Стабилизация по измеряемому выходу и оценка уровня гашения возмущений в системах управления

Отримано новi критерiї стабiлiзовностi по виходу лiнiйних систем керування за допомогою статичних та динамiчних регуляторiв. Показано, що алгоритми стабiлiзацiї, якi випливають iз даних критерiїв, можуть бути застосованi до деякого класу нелiнiйних систем керування. Запропоновано алгоритми побудови...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автори:	Мазко, А.Г., Кусий, С.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2015
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177221
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Стабилизация по измеряемому выходу и оценка уровня гашения возмущений в системах управления / А.Г. Мазко, С.Н. Кусий // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 3. — С. 373-387 — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-177221
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1772212021-02-13T01:25:45Z Стабилизация по измеряемому выходу и оценка уровня гашения возмущений в системах управления Мазко, А.Г. Кусий, С.Н. Отримано новi критерiї стабiлiзовностi по виходу лiнiйних систем керування за допомогою статичних та динамiчних регуляторiв. Показано, що алгоритми стабiлiзацiї, якi випливають iз даних критерiїв, можуть бути застосованi до деякого класу нелiнiйних систем керування. Запропоновано алгоритми побудови законiв керування, що забезпечують задану оцiнку зваженого рiвня погашення вхiдних сигналiв. Отриманi результати продемонстровано на прикладi системи стабiлiзацiї одноланкового робота-манiпулятора. We find new criteria for output stabilization in linear control systems by using static and dynamic controls. We show that the stabilization algorithms derived from the criteria can be applied to a certain class of nonlinear control systems. We propose algorithms for constructing controls that give a needed estimate for weighted level of input signal attenuation. The obtained results are illustrated with an example of stabilizing a system of a one-link robot manipulator. 2015 Article Стабилизация по измеряемому выходу и оценка уровня гашения возмущений в системах управления / А.Г. Мазко, С.Н. Кусий // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 3. — С. 373-387 — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177221 517.93; 519.711 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Отримано новi критерiї стабiлiзовностi по виходу лiнiйних систем керування за допомогою статичних та динамiчних регуляторiв. Показано, що алгоритми стабiлiзацiї, якi випливають iз даних критерiїв, можуть бути застосованi до деякого класу нелiнiйних систем керування. Запропоновано алгоритми побудови законiв керування, що забезпечують задану оцiнку зваженого рiвня погашення вхiдних сигналiв. Отриманi результати продемонстровано на прикладi системи стабiлiзацiї одноланкового робота-манiпулятора.
format	Article
author	Мазко, А.Г. Кусий, С.Н.
spellingShingle	Мазко, А.Г. Кусий, С.Н. Стабилизация по измеряемому выходу и оценка уровня гашения возмущений в системах управления Нелінійні коливання
author_facet	Мазко, А.Г. Кусий, С.Н.
author_sort	Мазко, А.Г.
title	Стабилизация по измеряемому выходу и оценка уровня гашения возмущений в системах управления
title_short	Стабилизация по измеряемому выходу и оценка уровня гашения возмущений в системах управления
title_full	Стабилизация по измеряемому выходу и оценка уровня гашения возмущений в системах управления
title_fullStr	Стабилизация по измеряемому выходу и оценка уровня гашения возмущений в системах управления
title_full_unstemmed	Стабилизация по измеряемому выходу и оценка уровня гашения возмущений в системах управления
title_sort	стабилизация по измеряемому выходу и оценка уровня гашения возмущений в системах управления
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2015
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177221
citation_txt	Стабилизация по измеряемому выходу и оценка уровня гашения возмущений в системах управления / А.Г. Мазко, С.Н. Кусий // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 3. — С. 373-387 — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT mazkoag stabilizaciâpoizmerâemomuvyhoduiocenkaurovnâgašeniâvozmuŝenijvsistemahupravleniâ AT kusijsn stabilizaciâpoizmerâemomuvyhoduiocenkaurovnâgašeniâvozmuŝenijvsistemahupravleniâ
first_indexed	2025-07-15T15:15:28Z
last_indexed	2025-07-15T15:15:28Z
_version_	1837726464305266688
fulltext	УДК 517.93; 519.711 СТАБИЛИЗАЦИЯ ПО ИЗМЕРЯЕМОМУ ВЫХОДУ И ОЦЕНКА УРОВНЯ ГАШЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ А. Г. Мазко, С. Н. Кусий Ин-т математики НАН Украины ул. Терещенковская, 3, Киев, 01601, Украина e-mail: mazko@imath.kiev.ua We find new criteria for output stabilization in linear control systems by using static and dynamic controls. We show that the stabilization algorithms derived from the criteria can be applied to a certain class of nonlinear control systems. We propose algorithms for constructing controls that give a needed estimate for weighted level of input signal attenuation. The obtained results are illustrated with an example of stabili- zing a system of a one-link robot manipulator. Отримано новi критерiї стабiлiзовностi по виходу лiнiйних систем керування за допомогою статичних та динамiчних регуляторiв. Показано, що алгоритми стабiлiзацiї, якi випливають iз даних критерiїв, можуть бути застосованi до деякого класу нелiнiйних систем керування. Запропоновано алгоритми побудови законiв керування, що забезпечують задану оцiнку зваже- ного рiвня погашення вхiдних сигналiв. Отриманi результати продемонстровано на прикладi системи стабiлiзацiї одноланкового робота-манiпулятора. 1. Введение. Задача стабилизации динамических систем является одной из главных задач теории управления. Для класса линейных систем управления со статической обратной связью по выходу ẋ = Ax+Bu, y = Cx+Du, (1) u = Ky, (2) данная задача состоит в нахождении матрицы коэффициентов усиления K, для кото- рой замкнутая система асимптотически устойчива. Здесь x ∈ Rn, u ∈ Rm и y ∈ Rl — векторы соответственно состояния, управления и измеряемого выхода системы, а A, B, C и D — матрицы подходящих размеров. Полное решение этой важной задачи извест- но лишь в некоторых частных случаях (см. обзорные работы [1, 2]). Отметим, что ряд известных алгоритмов стабилизации систем сводится к решению линейных матричных неравенств (ЛМН) с применением эффективных средств LMI Toolbox компьютерной системы Matlab (см., например, [3 – 5]). Если стабилизирующую статическую обратную связь построить не удается, то изуча- ется возможность стабилизации системы (1) с помощью динамического регулятора по- рядка r ≤ n вида ξ̇ = Zξ + V y, u = Uξ +Ky, (3) где ξ ∈ Rr — вектор состояния регулятора, Z, V, U и K — неизвестные матрицы подхо- дящих размеров. c© А. Г. Мазко, С. Н. Кусий, 2015 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3 373 374 А. Г. МАЗКО, С. Н. КУСИЙ В данной статье предлагаются новые критерии стабилизируемости линейной систе- мы (1) с помощью статической и динамической обратных связей, а также способы по- строения регуляторов, обеспечивающих асимптотическую устойчивость состояния x ≡ ≡ 0 класса нелинейных систем ẋ = A(x)x+B(x)u, y = C(x)x+Du, (4) где A(x), B(x) и C(x) — матричные функции, непрерывные в окрестности точки x = 0. При этом предполагается, что B ∈ Rn×m и C ∈ Rl×n — матрицы полного ранга m < < n и l < n соответственно. Для класса линейных систем (1) предлагаются алгоритмы построения законов управления вида (2) и (3), которые обеспечивают оценку некоторого критерия качества, описывающего взвешенный уровень гашения входных сигналов, а также робастную стабилизацию относительно заданного множества неопределенностей. Используемый критерий качества является аналогом H∞-нормы передаточной матрич- ной функции H(λ) рассматриваемой системы управления. Будем использовать следующие обозначения: In — единичная матрица порядка n; 0n×m — нулевая матрица размеров n×m; X = XT > 0 (≥ 0) — положительно (неотри- цательно) определенная симметричная матрица X; i(X) = {i+, i−, i0} — инерция эрми- товой матрицыX, которую составляют количества ее положительных, отрицательных и нулевых собственных значений с учетом кратностей; λmax(X) (λmin(X)) — максимальное (минимальное) собственное значение эрмитовой матрицы X; A+ — псевдообратная мат- рица; ‖x‖— евклидова норма вектора x; WL ∈ Rn×n−rankL — матрица, столбцы которой составляют базис ядра матрицы L ∈ Rl×n;B⊥ (C⊥) — ортогональное дополнение матри- цы B ∈ Rn×m (C ∈ Rl×n) полного ранга m (l), определяемое соотношениями BTB⊥ = 0, det [ B,B⊥ ] 6= 0 (C⊥CT = 0, det [ CT , C⊥T ] 6= 0). 2. Статическая стабилизация по выходу. Сначала рассмотрим линейную систему (1) с обратной связью (2). Если матрица коэффициентов усиленияK принадлежит множеству KD = {K : det(Im −KD) 6= 0}, то замкнутая система имеет вид ẋ = Mx, M = A+BD(K)C. (5) Нелинейный оператор D(K) = (Im −KD)−1K имеет следующие свойства [6]: 1) если K ∈ KD, то D(K) ≡ K(Il −DK)−1 и Il +DD(K) ≡ (Il −DK)−1; 2) если K1 ∈ KD и K2 ∈ KD1 , то D(K1 + K2) = D(K1) + (Im − K1D)−1D1(K2) (Il − −DK1) −1 и K1 +K2 ∈ KD, где D1 = (Il −DK1) −1D, D1(K2) = (Im −K2D1) −1K2; 3) если −K0 ∈ KD, то K = −D(−K0) ∈ KD и D(K) = K0. Через n−α (M), n+α (M) и n0α(M) обозначим количества собственных значений матрицы M = A + BK0C с учетом кратностей, принадлежащих соответствующим множествам C−α = {λ : Reλ+ α < 0}, C+ α = {λ : Reλ+ α > 0} и C0 α = {λ : Reλ+ α = 0}, где α ∈ R. Если n−α (M) = n, то при α ≥ 0 система (5) имеет спектральный запас устойчивости α. Лемма 1. Существует матрица K0, для которой n−α (M) = p, n+α (M) = q, n0α(M) = 0, (6) в том и только в том случае, когда разрешима относительноX система соотношений B⊥T (AX +XAT + 2αX)B⊥ < 0, (7) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3 СТАБИЛИЗАЦИЯ ПО ИЗМЕРЯЕМОМУ ВЫХОДУ И ОЦЕНКА УРОВНЯ ГАШЕНИЯ . . . 375 i(X) = {p, q, 0} , X = XT , (8) i(∆) = {l, n, 0} , ∆ = [ AX +XAT + 2αX XCT CX 0 ] . (9) При выполнении условий (7) – (9) матрицаK0, обеспечивающая условия (6), может быть определена как решение ЛМН AX +XAT + 2αX +BK0CX +XCTKT 0 B T < 0. (10) Доказательство. Согласно теореме инерции [7] равенства (6) эквивалентны совмест- ности системы соотношений (8) и (10) относительно X. В [6] показано, что нахождение матрицы X, удовлетворяющей данной системе, сводится к решению матричного нера- венства (7) при условиях i(H) = {l,m, 0} , H = [ B+(L− LRL)B+T B+(In − LR)XCT CX(In −RL)B+T −CXRXCT ] , (11) где L = AX + XAT + 2αX, R = B⊥S−1B⊥T , S = B⊥TLB⊥. Блочная матрица H пред- ставляется в виде H = Ĥ0 − ĤT 1 Ĥ −1 2 Ĥ1, где Ĥ = [ Ĥ0 ĤT 1 Ĥ1 Ĥ2 ] =  B+LB+T B+XCT B+LB⊥ CXB+T 0 CXB⊥ B⊥TLB+T B⊥TXCT S =W∆W T , W =  B+ 0 0 Il B⊥T 0  . Применяя известные формулы для вычисления индексов инерции блочной матрицы [8, c. 147] и учитывая, что Ĥ2 = S < 0, имеем i+(Ĥ) = i+(Ĥ2) + i+(H) = i+(H), i−(Ĥ) = i−(Ĥ2) + i−(H) = i−(H) + n−m. Поскольку W ∈ Rn+l×n+l — квадратная невырожденная матрица, то i(Ĥ) = i(∆). Следо- вательно, соотношения (9) и (11) при условиях (7) и (8) эквивалентны. Лемма доказана. На открытом множестве решений матричного неравенства (10) всегда можно выбрать матрицу K0 так, чтобы −K0 ∈ KD. При этом M = A+BK0C является матрицей замкну- той системы (5) (см. свойство 3) оператора D(K)). Поэтому из леммы 1 вытекает следу- ющий критерий стабилизируемости системы (1). Теорема 1. Линейная система (1) стабилизируема со спектральным запасом устой- чивости α ≥ 0 с помощью статической обратной связи (2) в том и только в том случае, когда существует матрица X = XT > 0, удовлетворяющая соотношениям (7) и (9). При этом стабилизирующая матрица обратной связи может быть определена в виде K = −D(−K0) ∈ KD, (12) где K0 — решение ЛМН (10). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3 376 А. Г. МАЗКО, С. Н. КУСИЙ Замечание 1. Условия (8) и (9) эквивалентны матричному неравенству C⊥(ATY + Y A+ 2αY )C⊥T < 0, (13) где Y = X−1. Действительно, вычисляя индексы инерции блочной матрицы ∆1 = W T 1 ∆W1 =  C⊥L1C ⊥T 0 C⊥L1C + 0 0 Il C+TL1C ⊥T Il C+TL1C +  , где L1 = ATY + Y A+ 2αY, W1 = [ Y C⊥T 0 Y C+ 0 Il 0 ] ∈ Rn+l×n+l, detW1 6= 0, получаем i±(∆1) = i±(C⊥L1C ⊥T ) + l = i±(∆) (см. [8, c. 147]). Поэтому равенства (6) возможны лишь при условиях (7) и (13). Как следствие, критерий стабилизируемости системы (1) управлением (2) в теореме 1 сводится к совместности двух ЛМН (7) и (13) относительно взаимно обратных положительно определенных матриц X и Y (см. так- же [4]). Теорема 2. Пусть для некоторой матрицы X = XT > 0 и некоторого α ≥ 0 выпол- няются ЛМН B⊥T0 (A0X +XAT0 + 2αX)B⊥0 < 0 (14) и одно из соотношений i(∆) = {l, n, 0}, C⊥0 (AT0 Y + Y A0 + 2αY )C⊥T0 < 0, (15) где A0 = A(0), B0 = B(0), C0 = C(0), Y = X−1, ∆ = [ A0X +XAT0 + 2αX XCT0 C0X 0 ] . Тогда статический регулятор (2) с матрицей (12), где K0 — решение ЛМН A0X +XAT0 + 2αX +B0K0C0X +XCT0 K T 0 B T 0 < 0, (16) обеспечивает асимптотическую устойчивость состояния x ≡ 0 нелинейной системы (4) и квадратичную функцию Ляпунова v(x) = xTY x. Доказательство. Условия (14) и (15) обеспечивают разрешимость линейного матрич- ного неравенства (16) относительноK0.При этом в силу непрерывности матричных функ- ций A(x), B(x) и C(x) для некоторого h > 0 выполняются соотношения M(x)X +XMT (x) + 2αX < 0, v̇(x) < −2α v(x) ≤ 0, x ∈ S0, где M(x) = A(x) +B(x)K0C(x), S0 = {x : ‖x‖ < h}, v̇(x) — производная функции v(x) в силу замкнутой системы (4), (2), (12). Поэтому теорема 2 является следствием теоремы 1 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3 СТАБИЛИЗАЦИЯ ПО ИЗМЕРЯЕМОМУ ВЫХОДУ И ОЦЕНКА УРОВНЯ ГАШЕНИЯ . . . 377 и теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости [9]. При этом −K0 ∈ KD, K ∈ ∈ KD, D(K) = K0 и спектр матрицы M(x) расположен в полуплоскости C−α при x ∈ S0. Теорема доказана. Замечание 2. В теоремах 1 и 2 матрица стабилизирующей обратной связи K опре- деляется в результате решения соответствующих ЛМН (10) и (16). При дополнительных ограничениях размеры решаемых матричных неравенств можно уменьшить. Так, если на множестве решений ЛМН (7) удается найти такую матрицу X, что C⊥X−1B = 0, то при достаточно большом γ > 0 матрица обратной связи (12), где −K0 = γ BTX−1C+ ∈ KD, обеспечивает асимптотическую устойчивость со спектральным запасом α замкнутой сис- темы (5). При этом достаточно взять γ > λmax(H0)/2, где H0 = B+(L− LRL)B+T [6]. 3. Динамические регуляторы. Система управления (1) c динамической обратной связью (3) порядка r 6= 0 эквивалентна системе управления со статической обратной связью в расширенном фазовом пространстве Rn+r: ˙̂x = Âx̂+ B̂û, ŷ = Ĉx̂+ D̂û, û = K̂ŷ, (17) где x̂= [ x ξ ] , ŷ= [ y ξ ] , û= [ u ξ̇ ] , K̂ = [ K U V Z ] , Â= [ A 0n×r 0r×n 0r×r ] , B̂ = [ B 0n×r 0r×m Ir ] , Ĉ = [ C 0l×r 0r×n Ir ] , D̂= [ D 0l×r 0r×m 0r×r ] . Для матричных коэффициентов B̂ и Ĉ полного ранга имеем выражения ортогональных дополнений и псевдообратных матриц: B̂⊥ = [ B⊥ 0r×(n−m) ] , B̂+ = [ B+ 0m×r 0r×n Ir ] , Ĉ⊥ = [ C⊥, 0(n−l)×r ] , Ĉ+ = [ C+ 0n×r 0r×l Ir ] . При условии K ∈ KD замкнутая система (17) представляется в виде ˙̂x = M̂ x̂, M̂ = Â+ B̂D̂(K̂)Ĉ, (18) где M̂ = [ M B(Im −KD)−1U V (Il −DK)−1C Z + V D(Im −KD)−1U ] , M = A+BD(K)C. Теорема 3. Следующие утверждения эквивалентны: 1) существует динамический регулятор (3) порядка r ≤ n, обеспечивающий асимп- тотическую устойчивость замкнутой системы (18) со спектральным запасом α ≥ 0; 2) существуют матрицы X и X0, удовлетворяющие соотношениям (7) и i(∆0) = {l, n, 0}, X ≥ X0 > 0, rank (X −X0) ≤ r, (19) где ∆0 = [ AX0 +X0A T + 2αX0 X0C T CX0 0 ] ; ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3 378 А. Г. МАЗКО, С. Н. КУСИЙ 3) существуют матрицы X и Y, удовлетворяющие соотношениям (7), (13) и W = [ X In In Y ] ≥ 0, rankW ≤ n+ r. (20) Доказательство. Согласно теореме 1 имеем критерий стабилизируемости системы (17) с помощью статического регулятора: B̂⊥T ( ÂX̂ + X̂ÂT + 2αX̂ ) B̂⊥ < 0, i(∆̂) = {l + r, n+ r, 0}, (21) где ∆̂ = [ ÂX̂ + X̂ÂT + 2αX̂ X̂ĈT ĈX̂ 0 ] , X̂ = [ X XT 1 X1 X2 ] > 0, α ≥ 0. Первое соотношение в (21) с учетом структуры блочных матриц совпадает с матричным неравенством (7) относительноX.Используем конгруэнтное преобразование матрицы ∆̂: L̂∆̂L̂T = [ ∆0 0 0 ∆1 ] , (22) где L̂ =  In −XT 1 X −1 2 0 −AXT 1 X −1 2 0 0 Il −CXT 1 X −1 2 0 Ir 0 0 0 0 0 Ir  , ∆1 = [ 2αX2 X2 X2 0 ] . Здесь диагональный блок ∆0 определен в (19) приX0 = X−XT 1 X −1 2 X1.При этом i(∆1) = = {r, r, 0}, rank (X −X0) = rank (XT 1 X −1 2 X1) ≤ r и X ≥ X0. Следовательно, из (21) вытекают соотношения (7) и (19) для некоторых положитель- но определенных матриц X и X0. Обратно, если система соотношений (7) и (19) разре- шима относительно X = XT > 0 и X0 = XT 0 > 0, то с учетом (22) всегда можно найти блочную матрицу X̂ > 0, удовлетворяющую соотношениям (21). При этом матрица X должна быть ее первым диагональным блоком, а в качестве X1 и X2 можно выбрать, например, множитель разложения X − X0 = XT 1 X1 ≥ 0 и единичную матрицу Ir соот- ветственно. Эквивалентность утверждений 1 и 3 устанавливается с учетом замечания 1 и блочной структуры используемых матриц. Следует отметить, что матрицыX иX0 удовлетворяют утверждению 2 в том и только в том случае, когда матрицыX и Y = X−10 удовлетворяют утверждению 3. Для выполнения соотношений (20) необходимо, чтобы матрицы X и Y были положительно определенными. Ранговые ограничения в соотношениях (19) и (20) всегда выполняются в случае динамического регулятора полного порядка r = n. Теорема доказана. Из утверждения 2 теоремы 3 вытекает следующий алгоритм построения стабилизи- рующего динамического регулятора (3) порядка r ≤ n для системы (1). Алгоритм 1. 1. Определение матриц X = XT > 0 и X0 = XT 0 > 0, удовлетворяющих соотношениям (7) и (19). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3 СТАБИЛИЗАЦИЯ ПО ИЗМЕРЯЕМОМУ ВЫХОДУ И ОЦЕНКА УРОВНЯ ГАШЕНИЯ . . . 379 2. Разложение неотрицательно определенной матрицы X −X0 = XT 1 X1 ≥ 0, X1 ∈ Rr×n, rankX1 ≤ r. 3. Решение ЛМН ÂX̂ + X̂ÂT + 2αX̂ + B̂K̂0ĈX̂ + X̂ĈT K̂T 0 B̂ T < 0 относительно K̂0 при ограничениях det (Im +K0D) 6= 0 и α ≥ 0, где X̂ = [ X XT 1 X1 Ir ] > 0, K̂0 = [ K0 U0 V0 Z0 ] . 4. Вычисление матриц регулятора (3) по формулам K = (Im +K0D)−1K0, U = (Im +K0D)−1U0, V = V0(Il +DK0) −1, Z = Z0 − V0D(Im +K0D)−1U0. (23) Используя формулы (17) и (18), можно сформулировать достаточные условия сущест- вования и методы построения динамического регулятора (3), обеспечивающего асимпто- тическую устойчивость состояния x ≡ 0 нелинейной системы (4) (см. теорему 2). 4. H∞-управление по выходу. Рассмотрим систему (1) с нулевым начальным вектором x(0) = 0 и класс управлений u = K∗y + w, K∗ ∈ KD, (24) гдеK∗ — стабилизирующая матрица статической обратной связи. В качестве входаw мо- жет быть вектор внешних возмущений или новое управление. Система (1) с управлением (24) представляется в виде ẋ = A∗x+B∗w, y = C∗x+D∗w, x(0) = 0, (25) где A∗ = A+BD(K∗)C, B∗ = B(Im−K∗D)−1, C∗ = (Il−DK∗)−1C, D∗ = (Il−DK∗)−1D, D(K∗) = (Im −K∗D)−1K∗. Определим для системы (25) критерий качества JP,Q = sup 0<‖w‖P<∞ J(w), (26) где J(w) = ‖y‖Q ‖w‖P , ‖y‖2Q = ∞∫ 0 yTQydt, ‖w‖2P = ∞∫ 0 wTPwdt, Q = QT > 0 и P = P T > 0 — некоторые положительно определенные матрицы, опреде- ляющие взвешенные L2-нормы ‖y‖Q и ‖w‖P . При этом выполняется двусторонняя оцен- ка γ1J ≤ JP,Q ≤ γ2J, γ1 = λmin(Q) λmax(P ) , γ2 = λmax(Q) λmin(P ) , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3 380 А. Г. МАЗКО, С. Н. КУСИЙ где J = JIm,Il совпадает с H∞-нормой передаточной матричной функции системы (1): ‖H‖∞ = sup ω∈R √ λmax(HT (−iω)H(iω)), H(λ) = C(λIn −A)−1B +D. Величина J характеризует уровень гашения входных сигналов в системе, т. е. отношение энергий „выход-вход” [3]. При решении различных задач управления желательно, что- бы данная характеристика была минимальной. Критерий качества (26) будем называть взвешенным уровнем гашения входных сигналов системы (25). Лемма 2. Пусть для некоторой матрицы K∗ ∈ KD матрица A∗ гурвицева. Тогда JP,Q < 1 в том и только в том случае, когда для некоторой матрицы X = XT > 0 выполняется ЛМН [ AT∗X +XA∗ + CT∗ QC∗ XB∗ + CT∗ QD∗ BT ∗ X +DT ∗ QC∗ DT ∗ QD∗ − P ] < 0. (27) При этом замкнутая система (1), (24) с неопределенностью w = Θy, ΘTPΘ ≤ Q, (28) робастно устойчива с общей функцией Ляпунова v(x) = xTXx. Доказательство. Используя разложения положительно определенных матриц P = = P̂ T P̂ и Q = Q̂T Q̂, получаем систему ẋ = A∗x+ B̂∗ŵ, ŷ = Ĉ∗x+ D̂∗ŵ, x(0) = 0, где ŷ = Q̂y, ŵ = P̂w, B̂∗ = B∗P̂ −1, Ĉ∗ = Q̂C∗, D̂∗ = Q̂D∗P̂ −1. При этом вектор ŵ рассматривается как вход данной системы c критерием качества типа J. Поэтому оценка JP,Q < γ выполняется в том и только в том случае, когда для некоторой матрицы X = = XT > 0 выполняется ЛМН [10, 11] Ω̂γ =  AT∗X +XA∗ XB̂∗ ĈT∗ B̂T ∗ X −γIm D̂T ∗ Ĉ∗ D̂∗ −γIl  < 0. В случае K∗ = 0, P = Im и Q = Il данная оценка эквивалентна частотному неравенству HT (−iω)H(iω) < γ2Im, ω ∈ R. Преобразуем полученное матричное неравенство: Ωγ = GT Ω̂γG =  AT∗X +XA∗ XB∗ CT∗ BT ∗ X −γP DT ∗ C∗ D∗ −γQ−1  < 0, (29) где G = diag {In, P̂ , Q̂−1T }. Очевидно, что при условии (29) матрица A∗ должна быть гурвицевой. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3 СТАБИЛИЗАЦИЯ ПО ИЗМЕРЯЕМОМУ ВЫХОДУ И ОЦЕНКА УРОВНЯ ГАШЕНИЯ . . . 381 Полагая γ = 1 и применяя лемму Шура, получаем критерий выполнения оценки JP,Q < 1 в виде матричного неравенства (27). Асимптотическая устойчивость замкну- той системы (1), (24) для любого вектора (28) (т. е. робастная устойчивость) с общей функцией Ляпунова v(x) = xTXx является следствием теоремы 1 [12]. Теорема доказана. Отметим, что характеристика (26) определяется в результате решения следующей оптимизационной задачи относительно X и K∗: JP,Q = inf { γ : Ωγ < 0, X = XT > 0, K∗ ∈ KD } . В качестве параметров оптимизации наряду с X и K∗ могут быть также положительно определенные матрицы P и Q. Установим критерий существования матрицы K∗, удовлетворяющей лемме 2. Пусть K0 = D(K∗), тогда A∗ = A + BK0C, B∗ = B(Im + K0D), C∗ = (Il + DK0)C, D∗ = (Il +DK0)D и матричное неравенство (29) при γ = 1 принимает вид LTK0R+RTKT 0 L+ S < 0, (30) где R = [C,D, 0l×l] , L = [ BT , DT , 0m×m ] X̂, X̂ =  X 0 0 0 0 Il 0 Im 0  , S =  ATX +XA XB CT BTX −P DT C D −Q−1  . Данное неравенство разрешимо относительно K0 в том и только в том случае, когда W T RSWR < 0, W T L SWL < 0, (31) где WL и WR — матрицы, столбцы которых образуют базисы соответствующих ядер kerL и kerR [11]. Поскольку WR = [ W[C,D] 0 0 Il ] , WL = X̂−1 [ W[BT ,DT ] 0 0 Im ] , то условия (31) с учетом леммы Шура приводятся к виду W T [C,D] [ ATX +XA+ CTQC XB + CTQD BTX +DTQC DTQD − P ] W[C,D] < 0, (32) W T [BT,DT ] [ AY + Y AT +BP−1BT Y CT +BP−1DT CY +DP−1BT DP−1DT −Q−1 ] W[BT ,DT ] < 0, (33) где Y = X−1. Если матричное неравенство (30) разрешимо, то всегда можно выбрать такое его решениеK0, что матрица Il+DK0 будет невырожденной. При этом Il+DK0 = = (Il −DK∗)−1 и K∗ = K0(Il +DK0) −1. (34) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3 382 А. Г. МАЗКО, С. Н. КУСИЙ Теорема 4. Существует матрица K∗, для которой JP,Q < 1, в том и только в том случае, когда система ЛМН (32) и (33) разрешима относительно взаимно обратных матриц X = XT > 0 и Y = Y T > 0. При этом замкнутая система (1), (24) с неопреде- ленностью (28) робастно устойчива с общей функцией Ляпунова v(x) = xTXx. Алгоритм вычисления матрицы K∗, удовлетворяющей теореме 4, основан на реше- нии ЛМН при дополнительных ограничениях. Алгоритм 2. 1. Вычисление матриц W[C,D] и W[BT ,DT ]. 2. Нахождение матриц X = XT > 0 и Y = Y T > 0, удовлетворяющих условиям (32), (33) и XY = In. 3. Решение ЛМН (30) относительно K0 при ограничении det(Il +DK0) 6= 0. 4. Вычисление матрицы K∗ по формуле (34). В лемме 2 и теореме 4 матрицы P иQ являются заданными. Однако в приведенном ал- горитме робастной стабилизации их можно считать неизвестными и определять наряду с положительно определенными матрицами X и Y. Кроме того, можно учесть неопреде- ленность A ∈ Co{A1, . . . , Aα} , { ν∑ i=1 αiAi : αi ≥ 0, i = 1, ν, ν∑ i=1 αi = 1 } . При этом необходимо решить систему 2α ЛМН типа (32) и (33) для каждой вершины Ai заданного политопа. В лемме 2 могут быть учтены также неопределенности B ∈ ∈ Co {B1, . . . , Bβ} и C ∈ Co {C1, . . . , Cγ} с использованием соответствующих систем ЛМН. Теперь для системы (1) с нулевым начальным вектором рассмотрим критерий качест- ва (26) и класс динамических регуляторов ξ̇ = Zξ + V y, u = Uξ +Ky + w, ξ(0) = 0, (35) где w ∈ Rm — вектор входных сигналов. Объединенная система при условии K ∈ KD приводится к виду ˙̂x = M̂x̂+ N̂w, y = F̂ x̂+ Ĝw, x̂(0) = 0, (36) где x̂ = [ x ξ ] , M̂ = [ A+BK0C BU0 V0C Z0 ] , N̂ = [ B +BK0D V0D ] , F̂ = [C +DK0C,DU0] , Ĝ = D +DK0D, K0 = D(K), U0 = (Im −KD)−1U, V0 = V (Il −DK)−1, Z0 = Z + V D(Im −KD)−1U. Если матрица M̂ гурвицева, то согласно лемме 2 JP,Q < 1 в том и только в том случае, когда для некоторой матрицы X̂ = X̂T > 0 выполняется ЛМН[ M̂T X̂ + X̂M̂ + F̂ TQF̂ X̂N̂ + F̂ TQĜ N̂T X̂ + ĜTQF̂ ĜTQĜ− P ] < 0. (37) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3 СТАБИЛИЗАЦИЯ ПО ИЗМЕРЯЕМОМУ ВЫХОДУ И ОЦЕНКА УРОВНЯ ГАШЕНИЯ . . . 383 При этом система (36) с неопределенностью (28) робастно устойчива с общей функцией Ляпунова v(x̂) = x̂T X̂x̂. Представляя соотношение (37) в виде ЛМН относительно не- известных K0, U0, V0 и Z0, имеем L̂T K̂0R̂+ R̂T K̂T 0 L̂+ Ŝ < 0, (38) где Ŝ =  ATX +XA ATXT 1 XB CT X1A 0 X1B 0 BTX BTXT 1 −P DT C 0 D −Q−1  , L̂T =  XB XT 1 X1B X2 0 0 D 0  , R̂ = [ C 0 D 0 0 Ir 0 0 ] , K̂0 = [ K0 U0 V0 Z0 ] . При этом матрицы регулятора (35) и блоки матрицы K̂0 связаны соотношениями (23). Повторяя доказательство теоремы 4 для системы (36), получаем следующее утвер- ждение. Теорема 5. Существует динамический регулятор (35), для которого JP,Q < 1, в том и только в том случае, когда система соотношений (20), (32) и (33) разрешима относительно матриц X = XT > 0 и Y = Y T > 0. При этом замкнутая система (1), (35) с неопределенностью (28) робастно устойчива с общей функцией Ляпунова v(x̂) = = x̂T X̂x̂, где X̂ — решение ЛМН (37). Приведем алгоритм построения динамического регулятора (35), удовлетворяющего теореме 5. Алгоритм 3. 1. Вычисление матриц W[C,D] и W[BT ,DT ]. 2. Нахождение матриц X = XT > 0 и Y = Y T > 0, удовлетворяющих соотношениям (20), (32) и (33). 3. Формирование блочных взаимно обратных матриц X̂ = [ X XT 1 X1 X2 ] > 0, Ŷ = [ Y Y T 1 Y1 Y2 ] > 0, X̂Ŷ = In+r. 4. Решение ЛМН (38) относительно K̂0 при ограничении det(Il +DK0) 6= 0. 5. Вычисление матриц регулятора (35) по формулам (23). В п. 3 данного алгоритма можно использовать формулу Фробениуса для обращения блочных матриц [13], согласно которой X = Y −1 + Y −1Y T 1 H −1Y1Y −1, X1 = −H−1Y1Y −1, X2 = H−1, где H = Y2 − Y1Y −1Y T 1 . Если для некоторых матриц X1 и H выполняются соотношения X − Y −1 = XT 1 HX1 ≥ 0, H = HT > 0, rankX1 ≤ r, то можно положить X2 = H−1, Y1 = −HX1Y и Y2 = H + HX1Y X T 1 H. В частности, при условиях r = n и X > Y −1 можно взять X1 = X2 = X − Y −1 и H = (X − Y −1)−1. Пример. Рассмотрим систему управления однозвенного робота-манипулятора, круго- вое движение звена которого вокруг одного из концов осуществляется с помощью гиб- кого соединения звена и исполняющего механизма (рис. 1). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3 384 А. Г. МАЗКО, С. Н. КУСИЙ Рис. 1. Однозвенный робот-манипулятор. Данная система описывается в виде двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, которые отвечают за механический баланс исполняющего механизма (вала электродвигателя) и звена робота-манипулятора без учета сил трения и внешних возмущений [14]. Уравнения движения системы представляются в векторно-матричной форме (4), где x =  θ1 θ̇1 θ2 θ̇2  , A(x) =  0 1 0 0 −[µghϕ(θ1) + k]/J1 0 k/J1 0 0 0 0 1 k/J2 0 −k/J2 −d/J2  , B =  0 0 0 1/J2  , x1 и x2 — угловые координаты звена манипулятора и вала двигателя соответственно, u — управляющий момент, создаваемый двигателем, J1 и J2 — моменты инерции соответ- ственно звена манипулятора и вала двигателя, k — жесткость передаточного механизма, d — коэффициент демпфирования, µ — масса звена манипулятора, h — длина звена ма- нипулятора, g — ускорение свободного падения, µgh sin θ1 — момент силы тяжести, дей- ствующей на звено манипулятора, ϕ(θ) = (sin θ)/θ — непрерывная функция. Пусть µgh = 5, d = 0, 1, k = 100, J1 = 1, J2 = 0, 3 и измеряется вектор выхода y = Cx+Du = [ θ1 θ̇2 + u ] , C = [ 1 0 0 0 0 0 0 1 ] , D = [ 0 1 ] . С помощью алгоритма 1 получены матрицы динамического регулятора (3) K = [ 0, 41138 1, 02011 ] , U = [ −0, 01041 1, 26562 5, 01012 5, 63158 ] , V =  40, 87656 12, 66551 −82, 39505 2, 64321 1, 12738 1, 01236 0, 43389 0, 45288  , Z =  −221, 68319 −73, 24345 435, 55701 −16, 56658 −5, 86971 −7, 50591 −13, 13094 −3, 32791 −122, 55623 −99, 16994 −54, 17854 −48, 20623 726, 00834 651, 89123 284, 48100 −0, 45528  , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3 СТАБИЛИЗАЦИЯ ПО ИЗМЕРЯЕМОМУ ВЫХОДУ И ОЦЕНКА УРОВНЯ ГАШЕНИЯ . . . 385 обеспечивающего асимптотическую устойчивость линейной системы (18) со спектраль- ным запасом устойчивости α = 0, 3. Нулевое решение замкнутой нелинейной системы (3), (4) также асимптотически устойчиво. Кроме того, при P = 1 и Q = 0, 01I2 с помощью алгоритма 3 построен динамический регулятор (35) с матрицами K = [ 29, 27198 17, 72540 ] , U = [ −136, 98479 1, 68417 159, 99785 −4, 63821 ] , V =  −8, 92308 29, 89135 8, 78891 −134, 01536 −0, 46761 −4, 38040 −0, 03049 10, 43232  , Z =  −4, 25434 −31, 38366 9, 09675 61, 90396 0, 95272 −0, 44282 −0, 00310 1, 39153 −4, 49349 57, 91671 −0, 29637 −201, 07858 0, 15745 1, 47507 1, 01022 −8, 30203  , обеспечивающий оценку критерия качества JP,Q < 1. Определены также матрицы X =  504, 20760 −107, 19979 −103, 12295 −17, 22386 −107, 19979 168, 16951 133, 38328 50, 16634 −103, 12295 133, 38328 684, 59654 40, 47486 −17, 22386 50, 16634 40, 47486 16, 68031  , Y =  50, 08075 −31, 18632 50, 37249 −25, 00599 −31, 18632 246, 76214 −33, 75284 40, 51271 50, 37249 −33, 75284 52, 75269 −32, 09252 −25, 00599 40, 51271 −32, 09252 707, 83260  , удовлетворяющие системе ЛМН (20), (32) и (33), а в качестве дополняющих блоков X1 и X2 выбрано выражение X − Y −1. При этом нулевое решение замкнутой нелинейной системы (4), (35) с неопределенностью (28) робастно устойчиво и данная система имеет общую функцию Ляпунова v(x̂) = x̂T X̂x̂. На рис. 2 изображено поведение решений замкнутой нелинейной системы управле- ния (3), (4) с начальным вектором x̂0 = [0, 1;−0, 2; 0, 3;−0, 4;−0, 1; 0, 2;−0, 3; 0, 4]T при использовании динамического регулятора полного порядка r = 4 с матрицами K, U, V и Z, полученными с помощью алгоритмов 1 и 3. Сплошными и штрихпунктирными линия- ми обозначены траектории соответственно системы xi(t) и регулятора ξi(t), i = 1, 4. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3 386 А. Г. МАЗКО, С. Н. КУСИЙ а б Рис. 2. Поведение замкнутой системы управления (а — алгоритм 1, б — алгоритм 3). 5. Заключение. В работе получены новые критерии стабилизируемости линейных систем с помощью статической и динамической обратных связей по измеряемому выходу, а также способы построения регуляторов, обеспечивающих асимптотическую устойчи- вость состояния равновесия некоторого класса нелинейных систем управления. Для клас- са линейных систем разработаны алгоритмы построения законов управления, которые обеспечивают оценку критерия качества, описывающего взвешенный уровень гашения входных сигналов, а также робастную стабилизацию относительно заданного множества неопределенностей. Численная реализация предложенных методов построения стабили- зирующих регуляторов сводится к решению систем линейных матричных неравенств. Для этого могут быть использованы достаточно эффективные средства компьютерной системы Matlab. 1. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Трудные задачи линейной теории управления. Некоторые подходы к ре- шению // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 5. — С. 7 – 46. 2. Алиев Ф. А., Ларин В. Б. Задачи стабилизации системы с обратной связью по выходной переменной (обзор) // Прикл. механика. — 2011. — 47, № 3. — С. 3 – 49. 3. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. — М.: Наука, 2002. — 303 c. 4. Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. — М.: Физматлит, 2007. — 280 c. 5. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A. J., Chilali M. The LMI Control Toolbox. For Use with Matlab. User’s Guide. — Natick, MA: The MathWorks, Inc., 1995. 6. Мазко О. Г., Богданович Л. В. Робастна стiйкiсть i оптимiзацiя нелiнiйних систем керування // Аналi- тична механiка та її застосування: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2012. — 9, № 1. — С. 213 – 230. 7. Ostrowsky O., Schneider H. Some theorems on the inertia of general matrices // J. Math. Anal. and Appl. — 1962. — 4. — P. 72 – 84. 8. Mazko A. G. Matrix equations, spectral problems and stability of dynamic systems // Int. Book Series “Stabi- lity, Oscillations and Optimization of Systems” / Eds A. A. Martynyuk, P. Borne and C. Cruz-Hernandez. — Cambridge: Cambridge Sci. Publ., 2008. — Vol. 2. — xx + 270 p. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3 СТАБИЛИЗАЦИЯ ПО ИЗМЕРЯЕМОМУ ВЫХОДУ И ОЦЕНКА УРОВНЯ ГАШЕНИЯ . . . 387 9. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с. 10. Scherer C. The Riccati enequality and state-space H∞-optimal control: Ph. D. Dissertation. — Germany: Univ. Wurzburg, 1990. 11. Gahinet P., Apkarian P. A Linear matrix inequality approach to H∞ control // Int. J. Robust and Nonlinear Control. — 1994. — 4. — P. 421 – 448. 12. Мазко А. Г. Робастная устойчивость и оценка функционала качества нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика. — 2015. — № 2. — С. 73 – 88. 13. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с. 14. Ghorbel F., Hung J. Y., Spong M. W. Adaptive control of flexible-joint manipulators // IEEE Control Systems Mag. — 1989. — № 9. — P. 9 – 13. Получено 01.06.15 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3

Стабилизация по измеряемому выходу и оценка уровня гашения возмущений в системах управления

Репозитарії

Схожі ресурси