Асимптотическое поведение решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка
Встановлено асимптотичнi зображення для деяких класiв розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь n-го порядку, що у деякому сенсi є близькими до лiнiйних рiвнянь....
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177236 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотическое поведение решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка / В.М. Евтухов, Муса Джабер Абу эль-шаур // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 22-31 — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177236 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772362021-02-28T17:01:57Z Асимптотическое поведение решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка Евтухов, В.М. Муса Джабер Абу эль-шаур Встановлено асимптотичнi зображення для деяких класiв розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь n-го порядку, що у деякому сенсi є близькими до лiнiйних рiвнянь. Asymptotic representations of some classes of solutions of nonautonomous nth order ordinary differential equations which are somewhat close to linear equations are established. 2016 Article Асимптотическое поведение решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка / В.М. Евтухов, Муса Джабер Абу эль-шаур // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 22-31 — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177236 517.925 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено асимптотичнi зображення для деяких класiв розв’язкiв неавтономних диференцiальних рiвнянь n-го порядку, що у деякому сенсi є близькими до лiнiйних рiвнянь. |
| format |
Article |
| author |
Евтухов, В.М. Муса Джабер Абу эль-шаур |
| spellingShingle |
Евтухов, В.М. Муса Джабер Абу эль-шаур Асимптотическое поведение решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка Нелінійні коливання |
| author_facet |
Евтухов, В.М. Муса Джабер Абу эль-шаур |
| author_sort |
Евтухов, В.М. |
| title |
Асимптотическое поведение решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка |
| title_short |
Асимптотическое поведение решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка |
| title_full |
Асимптотическое поведение решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка |
| title_fullStr |
Асимптотическое поведение решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка |
| title_full_unstemmed |
Асимптотическое поведение решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка |
| title_sort |
асимптотическое поведение решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177236 |
| citation_txt |
Асимптотическое поведение решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка / В.М. Евтухов, Муса Джабер Абу эль-шаур // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 22-31 — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT evtuhovvm asimptotičeskoepovedenierešenijneavtonomnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijngoporâdka AT musadžaberabuélʹšaur asimptotičeskoepovedenierešenijneavtonomnyhobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenijngoporâdka |
| first_indexed |
2025-07-15T15:16:29Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:16:29Z |
| _version_ |
1837726527550128128 |
| fulltext |
УДК 517.925
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
n-ГО ПОРЯДКА
В. М. Евтухов
Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова
ул. Дворянская, 2, Одесса, 65026, Украина
e-mail: emden@farlep.net
Муса Джабер Абу эль-шаур
Ал ал-байт ун-т, Мафрак, Иордания
e-mail: drmousa67@yahoo.com
Asymptotic representations of some classes of solutions of nonautonomous nth order ordinary differential
equations which are somewhat close to linear equations are established.
Встановлено асимптотичнi зображення для деяких класiв розв’язкiв неавтономних диферен-
цiальних рiвнянь n-го порядку, що у деякому сенсi є близькими до лiнiйних рiвнянь.
1. Постановка задачи и формулировка основных результатов. Рассматривается диффе-
ренциальное уравнение
y(n) = α0p(t)y| ln |y||σ, (1.1)
где α0 ∈ {−1, 1}, σ ∈ R, p : [a, ω[−→]0 < +∞[ — непрерывная функция, −∞ < a < ω ≤
≤ +∞1 .
При σ = 0 оно является линейным дифференциальным уравнением
y(n) = α0p(t)y, (1.2)
асимптотическое поведение решений которого в случае ω = +∞ достаточно подробно
исследовано (см., например, монографию И. Т. Кигурадзе и Т. А. Чантурия [1]).
При любых σ и n = 2, т. е. в случае дифференциального уравнения второго порядка,
в работах [2 – 6] изучалось асимптотическое поведение Pω(λ0)-решений.
Решение y уравнения (1.1), заданное и отличное от нуля на промежутке [ty, ω[⊂ [a, ω[,
называется Pω(λ0)-решением, если оно удовлетворяет следующим условиям:
lim
t↑ω
y(k)(t) =
{
либо 0,
либо ±∞, k = 0, n− 1, lim
t↑ω
(y(n−1)(t))2
y(n)(t)y(n−2)(t)
= λ0. (1.3)
Целью настоящей работы является установление при n ≥ 2 необходимых и достаточ-
ных условий существования Pω(λ0)-решений уравнения (1.1), для которых
λ0 ∈ R \
{
0,
1
2
, . . . ,
n− 2
n− 1
, 1
}
,
1 Считаем, что a > 1 при ω = +∞ и ω − a < 1 при ω < +∞.
c© В. М. Евтухов, Муса Джабер Абу эль-шаур, 2016
22 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ . . . 23
а также асимптотических представлений при t ↑ ω для всех таких решений и их производ-
ных до порядка n− 1 включительно.
Введем вспомогательные обозначения, положив
a0k = (n− k)λ0 − (n− k − 1) при λ0 ∈ R, k = 1, n, (1.4)
πω(t) =
{
t, если ω = +∞,
t− ω, если ω < +∞, IA(t) =
t∫
A
[πω(τ)]
n−1p(τ) dτ, (1.5)
где
A =
a, если
ω∫
a
|πω(τ)|n−1p(τ) dτ = +∞,
ω, если
ω∫
a
|πω(τ)|n−1p(τ) dτ < +∞.
Для уравнения (1.1) имеет место следующая теорема.
Теорема 1.1. Пусть σ 6= 1 и λ0 ∈ R\
{
0,
1
2
,
2
3
, . . . ,
n− 2
n− 1
, 1
}
. Тогда для существования
Pω(λ0)-решений уравнения (1.1) необходимо, а если
σ 6= a01
(
1 +
n−1∑
k=1
1
a0k
)
(1.6)
и алгебраическое относительно ρ уравнение
n−1∏
j=1
(a0j + ρ) +
n−1∑
k=1
k−1∏
j=1
(a0j + ρ)
n−1∏
j=k+1
a0j = 0 (1.7)
не имеет корней с нулевой действительной частью, то и достаточно, чтобы выпол-
нялись условия
α0
(
n−1∏
k=1
a0k
)
[(λ0 − 1)πω(t)]
n > 0 при t ∈ [a, ω[, (1.8)
lim
t↑ω
p(t)|πω(t)|n |(1− σ)IA(t)|
σ
1−σ =
|a01|
|λ0 − 1|
∣∣∣∣∣
∏n−1
k=2 a0k
(λ0 − 1)n−1
∣∣∣∣∣
1
1−σ
, (1.9)
причем для каждого такого решения имеют место при t ↑ ω асимптотические пред-
ставления
ln |y(t)| = ν
∣∣∣∣∣(λ0 − 1)n−1∏n−1
k=2 a0k
∣∣∣∣∣
1
1−σ
|(1− σ)IA(t)|
1
1−σ [1 + o(1)], (1.10)
y(k)(t)
y(k−1)(t)
=
a0k
(λ0 − 1)πω(t)
[1 + o(1)], k = 1, n− 1, (1.11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
24 В. М. ЕВТУХОВ, МУСА ДЖАБЕР АБУ ЭЛЬ-ШАУР
где
ν = α0 sign
[
(1− σ)(λ0 − 1)n−1
(
n−1∏
k=2
a0k
)
IA(t)
]
.
Более того, если наряду с указанными условиями алгебраическое уравнение (1.6) име-
ет m корней (с учетом кратных), действительные части которых имеют знак, про-
тивоположный знаку функции (λ0 − 1)πω(t) на промежутке [a, ω[, то при выполнении
неравенства (
σ
a01
− 1−
n−1∑
k=1
1
a0k
)(
1 +
n−1∑
k=1
1
a0k
)
> 0 (1.12)
существует m-параметрическое семейство решений с представлениями (1.10) и (1.11)
уравнения (1.1), а при выполнении противоположного неравенства — (m+ 1)-парамет-
рическое семейство таких решений.
Замечание 1.1. Алгебраическое уравнение (1.7) заведомо не имеет корней с нулевой
действительной частью, если выполняется неравенство
n−1∑
k=1
1
|a0k|
< 1.
Из этой теоремы при σ = 0 непосредственно вытекает следующее утверждение для
линейного дифференциального уравнения (1.2).
Следствие 1.1. Для существования Pω(λ0)-решений, где λ0 ∈ R \
{
0,
1
2
, . . . ,
n− 2
n− 1
, 1
}
,
уравнения (1.2) необходимо, а если алгебраическое относительно ρ уравнение (1.7) не
имеет корней с нулевой действительной частью, то и достаточно, чтобы выполня-
лись неравенство (1.8) и условие
lim
t↑ω
p(t)πnω(t) =
α0
∏n−1
k=1 a0k
(λ0 − 1)n
,
причем для каждого такого решения при t ↑ ω имеют место асимптотические пред-
ставления
ln |y(t)| = α0(λ0 − 1)n−1IA(t)∏n−1
k=2 a0k
[1 + o(1)], (1.13)
y(k)(t)
y(k−1)(t)
=
a0k
(λ0 − 1)πω(t)
[1 + o(1)], k = 1, n− 1. (1.14)
Более того, если наряду с указанными условиями алгебраическое уравнение (1.7) имеет
m корней (с учетом кратных), действительные части которых имеют знак, проти-
воположный знаку функции (λ0 − 1)πω(t) на промежутке [a, ω[, то существует (m+ 1)-
параметрическое семейство решений с представлениями (1.13) и (1.14) уравнения (1.1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ . . . 25
Замечание 1.2. Следствие 1.1 относится к случаю, когда дифференциальное уравне-
ние (1.2) является асимптотически близким к уравнению Эйлера. Если
lim
t↑ω
p(t)πnω(t) = c0 6= 0
и алгебраическое относительно λ0 уравнение
c0(λ0 − 1)n = α0
n−1∏
k=1
[(n− k)λ0 − (n− k − 1)]
имеет n различных вещественных корней λ0j , j = 1, n, то фундаментальная система ре-
шений yj , j = 1, n, дифференциального уравнения (1.2) допускает при t ↑ ω асимптоти-
ческие представления
ln |yj(t)| =
α0(λ0j − 1)n−1IA(t)∏n−1
k=2 [(n− k)λ0j − (n− k − 1)]
[1 + o(1)],
y
(k)
j (t)
y
(k−1)
j (t)
=
(n− j)λ0j − (n− j − 1)
(λ0j − 1)πω(t)
[1 + o(1)], k = 1, n− 1, j = 1, n.
Замечание 1.3. Теорема 1.1 в частном случае n = 2 дополняет результаты из работ [2 –
6], а следствие 1.1 — результаты из монографии [1, с. 175 – 194] об асимптотике решений
линейных дифференциальных уравнений.
2. Некоторые вспомогательные утверждения. Из результатов, полученных в [7] (см.
гл. III, леммы 10.1 – 10.6), непосредственно следует утверждение об априорных асимпто-
тических свойствах Pω(λ0)-решений дифференциального уравнения (1.1).
Лемма 2.1. Пусть y : [t0, ω[−→ R\{0}— произвольное Pω(λ0)-решение уравнения (1.1).
Тогда если λ0 ∈ R \
{
0,
1
2
,
2
3
, . . . ,
n− 2
n− 1
, 1
}
, то имеют место асимптотические соотно-
шения
y(k)(t)
y(k−1)(t)
∼ a0k
(λ0 − 1)πω(t)
при t ↑ ω, k = 1, n, (2.1)
где a0k, k = 1, n, определяются формулами (1.4) и πω — функция из (1.5).
Наряду с этой леммой при доказательстве теоремы 1.1 будет также использоваться
один признак существования исчезающих в бесконечности решений системы квазили-
нейных дифференциальных уравнений
v′k = β0
[
fk(τ, v1, . . . , vn) +
n∑
i=1
ckivi + Vk(v1, . . . , vn)
]
, k = 1, n− 1,
(2.2)
v′n = H(τ)
[
fn(τ, v1, . . . , vn) +
n∑
i=1
cnivi + Vn(v1, . . . , vn)
]
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
26 В. М. ЕВТУХОВ, МУСА ДЖАБЕР АБУ ЭЛЬ-ШАУР
в которой β0 ∈ R \ {0}, cik ∈ R, i, k = 1, n, H : [τ0,+∞[−→ R \ {0} — непрерывная
функция, fk : [τ0,+∞[×Rn1
2
−→ R, k = 1, n, — непрерывные функции, удовлетворяющие
условиям
lim
t↑ω
fk(τ, v1, . . . , vn) = 0 равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ Rn1
2
, (2.3)
где
Rn1
2
=
{
(v1, . . . , vn) ∈ Rn : |vi| ≤
1
2
, i = 1, n
}
,
а Vk : Rn1
2
−→ R, k = 1, n, — непрерывно дифференцируемые функции такие, что
Vk(0, . . . , 0) = 0, k = 1, n,
∂Vk(0, . . . , 0)
∂vi
= 0, i, k = 1, n. (2.4)
В силу теоремы 2.6 из работы [8] для системы дифференциальных уравнений (2.4)
имеет место следующее утверждение.
Лемма 2.2. Пусть функция H : [τ0,+∞[−→ R \ {0} непрерывно дифференцируема и
удовлетворяет условиям
lim
τ→+∞
H(τ) = 0, lim
τ→+∞
H ′(τ)
H(τ)
= 0,
+∞∫
τ0
H(τ) dτ = ±∞, (2.5)
а матрицы Cn = (cki)
n
k,i=1 и Cn−1 = (cki)
n−1
k,i=1 таковы, что det Cn 6= 0 и Cn−1 не имеет
собственных значений с нулевой действительной частью. Тогда система дифференци-
альных уравнений (2.2) имеет по крайней мере одно решение (vk)
n
k=1 : [τ1,+∞[−→ Rn1
2
,
τ1 ≥ τ0, стремящееся к нулю при t → +∞. Более того, если среди собственных зна-
чений матрицы Cn−1 имеется m собственных значений (с учетом кратных), действи-
тельные части которых имеют знак, противоположный знаку β0, то при выполне-
нии неравенства H(τ)(detCn)(detCn−1) > 0 таких решений системы (2.2) существует
m- параметрическое семейство, а при выполнении противоположного неравенства —
(m+ 1)-параметрическое семейство.
3. Доказательство основного результата. Доказательство теоремы 1.1. Необходи-
мость. Пусть y : [ty, ω[→ R \ {0, 1} — Pω(λ0)-решение уравнения (1.1), где λ0 ∈
∈ R \
{
0,
1
2
,
2
3
, . . . ,
n− 2
n− 1
, 1
}
. Тогда в силу леммы 2.1 имеют место асимптотические со-
отношения (1.11). Кроме того, из нее следует, что
y(n)(t) =
y(n)(t)
y(n−1)(t)
y(n−1)(t)
y(n−2)(t)
. . .
y′′(t)
y′(t)
y′(t) ∼
(∏n−1
k=2 a0k
)
y′(t)
[(λ0 − 1)πω(t)]n−1
при t ↑ ω (3.1)
и
y(n)(t) =
y(n)(t)
y(n−1)(t)
y(n−1)(t)
y(n−2)(t)
. . .
y′(t)
y(t)
y(t) ∼
(∏n−1
k=1 a0k
)
y(t)
[(λ0 − 1)πω(t)]n
при t ↑ ω. (3.2)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ . . . 27
Из (1.1) с учетом первого из этих соотношений имеем
y′(t)
y(t) |ln |y(t)||σ
=
α0[(λ0 − 1)πω(t)]
n−1p(t)∏n−1
k=2 a0k
[1 + o(1)] при t ↑ ω.
Поскольку σ 6= 1 и согласно определению Pω(λ0)-решения limt↑ω y(t) равен либо нулю,
либо ±∞, в результате интегрирования этого соотношения на промежутке от ty до t по-
лучаем
|ln |y(t)||1−σ sign ln |y(t)|
1− σ
=
α0(λ0 − 1)n−1∏n−1
k=2 a0k
IA(t)[1 + o(1)] при t ↑ ω,
откуда непосредственно следует асимптотическое представление (1.10). Учитывая те-
перь (1.10) и (3.2), из (1.1) находим
∏n−1
k=1 a0k
[(λ0 − 1)πω(t)]n
= α0 p(t)
∣∣∣∣∣(λ0 − 1)n−1∏n−1
k=2 a0k
∣∣∣∣∣
σ
1−σ
|(1− σ)IA(t)|
σ
1−σ [1 + o(1)] при t ↑ ω.
В силу этого асимптотического соотношения выполняются условия (1.8) и (1.9).
Достаточность. Предположим, что при некотором λ0 ∈ R \
{
0,
1
2
,
2
3
, . . . ,
n− 2
n− 1
, 1
}
выполняются условия (1.8), (1.9) и алгебраическое уравнение (1.7) не имеет корней с нуле-
вой действительной частью. В этом случае, применяя к уравнению (1.1) преобразование
y(k)(t)
y(k−1)(t)
=
a0k
(λ0 − 1)πω(t)
[1 + vk(τ)], k = 1, n− 1,
ln |y(t)| = ν
∣∣∣∣∣(λ0 − 1)n−1∏n−1
k=2 a0k
∣∣∣∣∣
1
1−σ
|(1− σ)IA(t)|
1
1−σ [1 + vn(τ)],
(3.3)
где
τ = β ln |πω(t)|, β =
{
1 при ω = +∞,
−1 при ω < +∞,
получаем с учетом значения ν и знакового условия (1.8) систему дифференциальных
уравнений
v′k =
β(1 + vk)
λ0 − 1
[λ0 − 1 + a0k+1(1 + vk+1)− a0k(1 + vk)] , k = 1, n− 2,
v′n−1 =
β
λ0 − 1
[
h(τ)|1 + vn|σ
(1 + v1) . . . (1 + vn−2)
− a0n−1(1 + vn−1)
2 + (λ0 − 1)(1 + vn−1)
]
, (3.4)
v′n =
βq(τ)
1− σ
[
1 + v1
h(τ)
− 1− vn
]
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
28 В. М. ЕВТУХОВ, МУСА ДЖАБЕР АБУ ЭЛЬ-ШАУР
в которой
q(τ(t)) =
[πω(t)]
np(t)
IA(t)
, h(τ(t)) =
∣∣∣∣λ0 − 1
a01
∣∣∣∣
∣∣∣∣∣(λ0 − 1)n−1∏n−1
k=2 a0k
∣∣∣∣∣
1
1−σ
|πω(t)|np(t) |(1− σ)IA(t)|
σ
1−σ .
Выберем произвольным образом число a0 ∈ ]a, ω[ и рассмотрим систему дифферен-
циальных уравнений (3.4) на множестве [τ0,+∞[×Rn1
2
, где
τ0 = β ln |πω(a0)|, Rn1
2
=
{
(v1, . . . , v2) ∈ Rn : |vi| ≤
1
2
, i = 1, n
}
.
На этом множестве правые части системы (3.4) непрерывны и имеют непрерывные част-
ные производные по v1, . . . , vn.Кроме того, в силу условия (1.9) и вида функций IA(t), τ(t)
lim
τ→+∞
h(τ) = lim
t↑ω
h(τ(t)) = 1, (3.5)
+∞∫
τ0
βq(τ) dτ =
ω∫
a0
I ′A(t)
IA(t)
dt = ln |IA(t)||ωa0 =
{
+∞, если A = a,
−∞, если A = ω,
(3.6)
причем функция q сохраняет знак на промежутке [τ0,+∞[.
Выделяя в правых частях системы (3.4) линейные части, записываем ее c учетом фор-
мул (1.4) в виде
v′k =
β
λ0 − 1
[
−a0kvk + a0k+1vk+1 − a0kv2k + a0k+1vkvk+1
]
, k = 1, n− 2,
v′n−1 =
β
λ0 − 1
[
r1(τ, v1, . . . , vn)−
n−2∑
i=1
vi − (λ0 + 1)vn−1 + σvn + V (v1, . . . , vn)
]
, (3.7)
v′n =
βq(τ)
1− σ
[r2(τ, v1) + v1 − vn] ,
где
r1(τ, v1, . . . , vn) =
[h(τ)− 1]|1 + vn|σ
|1 + v1| . . . |1 + vn−2|
, r2(τ, v1) = (1 + v1)
[
1
h(τ)
− 1
]
,
V (v1, . . . , vn) =
|1 + vn|σ
|1 + v1| . . . |1 + vn−2|
− σvn +
n−2∑
i=1
vi − λ0v2n−1.
Здесь
V (0, . . . , 0) = 0,
∂V (0, . . . , 0)
∂vi
= 0, i = 1, n,
и в силу условия (3.5)
lim
τ→+∞
r1(τ, v1, . . . , vn) = 0, lim
τ→+∞
r2(τ, v1) = 0 равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ Rn1
2
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ . . . 29
Далее, учитывая вид функций q и h, а также знак β, заметим, что
βq(τ(t))
1− σ
=
βπnω(t)p(t)
(1− σ)IA(t)
=
βn+1Mh(τ) sign [(1− σ)IA(t)]
|(1− σ)IA(t)|
1
1−σ
, (3.8)
где
M =
∣∣∣∣ a01
λ0 − 1
∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
∏n−1
k=2 a0k
(λ0 − 1)n−1
∣∣∣∣∣
1
1−σ
.
В силу этого представления и условия (3.5) последнее уравнение системы дифферен-
циальных уравнений (3.7) может быть записано так:
v′n =
βn+1M sign [(1− σ)IA(t)]
|(1− σ)IA(t)|
1
1−σ
[r3(τ, v1, vn) + v1 − vn] ,
где функция r3 имеет вид
r3(τ, v1, vn) = h(τ)r2(τ, v1) + [h(τ)− 1] [v1 − vn]
и удовлетворяет условию
lim
τ→+∞
r3(τ, v1, vn) = 0 равномерно по (v1, . . . , vn) ∈ Rn1
2
.
Таким образом, система дифференциальных уравнений (3.7) является системой вида (2.2),
в которой
H(τ) = H(τ(t)) =
βn+1M sign [(1− σ)IA(t)]
|(1− σ)IA(t)|
1
1−σ
, β0 =
β
λ0 − 1
,
fk(τ, v1, . . . , vn) ≡ 0, k = 1, n− 2, fn−1(τ, v1, . . . , vn) = r1(τ, v1, . . . , vn),
fn(τ, v1, . . . , vn) = r3(τ, v1, vn), Vn(v1, . . . , vn) ≡ 0,
Vk(v1, . . . , vn) = −a0kv2k + a0k+1vkvk+1, k = 1, n− 2, Vn−1(v1, . . . , vn) = V (v1, . . . , vn),
ckk = −a0k, ckk+1 = a0k+1, cki = 0 при i ∈ {1, . . . , n} \ {k, k + 1}, k = 1, n− 2,
cn−1i = −1, i = 1, n− 2, cn−1n−1 = −1− λ0, cn−1n = σ,
cn1 = 1, cni = 0, i = 2, n− 1, cnn = −1,
причем функции fk и Vk, k = 1, n, удовлетворяют условиям (2.3) и (2.4).
Покажем, что для этой системы выполнены все условия леммы 2.2.
В силу (1.9)
t∫
a0
p(τ)|πω(τ)|n−1 |IA(τ)|
σ
1−σ dτ ∼ M
t∫
a
dτ
πω(τ)
∼ M ln |πω(t)| −→ ±∞ при t ↑ ω,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
30 В. М. ЕВТУХОВ, МУСА ДЖАБЕР АБУ ЭЛЬ-ШАУР
где M — отличная от нуля постоянная. С другой стороны,
t∫
a0
p(τ)|πω(τ)|n−1 |IA(τ)|
σ
1−σ dτ = (1− σ) sign [πn−1ω IA(τ)]|IA(τ)|
1
1−σ
∣∣∣t
a0
.
Отсюда следует, что
lim
t↑ω
|IA(t)|
1
1−σ = +∞,
т. е. согласно правилу выбора предела интегрирования A
ω∫
a
|πω(t)|n−1p(t) dt < +∞ при σ > 1 и
ω∫
a
|πω(t)|n−1p(t) dt = +∞ при σ < 1.
Тогда
lim
τ→+∞
H(τ) = 0, signH(t) = 1 при t ∈ ]a, ω[.
Кроме того, в силу (3.8), а также (3.5) и (3.6)
lim
τ→+∞
H ′(τ)
H(τ)
= lim
t↑ω
[H(τ(t))]′t
H(τ(t))τ ′(t)
= − lim
t↑ω
βπnω(t)p(t)
(1− σ)IA(t)
= 0,
+∞∫
τ0
H(τ) dτ = ±∞,
т. е. выполняются условия (2.5)
Далее, в полученной системе вида (2.2) матрицы Cn = (cki)
n
k,i=1 и Cn−1 = (cki)
n−1
k,i=1
таковы, что
detCn = (−1)n+1
n−1∏
j=1
a0j
(
σ
a01
− 1−
n−1∑
k=1
1
a0k
)
,
detCn−1 = (−1)n+1
n−1∏
j=1
a0j
(
1 +
n−1∑
k=1
1
a0k
)
и характеристическое уравнение матрицы Cn−1 имеет вид (1.7).
Поскольку алгебраическое уравнение (1.7) не имеет корней с нулевой действитель-
ной частью и выполняется неравенство (1.6), для системы дифференциальных уравнений
(3.7), записанной в виде (2.2), выполняются все условия леммы 2.2. Согласно этой лем-
ме система (3.7) имеет по крайней мере одно решение (vk)
n
k=1 : [τ1,+∞[−→ Rn, τ1 ≥ τ0,
стремящееся к нулю при τ → +∞. Более того, если среди корней алгебраического
уравнения (1.7) имеется m корней, действительные части которых имеют знак, проти-
воположный знаку числа β(λ0 − 1), где β = signπω(t), то при выполнении неравенства
(1.12) существует m-параметрическое семейство исчезающих в бесконечности решений,
а при выполнении противоположного неравенства — (m + 1)-параметрическое семей-
ство. В силу замен (3.3) каждому такому решению системы (3.7) соответствует реше-
ние y : [t1, ω[−→ R, t1 ∈ [a, ω[, уравнения (1.1), допускающее при t ↑ ω асимптотические
представления (1.10), (1.11).
Теорема доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ . . . 31
Литература
1. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1990. — 430 с.
2. Evtukhov V.M., Mousa Jaber Abu Elshour Asymptotic behaviour of solutions of second order nonlinear
differential equations clouse to linear equations // Mem. Different. Equat. Math. Phys. — 2008. — 43. —
P. 97 – 106.
3. Муса Джабер Абу эль-шаур. Асимптотика решений неавтономных обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений второго порядка, близких к линейным // Нелiнiйнi коливання. — 2008. — 11, № 2. —
С. 230 – 241.
4. Mousa Jaber Abu Elshour. Asymptotic representations of the solutions of a class of the second order non-
autonomous differential equations // Mem. Different. Equat. Math. Phys. — 2008. — 44. — P. 59 – 68.
5. Mousa Jaber Abu Elshour, Evtukhov V. M. Asymptotic representations for solutions of a class of second
order nonlinear differential equations // Miscolc Math. Notes. — 2009. — 2. — P. 119 – 127.
6. Mousa Jaber Abu Elshour. Asymptotic representations of solutions of second order nonlinear differential
equations // Int. Math. Forum. — 2009. — 4, № 17. — P. 835 – 844.
7. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений неавтономных обыкновенных дифферен-
циальных уравнений: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. — Киев, 1998. — 295 c.
8. Евтухов В. М., Самойленко А. М. Условия существования исчезающих в особой точке решений
вещественных неавтономных систем квазилинейных дифференциальных уравнений // Укр. мат.
журн. — 2010. – 62, № 1. — С. 52 – 80.
Получено 28.04.14,
после доработки — 22.11.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
|