Краевые задачи с начальными скачками для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений

Вивчається двоточкова крайова задача для сингулярно збурених iнтегро-диференцiальних рiвнянь третього порядку з малим параметром при двох старших похiдних. Встановлено асимптотичну збiжнiсть розв’язку цiєї задачi до розв’язку деякої виродженої крайової задачi....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
Hauptverfasser:	Дауылбаев, М.К., Мирзакулова, А.Е.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2016
Schriftenreihe:	Нелінійні коливання
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177235
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Краевые задачи с начальными скачками для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений / М.К. Дауылбаев, А.Е. Мирзакулова // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 11-21 — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-177235
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1772352021-02-14T01:26:18Z Краевые задачи с начальными скачками для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений Дауылбаев, М.К. Мирзакулова, А.Е. Вивчається двоточкова крайова задача для сингулярно збурених iнтегро-диференцiальних рiвнянь третього порядку з малим параметром при двох старших похiдних. Встановлено асимптотичну збiжнiсть розв’язку цiєї задачi до розв’язку деякої виродженої крайової задачi. We study the two-point boundary-value problem for singularly perturbed third order integro-differential equations with the small parameter in two principal terms. The asymptotic convergence of the solution to the solution of a some degenerate boundary-value problem is established. 2016 Article Краевые задачи с начальными скачками для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений / М.К. Дауылбаев, А.Е. Мирзакулова // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 11-21 — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177235 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Вивчається двоточкова крайова задача для сингулярно збурених iнтегро-диференцiальних рiвнянь третього порядку з малим параметром при двох старших похiдних. Встановлено асимптотичну збiжнiсть розв’язку цiєї задачi до розв’язку деякої виродженої крайової задачi.
format	Article
author	Дауылбаев, М.К. Мирзакулова, А.Е.
spellingShingle	Дауылбаев, М.К. Мирзакулова, А.Е. Краевые задачи с начальными скачками для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений Нелінійні коливання
author_facet	Дауылбаев, М.К. Мирзакулова, А.Е.
author_sort	Дауылбаев, М.К.
title	Краевые задачи с начальными скачками для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений
title_short	Краевые задачи с начальными скачками для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений
title_full	Краевые задачи с начальными скачками для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений
title_fullStr	Краевые задачи с начальными скачками для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений
title_full_unstemmed	Краевые задачи с начальными скачками для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений
title_sort	краевые задачи с начальными скачками для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2016
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177235
citation_txt	Краевые задачи с начальными скачками для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений / М.К. Дауылбаев, А.Е. Мирзакулова // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 11-21 — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT dauylbaevmk kraevyezadačisnačalʹnymiskačkamidlâsingulârnovozmuŝennyhintegrodifferencialʹnyhuravnenij AT mirzakulovaae kraevyezadačisnačalʹnymiskačkamidlâsingulârnovozmuŝennyhintegrodifferencialʹnyhuravnenij
first_indexed	2025-07-15T15:16:25Z
last_indexed	2025-07-15T15:16:25Z
_version_	1837726523505770496
fulltext	УДК 517.9 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ СКАЧКАМИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ М. К. Дауылбаев, А. Е. Мирзакулова Казах. нац. ун-т им. аль-Фараби просп. Аль-Фараби, 71, Алматы, 050040, Республика Казахстан e-mail: dmk57@mail.ru We study the two-point boundary-value problem for singularly perturbed third order integro-differential equations with the small parameter in two principal terms. The asymptotic convergence of the solution to the solution of a some degenerate boundary-value problem is established. Вивчається двоточкова крайова задача для сингулярно збурених iнтегро-диференцiальних рiв- нянь третього порядку з малим параметром при двох старших похiдних. Встановлено асимп- тотичну збiжнiсть розв’язку цiєї задачi до розв’язку деякої виродженої крайової задачi. Введение. Дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения, содержащие ма- лый параметр при старших производных, служат математическими моделями многих процессов в физике, астрофизике, химии, биологии, механике, технике и т. д. Такие урав- нения в настоящее время принято называть сингулярно возмущенными. Систематиче- ское развитие теории сингулярно возмущенных уравнений начинается с основополагаю- щих работ А. Н. Тихонова [1, 2]. В дальнейшее развитие основных направлений этой те- ории значительный вклад внесли Л. С. Понтрягин [3], Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов [4], Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский [5, 6], М. И. Вишик, Л. А. Лю- стерник [7], А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов [8], С. А. Ломов [9], М. И. Иманалиев [10] и др. В работах М. И. Вишика, Л. А. Люстерника [11] и К. А. Касымова [12] впервые изу- чены начальные задачи для сингулярно возмущенных уравнений с неограниченными на- чальными данными при стремлении малого параметра к нулю, которые называются за- дачами Коши с начальным скачком. Характерной особенностью таких задач является то, что решение сингулярно возмущенной задачи при стремлении малого параметра к нулю стремится к решению вырожденного уравнения с измененными начальными условиями. В таком случае говорят, что имеет место явление начального скачка решения. При исследовании некоторых краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной возникает случай, когда ре- шения или производные от решения в начальной точке принимают бесконечно большие значения при достаточно малых значениях параметра. Такие краевые задачи оказыва- ются эквивалентными задачам Коши с начальным скачком. Для исследования асимп- тотического поведения решений таких краевых задач К. А. Касымовым разработан ин- тегральный метод представления решения [13]. Настоящая работа посвящена исследованию краевых задач для сингулярно возму- щенных интегро-дифференциальных уравнений третьего порядка с малым параметром при двух старших производных, обладающих явлением начального скачка. c© М. К. Дауылбаев, А. Е. Мирзакулова, 2016 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 11 12 М. К. ДАУЫЛБАЕВ, А. Е. МИРЗАКУЛОВА Постановка задачи. Рассмотрим линейное интегро-дифференциальное уравнение тре- тьего порядка с малым параметром ε > 0 при двух старших производных вида Lεy ≡ ε2y′′′ + εA0(t)y ′′ +A1(t)y ′ +A2(t)y = F (t) + 1∫ 0 1∑ i=0 Hi(t, x)y(i)(x, ε)dx (1) с краевыми условиями h1y(t, ε) ≡ y(0, ε) = α, h2y(t, ε) ≡ y′(0, ε) = β, h3y(t, ε) ≡ y(1, ε) = γ, (2) где α, β, γ — некоторые известные постоянные, не зависящие от ε. Предположим, что выполнены следующие условия: I. Функции Ai(t), i = 0, 2, F (t) являются достаточно гладкими на отрезке 0 ≤ t ≤ ≤ 1, а H0(t, x), H1(t, x) — в области D = {0 ≤ t ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1} , т. е. дифференцируемы столько раз, сколько потребуется в ходе рассуждений. II. Корни µi(t), i = 1, 2, уравнения µ2+A0(t)µ+A1(t) = 0 удовлетворяют неравенствам µ1(t) < −γ1 < 0, µ2(t) > γ2 > 0, γi > 0, i = 1, 2. III. Число 1 не является собственным значением ядра H(t, s) = H1(t, s) A1(s) + 1∫ s 1 A1(s) ( H0(t, x)−H1(t, x) A2(x) A1(x) ) exp − x∫ s A2(p) A1(p) dp  dx. Фундаментальная система решений. Для фундаментальной системы решений сингу- лярно возмущенного однородного дифференциального уравнения Lεy ≡ ε2y′′′ + εA0(t)y ′′ +A1(t)y ′ +A2(t)y = 0 (3) справедливо асимптотическое при ε → 0 представление [14] y (q) 1 (t, ε) = 1 εq exp 1 ε t∫ 0 µ1(x)dx  (µq1(t)y10(t) +O(ε)) , q = 0, 2, y (q) 2 (t, ε) = 1 εq exp −1 ε 1∫ t µ2(x)dx  (µq2(t)y20(t) +O(ε)) , q = 0, 2, (4) y (q) 3 (t, ε) = y (q) 30 (t) +O(ε), q = 0, 2, где y30(t) = exp ( − ∫ t 0 A2(x) A1(x) dx ) , а yi0(t), i = 1, 2,— решения задач pi(t)y′i0(t)+qi(t)yi0(t) = = 0, yi0(0) = 1, i = 1, 2, где pi(t) = (A0(t) + 2µi(t))µi(t) 6= 0, qi(t) = A2(t) + A0(t)µ ′ i(t) + +3µi(t)µ ′ i(t). ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ СКАЧКАМИ . . . 13 Для вронскиана W (t, ε) в силу (4) справедливо асимптотическое при ε → 0 представ- ление W (t, ε) = 1 ε3 exp 1 ε t∫ 0 µ1(x)dx− 1 ε 1∫ t µ2(x)dx × × (y10(t)y20(t)y30(t)µ1(t)µ2(t)(µ2(t)− µ1(t)) +O(ε)). (5) Построение вспомогательных функций. Введем функции K0(t, s, ε) = P0(t, s, ε) W (s, ε) , K1(t, s, ε) = P1(t, s, ε) W (s, ε) , (6) где P0(t, s, ε), P1(t, s, ε) — определители, получаемые из вронскиана W (s, ε) заменой его третьей строки строками y1(t, ε), 0, y3(t, ε) и 0, y2(t, ε), 0 соответственно. ФункцииK0(t, s, ε), K1(t, s, ε) удовлетворяют по переменной t однородному уравнению (3). ФункцияK(t, s, ε) = = K0(t, s, ε) +K1(t, s, ε) называется функцией Коши и является решением задачи LεK(t, s, ε) = 0, K(s, s, ε) = 0, K ′(s, s, ε) = 0, K ′′(s, s, ε) = 1. Для функции K0(t, s, ε), K1(t, s, ε) в силу (4) – (6) справедливы асимптотические при ε → 0 представления K (q) 0 (t, s, ε) = ε2 ( y (q) 30 (t) y30(s)µ1(s)µ2(s) − µq1(t)y10(t) εqy10(s)µ1(s) (µ2(s)− µ1(s)) × × exp ( 1 ε t∫ s µ1(x)dx ) +O(ε) ) , t ≥ s, (7) K (q) 1 (t, s, ε) = ε2 ( µq2(t)y20(t) εqy20(s)µ2(s) (µ2(s)− µ1(s)) × × exp ( − 1 ε s∫ t µ2(x)dx ) +O(ε) ) , t ≤ s, q = 0, 2, из которых следуют асимптотические оценки∣∣∣K(q) 0 (t, s, ε) ∣∣∣ ≤ Cε2 + C εq−2 e−γ1 t−s ε , q = 0, 1, 2, t ≥ s, (8)∣∣∣K(q) 1 (t, s, ε) ∣∣∣ ≤ C εq−2 e−γ2 s−t ε , q = 0, 1, 2, t ≤ s, где C > 0 — постоянные, не зависящие от ε. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 14 М. К. ДАУЫЛБАЕВ, А. Е. МИРЗАКУЛОВА Пусть функции Φi(t, ε), i = 1, 2, 3, являются решениями задачи LεΦi(t, ε) = 0, hkΦi(t, ε) = δki, i, k = 1, 2, 3, (9) где δki — символ Кронекера. Функции Φi(t, ε), i = 1, 2, 3, называются граничными функциями и выражаются фор- мулой Φi(t, ε) = Ii(t, ε) I(ε) , (10) где I(ε) = ∣∣∣∣∣∣ y1(0, ε) y2(0, ε) y3(0, ε) y ′ 1(0, ε) y ′ 2(0, ε) y ′ 3(0, ε) y1(1, ε) y2(1, ε) y3(1, ε) ∣∣∣∣∣∣ = 1 ε (µ1(0)y20(1) +O(ε)) 6= 0, (11) а Ii(t, ε) — определитель, получаемый из I(ε) заменой его i-й строки строкой y1(t, ε), y2(t, ε), y3(t, ε). Для граничных функции Φi(t, ε), i = 1, 2, 3, из (10) в силу (4), (11) получаем асимпто- тические при ε → 0 представления Φ (q) 1 (t, ε) = y (q) 30 (t)− µ1(t)y10(t)y ′ 30(0) εq−1µ1(0) exp 1 ε t∫ 0 µ1(x)dx + + µq2(t)y20(t)y30(1) εqy20(1) exp −1 ε 1∫ t µ2(x)dx + +O ε+ 1 εq−2 exp 1 ε t∫ 0 µ1(x)dx + 1 εq−1 exp −1 ε 1∫ t µ2(x)dx  , q = 0, 2, Φ (q) 2 (t, ε) =−εy (q) 30 (t) µ1(0) + µq1(t)y10(t) εq−1µ1(0) exp 1 ε t∫ 0 µ1(x)dx + + µq2(t)y20(t)y30(1) εq−1µ1(0)y20(1) exp −1 ε 1∫ t µ2(x)dx +O ε2 + ε2−q exp 1 ε t∫ 0 µ1(x)dx + + ε2−q exp −1 ε 1∫ t µ2(x)dx  , q = 0, 2, (12) Φ (q) 3 (t, ε) = 1 εq µq2(t)y20(t) y20(1) exp −1 ε 1∫ t µ2(x)dx +O  1 εq−1 exp −1 ε 1∫ t µ2(x)dx  , q = 0, 2, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ СКАЧКАМИ . . . 15 откуда следуют асимптотические при ε → 0 оценки∣∣∣Φ(q) 1 (t, ε) ∣∣∣ ≤ C + C εq−1 e−γ1 t ε + C εq e−γ2 1−t ε , q = 0, 1, 2, ∣∣∣Φ(q) 2 (t, ε) ∣∣∣ ≤ Cε+ C εq−1 e−γ1 t ε + C εq−1 e−γ2 1−t ε , q = 0, 1, 2, (13) ∣∣∣Φ(q) 3 (t, ε) ∣∣∣ ≤ C εq e−γ2 1−t ε , q = 0, 1, 2, где C > 0 — постоянные, не зависящие от ε. Аналитическое представление решений. Решение задачи (1), (2) ищем в виде y(t, ε) =C1Φ1(t, ε) + C2Φ2(t, ε) + C3Φ3(t, ε)+ + 1 ε2 t∫ 0 K0(t, s, ε)z(s, ε)ds− 1 ε2 1∫ t K1(t, s, ε)z(s, ε)ds, (14) где Φi(t, ε), i = 1, 2, 3, — граничные функции, являющиеся решениями задачи (9) и выра- жаемые формулой (10), K0(t, s, ε), K1(t, s, ε) — функции, представимые формулой (6), Ci, i = 1, 2, 3, — неизвестные постоянные величины, z(t, ε) — пока неизвестная функция. Подставляя (14) в (1), для определения функций z(t, ε) получаем интегральное уравнение Фредгольма второго рода: z(t, ε) = f(t, ε) + 1∫ 0 H(t, s, ε)z(s, ε)ds, (15) где f(t, ε) = F (t) + C1 1∫ 0 1∑ i=0 Hi(t, x)Φ (i) 1 (x, ε) dx+ C2 1∫ 0 1∑ i=0 Hi(t, x)Φ (i) 2 (x, ε) dx+ + C3 1∫ 0 1∑ i=0 Hi(t, x)Φ (i) 3 (x, ε) dx, H(t, s, ε) = 1 ε2 1∫ s 1∑ i=0 Hi(t, x)K (i) 0 (x, s, ε)dx− 1 ε2 s∫ 0 1∑ i=0 Hi(t, x)K (i) 1 (x, s, ε) dx. Интегральное уравнение (15) в силу условия III имеет единственное решение, пред- ставимое в виде z(t, ε) = f(t, ε) + 1∫ 0 R(t, s, ε)f(s, ε) ds, (16) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 16 М. К. ДАУЫЛБАЕВ, А. Е. МИРЗАКУЛОВА где R(t, s, ε) — резольвента ядра H(t, s, ε). Подставляя (16) в (14), получаем решение кра- евой задачи (1), (2) в виде y(t, ε) = 3∑ i=1 CiQi(t, ε) + P (t, ε), (17) где Qi(t, ε) = Φi(t, ε) + 1 ε2 t∫ 0 K0(t, s, ε)ϕi(s, ε)ds− 1 ε2 1∫ t K1(t, s, ε)ϕi(s, ε)ds, P (t, ε) = 1 ε2 t∫ 0 K0(t, s, ε)F (s, ε)ds− 1 ε2 1∫ t K1(t, s, ε)F (s, ε)ds, (18) ϕ̄i(s, ε) = 1∫ 0 1∑ j=0 H̄j(s, x, ε)Φ (j) i (x, ε)dx, F (s, ε) = F (s) + 1∫ 0 R(s, p, ε)F (p)dp, H̄j(s, x, ε) ≡ Hj(s, x) + 1∫ 0 R(s, p, ε)Hj(p, x)dp = H̄j(s, x) +O(ε). Для определения неизвестных в (17) постоянныхCi, i = 1, 2, 3, в силу краевых условий (2) получаем систему алгебраических уравнений C1Q1(0, ε) + C2Q2(0, ε) + C3Q3(0, ε) = α− P (0, ε), C1Q ′ 1(0, ε) + C2Q ′ 2(0, ε) + C3Q ′ 3(0, ε) = β − P ′(0, ε), (19) C1Q1(1, ε) + C2Q2(1, ε) + C3Q3(1, ε) = γ − P (1, ε). Для главного определителя δ(ε) системы (19) с учетом (7), (12), (18) имеем асимпто- тическое представление δ(ε) = δ̄ +O(ε), где δ̄ = 1 + ∫ 1 0 y30(1)H̄1(s, 1) y30(s)µ1(s)µ2(s) ds. Пусть выполнено условие IV. δ̄ 6= 0. Тогда из (19) однозначно определяются неизвестные постоянные Ci, i = 1, 2, 3, для которых с учетом (7), (12), (18) справедливо асимптотическое при ε → 0 представление C1 = α+O(ε), C3 = −αB1 + γB2 −B3 +O(ε), (20) C2 = β + α  H̄0 1 (0, 1) µ1(0)µ2(0) B1− 1 µ2(0) (µ2(0)− µ1(0)) −H̄0 1 (0, 1)+ 1∫ 0 1∑ i=0 H̄0 i (0, x)y (i) 30 (x)dx + + γ H̄0 1 (0, 1) µ1(0)µ2(0) B2 + H̄0 1 (0, 1) µ1(0)µ2(0) B3 + F (0) µ2(0) (µ2(0)− µ1(0)) +O(ε), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ СКАЧКАМИ . . . 17 где B1 = 1 δ̄ 1∫ 0 y30(1)(−H̄0 1 (s, 1) + ∫ 1 0 ∑1 i=0 H̄ 0 i (s, x)y (i) 30 (x)dx) y30(s)µ1(s)µ2(s) ds, B2 = 1 δ̄ , B3 = 1 δ̄ 1∫ 0 y30(1)F (s) y30(s)µ1(s)µ2(s) ds. Полученные результаты сформулируем в виде следующей теоремы. Теорема 1. Пусть выполнены условия I – IV. Тогда краевая задача (1), (2) на отрезке [0, 1] имеет единственное решение, выражаемое формулой (17), где Qi(t, ε), P (t, ε) опре- деляются формулами (18), а Ci, i = 1, 2, 3, — решение системы (19), имеющее асимпто- тическое представление (20). Асимптотические оценки решений. Справедлива следующая теорема. Теорема 2. Если выполнены условия I – IV, то для решения y(t, ε) краевой задачи (1), (2) справедливы следующие асимптотические при ε → 0 оценки: \|y(t, ε)\| ≤ C ( \|α\|+ ε\|β\|+ \|γ\| max 0≤t≤1 \|H1(t, 1)\|+ max 0≤t≤1 \|F (t)\| ) + + Cεe−γ1 t ε ( \|α\|+ \|β\|+ \|γ\| max 0≤t≤1 \|H1(t, 1)\|+ max 0≤t≤1 \|F (t)\| ) + + Ce−γ2 1−t ε ( \|α\|+ ε\|β\|+ \|γ\| max 0≤t≤1 \|H1(t, 1)\|+ max 0≤t≤1 \|F (t)\| ) , ∣∣y′(t, ε)∣∣ ≤ C ( \|α\|+ ε\|β\|+ \|γ\| max 0≤t≤1 \|H1(t, 1)\|+ max 0≤t≤1 \|F (t)\| ) + + C e−γ1 t ε ( \|α\|+ \|β\|+ \|γ\| max 0≤t≤1 \|H1(t, 1)\|+ max 0≤t≤1 \|F (t)\| ) + + C ε e−γ2 1−t ε ( \|α\|+ ε\|β\|+ \|γ\| max 0≤t≤1 \|H1(t, 1)\|+ max 0≤t≤1 \|F (t)\| ) , (21) ∣∣y′′(t, ε)∣∣ ≤ C ( \|α\|+ ε\|β\|+ \|γ\| max 0≤t≤1 \|H1(t, 1)\|+ max 0≤t≤1 \|F (t)\| ) + + C ε e−γ1 t ε ( \|α\|+ \|β\|+ \|γ\| max 0≤t≤1 \|H1(t, 1)\|+ max 0≤t≤1 \|F (t)\| ) + + C ε2 e−γ2 1−t ε ( \|α\|+ ε\|β\|+ \|γ\| max 0≤t≤1 \|H1(t, 1)\|+ max 0≤t≤1 \|F (t)\| ) , где C > 0 — постоянные, не зависящие от ε. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 18 М. К. ДАУЫЛБАЕВ, А. Е. МИРЗАКУЛОВА Доказательство. Из (18) с учетом (8), (13) для функцийQ(q) i (t, ε), i = 1, 2, 3, и P (q)(t, ε), q = 0, 1, 2, получаем асимптотические оценки∣∣∣Q(q) 1 (t, ε) ∣∣∣ ≤ C ( 1 + 1 εq−1 e−γ1 t ε + 1 εq e−γ2 1−t ε ) , ∣∣∣Q(q) 2 (t, ε) ∣∣∣ ≤ C ( ε+ 1 εq−1 e−γ1 t ε + 1 εq−1 e−γ2 1−t ε ) , (22)∣∣∣Q(q) 3 (t, ε) ∣∣∣ ≤ C ( 1 + 1 εq e−γ2 1−t ε ) , ∣∣∣P (q)(t, ε) ∣∣∣ ≤ C max 0≤t≤1 \|F (t)\| ( 1 + 1 εq−1 e−γ1 t ε + 1 εq−1 e−γ2 1−t ε ) . Оценивая (17) с учетом (22) и (20), получаем требуемые оценки (21). Теорема 2 доказана. Из теоремы 2 следует, что решение краевой задачи (1), (2) имеет асимптотическое при ε → 0 поведение y(0, ε) = O(1), y′(0, ε) = O(1), y′′(0, ε) = O ( 1 ε ) в точке t = 0 и y(1, ε) = O(1), y′(1, ε) = O ( 1 ε ) , y′′(1, ε) = O ( 1 ε2 ) в точке t = 1. В таком случае будем говорить, что решение исходной краевой задачи (1), (2) в точке t = 0 обладает явлением начального скачка первого порядка, а в точке t = 1 — нулевого порядка. Вырожденная задача. Пусть ȳ(t) — решение следующего невозмущенного линейного интегро-дифференциального уравнения: L0ȳ ≡ A1(t)ȳ ′ +A2(t)ȳ = F (t) + 1∫ 0 1∑ i=0 Hi(t, x)ȳ(i)(x)dx+ ∆(t) (23) с краевыми условиями ȳ(0) = α, ȳ(1) = γ + ∆1, (24) где ∆(t),∆1 — пока неизвестные, так называемые начальные скачки интегрального чле- на и решения соответственно. ∆(t) будет определен ниже так, чтобы решение y(t, ε) син- гулярно возмущенной краевой задачи (1), (2) при ε → 0 стремилось к решению ȳ(t) изме- ненной вырожденной краевой задачи (23), (24). Разность между решением y(t, ε) краевой задачи (1), (2) и решением ȳ(t) вырожденной задачи (23), (24) обозначим через u(t, ε).Тог- да относительно u(t, ε) получаем следующую сингулярно возмущенную краевую задачу такого же типа, что и задача (1), (2): Lεu ≡ ε2u′′′ + εA0(t)u ′′ +A1(t)u ′ +A2(t)u= = 1∫ 0 1∑ i=0 Hi(t, x)u(i)(xε)dx−∆(t)− ε2y′′′ − εA0(t)y ′′, (25) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ СКАЧКАМИ . . . 19 u(0, ε) = 0, u′(0, ε) = β − y′(0) 6= 0, u(1, ε) = −∆1. (26) Применяя к задаче (25), (26) оценку (21), получаем \|u(t, ε)\| ≤ Cε\|β\|+ C max 0≤t≤1 \|∆(t) +H1(t, 1)∆1\|+ Cε+ + Cεe−γ1 t ε ( \|β\|+ ε+ max 0≤t≤1 \|∆(t) +H1(t, 1)∆1\| ) + + Ce−γ2 1−t ε ( ε\|β\|+ max 0≤t≤1 \|∆(t) +H1(t, 1)∆1\|+ ε ) , \|u′(t, ε)\| ≤ Cε\|β\|+ C max 0≤t≤1 \|∆(t) +H1(t, 1)∆1\|+ Cε+ + Ce−γ1 t ε ( \|β\|+ ε+ max 0≤t≤1 \|∆(t) +H1(t, 1)∆1\| ) + + C ε e−γ2 1−t ε ( ε\|β\|+ max 0≤t≤1 \|∆(t) +H1(t, 1)∆1\|+ ε ) , \|u′′(t, ε)\| ≤ Cε\|β\|+ C max 0≤t≤1 \|∆(t) +H1(t, 1)∆1\|+ Cε+ + C ε e−γ1 t ε ( \|β\|+ ε+ max 0≤t≤1 \|∆(t) +H1(t, 1)∆1\| ) + + C ε2 e−γ2 1−t ε ( ε\|β\|+ max 0≤t≤1 \|∆(t) +H1(t, 1)∆1\|+ ε ) . Из этих оценок заключаем, что решение y(t, ε) сингулярно возмущенной задачи (1), (2) при ε → 0 стремится к решению ȳ(t) невозмущенной задачи (23), (24) при выполнении равенства ∆(t) = −H1(t, 1)∆1. (27) Таким образом, с учетом (27) невозмущенная задача (23), (24) примет вид интегро- дифференциальной задачи с неизвестным параметром ∆1: L0y ≡ A1(t)ȳ ′ +A2(t)y = F (t) + 1∫ 0 1∑ i=0 Hi(t, x)y(i)(x)dx−H1(t, 1)∆1, (28) y(0) = α, y(1) = γ + ∆1. (29) Задача (28), (29) называется вырожденной задачей. Определим теперь начальный скачок решения ∆1. Сведением к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с ядром H(t, s) и с учетом условия III решение уравнения (28) с начальным условием ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 20 М. К. ДАУЫЛБАЕВ, А. Е. МИРЗАКУЛОВА ȳ(0) = α представим в виде y(t) = αe − ∫ t 0 A2(x) A1(x) dx + t∫ 0 1 A1(s) e − ∫ t s A2(x) A1(x) dx× × F (s)− H̄1(s, 1)∆1 + α 1∫ 0 ( H̄0(s, x)− H̄1(s, x) A2(x) A1(x) ) e − ∫ x 0 A2(p) A1(p) dp dx  ds, (30) где F (s) = F (s) + ∫ 1 0 R(s, p)F (p)dp, H̄i(s, x) = Hi(s, x) + ∫ 1 0 R(s, p)Hi(p, x)dp, i = 0, 1, а R(t, s) — резольвента ядра H(t, s). Чтобы определить ∆1, функцию y(t), определенную формулой (30), подчиним второму условию из (29): γ + ∆1 = αe − ∫ 1 0 A2(x) A1(x) dx + 1∫ 0 1 A1(s) e − ∫ 1 s A2(x) A1(x) dx× × F (s)− H̄1(s, 1)∆1 + α 1∫ 0 ( H̄0(s, x)− H̄1(s, x) A2(x) A1(x) ) e − ∫ x 0 A2(p) A1(p) dp dx  ds. (31) Тогда из (31) в силу условия III находим величину начального скачка решения ∆1: ∆1 = 1 δ̄  1∫ 0 F̄ (s) A1(s) e − ∫ 1 s A2(x) A1(x) dx ds− γ + α e− ∫ 1 0 A2(x) A1(x) dx − 1∫ 0 1 A1(s) e − ∫ 1 s A2(x) A1(x) dx × × 1∫ 0 ( H̄0(s, x)− H̄1(s, x) A2(x) A1(x) ) e − ∫ x 0 A2(p) A1(p) dp dxds  . Тем самым справедлива следующая теорема. Теорема 3. Пусть выполнены условия I – IV. Тогда для решения y(t, ε) сингулярно воз- мущенной краевой задачи (1), (2) справедливы следующие предельные равенства: lim ε→0 y(t, ε) = ȳ(t), 0 ≤ t ≤ 1, lim ε→0 y(i)(t, ε) = ȳ(i)(t), i = 1, 2, 0 < t < 1, где ȳ(t) — решение вырожденной задачи (28), (29), выражаемое формулой (30), а началь- ный скачок решения ∆1 определяется формулой (32). Тем самым вырожденная задача (28), (29), к решению которой стремится решение исходной возмущенной задачи (1), (2), отличается от обычной вырожденной задачи тем, что в правой части уравнения (28) и во втором условии (29) содержатся дополнительные слагаемые ∆(t) = −H1(t, 1)∆1 и ∆1, называемые начальными скачками интегрального члена и решения. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ С НАЧАЛЬНЫМИ СКАЧКАМИ . . . 21 Литература 1. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Мат. сб. — 1948. — 22 (64), № 2. — С. 193 – 204. 2. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при произво- дных // Мат. сб. — 1952. — 31 (73), № 3. — С. 575 – 586. 3. Понтрягин Л. С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с ма- лым параметром при высших производных // Изв. АН СССР. — 1957. — 21, № 3. — С. 605 – 626. 4. Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. — М.: Наука, 1975. — 248 с. 5. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. — М.: Изд-во АН СССР, 1937. — 112 с. 6. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974. — 504 с. 7. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных диффе- ренциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. — 1957. — 12, № 5. — С. 3 – 122. 8. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных урав- нений. — М.: Наука, 1973. — 272 с. 9. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. — М.: Наука, 1981. — 400 с. 10. Иманалиев М. И. Асимптотические методы в теории сингулярно возмущенных интегро-дифферен- циальных систем. — Фрунзе: Илим, 1972. — 356 с. 11. Вишик М. И., Люстерник Л. А. О начальном скачке для нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр // Докл. АН СССР. — 1960. — 132, № 6. — С. 1242 – 1245. 12. Касымов К. А. Об асимптотике решения задачи Коши с большими начальными условиями для нели- нейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр // Успехи мат. наук. — 1962. — 17, № 5. — С. 187 – 188. 13. Абильдаев Е. А., Касымов К. А. Асимптотические оценки решений сингулярно возмущенных крае- вых задач с начальными скачками для линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. урав- нения. — 1992. — 28, № 10. — С. 1659 – 1668. 14. Касымов К. А., Жакипбекова Д. А., Нургабыл Д. Н. Представление решения краевой задачи для ли- нейного дифференциального уравнения с малым параметром при старших производных // Вестн. Каз. нац. ун-та им. аль-Фараби. Сер. мат., мех., информ. — 2001. — №3. — С. 73 – 78. Получено 23.08.13, после доработки — 03.02.15 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1

Краевые задачи с начальными скачками для сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных уравнений

Institution

Ähnliche Einträge