Про неперервні при t ∈ R розв'язки систем нелінійних функціональних рівнянь
Получены условия существования и единственности непрерывного решения широкого класса систем нелинейных функциональных уравнений, разработан метод построения таких решений и исследованы их свойства при ε → 0....
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177237 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про неперервні при t ∈ R розв'язки систем нелінійних функціональних рівнянь / Т.О. Єрьоміна // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 32-47 — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177237 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772372021-02-14T01:25:58Z Про неперервні при t ∈ R розв'язки систем нелінійних функціональних рівнянь Єрьоміна, Т.О. Получены условия существования и единственности непрерывного решения широкого класса систем нелинейных функциональных уравнений, разработан метод построения таких решений и исследованы их свойства при ε → 0. For a broad class of systems of nonlinear functional equations, we find conditions for existence and uniqueness of a continuous solution. A method for constructing such solutions and studying their properties for ε → 0 is also proposed. 2016 Article Про неперервні при t ∈ R розв'язки систем нелінійних функціональних рівнянь / Т.О. Єрьоміна // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 32-47 — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177237 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Получены условия существования и единственности непрерывного решения широкого класса систем нелинейных функциональных уравнений, разработан метод построения таких решений и исследованы их свойства при ε → 0. |
| format |
Article |
| author |
Єрьоміна, Т.О. |
| spellingShingle |
Єрьоміна, Т.О. Про неперервні при t ∈ R розв'язки систем нелінійних функціональних рівнянь Нелінійні коливання |
| author_facet |
Єрьоміна, Т.О. |
| author_sort |
Єрьоміна, Т.О. |
| title |
Про неперервні при t ∈ R розв'язки систем нелінійних функціональних рівнянь |
| title_short |
Про неперервні при t ∈ R розв'язки систем нелінійних функціональних рівнянь |
| title_full |
Про неперервні при t ∈ R розв'язки систем нелінійних функціональних рівнянь |
| title_fullStr |
Про неперервні при t ∈ R розв'язки систем нелінійних функціональних рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Про неперервні при t ∈ R розв'язки систем нелінійних функціональних рівнянь |
| title_sort |
про неперервні при t ∈ r розв'язки систем нелінійних функціональних рівнянь |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177237 |
| citation_txt |
Про неперервні при t ∈ R розв'язки систем нелінійних функціональних рівнянь / Т.О. Єрьоміна // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 32-47 — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT êrʹomínato proneperervnípritrrozvâzkisistemnelíníjnihfunkcíonalʹnihrívnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-15T15:16:33Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:16:33Z |
| _version_ |
1837726531790569472 |
| fulltext |
УДК 517.9
ПРО НЕПЕРЕРВНI ПРИ t ∈ < РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ
НЕЛIНIЙНИХ ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
Т. О. Єрьомiна
Нац. техн. ун-т України „КПI”
просп. Перемоги, 37, Київ, 03056, Україна
For a broad class of systems of nonlinear functional equations, we find conditions for existence and uni-
queness of a continuous solution. A method for constructing such solutions and studying their properties
for ε → 0 is also proposed.
Получены условия существования и единственности непрерывного решения широкого класса
систем нелинейных функциональных уравнений, разработан метод построения таких решений
и исследованы их свойства при ε → 0.
Розглянемо систему нелiнiйних функцiональних рiвнянь вигляду
x (qt) = F (t, x (t) , x (t+ f1 (t, x (t))) , . . . , x (t+ fk (t, x (t))) , ε) , (1)
де t ∈ <, q = const 6= 0, 1, ε << 1, окремi класи яких вивчалися багатьма математика-
ми. На сьогоднi ряд важливих проблем їх теорiї досить детально дослiджено (див. [1 – 5] i
наведену в них бiблiографiю). Це, зокрема, стосується вивчення питань iснування та єди-
ностi рiзного роду розв’язкiв, якi дослiджуються i в данiй роботi. Метою даної роботи є
вивчення питань iснування та єдиностi неперервних розв’язкiв системи нелiнiйних функ-
цiональних рiвнянь (1) у випадку, коли виконуються такi умови:
1) вектор-функцiя F
(
t, x0, x1, . . . , xk, ε
)
i функцiї fi (t, x) , i = 1, 2, . . . , k, є неперервни-
ми при всiх t ∈ <, xi ∈ <n, i = 0, 1, . . . , k, x ∈ <n, i має мiсце спiввiдношення
sup
t∈<
|F (t, 0, . . . , 0, ε)| = M < +∞;
2) вектор-функцiя F
(
t, x0, x1, . . . , xk, ε
)
i функцiї fi(t, x), i = 1, 2, . . . , k, задовольняють
умови
∣∣∣F (t̄, x̄0, x̄1, . . . , x̄k, ε)− F (¯̄t, ¯̄x0, ¯̄x1, . . . , ¯̄xk, ε
)∣∣∣ ≤ L0
∣∣t̄− ¯̄t
∣∣+ L
k∑
i=1
∣∣x̄i − ¯̄xi
∣∣ , (2)
∣∣fi (t̄, x̄)− fi
(¯̄t, ¯̄x)∣∣ ≤ l′i
∣∣t̄− ¯̄t
∣∣+ l′′i |x̄− ¯̄x| , i = 1, 2, . . . , k, (3)
деL0, L, l
′
i, l
′′
i , i = 1, 2, . . . , k,— деякi додатнi сталi,
(
t̄, x̄0, x̄1, . . . , x̄k, ε
)
,
(¯̄t, ¯̄x0, ¯̄x1, . . . , ¯̄xk, ε) ∈
∈ < × <kn;
c© Т. О. Єрьомiна, 2016
32 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
ПРО НЕПЕРЕРВНI ПРИ t ∈ < РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ . . . 33
3) при достатньо малих L0, L, l
′
i, l
′′
i , i = 1, 2, . . . , k, виконуються спiввiдношення
L0
ql
+
L
q
(k + 1 + [l∗ + l∗l]k) ≤ 1,
L [k + 1 + ll∗k] = θ < 1,
де l∗ = max {l′i, l′′i } , l > 0.
Поклавши в (1) ε = 0, отримаємо систему рiвнянь
x (qt) = F (t, x (t) , x (t+ f1 (t, x (t))) , . . . , x (t+ fk (t, x (t))) , 0) , (4)
для якої доведемо таку теорему.
Теорема 1. Нехай виконуються умови 1 – 3. Тодi система рiвнянь (4) має єдиний непе-
рервний розв’язок, що задовольняє умову∣∣x(t̄)− x(¯̄t)
∣∣ ≤ l
∣∣t̄− ¯̄t
∣∣ , (5)
де t̄, ¯̄t ∈ <, l — деяка додатна стала.
Доведення. Розглянемо послiдовнiсть функцiй
x0(t) = 0, (60)
xm (t) = F (q−1t, xm−1
(
q−1t
)
, xm−1
(
q−1t+ f1
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))
, . . .
. . . , xm−1
(
q−1t+ fk
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))
, 0
)
, m = 1, 2, . . . . (6m)
За допомогою методу математичної iндукцiї можна показати, що функцiї xm(t), m =
= 0, 1, . . . , є неперервними при t ∈ <. Бiльш того, доведемо, що при t ∈ < i всiх m ≥ 0
виконуються нерiвностi
|xm(t)| ≤ M ′, (7)∣∣xm(t̄)− xm(¯̄t)
∣∣ ≤ l
∣∣t̄− ¯̄t
∣∣ , (8)
де M ′ > M та l — деяка додатна стала.
Дiйсно, оскiльки x0(t) = 0, маємо∣∣x0(t̄)− x0(¯̄t)∣∣ = 0.
Згiдно з (61) отримуємо
|x1(t)| =
∣∣F (q−1t, x0(q−1t), x0 (q−1t+ f1
(
q−1t, x0(q
−1t)
))
, . . .
. . . , x0
(
q−1t+ fk
(
q−1t, x0
(
q−1t
)))
, 0
)∣∣ ≤ ∣∣F (q−1t, 0, . . . , 0, 0)∣∣ ≤ M < M ′,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
34 Т. О. ЄРЬОМIНА∣∣x1 (t̄)− x1
(¯̄t)∣∣ ≤ |F (q−1t̄, x0 (q−1t̄) , x0 (q−1t̄+ f1
(
q−1t̄, x0
(
q−1t̄
)))
, . . .
. . . , x0
(
q−1t̄+ fk
(
q−1t̄, x0
(
q−1t̄
)))
, 0
)
−
− F
(
q−1¯̄t, x0
(
q−1¯̄t
)
, x0
(
q−1¯̄t+ f1
(
q−1¯̄t, x0
(
q−1¯̄t
)))
, . . .
. . . , x0
(
q−1¯̄t+ fk
(
q−1¯̄t, x0
(
q−1¯̄t
)))
, 0
)∣∣ ≤
≤ |F
(
q−1t̄, 0, 0, . . . , 0, 0
)
− F
(
q−1¯̄t, 0, 0, . . . , 0, 0
)∣∣ ≤
≤ L0
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣ ≤ L0
q
∣∣t̄− ¯̄t
∣∣ ≤ l
L0
ql
∣∣t̄− ¯̄t
∣∣ ≤ l
∣∣t̄− ¯̄t
∣∣ .
Припустимо, що функцiї xn(t), n = 0, 1, . . . ,m − 1, якi визначенi спiввiдношеннями
(6m), задовольняють нерiвностi (7), (8). Тодi згiдно з (6m), (7) та умовами теореми одер-
жимо
|xm (t)| ≤
∣∣F (q−1t, xm−1 (q−1t) , xm−1 (q−1t+ f1
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))
, . . .
. . . , xm−1
(
q−1t+ fk
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))
, 0
)
− F
(
q−1t, 0, . . . , 0, 0
)∣∣+
+
∣∣F (q−1t, 0, . . . , 0, 0)∣∣ ≤
≤ L
(∣∣xm−1 (q−1t)∣∣+
∣∣xm−1 (q−1t+ f1
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))∣∣+ . . .
. . .+
∣∣xm−1 (q−1t+ fk
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))∣∣)+M ≤
≤ LM ′(k + 1) +M ≤ M ′
(
L(k + 1) +
M
M ′
)
≤ M ′,
∣∣xm (t̄)− xm
(¯̄t)∣∣ ≤ |F (q−1t̄, xm−1 (q−1t̄) , xm−1 (q−1t̄+ f1
(
q−1t̄, xm−1
(
q−1t̄
)))
, . . .
. . . , xm−1
(
q−1t̄+ fk
(
q−1t̄, xm−1
(
q−1t̄
)))
, 0
)
−
− F
(
q−1¯̄t, xm−1
(
q−1¯̄t
)
, xm−1
(
q−1¯̄t+ f1
(
q−1¯̄t, xm−1
(
q−1¯̄t
)))
, . . .
. . . , xm−1
(
q−1¯̄t+ fk
(
q−1¯̄t, xm−1
(
q−1¯̄t
)))
, 0
)∣∣ ≤
≤ L0
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+ L
(∣∣xm−1 (q−1t̄)− xm−1 (q−1¯̄t
)∣∣ +
+
∣∣xm−1 (q−1t̄+ f1
(
q−1t̄, xm−1
(
q−1t̄
)))
−
− xm−1
(
q−1¯̄t+ f1
(
q−1¯̄t, xm−1
(
q−1¯̄t
)))∣∣+ . . .
. . .+
∣∣xm−1(q−1t̄+ fk(q−1t̄, xm−1(q
−1t̄))) −
− xm−1(q
−1¯̄t+ fk(q−1¯̄t, xm−1(q
−1¯̄t)))
∣∣) ≤
≤ L0
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+ L
(
l
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
ПРО НЕПЕРЕРВНI ПРИ t ∈ < РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ . . . 35
+ l
∣∣q−1t̄+ f1
(
q−1t̄, xm−1
(
q−1t̄
))
− q−1¯̄t− f1
(
q−1¯̄t, xm−1
(
q−1¯̄t
))∣∣+ . . .
. . .+ l
∣∣q−1t̄+ fk
(
q−1t̄, xm−1
(
q−1t̄
))
− q−1¯̄t− fk
(
q−1¯̄t, xm−1
(
q−1¯̄t
))∣∣) ≤
≤ L0
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+ Ll
(∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+
+
∣∣f1 (q−1t̄, xm−1 (q−1t̄))− f1 (q−1¯̄t, xm−1
(
q−1¯̄t
))∣∣+ . . .
. . .+
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+
∣∣fk (q−1t̄, xm−1 (q−1t̄))− fk (q−1¯̄t, xm−1
(
q−1¯̄t
))∣∣) ≤
≤ L0
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+ Ll
(∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣ (k + 1) +
+
∣∣f1 (q−1t̄, xm−1 (q−1t̄))− f1 (q−1¯̄t, xm−1
(
q−1¯̄t
))∣∣+ . . .
. . .+
∣∣fk (q−1t̄, xm−1 (q−1t̄))− fk (q−1¯̄t, xm−1
(
q−1¯̄t
))∣∣) ≤
≤ L0
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+ Ll
(∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣ (k + 1) +
+
k∑
i=1
∣∣fi (q−1t̄, xm−1 (q−1t̄))− fi (q−1¯̄t, xm−1
(
q−1¯̄t
))∣∣) ≤
≤ L0
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+ Ll
(∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣ (k + 1) +
+
k∑
i=1
[
l′i
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+ l′′i
∣∣xm−1 (q−1t̄)− xm−1 (q−1¯̄t
)∣∣]) ≤
≤ L0
q
∣∣t̄− ¯̄t
∣∣+ Ll
(∣∣t̄− ¯̄t
∣∣ k + 1
q
+
k∑
i=1
[
l′i
q
∣∣t̄− ¯̄t
∣∣+
l′′i
q
l
∣∣t̄− ¯̄t
∣∣]) ≤
≤ L0
q
∣∣t̄− ¯̄t
∣∣+
L
q
l
(∣∣t̄− ¯̄t
∣∣ (k + 1) +
k∑
i=1
[
l′i + l′′i l
] ∣∣t̄− ¯̄t
∣∣) ≤
≤
[
L0
q
+
L
q
l
(
k + 1 +
k∑
i=1
[
l′i + l′′i l
])] ∣∣t̄− ¯̄t
∣∣ ≤
≤ l
q
[
L0
l
+ L
(
k + 1 +
k∑
i=1
[
l′i + l′′i l
])] ∣∣t̄− ¯̄t
∣∣ ≤
≤ l
q
[
L0
l
+ L (k + 1 + [l∗ + l∗l] k)
] ∣∣t̄− ¯̄t
∣∣ ≤ l
∣∣t̄− ¯̄t
∣∣ .
Отже, всi функцiї xm(t), m = 0, 1, . . . , при t ∈ < задовольняють нерiвностi (7), (8).
Тепер покажемо, що послiдовнiсть вектор-функцiй xm(t), m = 1, 2, . . . , рiвномiрно
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
36 Т. О. ЄРЬОМIНА
збiгається до деякої неперервної вектор-функцiї x(t). Для цього достатньо, щоб при всiх
t ∈ < i m = 0, 1, . . . мала мiсце оцiнка
|xm(t)− xm−1(t)| ≤ M̃θm−1, m = 1, 2, . . . , (9m)
де M̃ — деяка додатна стала (M̃ ≥ M).
Дiйсно, оскiльки x0(t) = 0, маємо
|x1(t)− x0(t)| =
∣∣F (q−1t, x0 (q−1t) , x0 (q−1t+ f1
(
q−1t, x0
(
q−1t
)))
, . . .
. . . , x0
(
q−1t+ fk
(
q−1t, x0
(
q−1t
)))
, 0
)∣∣ ≤
≤
∣∣F (q−1t, 0, . . . , 0, 0)∣∣ ≤ M ≤ M̃.
Отже, при m = 1 нерiвнiсть (9m) виконується. Припустимо, що оцiнку (9m) встановлено
для деякого m ≥ 1, i покажемо її справедливiсть для m+ 1:
|xm+1(t)− xm(t)| ≤
∣∣F (q−1t, xm (q−1t) , xm (q−1t+ f1
(
q−1t, xm
(
q−1t
)))
, . . .
. . . , xm
(
q−1t+ fk
(
q−1t, xm
(
q−1t
)))
, 0
)
−
− F
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)
, xm−1
(
q−1t+ f1
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))
, . . .
. . . , xm−1
(
q−1t+ fk
(
q−1t, xm−1(q
−1)
))
, 0
)∣∣ ≤
≤ L
[∣∣xm(q−1t)− xm−1(q−1t)
∣∣+
∣∣xm (q−1t+ f1
(
q−1t, xm
(
q−1t
)))
−
− xm−1
(
q−1t+ f1
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))∣∣+ . . .
. . .+
∣∣xm (q−1t+ fk
(
q−1t, xm
(
q−1t
)))
−
− xm−1
(
q−1t+ fk
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))∣∣] ≤
≤ L
[∣∣xm (q−1t)− xm−1 (q−1t)∣∣+
∣∣xm (q−1t+ f1
(
q−1t, xm
(
q−1t
)))
−
− xm
(
q−1t+ f1
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))
+
+ xm
(
q−1t+ f1
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))
−
− xm−1
(
q−1t+ f1
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))∣∣+ . . .
. . .+
∣∣xm (q−1t+ fk
(
q−1t, xm
(
q−1t
)))
−
− xm
(
q−1t+ fk
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))
+
+ xm
(
q−1t+ fk
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))
−
− xm−1
(
q−1t+ fk
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))∣∣] ≤
≤ L
[
M̃θm−1 +
∣∣xm (q−1t+ f1
(
q−1t, xm
(
q−1t
)))
−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
ПРО НЕПЕРЕРВНI ПРИ t ∈ < РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ . . . 37
− xm
(
q−1t+ f1
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))∣∣+
∣∣xm (q−1t+ f1
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))
−
− xm−1
(
q−1t+ f1
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))∣∣+ . . .+
∣∣xm (q−1t+ fk
(
q−1t, xm
(
q−1t
)))
−
− xm
(
q−1t+ fk
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))∣∣+
∣∣xm (q−1t+ fk
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))
−
− xm−1
(
q−1t+ fk
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
)))∣∣ ] ≤ L
[
M̃θm−1 + l
∣∣f1 (q−1t, xm (q−1t)) −
− f1
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
))∣∣+ M̃θm−1 + . . .+ l
∣∣fk (q−1t, xm (q−1t))−
− fk
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
))∣∣+ M̃θm−1
]
≤ L
[
M̃θm−1(k + 1) + l
k∑
i=1
∣∣fi (q−1t, xm (q−1t)) −
− fi
(
q−1t, xm−1
(
q−1t
))∣∣ ] ≤ L
[
M̃θm−1 (k + 1) + l
k∑
i=1
l′′i
∣∣xm (q−1t)− xm−1 (q−1t)∣∣] ≤
≤ L
[
M̃θm−1(k + 1) + l
k∑
i=1
(
l′′i M̃θm−1
)]
≤ L
[
k + 1 + l
k∑
i=1
l′′i
]
M̃θm−1 ≤
≤ L [k + 1 + ll∗k] M̃θm−1 ≤ M̃θm.
Таким чином, оцiнка (9m) виконується при всiх m ≥ 1. Звiдси випливає, що послiдов-
нiсть неперервних вектор-функцiй xm(t), m = 0, 1, . . . , рiвномiрно збiгається до деякої
неперервної вектор-функцiї x̄(t) = limm→∞ xm(t), яка є неперервним розв’язком системи
рiвнянь (4) та задовольняє нерiвнiсть
|x̄(t)| ≤ M ′
(в цьому можна переконатись, якщо в (7), (9m) перейти до границi при m → ∞).
Для завершення доведення теореми покажемо, що розв’язок x̄(t) є єдиним. Дiйсно,
припустимо, що iснує ще один неперервний розв’язок x̃(t) системи (4) такий, що x̃(t) 6=
6= x̄(t). Тодi, використовуючи умови теореми, маємо
|x̃(t)− x̄(t)| ≤
∣∣∣F(q−1t, x̃(q−1t), x̃(q−1t+ f1(q
−1t, x̃(q−1t))), . . .
. . . , x̃
(
q−1t+ fk
(
q−1t, x̃
(
q−1t
)))
, 0
)
−
− F
(
q−1t, x̄(q−1t), x̄
(
q−1t+ f1(q
−1t, x̄(q−1t))
)
, . . .
. . . x̄
(
q−1t+ fk
(
q−1t, x̄
(
q−1t
)))
, 0
)∣∣∣ ≤ L
( ∣∣x̃ (q−1t)− x̄ (q−1t)∣∣+
+
∣∣x̃ (q−1t+ f1
(
q−1t, x̃
(
q−1t
)))
− x̄
(
q−1t+ f1
(
q−1t, x̄
(
q−1t
)))∣∣+ . . .
. . .+
∣∣x̃ (q−1t+ fk
(
q−1t, x̃
(
q−1t
)))
− x̄
(
q−1t+ fk
(
q−1t, x̄
(
q−1t
)))∣∣ ) ≤
≤ L (‖x̃ (t)− x̄ (t)‖ +
∣∣x̃ (q−1t+ f1
(
q−1t, x̃
(
q−1t
)))
−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
38 Т. О. ЄРЬОМIНА
− x̃
(
q−1t+ f1
(
q−1t, x̄
(
q−1t
)))
+ x̃
(
q−1t+ f1
(
q−1t, x̄
(
q−1t
)))
−
− x̄
(
q−1t+ f1
(
q−1t, x̄
(
q−1t
)))∣∣+ . . .+
∣∣x̃ (q−1t+ fk
(
q−1t, x̃
(
q−1t
)))
−
− x̃
(
q−1t+ fk
(
q−1t, x̄
(
q−1t
)))
+ x̃
(
q−1t+ fk
(
q−1t, x̄
(
q−1t
)))
−
− x̄
(
q−1t+ fk
(
q−1t, x̄
(
q−1t
)))∣∣) ≤ L (‖x̃ (t)− x̄(t)‖ +
+ l
∣∣f1 (q−1t, x̃ (q−1t))− f1 (q−1t, x̄ (q−1t))∣∣+ ‖x̃(t)− x̄(t)‖+ . . .
. . .+ l
∣∣fk (q−1t, x̃ (q−1t))− fk (q−1t, x̄ (q−1t))∣∣+ ‖x̃(t)− x̄(t)‖) ≤
≤ L
(
‖x̃(t)− x̄(t)‖ (k + 1) + l
k∑
i=1
∣∣fi (q−1t, x̃ (q−1t))− fi (q−1t, x̄ (q−1t))∣∣) ≤
≤ L
(
‖x̃(t)− x̄(t)‖ (k + 1) + l
k∑
i=1
l′′i
∣∣x̃ (q−1t)− x̄ (q−1t)∣∣) ≤
≤ L
(
‖x̃(t)− x̄(t)‖ (k + 1) + l
k∑
i=1
l′′i ‖x̃(t)− x̄(t)‖
)
≤
≤ L
(
k + 1 + l
k∑
i=1
l′′i
)
‖x̃(t)− x̄(t)‖ ≤
≤ L (k + 1 + ll∗k) ‖x̃(t)− x̄(t)‖ ≤ θ ‖x̃(t)− x̄(t)‖ ,
де ‖x̃(t)− x̄(t)‖ = supt |x̃(t)− x̄(t)| . Звiдси безпосередньо випливає спiввiдношення
‖x̃(t)− x̄(t)‖ ≤ θ ‖x̃(t)− x̄(t)‖ ,
яке виконується лише у випадку, коли x̃(t) = x̄(t), що суперечить припущенню. Таким
чином, система рiвнянь (4) має єдиний неперервний розв’язок x̄(t).
Теорему 1 доведено.
Зауважимо, що теорема 1 справджується лише у випадку, коли виконується спiввiдно-
шення
L(k + 1) +
M
M ′
≤ 1,
яке має мiсце при достатньо малих L та M.
Виконаємо в системi рiвнянь (1) взаємно однозначну замiну змiнних x(t) = y(t)+γ(t),
де γ(t) — неперервний розв’язок системи (4). В результатi отримаємо систему рiвнянь
вигляду
y(qt) = F̃
(
t, y(t), y
(
t+ f̃1(t, y(t))
)
, . . . , y
(
t+ f̃k(t, y(t))
)
, ε
)
, (10)
де
F̃
(
t, y (t) , y
(
t+ f̃1 (t, y (t))
)
, . . . , y
(
t+ f̃k (t, y (t))
)
, ε
)
=
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
ПРО НЕПЕРЕРВНI ПРИ t ∈ < РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ . . . 39
= F (t, y (t) + γ (t) , y (t+ f1 (t, y (t) + γ (t))) + γ (t+ f1 (t, y (t) + γ (t))) , . . .
. . . , y (t+ fk (t, y (t) + γ (t))) + γ (t+ fk (t, y (t) + γ (t))) , ε)−
− F (t, γ (t) , γ (t+ f1 (t, γ (t))) , . . . , γ (t+ fk (t, γ (t))) , 0) .
Очевидно, що вектор-функцiя
F̃
(
t, y (t) , y
(
t+ f̃1 (t, y (t))
)
, . . . , y
(
t+ f̃k (t, y (t))
)
, ε
)
задовольняє умови 1, 2 та виконується умова
3′) при достатньо малих L0, L, l
′
i, l
′′
i , i = 1, 2, . . . , k, виконуються спiввiдношення
L0
ql
+
L
q
(
k + 1 +
[
l∗ + l∗ l̃
]
k
)
≤ 1, L
[
k + 1 + l̃l∗k
]
= θ < 1,
де l∗ = max {l′i, l′′i } , l̃ > 0.
Теорема 2. Нехай виконуються умови 1, 2 та 3′. Тодi система рiвнянь (10) має єдиний
неперервний розв’язок, що задовольняє умови∣∣y(t̄, ε)− y(¯̄t, ε)
∣∣ ≤ l̃
∣∣t̄− ¯̄t
∣∣ ,
lim
ε→0
y(t, ε) = 0,
де t, t̄, ¯̄t ∈ <, l̃ = l̃(ε) — додатна стала, що залежить вiд ε, ε << 1.
Доведення. Розглянемо послiдовнiсть функцiй
y0(t, ε) = 0, (110)
ym(t, ε) = F̃
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
)
, ym−1
(
q−1t+ f̃1
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)
, . . .
. . . , ym−1
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)
, ε
)
, m = 1, 2, . . . . (11m)
Як i при доведеннi теореми 1, можна показати, що при t ∈ < i всiх m ≥ 0 функцiї ym(t, ε),
m = 0, 1, . . . , є неперервними при t ∈ < i виконуються нерiвностi
|ym (t, ε)| ≤ M ′′, (12)∣∣ym(t̄, ε)− ym(¯̄t, ε)
∣∣ ≤ l̃
∣∣t̄− ¯̄t
∣∣ , (13)
де M ′′ = M ′′(ε) > M та l̃ — деякi додатнi сталi.
Дiйсно, оскiльки y0(t, ε) = 0, при m = 0 нерiвностi (12) та (13) виконуються. При-
пустимо, що функцiї yn(t, ε), n = 0, 1, . . . ,m − 1, якi визначенi спiввiдношеннями (11m),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
40 Т. О. ЄРЬОМIНА
також задовольняють нерiвностi (12), (13). Тодi згiдно з (11m), (12), (13) та умовами тео-
реми отримуємо
|ym (t, ε)| ≤
∣∣∣F̃ (q−1t, ym−1(q−1t, ε) , ym−1 (q−1t+ f̃1
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)
, . . .
. . . , ym−1
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)
, ε
)∣∣∣ ≤
≤ L
(∣∣ym−1 (q−1t, ε)∣∣+∣∣∣ym−1 (q−1t+ f̃1
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)∣∣∣+. . .
. . .+
∣∣∣ym−1 (q−1t+ f̃k
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)∣∣∣)+M ≤
≤ LM ′′(k + 1) +M ≤ M ′′
(
L(k + 1) +
M
M ′′
)
≤ M ′′,
∣∣ym(t̄, ε)− ym
(¯̄t, ε)∣∣ ≤ ∣∣∣F̃(q−1t̄, ym−1(q−1t̄, ε) , ym−1(q−1t̄+ f̃1
(
q−1t̄, ym−1
(
q−1t̄, ε
))
, ε
)
, . . .
. . . , ym−1
(
q−1t̄+ f̃k
(
q−1t̄, ym−1
(
q−1t̄, ε
))
, ε
)
, ε
)
−
− F̃
(
q−1¯̄t, ym−1
(
q−1¯̄t, ε
)
, ym−1
(
q−1¯̄t+ f̃1
(
q−1¯̄t, ym−1
(
q−1¯̄t, ε
))
, ε
)
, . . .
. . . , ym−1
(
q−1¯̄t+ f̃k
(
q−1¯̄t, ym−1
(
q−1¯̄t, ε
))
, ε
)
, ε
)∣∣∣ ≤
≤ L0
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+ L
(∣∣ym−1 (q−1t̄, ε)− ym−1 (q−1¯̄t, ε
)∣∣+
+
∣∣∣ym−1 (q−1t̄+ f̃1
(
q−1t̄, ym−1
(
q−1t̄, ε
))
, ε
)
−
−ym−1
(
q−1¯̄t+ f̃1
(
q−1¯̄t, ym−1
(
q−1¯̄t, ε
))
, ε
)∣∣∣+ . . .
. . .+
∣∣∣ym−1 (q−1t̄+ f̃k
(
q−1t̄, ym−1
(
q−1t̄, ε
))
, ε
)
−
−ym−1
(
q−1¯̄t+ f̃k
(
q−1¯̄t, ym−1
(
q−1¯̄t, ε
))
, ε
)∣∣∣) ≤
≤ L0
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+ L
(
l̃
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+
+ l̃
∣∣∣q−1t̄+ f̃1
(
q−1t̄, ym−1
(
q−1t̄, ε
))
− q−1¯̄t −
− f̃1
(
q−1¯̄t, ym−1
(
q−1¯̄t, ε
))∣∣∣+ . . .+ l̃
∣∣∣q−1t̄+ f̃k
(
q−1t̄, ym−1
(
q−1t̄, ε
))
−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
ПРО НЕПЕРЕРВНI ПРИ t ∈ < РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ . . . 41
− q−1¯̄t− f̃k
(
q−1¯̄t, ym−1
(
q−1¯̄t, ε
))∣∣∣) ≤ L0
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+
+ Ll̃
( ∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+
+
∣∣∣f̃1 (q−1t̄, ym−1 (q−1t̄, ε))− f̃1 (q−1¯̄t, ym−1
(
q−1¯̄t, ε
))∣∣∣+ . . .
. . .+
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+
∣∣∣f̃k (q−1t̄, ym−1 (q−1t̄, ε))− f̃k (q−1¯̄t, ym−1
(
q−1¯̄t, ε
))∣∣∣ ) ≤
≤ L0
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+ Ll̃
(∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣ (k + 1) +
+
k∑
i=1
∣∣∣f̃i (q−1t̄, ym−1 (q−1t̄, ε))− f̃i (q−1¯̄t, ym−1
(
q−1¯̄t, ε
))∣∣∣) ≤
≤ L0
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+ Ll̃
(∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣ (k + 1) +
+
k∑
i=1
(
l′i
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+ l′′i
∣∣ym−1 (q−1t̄, ε)− ym−1 (q−1¯̄t, ε
)∣∣)) ≤
≤ L0
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+ Ll̃
(∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣ (k + 1) +
+
k∑
i=1
(
l′i
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣+ l′′i l
∣∣q−1t̄− q−1¯̄t
∣∣)) ≤
≤ L0
q
∣∣t̄− ¯̄t
∣∣+
L
q
l̃
(
k + 1 +
k∑
i=1
(
l′i + l′′i l̃
)) ∣∣t̄− ¯̄t
∣∣ ≤
≤ l̃
[
L0
ql̃
+
L
q
(
k + 1 +
k∑
i=1
(
l′i + l′′i l̃
))] ∣∣t̄− ¯̄t
∣∣ ≤
≤ l̃
[
L0
ql̃
+
L
q
(
k + 1 +
(
l∗ + l∗ l̃
)
k
)] ∣∣t̄− ¯̄t
∣∣ ≤ l̃
∣∣t̄− ¯̄t
∣∣ .
Отже, всi функцiї ym(t, ε), m = 0, 1, . . . , при t ∈ < задовольняють нерiвностi (12)
та (13).
Покажемо, що система функцiональних рiвнянь (10) має неперервний розв’язок ȳ(t, ε),
який задовольняє умову limε→0 |ȳ(t, ε)| = 0. Для цього доведемо, що при всiх m ≥ 0 має
мiсце спiввiдношення
lim
ε→0
|ym(t, ε)| = 0. (13m)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
42 Т. О. ЄРЬОМIНА
Розглядаючи послiдовно (11m), m = 0, 1, . . . , знаходимо
lim
ε→0
|y0(t, ε)| = 0,
lim
ε→0
[y1 (t, ε)] = lim
ε→0
F̃
(
q−1t, y0
(
q−1t, ε
)
, y0
(
q−1t+ f̃1
(
q−1t, y0
(
q−1t, ε
))
, ε
)
, . . .
. . . , y0
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, y0
(
q−1t, ε
))
, ε
)
, ε
)
=
= lim
ε→0
[
F
(
q−1t, y0
(
q−1t, ε
)
+ γ
(
q−1t
)
, y0
(
q−1t+ f1
(
q−1t, y0
(
q−1t, ε
)
+
+γ
(
q−1t
))
, ε
)
+ γ
(
q−1t+ f1
(
q−1t, y0
(
q−1t, ε
)
+ γ
(
q−1t
)))
, . . .
. . . , y0
(
q−1t+ fk
(
q−1t, y0
(
q−1t, ε
)
+ γ
(
q−1t
))
, ε
)
+
+γ
(
q−1t+ fk
(
q−1t, y0
(
q−1t, ε
)
+ γ
(
q−1t
)))
, ε
)
−
− F
(
q−1t, γ
(
q−1t
)
, γ
(
q−1t+ f1
(
q−1t, γ
(
q−1t
)))
, . . .
. . . , γ
(
q−1t+ fk
(
q−1t, γ
(
q−1t
)))
, 0
) ]
=
= F
(
q−1t, γ
(
q−1t
)
, γ
(
q−1t+ f1
(
q−1t, γ
(
q−1t
)))
, . . .
. . . , γ
(
q−1t+ fk
(
q−1t, γ
(
q−1t
)))
, 0
)
−
− F
(
q−1t, γ
(
q−1t
)
, γ
(
q−1t+ f1
(
q−1t, γ
(
q−1t
)))
, . . .
. . . , γ
(
q−1t+ fk
(
q−1t, γ
(
q−1t
)))
, 0
)
= 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
lim
ε→0
[ym(t, ε)] = lim
ε→0
[
F̃
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
)
, ym−1
(
q−1t+ f̃1
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)
, . . .
. . . , ym−1
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)
, ε
)]
=
= lim
ε→0
[
F
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
)
+ γ
(
q−1t
)
,
ym−1
(
q−1t+ f1
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
)
+ γ
(
q−1t
))
, ε
)
+
+ γ
(
q−1t+ f1
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
)
+ γ
(
q−1t
)))
, . . .
. . . , ym−1
(
q−1t+ fk
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
)
+ γ
(
q−1t
))
, ε
)
+
+γ
(
q−1t+ fk
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
)
+ γ
(
q−1t
)))
, ε
)
−
− F
(
q−1t, γ
(
q−1t
)
, γ
(
q−1t+ f1
(
q−1t, γ
(
q−1t
)))
, . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
ПРО НЕПЕРЕРВНI ПРИ t ∈ < РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ . . . 43
. . . , γ
(
q−1t+ fk
(
q−1t, γ
(
q−1t
)))
, 0
) ]
=
= F
(
q−1t, γ
(
q−1t
)
, γ
(
q−1t+ f1
(
q−1t, γ
(
q−1t
)))
, . . .
. . . , γ
(
q−1t+ fk
(
q−1t, γ
(
q−1t
)))
, 0
)
−
− F
(
q−1t, γ
(
q−1t
)
, γ
(
q−1t+ f1
(
q−1t, γ
(
q−1t
)))
, . . .
. . . γ
(
q−1t+ fk
(
q−1t, γ
(
q−1t
)))
, 0
)
= 0, m ≥ 2,
що i необхiдно було довести.
Тепер покажемо, що при всiх t ∈ < i m ≥ 1 виконується оцiнка
|ym(t, ε)− ym−1(t, ε)| ≤ M̄θm−1, (14m)
де M̄ = M̄(ε) > M. Дiйсно, оскiльки y0(t, ε) = 0, маємо
|y1(t, ε)− y0(t, ε)| =
∣∣∣F̃ (q−1t, y0 (q−1t, ε) , y0 (q−1t+ f̃1
(
q−1t, y0
(
q−1t, ε
)))
, . . .
. . . , y0
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, y0
(
q−1t, ε
)))
, ε
)∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣F̃ (q−1t, 0, . . . , 0, ε)∣∣∣ ≤ M < M̄.
Отже, при m = 1 нерiвнiсть (14m) виконується. Припустимо, що оцiнку (14m) вста-
новлено для деякого m ≥ 1, i покажемо її справедливiсть для m+ 1:
|ym+1(t, ε)− ym(t, ε)| ≤
∣∣∣∣∣F̃ (q−1t, ym (q−1t, ε) , ym (q−1t+ f̃1
(
q−1t, ym
(
q−1t, ε
))
, ε
)
, . . .
. . . , ym
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, ym
(
q−1t, ε
))
, ε
)
, ε
)
− F̃
(
q−1t,
ym−1
(
q−1t, ε
)
, ym−1
(
q−1t+ f̃1
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)
, . . .
. . . , ym−1
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)
, ε
)∣∣∣∣∣ ≤
≤ L
[ ∣∣ym (q−1t, ε)− ym−1 (q−1t, ε)∣∣+
+
∣∣∣ym (q−1t+ f̃1
(
q−1t, ym
(
q−1t, ε
))
, ε
)
−
− ym−1
(
q−1t+ f̃1
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)∣∣∣+ . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
44 Т. О. ЄРЬОМIНА
. . .+
∣∣∣ym (q−1t+ f̃k
(
q−1t, ym
(
q−1t, ε
))
, ε
)
−
− ym−1
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)∣∣∣ ] ≤
≤ L
[ ∣∣ym (q−1t, ε)− ym−1 (q−1t, ε)∣∣+
+
∣∣∣ym (q−1t+ f̃1
(
q−1t, ym
(
q−1t, ε
))
, ε
)
− ym
(
q−1t+ f̃1
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)
+
+ ym
(
q−1t+ f̃1
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)
− ym−1
(
q−1t+ f̃1
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)∣∣∣+. . .
. . .+
∣∣∣ym (q−1t+ f̃k
(
q−1t, ym
(
q−1t, ε
))
, ε
)
− ym
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)
+
+ ym
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)
− ym−1
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
))
, ε
)∣∣∣]≤
≤ L
[ ∣∣ym (q−1t, ε)− ym−1 (q−1t, ε)∣∣+
∣∣∣ym (q−1t+ f̃1
(
q−1t, ym
(
q−1t, ε
)))
−
− ym
(
q−1t+ f̃1
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
)))∣∣∣+
∣∣∣ym (q−1t+ f̃1
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
)))
−
− ym−1
(
q−1t+ f1
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
)))∣∣+ . . .+
∣∣∣ym (q−1t+ f̃k
(
q−1t, ym
(
q−1t, ε
)))
−
− ym
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
)))∣∣∣+
∣∣∣ym (q−1t+ f̃k
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
)))
−
− ym−1
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, ym−1
(
q−1t, ε
)))∣∣∣ ] ≤
≤ L
[
M̄θm−1 + l̃
∣∣∣f̃1 (q−1t, ym (q−1t, ε))− f̃1 (q−1t, ym−1 (q−1t, ε))∣∣∣+ M̄θm−1 + . . .
. . .+ l̃
∣∣∣f̃k (q−1t, ym (q−1t, ε))− f̃k (q−1t, ym−1 (q−1t, ε))∣∣∣+ M̄θm−1
]
≤
≤ L
[
M̄θm−1(k + 1) + l̃
k∑
i=1
∣∣∣f̃i (q−1t, ym (q−1t, ε))− f̃i (q−1t, ym−1 (q−1t, ε))∣∣∣] ≤
≤ L
[
M̄θm−1(k + 1) + l̃
k∑
i=1
l′′i
∣∣ym (q−1t, ε)− ym−1 (q−1t, ε)∣∣] ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
ПРО НЕПЕРЕРВНI ПРИ t ∈ < РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ . . . 45
≤ L
[
M̄θm−1(k + 1) + l̃
k∑
i=1
l′′i M̄θm−1
]
≤
≤ L
[
k + 1 + l̃l∗k
]
M̄θm−1 ≤ L
[
k + 1 + l̃l∗k
]
M̄θm−1 ≤ M̄θm, m = 2, 3, . . . .
Таким чином, оцiнка (14m) виконується при всiх m ≥ 1. Звiдси випливає, що послiдов-
нiсть неперервних вектор-функцiй ym(t, ε), m = 0, 1, . . . , рiвномiрно збiгається до деякої
неперервної вектор-функцiї ȳ(t, ε) = limm→∞ ym(t, ε), яка є неперервним розв’язком си-
стеми рiвнянь (10), який задовольняє нерiвнiсть
|ȳ(t, ε)| ≤ M ′′
та такий, що limε→0 ȳ(t, ε) = 0 (в цьому можна переконатись, якщо в (12), (11m), (13m)
перейти до границi при m → ∞).
Для завершення доведення теореми покажемо, що розв’язок ȳ(t, ε) є єдиним. Дiйс-
но, припустимо, що iснує ще один неперервний розв’язок ỹ(t, ε) системи (10) такий, що
ỹ(t, ε) 6= ȳ(t, ε). Тодi, використовуючи умови теореми, маємо
|ỹ(t, ε)− ȳ(t, ε)| ≤
∣∣∣F̃ (q−1t, ỹ (q−1t, ε) , ỹ (q−1t+ f̃1
(
q−1t, ỹ
(
q−1t, ε
))
, ε
)
, . . .
. . . , ỹ
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, ỹ
(
q−1t, ε
))
, ε
)
, ε
)
−
− F̃
(
q−1t, ȳ
(
q−1t, ε
)
, ȳ
(
q−1t+ f̃1
(
q−1t, ȳ
(
q−1t, ε
))
, ε
)
, . . .
. . . , ȳ
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, ȳ
(
q−1t, ε
))
, ε
)
, ε
)∣∣∣ ≤
≤ L
(∣∣ỹ (q−1t, ε)− ȳ (q−1t, ε)∣∣+
∣∣∣ỹ (q−1t+ f̃1
(
q−1t, ỹ
(
q−1t, ε
))
, ε
)
−
−ȳ
(
q−1t+ f̃1
(
q−1t, ȳ
(
q−1t, ε
))
, ε
)∣∣∣+ . . .
. . .+
∣∣∣ỹ (q−1t+ f̃k
(
q−1t, ỹ
(
q−1t, ε
))
, ε
)
−
− ȳ
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, ȳ
(
q−1t, ε
))
, ε
)∣∣∣) ≤
≤ L
(
‖ỹ(t, ε)− ȳ(t, ε)‖ +
∣∣∣ỹ (q−1t+ f̃1
(
q−1t, ỹ
(
q−1t, ε
))
, ε
)
−
− ỹ
(
q−1t+ f̃1
(
q−1t, ȳ
(
q−1t, ε
))
, ε
)
+ ỹ
(
q−1t+ f̃1
(
q−1t, ȳ
(
q−1t, ε
))
, ε
)
−
−ȳ
(
q−1t+ f̃1
(
q−1t, ȳ
(
q−1t, ε
))
, ε
)∣∣∣+ . . .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
46 Т. О. ЄРЬОМIНА
. . .+
∣∣∣ỹ (q−1t+ f̃k
(
q−1t, ỹ
(
q−1t, ε
))
, ε
)
−
− ỹ
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, ȳ
(
q−1t, ε
))
, ε
)
+ . . .
. . .+
∣∣∣ỹ (q−1t+ f̃k
(
q−1t, ȳ
(
q−1t, ε
))
, ε
)
−
− ȳ
(
q−1t+ f̃k
(
q−1t, ȳ
(
q−1t, ε
))
, ε
)∣∣∣) ≤
≤ L
(
‖ỹ(t, ε)− ȳ(t, ε)‖+ l̃
∣∣∣f̃1 (q−1t, ỹ (q−1t, ε))− f̃1 (q−1t, ȳ (q−1t, ε))∣∣∣+
+ ‖ỹ (t, ε)− ȳ(t, ε)‖+ . . .+ l̃
∣∣∣f̃k (q−1t, ỹ (q−1t, ε))− f̃k (q−1t, ȳ (q−1t, ε))∣∣∣+
+ ‖ỹ(t, ε)− ȳ(t, ε)‖
)
≤
≤ L
(
‖ỹ(t, ε)− ȳ(t, ε)‖ (k + 1) + l̃
k∑
i=1
l′′i
∣∣ỹ (q−1t, ε)− ȳ (q−1t, ε)∣∣) ≤
≤ L
(
‖ỹ (t, ε)− ȳ(t, ε)‖ (k + 1) + l̃
k∑
i=1
l′′i ‖ỹ (t, ε)− ȳ(t, ε)‖
)
≤
≤ L
(
k + 1 + l̃
k∑
i=1
l′′i
)
‖ỹ(t, ε)− ȳ(t, ε)‖ ≤ L
(
k + 1 + l̃l∗k
)
‖ỹ(t, ε)− ȳ(t, ε)‖ ≤
≤ θ ‖ỹ(t, ε)− ȳ(t, ε)‖ ,
де ‖ỹ(t, ε)− ȳ(t, ε)‖ = supt |ỹ(t, ε)− ȳ(t, ε)|. Звiдси безпосередньо випливає спiввiдношення
‖ỹ(t, ε) − ȳ(t, ε)‖ ≤ θ‖ỹ(t, ε) − ȳ(t, ε)‖, яке можливе лише у випадку, коли ỹ(t, ε) = ȳ(t, ε),
що суперечить припущенню. Таким чином, система рiвнянь (10) має єдиний неперервний
розв’язок ȳ(t, ε).
Теорему 2 доведено.
Зауважимо, що теорема 2 має мiсце лише тодi, коли виконується спiввiдношення
L (k + 1) +
M
M ′′
≤ 1,
яке має мiсце при достатньо малих L та M.
Лiтература
1. Agarwal R. P., Romanenko E. Yu. Stable periodic solutions of difference equations // Appl. Math. Lett. —
1998. — 11, № 4. — P. 81 – 84.
2. Kuczma M., Choczewski B., Ger R. Iterative functional equations. — Cambridge Univ. Press, 1990. — 552 p.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
ПРО НЕПЕРЕРВНI ПРИ t ∈ < РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ . . . 47
3. Мартынюк Д. И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. — Киев: Наук. думка, 1972. —
248 с.
4. Пелюх Г. П. О существовании периодических решений нелинейных разностных уравнений // Укр. мат.
журн. — 2002. — 54, № 12. — С. 1623 – 1633.
5. Пелюх Г. П., Сивак О. А. Перiодичнi розв’язки систем нелiнiйних функцiональних рiвнянь // Нелiнiйнi
коливання. — 2013. — 16, № 1. — C. 90 – 93.
Одержано 10.03.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
|