Дихотомия на полуосях и ограниченные на всей оси решения линейных систем с запаздыванием
З використанням теорiї узагальнено-обернених операторiв отримано критерiй iснування та загальний вигляд обмежених на всiй дiйснiй осi розв’язкiв лiнiйних неоднорiдних функцiональнодиференцiальних систем iз загаюванням у випадку, коли вiдповiдна однорiдна система з загаюванням є експоненцiально дихот...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177225 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Дихотомия на полуосях и ограниченные на всей оси решения линейных систем с запаздыванием / А.А. Бойчук, В.Ф. Журавлев // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 431-445 — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177225 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772252021-02-13T01:25:53Z Дихотомия на полуосях и ограниченные на всей оси решения линейных систем с запаздыванием Бойчук, А.А. Журавлев, В.Ф. З використанням теорiї узагальнено-обернених операторiв отримано критерiй iснування та загальний вигляд обмежених на всiй дiйснiй осi розв’язкiв лiнiйних неоднорiдних функцiональнодиференцiальних систем iз загаюванням у випадку, коли вiдповiдна однорiдна система з загаюванням є експоненцiально дихотомiчною на пiвосях. By using the theory of feneralized inverse operators, we obtain a criterion for existence and a general form for bounded on the whole real axis solutions of linear nonhomogeneous functional-differential systems with delay in the case where the corresponding homogeneous system with delay is exponentially dichotomous on the half-axes. 2015 Article Дихотомия на полуосях и ограниченные на всей оси решения линейных систем с запаздыванием / А.А. Бойчук, В.Ф. Журавлев // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 431-445 — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177225 517.983 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
З використанням теорiї узагальнено-обернених операторiв отримано критерiй iснування та загальний вигляд обмежених на всiй дiйснiй осi розв’язкiв лiнiйних неоднорiдних функцiональнодиференцiальних систем iз загаюванням у випадку, коли вiдповiдна однорiдна система з загаюванням є експоненцiально дихотомiчною на пiвосях. |
| format |
Article |
| author |
Бойчук, А.А. Журавлев, В.Ф. |
| spellingShingle |
Бойчук, А.А. Журавлев, В.Ф. Дихотомия на полуосях и ограниченные на всей оси решения линейных систем с запаздыванием Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бойчук, А.А. Журавлев, В.Ф. |
| author_sort |
Бойчук, А.А. |
| title |
Дихотомия на полуосях и ограниченные на всей оси решения линейных систем с запаздыванием |
| title_short |
Дихотомия на полуосях и ограниченные на всей оси решения линейных систем с запаздыванием |
| title_full |
Дихотомия на полуосях и ограниченные на всей оси решения линейных систем с запаздыванием |
| title_fullStr |
Дихотомия на полуосях и ограниченные на всей оси решения линейных систем с запаздыванием |
| title_full_unstemmed |
Дихотомия на полуосях и ограниченные на всей оси решения линейных систем с запаздыванием |
| title_sort |
дихотомия на полуосях и ограниченные на всей оси решения линейных систем с запаздыванием |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177225 |
| citation_txt |
Дихотомия на полуосях и ограниченные на всей оси решения линейных систем с запаздыванием / А.А. Бойчук, В.Ф. Журавлев // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 431-445 — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT bojčukaa dihotomiânapoluosâhiograničennyenavsejosirešeniâlinejnyhsistemszapazdyvaniem AT žuravlevvf dihotomiânapoluosâhiograničennyenavsejosirešeniâlinejnyhsistemszapazdyvaniem |
| first_indexed |
2025-07-15T15:15:44Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:15:44Z |
| _version_ |
1837726480522543104 |
| fulltext |
УДК 517.983
ДИХОТОМИЯ НА ПОЛУОСЯХ И ОГРАНИЧЕННЫЕ НА ВСЕЙ ОСИ
РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
А. А. Бойчук
Ин-т математики НАН Украины
ул. Терещенковская, 3, Киев, 01601, Украина
В. Ф. Журавлев
Житомир. нац. агроэкол. ун-т
б-р Старый, 7, Житомир, 10008, Украина
By using the theory of feneralized inverse operators, we obtain a criterion for existence and a general form
for bounded on the whole real axis solutions of linear nonhomogeneous functional-differential systems
with delay in the case where the corresponding homogeneous system with delay is exponentially dichoto-
mous on the half-axes.
З використанням теорiї узагальнено-обернених операторiв отримано критерiй iснування та
загальний вигляд обмежених на всiй дiйснiй осi розв’язкiв лiнiйних неоднорiдних функцiонально-
диференцiальних систем iз загаюванням у випадку, коли вiдповiдна однорiдна система з загаю-
ванням є експоненцiально дихотомiчною на пiвосях.
Предварительные сведения. В работах [1, 2] изучены условия фредгольмовости зада-
чи об ограниченных на всей действительной оси R решениях линейных неоднородных
обыкновенных дифференциальных систем, заключающиеся в том, чтобы соответству-
ющая однородная система была экспоненциально дихотомичной на полуосях R− и R+.
В [3] с использованием классических результатов Дж. Хейла [4] для функциональных
дифференциальных систем c запаздывающим аргументом, а в [5] для функциональных
дифференциальных уравнений „смешанного типа” получены условия фредгольмовости
рассматриваемых задач. В настоящей работе получены критерий существования и об-
щий вид ограниченных на всей действительной оси решений линейных неоднородных
функционально-дифференциальных систем с запаздыванием. Использование теории
обобщенно-обратных операторов [6, 7] существенно упрощает доказательство ранее
известных фактов и позволяет получить новые.
Обозначим через BC(R,Rn) банахово пространство действительных непрерывных
и ограниченных на R = (−∞,+∞) вектор-функций, а через BC1(R,Rn) банахово про-
странство действительных непрерывных и ограниченных на R вместе со своей производ-
ной вектор-функций, C := C([−r, 0],Rn) — пространство непрерывных вектор-функций
c нормой ‖x‖C = supt∈[−r,0] |x(t)|, r > 0, L(C[−r, 0],Rn) — пространство линейных огра-
ниченных операторов.
В обозначениях [4] рассмотрим линейное функционально-дифференциальное урав-
нение запаздывающего типа.
ẋ(t) = L(t)xt + f(t), t ≥ σ, (1)
c© А. А. Бойчук, В. Ф. Журавлев, 2015
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 431
432 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
с начальным условием xσ(θ) = φ(θ), σ − r ≤ θ ≤ σ, где x(t) ∈ BC1(R,Rn), xt := xt(θ) =
= x(t + θ) ∈ C([−r, 0],Rn) по переменной θ ∈ [−r, 0], φ(θ) ∈ C([−r, 0],Rn), оператор
L(t) ∈ L(C[−r, 0],Rn) и непрерывный по t ∈ R, L(t) ∈ BC(R,Rn×n), f(t) ∈ BC(R,Rn).
Известно [4, c. 177], что общее решение xt системы (1) представимо в виде
xt(σ, φ, f) = xt(σ, φ, 0) +
t∫
σ
Ut(·, s)f(s)ds, t ≥ σ, (2)
где матрица U(t, s) определяется как решение однородного уравнения
(Fx)(t) := ẋ(t)− L(t)xt = 0 (3)
с нулевыми начальными условиями
∂U(t, s)
∂t
= L(t)Ut(·, s), U(t, s) =
{
0 для s− r ≤ t < s,
I для t = s,
Ut(·, s)(θ) = U(t+ θ, s), −r ≤ θ ≤ 0,
и называется фундаментальной матрицей уравнения (3) [4, c. 175]. Если решение однород-
ной системы (3) линейно по φ,
xt(σ, φ, 0) = T (t, σ)φ,
то Ut(·, s) можно записать в виде
Ut(·, s) = T (t, s)X0,
где оператор сдвига T (t, s) : C([−r, 0],Rn) → C([−r, 0],Rn) представляет собой полугруп-
пу при t ≥ s,
X0 := X0(θ) =
{
0, если − r ≤ θ < 0,
I, если θ = 0,
— функция скачка, удовлетворяющая условиям 1 – 8 из [3, c. 235, 236]. При сделанных
выше предположениях оператор T (t, s) является линейным и строго непрерывным [4,
c. 177] относительно t и s, а интегральное представление (2) принимает вид
xt = T (t, σ)φ+
t∫
σ
T (t, s)X0f(s)ds, t ≥ σ. (4)
Основной результат. Пусть однородная система с запаздыванием (3) экспоненциаль-
но дихотомична на R− = (−∞, 0] и R+ = [0,+∞) с проекторами P±(t) → P± при
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
ДИХОТОМИЯ НА ПОЛУОСЯХ И ОГРАНИЧЕННЫЕ НА ВСЕЙ ОСИ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 433
t → ±∞. Рассмотрим задачу о существовании и построении ограниченных на R реше-
ний xt ∈ C([−r, 0],Rn) неоднородной системы (1) в случае, когда однородная система (3)
имеет нетривиальные ограниченные на R решения.
Известно [3], что ограниченное на полуосях решение xt задачи (1) имеет вид
xt = T (t, 0)P+(0)φ+
t∫
0
T (t, s)P+(s)X0f(s)ds−
−
∞∫
t
T (t, s)[I − P+(s)]X0f(s)ds, t ∈ R+, (5)
xt = T (t, 0)[I − P−(0)]φ+
t∫
−∞
T (t, s)[I − P−(s)]X0f(s)ds+
+
t∫
0
T (t, s)P−(s)X0f(s)ds, t ∈ R−, (6)
где произвольный элемент φ ∈ C([−r, 0],Rn) подлежит определению из условия, что
решения (5), (6) будут ограничены на всей оси R тогда и только тогда, когда элемент
φ ∈ C([−r, 0],Rn) удовлетворяет условию
xt(0−, φ) = xt(0+, φ). (7)
Поэтому, подставив (5), (6) в (7), с учетом того, что T (0, 0) = I, получим, что элемент
φ ∈ C([−r, 0],Rn) должен удовлетворять операторному уравнению
[P+(0)− (I − P−(0))]φ =
0∫
−∞
T (0, s)P−(s)X0f(s)ds+
∞∫
0
T (0, s)[I − P+(s)]X0f(s)ds. (8)
Для решения операторного уравнения (8) применим хорошо развитую теорию обоб-
щенно-обратных операторов [6, 7]. Обозначим через
D := [P+(0)− (I − P−(0))] : C([−r, 0],Rn) → C([−r, 0],Rn)
(n×n)-мерную матрицу с постоянными компонентами, а черезD− обобщенно-обратную
к ней. Обозначим через PN(D) конечномерный проектор пространства C на нуль-прост-
ранствоN(D) оператораD,PN(D) : C → N(D),P2
N(D) = PN(D), а черезPYD конечномер-
ный проектор пространства C на подпространство YD = C R(D), PYD : C → YD,
P2
YD
= PYD . Обобщенно-обратная матрица D− связана [6, 7] с проекторами PN(D) и PYD
соотношениями
DD− = I − PN(D), D−D = I − PYD ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
434 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
где проекторы PN(D) и PYD являются (n × n)-мерными постоянными матрицами. Урав-
нение (8) разрешимо тогда и только тогда, когда
PYD
0∫
−∞
T (0, s)P−(s)X0f(s)ds+
∞∫
0
T (0, s)(I − P+(s))X0f(s)ds
= 0. (9)
Поскольку PYDD = PYD [P+(0) − (I − P−(0))] = 0, то PYD [I − P+(0)] = PYDP−(0).
Поэтому с учетом соотношения [3, c. 236]
T (t, s)P(s)X0 = P(t)T (t, s)X0,
которое при t = 0 принимает вид
T (0, s)P(s)X0 = P(0)T (0, s)X0,
условие (9) эквивалентно условиям
PYD
∞∫
−∞
P−(0)T (0, s)X0f(s)ds = 0 или PYD
∞∫
−∞
[I − P+(0)]T (0, s)X0f(s)ds = 0. (10)
Пусть rang [PYDP−(0)] = rang [PYD(I − P+(0))] = ν. Обозначим через
ν [PYDP−(0)] =ν [PYD(I − P+(0))]
(ν × n)-мерную матрицу, строки которой есть ν линейно независимые строки матрицы
[PYDP−(0)] = [PYD(I − P+(0))],
а через Hν определим (ν × n)-мерную матрицу
Hν(s, 0) =ν [PYDP−(0)]T (0, s) =ν [PYD(I − P+(0))]T (0, s).
Тогда каждое из условий (10) состоит из ν линейно независимых условий
∞∫
−∞
Hν(s, 0)X0f(s)ds = 0. (11)
Замечание 1. Условия разрешимости (11) уравнения (8) эквивалентны условию [3,
c. 241]
∞∫
−∞
y(s)f(s)ds = 0 (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
ДИХОТОМИЯ НА ПОЛУОСЯХ И ОГРАНИЧЕННЫЕ НА ВСЕЙ ОСИ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 435
для всех ограниченных на всей действительной оси решений y(s) формально сопряжен-
ной системы [4, c. 179] к исходной системе (3). Из (11) и (12) следует, что Hν(s, 0) —
разрешающий оператор задачи об ограниченных решениях формально сопряженной сис-
темы, состоящий из ν линейно независимых ограниченных решений сопряженной систе-
мы.
Операторное уравнение (8) будет разрешимым относительно φ тогда и только тогда,
когда его правая часть удовлетворяет условию (11), при выполнении которого оператор-
ное уравнение (8) имеет решение
φ = PN(D)φ̂+D−
0∫
−∞
T (0, s)P−(s)X0f(s)ds+
∞∫
0
T (0, s)[I − P+(s)]X0f(s)ds
, (13)
где φ̂ — произвольный элемент из пространства C([−r, 0],Rn).
Подставив (13) в (5), (6), получим общее ограниченное на всей действительной оси
решение xt системы (1):
xt = T (t, 0)P+(0)PN(D)φ̂+
t∫
0
T (t, s)P+(s)X0f(s)ds−
∞∫
t
T (t, s)[I − P+(s)]X0f(s)ds+
+ T (t, 0)P+(0)D−
0∫
−∞
T (0, s)P−(s)X0f(s)ds+
∞∫
0
T (0, s)[I − P+(s)]X0f(s)ds
, t ∈ R+,
xt = T (t, 0)[I − P−(0)]PN(D)φ̂+
t∫
0
T (t, s)[I − P−(s)]X0f(s)ds+
+
t∫
−∞
T (t, s)P−(s)X0f(s)ds+ T (t, 0)[I − P−(0)]D−×
×
0∫
−∞
T (0, s)P−(s)X0f(s)ds+
∞∫
0
T (0, s)[I − P+(s)]X0f(s)ds
, t ∈ R−.
ПосколькуDPN(D) = [P+(0)−(I−P−(0))]PN(D) = 0, тоP+(0)PN(D) = [I−P−(0)]PN(D).
Пусть rang [P+(0)PN(D)] = rang [(I−P−(0))PN(D)] = µ.Обозначим через [P+(0)PN(D)]µ
(n×µ)-мерную матрицу, столбцы которой являются полной системой линейно независи-
мых столбцов матрицы [P+(0)PN(D)], а через [(I − P−(0))PN(D)]µ (n × µ)-мерную матри-
цу, столбцы которой — полная система линейно независимых столбцов матрицы [(I −
−P−(0))PN(D)]. Тогда
Tµ(t, 0) = T (t, 0)[P+(0)PN(D)]µ = T (t, 0)[(I − P−(0))PN(D)]µ (14)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
436 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
— разрешающий оператор задачи об ограниченных на всей оси R решениях системы (3).
Поскольку оператор T (t, s) образует полугруппу, то
T (t, s) = T (t, 0)T (0, s).
Согласно изложенному выше, общее ограниченное на всей оси R решение xt неод-
нородной системы (1) можно записать в виде
xt = Tµ(t, 0)φµ + T (t, 0)
t∫
0
T (0, s)P+(s)X0f(s)ds−
∞∫
t
T (0, s)[I − P+(s)]X0f(s)ds +
+ P+(0)D−
0∫
−∞
T (0, s)P−(s)X0f(s)ds +
+
∞∫
0
T (0, s)[I − P+(s)]X0f(s)ds
, t ∈ R+,
xt = Tµ(t, 0)φµ + T (t, 0)
t∫
0
T (0, s)[I − P−(s)]X0f(s)ds+
t∫
−∞
T (0, s)P−(s)X0f(s)ds +
+ [I − P−(0)]D−
0∫
−∞
T (0, s)P−(s)X0f(s)ds +
+
∞∫
0
T (0, s)[I − P+(s)]X0f(s)ds
, t ∈ R−,
где φµ — произвольный µ-мерный столбец из пространства C([−r, 0],Rµ).
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть оператор F экспоненциально дихотомичный на полуосях R− и R+
с проекторами P±(t) → P± при t → ±∞.
Тогда однородная система (3) имеет µ-параметрическое (µ = rang [P+(0)PN(D)] =
= rang [(I − P−(0))PN(D)]) семейство ограниченных на R решений
xt = Tµ(t, 0)φµ,
где φµ ∈ C([−r, 0],Rµ) — произвольная µ-мерная вектор-функция, Tµ(t, 0) — разрешаю-
щий оператор (14) задачи об ограниченных на R решениях однородной системы (3).
При выполнении условия (11), и только при нем, неоднородная задача (1) имеет µ-
параметрическое семейство линейно независимых ограниченных на R решений
xt = Tµ(t, 0)φµ + (Gf)(t), (15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
ДИХОТОМИЯ НА ПОЛУОСЯХ И ОГРАНИЧЕННЫЕ НА ВСЕЙ ОСИ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 437
где
(Gf)(t) = T (t, 0)
∫ t
0
T (0, s)P+(s)X0f(s)ds−
∫ ∞
t
T (0, s)[I − P+(s)]X0f(s)ds+
+P+(0)D−
[∫ 0
−∞
T (0, s)P−(s)X0f(s)ds+
+
∫ ∞
0
T (0, s)[I − P+(s)]X0f(s)ds
]
, t ∈ R+,
∫ t
0
T (0, s)[I − P−(s)]X0f(s)ds+
∫ t
−∞
T (0, s)P−(s)X0f(s)ds+
+[I − P−(0)]D−
[∫ 0
−∞
T (0, s)P−(s)X0f(s)ds+
+
∫ ∞
0
T (0, s)[I − P+(s)]X0f(s)ds
]
, t ∈ R−,
(16)
— обобщенный оператор Грина задачи об ограниченных на R решениях неоднородной
системы (1), удовлетворяющий свойствам
(FG[f ])(t) = f(t), t ∈ R,
(G[f ])(0 + 0)− (G[f ])(0− 0) =
∞∫
−∞
H(s, 0)X0f(s)ds.
Здесь H(s, 0) = [PYDP−(0)]T (0, s) = [PYD(I − P+(0))]T (0, s).
В качестве приложения теоремы 1 рассмотрим три случая, когда однородная система
(3) является экспоненциально дихотомичной на R+ и R− с проекторами P±(t) → P± при
t → ±∞, которые удовлетворяют дополнительным условиям.
Следствие 1. Пусть оператор F экспоненциально дихотомичный на полуосях R− и
R+ с проекторами P±(t) → P± при t → ±∞, которые удовлетворяют условию
P+(0)P−(0) = P−(0)P+(0) = P−(0). (17)
Тогда однородная система (3) имеет µ-параметрическое (µ = rangPN(D) =
= rang [P+(0)− P−(0)]) семейство линейно независимых ограниченных на R решений
xt = Tµ(t, 0)φµ,
где φµ ∈ C([−r, 0],Rµ) — произвольная µ-мерная вектор-функция.
Неоднородная задача (1) при любых f(t) ∈ BC(R,Rn) имеет µ-параметрическое се-
мейство линейно независимых ограниченных на R решений
xt = Tµ(t, 0)φµ + (Gf)(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
438 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
где (Gf)(t) — обобщенный оператор Грина задачи об ограниченных на R решениях не-
однородной системы (3), имеющий вид (16), в которомP+(0)D− =P−(0), [I−P−(0)]D− =
= −[I − P+(0)], и удовлетворяющий свойствам
(FG[f ])(t) = f(t), t ∈ R,
(G[f ])(0 + 0)− (G[f ])(0− 0) = 0.
Доказательство. Пусть для проекторов P+(0) и P−(0) выполняется условие (17). Этот
случай соответствует известному в теории обыкновенных дифферециальных уравнений
без запаздывания условию эспоненциальной трихотомии системы (3) [10]. Покажем, что
в этом случае
1) D− = D,
2) PN(D) = PYD = P+(0)− P−(0).
Известно [7], что оператор D− является обобщенно-обратным к оператору D, если
он удовлетворяет условию
DD−D = D
и, как следствие, еще двум условиям
DD− = I − PYD , (18)
D−D = I − PN(D). (19)
Сначала найдем квадрат оператора D :
D2 = [P+(0)− (I − P−(0))]2 = [P+(0)− I + P−(0)]2 =
= I − P+(0)− P−(0) + 2P+(0)P−(0) = I − P+(0) + P−(0). (20)
Далее вычислим D3 :
D3 = [I − P+(0) + P−(0)]D = [I − P+(0) + P−(0)][P+(0)− (I − P−(0))] =
= P+(0)− [I − P−(0)] = D.
Следовательно, DDD = D, т. е. D− = D.
Поскольку D2 = DD− и по условию (17) P+(0)P−(0) = P−(0), из равенств (19) и (20)
получим
PN(D) = I −D−D = I −D2 = P+(0)− P−(0),
а из равенств (18) и (20) —
PYD = I −DD− = I −D2 = P+(0)− P−(0).
Следовательно, PN(D) = PYD = P+(0)− P−(0).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
ДИХОТОМИЯ НА ПОЛУОСЯХ И ОГРАНИЧЕННЫЕ НА ВСЕЙ ОСИ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 439
Поскольку PYD = P−(0)−P+(0) и вследствие соотношений (17) P+(0)P−(0) = P+(0),
то
PYDP−(0) = [P−(0)− P+(0)]P−(0) = P2
−(0)− P+(0)P−(0) = P−(0)− P+(0) = PYD .
Поэтому необходимое и достаточное условие разрешимости (11) задачи (1) об ограни-
ченных на R решениях будет иметь вид
∞∫
−∞
Hν(s, 0)X0f(s)ds = 0,
где Hν(s, 0) = ν [PYD ]T (0, s).
Так как PN(D) = P−(0) − P+(0) и вследствие соотношения (17) P+(0)P−(0) = P+(0),
то
P+(0)PN(D) = P+(0)[P−(0)− P+(0)] = P+(0)P−(0))− P2
+(0) = P+(0)− P+(0) = 0.
Поэтому Tµ(t, 0) = T (t, 0)[P+(0)PN(D)]µ = 0 и однородное уравнение (3) будет иметь
только тривиальное ограниченное на R решение.
Поскольку D− = D, то
P+(0)D− = P+(0)[P+(0)− (I − P−(0))] = P2
+(0)− P+(0)[I − P−(0)] = P+(0),
а
[I − P−(0)]D− = [I − P−(0)][P+(0)− [I − P−(0)]] = −[I − P+(0)].
Следствие 1 доказано.
Следствие 2. Пусть оператор F экспоненциально дихотомичный на полуосях R− и
R+ с проекторами P±(t) → P± при t → ±∞, которые удовлетворяют условию
P+(0)P−(0) = P−(0)P+(0) = P+(0). (21)
Тогда однородная система (3) имеет только тривиальное ограниченное на R реше-
ние.
Неоднородная задача (1) разрешима для тех и только тех f(t) ∈ BC(R,Rn), кото-
рые удовлетворяют условию
∞∫
−∞
Hν(s, 0)X0f(s)ds = 0,
и при этом имеет единственное ограниченное на R решение
xt = (Gf)(t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
440 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
где (Gf)(t) — обобщенный оператор Грина задачи об ограниченных на R решениях неод-
нородной системы (3), имеющий вид (16), в котором P+(0)D− = P+(0), [I−P−(0)]D− =
= −[I − P−(0)], и удовлетворяющий свойствам
(FG(f))(t) = f(t), t ∈ R,
(G(f))(0 + 0)− (G(f))(0− 0) =
∞∫
−∞
H(s, 0)X0f(s)ds.
Доказательство. Пусть для проекторов P+(0) и P−(0) выполняется условие (21),
тогда:
1) D− = D,
2) PN(D) = PYD = P−(0)− P+(0).
Доказательство соотношений 1 и 2 проводится аналогично проведенному при доказа-
тельстве следствия 1.
Поскольку PYD = P−(0)−P+(0) и вследствие соотношения (21) P+(0)P−(0) = P+(0),
то
PYDP−(0) = [P−(0)− P+(0)]P−(0) = P2
−(0)− P+(0)P−(0) = P−(0)− P+(0) = PYD .
Поэтому необходимое и достаточное условие разрешимости (11) задачи (1) об ограни-
ченных на R решениях будет иметь вид
∞∫
−∞
Hν(s, 0)X0f(s)ds = 0,
где Hν(s, 0) = ν [PYD ]T (0, s).
А так как PN(D) = P−(0)−P+(0) и вследствие соотношения (21) P+(0)P−(0) = P+(0),
то
P+(0)PN(D) = P+(0)[P−(0)− P+(0)] = P+(0)P−(0))− P2
+(0) = P+(0)− P+(0) = 0.
Поэтому Tµ(t, 0) = T (t, 0)[P+(0)PN(D)]µ = 0 и однородное уравнение (3) будет иметь
только тривиальное ограниченное на R решение.
Поскольку D− = D, то
P+(0)D− = P+(0)[P+(0)− (I − P−(0))] = P2
+(0)− P+(0)[I − P−(0)] = P+(0),
а
[I − P−(0)]D− = [I − P−(0)][P+(0)− [I − P−(0)]] = −[I − P−(0)].
Следствие 2 доказано.
Следствие 3. Пусть оператор F экспоненциально дихотомичный на полуосях R− и
R+ с проекторами P±(t) → P± при t → ±∞, которые удовлетворяют условию
P+(0)P−(0) = P−(0)P+(0) = P+(0) = P−(0). (22)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
ДИХОТОМИЯ НА ПОЛУОСЯХ И ОГРАНИЧЕННЫЕ НА ВСЕЙ ОСИ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 441
Тогда однородная система (3) экспоненциально дихотомична на R и имеет только
тривиальное ограниченное на R решение.
Неоднородная задача (1) для любых f(t) ∈ BC(R,Rn) имеет единственное ограни-
ченное на R решение
xt = (Gf)(t),
где (Gf)(t) — оператор Грина задачи об ограниченных на R решениях неоднородной
системы (3), имеющий вид (16), в котором P+(0)D− = P+(0), [I − P−(0)]D− = −[I −
−P+(0)].
Доказательство. Пусть однородная система (3) является экспоненциально дихотомич-
ной на R+ и R− с проекторами P±(t) → P± при t → ±∞ такими, что выполняется усло-
вие (22).
Поскольку выполнено условие (22), то матрица D имеет вид
D = P+(0)− [I − P−(0)] = P+(0)− I + P−(0) = P+(0)− I + P+(0) = 2P+(0)− I = J,
где J — инволюция, J2 = I. Следовательно, D2 = I, откуда следует, что D−1 = D.
Поскольку вследствие соотношения (22)P−(0) = P+(0), тоPYD = PN(D) = 0.Следова-
тельно, P+(0)PN(D) = 0, PYDP−(0) = 0.
Таким образом, необходимое и достаточное условие разрешимости (11) задачи (1) об
ограниченных на R решениях выполняется для всех f(t), однородное уравнение (3) име-
ет только тривиальное ограниченное на R решение, а неоднородная система (1) имеет
единственное ограниченное на R решение для любых f(t) ∈ BC(R,Rn).
Замечание 2. Доказанные утверждения с соответствующими дополнениями и изме-
нениями будут справедливы и для случая, когда оператор L(t) и функция f(t) кусочно-
непрерывны с конечным числом разрывов первого рода по t и ограничены на R.
Проиллюстрируем изложенное выше на следующих примерах.
1. Рассмотрим линейную дифференциальную систему с постоянным запаздыванием
ẋ(t) = Lx(t− 1) + f(t), t ≥ 0,
x0(θ) = φ(θ), −1 ≤ θ ≤ 0,
(23)
где L — матрица, имеющая вид
L =
{
L+ = diag {−e−1, e,−e−1} при t ≥ 0,
L− = diag {−e−1,−e−1, e} при t < 0,
а
f(t) =
{
f+(t) = col {f (1)+ (t), f
(2)
+ (t), f
(3)
+ (t)} при t ≥ 0,
f−(t) = col {f (1)− (t), f
(2)
− (t), f
(3)
− (t)} при t < 0,
— функция с непрерывными ограниченными на соответствующих промежутках компо-
нентами, имеющая разрыв первого рода при t = 0.
Фундаментальная матрица U(t) на промежутках будет иметь вид
U(t) =
{
U+(t) = diag {e−t, et, e−t)} при t ≥ 0,
U−(t) = diag {e−t, e−t, et} при t < 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
442 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
Тогда в обозначениях [4] решение xt запишется в виде
xt = T (t, 0)φ+
t∫
0
T (t, s)X0f(s)ds, (24)
где оператор T (t, s) имеет представление
T (t, s) =
{
T+(t, s) = diag {e−(t−1−s), et−1−s, e−(t−1−s)} при t ≥ 0,
T−(t, s) = diag {e−(t−1−s), e−(t−1−s), et−1−s} при t < 0,
а X0 = diag {X(1)
0 , X
(2)
0 , X
(3)
0 }, i = 1, 2, 3; X
(i)
0 = X
(i)
0 (θ) =
{
0, если − 1 ≤ θ < 0,
1, если θ = 0.
Соответствующая (23) однородная система экспоненциально дихотомична на полу-
осях R+, R− с проекторами
P+(0) = diag {1, 0, 1} и P−(0) = diag {1, 1, 0}
соответственно. Тогда
D = P+(0)− [I − P−(0)] = diag {1, 0, 0},
D− = diag {1, 0, 0}.
Проекторы PN(D) : R3 → N(D) и PYD : R3 → YD равны между собой:
PN(D) = PYD = diag{0, 1, 1}.
Матрицы [PYDP−(0)] = [PYD(I − P+(0))] = diag {0, 1, 0} имеют ранг, равный единице.
Обозначим через 1[PYDP−(0)] =1 [PYD(I −P+(0))] = [ 0 1 0 ] (1× 3)-мерную матрицу.
Тогда условие существования ограниченного на всей оси решения неоднородной системы
(23) будет иметь вид
[ 0 1 0 ]
0∫
−∞
T−(0, s)X0f(s)ds+
∞∫
0
T+(0, s)X0f(s)ds
= 0. (25)
Поскольку X0 =
{
0, если − 1 ≤ θ < 0,
I, если θ = 0,
то T (t, s)X0 = 0 для t − 1 ≤ s < t. Таким
образом, при t = 0 имеем T (0, s)X0 = 0 для −1 ≤ s < 0. С учетом этого из (25) после
преобразований получаем
−1∫
−∞
e−(1+s)f
(2)
− (s)ds+
∞∫
0
e1+sf
(2)
+ (s)ds = 0. (26)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
ДИХОТОМИЯ НА ПОЛУОСЯХ И ОГРАНИЧЕННЫЕ НА ВСЕЙ ОСИ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 443
При выполнении условия (26) неоднородная система (23) имеет однопараметрическое
семейство ограниченных решений вида (15). Действительно, матрицы [P+(0)PN(D)] =
= [(I − P−(0))PN(D)] = diag {0, 0, 1} имеют ранг, равный единице, т. е. µ = 1. Поэтому
[P+(0)PN(D)]1 = [(I − P−(0))PN(D)]1 = diag {0, 0, 1}— (3× 1)-мерная матрица. Тогда
T1(t, 0) =
{
col {0, 0, e−(t−1−s)} при t ≥ 0,
col {0, 0, et−1−s} при t < 0.
(27)
2. При тех же предположениях рассмотрим линейную дифференциальную систему с
постоянным запаздыванием (23), где
L =
{
L+ = diag {−e−1, e,−e−1} при t ≥ 0,
L− = diag {−e−1, e, e} при t < 0.
Фундаментальная матрица U(t) на промежутках будет иметь вид
U(t) =
{
U+(t) = diag {e−t, et, e−t)} при t ≥ 0,
U−(t) = diag {e−t, et, et} при t < 0.
Тогда оператор T (t, s) имеет представление
T (t, s) =
{
T+(t, s) = diag {e−(t−1−s), et−1−s, e−(t−1−s)} при t ≥ 0,
T−(t, s) = diag {e−(t−1−s), et−1−s, et−1−s} при t < 0.
Соответствующая (23) однородная система экспоненциально дихотомична на полу-
осях R+, R− с проекторами
P+(0) = diag {1, 0, 1} и P−(0) = diag {1, 0, 0}
соответственно. Тогда
D = P+(0)− [I − P−(0)] = diag {1,−1, 0},
D− = diag {1,−1, 0}.
Проекторы PN(D) : R3 → N(D) и PYD : R3 → YD равны между собой:
PN(D) = PYD = diag {0, 0, 1}.
Для проекторов P+(0) и P−(0) выполняется условие (17).
Матрицы [PYDP−(0)] = [PYD(I − P+(0))] = diag {0, 0, 0}, поэтому условие существо-
вания ограниченного на R решения неоднородной системы (23) выполняется для любых
f(t) ∈ BC(R,Rn). В этом случае система (23) имеет однопараметрическое семейство
ограниченных решений (15), где T1(t, 0) имеет вид (27).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
444 А. А. БОЙЧУК, В. Ф. ЖУРАВЛЕВ
3. Рассмотрим линейную дифференциальную систему с постоянным запаздыванием
(23), где
L =
{
L+ = diag {−e−1, e, e} при t ≥ 0,
L− = diag {−e−1, e,−e−1} при t < 0.
Фундаментальная матрица U(t) на промежутках будет иметь вид
U(t) =
{
U+(t) = diag {e−t, et, et} при t ≥ 0,
U−(t) = diag {e−t, et, e−t} при t < 0.
Тогда оператор T (t, s) имеет представление
T (t, s) =
{
T+(t, s) = diag {e−(t−1−s), et−1−s, et−1−s} при t ≥ 0,
T−(t, s) = diag {e−(t−1−s), et−1−s, e−(t−1−s)} при t < 0.
Соответствующая (23) однородная система экспоненциально дихотомична на полу-
осях R+, R− с проекторами
P+(0) = diag {1, 0, 0} и P−(0) = diag {1, 0, 1}
соответственно. Тогда
D = P+(0)− [I − P−(0)] = diag {1,−1, 0},
D− = diag {1,−1, 0}.
Для проекторов P+(0) и P−(0) выполняется условие (21).
Проекторы PN(D) : R3 → N(D) и PYD : R3 → YD равны между собой:
PN(D) = PYD = diag {0, 0, 1}.
Матрицы [PYDP−(0)] = [PYD(I − P+(0))] = diag {0, 0, 1} имеют ранг, равный единице.
Обозначим через 1[PYDP−(0)] =1 [PYD(I −P+(0))] = [ 0 0 1 ] (1× 3)-мерную матрицу.
Тогда условие существования ограниченного на всей оси решения неоднородной системы
(23) будет иметь вид
[ 0 0 1 ]
0∫
−∞
T−(0, s)X0f(s)ds+
∞∫
0
T+(0, s)X0f(s)ds
= 0
или после преобразований
−1∫
−∞
e−(1+s)f
(3)
− (s) ds+
∞∫
0
e1+sf
(3)
+ (s) ds = 0.
Поскольку в этом примере матрицы [P+(0)PN(D)] = [(I − P−(0))PN(D)] нулевые, то
Tµ(t, s) ≡ 0 и система (23) имеет единственное ограниченное на всей оси решение.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
ДИХОТОМИЯ НА ПОЛУОСЯХ И ОГРАНИЧЕННЫЕ НА ВСЕЙ ОСИ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ . . . 445
1. Saker R. J. The splitting index for linear differential systems // J. Different. Equat. — 1979. — 33. — P. 368 –
405.
2. Palmer K. J. Exponential dichotomies and transversal homoclinic points // J. Different. Equat. — 1984. —
55. — P. 225 – 256.
3. Xiao-Biao Lin. Exponential dichotomies and homoclinic orbits in functional differential equations // J. Dif-
ferent. Equat. — 1986. — 63. — P. 227 – 254.
4. Hale J. K. Theory of functional differential equations. — Berlin etc.: Springer-Verlag, 1977.
5. Mallet-Paret J. The Fredholm alternative for functional-differential equations of mixed type // J. Dynam.
Different. Equat. — 1999. — 11, № 1. — P. 1 – 47.
6. Ben-Israel A., Greville T. N. E. Generalized inverse. — Second ed. — New York: Springer-Verlag, 2003.
7. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. —
Utrecht; Boston: Koninklijke Brill NV, 2004. — xiv+317 p.
8. Boichuk A. A. Solutions of weakly nonlinear differential equations bounded on the whole line // Nonlinear
Oscillations. — 1999. — 2, № 1. — P. 3 – 10.
9. Самойленко А. М., Бойчук А. А., Бойчук Ан. А. Ограниченные на всей оси решения линейных слабо-
возмущенных систем // Укр. мат. журн. — 2002. — 54, № 11. — P. 1517 – 1530.
10. Elaidi S., Hajek O. Exponential trichotomy of differential systems // J. Math. Anal. and Appl. — 1988. — 123,
№ 2. — P. 362 – 374.
Получено 09.06.12
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4
|