Об однозначной разрешимости краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром

Об однозначной разрешимости краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром

Розглядається лiнiйна крайова задача для систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь Фредгольма з виродженим ядром. Наведено означення ν-регулярного розбиття iнтервалу. Встановлено коефiцiєнтнi необхiднi та достатнi умови однозначної розв’язностi розглядуваної задачi....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2015
Hauptverfasser: Джумабаев, Д.С., Бакирова, Э.А.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2015
Schriftenreihe:Нелінійні коливання
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177229
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Об однозначной разрешимости краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром / Д.С. Джумабаев, Э.А. Бакирова // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 489-506 — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-177229
record_format dspace
spelling irk-123456789-1772292021-02-13T01:25:57Z Об однозначной разрешимости краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром Джумабаев, Д.С. Бакирова, Э.А. Розглядається лiнiйна крайова задача для систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь Фредгольма з виродженим ядром. Наведено означення ν-регулярного розбиття iнтервалу. Встановлено коефiцiєнтнi необхiднi та достатнi умови однозначної розв’язностi розглядуваної задачi. A linear boundary-value problem for systems of Fredholm integro-differential equations with degenerate kernel is considered. Definition of ν-regular partition of an interval is given. Coefficient necessary and sufficient conditions for unique solvability of the considered problem are found. 2015 Article Об однозначной разрешимости краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром / Д.С. Джумабаев, Э.А. Бакирова // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 489-506 — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177229 517.968.72 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Розглядається лiнiйна крайова задача для систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь Фредгольма з виродженим ядром. Наведено означення ν-регулярного розбиття iнтервалу. Встановлено коефiцiєнтнi необхiднi та достатнi умови однозначної розв’язностi розглядуваної задачi.
format Article
author Джумабаев, Д.С.
Бакирова, Э.А.
spellingShingle Джумабаев, Д.С.
Бакирова, Э.А.
Об однозначной разрешимости краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром
Нелінійні коливання
author_facet Джумабаев, Д.С.
Бакирова, Э.А.
author_sort Джумабаев, Д.С.
title Об однозначной разрешимости краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром
title_short Об однозначной разрешимости краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром
title_full Об однозначной разрешимости краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром
title_fullStr Об однозначной разрешимости краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром
title_full_unstemmed Об однозначной разрешимости краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром
title_sort об однозначной разрешимости краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений фредгольма с вырожденным ядром
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2015
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177229
citation_txt Об однозначной разрешимости краевой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с вырожденным ядром / Д.С. Джумабаев, Э.А. Бакирова // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 489-506 — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
series Нелінійні коливання
work_keys_str_mv AT džumabaevds obodnoznačnojrazrešimostikraevojzadačidlâsistemintegrodifferencialʹnyhuravnenijfredgolʹmasvyroždennymâdrom
AT bakirovaéa obodnoznačnojrazrešimostikraevojzadačidlâsistemintegrodifferencialʹnyhuravnenijfredgolʹmasvyroždennymâdrom
first_indexed 2025-07-15T15:16:00Z
last_indexed 2025-07-15T15:16:00Z
_version_ 1837726497537785856
fulltext УДК 517.968.72 ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ Д. С. Джумабаев, Э. А. Бакирова Ин-т математики и мат. моделирования МОН Республики Казахстан ул. Пушкина, 125, Алматы, 050010, Казахстан e-mail: dzhumabaev@list.ru bakirova1974@mail.ru A linear boundary-value problem for systems of Fredholm integro-differential equations with degenerate kernel is considered. Definition of ν-regular partition of an interval is given. Coefficient necessary and sufficient conditions for unique solvability of the considered problem are found. Розглядається лiнiйна крайова задача для систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь Фредголь- ма з виродженим ядром. Наведено означення ν-регулярного розбиття iнтервалу. Встановлено коефiцiєнтнi необхiднi та достатнi умови однозначної розв’язностi розглядуваної задачi. 1. Введение. Интегро-дифференциальные уравнения находят широкое применение во многих разделах прикладной математики, являясь математической моделью процессов физики, химии, биологии, экономики и др. Качественные свойства интегро-дифференциальных уравнений, начальных и крае- вых задач для этих уравнений различными методами исследованы в [1 – 10]. Построению приближенных методов нахождения решений интегро-дифференциаль- ных уравнений посвящены работы [11 – 15]. В [3] предложен метод исследования и реше- ния линейной двухточечной краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма, основанный на разбиении интервала на части с достаточно малым шагом разбиения и введении дополнительных параметров. Малость шага разбиения обеспечи- вает однозначную разрешимость промежуточной задачи метода — специальной задачи Коши для систем интегро-дифференциальных уравнений с параметрами. В [16] этот метод распространен на случай произвольного разбиения интервала. Вве- дено определение регулярного разбиения ∆N и показано, что регулярность разбиения эквивалентна однозначной разрешимости специальной задачи Коши. Получен критерий разрешимости линейной краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма. В терминах матрицы Q∗(∆N ), составляемой с помощью фундаментальной матрицы дифференциальной части, установлены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости рассматриваемой задачи. В настоящей работе для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с выро- жденным ядром dx dt = A(t)x+ m∑ k=1 T∫ 0 ϕk(t)ψk(s)x(s)ds+ f(t), t ∈ (0, T ), x ∈ Rn, (1.1) c© Д. С. Джумабаев, Э. А. Бакирова, 2015 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 489 490 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, Э. А. БАКИРОВА рассматривается задача с линейным двухточечным краевым условием Bx(0) + Cx(T ) = d, d ∈ Rn. (1.2) Здесь матрицы A(t), ϕk(t), ψk(s), k = 1,m, и вектор f(t) непрерывны на [0, T ]. ЧерезC([0, T ], Rn) обозначим пространство непрерывных на [0, T ] функций x : [0, T ] → → Rn с нормой ‖x‖1 = maxt∈[0,T ] ‖x(t)‖ = maxt∈[0,T ] maxi=1,n |xi(t)|. Решением задачи (1.1), (1.2) является непрерывно дифференцируемая на (0, T ) вектор- функция x(t) ∈ C([0, T ], Rn), удовлетворяющая системе интегро-дифференциальных урав- нений (1.1) и краевым условиям (1.2). Целью работы является установление критерия однозначной разрешимости задачи (1.1), (1.2) в терминах исходных данных без использования фундаментальной матрицы дифференциальной части уравнения (1.1). Анонс некоторых результатов статьи содержится в [17]. 2. ν-Регулярное разбиение и однозначная разрешимость специальной задачи Коши для систем интегро-дифференциальных уравнений. Возьмем точки t0 = 0 < t1 < . . . . . . < tN = T и разбиение интервала [0, T ) на N подынтервалов [0, T ) = N⋃ r=1 [tr−1, tr) обозначим через ∆N . Сужение функции x(t) на r-й интервал [tr−1, tr) обозначим через xr(t), т. е. xr(t) = x(t) при t ∈ [tr−1, tr). Введем дополнительные параметры λr = xr(tr−1) и на каждом r-м интервале выпол- ним замену функции ur(t) = xr(t)−λr. Тогда задача (1.1), (1.2) перейдет в эквивалентную краевую задачу с параметрами dur dt = A(t)(ur + λr) + m∑ k=1 ϕk(t) N∑ j=1 tj∫ tj−1 ψk(s)(uj(s) + λj)ds+ f(t), t ∈ [tr−1, tr), (2.1) ur(tr−1) = 0, r = 1, N, (2.2) Bλ1 + CλN + C lim t→T−0 uN (t) = d, (2.3) λs + lim t→ts−0 us(t)− λs+1 = 0, s = 1, N − 1. (2.4) Здесь (2.4) — условия склеивания решения во внутренних точках разбиения t = ts, s = = 1, N − 1. ЧерезC([0, T ],∆N , R nN) обозначим пространство систем функций u[t] = (u1(t),u2(t), . . . . . . , uN (t)), где функции ur(t) непрерывны на [tr−1, tr) и имеют конечные левосторонние пределы limt→tr−0 ur(t) при всех r = 1, N, с нормой ‖u[·]‖2 = maxr=1,N supt∈[tr−1,tr) ‖ur(t)‖. Отметим, что если пара (λ̃, ũ[t]), где λ̃ = (λ̃1, λ̃2, . . . , λ̃N ) ∈ RnN , ũ[t] = (ũ1(t), ũ2(t), . . . . . . , ũN (t)) ∈ C([0, T ],∆N , R nN ), — решение задачи (2.1) – (2.4), то функция x̃(t), опреде- ляемая равенствами x̃(t) = λ̃r + ũr(t), t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N, x̃(T ) = λ̃N + limt→T−0 ũN (t), будет решением задачи (1.1), (1.2). И наоборот, если x∗(t) является решением задачи (1.1), (1.2), то пара (λ∗, u∗[t]) с элементами λ∗ = (λ∗1, λ ∗ 2, . . . , λ ∗ N ) ∈ RnN , u∗[t] = (u∗1(t), u ∗ 2(t), . . . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 491 . . . , u∗N (t)), где λ∗r = x∗(tr−1), u ∗ r(t) — сужение функции x∗(t) − x∗(tr−1) на [tr−1, tr), r = = 1, N, будет решением задачи (2.1) – (2.4). При фиксированных значениях λ ∈ RnN система функций u[t] определяется из (2.1), (2.2) — специальной задачи Коши для систем интегро-дифференциальных уравнений. Интегрируя обе части (2.1) и используя (2.2), получаем систему интегральных уравнений ur(t) = t∫ tr−1 A(τ)ur(τ)dτ + t∫ tr−1 A(τ)λrdτ + t∫ tr−1 m∑ k=1 ϕk(τ) N∑ j=1 tj∫ tj−1 ψk(s)uj(s)dsdτ+ + t∫ tr−1 m∑ k=1 ϕk(τ) N∑ j=1 tj∫ tj−1 ψk(s)λjdsdτ + t∫ tr−1 f(τ)dτ, t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N. (2.5) Пусть P (t) — непрерывная на [tr−1, tr) квадратная матрица (или вектор размерности n), имеющая конечный левосторонний предел limt→tr−0 P (t), r = 1, N. Возьмем натураль- ное число ν и введем обозначение Eν,r(A(·), P (·), t) = t∫ tr−1 P (τ1)dτ1 + t∫ tr−1 A(τ1) τ1∫ tr−1 P (τ2)dτ2dτ1 + . . . . . .+ t∫ tr−1 A(τ1) . . . τν−2∫ tr−1 A(τν−1) τν−1∫ tr−1 P (τν)dτνdτν−1 . . . dτ1, t ∈ [tr−1, tr). Очевидно, что матрица (или вектор) Eν,r(A(·), P (·), t) непрерывна на [tr−1, tr) и имеет конечный левосторонний предел limt→tr−0Eν,r(A(·), P (·), t) = Eν,r(A(·), P (·), tr) для всех ν ∈ N, r = 1, N.Нетрудно убедиться в том, чтоE∗,r(A(·), P (·), t) = limν→∞Eνr(A(·), P (·), t) является равномерно сходящимся рядом на [tr−1, tr).При этомE∗,r(A(·), P (·), t) непрерыв- на на [tr−1, tr) и имеет конечный предел limt→tr−0E∗r(A(·), P (·), t) = E∗,r(A(·), P (·), tr). Подставив в первое слагаемое правой части (2.5) вместо ur(τ), r = 1, N, соответст- вующую правую часть (2.5) и повторив этот процесс ν ∈ N раз, получим представление ur(t) вида ur(t) = Eν,r A(·), A(·)λr + m∑ k=1 ϕk(·) N∑ j=1 tj∫ tj−1 ψk(s)dsλj + + m∑ k=1 ϕk(·) N∑ j=1 tj∫ tj−1 ψk(s)uj(s)ds+ f(·), t + + t∫ tr−1 A(τ1) τ1∫ tr−1 A(τ2) . . . τν−1∫ tr−1 A(τν)ur(τν)dτν . . . dτ2dτ1, t ∈ [tr−1, tr). (2.6) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 492 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, Э. А. БАКИРОВА Введя обозначения µk = N∑ j=1 tj∫ tj−1 ψk(s)uj(s)ds, (2.7) D(ν) r,r (∆N , t) = Eν,r A(·), A(·) + m∑ k=1 ϕk(·) tr∫ tr−1 ψk(s)ds, t  , r = 1, N, (2.8) D (ν) r,j (∆N , t) = Eν,r A(·), m∑ k=1 ϕk(·) tj∫ tj−1 ψk(s)ds, t  , r 6= j, j = 1, N, (2.9) Fν,r(∆N , t) = Eνr (A(·), f(·), t) , r = 1, N, (2.10) gAν (∆N , ur, t) = t∫ tr−1 A(τ1) . . . τν−2∫ tr−1 A(τν−1) τν−1∫ tr−1 A(τν)ur(τν)dτνdτν−1 . . . dτ1, (2.11) систему (2.6) запишем в виде ur(t) = N∑ j=1 D (ν) r,j (∆N , t)λj + m∑ k=1 Eν,r (A(·), ϕk(·), t)µk+ + Fν,r(∆N , t) + gAν (∆N , ur, t), t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N. (2.12) Полагая в (2.12) t = τ, умножая обе части на ψp(τ), интегрируя по τ на [tr−1, tr] и суммируя левые и правые части по r, имеем µp = m∑ k=1 Gp,k(ν,∆N ) · µk + N∑ r=1 Vp,r(ν,∆N )λr + Fp(ν,∆N ) + gp(ν,∆N , u), p = 1,m, (2.13) где Gp,k(ν,∆N ) = N∑ r=1 tr∫ tr−1 ψp(τ)Eν,r (A(·), ϕk(·), τ) dτ, Vp,r(ν,∆N ) = tr∫ tr−1 ψp(τ) N∑ j=1 D (ν) r,j (∆N , τ)dτ, Fp(ν,∆N ) = N∑ r=1 tr∫ tr−1 ψp(τ)Fν,r(∆N , τ)dτ, gp(ν,∆N , u) = N∑ r=1 tr∫ tr−1 ψp(τ)gAν (∆N , ur, τ)dτ. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 493 По (n × n)-матрицам Gp,k(ν,∆N ), p, k = 1,m, Vp,r(ν,∆N ), r = 1, N, составим (nm × nm)- матрицу G(ν,∆N ) = (Gp,k(ν,∆N )) и (nm× nN)-матрицу V (ν,∆N ) = (Vp,r(ν,∆N )). Систе- му (2.13) запишем в виде [I −G(ν,∆N )]µ = V (ν,∆N )λ+ F (ν,∆N ) + g(ν,∆N , u), (2.14) где I− единичная матрица размерности nm, векторы F (ν,∆N ) = (F1(ν,∆N ), F2(ν,∆N ), . . . . . . , Fm(ν,∆N )), g(ν,∆N , u) = (g1(ν,∆N , u), g2(ν,∆N , u), . . . , gm(ν,∆N , u)) принадлежатRnm. Определение 2.1. Разбиение ∆N называется ν-регулярным, если матрица I−G(ν,∆N ) имеет обратную. Множество ν-регулярных разбиений ∆N обозначим через σν([0, T ]). Лемма 2.1. Множество σν([0, T ]) не пусто. Доказательство. Через ∆̃N обозначим разбиение интервала [0, T ] наN равных частей с шагом h > 0 : Nh = T. Пусть α = max t∈[0,T ] ‖A(t)‖, ψ̂ = max k=1,m max t∈[0,T ] ‖ψk(t)‖, ϕ̂ = max k=1,m max t∈[0,T ] ‖ϕk(t)‖ и δν(h) = T ψ̂ϕ̂mh ν−1∑ j=0 (αh)j j! . Поскольку ‖Gp,k(ν, ∆̃N )‖ ≤ N∑ r=1 rh∫ (r−1)h ‖ψp(τ)‖‖Eν,r (A(·), ϕk(·), τ) ‖dτ, то в силу оценки ‖Eν,r (A(·), ϕk(·), t) ‖ ≤ h [ 1 + αh+ (αh)2 2! + . . .+ (αh)ν−1 (ν − 1)! ] max t∈[0,T ] ‖ϕk(t)‖ (2.15) имеем ‖G(ν, ∆̃N )‖ = max p=1,m m∑ k=1 ‖Gp,k(ν, ∆̃N )‖ ≤ ≤ max p=1,m m∑ k=1 N∑ r=1 rh∫ (r−1)h dτ max t∈[0,T ] ‖ψp(t)‖ max t∈[0,T ] ‖ϕk(t)‖h ν−1∑ j=0 (αh)j j! ≤ δν(h). (2.16) Из неравенства (2.16) и теоремы о малых возмущениях ограниченно обратимых операто- ров [18, с. 142] следует, что для любого h > 0, удовлетворяющего неравенству δν(h) < 1, матрица I −G(ν, ∆̃N ) будет обратима, т. е. ∆̃N ∈ σν([0, T ]). Лемма 2.1 доказана. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 494 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, Э. А. БАКИРОВА Определение 2.2. Специальная задача Коши (2.1), (2.2) называется однозначно раз- решимой, если для любой пары (λ, f(t)), где λ ∈ RnN , f(t) ∈ C([0, T ], Rn), она имеет единственное решение. Рассмотрим произвольное разбиение ∆N : t0 = 0 < t1 < . . . < tN = T, принадлежа- щее множеству σν([0, T ]).Введем обозначения β = maxt∈[0,T ] maxs∈[0,T ] ‖ ∑m k=1 ϕk(t)ψk(s)‖, hr = tr − tr−1, r = 1, N, Λr(ν,∆N ) = ( 1 + βThr ∑ν−1 j=0 (αhr) j j! ‖[I −G(ν,∆N )]−1‖ ) . Теорема 2.1. Пусть для выбранных ν ∈ N и ∆N ∈ σν([0, T ]) выполняется неравен- ство ξν(∆N ) = max r=1,N (αhr) ν ν! Λr(ν,∆N ) < 1. (2.17) Тогда специальная задача Коши (2.1),(2.2) однозначно разрешима. Доказательство. Пусть ν ∈ N и ∆N ∈ σν([0, T ]). Матрицу [I −G(ν,∆N )]−1 представим в виде (Mp,k(ν,∆N )), p, k = 1,m, где Mp,k(ν,∆N ) — квадратные матрицы размерности n. Тогда блочные элементы вектора µ = (µ1, µ2, . . . , µm) — решения системы (2.14) — имеют вид µp = m∑ k=1 Mp,k(ν,∆N )  N∑ j=1 Vk,j(ν,∆N )λj + Fk(ν,∆N ) + gk(ν,∆N , u)  , p = 1,m. (2.18) Для доказательства однозначной разрешимости специальной задачи Коши (2.1), (2.2) рас- смотрим эквивалентное интегральное уравнение (2.12). Подставляя в (2.12) вместо µk правую часть (2.18), получаем следующую систему уравнений относительно ur(t), r = = 1, N : ur(t) = N∑ j=1 D (ν) r,j (∆N , t)λj + Fν,r(∆N , t) + gAν (∆N , ur, t) + m∑ k=1 Eν,r(A(·), ϕk(·), t)× × m∑ p=1 Mk,p(ν,∆N ) [ N∑ r=1 Vp,r(ν,∆N )λr + Fp(ν,∆N ) + gp(ν,∆N , u) ] , t ∈ [tr−1, tr). (2.19) Решение (2.19) найдем методом последовательных приближений. За начальное прибли- жение возьмем u (0) r (t) = 0, t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N, и последующие приближения опреде- лим равенствами u(i+1) r (t) = N∑ j=1 D (ν) r,j (∆N , t)λj + Fν,r(∆N , t) + gAν (∆N , u (i) r , t) + m∑ k=1 Eνr(A(·), ϕk(·), t)× × m∑ p=1 Mk,p(ν,∆N ) [ N∑ r=1 Vp,r(ν,∆N )λr + Fp(ν,∆N ) + gp(ν,∆N , u (i)) ] , t ∈ [tr−1, tr). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 495 Для разности u(i+1) r (t)− u(i)r (t) справедлива оценка ‖u(i+1)[·]− u(i)[·]‖2 = max r=1,N sup t∈[tr−1,tr) ‖u(i+1) r (t)− u(i)r (t)‖ ≤ ≤ max r=1,N sup t∈[tr−1,tr) [ ‖gAν (∆N , u (i) r − u(i−1)r , t)‖+ m∑ k=1 ‖Eνr(A(·), ϕk(·), t)‖× × m∑ p=1 ‖Mk,p(ν,∆N )‖ · ‖gp(ν,∆N , u (i) − u(i−1))‖ ] . (2.20) Если ψp(t), k = 1,m, ur(t), r = 1, N, непрерывны и ограничены на [tr−1, tr), то справед- ливы оценки ‖gAν (∆N , ur, t)‖ ≤ (αhr) ν ν! sup t∈[tr−1,tr) ‖ur(t)‖, (2.21) ‖gp(ν,∆N , u)‖ ≤ T max r=1,N sup t∈[tr−1,tr) ‖ψp(t)‖ · ‖gAν (∆N , ur, t)‖. (2.22) В силу (2.15), (2.21), (2.22) из (2.20) следует ‖u(i+1)[·]− u(i)[·]‖2 ≤ max r=1,N (αhr) ν ν! Λr(ν,∆N )‖u(i)[·]− u(i−1)[·]‖2 = = ξν(∆N )‖u(i)[·]− u(i−1)[·]‖2. (2.23) Учитывая, что по условию теоремы ξν(∆N ) < 1, на основе принципа сжимающих ото- бражений получаем существование единственного решения уравнения (2.19). Пусть u∗[t] = (u∗1(t), u ∗ 2(t), . . . , u ∗ N (t)) ∈ C([0, T ],∆N , R nN ) —решение уравнения (2.19) при λ = λ∗ и µ∗p = ∑N j=1 ∫ tj tj−1 ψp(s)u ∗ j (s)ds. Тогда из (2.19) следует, что µ∗p = N∑ r=1 Vk,r(ν,∆N )λ∗r + Fp(ν,∆N ) + gp(ν,∆N , u ∗) + m∑ k=1 Gp,k(ν,∆N )× × m∑ s=1 Mk,s(ν,∆N ) [ N∑ r=1 Vs,r(ν,∆N )λ∗r + Fs(ν,∆N ) + gs(ν,∆N , u ∗) ] , p = 1,m. (2.24) Вектор a∗ = (a∗1, a ∗ 2, . . . , a ∗ m), где a∗p = m∑ s=1 Mp,s(ν,∆N ) [ N∑ r=1 Vs,r(ν,∆N )λ∗r + Fs(ν,∆N ) + gs(ν,∆N , u ∗) ] , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 496 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, Э. А. БАКИРОВА будет единственным решением систем уравнений (2.13), и имеют место равенства a∗p = m∑ k=1 Gp,k(ν,∆N )a∗k + N∑ r=1 Vp,r(ν,∆N )λ∗r + Fp(ν,∆N ) + gp(ν,∆N , u ∗), p = 1,m. Отсюда следует соотношение N∑ r=1 Vp,r(ν,∆N )λ∗r + Fp(ν,∆N ) + gp(ν,∆N , u ∗) = a∗p − m∑ k=1 Gp,k(ν,∆N )a∗k, p = 1,m. (2.25) Подставив в (2.24) правую часть (2.25), получим µ∗p = a∗p − m∑ k=1 Gp,k(ν,∆N )a∗k + m∑ k=1 Gp,k(ν,∆N )a∗k = a∗p, p = 1,m. (2.26) Из (2.19) и (2.26) следует, что u∗r(t) = N∑ j=1 D (ν) r,j (∆N , t)λ ∗ j + Fν,r(∆N , t) + gAν (∆N , u ∗ r , t)+ + m∑ k=1 Eν,r(A(·), ϕk(·), t)µ∗k, t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N. Используя обозначения (2.8) – (2.11), записываем функции u∗r(t) в виде u∗r(t) = Eν,r A(·), A(·)λ∗r + m∑ k=1 ϕk(·) N∑ j=1 tj∫ tj−1 ψk(s)(λ ∗ j + u∗j (s))ds+ f(·), t + + t∫ tr−1 A(τ1) . . . τν−2∫ tr−1 A(τν−1) τν−1∫ tr−1 A(τν)u∗r(τν)dτνdτν−1 . . . dτ1, t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N. (2.27) Очевидно, что u∗r(tr−1) = 0, r = 1, N, т. е. выполняются начальные условия (2.2). Под- ставляя во второе слагаемое (2.27) вместо u∗r(τν) соответствующую правую часть равен- ства (2.27) и используя соотношение Eν,r(A(·), P (·), t) + t∫ tr−1 A(τ1) . . . τν−1∫ tr−1 A(τν)Eν,r(A(·), P (·), τν)dτν . . . dτ1 = E2ν,r(A(·), P (·), t), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 497 для u∗r(t) получаем представление u∗r(t) =E2ν,r A(·), A(·)λ∗r + m∑ k=1 ϕk(·) N∑ j=1 tj∫ tj−1 ψk(s)(λ ∗ j + u∗j (s))ds+ f(·), t + t∫ tr−1 A(τ1) . . . . . . τν−1∫ tr−1 A(τν) . . . τ2ν−1∫ tr−1 A(τ2ν)u∗r(τ2ν)dτ2ν . . . dτν . . . dτ1, t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N. Повторяя этот процесс l раз, имеем u∗r(t) = Elν,r A(·), A(·)λ∗r + m∑ k=1 ϕk(·) N∑ j=1 tj∫ tj−1 ψk(s)(λ ∗ j + u∗j (s))ds+ f(·), t + + gAlν(∆N , u ∗ r , t), l = 1, 2, . . . . Переходя в последнем соотношении к пределу при l → ∞ и учитывая, что ‖gAlν(∆N , u ∗ r , t)‖ ≤ ≤ (αh)lν (lν)! ‖u∗‖, r = 1, N, получаем u∗r(t) = E∗,r A(·), A(·)λ∗r + m∑ k=1 ϕk(·) N∑ j=1 tj∫ tj−1 ψk(s)(λ ∗ j + u∗j (s))ds+ f(·), t  , t ∈ [tr−1, tr). Принимая во внимание равенства E∗,r(A(·),Ψ(·), t) = t∫ a Ψ(τ1)dτ1 + t∫ a A(τ1) τ1∫ a Ψ(τ2)dτ2dτ1+ + t∫ a A(τ1) τ1∫ a A(τ2) τ2∫ a Ψ(τ3)dτ3dτ2dτ1 + . . . = = X(t) t∫ tr−1 X−1(τ)Ψ(τ)dτ, a, t ∈ [0, T ], r = 1, N, (2.28) где X(t) — фундаментальная матрица дифференциального уравнения dx dt = A(t)x на ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 498 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, Э. А. БАКИРОВА [0, T ], имеем u∗r(t) = X(t) t∫ tr−1 X−1(τ) ( A(τ)λ∗r + m∑ k=1 ϕk(τ) N∑ j=1 tj∫ tj−1 ψk(s)(λ ∗ j+ + u∗j (s))ds+ f(τ) ) dτ, t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N. (2.29) Из (2.29) следует, что для всех r = 1, N функция u∗r(t) имеет непрерывную производную на [tr−1, tr) и du∗r(t) dt = A(t)(u∗r(t) + λ∗r) + m∑ k=1 ϕk(t) N∑ j=1 tj∫ tj−1 ψk(s)(λ ∗ j + u∗j (s))ds+ f(t), t ∈ [tr−1, tr). Таким образом, система функций u∗[t] является решением специальной задачи Коши (2.1), (2.2) при λ = λ∗. Докажем единственность. Пусть ũ[t] = (ũ1(t), ũ2(t), . . . , ũN (t)) — другое решение спе- циальной задачи Коши (2.1), (2.2) при λ = λ∗. Тогда для систем функций v[t] = (v1(t), v2(t), . . . , vN (t)), где vr(t) = u∗r(t)− ũr(t), аналогично (2.23) устанавливается неравенство ‖v[·]‖2 ≤ ξν(∆N )‖v[·]‖2. Поскольку ξν(∆N ) < 1, отсюда следует, что ‖v[·]‖2 = 0. Теорема 2.1 доказана. В [16, с. 1080] введено определение регулярного разбиения интервала [0, T ]. Из этого определения и леммы 1 [16, с. 1078] следует эквивалентность регулярности разбиения и однозначной разрешимости специальной задачи Коши при фиксированных значениях па- раметра. Также в [16, с. 1087] отмечено, что для вырожденных ядер регулярность разби- ения эквивалентна обратимости матрицы I −G(∗,∆N ), где G(∗∆N ) = limν→∞G(ν,∆N ). Следующая теорема показывает, что условия теоремы 2.1 не только достаточны, но и необходимы для однозначной разрешимости специальной задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема 2.2. Если при выбранном разбиении ∆N специальная задача Коши (2.1), (2.2) однозначно разрешима, то существует такое ν ∈ N, что ∆N ∈ σν([0, T ]) и выполняет- ся неравенство (2.17). Доказательство. Пусть при выбранном ∆N специальная задача Коши (2.1), (2.2) од- нозначно разрешима. Тогда, как было отмечено выше, матрица I −G(∗,∆N ) обратима и ‖[I −G(∗,∆N )]−1‖ ≤ χ∗. Поскольку ‖G(∗,∆N )−G(ν,∆N )‖ ≤ max r=1,N { Tβhr ( eαhr − 1− αhr − . . .− (αhr) ν−1 (ν − 1)! )} и правая часть неравенства при ν → ∞ стремится к нулю, то найдется ν1, при котором ‖[I −G(∗,∆N )]−1‖ max r=1,N { Tβhr ( eαhr − 1− αhr − . . .− (αhr) ν−1 (ν − 1)! )} < 1 2 . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 499 Тогда по теореме о малых возмущениях ограниченно обратимых операторов для любого ν ≥ ν1 матрица I −G(ν,∆N ) обратима и справедлива оценка ‖[I −G(ν,∆N )]−1‖ ≤ χ∗ 1− 1 2 = 2χ∗. Выбирая ν̃ > ν1 так, чтобы выполнялось неравенство ξν̃(∆N ) = max r=1,N (αhr) ν̃ ν̃! 1 + βThr ν̃−1∑ j=0 (αhr) j j! 2χ∗  < 1, получаем утверждение теоремы. Теорема 2.2 доказана. 3. Однозначная разрешимость линейной двухточечной краевой задачи для систем ин- тегро-дифференциальных уравнений. Рассмотрим краевую задачу (1.1), (1.2). Определение 3.1. Задача (1.1), (1.2) называется однозначно разрешимой, если для лю- бой пары (f(t), d), где f(t) ∈ C([0, T ], Rn), d ∈ Rn, она имеет единственное решение. Предположим, что ∆N ∈ σν([0, T ]). Тогда из (2.19) определив limt→tr−0 ur(t), r = 1, N, подставив соответствующие выражения в краевое условие (2.3) и условия склеивания (2.4), получим систему линейных уравнений относительно введенных параметров λr, r = = 1, N : Bλ1 + CλN + C N∑ j=1 D (ν) N,j(∆N , T )λj + C m∑ k=1 Eν,N (A(·), ϕk(·), T ) × × m∑ p=1 Mk,p(ν,∆N ) N∑ r=1 Vp,r(ν,∆N )λr = d− CFν,N (∆N , T )− − C m∑ k=1 Eν,N (A(·), ϕk(·), T ) m∑ p=1 Mk,p(ν,∆N )Fp(ν,∆N )− CgAν (∆N , uN , T )− − C m∑ k=1 Eν,N (A(·), ϕk(·), T ) m∑ p=1 Mk,p(ν,∆N )gp(ν,∆N , u), (3.1) λs + N∑ j=1 D (ν) s,j (∆N , ts)λj + m∑ k=1 Eν,s(A(·), ϕk(·), ts) m∑ p=1 Mk,p(ν,∆N ) N∑ r=1 Vp,r(ν,∆N )λr − λs+1 = = −Fν,s(∆N , ts)− m∑ k=1 Eν,s(A(·), ϕk(·), ts) m∑ p=1 Mk,p(ν,∆N )Fp(ν,∆N )− − gAν (∆N , us, ts)− m∑ k=1 Eν,s(A(·), ϕk(·), ts)× ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 500 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, Э. А. БАКИРОВА × m∑ p=1 Mk,p(ν,∆N )gp(ν,∆N , u), s = 1, N − 1. (3.2) Соответствующую левой части системы (3.1), (3.2) матрицу размерности nN × nN обо- значим через Qν(∆N ) и запишем ее в виде Qν(∆N )λ = −Fν(∆N )−Wν(u,∆N ), λ ∈ RnN , (3.3) где Fν(∆N ) = ( − d+ CFν,N (∆N , T ) + C m∑ k=1 Eν,N (A(·), ϕk(·), T ) m∑ p=1 Mk,p(ν,∆N )Fp(ν,∆N ), Fν1(∆N , t1) + m∑ k=1 Eν,1(A(·), ϕk(·), t1) m∑ p=1 Mk,p(ν,∆N )Fp(ν,∆N ), . . . . . . , Fν,N−1(∆N , tN−1) + m∑ k=1 Eν,N−1(A(·), ϕk(·), tN−1)× × m∑ p=1 Mk,p(ν,∆N )Fp(ν,∆N ) ) ∈ RnN , Wν(u,∆N ) = ( CgAν (∆N , uN , T ) + C m∑ k=1 Eν,N (A(·), ϕk(·), T ) m∑ p=1 Mk,p(ν,∆N )gp(ν,∆N , u), gAν (∆N , u1, t1) + m∑ k=1 Eν,1(A(·), ϕk(·), t1) m∑ p=1 Mk,p(ν,∆N )gp(ν,∆N , u), . . . . . . , gAν (∆N , uN−1, tN−1) + m∑ k=1 Eν,N−1(A(·), ϕk(·), tN−1)× × m∑ p=1 Mk,p(ν,∆N )gp(ν,∆N , u) ) ∈ RnN . Таким образом, если ∆N ∈ σν([0, T ]), то для нахождения неизвестных параметров λr, r = 1, N, получим систему линейных алгебраических уравнений (3.3). Неизвестные функции ur(t), r = 1, N, определяются из специальной задачи Коши для систем интегро- дифференциальных уравнений (2.1) с начальными условиями (2.2). Решение многоточечной краевой задачи с параметрами (2.1) – (2.4) найдем по следу- ющему алгоритму: Шаг 0: 1. Предполагая, что при выбранных ν ∈ N, ∆N ∈ σν([0, T ]) матрица Qν(∆N ) : RnN → RnN обратима, начальное приближение по параметру λ(0) = (λ (0) 1 , λ (0) 2 , . . . , λ (0) N ) ∈ ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 501 ∈ RnN найдем из систем линейных уравнений Qν(∆N )λ = −Fν(∆N ), т. е. λ(0) = −[Qν(∆N )]−1Fν(∆N ). 2. Решая при найденных значениях параметра λ(0) = (λ (0) 1 , λ (0) 2 , . . . , λ (0) N ) специаль- ную задачу Коши для интегро-дифференциальных уравнений (2.1), (2.2), находим систе- му функций u(0)[t] = (u (0) 1 (t), u (0) 2 (t), . . . , u (0) N (t)). Шаг 1: 1. Подставляя найденные u(0)r (t) в правую часть (3.3), из уравнения Qν(∆N )λ = = −Fν(∆N )−Wν(u(0),∆N ) определяем λ(1) = (λ (1) 1 , λ (1) 2 , . . . , λ (1) N ) ∈ RnN . 2. Решая специальную задачу Коши (2.1), (2.2) при λ = λ(1) = (λ (1) 1 , λ (1) 2 , . . . , λ (1) N ), по- лучаем систему функций u(1)[t] = (u (1) 1 (t), u (1) 2 (t), . . . , u (1) N (t)).Продолжая этот процесс, на i-м шаге алгоритма находим пару (λ(i), u(i)[t]), i = 0, 1, 2, . . . . Достаточные условия сходимости предложенного алгоритма и существования един- ственного решения краевой задачи (1.1), (1.2) устанавливает следующая теорема. Теорема 3.1. Пусть при некоторых ν ∈ N,∆N ∈ σν([0, T ]) матрицаQν(∆N ) : RnN → → RnN обратима и выполняются неравенства ‖[Qν(∆N )]−1‖ ≤ γν(∆N ), (3.4) ξν(∆N ) = max r=1,N (αhr) ν ν! Λr(ν,∆N ) < 1, (3.5) qν(∆N ) = γν(∆N ) max(1, ‖C‖) ξν(∆N ) 1− ξν(∆N ) × × max r=1,N  ν∑ j=1 (αhr) j j! + Tβhr ν−1∑ j=0 (αhr) j j! Λr(ν,∆N ) < 1. (3.6) Тогда алгоритм сходится и краевая задача (1.1), (1.2) имеет единственное решение. Доказательство. Из обратимости Qν(∆N ) и неравенства (3.4) следует существование λ(0) и оценка ‖λ(0)‖ = max r=1,N ‖λ(0)r ‖ ≤ ‖[Qν(∆N )]−1‖‖Fν(∆N )‖ ≤ γν(∆N )‖Fν(∆N )‖. Неравенство (3.5), согласно теореме 2.1, обеспечивает существование единственного ре- шения специальной задачи Коши u(0)[t]. При этом выполняется неравенство ‖u(0)[·]‖2 = max r=1,N sup t∈[tr−1,tr) ‖u(0)r (t)‖ ≤ max r=1,N   ν∑ j=1 (αhr) j j! + Tβhr ν−1∑ j=0 (αhr) j j!  × × Λr(ν,∆N )‖λ(0)‖+ ν−1∑ j=0 (αhr) j j! ‖f‖1hrΛr(ν,∆N ) + ξν(∆N )‖u(0)[·]‖2  . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 502 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, Э. А. БАКИРОВА Отсюда и из неравенства (3.5) следует, что ‖u(0)[·]‖2 ≤ 1 1− ξν(∆N ) max r=1,N   ν∑ j=1 (αhr) j j! + Tβhr ν−1∑ j=0 (αhr) j j! Λr(ν,∆N )‖λ(0)‖+ + ν−1∑ j=0 (αhr) j j! ‖f‖1hrΛr(ν,∆N )  . По первому шагу алгоритма определим λ(1) и оценим ‖λ(1) − λ(0)‖ : ‖λ(1) − λ(0)‖ ≤ γν(∆N )‖gν(u(0),∆N )‖ ≤ γν(∆N ) max(1, ‖C‖) max r=1,N (αhr) ν ν! × × Λr(ν,∆N ) 1 1− ξν(∆N ) max r=1,N   ν∑ j=1 (αhr) j j! + Tβhr ν−1∑ j=0 (αhr) j j!  × × Λr(ν,∆N )‖λ(0)‖+ ν−1∑ j=0 (αhr) j j! ‖f‖1hrΛr(ν,∆N )  . Продолжая итерационный процесс, на i-м шаге находим последовательность пар (λ(i), u(i)[t]), где λ(i) = (λ (i) 1 , λ (i) 2 , . . . , λ (i) N ) ∈ RnN , u(i)[t] = (u (i) 1 (t), u (i) 2 (t), . . . , u (i) N (t)) ∈ C([0, T ], ∆N , R nN ). Обратимость матрицы Qν(∆N ) обеспечивает существование и единственность λ(i). Из неравенства (3.5) следует существование единственной системы функций u(i)[t] = = (u (i) 1 (t), u (i) 2 (t), . . . , u (i) N (t)) — решения специальной задачи Коши (2.1), (2.2) при λ = λ(i). При этом для элементов этой системы функций имеют место равенства u(i)r (t) = N∑ j=1 D (ν) r,j (∆N , t)λ (i) j + Fν,r(∆N , t) + gAν (∆N , u (i) r , t) + m∑ k=1 Eνr(A(·), ϕk(·), t)× × m∑ p=1 Mk,p(ν,∆N ) [ N∑ r=1 Vp,r(ν,∆N )λ(i)r + + Fp(ν,∆N ) + gp(ν,∆N , u (i)) ] , t ∈ [tr−1, tr), r = 1, N. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 503 Отсюда, вновь используя (3.5), получаем оценку ‖u(i)[·]− u(i−1)[·]‖2 ≤ 1 1− ξν (∆N ) max r=1,N   ν∑ j=1 (αhr) j j! + + Tβhr ν−1∑ j=0 (αhr) j j! Λr(ν,∆N )  ‖λ(i) − λi−1‖. (3.7) Поскольку λ(i+1), λ(i) являются решениями уравнения (3.3) при u = u(i), u = u(i−1) соот- ветственно, то для их разности имеет место неравенство ‖λ(i+1) − λ(i)‖ ≤ ‖[Qν(∆N )]−1‖‖Wν(u(i),∆N )−Wν(u(i−1),∆N )‖ ≤ γν(∆N ) max(1, ‖C‖)× × max r=1,N (αhr) ν ν! Λr(ν,∆N )‖u(i)[·]− u(i−1)[·]‖2. Подставляя вместо ‖u(i)[·]− u(i−1)[·]‖2 правую часть неравенства (3.7), получаем ‖λ(i+1) − λ(i)‖ ≤ qν(∆N )‖λ(i) − λ(i−1)‖, i = 1, 2, . . . . (3.8) В силу условия qν(∆N ) < 1 и неравенств (3.7), (3.8) последовательность λ(i) сходится к λ∗ = (λ∗1, λ ∗ 2, . . . , λ ∗ N ) при i → ∞, последовательность систем функции u(i)[t] по норме пространства C([0, T ],∆N , R nN ) сходится к u∗[t] = (u∗1(t), u ∗ 2(t), . . . , u ∗ N (t)). Тогда функция x∗(t), определяемая равенствами x∗(t) = λ∗r + u∗r(t), t ∈ [tr−1, tr), r = = 1, N, x∗(T ) = λ∗N + limt→T−0 u ∗ N (t), будет решением задачи (1.1), (1.2). Единственность решения задачи (1.1), (1.2) доказывается методом от противного на основе неравенств (3.7), (3.8). Теорема 3.1 доказана. Следующее утверждение показывает, что условия теоремы 3.1 являются также и не- обходимыми условиями однозначной разрешимости задачи (1.1), (1.2). Теорема 3.2. Краевая задача (1.1), (1.2) однозначно разрешима тогда и только тогда, когда существуют ν ∈ N и ∆N ∈ σν([0, T ]), при которых матрица Qν(∆N ) : RnN → → RnN обратима и выполняются неравенства (3.4) – (3.6). Доказательство. Достаточность условий теоремы для однозначной разрешимости задачи (1.1), (1.2) следует из теоремы 3.1. Докажем необходимость. Пусть задача (1.1), (1.2) однозначно разрешима и ∆N — регулярное разбиение интервала [0, T ]. Из вида D(ν) r,j (∆N , tj), Eν,j(A(·), ϕk(·), tj), Mk,p(ν,∆N ), Vp,r(ν,∆N ), j = 1, N, r = 1, N, следует существование пределов D∗r,j(∆N , tj) = lim ν→∞ D (ν) r,j (∆N , tj), E∗,j(A(·), ϕk(·), tj) = lim ν→∞ Eν,j(A(·), ϕk(·), tj), Mk,p(∗,∆N ) = lim ν→∞ Mk,p(ν,∆N ), Vp,r(∗,∆N ) = lim ν→∞ Vp,r(ν,∆N ). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 504 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, Э. А. БАКИРОВА Поскольку Qν(∆N ) определяется через них, то существует limν→∞Qν(∆N ). При этом в силу (2.28) имеет место соотношение limν→∞Qν(∆N ) = Q∗(∆N ), где Q∗(∆N ) является (nN × nN)-матрицей системы (19) из [16, с. 1082]. Тогда согласно теореме 2 из [16, с. 1084] матрица Q∗(∆N ) : RnN → RnN будет об- ратимой и существует число γ∗(∆N ), ограничивающее сверху норму обратной матрицы Q∗(∆N ). Регулярность разбиения ∆N обеспечивает однозначную разрешимость специальной задачи Коши (2.1), (2.2). Поэтому согласно теореме 2.2 найдется ν1 ∈ N такое, что ∆N ∈ ∈ σν1([0, T ]) и выполняется неравенство ξν1(∆N ) < 1. Оценим ‖Q∗(∆N )−Qν(∆N )‖ ≤ max(1, ‖C‖)× × max r=1,N  eαhr − ν∑ j=0 (αhr) j j! + Tβhr eαhr − ν−1∑ j=0 (αhr) j j!  × × 1 + Tβhr eαhr − ν−1∑ j=0 (αhr) j j!  ‖(I −G(ν,∆N ))−1‖  . Поскольку правая часть неравенства при ν → ∞ стремится к нулю, то найдется ν2, при котором γ∗(∆N ) max(1, ‖C‖) max r=1,N  eαhr − ν∑ j=0 (αhr) j j! + Tβhr eαhr − ν−1∑ j=0 (αhr) j j!  × × 1 + Tβhr eαhr − ν−1∑ j=0 (αhr) j j!  ‖(I −G(ν,∆N ))−1‖  < 1 2 . Тогда по теореме о малых возмущениях ограниченно обратимых операторов матрица Qν(∆N ) будет обратимой для всех ν ≥ ν2 и ‖[Qν(∆N )]−1‖ ≤ γ∗(∆N ) 1− γ∗(∆N )‖Q∗(∆N )−Qν(∆N )‖ ≤ γ∗(∆N ) 1− 1/2 = 2γ∗(∆N ). Выбрав ν̃ > ν2 удовлетворяющим неравенству qν̃(∆N ) < 1, получим утверждение теоре- мы. Теорема 3.2 доказана. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример. На отрезке [0, 1] рассмо- трим краевую задачу для интегро-дифференциального уравнения dx dt = ( 0 t t2 0 ) x+ 1∫ 0 ( t2 0 0 t3 )( 0 s s3 0 ) x(s)ds+ f(t), t ∈ (0; 1), (3.9) x(0) = x(1). (3.10) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 505 Здесь f(t) ∈ C([0, T ], R2). Для этой задачи α = 1, β = 1, T = 1. При h = 1/4 краевая задача с параметрами имеет вид dur dt = ( 0 t t2 0 ) (ur + λr) + 4∑ i=1 i/4∫ (i−1)/4 ( t2 0 0 t3 )( 0 s s3 0 ) (ui(s) + λi)ds+ f(t), ur[(r − 1)/4] = 0, t ∈ [tr−1, tr), r = 1, 4, λ1 = λ4 + lim t→1−0 u4(t), λ1 + lim t→0,25−0 u1(t) = λ2, λ2 + lim t→0,5−0 u2(t) = λ3, λ3 + lim t→0,75−0 u3(t) = λ4. Проверим условия теоремы 3.1 при ν = 2.Матрица I−G(2,∆4) = ( 0, 9985 −0, 0218 −0, 0208 0, 9989 ) обратима, т. е. ∆4 ∈ σ2([0, 1]). Матрица Q2(∆4) = =  0, 9999 −0, 0061 −0, 0006 −0, 0182 −0, 0027 −0, 0304 −1, 0276 −0, 262 −0, 0002 0, 9993 −0, 0025 −0, 0022 −0, 01106 −0, 0044 −0, 223 −1, 0304 1, 00007 0, 0314 −0, 999 0, 0005 0, 000045 0, 00082 0, 00013 0, 0012 0, 0052 1, 00009 0, 000014 −0, 999 0, 00006 0, 000012 0, 00017 0, 00003 0, 000004 0, 00114 1, 0016 0, 097 −0, 999 0, 0057 0, 00096 0, 0081 0, 000014 0, 00003 0, 037 1, 0019 0, 0009 −0, 999 0, 00254 0, 0005 0, 000012 0, 0032 0, 00025 0, 0093 1, 0084 0, 172 −0, 997 0, 022 0, 00006 0, 00019 0, 0009 0, 00064 0, 0103 1, 0095 0, 01106 −0, 997  , также обратима и ‖[Q2(∆4)] −1‖ ≤ 2, 4. Непосредственные вычисления показывают, что ξ2(∆4) = 0, 04106 < 1, q2(∆4) = 0, 07406 < 1. Тогда согласно теореме 3.1 задача (3.9), (3.10) однозначно разрешима. 1. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. — Utrecht; Boston: VSP, 2004. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 506 Д. С. ДЖУМАБАЕВ, Э. А. БАКИРОВА 2. Быков Я. В. О некоторых задачах теории интегро-дифференциальных уравнений. — Фрунзе: Киргиз. гос. ун-т, 1957. — 328 с. 3. Dzhumabaev D. S. A method for solving the linear boundary-value problem for an integro-differential equati- on // Comput. Math. and Math. Phys. — 2010. — 50, № 7. — P. 1150 – 1161. 4. Dzhumabaev D. S. An algorithm for solving a linear two-point boundary-value problem for an integro- differential equation // Comput. Math. and Math. Phys. — 2013. — 53, № 6. — P. 736 – 758. 5. Dzhumabaev D. S., Bakirova E. A. Criteria for the unique solvability of a linear two-point boundary-value problem for systems of integro-differential equations // Different. Equat. — 2013. — 49, № 9. — P. 914 – 937. 6. Иманалиев М. И. Асимптотические методы в теорий сингулярно возмущенных интегро-дифферен- циальных систем. — Фрунзе: Илим, 1972. — 356 с. 7. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных урав- нений. — М.: Наука, 1973. — 272 с. 8. Lakshmikantham V., Rao M. R. M. Theory of integro-differential equations. — London: Gordon Breach, 1995. 9. Некрасов А. И. Об одном классе линейных интегро-дифференциальных уравнений // Тр. ЦАГИ. — 1934. — Вып. 190. — С. 1 – 25. 10. Prüss J. Evolutionary integral equations and applications. — Basel etc.: Birkhäuser-Verlag, 1993. 11. Кривошеин Л. Е. Приближенные методы решения обыкновенных линейных интегро-дифференциаль- ных уравнений. — Фрунзе: АН КиргССР, 1962. 12. Maleknejad K., Attary M. An effecient numerical approximation for the linear Fredholm integro-differential equations based on Cattani’s method // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. — 2011. — 16. — P. 2672 – 2679. 13. Parts I., Pedas A., Tamme E. Piecewise polynomial collocation for Fredholm integro-differential equations with weakly singular kernels // SIAM J. Numer. Anal. — 2005. — 43. — P. 1897 – 1911. 14. Turkyilmazoglu M. An effective approach for numerical solutions of high-order Fredholm integro-differential equations // Appl. Math. and Comput. — 2014. — 227. — P. 384 – 398. 15. Wazwaz A. M. Linear and nonlinear integral equations: methods and applications. — Beijing: Higher Equac. press and Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2011. 16. Dzhumabaev D. S. Necessary and sufficient conditions for the solvability of linear boundary value problems for the Fredholm integro-differential equations // Ukr. Math. J. — 2015. — 66, № 8. — С. 1200 – 1209. 17. Bakirova E. A. Unique solvability of linear boundary-value problem for Fredholm integro-differential equati- ons with degenerate kernel // Int. Math. Conf. "Bogolyubov readings DIF-2013. Differential Equations, Theory of Functions and their Applications"on the occasion of the 75th anniversary of academician A. M. Sa- moilenko (Sevastopol, June 23-30, 2013). — P. 31 – 32. 18. Треногин В. В. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. Получено 18.11.14 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4

Ähnliche Einträge