О построении координатных функций для метода Ритца при расчете неосесимметричных собственных колебаний оболочки вращения в форме купола

Запропоновано системи координатних функцiй при застосуваннi методу Рiтца для знаходження власних форм та частот неосесиметричних коливань тонкостiнних куполоподiбних оболонок обертання. Побудову базисних функцiй здiйснено з урахуванням iндивiдуальних особливостей спектральної задачi, що забезпечує р...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автор:	Троценко, Ю.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2015
Назва видання:	Нелінійні коливання
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177233
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О построении координатных функций для метода Ритца при расчете неосесимметричных собственных колебаний оболочки вращения в форме купола / Ю.В. Троценко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 555-574 — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-177233
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1772332021-02-13T01:26:00Z О построении координатных функций для метода Ритца при расчете неосесимметричных собственных колебаний оболочки вращения в форме купола Троценко, Ю.В. Запропоновано системи координатних функцiй при застосуваннi методу Рiтца для знаходження власних форм та частот неосесиметричних коливань тонкостiнних куполоподiбних оболонок обертання. Побудову базисних функцiй здiйснено з урахуванням iндивiдуальних особливостей спектральної задачi, що забезпечує рiвномiрну збiжнiсть обчислювального процесу. Як приклад наведено розрахунки динамiчних характеристик для оболонки у формi сферичного купола. We propose a system of coordinate functions for a use of the Riesz method to find eigen forms and eigen frequencies of axis nonsymmetric oscillations of a thin rotation shell of a dome form. The construction of basis functions is carried out accounting for particularities of the spectral problem, which provides uniform convergence of the calculation process. As an example, we calculate dynamical characteristics for a shell in the form of a spherical dome. 2015 Article О построении координатных функций для метода Ритца при расчете неосесимметричных собственных колебаний оболочки вращения в форме купола / Ю.В. Троценко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 555-574 — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177233 539.3:534.13 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Запропоновано системи координатних функцiй при застосуваннi методу Рiтца для знаходження власних форм та частот неосесиметричних коливань тонкостiнних куполоподiбних оболонок обертання. Побудову базисних функцiй здiйснено з урахуванням iндивiдуальних особливостей спектральної задачi, що забезпечує рiвномiрну збiжнiсть обчислювального процесу. Як приклад наведено розрахунки динамiчних характеристик для оболонки у формi сферичного купола.
format	Article
author	Троценко, Ю.В.
spellingShingle	Троценко, Ю.В. О построении координатных функций для метода Ритца при расчете неосесимметричных собственных колебаний оболочки вращения в форме купола Нелінійні коливання
author_facet	Троценко, Ю.В.
author_sort	Троценко, Ю.В.
title	О построении координатных функций для метода Ритца при расчете неосесимметричных собственных колебаний оболочки вращения в форме купола
title_short	О построении координатных функций для метода Ритца при расчете неосесимметричных собственных колебаний оболочки вращения в форме купола
title_full	О построении координатных функций для метода Ритца при расчете неосесимметричных собственных колебаний оболочки вращения в форме купола
title_fullStr	О построении координатных функций для метода Ритца при расчете неосесимметричных собственных колебаний оболочки вращения в форме купола
title_full_unstemmed	О построении координатных функций для метода Ритца при расчете неосесимметричных собственных колебаний оболочки вращения в форме купола
title_sort	о построении координатных функций для метода ритца при расчете неосесимметричных собственных колебаний оболочки вращения в форме купола
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2015
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177233
citation_txt	О построении координатных функций для метода Ритца при расчете неосесимметричных собственных колебаний оболочки вращения в форме купола / Ю.В. Троценко // Нелінійні коливання. — 2015. — Т. 18, № 4. — С. 555-574 — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT trocenkoûv opostroeniikoordinatnyhfunkcijdlâmetodaritcaprirasčeteneosesimmetričnyhsobstvennyhkolebanijoboločkivraŝeniâvformekupola
first_indexed	2025-07-15T15:16:17Z
last_indexed	2025-07-15T15:16:17Z
_version_	1837726515051102208
fulltext	УДК 539.3:534.13 О ПОСТРОЕНИИ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ МЕТОДА РИТЦА ПРИ РАСЧЕТЕ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ В ФОРМЕ КУПОЛА Ю. В. Троценко Ин-т математики НАН Украины ул. Терещенковская, 3, Киев, 01601, Украина e-mail: trots@imath.kiev.ua We propose a system of coordinate functions for a use of the Riesz method to find eigen forms and eigen frequencies of axis nonsymmetric oscillations of a thin rotation shell of a dome form. The construction of basis functions is carried out accounting for particularities of the spectral problem, which provides uniform convergence of the calculation process. As an example, we calculate dynamical characteristics for a shell in the form of a spherical dome. Запропоновано системи координатних функцiй при застосуваннi методу Рiтца для знаходжен- ня власних форм та частот неосесиметричних коливань тонкостiнних куполоподiбних оболо- нок обертання. Побудову базисних функцiй здiйснено з урахуванням iндивiдуальних особливос- тей спектральної задачi, що забезпечує рiвномiрну збiжнiсть обчислювального процесу. Як приклад наведено розрахунки динамiчних характеристик для оболонки у формi сферично- го купола. Введение. Разработке аналитических и численных методов для решения задач о соб- ственных и вынужденных колебаниях оболочек вращения посвящено достаточно боль- шое количество работ (см., например, [1 – 7]). Несмотря на привлекательность получения приближенного решения задач в аналити- ческой форме, метод Ритца не нашел достаточного применения для решения спектраль- ных задач теории тонкостенных оболочек. Это связано, в первую очередь, с проблемой выбора базисных функций, которые бы гарантированно обеспечивали сходимость реше- ний, а при необходимости исследования динамической прочности — поточечную сходи- мость и их первых трех производных при достаточно малых значениях толщины оболоч- ки. Это объясняется тем, что при существенном уменьшении толщины оболочки исход- ная задача переходит в разряд сингулярно возмущенных краевых задач, для которых ха- рактерно наличие высоких градиентов в решениях и их производных, локализованных в малой окрестности граничных точек. Аппроксимация таких решений известными конеч- ными рядами, без учета этих особенностей, не приводит к положительному результату. Возникает задача разработки такого метода решения краевых задач для уравнений с параметром при старшей производной, который бы имел одинаковую скорость сходимос- ти как при малых, так и средних его значениях. Такие методы в литературе называют равномерно сходящимися методами по параметру [8]. Настоящая работа посвящена развитию метода Ритца для построения решения спект- ральной задачи о свободных неосесимметричных колебаниях куполообразных оболо- чек вращения, имеющего равномерную сходимость как по малому параметру при стар- шей производной в исходных уравнениях, так и по независимой переменной. При этом c© Ю. В. Троценко, 2015 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 555 556 Ю. В. ТРОЦЕНКО предварительно учитывается формальная структура фундаментальных решений исход- ной системы уравнений для оболочек вращения в форме купола, полученная с исполь- зованием элементов аналитической теории дифференциальных уравнений с малым па- раметром при старших производных и уравнений с регулярной особой точкой. На этой основе построены системы базисных функций для аппроксимации искомых решений. Разработан способ формирования алгебраических уравнений в методе Ритца с использо- ванием вариации исходного функционала, который в дальнейшем значительно упрощает процедуру программирования предложенного здесь алгоритма расчета динамических ха- рактеристик рассматриваемой оболочки. Эффективность подхода проанализирована на задаче о неосесимметричных колебаниях сферического купола. Решение задачи об осе- симметричных колебаниях рассматриваемой оболочки приведено в работе [6]. Основные параметры механической системы. 1. Постановка задачи. Рассмотрим тонкостенную упругую оболочку, срединная по- верхность которой является поверхностью вращения. Предполагается, что оболочка ограничена одной параллелью и имеет вершину. В качестве ортогональных криволи- нейных координат выберем длину дуги образующей s (0 6 s 6 s1) и угол в окружном направлении β. Обозначим через R1 и R2 главные радиусы кривизны срединной поверх- ности оболочки, а через r = r(s) расстояние от точки меридиана до оси вращения. Про- екции перемещения точек срединной поверхности оболочки на направления образую- щей, параллели и внешней нормали обозначим соответственно через u1, u2 и u3 (см. ри- сунок). Рассмотрим установившиеся свободные неосесимметричные колебания оболочки с частотой ω и n волнами в окружном направлении. Перемещения оболочки можно пред- ставить в виде u1 = u(s) cosnβ sinωt, u2 = v(s) sinnβ sinωt, u3 = w(s) cosnβ sinωt, n > 0. Обозначим через R0 какой-либо характерный линейный размер оболочки. Тогда после перехода к безразмерным величинам уравнения для определения вектор-функции ~u = {u, v, w} и частоты колебаний ω можно представить в виде [9] A~u− λ~u = 0, (1) где A = µ4K + L, µ4 = h2 12R2 0 , λ = (1− ν2)ρR2 0ω 2 E , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 О ПОСТРОЕНИИ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ МЕТОДА РИТЦА . . . 557 h — толщина оболочки, E, ν и ρ — модуль Юнга, коэффициент Пуассона и плотность материала оболочки. Дифференциальные выражения, входящие в матрицы L и K, имеют вид L11 = − d ds 1 r d ds r + 1− ν 2 ( n2 r2 − 2 R1R2 ) , L12 = −n d ds 1 r + 1− ν 2 n r2 d ds r, L13 = 1− ν R2 d ds − d ds ( 1 R1 + 1 R2 ) , L21 = n r2 d ds r − (1− ν)n 2 d ds 1 r , L22 = ( n2 r2 − 1− ν R1R2 ) − (1− ν) 2 d ds 1 r d ds r, L23 = n r ( ν R1 + 1 R2 ) , L31 = 1 r ( 1 R1 + 1 R2 ) d ds r − 1− ν r d ds r R2 , L32 = n r ( ν R1 + 1 R2 ) , L33 = 1 R2 1 + 2ν R1R2 + 1 R2 2 , ∆n = 1 r d ds r d ds − n2 r2 , K33 = ∆n∆n + 1− ν r ( d ds r R1R2 d ds − n2 rR1R2 ) , Kij = 0 при i+ j < 6. При выводе уравнений (1) в формулах для изменения кривизны и кручения поверх- ности деформированной оболочки были удержаны члены, содержащие только компо- ненту перемещения w(s). Такие уравнения получили название уравнений Муштари – До- нелла – Власова, которые нашли широкое применение при расчете оболочечных конструкций. Безразмерные усилия и моменты, действующие в срединной поверхности оболочки, связаны с ее деформациями по формулам T1 = ε1 + νε2, T2 = ε2 + νε1, S = 1− ν 2 γ12, c2 = µ4, M1 = c2(κ1 + νκ2), M2 = c2(κ2 + νκ1), H = (1− ν)c2τ. Формулы, выражающие зависимость деформаций срединной поверхности и параметров изменения ее кривизны от компонент перемещения, имеют вид ε1 = du ds + w R1 , ε2 = n r v + r ′ r u+ w R2 , γ12 = −n r u+ dv ds − r ′ r v, κ1 = −d 2w ds2 , κ2 = n2 r2 w − r ′ r dw ds , (2) τ = n r dw ds − r ′n r2 w. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 558 Ю. В. ТРОЦЕНКО Решения системы уравнений (1), имеющей восьмой порядок, должны быть подчине- ны соответствующим однородным граничным условиям. Граничные условия накладыва- ются либо на перемещения оболочки, либо на соответствующие им силы. Например, для абсолютно жесткого закрепления края оболочки при s = s1 эти условия имеют вид[ u = v = w = dw ds = 0 ] s=s1 . (3) При свободном перемещении края оболочки имеют место следующие силовые гранич- ные условия: [ T1 = S = Q̃1 = M1 = 0 ] s=s1 . (4) Здесь Q̃1 — обобщенная поперечная сила, которая в безразмерных величинах выражает- ся через нормальное перемещение точек оболочки по формулам Q̃1 = −c2 [ d ds 4w + 1− ν R1R2 dw ds − (1− ν)n2 r2 ( dw ds − r ′ r w )] , 4w = 1 r d ds ( r dw ds ) − n2 r2 w. (5) Следует отметить, что формулы (5) справедливы для оболочек вращения с постоянной толщиной стенки h. В других случаях крепления края оболочки используется комбинация условий (3) и (5). Эквивалентную вариационную формулировку исходной спектральной задачи можно получить из принципа возможных перемещений, согласно которому δΠ = δA. Здесь δΠ — вариация потенциальной энергии деформации оболочки, δA — работа внеш- них сил, приложенных к оболочке на ее возможных перемещениях, которые могут быть представлены в виде [10] δΠ = s1∫ 0 (T1δε1 + T2δε2 + Sδγ12 +M1δκ1 +M2δκ2 + 2Hδτ)rds, δA = s1∫ 0 ~Q · δ~ur ds. (6) В соответствии с принципом Даламбера заменим действующую на оболочку нагрузку ~Q соответствующими силами инерции. Тогда δA будет иметь вид δA = λ s1∫ 0 (uδu+ vδv + wδw)rds. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 О ПОСТРОЕНИИ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ МЕТОДА РИТЦА . . . 559 Таким образом, исходная спектральная задача сведена к отысканию стационарных зна- чений для функционала I : I(~u) = s1∫ 0 Φ(~u)r ds. (7) Выражение для функции Φ(~u) здесь не приводится вследствие его громоздкости. С по- мощью обычных средств вариационного исчисления можно показать, что уравнениями Эйлера и естественными граничными условиями для функционала (7) являются соответ- ственно уравнения (1) и граничные условия (4). 2. Формальная структура интегралов исходных уравнений для оболочек в форме ку- пола. Под куполообразными будем понимать такие оболочки, для которых в вершине имеется горизонтальная касательная плоскость и для радиусов кривизны выполняются соотношения (R1)s=0 = (R2)s=0 = R. Для таких оболочек r(s) будет аналитической и нечетной функцией, которую в окрест- ности точки s = 0 можно представить в виде разложения r(s) = s ( 1− 1 6R2 s2 + a4s 4 + . . . ) . (8) При решении краевых задач на основе метода Ритца выбор аппроксимирующих выра- жений для искомых функций существенно влияет на конечный результат и объем вы- числений, необходимый для его получения. Поэтому в дальнейшем построение систем координатных функций будем осуществлять на основе максимального учета особеннос- тей задачи, порождающих медленную сходимость вычислительного процесса. Одной из особенностей рассматриваемых уравнений является вырождение некото- рых их коэффициентов при s, стремящемся к нулю. При численном интегрировании этих уравнений в литературе имеются различные рекомендации приближенного характера, позволяющие обойти эту трудность. Так, в работе [11] предлагается считать, что в полю- се оболочки имеется отверстие малого радиуса r0 c некоторыми граничными условиями на его контуре. В работе [12] предлагается малую окрестность вблизи полюса оболоч- ки заменить круглой упругой пластинкой с использованием для нее имеющихся точных решений. Такие подходы позволяют с определенной точностью вычислять частоты коле- баний оболочки и не дают возможности определения ее напряженно-деформированного состояния. Второй характерной особенностью задачи является наличие параметра c2 при стар- шей производной в исходных уравнениях, который для тонкостенных оболочек может принимать малые значения. В этом случае для решений характерно наличие медленно меняющейся части и части решения с большими производными, которая локализована в окрестности края оболочки. Эта часть плохо аппроксимируется полиномиальным бази- сом. В связи с этим выясним структуру фундаментальных интегралов исходных уравне- ний, используя аналитическую теорию дифференциальных уравнений [13, 14]. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 560 Ю. В. ТРОЦЕНКО Первые интегралы уравнений (1), которые принимают ограниченные значения при s = 0, будем искать в виде прямого разложения по параметру µ: u = ∞∑ k=0 µ4kuk(s), v = ∞∑ k=0 µ4kvk(s), w = ∞∑ k=0 µ4kwk(s). (9) Для определения функций uk(s), vk(s) иwk(s) подставим разложения (9) в уравнения (1) и приравняем к нулю коэффициенты при различных степенях параметра µ. При µ = 0 по- лучим систему дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно функ- ций u0(s), v0(s) и w0(s), которую можно привести к виду α1 du0 ds + α2u0 + α3v0 + α4w0 = 0, β1 d2v0 ds2 + β2 dv0 ds + β3v0 + β4 du0 ds + β5u0 + β6w0 = 0, (10) γ1 dw0 ds + γ2w0 + γ3u0 + γ4 dv0 ds + γ5v0 = 0. Переменные коэффициенты уравнений (10) определяются по формулам α1 = 1 R1 + ν R2 , α2 = r′ r ( ν R1 + 1 R2 ) , α3 = n r ( ν R1 + 1 R2 ) , α4 = 1 R2 1 + 2ν R1R2 + 1 R2 2 − λ, β1 = 1− ν 2 , β2 = β1 r′ r , β3 = 1− ν R1R2 + 1− ν 2 ( r′ r )′ − n2 r2 + λ, β4 = −n(1 + ν) 2r , β5 = −(3− ν)nr′ 2r2 , β6 = −n r ( ν R1 + 1 R2 ) , γ1 = −α1 ( λ− 1− ν2 R2 2 ) , γ2 = (1− ν2) [ 1 R2 2 ( 1 R2 − 1 R1 )′ + 2 R1R2 ( 1 R2 )′] + + λ [( 1 R1 )′ + (2ν − 1) ( 1 R2 )′] , γ3 = (ν − 1) ( r′ r )′( 1 R2 1 + ν − 1 R1R2 − ν R2 2 ) + (ν2 − 1) r′ r [ 1 R2 ( 1 R1 )′ − 1 R1 ( 1 R2 )′] + + (1− ν) ( r′ r )2( ν R2 1 + 1− ν R1R2 − 1 R2 2 ) − α2 1 ( λ+ 1− ν R1R2 − β1 n2 r2 ) , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 О ПОСТРОЕНИИ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ МЕТОДА РИТЦА . . . 561 γ4 = α1α3 + α2 1β4, γ5 = α1α ′ 3 − β5α2 1 − α2α3 − α′1α3 + r′ r α1α3. Очевидно, что функции u0(s), v0(s) и w0(s) определяют решения для уравнений без- моментной теории оболочек вращения. Определение последующих членов разложений (9) сводится к интегрированию систе- мы уравнений (10), правые части которой содержат некоторые операторы от решений, найденных на предыдущем приближении. Поскольку высшие приближения в разложе- ниях (9) не влияют на структуру решений нулевого приближения, ниже установим пове- дение интегралов уравнений (10) в окрестности точки s = 0. Для этого сведем исходную систему уравнений к нормальному виду, коэффициенты которой являются аналитиче- скими функциями при s ∈ [0, s1]. Заметим при этом, что с учетом разложения (8) коэф- фициенты α2, α3, β2, β4, β6 и γ4 имеют полюсы первого порядка, а коэффициенты β3, β5, γ3 и γ5 — полюсы второго порядка при s → 0. Остальные коэффициенты являются аналитическими функциями. Введем в рассмотрение новые функции y1 = u0, y2 = v0, y3 = sw0, y4 = s dv0 ds . Тогда систему уравнений (10) можно свести к системе четырех уравнений первого поряд- ка, разрешенных относительно производных. В векторно-матричной форме эта система примет вид s d~y ds = F (s, λ)~y. (11) Здесь ~y — вектор с компонентами yi, i = 1, 4, а элементы матрицы F (s, λ) определяются по формулам f11 = −α2 α1 s, f12 = −α3 α1 s, f13 = −α4 α1 , f14 = 0, f21 = f22 = f23 = 0, f24 = 1, f31 = −γ3 γ1 s2, f32 = −γ5 γ1 s2, f33 = 1− γ2 γ1 s, f34 = −γ4 γ1 s, f41 = ( α2β4 α1β1 − β5 β1 ) s2, f42 = ( α3β4 α1β1 − β3 β1 ) s2, f43 = ( α4β4 α1β1 − β6 β1 ) s, f44 = 1− β2 β1 s. Следует отметить, что в таком представлении исходной системы дифференциальных уравнений все функции fpq(s) являются аналитическими функциями при s ∈ [0, s1] и не обращаются одновременно в нуль в точке s = 0. Из вида уравнений (11) следует, что точка s = 0 является регулярной особой точкой для этих уравнений [13]. Для построения интегралов уравнений (11) будем пользоваться обобщенным методом степенных рядов. С учетом разложения (8) матрицу F (s, λ) можно представить в виде ряда, располо- женного по четным степеням независимой переменной s: F (s, λ) = ∞∑ i=0 F2is 2i. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 562 Ю. В. ТРОЦЕНКО Здесь матрицы F2i имеют следующую структуру: F0 = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ f (0) 11 f (0) 12 f (0) 13 0 0 0 0 1 f (0) 31 f (0) 32 f (0) 33 f (0) 34 f (0) 41 f (0) 42 f (0) 43 0 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , F2i = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ f (2i) 11 f (2i) 12 f (2i) 13 0 0 0 0 0 f (2i) 31 f (2i) 32 f (2i) 33 f (2i) 34 f (2i) 41 f (2i) 42 f (2i) 43 f (2i) 44 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , k = 1, 2, . . . , где f (0) 11 = −1, f (0) 12 = −n, f (0) 13 = λR 1 + ν − 2 R , f (0) 31 = n2(1− ν2) 2Rb (0) 0 , f (0) 32 = n(1− ν2) 2Rb (0) 0 , b (0) 0 = λ− 1− ν2 R2 , f (0) 33 = 1, f (0) 34 = f (0) 32 , f (0) 41 = 2n, f (0) 42 = 1 + n2, f (0) 43 = nλR 1− ν . Выражения для последующих элементов матриц F2i здесь не приводятся вследствие их громоздкости. Решение системы (11) будем искать в виде yi = sσ ∞∑ k=0 gi,ks k, i = 1, 4. (12) В этих разложениях σ и gi,k — неопределенные постоянные. Воспользовавшись далее формулой Коши для умножения степенных рядов, получим fp,qyq = sσ ∞∑ k=0 k∑ j=0 gq,jf (k−j) p,q sk, p, q = 1, 4. (13) Подстановка рядов (12) и (13) в уравнения (11) и приравнивание коэффициентов при sσ в обеих частях полученного равенства приводят к однородной алгебраической системе относительно первых коэффициентов разложений (12), которая в матричном представ- лении будет иметь вид (F0 − σE)~g0 = 0, (14) где E — единичная матрица, ~g0 — вектор с компонентами gi,0, i = 1, 4. Приравнивание коэффициентов при sσ+k, k = 1, 2, . . . , приводит к неоднородным алгебраическим системам вида [F0 − (σ + k)]~gk = ~dk. (15) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 О ПОСТРОЕНИИ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ МЕТОДА РИТЦА . . . 563 Здесь ~gk — векторы с компонентами gi,k, а ~dk — векторы с компонентами d(k)i , которые определяются по формулам d (k) i = − 4∑ q=1 k−1∑ j=0 gq,jf (k−j) i,q . Таким образом, определение показателя σ и коэффициентов разложений (12) свелось к решению однородной алгебраической системы (14) относительно вектора ~g0 и после- довательности неоднородных систем (15) относительно векторов ~gk, k = 1, 2, . . . , правые части которых линейно выражаются через k − 1 решение предыдущих алгебраических систем. Из условия существования нетривиального решения системы (14) получаем характе- ристическое уравнение четвертого порядка относительно показателя σ: a4σ 4 + a3σ 3 + a2σ 2 + a1σ + a0 = 0, (16) где a4 = 1, a3 = 0, a2 = −1− f (0)32 f (0) 43 − f (0) 13 f (0) 31 − f (0) 42 , a1 = −f (0)13 f (0) 32 f (0) 41 − f (0) 32 f (0) 43 − f (0) 12 f (0) 41 − f (0) 32 f (0) 43 , a0 = −f (0)32 f (0) 43 + f (0) 13 f (0) 31 f (0) 42 + f (0) 12 f (0) 41 − f (0) 13 f (0) 32 f (0) 41 + f (0) 42 − f (0) 12 f (0) 31 f (0) 43 . С учетом выражений для коэффициентов f (0)ij после ряда преобразований можно по- казать, что корни уравнения (16), расположенные в порядке их убывания, принимают следующие целочисленные значения: σ1 = n+ 1, σ2 = n− 1, σ3 = −(n− 1), σ4 = −(n+ 1). Полагая в уравнениях (14) и (15) σ = σ1 и решая последовательности алгебраиче- ских уравнений, можно убедиться в том, что первое решение системы уравнений (11) для функций y(1)i , i = 1, 2, 3, принимает вид y (1) 1 = sn+1 ∞∑ k=0 g (1) 1,2ks 2k, y (1) 2 = sn+1 ∞∑ k=0 g (1) 2,2ks 2k, y (1) 3 = sn+1 ∞∑ k=0 g (1) 3,2ks 2k. (17) Здесь и в дальнейшем верхний индекс при yi и gi,k будет обозначать номер найденного частного решения. Заметим, что ряды (17) будут сходящимися рядами в области сходимости для рядов элементов матрицы F (s, λ). Для получения других интегралов уравнений, когда корни характеристического урав- нения отличаются от наибольшего корня на целое число, в общем случае необходимо понизить порядок исходной системы с помощью одного найденного ее решения, а затем для получения решения этой новой системы применить опять описанный выше прием. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 564 Ю. В. ТРОЦЕНКО На этом пути получаются решения, которые будут иметь логарифмические члены. Так можно действовать лишь только тогда, когда удается убедиться в том, что для случая σ = σ2 решений неоднородных систем (15) не существует. В противном случае возникает опасность потери ограниченного в точке s = 0 интеграла, что приведет к ошибочному представлению общего решения системы (11) в окрестности полюса оболочки. Положим в уравнениях (14) и (15) σ = σ2 и покажем, что в этом случае существует ограниченный в точке s = 0 интеграл системы (11). Поскольку при σ = σ2 определитель системы (14) равен нулю, ее нетривиальное решение существует. При этом получим g (2) 1,0 = −g(2)2,0, g (2) 3,0 = 0. (18) При k = 1 система (15) будет однородной системой уравнений, определитель которой не равен нулю. Поэтому g (2) 1,1 = g (2) 2,1, g (2) 3,1 = 0. Для случая k = 2 имеем неоднородную алгебраическую систему четвертого порядка, определитель которой равен нулю, так как σ2 + 2 является корнем характеристическо- го уравнения. После несложных, но довольно громоздких вычислений можно показать, что ранг матрицы, составленной из коэффициентов уравнений при неизвестных, равен трем и совпадает с рангом расширенной матрицы. Следовательно, полученная система является совместной и допускает существование нетривиального решения. При k = 3 имеем однородную систему с неравным нулю определителем. Следова- тельно, g (2) 1,3 = g (2) 2,3 = g (2) 3,3 = 0. Воспользовавшись методом математической индукции, можно показать, что второе регулярное решение для функций y1, y2 и y3 будет иметь следующую структуру: y (2) 1 = sn−1 ∞∑ k=0 g (2) 1,2ks 2k, y (2) 2 = sn−1 ∞∑ k=0 g (2) 2,2ks 2k, y (2) 3 = sn−1 ∞∑ k=0 g (2) 3,2ks 2k. (19) При этом первые коэффициенты этих разложений должны подчиняться условиям (18). Решение рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, которые соответ- ствуют корням характеристического уравнения σ3 и σ4, будут неограниченными при s = = 0. Таким образом, с помощью прямого разложения решений по малому параметру (9) получены асимптотические представления (17) и (19) двух регулярных решений урав- нений неосесимметричных колебаний тонкой упругой оболочки в окрестности верши- ны купола. В соответствии с теорией сингулярно возмущенных уравнений [13, 14] два остальных интеграла исходных уравнений должны включать в себя экспоненциальный множитель. При этом можно показать, что эти решения имеют следующее формальное ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 О ПОСТРОЕНИИ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ МЕТОДА РИТЦА . . . 565 представление [15]: u(j)(s) = µγ(j)(s) ∞∑ k=0 µk { ∞∑ i=0 u (j) k,i(s− s1) i } , v(j)(s) = µ2γ(j)(s) ∞∑ k=0 µk { ∞∑ i=0 v (j) k,i (s− s1) i } , (20) w(j)(s) = γ(j)(s) ∞∑ k=0 µk { ∞∑ i=0 w (j) k,i (s− s1) i } , j = 3, 4. Здесь u(j)k,i , v (j) k,i , w (j) k,i — неизвестные коэффициенты разложений, j — индекс, указываю- щий на номер найденного частного решения, γ(j)(s) = { eβ(s) cos(β(s)) при j = 3, eβ(s) sin(β(s)) при j = 4, β(s) = 1 µ √ 2 s∫ s1 \|b0(t)\|1/4dt, b0(s) = λ− 1− ν2 R2 2(s) , b0(s) < 0 при s ∈ [0, s1]. Последнее неравенство означает, что будем рассматривать низшую часть спектра частот. Эти решения при малых значениях параметра µ являются сильно осциллирующими и экспоненциально затухающими при удалении от края оболочки. Поэтому нельзя рас- считывать на то, что классические методы решения данной спектральной задачи будут одинаково хорошо работать во всей области изменения параметра µ. Их использование аналогично аппроксимации экспоненциальной функции отрезком ряда Тейлора или ра- циональной аппроксимации Паде. В случае оболочек вращения, для которых интеграл в выражении для β(s) не вычис- ляется в элементарных функциях, функции γ(j)(s) в соответствии с работой [14] можно представить в виде γ(j)(s) = γ (j) 0 ∞∑ k=0 µkP (j) k (η), (21) где γ (j) 0 = γ(j)(β(s) = β0(s)), β0(s) = p(s− s1), p = 1√ 2µ 4 √ \|b0(s1)\|, η = s− s1 µ , P (j) k (η) — полином с постоянными коэффициентами, зависящими от коэффициентов урав- нений (1) и их производных в точке s = s1. При построении интегралов (20) предполагалось, что область имеет такие геометри- ческие параметры, при которых можно пренебречь влиянием функций погранслоя на по- ведение решений в окрестности ее полюса. Для тех оболочек, для которых это условие ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 566 Ю. В. ТРОЦЕНКО не выполняется, пользоваться формулами (20) нельзя. В этом случае необходимо строить два ограниченных интеграла в окрестности точки s = 0 с большой изменяемостью, ко- торые растут при удалении от полюса оболочки. Поскольку точка s = 0 является ре- гулярной особой точкой для исходных уравнений, такие интегралы должны иметь уста- новленную асимптотику в окрестности этой точки. Поэтому интегралы с большой изме- няемостью вместо экспоненциального множителя должны содержать множитель другой структуры, обеспечивающий асимптотику решений при s → 0 и аналитичность функций uk(s), vk(s) и wk(s), стоящих при этом множителе. В силу этого асимптотическое интег- рирование исходных уравнений в этом случае существенно усложняется. Полученные выше результаты качественного характера о поведении интегралов урав- нений, описывающих собственные колебания тонкостенной оболочки вращения в форме купола, могут быть использованы для построения систем базисных функций при реше- нии исходной задачи методом Ритца. 3. Применение метода Ритца к построению приближенного решения. Для нахожде- ния структуры общего решения системы (1) составим линейную комбинацию интегралов (17), (19) и (20). Учитывая представление погранслойных функций Вышика – Люстерника (21), общее решение после перегруппировки членов в выражениях (20) можно предста- вить в виде [u, v, w] = R[u, v, w] + expβ0(s) cosβ0(s) ∞∑ i=0 [ui,1, vi,1, wi,1](s− s1)i+ + expβ0(s) sinβ0(s) ∞∑ i=0 [ui,2, vi,2, wi,2](s− s1)i. (22) Здесь в квадратных скобках указаны функции и соответствующие им неизвестные коэф- фициенты, включающие в себя также параметр µ, R[u, v, w] — регулярная часть общего решения, структуру которой можно представить в виде u = sn−1(a1 + a2s 2 + a3s 4 + . . .), v = sn−1(b1 + b2s 2 + b3s 4 + . . .), (23) w = sn(c1 + c2s 2 + c3s 4 + . . .). При этом первые коэффициенты при s(n−1) подчинены условию b1 = −a1. (24) Представления (23) показывают, что вырождение некоторых коэффициентов урав- нений (1) при s → 0 порождает вполне определенную асимптотику искомых решений, зависящую от числа волн n оболочки в окружном направлении. Эта асимптотика с уче- том зависимости (24) обеспечивает конечность перемещений и деформаций оболочки (2) в ее полюсе. Следует отметить, что асимптотика решений (23) совпадает с асимпто- тикой из работы [16], которая получена на основе использования упрощенного варианта метода Фробениуса. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 О ПОСТРОЕНИИ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ МЕТОДА РИТЦА . . . 567 По сути, представления решений в форме (22) включают в себя все последователь- ные приближения при асимптотическом интегрировании сингулярно возмущенных урав- нений. В дальнейшем неопределенные коэффициенты в разложениях (22) и (23) будем находить из главных граничных условий задачи и условий стационарности соответству- ющего квадратичного функционала. Заметим, что если решения искать в виде разложения в степенные ряды (за исклю- чением первых членов ряда для обеспечения конечности деформаций при s → 0), то построенные на такой основе базисы для аппроксимации решений в соответствии с пред- ставлением (23) будут неполными. Это приводит к медленной сходимости рядов для иско- мых функций. Построение систем координатных функций осуществляется на основе подчинения об- щего решения (22) главным граничным условиям исходной спектральной задачи. Исходя из этих условий получим некоторые дополнительные соотношения между коэффициен- тами в разложениях для искомых функций. Подставляя эти соотношения в общий вид решения, после ряда преобразований находим системы базисных функций для аппрокси- мации решений. Оценка влияния погранслойных координатных функций на определение решений c помощью метода Ритца была выполнена в работах [6, 15]. При этом было показано, что предложенный алгоритм решения рассматриваемой спектральной задачи имеет равно- мерную сходимость по малому параметру µ. Кроме этого он позволяет вычислять пере- резывающие силы и моменты в любой точке срединной поверхности оболочки, значения которых необходимы при анализе динамической прочности конструкции. В связи с этим оценим возможности регулярного базиса, построенного на основе установленного выше асимптотического поведения исходных уравнений в окрестности полюса оболочки. В соответствии с изложенным выше, функции u(s), v(s) и w(s) можно представить в виде следующих отрезков обобщенных рядов: u = N∑ j=1 xjUj(s), v = N∑ j=1 xN+jVj(s), w = N∑ j=1 x2N+jWj(s), (25) где U1(s) = (s2 − s21)sn−1, W1(s) = (s2 − s21)2sn, Uj+1(s) = Uj(s)s 2, Wj+1(s) = Wj(s)s 2, j = 1, N − 1. Здесь xj — неопределенные постоянные, Uj(s), Vj(s), Wj(s) — системы координатных функций, удовлетворяющие лишь кинематическим граничным условиям задачи при s = = s1. Кроме того, в соответствии с асимптотикой (23) в разложениях (25) следует поло- жить xN+1 = −x1. Поскольку граничные условия для u(s) и v(s) имеют одинаковый вид, то Vj(s) = Uj(s), j = 1, N. Приведенные системы координатных функций оказываются пригодными лишь для тех случаев, когда в разложениях (25) можно удерживать небольшое количество чле- ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 568 Ю. В. ТРОЦЕНКО нов N, так как при больших значениях N наблюдается потеря устойчивости вычисле- ний. Поэтому в дальнейшем, не нарушая полноты представления решений, степенные функции заменим соответствующими полиномами Лежандра, которые являются линей- ными комбинациями степенных функций. Построенные таким образом системы базис- ных функций позволяют существенно увеличить количество членов в разложениях (25) по отношению к степенному базису и тем самым расширить диапазон входных парамет- ров задачи, при которых можно проводить расчеты с заданной точностью. Эти системы координатных функций можно представить в виде u1(s) = sn−1(s2 − s21), Ui(s) = u1(s) [ P2i−2 ( s s1 ) − P2i−2(0) ] , w1(s) = sn(s2 − s21)2, Wi(s) = w1(s) [ P2i−2 ( s s1 ) − P2i−2(0) ] , i = 2, 3, . . . , где Pj(s) — многочлены Лежандра. Подставим разложения (25) в функционал (7). Из необходимых условий стационар- ности этого функционала получим однородную систему алгебраических уравнений (A− λB) ~XT = 0, (26) в которой вектор ~X имеет коэффициенты ~X = {x1, x2, . . . , xN ,−x1, xN+2, xN+3, . . . , x2N , x2N+1, x2N+2, . . . , x3N} . Определение элементов матрицы A с использованием выражения (6) для вариации потенциальной энергии деформации оболочки приводит к достаточно громоздким фор- мулам. Эту задачу можно существенно упростить, если представить вариацию функцио- нала I в виде δI = s1∫ 0 [Ψ11(u, δu) + Ψ12(v, δu) + Ψ13(w, δu) + Ψ12(δv, u) + Ψ22(v, δv) + + Ψ23(w, δv) + Ψ13(δw, u) + Ψ23(δw, v) + Ψ33(w, δw)]rds− − λ s1∫ 0 (uδu+ vδv + wδw)rds. (27) Введенные здесь операторы Ψij(p, q) определяются по формулам Ψ11(p, q) = ( dp ds + νr ′ r p ) dq ds + [ ν r ′ r dp ds + ( r ′ r )2 p+ n2ν1 r2 p ] q, Ψ12(p, q) = nr ′ r2 (1 + ν1)pq + νn r p dq ds − ν1n r dp ds q, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 О ПОСТРОЕНИИ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ МЕТОДА РИТЦА . . . 569 Ψ13(p, q) = ( 1 R1 + ν R2 ) p dq ds + r ′ r ( 1 R2 + ν R1 ) pq, Ψ22(p, q) = [ n2 r2 + ν1 ( r ′ r )2 ] pq + ν1 ( dp ds − r ′ r p ) dq ds − ν1 r ′ r dp ds q, Ψ23(p, q) = n r ( 1 R2 + ν R1 ) pq, Ψ33(p, q) = ( 1 R2 1 + 2ν R1R2 + 1 R2 2 ) pq+ + c2 { n4 + 4ν1n 2(r ′)2 r4 pq + d2p ds2 d2q ds2 + [ νr ′ r d2p ds2 + (r ′)2 + 4ν1n 2 r2 dp ds − − n2r ′ r3 (1 + 4ν1)p ] dq ds − [ νn2 r2 d2p ds2 + n2r ′ r3 (1 + 4ν1) dp ds ] q+ + [ νr ′ r dp ds − νn2 r2 p ] d2q ds2 } , где ν1 = 1− ν 2 , p и q — произвольные, достаточное число раз дифференцируемые функ- ции. Используя выражение (27), для элементов матрицыA можно получить компактные и удобные для программирования формулы. Так, элементы αi,j верхней части относитель- но главной диагонали симметричной матрицы A можно представить следующим обра- зом: α1,1 = s1∫ 0 [Ψ11(U1, U1)− 2Ψ12(U1, U1) + Ψ22(U1, U1)] rds, α1,j = s1∫ 0 [Ψ11(Uj , U1)−Ψ12(U1, Uj)] rds, α1,j+N−1 = s1∫ 0 [Ψ12(Vj , U1)−Ψ22(Vj , U1)] rds, j = 2, N, α1,j+2N−1 = s1∫ 0 [Ψ13(Wj , U1)−Ψ23(Wj , U1)] rds, j = 1, N, αi,j = s1∫ 0 Ψ11(Uj , Ui)rds, i = 2, N, j = i,N, (28) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 570 Ю. В. ТРОЦЕНКО αi,j+N−1 = s1∫ 0 Ψ12(Vj , Ui)rds, i, j = 2, N, αi,j+2N−1 = s1∫ 0 Ψ13(Wj , Ui)rds, i = 2, N, j = 1, N, αi+N−1,j+N−1 = s1∫ 0 Ψ22(Vj , Vi)rds, i = 2, N, j = i,N, αi+N−1,j+2N−1 = s1∫ 0 Ψ23(Wj , Vi)rds, i = 2, N, j = 1, N, αi+2N−1,j+2N−1 = s1∫ 0 Ψ33(Wj ,Wi)rds, i = 1, N, j = i,N. Симметричность матрицы A следует из симметричности исходного оператора, поро- жденного дифференциальным уравнением (1) и определенного на классе функций, под- чиненных граничным условиям задачи и установленным выше свойствам поведения ре- шений в окрестности полюса оболочки. В свою очередь ненулевые элементы βi,j верхней симметричной части матрицы B вычисляются по формулам β1,1 = 2 s1∫ 0 U2 1 rds, β1,j = s1∫ 0 UjU1rds, β1,j+N−1 = − s1∫ 0 VjV1rds, j = 2, N, βi,j = s1∫ 0 UiUjrds, βi+N−1,j+N−1 = s1∫ 0 VjVirds, i = 2, N, j = i,N, (29) βi+2N−1,j+2N−1 = s1∫ 0 WiWjrds, i = 1, N, j = i,N. Поскольку координатные функции в выражениях (28) и (29) являются многочленами, при вычислении интегралов целесообразно пользоваться квадратурной формулой Гаусса. 4. Некоторые результаты расчетов. Ниже представлены результаты расчета по пред- ложенному выше алгоритму частот и форм колебаний сферического купола с жестко за- крепленным краем. В качестве характерного линейного размера оболочки выберем ее радиус. Отношение радиуса оболочки к ее толщине обозначим через δ, угол между осью симметрии оболочки и нормалью к ее срединной поверхности — через ϑ, а значение это- го угла для закрепленной нормали оболочки — через ϑ0. Во всех приведенных расчетах коэффициент Пуассона ν полагался равным 0, 3. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 О ПОСТРОЕНИИ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ МЕТОДА РИТЦА . . . 571 В табл. 1 представлены значения первых пяти безразмерных частот ωi = √ λi, i = 1, 5, неосесимметричных колебаний (n = 1) рассматриваемой оболочки в зависимости от числа членов N в разложениях (25) при ϑ0 = 90◦ для трех значений параметра δ. Приве- денные результаты показывают, что регулярные координатные функции, построенные с учетом асимптотического поведения искомых решений в окрестности полюса оболочки, позволяют рассчитывать с высокой степенью точности низшие частоты колебаний как для оболочек средней толщины, так и для весьма тонких оболочек. Значения нормального прогиба для первой формы колебаний оболочки и его первых двух производных в точке ϑ = 80◦ в зависимости от числа членов N в разложениях (25) приведены в табл. 2 при различных значениях параметра δ. Нормировка собственных форм колебаний оболочки здесь выбиралась из условия w(ϑ0/2 = 1). Данные табл. 2 свидетельствуют о том, что для оболочек средней толщины (δ ≤ 400) предложенный выше алгоритм решения исходной спектральной задачи имеет поточеч- ную сходимость как для самой функции w(s), так и для ее первых двух производных. С уменьшением относительной толщины оболочки эта сходимость существенно замед- ляется. Таблица 1. Значения первых пяти частот колебаний оболочки (n = 1) в зависимости от числа членов N в разложениях (25) при ϑ0 = 90◦. N ω1 ω2 ω3 ω4 ω5 δ = 100 8 0,5417556 0,8525449 0,9215523 0,9564843 1,0048565 10 0,5417536 0,8525446 0,9215523 0,9564067 0,9969224 12 0,5417535 0,8525446 0,9215523 0,9564067 0,9968500 14 0,5417535 0,8525446 0,9215523 0,9564067 0,9968499 16 0,5417535 0,8525446 0,9215523 0,9564067 0,9968499 δ = 1000 8 0,5337277 0,8414342 0,9090418 0,9302792 0,9400686 10 0,5326600 0,8405728 0,9087909 0,9302271 0,9397110 12 0,5323757 0,8404612 0,9087818 0,9302265 0,9397103 14 0,5323457 0,8404580 0,9087811 0,9302262 0,9397103 16 0,5323436 0,8404572 0,9087810 0,9302262 0,9397103 18 0,5323431 0,8404572 0,9087810 0,9302262 0,9397103 20 0,5323430 0,8404572 0,9087810 0,9302262 0,9397103 δ = 2000 12 0,5314705 0,8391282 0,9079635 0,9295781 0,9389937 14 0,5312517 0,8390431 0,9079570 0,9295777 0,9389934 16 0,5312150 0,8390396 0,9079563 0,9295774 0,9389934 18 0,5312125 0,8390385 0,9079561 0,9295774 0,9389934 20 0,5312116 0,8390383 0,9079561 0,9295774 0,9389934 22 0,5312114 0,8390383 0,9079561 0,9295774 0,9389934 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 572 Ю. В. ТРОЦЕНКО Таблица 2. Значения w1, w ′ 1 и w′′1 в точке ϑ = 80◦ для первой формы колебаний в зависимости от числа членов N в разложениях (25). w1, w ′ 1, w ′′ 1 N 8 10 12 14 16 18 δ = 100 w1 0, 8544 0,8527 0,8525 0,8525 0,8525 0,8525 w′1 −3, 1329 −3, 0925 −3, 0889 −3, 0889 −3, 0889 −3, 0889 w′′1 −38, 2459 −37, 9901 −38, 0512 −38, 0529 −38, 0529 −38, 0529 δ = 300 w1 0,9735 0,9528 0,9514 0,9513 0,9514 0,9514 w′1 −0, 5723 −0, 4685 −0, 5449 −0, 5542 −0, 5585 −0, 5586 w′′1 −24, 1190 −17, 1345 −13, 4682 −13, 3579 −13, 3318 −13, 3251 δ = 600 w1 0,9676 0,9213 0,9266 0,9304 0,9312 0,9312 w′1 0,4812 −0, 1412 −0, 4686 −0, 5894 −0, 5772 −0, 5738 w′′1 −4, 5266 15,0868 14,4900 9,7187 8,5375 8,0980 δ = 1000 w1 0,9625 0,8968 0,9201 0,9289 0,9297 0,9290 w′1 0,8117 0,3595 −1, 0541 −1, 0456 −0, 9095 −0, 8735 w′′1 2,5390 32,0210 11,9583 1,9427 −1, 6608 −0, 2282 Таблица 3. Значения низших частот первой формы колебаний защемленного сферического купола, вычисленные по предлагаемому алгоритму (верхняя строка), и соответ- ствующие значения работы [16] (нижняя строка). ϑ0 n δ 25 50 100 200 0,9944 0,9424 0,9270 0,9210 1 0,9905 0,9414 0,9269 0,9211 1,1657 1,0207 0,9704 0,9469 45◦ 2 1,1635 1,0201 0,9703 0,9470 1,3752 1,0892 0,9974 0,9606 3 1,3670 1,0868 0,9968 0,9606 0,5600 0,5485 0,5418 0,5375 1 0,5594 0,5483 0,5417 0,5373 0,8749 0,8636 0,8599 0,8583 90◦ 2 0,8736 0,8633 0,8598 0,8583 0,9471 0,9155 0,9044 0,9003 3 0,9434 0,9145 0,9041 0,9002 Повышения точности вычислений можно достичь за счет увеличения числа прибли- жений N в методе Ритца. При этом число N ограничено сверху таким его значением N∗, при котором алгебраическая система (26) является плохо обусловленной и нарушается устойчивость вычислительного процесса. С целью вычисления производных от функции w(s) вплоть до третьего порядка с одновременным уменьшением размерности алгебраи- ческой системы (26) необходимо расширить класс допустимых функций функциями по- ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 О ПОСТРОЕНИИ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ МЕТОДА РИТЦА . . . 573 гранслоя (22), которые локализованы в окрестности закрепленного торца оболочки [6, 15]. Собственные частоты, полученные предложенным методом, сравниваются в табл. 3 с частотами, приведенными в работе [16], которые получены с помощью модифицирован- ного численного метода решения исходной граничной задачи. По заключению авторов работы [16] предложенный ими алгоритм позволяет с высокой точностью определять частоты и формы колебаний сферической оболочки. Однако этот алгоритм существен- но усложняется с уменьшением относительной толщины оболочки и при δ > 1000 он неприменим. Как видно из таблицы, приведенные частоты колебаний достаточно хорошо согла- суются между собой. Наибольшее расхождение в частотах табл. 3 наблюдается для не- больших значений δ. Это расхождение объясняется тем, что в работе [16] использованы общие уравнения теории тонких оболочек, тогда как в настоящей работе — упрощенные уравнения в форме Муштари – Донелла – Власова. Заключение. В работе на основе метода Ритца разработан алгоритм расчета частот и форм неосесимметричных колебаний оболочки вращения в форме купола. Системы базисных функций строятся с учетом установленного асимптотического поведения иско- мых решений в полюсе оболочки (регулярная часть базиса), а также с учетом погран- слойных функций, локализованных в окрестности закрепленного края оболочки. Использование только регулярной части базиса позволяет вычислять частоты и фор- мы колебаний оболочки для достаточно широкого диапазона входных данных задачи. При необходимости вычисления моментов и перерезывающих сил в каждой точке срединной поверхности оболочки регулярный базис должен быть дополнен координат- ными функциями, позволяющими аппроксимировать погранслойную составляющую искомых решений. Расчеты, приведенные для оболочки в форме сферического купола, подтверждают эффективность предложенного подхода к построению приближенного аналитического решения рассматриваемой спектральной задачи. 1. Leissa A. W. Vibration of shells. — New York: Acoust. Soc. Amer., 1993. — 428 p. 2. Anderson G. L. On Gegenbauer transforms and forced torsional vibrations of thin spherical shells // J. Sound and Vibr. — 1970. — 12. — P. 265 – 267. 3. Goller B. Dynamic deformations of thin spherical shells based on analytical solutions // J. Sound and Vibr. — 1980. — 73. — P. 585 – 596. 4. Mukherjee K., Chakraborty S. K. Exact solution for larger amplitude free and forced oscillation of a thin spherical shell // J. Sound and Vibr. — 1985. — 100. — P. 339 – 342. 5. Al-Jumaily A. M., Najim F. M. An approximation to the vibrations of oblate spheroidal shells // J. Sound and Vibr. — 1997. — 207. — P. 561 – 574. 6. Gavrilyuk I., Hermann M., Trotsenko V., Trotsenko Yu., Timokha A. Axisymmetric oscillations of a cupola- shaped shell // J. Eng. Math. — 2010. — 68. — P. 165 – 178. 7. Gavrilyuk I., Hermann M., Trotsenko V., Trotsenko Yu., Timokha A. Eigenoscillations of a thin-walled azi- muthally closed, axially open shell of revolution // J. Eng. Math. — 2014. — 85. — P. 83 – 97. 8. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. — М.: Мир, 1983. — 200 c. 9. Асланян А. Г., Лидский В. Б. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек. — М.: На- ука, 1974. — 156 c. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4 574 Ю. В. ТРОЦЕНКО 10. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. — Л.: Судостроение, 1962. — 431 c. 11. Кармишин А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И., Фролов А. Н. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. — М.: Машиностроение, 1975. — 376 c. 12. Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. — М.: Машиностроение, 1976. — 278 c. 13. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1968. — 464 c. 14. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных диффе- ренциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. — 1957. — 12, вып. 5(77). — C. 3 – 122. 15. Троценко В. А., Троценко Ю. В. Решение задачи о собственных колебаниях незамкнутой оболочки вращения в условиях ее сингулярного возмущения // Нелiнiйнi коливання. — 2005. — 8, № 3. — С. 415 – 432. 16. Zarghamee M. S., Robinson H. R. A numerical method for analysis of free vibration of spherical shell // AIAA Journal. — 1967. — 5, № 7. — P. 1256 – 1261. Получено 02.12.14, после доработки — 29.12.14 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2015, т . 18, N◦ 4

О построении координатных функций для метода Ритца при расчете неосесимметричных собственных колебаний оболочки вращения в форме купола

Репозитарії

Схожі ресурси