ; t) ≤ 2
η(ψ; t)− t
t
=
2
µ(ψ; t)
−→
t→∞
0.
Отсюда следует, что для произвольного r > 0 найдется число tr такое, что при всех t > tr
выполняется неравенство 1/α(t) > r. Поэтому при t > tr имеем
ψ(t) = ψ(1)exp
− tr∫
1
dτ
τα(τ)
−
t∫
tr
dτ
τα(τ)
≤
≤ ψ(1)exp
− tr∫
1
dτ
τα(τ)
exp
−r t∫
tr
dτ
τ
= ψ(1) trr exp
− tr∫
1
dτ
τα(τ)
t−r,
откуда и следует соотношение (27), а с ним и оценка
‖ψ‖qLq [1,∞) =
∞∫
1
ψq(t)dt ≤ K
∞∫
1
t−qdt < ∞.
Утверждение доказано.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
548 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. Л. ШИДЛИЧ
Доказательство теоремы 4 аналогично доказательствам теорем 1 – 3, поэтому отме-
тим только его основные моменты.
Прежде всего, повторяя рассуждения из доказательства соотношения (39), убеждаем-
ся, что для произвольной функции ψ, удовлетворяющей условиям теоремы 4, справедли-
во порядковое при s → ∞ равенство
s∫
1
dt
ψp(t)
� η(ψ; s)− s
ψp(s)
. (72)
Далее, рассмотрим функцию Fν(s), определяемую равенством (56), и отметим, что
если sν — наибольшее на промежутке (ν,∞) число такое, что при всех s ∈ (ν, sν) имеет
место неравенство (57), то точка s = sν является точкой максимума функции Fν(s) и
выполняется равенство (58).
Покажем, что, как и во всех предыдущих теоремах, в рассматриваемом случае
ψ(sν) � ψ(ν) при ν → ∞. (73)
Из соотношения (72) следует, что для любой функции ψ, удовлетворяющей условиям
теоремы, существует постоянная K > 0 такая, что при всех достаточно больших ν
ν∫
1
dt
ψp(t)
≤ K
η(ψ; ν)− ν
ψp(ν)
. (74)
Возьмем число k0 = k0(K) ∈ N такое, что
2k0 − 3
K
≥ 1, (75)
и рассмотрим функцию Φ(s), задаваемую равенством (60). Покажем, что при достаточно
больших ν выполняется неравенство
ν∫
1
ψp(t)dt ≤ Φ(νk0), νk = η(ψp; νk−1), k ∈ N, ν0 = ν,
из которого будет следовать, что sν ≤ νk0 .
В силу (74) и (75) имеем
Φ(νk0) =
νk0∫
ν
(
1
ψp(νk0)
− 1
ψp(t)
)
dt ≥ (2k0 − 3)
η(ν)− ν
ψp(ν)
≥ 2k0 − 3
K
ν∫
1
dt
ψp(t)
≥
ν∫
1
dt
ψp(t)
.
Поэтому действительно sν ≤ νk0 и, следовательно,
ψ(ν) ≥ ψ(sν) ≥ ψ(νk0) =
ψ(ν)
2k0p
,
т. е. ψ(sν) � ψ(ν).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
О ПОРЯДКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИЙ . . . 549
Далее, как и при доказательстве соотношения (53), убеждаемся, что при ν → ∞ спра-
ведливо порядковое равенство
sν∫
1
dt
ψp(t)
� η(ψ; ν)− ν
ψp(ν)
. (76)
Для завершения доказательства данной теоремы покажем, что при ν → ∞
∞∫
sν
ψ q(t) dt � ψ q(ν)(η(ψ; ν)− ν). (77)
Для любого s > 1 имеем
∞∫
s
ψ q(t) dt = −sψ(s) + q
∞∫
s
t|ψ′(t)|ψq−1(t)dt = −sψ(s) + q
∞∫
s
ψq(t)dt
α(ψ; t)
,
откуда, в силу монотонного убывания функции α(ψ; t) и соотношения (40), получаем
∞∫
s
ψ q(t) dt ≥ α(ψ; s) s
q − α(ψ; s)
ψq(s) ≥ K1ψ
q(s)(η(ψ; s)− s). (78)
Для любого s ≥ 1 положим s0 = s и sk = η(ψ; sk−1) ∀k ∈ N. Тогда
∞∫
s
ψ q(t) dt =
∞∑
k=0
sk+1∫
sk
ψ q(t) dt ≤
∞∑
k=0
ψ q(sk)(sk+1 − sk) =
∞∑
k=0
ψ q(s)
2qk
(sk+1 − sk). (79)
Поскольку ψ ∈ M+
∞, то в силу (21) η(ψ; t) = t(1 + γ(t)), где γ(t) — функция, монотонно
убывающая к нулю. Отсюда следует, что при t → ∞ η′(ψ; t) ≤ 1 + γ(t) → 1. Поэтому
для любого ε > 0 (в частности, для ε ∈ (0, 1)) при всех t, больших некоторого числа
t0 = t0(ε), имеем η′(ψ; t) ≤ 1 + ε, и тогда
η(ψ; η(ψ; t))− η(ψ; t) =
η(ψ;t)∫
t
η ′(ψ; τ)dτ ≤ (1 + ε)(η(ψ; t)− t).
Подставляя эту оценку в (79), при s > t0 получаем
∞∫
s
ψ q(t) dt ≤ ψ q(s)(η(ψ; s)− s)
∞∑
k=0
(1 + ε)k
2qk
≤ K2ψ
q(s)(η(ψ; s)− s). (80)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
550 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. Л. ШИДЛИЧ
Объединяя соотношения (80) и (78), видим, что действительно
∞∫
s
ψ q(t) dt � ψ q(s)(η(ψ; s)− s), s → ∞. (81)
Отсюда в силу того, что sν > ν, имеем
∞∫
sν
ψ q(t) dt ≤
∞∫
ν
ψ q(t) dt � ψ q(ν)(η(ψ; ν)− ν). (82)
С другой стороны, sν ≤ νk0 . Поэтому, учитывая, что в силу определения всегда η ′(ψ; t) ≥
≥ 1
2
, и, следовательно,
η(ψ; η(ψ; t))− η(ψ; t) =
η(ψ;t)∫
t
η′(ψ; τ)dτ ≥ 1
2
(η(ψ; t)− t),
при ν → ∞ получаем
∞∫
sν
ψ q(t) dt ≥
∞∫
νk0
ψ q(t) dt � ψ q(νk0)(η(ψ; νk0)− νk0) ≥
1
22k0
ψ q(ν)(η(ψ; ν)− ν). (83)
Объединяя соотношения (82) и (83), убеждаемся, что действительно справедливо поряд-
ковое равенство (77).
Таким образом, вследствие (73), (76) и (77) при ν = σ + 1 → ∞
Ḡσ(ψ; p) =
(s∗ − σ)q
s∗+1∫
1
dt
ψp(t)
− q
p
+
∞∫
s∗+1
ψ q(t) dt
1
q
=
=
(sν − ν)q
sν∫
1
dt
ψp(t)
− q
p
+
∞∫
sν
ψ q(t) dt
1
q
�
� (ψq(ν)(η(ψ; ν)− ν))
1
q � ψ(σ + 1)(η(ψ;σ + 1)− σ − 1)
1
q ,
и соотношение (28) доказано.
7. Случай дискретной меры dµ. В этом пункте мы рассмотрим следствия из теорем 1
и 3 для случая, когда σ = n ∈ N, A = N, a носителем меры dµ в пространстве R+ является
множество N, где µ(k) ≡ 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
О ПОРЯДКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИЙ . . . 551
В рассматриваемом случае величины Gσ(ϕ, p) при p ∈ (0, 1] имеют вид
Gσ(ϕ, p) = Gn(ϕ, p) = sup
l>n
l − n(
l∑
k=1
ϕ̄−p(k)
) 1
p
, l ∈ N, (84)
где ϕ̄ = ϕ̄(k), k = 1, 2, . . . , — убывающая перестановка функции (последовательности)
ϕ ∈ Φ(N) относительно меры dµ, и для них справедливо следующее утверждение.
Теорема 1′. Пусть функция ϕ ∈ Φ(N) такова, что при любом k ∈ N ϕ̄(k) = ψ(k),
где ψ ∈ M0. Тогда для любого p ∈ (0, 1] справедливо порядковое при n → ∞ равенство
Gn(ϕ, p) �
ϕ̄(n)
n
1
p
−1
. (85)
Доказательство. Для произвольной функцииψ ∈ M0 и любых n ∈ N и s > n положим
Fn(s) =
s− n(
s∫
1
dt
ψ(t)
) 1
p
и Hn(s) =
[s]− n(
[s]∑
k=1
1
ψ(k)
) 1
p
, (86)
где [s] — целая часть числа s.
Вследствие неравенства
s−1∫
1
dt
ψ(t)
≤
[s]∑
k=1
1
ψ(k)
≤
s+1∫
1
dt
ψ(t)
, (87)
выполняющегося при любом s > 1, имеем Fn+2(s + 1) ≤ Hn(s) ≤ Fn−1(s − 1), откуда
следует, что
sup
s>n
Fn+2(s+ 1) ≤ sup
s>n
Hn(s) ≤ sup
s>n
Fn−1(s− 1). (88)
В силу теоремы 1 при n → ∞ имеем
sup
s>n
Fn+2(s+ 1) ≥ sup
s+1>n+2
Fn+2(s+ 1) � ψ
1
p (n+ 2)
(n+ 1)
1
p
−1
(89)
и
sup
s>n
Fn−1(s− 1) � ψ
1
p (n− 1)
(n− 2)
1
p
−1
. (90)
Поскольку ψ ∈ M0, учитывая теорему 16.1 из [19, с. 175], для любого t ≥ 2 имеем
ψ(t− 1) ≥ ψ(t) ≥ ψ(t+ 2) ≥ Kψ(t− 1). (91)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
552 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. Л. ШИДЛИЧ
Отсюда следует, что величины в правых частях соотношений (89) и (90) равны по порядку
при n → ∞, поэтому
sup
s>n
Hn(s) �
ψ
1
p (n)
n
1
p
−1
.
Подставляя в это соотношение ψ(t) = ϕ̄p(t), получаем (85).
В случае, когда p ∈ (1,∞),
Gσ(ϕ, p) = Gn(ϕ, p) =
(s∗ − n)q
(
s∗∑
k=1
ϕ̄−p(k)
)− q
p
+
∞∑
k=s∗+1
ϕ̄ q(k)
1
q
, (92)
где s∗ — наибольшее на промежутке (n,∞) натуральное число такое, что при всех нату-
ральных s из промежутка (n, s∗] выполняется соотношение
s− n ≤ ϕ̄ p(s)
s∑
k=1
ϕ̄−p(k).
Такое число всегда существует, и его можно также определить из соотношения
ϕ̄−p(s∗) ≤ 1
s∗ − n
s∗∑
k=1
ϕ̄−p(k) < ϕ̄−p(s∗ + 1).
В принятых обозначениях справедливо следующее утверждение.
Теорема 3′. Пусть p ∈ (1,∞], а функция ϕ ∈ Φ(N) такова, что значения ее пере-
становки ϕ̄(k) в натуральных точках совпадают со значениями некоторой функции
ψ ∈ MC : ϕ̄(k) = ψ(k), k ∈ N, для которой ‖ψ‖Lq [1,∞) < ∞,
1
p
+
1
q
= 1, и функция 1/ψ(t)
выпукла вниз при всех t ≥ t0 ≥ 1. Тогда при n → ∞
Gn(ϕ, p) � ϕ̄(n)n1− 1
p . (93)
Доказательство. В этому случае положим
Fn(s) =
s− n∫ s
1
dt
ψp(t)
и Hn(s) =
[s]− n∑[s]
k=1
1
ψp(k)
,
где [s] — целая часть числа s.
Пусть также s∗ — наибольшее на промежутке (n,∞) натуральное число такое, что
при всех натуральных s ∈ (n, s∗] выполняется соотношение
Hn(s) ≤ ψp(s), (94)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
О ПОРЯДКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИЙ . . . 553
а sn — наибольшее на (n,∞) число, для которого при всех s ∈ (n, s∗)
Fn(s) ≤ ψp(s). (95)
Тогда при всех натуральных s ∈ (n, s∗] имеем
Hn(s)−Hn(s− 1) =
s− n
s∑
k=1
ψ−p(k)
− (s− 1)− n
s−1∑
k=1
ψ−p(k)
=
=
(
s−1∑
k=1
ψ−p(k)− s− 1− n
ψp(s)
)(
s∑
k=1
ψ−p(k)
s−1∑
i=1
ψ−p(i)
)−1
≥ 0,
и, следовательно, функция Hn(s) на промежутке s ∈ (n, s∗] не убывает. Аналогично убе-
ждаемся, что при s > s∗ функция Hn(s) не возрастает. Отсюда следует
Hn(s∗) = sup
s>n
Hn(s).
Покажем сначала, что при n → ∞ справедливо порядковое равенство
Hn(s∗) � ψp(n). (96)
Вследствие неравенства (87) имеем
Fn+1(s+ 2) ≤ Hn(s) ≤ Fn−1(s− 1),
откуда следует, что
sup
s>n
Fn+2(s+ 1) ≤ sup
s>n
Hn(s) ≤ sup
s>n
Fn−1(s− 1). (97)
Кроме того, аналогично доказательству соотношения (59) можно показать, что
sup
s>n
Fn(s) = ψp(sn) � ψp(n) при n → ∞. (98)
Объединяя (97), (98) и учитывая (91), получаем (96).
Учитывая (91), из соотношения
ψ−p(s∗) ≤ 1
s∗ − n
s∗∑
k=1
ψ−p(k) < ψ−p(s∗ + 1),
которое равносильно условию (94), и равенства (96) получаем
ψ(s∗) � ψ(n).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
554 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. Л. ШИДЛИЧ
Далее, поскольку для s ∈ N выполнимо равенство Hn(s) = Fn(s), то из соотноше-
ний (94) и (95) заключаем, что Fn(s∗) ≤ ψp(s∗). Поэтому n ≤ s∗ ≤ sn, и при n → ∞
справедливо порядковое равенство
s∗ � n. (99)
Объединяя соотношение (87) при s = s∗ и соотношение (63), а также учитывая (91) и
(99), получаем
s∗∑
k=1
1
ψp(k)
� n
ψp(n)
. (100)
Наконец, поскольку ∫
s∗+1
ψq(t)dt ≤
∞∑
k=s∗+1
ψq(k) ≤
∫
s∗
ψq(t)dt,
в силу (67) и (99) с учетом (91) при n → ∞ имеем
∞∑
k=s∗+1
ψq(k) � nψq(n). (101)
Объединяя при ψ(t) = ϕ̄(t) соотношения (96), (100), (101) и учитывая принятые обо-
значения, получаем (93):
Gn(ϕ, p) =
(s∗ − n)q
(
s∗∑
k=1
ϕ̄−p(k)
)− q
p
+
∞∑
k=s∗+1
ϕ̄ q(k)
1
q
�
�
(
ϕ̄ pq(k)
(
ϕ̄p(n)
n
) q
p
−q
+ nϕ̄q(n)
) 1
q
� ϕ̄(n)n1− 1
p .
Как уже отмечалось, в терминах величин Gσ(ϕ, p) выражаются решения ряда из-
вестных экстремальных задач. Понятно, что соотношения (85) и (93) будут полезны при
нахождении точных порядков таких решений. В качестве примера получим точные по-
рядки поперечников по Колмогорову октаэдров в гильбертовом пространстве, отправля-
ясь от их значений, найденных в [17].
Пусть
dn(M;Y ) = inf
Fn∈Fn
sup
x∈M
inf
u∈Fn
‖x− u‖Y
— поперечник по Колмогорову множества M в пространстве Y с нормой ‖ · ‖Y . Здесь Fn
— множество всех подпространств Fn размерности n ∈ N пространства Y .
Пусть, далее, H — вещественное гильбертово пространство с ортонормированным
базисом e1, e2, . . . ek, . . . ; α = (α1, . . . , αk, . . .) — произвольная последовательность ве-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
О ПОРЯДКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИЙ . . . 555
щественных чисел. Октаэдром Oα называется выпуклая оболочка векторов ±α1e1,
±α2e2, . . . , ±αkek, . . . .
В работе [17] (см. также [18], гл. VI) установлено, что если последовательность α та-
кова, что lim
k→∞
αk = 0, то
dn(Oα,H) = sup
s>n
√√√√√ s− n
s∑
i=1
ᾱ−2
i
,
где ᾱ = {ᾱk}∞k=1 — убывающая перестановка последовательности |αk|.
Сравнивая значения величин dn(Oα,H) в этом случае со значениями величинGn(ϕ, p),
определяемых соотношением (84), видим, что если p = 1 и ϕ̄(k) = ᾱ2
k, то выполнимо
равенство
d2
n(Oα,H) = Gn(ϕ, p).
Из этого соотношения и теоремы 1′ получаем следующее утверждение.
Утверждение 2. Пусть последовательность α = {αk}∞k=1 такова, что при любом
k ∈ N ᾱk = ψ(k), где ψ ∈ M0. Тогда справедливо порядковое при n → ∞ равенство
dn(Oα,H) � ᾱn,
где ᾱ = {ᾱk}∞k=1 — убывающая перестановка последовательности |αk|.
8. Приложения полученных результатов к приближениям в пространствах Sp
ϕ. Рас-
смотрим приложения полученных результатов к задачам приближения в пространствах
Spϕ, а именно, получим порядковые равенства при n → ∞ для величин наилучших
n-членных приближений q-эллипсоидов в этих пространствах.
Пусть X — некоторое линейное комплексное пространство и ϕ = {ϕk}∞k=1 — фикси-
рованная счетная система в нем. Предположим, что для любой пары x, y ∈ X, в которой
хотя бы один из векторов принадлежит ϕ, определено некоторое число — „скалярное
произведение” (x, y), удовлетворяющее условиям:
1) (x, y) = (y, x), где z — число, комплексно-сопряженное c z;
2) (λx1 + µx2, y) = λ(x1, y) + µ(x2, y), λ, µ — произвольные числа;
3) (ϕk, ϕl) =
{
0, k 6= l,
1, k = l.
Каждому элементу x ∈ X сопоставим систему чисел x̂(k) посредством равенств
x̂(k) = x̂ϕ(k) = (x, ϕk), k = 1, 2, . . . (k ∈ N),
и при фиксированном p ∈ (0,∞) положим
Spϕ = Spϕ(X) =
{
x ∈ X :
∞∑
k=1
∣∣∣f̂ϕ(k)
∣∣∣p < ∞
}
.
Элементы x, y ∈ Spϕ считаются тождественными, если при всех k ∈ N x̂ϕ(k) = ŷϕ(k).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
556 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. Л. ШИДЛИЧ
Для векторов x, y ∈ X определяется ϕ-расстояние между ними с помощью равенства
ρϕ(x, y)p =
( ∞∑
k=1
|x̂ϕ(k)− ŷϕ(k)|p
) 1
p
.
Нулевым элементом пространства Spϕ называется вектор θ, для которого θ̂ϕ(k) = 0 при
всех k ∈ N. Расстояние ρϕ(θ, x)p, x ∈ Spϕ, называется ϕ-нормой элемента x и обозначается
через ‖x‖p,ϕ. Таким образом,
‖x‖p,ϕ = ρϕ(θ, x)p =
( ∞∑
k=1
|x̂ϕ(k)|p
) 1
p
. (102)
Известно (см., например, [7]), что мнoжество Spϕ является линейным пространством.
Kpоме того, при p ≥ 1 функционал ‖ · ‖, oпределенный равенством (102), удовлетворяет
всем аксиомам нормы, а пpи p ∈ (0, 1) — аксиомам квазинормы. Поэтому при p ≥ 1 Spϕ —
линейное нормированное пространство, а при p ∈ (0; 1) — пространство с квазинормой.
Выделим также в пространствах Spϕ объекты приближения — объединения элемен-
тов f ∈ X, соответствующих в теории аппроксимаций понятию класса функций.
Пусть ψ = {ψk}∞k=1 — произвольная система комплексных чисел. Если для данного
элемента f ∈ X, формальный ряд Фурье которого по системе ϕ имеет вид
S[ f ]ϕ =
∞∑
k=1
f̂ϕ(k)ϕk,
существует элемент F ∈ X, для которого
S[ f ]ϕ =
∞∑
k=1
ψk f̂(k)ϕk,
т. е. когда F̂ϕ(k) = ψk f̂(k), k ∈ N, то элемент F называется ψ-интегралом элемента f. В
таком случае записываем F = J ψf. Если N — некоторое подмножество из X, то через
ψN обозначаем множество ψ-интегралов всех элементов из N.
Пусть, далее,
Upϕ =
{
f ∈ Spϕ : ‖f‖p, ϕ ≤ 1
}
— единичный шар в данном пространстве Spϕ и ψUpϕ — множество ψ-интегралов всех эле-
ментов из Upϕ.
Заметим, что если пространство Spϕ является полным, а
ψk 6= 0 ∀k ∈ N, (103)
то
ψ Upϕ =
{
f ∈ Spϕ :
∞∑
k=1
∣∣∣∣∣ f̂(k)
ψk
∣∣∣∣∣
p
≤ 1
}
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
О ПОРЯДКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИЙ . . . 557
т. е. множество ψ Upϕ является p-эллипсоидом в пространстве Spϕ с полуосями, равны-
ми |ψk|.
Пусть, наконец, f ∈ Spϕ, n ∈ N, γn — произвольный набор из n натуральных чисел и
Pγn =
∑
k∈γn
αkϕk,
где αk — некоторые комплексные числа.
Величина
en(f)p = en(f)ϕ,p = inf
αk,γn
‖f − Pγn‖p, ϕ (104)
называется наилучшим n-членным приближением элемента f ∈ Spϕ в пространстве Spϕ.
Величины вида (104) рассматривались в работах [7 – 13]. В частности, в работах [7 – 10]
были найдены точные значения величин
en(ψU qϕ)p = sup
f∈ψUq
ϕ
en(f)p
наилучших n-членных приближений классов ψU qϕ в пространствах Spϕ при всех 0 < p,
q < ∞. Для этих значений справедливы следующие утверждения.
Теорема C. Пусть ψ = {ψk}∞k=1 — система чисел, удовлетворяющая условиям
(103) и
lim
k→∞
ψk = 0, (105)
p и q — произвольные числа такие, что 0 < q ≤ p < ∞. Тогда при любом n ∈ N
выполняется равенство
epn(ψ U
q
ϕ)p = sup
l∈N
(l − n)
(
l∑
k=1
ψ̄−qk
)− p
q
= (l∗ − n)
(
l∗∑
k=1
ψ̄−qk
)− p
q
,
где ψ̄ = {ψ̄k}∞k=1 — перестановка в убывающем порядке последовательности |ψk|, а l∗
— некоторое натуральное число.
Теорема D. Пусть p и q — произвольные числа, для которых q > p > 0, а ψ =
= {ψk}∞k=1 — система чисел, удовлетворяющая условиям (103) и
‖ψ‖l pq
q−p
=
( ∞∑
k=1
|ψk|
pq
q−p
) q−p
pq
< ∞. (106)
Тогда при любом n ∈ N выполняется равенство
epn(ψ U
q
ϕ)p = σ̄
− p
q
1
[
(s∗ − n)
q
q−p + σ̄
p
q−p
1 σ̄2
] q−p
q
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
558 А. И. СТЕПАНЕЦ , А. Л. ШИДЛИЧ
где
σ̄1 = σ̄1(s∗) =
s∗∑
k=1
ψ̄−qk , σ̄2 = σ̄2(s∗) =
∞∑
k=s∗+1
ψ̄
pq
q−p
k ,
ψ̄ = {ψ̄k}∞k=1 — перестановка в убывающем порядке последовательности |ψk|, а число
s∗ выбрано из условия
ψ̄−qs∗ ≤ 1
s∗ − n
s∗∑
k=1
ψ̄−qk < ψ̄−qs∗+1.
Такое число s∗ всегда существует и единственно.
Отметим, что условия (105) и (106) гарантируют в соответствующих случаях вложе-
ние ψU qϕ ⊂ Spϕ.
Сравнивая значения величин en(ψ U
q
ϕ)p из теорем C и D со значениями величинGn(ϕ, p),
определяемых соотношениями (84) и (92), видим, что если r =
q
p
и при любом k ∈ N
ϕ̄(k) = ψ̄pk, то для всех 0 < p, q < ∞ справедливо равенство
epn(ψ U
q
ϕ)p = Gn(ϕ, r).
Из этого соотношения и теорем 1′ и 3′ следуют утверждения, дающие порядки при n →
→ ∞ величин en(ψ U
q
ϕ)p.
Утверждение 3. Пусть последовательность ψ = {ψk}∞k=1 такова, что при всех k ∈
∈ N ψ̄k = ψ1(k), где ψ1 — некоторая функция из множества M0. Тогда для любых 0 <
< q ≤ p < ∞ справедливо порядковое при n → ∞ равенство
en(ψ U qϕ)p �
ψ̄n
n
1
q
− 1
p
.
Утверждение 4. Пусть 0 < p < q < ∞, а последовательность ψ = {ψk}∞k=1 удов-
летворяет при любом k ∈ N равенству ψ̄pk = ψ1(k), где функция ψ1 ∈ MC такова,
что ‖ψ1‖L q−p
q
[1,∞) < ∞ и функция 1/ψ1(t) выпукла вниз при всех t ≥ t0 ≥ 1. Тогда
справедливо порядковое при n → ∞ равенство
en(ψ U qϕ)p � ψ̄nn
1
p
− 1
q .
1. Степанец А. И. Экстремальные задачи теории приближений в линейных пространствах // Укр. мат.
журн. — 2003. — 55, № 10. — C. 1378 – 1410.
2. Стечкин С. Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. — 1955. — 102,
№ 1. — C. 37 – 40.
3. Степанец А. И., Шидлич А. Л. Экстремальные задачи для интегралов от неотрицательных функций.
— Киев, 2007. — 103 c. — (Препринт / НАН Украины. Ин-т математики; 2007.2).
4. Степанец А. И., Шидлич А. Л. Экстремальные задачи для интегралов от неотрицательных функций //
Докл. НАН Украины. — 2007. — № 3. — C. 25 – 31.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
О ПОРЯДКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ИНТЕГРАЛОВ ФУНКЦИЙ . . . 559
5. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближений. — М.: Наука, 1970. — 320 c.
6. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. — М.: Изд-во иностр. лит., 1948. — 456 c.
7. Степанец А. И. Аппроксимационные характеристики пространств Sp
ϕ // Укр. мат. журн. — 2001.— 53,
№ 3. — C. 392 – 416.
8. Степанец А. И. Аппроксимационные характеристики пространств Sp
ϕ в разных метриках // Там же. —
№ 8. — C. 1121 – 1146.
9. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Труды Ин-та математики НАН Украины. —
2002. — 40, ч. II. — C. 333 – 368.
10. Степанец А. И., Рукасов В. И. Пространства Sp с несимметрической метрикой // Укр. мат. журн. —
2003. — 55, № 2. — C. 264 – 277.
11. Степанец А. И., Шидлич А. Л. Наилучшие n-членные приближения Λ-методами в пространствах Sp
ϕ //
Там же. — № 8. — C. 1107 – 1126.
12. Шидлич А. Л. Наилучшие n-членные приближения Λ-методами в пространствах Sp
ϕ // Экстремальные
задачи теории функций и смежные вопросы: Труды Ин-та математики НАН Украины. — 2003. — 46.
— C. 283 – 306.
13. Рукасов В. И. Наилучшие n-членные приближения в пространствах с несимметричной метрикой //
Укр. мат. журн. — 2003. — 55, № 6. — C. 806 – 816.
14. Степанец А. И., Шидлич А. Л. Об одной экстремальной задаче для положительных рядов // Там же. —
2005. — 57, № 12. — C. 1677 – 1683.
15. Fang Gensun, Qian Lixin. Approximation characteristics for diagonal operators in different computational
settings // J. Approxim. Theory. — 2006. — 140, Issue 2. — P. 178 – 190.
16. Софман Л. Б. Поперечники октаэдров // Мат. заметки. — 1969. — 5, № 4. — C. 429 – 436.
17. Софман Л. Б. Поперечники бесконечного октаэдра // Вестн. Моск. ун-та. — 1973. — № 5. — C. 54 – 56.
18. Pinkus A. n-Widths in approximation theory. — Springer, 1985. — 291 p.
19. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. // Труды Ин-та математики НАН Украины. —
2002. — 40, ч. I. — C. 159 – 176.
20. Степанец А. И. Несколько утверждений для выпуклых функций // Укр. мат. журн. — 1999. — 51, № 5.
— C. 688 – 702.
Получено 05.07.07
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 4
|