Неосесимметричные колебания оболочки вращения, частично заполненной жидкостью
Запропоновано алгоритм розрахунку частот та форм власних коливань оболонок обертання, частково заповнених рiдиною. Задача розв’язується у припущеннi, що при збуреному русi рiдини її вiльна поверхня залишається плоскою i перпендикулярною до осi оболонки. Розв’язання вихiдної задачi базується на засто...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177223 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Неосесимметричные колебания оболочки вращения, частично заполненной жидкостью / В.А. Троценко, Ю.В. Троценко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 3. — С. 394-412 — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177223 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772232021-02-13T01:25:48Z Неосесимметричные колебания оболочки вращения, частично заполненной жидкостью Троценко, В.А. Троценко, Ю.В. Запропоновано алгоритм розрахунку частот та форм власних коливань оболонок обертання, частково заповнених рiдиною. Задача розв’язується у припущеннi, що при збуреному русi рiдини її вiльна поверхня залишається плоскою i перпендикулярною до осi оболонки. Розв’язання вихiдної задачi базується на застосуваннi методу декомпозицiї областi iнтегрування рiвнянь теорiї оболонок у поєднаннi з варiацiйним методом i наближенiй побудовi оберненого оператора для гiдродинамiчної частини задачi. Побудовано узагальнений функцiонал вiдносно перемiщень оболонки, для якого умови спряження розв’язкiв у пiдобластях вiдносяться до числа природних граничних умов. Наведено порiвняння отриманих числових результатiв з iснуючими точними розв’язками розглядуваної задачi з урахуванням хвильових рухiв рiдини для оболонки у формi кругового цилiндра. We propose an algorithm for calculating frequencies and forms of eigen oscillation of rotation shells partially filled with liquid. Solution of the problem is carried out with an assumption that the free surface of the liquid remains flat and perpendicular to the axis of the shell. The solution is based on a use of the method of decomposing the integration region of the shell theory equations, together with the variation method and an approximate construction of the inverse operator to the hydrodynamic portion of the problem. We construct a generalized functional with respect to displacements of the shell such that the solution coupling conditions make natural boundary-value conditions. We compare the obtained numerical results with existing exact solutions of the problem under consideration accounting for wave motions of the fluid for a shell in the form of a circular cylinder 2015 Article Неосесимметричные колебания оболочки вращения, частично заполненной жидкостью / В.А. Троценко, Ю.В. Троценко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 3. — С. 394-412 — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177223 539.3 + 532.5 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Запропоновано алгоритм розрахунку частот та форм власних коливань оболонок обертання, частково заповнених рiдиною. Задача розв’язується у припущеннi, що при збуреному русi рiдини її вiльна поверхня залишається плоскою i перпендикулярною до осi оболонки. Розв’язання вихiдної задачi базується на застосуваннi методу декомпозицiї областi iнтегрування рiвнянь теорiї оболонок у поєднаннi з варiацiйним методом i наближенiй побудовi оберненого оператора для гiдродинамiчної частини задачi. Побудовано узагальнений функцiонал вiдносно перемiщень оболонки, для якого умови спряження розв’язкiв у пiдобластях вiдносяться до числа природних граничних умов. Наведено порiвняння отриманих числових результатiв з iснуючими точними розв’язками розглядуваної задачi з урахуванням хвильових рухiв рiдини для оболонки у формi кругового цилiндра. |
| format |
Article |
| author |
Троценко, В.А. Троценко, Ю.В. |
| spellingShingle |
Троценко, В.А. Троценко, Ю.В. Неосесимметричные колебания оболочки вращения, частично заполненной жидкостью Нелінійні коливання |
| author_facet |
Троценко, В.А. Троценко, Ю.В. |
| author_sort |
Троценко, В.А. |
| title |
Неосесимметричные колебания оболочки вращения, частично заполненной жидкостью |
| title_short |
Неосесимметричные колебания оболочки вращения, частично заполненной жидкостью |
| title_full |
Неосесимметричные колебания оболочки вращения, частично заполненной жидкостью |
| title_fullStr |
Неосесимметричные колебания оболочки вращения, частично заполненной жидкостью |
| title_full_unstemmed |
Неосесимметричные колебания оболочки вращения, частично заполненной жидкостью |
| title_sort |
неосесимметричные колебания оболочки вращения, частично заполненной жидкостью |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177223 |
| citation_txt |
Неосесимметричные колебания оболочки вращения, частично заполненной жидкостью / В.А. Троценко, Ю.В. Троценко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 3. — С. 394-412 — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT trocenkova neosesimmetričnyekolebaniâoboločkivraŝeniâčastičnozapolnennojžidkostʹû AT trocenkoûv neosesimmetričnyekolebaniâoboločkivraŝeniâčastičnozapolnennojžidkostʹû |
| first_indexed |
2025-07-15T15:15:36Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:15:36Z |
| _version_ |
1837726472408662016 |
| fulltext |
УДК 539.3 + 532.5
НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ,
ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ
В. А. Троценко, Ю. В. Троценко
Ин-т математики НАН Украины
ул. Терещенковская, 3, Киев, 01601, Украина
e-mail: trots@imath.kiev.ua
We propose an algorithm for calculating frequencies and forms of eigen oscillation of rotation shells parti-
ally filled with liquid. Solution of the problem is carried out with an assumption that the free surface of the
liquid remains flat and perpendicular to the axis of the shell. The solution is based on a use of the method
of decomposing the integration region of the shell theory equations, together with the variation method
and an approximate construction of the inverse operator to the hydrodynamic portion of the problem. We
construct a generalized functional with respect to displacements of the shell such that the solution coup-
ling conditions make natural boundary-value conditions. We compare the obtained numerical results with
existing exact solutions of the problem under consideration accounting for wave motions of the fluid for a
shell in the form of a circular cylinder.
Запропоновано алгоритм розрахунку частот та форм власних коливань оболонок обертання,
частково заповнених рiдиною. Задача розв’язується у припущеннi, що при збуреному русi рiдини
її вiльна поверхня залишається плоскою i перпендикулярною до осi оболонки. Розв’язання вихiд-
ної задачi базується на застосуваннi методу декомпозицiї областi iнтегрування рiвнянь тео-
рiї оболонок у поєднаннi з варiацiйним методом i наближенiй побудовi оберненого оператора
для гiдродинамiчної частини задачi. Побудовано узагальнений функцiонал вiдносно перемiщень
оболонки, для якого умови спряження розв’язкiв у пiдобластях вiдносяться до числа природних
граничних умов. Наведено порiвняння отриманих числових результатiв з iснуючими точними
розв’язками розглядуваної задачi з урахуванням хвильових рухiв рiдини для оболонки у формi
кругового цилiндра.
Введение. Сложные механические системы, которые включают в себя тонкостенные
оболочки с жидкостью, широко используются в авиастроении, ракетостроении и других
отраслях промышленности. Большинство дефектов и разрушений в такого рода объек-
тах возникают вследствие действия на них переменных во времени внешних нагрузок,
особенно когда имеет место сближение частот возмущающих сил и собственных колеба-
ний системы. Поэтому определение частот и форм свободных колебаний, как основных
характеристик гидроупругих систем, является первым этапом их динамического расчета.
Имеется большое число публикаций, посвященных решению задач о взаимодействии
тонкостенных оболочек с жидкостью. Обширная библиография по этому вопросу при-
ведена в книгах [1, 2]. Краевые задачи гидроупругости относятся к числу достаточно
сложных задач математической физики, поскольку необходимо совместно интегриро-
вать уравнения в частных производных для потенциала смещений жидкости и системы
дифференциальных уравнений для перемещений оболочки. Однако среди публикаций
имеются и работы, в которых построены точные решения рассматриваемых задач. Точ-
ные решения можно получить только в тех случаях, когда поверхность оболочки совпа-
дает с какой-либо координатной поверхностью одной из систем координат и уравнения
c© В. А. Троценко, Ю. В. Троценко, 2015
394 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ . . . 395
теории оболочек допускают построение их явного общего решения. Точные решения не-
которых частных задач приведены в работах [1, 3 – 5]. Эти решения имеют очень важное
значение, поскольку они могут быть использованы для оценки точности различных при-
ближенных методов, которые позволяют получить необходимые результаты более про-
стым способом при непосредственном интегрировании исходных уравнений. Примени-
тельно к оболочкам вращения разработан ряд приближенных аналитических методов
решения краевых задач гидроупругости. Построение этих решений основано на приме-
нении методов Ритца [1, 6, 7] и Бубнова — Галеркина [8, 9].
При их использовании к расчету колебаний произвольных оболочек вращения, час-
тично заполненных жидкостью, основную трудность представляет выбор координатных
функций для перемещений оболочки и жидкости. Заметим, что при реализации метода
Бубнова – Галеркина эти трудности могут быть преодолены в рамках его модификации,
предложенной в работе [10].
В последнее время, в связи с бурным развитием вычислительной техники, интенсив-
но развиваются численные методы расчета динамических характеристик упругих обо-
лочек вращения, частично заполненных жидкостью. Так, в работе [11] предложен алго-
ритм расчета собственных и вынужденных колебаний упругих оболочек с жидкостью.
Исходная задача сводится к системе интегро-дифференциальных уравнений за счет вве-
дения в рассмотрение вспомогательной спектральной задачи с параметром в граничном
условии. Сформулированная краевая задача для этой системы уравнений сводится к со-
ответствующим задачам Коши, решения которых находятся методом Кутта – Мерсона с
ортогонализацией решений по Граму – Шмидту.
Имеется обширная литература по применению различных вариантов метода конеч-
ных элементов в задачах гидроупругости (см., например, [12, 13]). Рассмотренные числен-
ные методы универсальны по охвату решаемых задач, однако они требуют тщательной
проверки точности полученных результатов.
В настоящей работе развивается применение вариационного метода для построения
приближенного решения задач о свободных колебаниях произвольных оболочек враще-
ния, частично заполненных жидкостью.
1. Постановка задачи. Рассмотрим тонкостенную упругую оболочку вращения, кото-
рая на глубину H заполнена идеальной несжимаемой жидкостью с плотностью ρ0. Вве-
дем цилиндрическую систему координатOzrβ, осьOz которой направлена в сторону сво-
бодной поверхности жидкости Σ и совмещена с осью симметрии оболочки. Вектор уско-
рения ~g поля массовых сил направлен в противоположную сторону от положительного
направления оси Oz.
При описании колебаний оболочки с жидкостью будем исходить из линейных уравне-
ний технической теории оболочек и уравнений теории малых гравитационных волн. При
этом будем пренебрегать начальными усилиями в срединной поверхности оболочки, воз-
никающими за счет гидростатического давления жидкости. Принятые выше допущения
характерны для большинства работ, в которых изучаются взаимосвязанные колебания
оболочки с жидкостью [1 – 4].
У оболочки вращения линиями главных кривизн являются ее меридианы и паралле-
ли. В качестве ортогональных координат для произвольной точки срединной поверхнос-
ти оболочки примем длину дуги меридиана s, отсчитываемую от некоторой начальной
параллели (s1 ≤ s ≤ s2) или от полюса оболочки s1 = 0, и угол β, определяющий по-
ложение точки на соответствующей параллели. Проекции перемещения точек средин-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
396 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
ной поверхности оболочки на направления ее образующей, параллели и внешней нор-
мали обозначим соответственно через u, v и w. Обозначим через ν, E и h коэффици-
ент Пуассона, модуль упругости материала оболочки и ее толщину. После подстановки в
уравнения равновесия [14] элемента оболочки под воздействием поверхностной нагрузки
~Q = {Q1, Q2, Q3} сил и моментов, выраженных через перемещения, и умножения полу-
ченных уравнений на коэффициент (1 − ν2)/(Eh) получим исходную систему уравнений
в частных производных относительно перемещений u, v и w:
L11(u) + L12(v) + L13(w) =
1− ν2
Eh
Q1,
L21(u) + L22(v) + L23(w) =
1− ν2
Eh
Q2, (1)
L31(u) + L32(v) + L33(w) =
1− ν2
Eh
Q3,
где Lij , i, j = 1, 3, — известные дифференциальные операторы линейной теории оболо-
чек [14]. Компоненты произвольной нагрузкиQ1, Q2 иQ3 в направлении положительного
отсчета координат s, β и внешней нормали к поверхности оболочки в соответствии с
принципом Д’Аламбера можно представить в виде
Q1 = −ρh∂
2u
∂t2
, Q2 = −ρh∂
2v
∂t2
, Q3 = −ρh∂
2w
∂t2
+ ∆P, (2)
где ∆P — динамическое давление со стороны жидкости на оболочку, ρ — плотность ма-
териала оболочки. К уравнениям (1) необходимо добавить граничные условия крепления
торцов оболочки при s = s1 и s = s2.
Для описания кинематической картины движения жидкости в оболочке введем по-
тенциал смещений Φ(z, r, β, t). Обозначим срединную поверхность оболочки через S, ее
смачиваемую поверхность через S1, оставшуюся часть поверхности оболочки через S2
(S = S1 ∪ S2), свободную поверхность жидкости через Σ, область, занятую жидкостью
и заключенную внутри замкнутой поверхности S1 ∪ Σ, через D. Из сформулированных
выше допущений следует возможность отнесения граничных условий для потенциала
смещений Φ к неподвижной срединной поверхности оболочки S1, а условия на возму-
щенной свободной поверхности жидкости — к невозмущенной поверхности Σ.
Потенциал смещений частиц жидкости при заданном движении оболочки в ее нор-
мальном направлении w(p, t) = w(s, β, t) определяется из решения следующей краевой
задачи [2]:
∆Φ = 0, (z, r, β) ∈ D, ∂Φ
∂n
∣∣∣∣
S1
= w(p, t),
(
∂2Φ
∂t2
+ g
∂Φ
∂z
)∣∣∣∣
Σ
= 0, (3)
где ∆ — оператор Лапласа, g — модуль вектора ~g и n — внешняя нормаль к поверхнос-
ти S1. Динамическое условие на поверхности Σ является условием постоянства давле-
ния жидкости на ее свободной поверхности. На основании линеаризованного интеграла
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ . . . 397
Лагранжа – Коши дополнительное динамическое давление со стороны жидкости на обо-
лочку определяется выражением
∆P = −ρ0
∂2Φ
∂t2
∣∣∣∣
S1
. (4)
Таким образом, уравнения (1) и (3) вместе с соотношениями (2), (4) и соответствующи-
ми начальными условиями однозначно определяют взаимосвязанные колебания упругой
оболочки и находящейся в ней идеальной жидкости.
Во многих работах для потенциала смещений Φ вместо точного граничного усло-
вия на свободной поверхности используют различные варианты приближенных условий,
которые упрощают построение приближенных решений рассматриваемых задач гидро-
упругости. Например, можно предположить, что в процессе колебаний свободная поверх-
ность жидкости все время остается плоской и перпендикулярной оси Oz [2, 15]. При не-
осесимметричных колебаниях это означает, что
∂Φ
∂z
∣∣∣∣
Σ
= 0. (5)
Такое предположение оказывается оправданным, если частоты колебаний оболочки, обу-
словленные деформацией ее срединной поверхности, значительно выше низших собствен-
ных частот гравитационных волн в жесткой оболочке. В дальнейшем основное внимание
будет уделено определению частот и форм собственных колебаний оболочек вращения,
частично заполненных идеальной и несжимаемой жидкостью. При этом для потенциала
смещений Φ на свободной поверхности жидкости будем использовать приближенное гра-
ничное условие в виде (5). Полученные динамические характеристики могут быть приня-
ты в качестве парциальных при составлении уравнений движения упругой конструкции
в целом под воздействием приложенных к ней внешних сил.
Для собственных колебаний рассматриваемой механической системы с частотой ω
компоненты перемещений точек срединной поверхности оболочки u, v, w и потенциа-
ла смещений частиц жидкости Φ с учетом условий их периодичности по углу β можно
представить в виде
u(s, β, t) = u(s) expiωt cosnβ, v(s, β, t) = v(s) expiωt sinnβ,
w(s, β, t) = w(s) expiωt cosnβ, Φ(z, r, β, t) = Φ(z, r) expiωt cosnβ, n ≥ 1,
где n— число волн упругой поверхности оболочки и жидкости в окружном направлении,
рассматриваемое в дальнейшем в качестве параметра.
Обозначим через R0 какой-либо характерный линейный размер оболочки. Введем в
рассмотрение следующие безразмерные параметры и величины (обозначенные черточ-
кой сверху):
λ2 =
(1− ν2)ρR2
0ω
2
E
, c2 =
1
12
(
h
R0
)2
, a =
ρ0R0
ρh
, {u, v, w} = R0{ū, v̄, w̄},
{Ti, Si} =
Eh
1− ν2
{T̄i, S̄i}, {Mi, H} =
EhR0
1− ν2
{M̄i, H̄}, Φ = R2
0Φ̄, i = 1, 2.
(6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
398 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
Кроме того, отнесем к R0 также параметры Ламе, кривизны и координаты точек сре-
динной поверхности оболочки. В дальнейшем черточку над безразмерными величинами
будем опускать. В формулах (6) Ti и Mi — погонные силы и изгибающие моменты, S и
H — сдвигающая сила и крутящий момент, отнесенные к единице длины нормального
сечения поверхности оболочки.
Безразмерные усилия и моменты, действующие в срединной поверхности оболочки,
связаны с ее деформациями по формулам
T1 = ε1 + νε2, T2 = ε2 + νε1, S =
1− ν
2
γ12,
M1 = c2(κ1 + νκ2), M2 = c2(κ2 + νκ1), H = (1− ν)c2τ.
Формулы, выражающие зависимость деформаций срединной поверхности оболочки и
параметров изменения ее кривизны от компонент перемещения в рамках технической
теории оболочек имеют вид [14]
ε1 =
du
ds
+
w
R1
, ε2 =
n
r
v +
r′
r
u+
w
R2
, τ =
n
r
dw
ds
− r′n
r2
w,
γ12 =
n
r
u+
dv
ds
− r′
r
v, κ1 = −d
2w
ds2
, κ2 =
n2
r2
w − r′
r
dw
ds
.
После отделения угловой координаты β для составляющей потенциала смещений Φ(z, r)
будем иметь следующую краевую задачу Неймана:
∂2Φ
∂z2
+
1
r
∂
∂r
(
r
∂Φ
∂r
)
− n2
r2
Φ = 0, (z, r) ∈ Q, ∂Φ
∂z
∣∣∣∣
L0
= 0,
∂Φ
∂n
∣∣∣∣
L1
= w, (7)
гдеQ, L0 иL1 — меридиональное сечение областиD поверхностей Σ и S1 соответственно.
Введем в рассмотрение оператор G [16], который значениям функции w(s), заданной
на линииL1, ставит в соответствие функцию Φ, определенную в областиQ и являющуюся
решением краевой задачи (7). Это соответствие запишем в виде
Φ = Gw.
Здесь G — интегральный оператор, ядром которого является функция Грина второй
краевой задачи для уравнения (7). Если область Q имеет каноническую форму, то эту
функцию можно эффективно построить. Будем считать, что вектор-функция ~u = {u(s),
v(s), w(s)} принадлежит классу H функций, определенных на поверхности S = S1 ∪ S2 и
удовлетворяющих граничным условиям закрепления торцов оболочки. Тогда исходную
спектральную задачу можно представить в операторном виде
=(~u) = L~u− λ2M~u = 0, M = diag {1, 1, 1 + δ(p)aG}, (8)
гдеL— матричный оператор, порожденный дифференциальными уравнениями (1) после
отделения в них угловой координаты и перехода к безразмерным величинам;
δ(p) =
{
1 при p ∈ S1,
0 при p ∈ S − S1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ . . . 399
Явный вид элементов оператора L приведен в работе [17]. Можно показать, что опе-
ратор L симметричен и положительно определен для любой функции ~u 6= 0 изH. В свою
очередь оператор M является симметричным и положительным. Из этого следует [18],
что задача на собственные значения (8) имеет дискретный спектр, причем все ее соб-
ственные значения положительны и имеют единственную предельную точку, располо-
женную на бесконечности. Решения системы уравнений (8), имеющей восьмой порядок,
должны быть подчинены соответствующим однородным граничным условиям. Гранич-
ные условия накладываются либо на перемещения оболочки, либо на соответствующие
им силы. Так, для абсолютно жесткого закрепления края оболочки при s = s1 эти усло-
вия имеют вид [
u = v = w =
dw
ds
= 0
]
s=s1
. (9)
При свободном перемещении края оболочки (s = s2) выполняются следующие сило-
вые граничные условия:
[T1 = S = Q̃1 = M1 = 0]s=s2 . (10)
Здесь Q̃1 — обобщенная поперечная сила, которая в безразмерных величинах выража-
ется через нормальное перемещение точек оболочки по формулам
Q̃1 = −c2
[
d
ds
4w − (1− ν)n2
r2
(
dw
ds
− r
′
r
w
)]
, 4w =
1
r
d
ds
(
r
dw
ds
)
− n2
r2
w. (11)
Следует отметить, что формула (11) справедлива для оболочек вращения с постоянной
толщиной стенки h.
В других случаях крепления края оболочки используются комбинации условий (9) и
(10). Из формул (10) и (11) следует, что в рамках технической теории оболочек нельзя на-
кладывать граничные условия на поперечную силу Q1, а необходимо вводить в рассмот-
рение обобщенную поперечную силу Q̃1. Для оболочек в форме купола при построении
приближенных решений следует учитывать асимптотическое поведение искомых функ-
ций при s → 0 [19]. В дальнейшем для определенности будем считать, что при s = s1
край оболочки жестко закреплен, а при s = s2 — свободен.
2. Построение обобщенного функционала для решения задачи с использованием ме-
тода декомпозиции области. Поскольку оболочка подвержена действию разрывной ди-
намической нагрузки, для эффективного построения приближенного решения системы
интегро-дифференциальных уравнений (8) при граничных условиях (9), (10) целесообраз-
но разбить область изменения параметра s на две подобласти. Пусть значение s = ζ со-
ответствует уровню жидкости, на который заполнена оболочка. Разобьем область [s1, s2]
точкой s = ζ на две подобласти: G(1) = [s1, ζ] и G(2) = [ζ, s2]. Область G(1) соответству-
ет смоченной части оболочки, а область G(2) — оставшейся (несмоченной) части. Обо-
значим решения исходной задачи в подобластях G(1) и G(2) соответственно через ~u(1) и
~u(2). В дальнейшем верхний индекс во всех встречающихся выражениях будет обозна-
чать область, в которой эти функции определены. Функция ~u(1)(s) должна удовлетво-
рять системе уравнений (8) при δ(p) = 1, тогда как функция ~u(2)(s) будет решением тех
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
400 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
же уравнений, но при δ(p) = 0. В соответствии с принятыми граничными условиями для
торцов оболочки, для функции ~u(1)(s) должны выполняться граничные условия (9), а для
функции ~u(2)(s) — условия (10). Кроме того, в сечении s = ζ должны выполняться опре-
деленные граничные условия сопряжения решений ~u(1)(s) и ~u(2)(s). Установим эти гра-
ничные условия исходя из вариационной формулировки рассматриваемой задачи.
Эквивалентную вариационную постановку исходной спектральной задачи можно по-
лучить исходя из принципа возможных перемещений, согласно которому δΠ = δA, где
δΠ — вариация потенциальной энергии деформации оболочки, δA — работа внешних
сил, приложенных к оболочке на ее возможных перемещениях, которые могут быть
представлены в виде
δΠ =
s2∫
s1
(T1δε1 + T2δε2 + Sδγ12 +M1δκ1 +M2δκ2 + 2Hδτ)rds,
δA =
s2∫
s1
~Qδ~urds = λ2
s2∫
s1
[uδu+ vδv + (w + aδ(p)Gw)δw]rds.
(12)
Таким образом, исходная спектральная задача сведена к отысканию стационарных
значений для функционала I(~u),
I(~u) =
s2∫
s1
F (~u)rds, (13)
на классе функций, подчиненных основным граничным условиям (9).
Представим функционал (13) в виде
I =
∫
G(1)
F (~u(1))dG(1) +
∫
G(2)
F (~u(2))dG(2). (14)
Вычислим первую вариацию от функционала (14), не накладывая никаких ограниче-
ний на варьируемые функции, кроме граничных условий (9). В дальнейшем будем пред-
полагать, что в каждой из введенных подобластей поле перемещений усилий и момен-
тов имеет свойство непрерывности и дифференцируемости. С учетом интегрирования
по частям и принятых обозначений вариацию от функционала (14) можно представить в
виде
δI =
2∑
k=1
∫
G(k)
=(~u(k))δ(~u(k))dG(k) +
(
T
(1)
1 δu(1) + S(1)δv(1) + Q̃
(1)
1 δw(1) −M (1)
1
dδw(1)
ds
)
s=ζ
−
−
(
T
(2)
1 δu(2) + S(2)δv(2) + Q̃
(2)
1 δw(2) −M (2)
1
dδw(2)
ds
)
s=ζ
+
+
(
T
(2)
1 δu(2) + S(2)δv(2) + Q̃
(2)
1 δw(2) −M (2)
1
dδw(2)
ds
)
s=s(2)
. (15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ . . . 401
Приравнивая выражение (15) к нулю, получаем вариационное уравнение для опреде-
ления функций ~u(k)(s).Из этого уравнения в силу произвольности варьирования функций
~u(k) в областях G(k) и на границе при s = s2 следует, что в пределах каждой из введенных
подобластей должны выполняться исходные уравнения и граничные условия свободного
опирания края оболочки при s = s2.
Далее, если предположить, что класс допустимых функций при s = ζ подчинен усло-
виям
u(1) = u(2), v(1) = v(2), w(1) = w(2),
dw(1)
ds
=
∂w(2)
∂s
, (16)
то из (15) следуют еще и силовые граничные условия при s = ζ:
T
(1)
1 = T
(2)
1 , S(1) = S(2), M
(1)
1 = M
(2)
1 , Q̃
(1)
1 = Q̃
(2)
1 . (17)
При этом следует заметить, что условия (17) являются естественными граничными усло-
виями для функционала (14). Таким образом, особенность условий сопряжения решений
в теории оболочек состоит в том, что в них нужно требовать непрерывность не только
перемещений u, v, w, но и первой производной от w, не только усилий T1, S и моментов
M1, но и поперечных обобщенных перерезывающих сил Q̃1.
Итак, при использовании метода Ритца для решения вариационного уравнения δI = 0
аппроксимации для функций u(k), v(k), w(k) должны выбираться таким образом, чтобы
они обеспечивали выполнение условий (16). В этом случае остальные граничные усло-
вия задачи, кроме условий (9), будут естественными граничными условиями для функци-
онала (14). Построение решений, заведомо удовлетворяющих условиям (15), является в
общем случае достаточно трудной самостоятельной задачей. В связи с этим возникает
вопрос о преобразовании функционала (14) в такой обобщенный функционал, для ко-
торого все условия сопряжения между подобластями были бы естественными условия-
ми. Теория преобразования вариационных задач создана уже давно [20], но в литературе
известны лишь немногие примеры применения ее к задачам механики сплошной среды.
Граничные условия (16) при s = ζ можно рассматривать как дополнительные ограни-
чения на задачу нахождения стационарного значения функционала I(~u). Исключить их
из рассмотрения можно с помощью множителей Лагранжа. В соответствии с этим введем
в рассмотрение новый функционал Π1(~u, α1, α2, α3, α4), который имеет вид
Π1(~u, α1, α2, α3, α4) = I(~u) +
[
α1(u(1) − u(2)) + α2(v(1) − v(2)) +
+ α3(w(1) − w(2)) + α4
(
dw(1)
ds
− ∂w(2)
∂s
)]
s=ζ
, (18)
где αi — множители Лагранжа, подлежащие определению в дальнейшем.
Преобразование функционала (14) в расширенный функционал (18) достигнуто уве-
личением количества неизвестных исходной задачи, т. е. нужно искать стационарные зна-
чения функционала (18) не только по u, v, w, но и по α1, α2, α3, α4 на классе функций,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
402 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
удовлетворяющих лишь главным граничным условиям (9). Эту задачу можно существен-
но упростить, если предварительно найти явные выражения для множителей Лагранжа
через сами решения ~u. С этой целью вычислим первую вариацию функционала (18) при
свободном варьировании функций ~u(i), i = 1, 2, и постоянных αi, i = 1, 4. Из этой вариа-
ции запишем только внеинтегральные члены при s = ζ. При этом будем иметь[
δα1(u(1) − u(2)) + δα2(v(1) − v(2)) + δα3(w(1) − w(2)) + δα4
(
dw(1)
ds
− dw(2)
ds
)
+
+ (T
(1)
1 + α1)δu(1) − (T
(2)
1 + α1)δu(2) + (S(1) + α2)δv(1) − (S(2) + α2)δv(2)+
+ (Q̃
(1)
1 + α3)δw(1) − (Q̃
(2)
1 + α3)δw(2) + (α4 −M (1)
1 )
dδw(1)
ds
+ (M
(2)
1 − α4)
dδw(2)
ds
]
s=ζ
.
(19)
Если функционал (18) принимает стационарное значение для произвольных вариаций
δ~u(i),
dδw(i)
ds
, i = 1, 2, и δαi, i = 1, 4, то из выражения (19) следует, что в точке s = ζ будут
выполняться кинематические условия сопряжения (16), а также соотношения
α1 = −T (1)
1 , α1 = −T (2)
1 , α2 = −S(1), α2 = −S(2),
α3 = −Q̃(1)
1 , α3 = −Q̃(2)
1 , α4 = M
(1)
1 , α4 = M
(2)
1 .
Отсюда следуют равенства правых частей в приведенных формулах, что свидетельствует
о выполнении силовых условий сопряжения (17). Кроме того, из этих формул можно
найти выражения для множителей Лагранжа:
α1 = −1
2
(
T
(1)
1 + T
(2)
1
)∣∣∣
s=ζ
, α2 = −1
2
(
S(1) + S(2)
)∣∣∣
s=ζ
,
α3 = −1
2
(
Q̃
(1)
1 + Q̃
(2)
1
)∣∣∣
s=ζ
, α4 =
1
2
(
M
(1)
1 +M
(2)
1
)∣∣∣
s=ζ
.
(20)
Исключая αi, i = 1, 4, из функционала (18) с помощью формул (20), можно получить
обобщенный функционал Π2, зависящий только от ~u. Краевые условия (10), (16) и (17)
будут автоматически выполняться для функций, доставляющих функционалу Π2(~u) ста-
ционарное значение. Это является весьма важным моментом в применении вариационно-
го метода к решению спектральной задачи о свободных колебаниях оболочек вращения,
поставленной с позиций задач сопряжения решений.
Полученные результаты позволяют перейти теперь к построению приближенного
решения рассматриваемой задачи на основе метода Ритца.
3. Применение метода Ритца к решению задачи о собственных колебаниях оболоч-
ки вращения при защемленной свободной поверхности жидкости. Представим функции
u(k)(s), v(k)(s) и w(k)(s), k = 1, 2, в виде следующих отрезков обобщенных рядов:
u(k)(s) =
N∑
j=1
a
(k)
j U
(k)
j (s), v(k)(s) =
N∑
j=1
b
(k)
j V
(k)
j (s), w(k)(s) =
N∑
j=1
c
(k)
j W
(k)
j (s). (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ . . . 403
Здесь a(k)
j , b
(k)
j , c
(k)
j , k = 1, 2, — произвольные постоянные, подлежащие определению в
дальнейшем; {U (k)
j (s)}, {V (k)
j (s)}, {W (k)
j (s)}— системы координатных функций, которые
определены соответственно в подобластях G(k). Координатные функции выберем в виде
U
(1)
j = V
(1)
j = (s− s1)Pj(x), W
(1)
j = (s− s1)2Pj(x), x =
2(s− ζ)
ζ − s1
+ 1,
U
(2)
j = V
(2)
j = W
(2)
j = Pj(y), y =
2s
s2 − ζ
− s2 + ζ
s2 − ζ
,
где Pj(z) — смещенные на единицу по индексу j многочлены Лежандра с аргументами,
которые преобразуют интервалы [s1, ζ] и [ζ, s2] в интервал [−1, 1].
Вычисление многочленов Лежандра и их первых двух производных можно проводить
с помощью рекуррентных соотношений:
P1(z) = 1, P2(z) = z, Pj+2(z) =
1
j + 1
[(2j + 1)zPj+1 − jPj ],
P
′
j+2(z) = zP
′
j+1 + (j + 1)Pj+1, P
′′
j+2(z) = zP
′′
j+1 + (j + 2)P
′
j+1, j = 1, N − 2.
Введенные системы базисных функций являются линейно независимыми и полными сис-
темами функций в соответствующих подобластях. Такие координатные функции, в отли-
чие от степенного базиса, обеспечивают высокую устойчивость вычислительного про-
цесса при большом числе членовN в разложениях (21). Системы координатных функций
с верхним индексом, равным единице, подчинены граничным условиям (9).
Подставим разложения (21) в функционал Π2(~u). Из необходимых условий стацио-
нарности обобщенного функционала получим однородную систему алгебраических урав-
нений
(A− λ2B) ~X = 0,
где вектор-столбец ~X имеет координаты
~X =
{
a
(1)
1 , . . . , a
(1)
N , b
(1)
1 , . . . , b
(1)
N , . . . , c
(1)
1 , . . . , c(1)
n , a
(2)
1 , . . . , a
(2)
N , b
(2)
1 , . . . , b
(2)
N , c
(2)
1 , . . . , c
(2)
N
}
.
Представим матрицу A в виде суммы двух матриц
A = A(1) +A(2),
где элементы матрицы A(1) образованы из необходимых условий экстремума функцио-
нала I(~u) (14), а элементы матрицы A(2) обусловлены наличием в обобщенном функцио-
нале добавки с установленными множителями Лагранжа.
Определение коэффициентов матрицы A(1) с использованием выражения (12) для ва-
риации потенциальной энергии деформации оболочки приводит к достаточно громозд-
ким вычислениям и формулам для элементов α(1)
ij матрицы A(1). Эту задачу можно су-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
404 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
щественно упростить, если представить вариацию функционала I(~u) в виде
δI =
s2∫
s1
[Ψ11(u, δu) + Ψ12(v, δu) + Ψ13(w, δu) + Ψ12(δv, u) + Ψ22(v, δv)+
+ Ψ23(w, δv) + Ψ13(δw, u) + Ψ23(δw, v) + Ψ33(w, δw)]rds−
− λ2
s2∫
s1
(uδu+ vδv + (w + aδ(p)G(w))δw)rds. (22)
Введенные здесь операторы Ψij(p, q) определяются по формулам
Ψ11(p, q) =
(
dp
ds
+
νr
′
r
p
)
dq
ds
+
ν r′
r
dp
ds
+
(
r
′
r
)2
p+
n2ν1
r2
p
q,
Ψ12(p, q) =
nr
′
r2
(1 + ν1)pq +
νn
r
p
dq
ds
− ν1n
r
dp
ds
q,
Ψ13(p, q) =
(
1
R1
+
ν
R2
)
p
dq
ds
+
r
′
r
(
1
R2
+
ν
R1
)
pq,
Ψ22(p, q) =
n2
r2
+ ν1
(
r
′
r
)2
pq + ν1
(
dp
ds
− r
′
r
p
)
dq
ds
− ν1
r
′
r
dp
ds
q,
Ψ23(p, q) =
n
r
(
1
R2
+
ν
R1
)
pq,
Ψ33(p, q) =
(
1
R2
1
+
2ν
R1R2
+
1
R2
2
)
pq + c2
{
n4 + 4ν1n
2(r
′
)2
r4
pq +
d2p
ds2
d2q
ds2
+
+
[
νr
′
r
d2p
ds2
+
(r
′
)2 + 4ν1n
2
r2
dp
ds
− n2r
′
r3
(1 + 4ν1)p
]
dq
ds
−
−
[
νn2
r2
d2p
ds2
+
n2r
′
r3
(1 + 4ν1)
dp
ds
]
q +
[
νr
′
r
dp
ds
− νn2
r2
p
]
d2q
ds2
}
,
где ν1 =
1− ν
2
, p и q — произвольные, достаточное число раз дифференцируемые произ-
вольные функции,R1 иR2 — главные радиусы кривизны срединной поверхности оболоч-
ки, r = r(s) — расстояние от точек меридиана до оси оболочки. Используя выражение
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ . . . 405
(22), для элементов матрицы A(1) можно получить компактные и удобные для програм-
мирования формулы. Так, вычисляя, например, частную производную
∂I
∂a
(1)
i
, в (22) пола-
гаем δu = U
(1)
i , δv = 0, δw = 0. При этом получим первые N уравнений относительно
вектора ~X. Аналогично действуем и при вычислении частных производных от функци-
онала I по другим переменным. Ненулевые элементы верхней части относительно глав-
ной диагонали симметричной матрицы A(1) будут иметь следующий вид:
α
(1)
ij =
ζ∫
s1
Ψ11
(
U
(1)
j , U
(1)
i
)
rds, α
(1)
i+N,j+N =
ζ∫
s1
Ψ22
(
V
(1)
j , V
(1)
i
)
rds,
α
(1)
i+2N,j+2N =
ζ∫
s1
Ψ33
(
W
(1)
j ,W
(1)
i
)
rds, i = 1, N, j = i,
(23)
α
(1)
i,j+N =
ζ∫
s1
Ψ12
(
V
(1)
j , U
(1)
i
)
rds, α
(1)
i,j+2N =
ζ∫
s1
Ψ13
(
W
(1)
j , U
(1)
i
)
rds,
α
(1)
i+N,j+2N =
ζ∫
s1
Ψ23
(
W
(1)
j , V
(1)
i
)
rds, i, j = 1, N.
Формулы для коэффициентов
α
(1)
i+3N,j+3N , α
(1)
i+3N,j+4N , α
(1)
i+3N,j+5N , α
(1)
i+4N,j+4N , α
(1)
i+4N,j+5N , α
(1)
i+5N,j+5N
можно получить из формул (23) после замены в них функций U (1)
k , V
(1)
k , W
(1)
k на функции
U
(2)
k ,V
(2)
k , W
(2)
k и пределов интегрирования от ζ до s2. Остальные коэффициенты равны
нулю.
Элементы α
(2)
ij верхней части относительно главной диагонали симметричной матри-
цы A(2) можно представить в виде
α
(2)
ij = −1
2
[
T
(
U
(1)
i , 0, 0
)
U
(1)
j + T
(
U
(1)
j , 0, 0
)
U
(1)
i
]
s=ζ
,
α
(2)
i+N,j+N = −1
2
[
S
(
0, V
(1)
i
)
V
(1)
j + S
(
0, V
(1)
j
)
V
(1)
i
]
s=ζ
, α
(2)
i+N,j+2N = 0,
α
(2)
i+2N,j+2N = −1
2
[
Q
(
W
(1)
i
)
W
(1)
j +Q
(
W
(1)
j
)
W
(1)
i −
−M
(
W
(1)
i
) dW (1)
j
ds
−M
(
W
(1)
j
) dW (1)
i
ds
]
s=ζ
, i = 1, N, j = i,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
406 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
α
(2)
i,j+N = −1
2
[
T
(
0, V
(1)
j , 0
)
U
(1)
i + S
(
U
(1)
i , 0
)
V
(1)
j
]
s=ζ
,
α
(2)
i,j+2N = −1
2
[
T
(
0, 0,W
(1)
j
)
U
(1)
i
]
s=ζ
,
α
(2)
i,j+3N =
1
2
[
T
(
U
(1)
i , 0, 0
)
U
(2)
j − T
(
U
(2)
j , 0, 0
)
U
(1)
i
]
s=ζ
, (24)
α
(2)
i,j+4N =
1
2
[
S
(
U
(1)
i , 0
)
V
(2)
j − T
(
0, V
(2)
j , 0
)
U
(1)
i
]
s=ζ
,
α
(2)
i,j+5N = −1
2
[
T
(
0, 0,W
(2)
j
)
U
(1)
i
]
s=ζ
,
α
(2)
i+N,j+3N = −1
2
[
S
(
U
(2)
j , 0
)
V
(1)
i − T
(
0, V
(1)
i , 0
)
U
(2)
j
]
s=ζ
,
α
(2)
i+N,j+4N = −1
2
[
S
(
0, V
(2)
j
)
V
(1)
i − S
(
0, V
(1)
i
)
V
(2)
j
]
s=ζ
, αi+N,j+5N = 0,
α
(2)
i+2N,j+3N =
1
2
[
T
(
0, 0,W
(1)
i
)
U
(2)
j
]
s=ζ
, αi+2N,j+4N = 0,
α
(2)
i+2N,j+5N = −1
2
[
Q
(
W
(2)
j
)
W
(1)
i −Q
(
W
(1)
i
)
W
(2)
j +
+M
(
W
(1)
i
) dW (2)
j
ds
−M
(
W
(2)
j
) dW (1)
i
ds
]
s=ζ
, i, j = 1, N.
Остальные коэффициенты матрицы A(2) вычисляются по формулам
α
(2)
i+3N,j+3N = −α(2)
ij , α
(2)
i+4N,j+4N = −α(2)
i+N,j+N ,
αi+5N,j+5N = −αi+2N,j+2N , i = 1, N, j = i,
(25)
α
(2)
i+3N,j+4N = −αi,j+N , α
(2)
i+3N,j+5N = −αi,j+2N ,
αi+4N,j+5N = 0, i, j = 1, N,
где в правых частях выражений (25) верхние индексы при функциях следует заменить на
2. Введенные в выражениях (24) и (25) функции T, S, M и Q имеют вид
T (p, q, t) =
dp
ds
+ ν
r
′
r
p+ ν
n
r
q +
(
1
R1
+
ν
R2
)
t, Q(t) = Q̃1(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ . . . 407
S(p, q) = −ν1n
r
p+ ν1
(
dq
ds
− r
′
r
q
)
, ν1 =
1− ν
2
, (26)
M(t) = c2
[
− d
2t
ds2
+ ν
(
n2
r2
t− r
′
r
dt
ds
)]
,
при этом если в функциях T и S один из аргументов полагается равным нулю, то подра-
зумевается, что и соответствующие производные тождественно равны нулю.
Элементы bij симметричной матрицы B вычисляются по формулам
bij =
ζ∫
s1
U
(1)
i U
(1)
j rds, bi+N,j+N =
ζ∫
s1
V
(1)
i V
(1)
j rds,
bi+2N,j+2N =
ζ∫
s1
(W
(1)
i + aδ(p)GW
(1)
i )W
(1)
j rds, bi+3N,j+3N =
s2∫
ζ
U
(2)
i U
(2)
j rds,
bi+4N,j+4N =
s2∫
ζ
V
(2)
i V
(2)
j rds, bi+5N,j+5N =
s2∫
ζ
W
(2)
i W
(2)
j rds, i, j = 1, N.
Остальные коэффициенты матрицы B равны нулю.
При вычислении элементов матрицы bi+2N,j+2N , i, j = 1, 2, . . . , N, необходимо знать
функции Φk(z, r) = GW
(1)
k на контуре L1, которые являются решениями следующих
исходных задач Неймана:
∂2Φk
∂z2
+
1
r
∂
∂r
(
r
∂Φk
∂r
)
− n2
r
Φk = 0, (z, r) ∈ Q,
∂Φk
∂z
∣∣∣∣
L0
= 0,
(
∂Φk
∂n
−W (1)
k
)∣∣∣∣
L1
= 0, k = 1, N.
(27)
В отличие от задачи (7) граничное условие на контуре L1 содержит уже известные функ-
цииW (1)
k , которые выбраны в качестве координатных функций для аппроксимации иско-
мого решения w(1)(s) в области G(1).
Решения краевых задач (27) для произвольной оболочки вращения могут быть най-
дены приближенно с помощью метода Трефтца, если их предварительно свести к экви-
валентным вариационным задачам для функционалов:
Ik =
∫
Q
r
(
∂2Φk
∂z2
)2
+ r
(
∂Φk
∂r
)2
+
n2
r
(Φk)
2dzdr − 2
∫
L1
rΦkW
(1)
k ds, k = 1, N. (28)
В качестве координатных функций, минимизирующих функционалы (28), выберем
систему частных решений уравнения (27), которая линейно независима и полна на лю-
бом замкнутом контуре области Q [21]. В этом случае решения задачи (27) и потенциал
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
408 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
смещений жидкости Φ(z, r) могут быть представлены в виде разложений
Φk(z, r) =
q∑
j=1
d
(k)
j Ψj(z, r), Φ(z, r) =
N∑
k=1
c
(1)
k Φk(z, r). (29)
Здесь d(k)
j — произвольные постоянные,
Ψj(z, r) =
2nn!(j − n)!
(j + n)!
RjP
(n)
j (cos θ),
где R =
√
z2 + r2, cos θ = z/R, P
(n)
j (cos θ) — присоединенные функции Лежандра перво-
го рода. Координатные функции Ψj(z, r) и их производные удобно вычислять по следую-
щим рекуррентным соотношениям:
Ψj+1 =
1
j + 2n
{
[2(j + n)− 1]zΨj − (j − 1)(z2 + r2)Ψj−1
}
,
∂Ψj+1
∂z
= jΨj ,
∂Ψj+1
∂r
=
(j + n)Ψj+1 − jzΨj
r
.
Приведенные соотношения позволяют построить системы частных решений уравнений
(27) и их производных для любого значения параметра n и индекса j, если при этом по-
ложить
Ψ1 = rn,
∂Ψ1
∂z
= 0,
∂Ψ1
∂r
= nr(n−1).
Постоянные d(k)
j в разложениях (29) найдем из условия, что функции Φk(z, r) должны
доставлять минимумы квадратичным функционалам (28). Эти условия приводят к следу-
ющим системам линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно ком-
понент вектора-столбца ~d(k) = {d(k)
1 , d
(k)
2 , . . . , d
(k)
q }:
D~d(k) = ~γ(k), (30)
где элементы dij симметричной матрицыD и элементы γ
(k)
i векторов-столбцов ~γ(k) опре-
деляются по формулам
dij =
∫
L0∪L1
rΨi
∂Ψj
∂n
ds,
(31)
γ
(k)
i =
∫
L1
rW
(1)
k Ψi ds, i, j = 1, q.
При выводе выражений (31) было учтено, что координатные функции Ψi(z, r) удовлетво-
ряют исходному уравнению (27). Это позволило свести двойные интегралы по области Q
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ . . . 409
к одномерным интегралам по ее границе, что существенно упростило алгоритм решения
рассматриваемой задачи.
Таким образом, решение краевых задач (27) на основе вариационного метода свелось
к решению N неоднородных алгебраических систем (30) с одинаковой матрицей D и N
правыми частями. Приведенный выше алгоритм решения рассматриваемой задачи бази-
руется на технической теории оболочек. Однако не представляет особого труда приме-
нить аналогичный алгоритм для любого варианта теории оболочек. Так, в случае теории
оболочек, предложенной В. В. Новожиловым [22], незначительно поменяются выраже-
ния для Q(t), S(p, q) и M(t) в формулах (26). Более существенные изменения получат
выражения для операторов Ψi,j в формулах (22), явный вид которых приведен в рабо-
те [23].
4. Некоторые результаты расчетов. Приведем результаты расчетов собственных ко-
лебаний конкретной оболочки вращения, частично заполненной идеальной жидкостью,
по предложенному выше алгоритму. В литературе известно точное решение рассматри-
ваемой спектральной задачи с учетом волновых движений жидкости для оболочки в фор-
ме прямого кругового цилиндра [5]. Построение точного решения этой задачи основано
на том, что уравнения для перемещений оболочки u(s), v(s) и w(s) представляют собой
систему интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Чис-
ленные результаты этой работы могут служить основой для оценки точности различных
приближенных решений задачи о колебаниях цилиндрической оболочки, частично за-
полненной жидкостью. В связи с этим рассмотрим тонкостенную оболочку вращения в
форме кругового цилиндра длиной l. В соответствии с исходными предпосылками при
нахождении численных результатов естественно предположить, что днище цилиндриче-
ской оболочки является плоским, абсолютно жестким и неподвижным. Как и ранее, бу-
дем считать, что при z = 0 (s = z) торец оболочки жестко закреплен, а при z = l —
свободен.
В качестве характерного линейного размера механической системы выберем ради-
ус оболочки R0. В соответствии с работой [5] выберем следующие безразмерные пара-
метры оболочки: l/R0 = 6, 06, R0/h = 150, a = 19, 2. Во всех расчетах в дальнейшем
полагается, что коэффициент Пуассона ν = 0, 29. Значения параметров n и ε = H/l в
процессе расчетов варьировались.
Таблица 1
q λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
4 0,01710 0,05195 0,12240 0,21516 0,28348
6 0,01710 0,05187 0,12044 0,20200 0,26386
8 0,01710 0,05187 0,12044 0,20105 0,25673
10 0,01710 0,05187 0,12044 0,20103 0,25593
В табл. 1 приведены расчетные данные первых пяти собственных значений λi при
n = 2, ε = 0, 5 в зависимости от числа приближений q в разложениях (29) и при N = 14
в разложениях (21). В табл. 2 приведены значения первых пяти собственных значений λi
при n = 2, ε = 0, 5 в зависимости от числа приближений N в разложениях (21) и при
q = 10 в разложениях (29).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
410 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
Таблица 2
N λ1 λ2 λ3 λ4 λ5
4 0,01731 0,05274 0,12531 0,23262 0,28929
6 0,01719 0,05215 0,12142 0,20313 0,25816
8 0,01714 0,05196 0,12074 0,20177 0,25682
10 0,01712 0,05190 0,12050 0,20124 0,25629
12 0,01710 0,05186 0,12036 0,20070 0,25577
14 0,01710 0,05187 0,12043 0,20103 0,25593
16 0,01710 0,05187 0,12041 0,20092 0,25586
18 0,01710 0,05187 0,12041 0,20092 0,25586
Данные табл. 1 и 2 свидетельствуют о достаточно хорошей сходимости разложений
Трефтца (29) при решении N неоднородных вспомогательных краевых задач Неймана
в области, занятой жидкостью, а также разложений Ритца (21) для нахождения переме-
щений оболочки, находящейся под воздействием разрывной динамической нагрузки со
стороны жидкости. Сопоставление приближенных значений первой частоты колебаний
оболочки, полученных в данной работе (верхние строки), с соответствующими точными
значениями работы [5] (нижние строки) представлено в табл. 3.
Таблица 3
ε
n
2 3 4 5
0,125
0,02084 0,01907 0,03047 0,04738
0,02085 0,01907 0,03047 0,04738
0,25
0,02062 0,01894 0,03022 0,04322
0,02072 0,01899 0,03032 0,04506
0,50
0,01710 0,01607 0,02198 0,02818
0,01796 0,01663 0,02280 0,02880
0,75
0,01114 0,01102 0,01666 0,02412
0,01199 0,01154 0,01702 0,02431
Данные табл. 3 свидетельствуют о том, что при принятых параметрах рассматривае-
мой механической системы максимальное расхождение приближенных и точных значе-
ний λ1 не превышает 7%. Приведенные здесь результаты не исключают существования
таких параметров системы, при которых точные и приближенные значения частот будут
более существенно различаться, причем отличие будет сказываться при увеличении па-
раметров l/R0 иR0/h.Это объясняется сближением парциальных частот, обусловленных
упругими колебаниями оболочки с жидкостью при защемленной ее свободной поверх-
ности и волновыми колебаниями жидкости в абсолютно жестком резервуаре. Следова-
тельно, предлагаемое приближенное решение рассматриваемой задачи можно использо-
вать для практических расчетов нижней границы минимальных частот упругих колеба-
ний оболочек вращения, частично заполненных жидкостью.
Заключение. В работе предложен алгоритм расчета собственных колебаний оболо-
чек вращения с жидкостью в предположении, что свободная поверхность жидкости оста-
ется плоской и перпендикулярной к оси оболочки при ее возмущенном движении. Алго-
ритм основан на применении метода декомпозиции области интегрирования уравнений
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ . . . 411
теории оболочек и на приближенном построении обратного оператора для гидродинами-
ческой части задачи. Такой подход к решению рассматриваемой задачи гидроупругости
позволяет разделить трудности построения приближенных решений, которые возника-
ют при совместном интегрировании уравнений в частных производных, для потенциа-
ла смещений жидкости и системы обыкновенных дифференциальных уравнений, опи-
сывающей колебания упругой оболочки под воздействием разрывной динамической на-
грузки.
Предложенный алгоритм позволяет с высокой точностью определить первые пять
собственных значений и соответствующие им формы колебаний рассматриваемой спект-
ральной задачи. Полученные решения, имеющие аналитическую структуру, могут быть
использованы в качестве парциальных при решении задач гидроупругости для оболочек
вращения с учетом волновых движений жидкости на ее свободной поверхности.
1. Горшков А. Г., Морозов В. И., Пономарев А. Т., Шклярчук Ф. Н. Аэрогидроупругость конструкций. —
М.: Физматлит, 2000. — 592 c.
2. Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жид-
кость. — М.: Машиностроение, 1971. — 563 c.
3. Балакирев Ю. Г. Осесимметричные колебания пологой сферической оболочки с жидкостью // Инж.
журн. Механика твердого тела. — 1967. — № 5. — C. 116 – 123.
4. Кобычкин В. С., Шмаков В. П., Яблоков В. А. Осесимметричные колебания полусферической обо-
лочки, частично заполненной жидкостью // Инж. журн. Механика твердого тела. — 1968. — № 5. —
C. 46 – 54.
5. Кулешов В. Б., Швейко Ю. Ю. Неосесимметричные колебания цилиндрических оболочек, частично
заполненных жидкостью // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1971. — № 3. — C. 126 – 136.
6. Александрович Л. И., Лампер Р. Е. Собственные колебания упругого осесимметричного сосуда про-
извольного контура // Тр. 6-й Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин (Баку, 1966). — М.: Наука,
1967. — C. 27 – 29.
7. Троценко В. А. О колебаниях жидкости в сосудах, свободная поверхность которой закрыта мембран-
ной оболочкой из гиперупругого материала // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1980. —
№ 6. — C. 166 – 177.
8. Шмаков В. П. Об уравнениях осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки с жидким за-
полнением // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. — 1964. — № 1. — C. 170 – 173.
9. Wen-Hwa Chu, Conzales R. Supplement to breathing vibrations of a partially filled cylindrical tank linear
theory // Trans. ASME E. J. Appl. Mech. — 1964. — 31, № 4. — P. 722 – 723.
10. Шмаков В. П. Об одном приеме, упрощающем применение метода Бубнова – Галеркина к решению
краевых задач // Инж. журн. Механика твердого тела. — 1967. — № 5. — C. 129 – 136.
11. Брусиловский А. Д., Шмаков В. П., Яблоков В. А. Метод расчета собственных и вынужденных колеба-
ний упругих оболочек вращения, заполненных идеальной несжимаемой жидкостью // Изв. АН СССР.
Механика твердого тела. — 1973. — № 3. — C. 99 – 110.
12. Григорьев В. Г. Применение метода конечных элементов к расчету колебаний упругих оболочечных
конструкций, содержащих жидкость // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жид-
костью: Труды III сем. — Томск: Том. ун-т, 1978. — C. 55 – 60.
13. Olson L. G., Bathe K. J. A study of displacement based fluid finite elements for calculating frequencies of
fluid and fluid-structure systems // Nucl. Eng. and Des. — 1983. — 76. — P. 137 – 151.
14. Власов В. З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. — М.; Л.: Гостехиздат, 1949. — 784 c.
15. Рабинович Б. И. Об уравнениях поперечных колебаний оболочек с жидким заполнением // Изв. АН
СССР. Механика и машиностроение. — 1964. — № 1. — C. 166 – 169.
16. Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. — М.: Наука,
1965. — 439 c.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
412 В. А. ТРОЦЕНКО, Ю. В. ТРОЦЕНКО
17. Троценко В. А., Троценко Ю. В. Решение задачи о собственных колебаниях незамкнутой оболочки
вращения в условиях ее сингулярного возмущения // Нелiнiйнi коливання. — 2005. — 8, № 3. — С. 415 –
432.
18. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Физматгиз, 1970. — 512 c.
19. Троценко Ю. В. Структура интегралов уравнений колебаний оболочек вращения в форме купола //
Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2008. — 5, № 2. — С. 334 – 348.
20. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. — М.: Гостехиздат, 1951. — 476 c.
21. Луковский И. А., Барняк М. Я., Комаренко А. Н. Приближенные методы решения задач динамики
ограниченного объема жидкости. — Киев: Наук. думка, 1984. — 228 c.
22. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. — Л.: Судпромгиз, 1962. — 431 c.
23. Троценко Ю. В. Применение метода Ритца в задаче о собственных колебаниях усеченной конической
оболочки // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2005. — 2, № 1. — С. 364 – 380.
Получено 01.05.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 3
|