Умови існування оптимального керування для деяких класів диференціальних рівнянь на часових шкалах
Рассматривается задача оптимального управления на конечных и бесконечных временных шкалах. Получены достаточные условия существования оптимального управления в терминах правых частей системы и функции, входящей в критерий качества....
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177240 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Умови існування оптимального керування для деяких класів диференціальних рівнянь на часових шкалах / О.Є. Лаврова // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 67-84 — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177240 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772402021-02-14T01:26:07Z Умови існування оптимального керування для деяких класів диференціальних рівнянь на часових шкалах Лаврова, О.Є. Рассматривается задача оптимального управления на конечных и бесконечных временных шкалах. Получены достаточные условия существования оптимального управления в терминах правых частей системы и функции, входящей в критерий качества. We consider a class of optimal control problems on finite and infinite time scales. Sufficient conditions for the existence of optimal control for such optimal control problems are obtained. These conditions are presented in terms of functions included in the right-hand side of the system and the functional. 2016 Article Умови існування оптимального керування для деяких класів диференціальних рівнянь на часових шкалах / О.Є. Лаврова // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 67-84 — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177240 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Рассматривается задача оптимального управления на конечных и бесконечных временных шкалах. Получены достаточные условия существования оптимального управления в терминах правых частей системы и функции, входящей в критерий качества. |
| format |
Article |
| author |
Лаврова, О.Є. |
| spellingShingle |
Лаврова, О.Є. Умови існування оптимального керування для деяких класів диференціальних рівнянь на часових шкалах Нелінійні коливання |
| author_facet |
Лаврова, О.Є. |
| author_sort |
Лаврова, О.Є. |
| title |
Умови існування оптимального керування для деяких класів диференціальних рівнянь на часових шкалах |
| title_short |
Умови існування оптимального керування для деяких класів диференціальних рівнянь на часових шкалах |
| title_full |
Умови існування оптимального керування для деяких класів диференціальних рівнянь на часових шкалах |
| title_fullStr |
Умови існування оптимального керування для деяких класів диференціальних рівнянь на часових шкалах |
| title_full_unstemmed |
Умови існування оптимального керування для деяких класів диференціальних рівнянь на часових шкалах |
| title_sort |
умови існування оптимального керування для деяких класів диференціальних рівнянь на часових шкалах |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177240 |
| citation_txt |
Умови існування оптимального керування для деяких класів диференціальних рівнянь на часових шкалах / О.Є. Лаврова // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 67-84 — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT lavrovaoê umoviísnuvannâoptimalʹnogokeruvannâdlâdeâkihklasívdiferencíalʹnihrívnânʹnačasovihškalah |
| first_indexed |
2025-07-15T15:16:45Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:16:45Z |
| _version_ |
1837726544146989056 |
| fulltext |
УДК 517.9
УМОВИ IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
ДЛЯ ДЕЯКИХ КЛАСIВ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
НА ЧАСОВИХ ШКАЛАХ
О. Є. Лаврова
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
вул. Володимирська, 64, Київ, 01033, Україна
e-mail: lavrova_olia@mail.ru
We consider a class of optimal control problems on finite and infinite time scales. Sufficient conditions
for the existence of optimal control for such optimal control problems are obtained. These conditions are
presented in terms of functions included in the right-hand side of the system and the functional.
Рассматривается задача оптимального управления на конечных и бесконечных временных шка-
лах. Получены достаточные условия существования оптимального управления в терминах
правых частей системы и функции, входящей в критерий качества.
1. Вступ. Часовою шкалою T називається довiльна непорожня замкнена пiдмножина дiйс-
них чисел. Вивчення диференцiальних рiвнянь на часових шкалах останнiм часом викли-
кає великий iнтерес серед дослiдникiв. Поняття ∆-похiдної ввiв у 1988 р. S. Hilger в [1], що
дозволило об’єднати з єдиної точки зору дискретний i неперервний аналiз. Основи такого
аналiзу викладено в монографiї [2].
Останнiм часом багато авторiв вивчають проблеми оптимального керування на ча-
сових шкалах. Основними методами дослiдження задач оптимального керування є метод
динамiчного програмування Беллмана i принцип максимуму Понтрягiна.
Щодо методу динамiчного програмування Беллмана слiд вiдзначити роботу [3], де
отримано рiвняння Гамiльтона – Якобi – Беллмана в одномiрному випадку для оптималь-
ного керування рiвнянням, яке мiстить лiнiйну частину, а також роботу [4], де розглянуто
загальний випадок. Вiдносно принципу максимуму Понтрягiна вкажемо на роботу [5], в
якiй отримано сильну версiю принципу максимуму Понтрягiна.
Зазначимо, що вказанi вище результати, як правило, дають необхiднi умови опти-
мальностi i для їх перевiрки потрiбно використовувати спецiальнi об’єкти: функцiї Белл-
мана та Понтрягiна. Тому бажано було б мати достатнi умови оптимальностi у термiнах
вихiдних об’єктiв: правих частин керованих систем та критерiю якостi. Один iз варiантiв
такого роду результатiв наведено в [6]. Однак у вказанiй роботi розглянуто лише одно-
вимiрну задачу на скiнченному iнтервалi. При цьому у керованому рiвняннi видiлено го-
ловну лiнiйну частину, а саме керування входить у рiвняння лише адитивно.
В данiй роботi розглянуто багатовимiрний випадок, причому задача вивчається як на
скiнченному, так i на нескiнченному часових iнтервалах. Зауважимо також, що суттєвою
вiдмiннiстю нашої постановки задачi є те, що кожний розв’язок розглядається до момен-
ту його виходу з областi, а тому у критерiя якостi з’являється ще один параметр, залежний
вiд керування, — момент виходу, що значно ускладнює задачу.
Робота складається зi вступу i двох пунктiв. У першому пунктi розглядається задача
оптимального керування на скiнченному iнтервалi, а у другому — на пiвосi.
c© О. Є. Лаврова, 2016
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 67
68 О. Є. ЛАВРОВА
2. Задача на скiнченному iнтервалi. На часовiй шкалi T розглянемо задачу оптималь-
ного керування
x∆ = f1(t, x) + f2(t, x)u(t),
x(0) = x0
(1)
з критерiєм якостi
J(u) =
∫
[0,σ(τ))T
L(t, x(t), u(t))∆t → inf . (2)
Тут t ∈ [0, T0]T, 0 ∈ T, T0 ∈ T, x ∈ D — фазовий вектор, x0 ∈ D — фiксований вектор,
x∆ — ∆-похiдна на часовiй шкалi [2], D — область в Rd, ∂D — її межа, D = D ∪ ∂D,
σ(τ) — момент першого виходу розв’язку x(t) на межу областi D, u ∈ U ⊂ Rm — вектор
керування, U — опукла замкнена множина, вектор-функцiя f1(t, x) : [0, T0]T × D → Rd i
матриця f2(t, x) : [0, T0]T ×D → Rd × Rm є неперервними за сукупнiстю змiнних i для них
виконується умова лiнiйного росту: iснує така стала C > 0, що для будь-яких t ∈ [0, T0]T,
x ∈ D
|f1(t, x)| ≤ C(1 + |x|), ‖f2(t, x)‖ ≤ C(1 + |x|). (3)
Функцiї L(t, x, u), Lx(t, x, u) i Lu(t, x, u) є неперервними за сукупнiстю змiнних для до-
вiльних t ∈ [0, T0]T, x ∈ D, u ∈ U i задовольняють такi умови:
1) iснують сталi k > 0 i p > 1 такi, що
L(t, x, u) ≥ k|u|p (4)
для t ∈ [0, T0]T, x ∈ D, u ∈ U ;
2) iснують сталi K > 0 i α > 0 такi, що
|Lx(t, x, u)|+ |Lu(t, x, u)| ≤ K
(
1 + |u|p−1 + |x|α
)
(5)
для t ∈ [0, T0]T, x ∈ D, u ∈ U ;
3) L(t, x, u) опукла по u для будь-яких фiксованих t ∈ [0, T0]T, x ∈ D.
Керування u(t) вважаються допустимими, якщо:
a1) u(t) ∈ Lp[0, T0)T,
a2) u(t) ∈ U при t ∈ [0, T0]T.
Множину допустимих керувань позначатимемо через V.
Має мiсце така теорема.
Теорема 1. Нехай для системи (1) з критерiєм якостi (2) виконуються умови 1 – 3.
Тодi задача (1), (2) має розв’язок у класi допустимих керувань.
Доведення. Зазначимо, що керування u(t) = u0, u0 ∈ U, є допустимими. Покажемо,
що розв’язки x(t), що вiдповiдають керуванню u0, є обмеженими при t ∈ [0, σ(τ)]T, де
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
УМОВИ IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 69
σ(τ) — момент виходу x(t) на межу областi D. Згiдно з (3) маємо
|x(t)| ≤ 3|x0|+ 3C(1 + |u0|)
∫
[0,σ(τ))T
(1 + |x(t)|)∆t ≤
≤ 3|x0|+ 3C(1 + |u0|)T0 + 3C(1 + |u0|)
∫
[0,σ(τ))T
|x(t)|∆t.
Застосовуючи аналог леми Гронуолла – Беллмана [6] (лема 2.1), отримуємо
|x(t)| ≤ 3 (|x0|+ C(1 + |u0|)T0) e3C(1+|u0|)(T0, 0) < ∞,
де e3C(1+|u0|)(T0, 0) — експонента на часовiй шкалi, яка в даному випадку є обмеженою.
Отже, розв’язки x(t) є обмеженими. Тому, оскiльки функцiя L(t, x, u) неперервна за
сукупнiстю змiнних, ∫
[0,σ(τ))T
L(t, x(t), u0)∆t < ∞. (6)
Критерiй якостi — невiд’ємна величина, тому iснує невiд’ємна нижня межа m значень
J(u), а отже, iснує послiдовнiсть таких допустимих керувань {un(t), n ≥ 1}, що J(un) →
→ m при n → ∞, тобто
J(un) =
∫
[0,σ(τn))T
L(t, xn(t), un(t))∆t → m при n → ∞,
де xn(t) — розв’язки системи (1), що вiдповiдають керуванням un(t), σ(τn) — моменти
виходу розв’язку xn(t) на межу областi D. Зауважимо, що для достатньо великих n
J(un) ≤ m+ 1.
Не втрачаючи загальностi будемо вважати, що un(s) = 0 для σ(τn) < s ≤ T0, якщо
σ(τn) < T0. Тодi, використовуючи умову (4), отримуємо∫
[0,σ(τn))T
|un(t)|p∆t =
∫
[0,T0)T
|un(t)|p∆t ≤ m+ 1
k
,
‖un(· )‖p ≤
(
m+ 1
k
)1/p
. (7)
Отже, сiм’я un(· ) є слабко компактною в Lp[0, T0)T. Тому можна вибрати пiдпослiдов-
нiсть (яку також будемо позначати через un(t)), що слабко збiгається до границi u∗(t) ∈
∈ Lp[0, T0)T i така, що виконується умова (7). Тодi за лемою Мазура [9, c. 173] знайдеться
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
70 О. Є. ЛАВРОВА
така опукла комбiнацiя bk(t) =
∑n(k)
i=1 αi(k)ui(t) елементiв ui(t) ∈ U
(
αi ≥ 0,
∑n(k)
i=1 αi(k) =
= 1
)
, що в Lp маємо bk → u∗, k → ∞. Отже, iснує майже скрiзь збiжна на [0, T0]T пiд-
послiдовнiсть bkl така, що bkl(t) → u∗(t) при l → ∞. Оскiльки U — опукла та замкнена
множина, то
∑n(k)
i=1 αiui(t) ∈ U i u∗(t) ∈ U майже для всiх t.
Розглянемо тепер послiдовнiсть розв’язкiв xn(t) системи (1), що вiдповiдають послi-
довностi керувань {un(t), n ≥ 1}. Встановимо їх iснування. Для цього перевiримо умови
теореми Каратеодорi [11].
Функцiя f1(t, x) + f2(t, x)un(t) є неперервною по x i вимiрною по t для будь-якого x, а
|f1(t, x)+f2(t, x)un(t)| ≤ C(1+|un(t)|)(1+|x(t)|) — iнтегровною для будь-якого t ∈ [0, T0]T.
Отже, для будь-якого керування un(t) iснує вiдповiдний йому розв’язок xn(t), визначений
на вiдрiзку [0, σ(τn)]T, i для нього справедливим є iнтегральне зображення
xn(t) = x0 +
∫
[0,t)T
[f1(s, xn(s)) + f2(s, xn(s))un(s)] ∆s, де t ∈ [0, σ(τn)]T.
Покажемо рiвномiрну обмеженiсть розв’язкiв xn при t ∈ [0, σ(τn)]T. Використовуючи
нерiвнiсть Гельдера i умову лiнiйного росту (3), для довiльного t ∈ [0, σ(τn)]T маємо
|xn(t)|q ≤ 3q−1
|x0|q +
∣∣∣∣∣∣∣
∫
[0,t)T
f1(s, xn(s))∆s
∣∣∣∣∣∣∣
q
+
∣∣∣∣∣∣∣
∫
[0,t)T
f2(s, xn(s))un(s)∆s
∣∣∣∣∣∣∣
q ≤
≤ 3q−1
|x0|q +
CT0 + C
∫
[0,t)T
|xn(s)|∆s
q
+
+ C
∫
[0,t)T
|un(s)|∆s+
∫
[0,t)T
|xn(s)| |un(s)|∆s
q ≤
≤ 6q−1Cq
|x0|q· 21−q
Cq
+ T q0 + T
q/p
0
∫
[0,t)T
|xn(s)|q∆s+ T0
∫
[0,t)T
|un(s)|p∆s
q/p
+
+
∫
[0,t)T
|un(s)|p∆s
q/p ∫
[0,t)T
|xn(s)|q∆s
≤
≤ 6q−1Cq
21−q|x0|q
Cq
+ T q0 + T
q/p
0
∫
[0,t)T
|xn(s)|q∆s+ T0‖un‖qp + ‖un‖qp
∫
[0,t)T
|xn(s)|q∆s
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
УМОВИ IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 71
Нехай
M1 = 6q−1Cq
(
21−q|x0|q
Cq
+ T q0 + T0‖un‖qp
)
= const, M2 = 6q−1Cq
(
T
q/p
0 + ‖un‖qp
)
.
Тодi за аналогом леми Гронуолла – Беллмана [6] (лема 2.1) маємо
|xn(t)|q ≤ M1eM2(T0, 0) = Aq < ∞, при t ∈ [0, σ(τn)]T. (8)
Отже, ми отримали рiвномiрну обмеженiсть розв’язку xn при t ∈ [0, σ(τn)]T. Тому функцiї
xn можна продовжити на весь iнтервал [0, T0]T таким чином:
yn(t) =
{
xn(t) при t ∈ [0, σ(τn))T,
xn(σ(τn)) при t ∈ [σ(τn), T0]T.
(9)
Доведемо рiвностепеневу неперервнiсть функцiй yn(t) при t ∈ [0, T0]T.
Розглянемо такi випадки:
1) для будь-яких s1, s2 ∈ [0, σ(τn)]T таких, що s1 < s2, використовуючи умову лiнiйно-
го росту (3) i нерiвнiсть Гельдера, маємо
|yn(s1)− yn(s2)| = |xn(s1)− xn(s2)| =
∣∣∣∣∣∣∣
∫
[s1,s2)T
[f1(t, xn(t)) + f2(t, xn(t))un(t)] ∆t
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∫
[s1,s2)T
C(1 + |xn(t)|)(1 + |un(t)|)∆t ≤
≤ C
(s2 − s1) +
∫
[s1,s2)T
|xn(t)|∆t+
∫
[s1,s2)T
|un(t)|∆t +
+
∫
[s1,s2)T
|xn(t)| |un(t)|∆t
≤ C((s2 − s1) + (s2 − s1)A+
+ (s2 − s1)1/q‖un(t)‖p + ‖un(t)‖pA(s2 − s1)1/q) → 0 при |s2 − s1| → 0;
2) якщо s1 < σ(τn) < s2 < T0, то аналогiчно попередньому випадку маємо
|yn(s1)− yn(σ(τn))| = |xn(s1)− xn(σ(τn))| ≤ C
(
(σ(τn)− s1) + (σ(τn)− s1)A+
+ (σ(τn)− s1)1/q‖un(t)‖p + ‖un(t)‖pA(σ(τn)− s1)1/q
)
≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
72 О. Є. ЛАВРОВА
≤ C
(
(s2 − s1) + (s2 − s1)A+ (s2 − s1)1/q‖un(t)‖p+
+ ‖un(t)‖pA(s2 − s1)1/q
)
→ 0 при |s2 − s1| → 0;
3) якщо σ(τn) < s1 < s2 < T0, то |yn(s1) − yn(s2)| = |xn(σ(τn)) − xn(σ(τn))| = 0, що i
означає рiвностепеневу неперервнiсть функцiй yn(t) на [0, T0]T.
За аналогом теореми Арцела – Асколi [8] (теорема 4.2) можна видiлити пiдпослiдов-
нiсть послiдовностi {yn(t), n ≥ 1} (яку знову позначимо {yn(t), n ≥ 1}) таку, що yn(t) →
→ y∗(t) при n → ∞ рiвномiрно на вiдрiзку [0, T0]T.
Позначимо через σ(τ∗) момент першого виходу y∗ на межу областi D, де
σ(τ∗) = inf{s ∈ T : s > τ∗}, а τ∗ = sup
t∈[0,T0]T
{∀s ∈ [0, t]T : y∗(s) ∈ D},
σ(τn) = inf{s ∈ T : s > τn}, а τn = sup
t∈[0,T0]T
{∀s ∈ [0, t]T : yn(s) ∈ D}.
Покажемо, що σ(τ∗) ≤ limn→∞ inf σ(τn). Припустимо, що це не так. Тодi
σ(τ∗) > lim
n→∞
inf σ(τn) = σ(τ).
1. Розглянемо випадок, коли мiж σ(τ) i σ(τ∗) iснують точки з часової шкали. За тео-
ремою про характеризацiю нижньої межi для довiльного δ > 0 множина {n ∈ N|σ(τn) <
< σ(τ) + δ} є нескiнченною. Виберемо δ таким чином, щоб σ(τ) + δ < σ(τ∗). Тодi iснує
пiдпослiдовнiсть {σ(τnk
), nk ≥ 1)} послiдовностi {σ(τn), n ≥ 1} така, що можна вказати
таке число N ∈ N, що σ(τnk
) < σ(τ) + δ для довiльного nk ≥ N.
Тепер виберемо момент часу t0 ∈ T так, що t0 ∈ (σ(τ) + δ, σ(τ∗)). Тодi ynk
(t0) =
= xnk
(σ(τnk
)) ∈ ∂D. Iз рiвномiрної збiжностi yn(t) до y∗(t) на [0, T0]T випливає, що для
довiльного ε > 0 iснує таке N ∈ N, що для довiльного nk ≥ N виконується нерiвнiсть
|y∗(t)− ynk
(t)| < ε.
Але якщо вибрати ε таким чином: 0 < ε < infv∈∂D |y∗(t0)− v| , то для фiксованого t0 ∈ T
такого, що t0 ∈ (σ(τ) + δ, σ(τ∗)), будемо мати
|y∗(t0)− ynk
(t0)| = |y∗(t0)− xnk
(σ(τnk
))| > ε.
У цьому випадку приходимо до суперечностi
2. Розглянемо тепер випадок, коли σ(σ(τ)) = σ(τ∗). Як i в попередньому пунктi, для
фiксованого σ(τ) ∈ T маємо
|y∗(σ(τ))− ynk
(σ(τ))| = |y∗(σ(τ))− xnk
(σ(τnk
))| > ε
i знову приходимо до суперечностi.
Отже, ми показали, що σ(τ∗) ≤ limn→∞ inf σ(τn).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
УМОВИ IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 73
Покладемо x∗(t) = y∗(t) при t ∈ [0, σ(τ∗)]T. Покажемо тепер, що функцiя x∗(t) є
розв’язком задачi (1) при t ∈ [0, σ(τ∗)]T, який вiдповiдає керуванню u∗(t).
Розглянемо такi випадки:
1. Нехай σ(τ∗) < limn→∞ inf σ(τn). У цьому випадку за теоремою про характериза-
цiю нижньої межi множина {n ∈ N|σ(τn) < σ(τ∗)} є скiнченною. Тому можна вибрати
пiдпослiдовнiсть {σ(τk), k ≥ 0} послiдовностi {σ(τn), n ≥ 0} таку, що σ(τk) > σ(τ∗) для
будь-якого k > 0. Тодi для кожного t ∈ [0, σ(τ∗)]T маємо yk(t) = xk(t) i y∗(t) = x∗(t).
Оскiльки для всiх t ∈ [0, T0]T yk(t) → y∗(t) рiвномiрно по t ∈ [0, T0]T при k → ∞, то
xk(t) → x∗(t) при k → ∞ рiвномiрно по t ∈ [0, σ(τ∗)]T.
З огляду на те, що xk(t) — розв’язок системи (1), маємо
xk(t) = x0 +
∫
[0,t)T
[f1(s, xk(s)) + f2(s, xk(s))uk(s)] ∆s =
= x0 +
∫
[0,t)T
[f1(s, xk(s)) + f2(s, xk(s))u
∗(s)] ∆s+
+
∫
[0,t)T
[f2(s, xk(s))− f2(s, x∗(s))] (uk(s)− u∗(s)) ∆s+
+
∫
[0,t)T
f2(s, x∗(s)) [uk(s)− u∗(s)] ∆s. (10)
Згiдно з теоремою Лебега [10] (теорема 2.1.) з урахуванням нерiвностей (3) i (8) дру-
гий iнтеграл у (10) прямує до нуля при k → ∞. Прямування до нуля третього iнтеграла
випливає з (3) i (8) внаслiдок слабкої збiжностi uk(t) до u∗(t) при k → ∞.
Аналогiчними мiркуваннями переконуємося, що перший iнтеграл прямує до∫
[0,t)T
[f1(s, x∗(s)) + f2(s, x∗(s))u∗(s)] ∆s при k → ∞.
Отже, граничним переходом у (10) отримуємо
x∗(t) = x0 +
∫
[0,t)T
[f1(s, x∗(s)) + f2(s, x∗(s))u∗(s)] ∆s для t ∈ [0, σ(τ∗)]T,
а отже, x∗(t) — розв’язок системи (1), який вiдповiдає керуванню u∗(t).
2. Нехай тепер σ(τ∗) = limn→∞ σ(τn). Виберемо довiльний момент t2 ∈ T так, що
t2 < σ(τ∗). Тодi за теоремою про характеризацiю нижньої межi множина {n ∈ N|σ(τn) <
< t2} є скiнченною. Виберемо пiдпослiдовнiсть {σ(τk), k ≥ 0} послiдовностi {σ(τn), n ≥
≥ 0} таку, що σ(τk) ∈ (t2, σ(τ∗)) для будь-якого k > 0. Тодi для кожного t ∈ [0, t2]T маємо
yk(t) = xk(t) i y∗(t) = x∗(t). Далi, як i в першому випадку,
x∗(t) = x0 +
∫
[0,t)T
[f1(s, x∗(s)) + f2(s, x∗(s))u∗(s)] ∆s (11)
для довiльного t ∈ [0, t2]T.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
74 О. Є. ЛАВРОВА
Встановимо тепер справедливiсть рiвностi (11) для довiльного t ∈ [0, σ(τ∗)]T. Оскiль-
ки момент часу t2 ми вибирали довiльним чином, то для довiльного t ∈ [0, σ(τ∗))T рiвнiсть
(11) виконується. Покажемо виконання (11) у точцi t = σ(τ∗).Виберемо пiдпослiдовнiсть
σ(tn) ∈ [0, σ(τ∗)]T таку, що σ(tn) → σ(τ∗). Тодi x∗(σ(tn)) → x∗(σ(τ∗)), оскiльки x∗(t) є не-
перервною на [0, σ(τ∗)]T.
Використовуючи (3) i (8) та нерiвнiсть Гельдера, отримуємо
∣∣∣∣∣∣∣
∫
[0,σ(τ∗))T
[f1(s, x∗(s)) + f2(s, x∗(s))u∗(s)] ∆s−
∫
[0,σ(tn))T
[f1(s, x∗(s)) + f2(s, x∗(s))u∗(s)] ∆s
∣∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣∣
∫
[σ(tn),σ(τ∗))T
[f1(s, x∗(s)) + f2(s, x∗(s))u∗(s)] ∆s
∣∣∣∣∣∣∣ ≤ C(1 +A)|σ(τ∗)− σ(tn)|+
+
∫
[σ(tn),σ(τ∗))T
|f2(s, x∗(s))|q ∆s
1/q ∫
[σ(tn),σ(τ∗))T
|u∗(s)|p ∆s
1/p
≤
≤ C(1 +A)|σ(τ∗)− σ(tn)|+ C(1 +A)|σ(τ∗)− σ(tn)|1/q ‖u∗‖p → 0 при n → ∞.
Отже,
x∗(σ(tn)) = x0 +
∫
[0,σ(tn))T
[f1(s, x∗(s)) + f2(s, x∗(s))u∗(s)] ∆s →
→ x0 +
∫
[0,σ(τ∗))T
[f1(s, x∗(s)) + f2(s, x∗(s))u∗(s)] ∆s = x∗(σ(τ∗)) при n → ∞.
Тому x∗(t) — розв’язок системи (1), що вiдповiдає керуванню u∗(t) при t ∈ [0, σ(τ∗)]T.
Залишилось довести, що керування u∗(t) є оптимальним.
Розглянемо такi випадки:
1) y∗(σ(τ∗)) ∈ ∂D. a) Нехай σ(τ∗) < limn→∞ inf σ(τn). Тодi за теоремою про характе-
ризацiю нижньої межi множина {n ∈ N|σ(τn) < σ(τ∗)} є скiнченною. Тому можна вибра-
ти пiдпослiдовнiсть {σ(τk), k ≥ 0} послiдовностi {σ(τn), n ≥ 0} таку, що σ(τk) > τ∗ для
будь-якого k > 0. Тодi для кожного t ∈ [0, σ(τ∗)]T маємо yk(t) = xk(t) i y∗(t) = x∗(t).
Покажемо iнтегровнiсть функцiї L(t, x∗(t), uk(t)) для будь-якого k > 0 на вiдрiзку
[0, σ(τ∗)]T :
|L(t, x∗(t), uk(t))| ≤ |L(t, x∗(t), u0)|+ |L(t, x∗(t), uk(t))− L(t, x∗(t), u0)| ≤
≤ |L(t, x∗(t), u0)|+K(1 + |x∗(t)|α+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
УМОВИ IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 75
+ sup
λ∈(0,1)
|u0 + λ(uk(t)− u0)|p−1)|uk(t)− u0| ≤
≤ |L(t, x∗(t), u0)|+K|uk(t)− u0|+K|x∗(t)|α|uk(t)− u0|+
+K sup
λ∈(0,1)
|u0 + λ(uk(t)− u0)|p−1|uk(t)− u0|.
Першi три доданки на [0, σ(τ∗)]T iнтегровнi. Покажемо iнтегровнiсть останнього доданка.
Нехай Ak = {t ∈ [0, σ(τ∗)]T : uk(t) = u0}. Тодi∫
[0,σ(τ∗))T
sup
λ∈(0,1)
|u0 + λ(uk(t)− u0)|p−1|uk(t)− u0|∆t ≤
≤
∫
[0,σ(τ∗))T
(|u0|+ |uk(t)− u0|)p−1|uk(t)− u0|∆t ≤
≤
∫
[0,σ(τ∗))T\Ak
(|u0|+ |uk(t)− u0|)p
|u0|+ |uk(t)− u0|
|uk(t)− u0|∆t ≤
≤ 2p−1
∫
[0,σ(τ∗))T\Ak
|u0|p + |uk(t)− u0|p
|uk(t)− u0|
|uk(t)− u0|∆t ≤
≤ 2p−1
∫
[0,σ(τ∗))T
(|u0|p + |uk(t)− u0|p)∆t < ∞.
Отже, функцiя L(t, x∗(t), uk(t)) є iнтегровною на [0, σ(τ∗)]T для довiльного k > 0. Не-
хай χR(t) — характеристична функцiя множини {t ∈ T : |u∗(t)| < R}. Оскiльки L(t, x, · )
— опукла функцiя, то виконується нерiвнiсть
L(t, x∗(t), v(t))χR(t) ≥ L(t, x∗(t), u∗(t))χR(t) + (v(t)− u∗(t))Lv(t, x∗(t), u∗(t))χR(t)
для всiх v(t) ∈ V, t ∈ [0, σ(τ∗)]T.
Покладемо v(t) = uk(t), тодi∫
[0,σ(τ∗))T
L(t, x∗(t), uk(t))χR(t)∆t ≥
∫
[0,σ(τ∗))T
L(t, x∗(t), u∗(t))χR(t)∆t+
+
∫
[0,σ(τ∗))T
(uk(t)− u∗(t))Lu(t, x∗(t), u∗(t))χR(t)∆t. (12)
Iз умови (5) маємо
|Lu(t, x∗(t), u∗(t))|χR(t) ≤ K(1 + |u∗(t)|p−1 + |x∗(t)|α) ≤ K(1 +Rp−1 +Aα).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
76 О. Є. ЛАВРОВА
Внаслiдок слабкої збiжностi uk(t) до u∗(t) другий iнтеграл у (12) прямує до 0 при k → ∞.
Тому
lim
k→∞
inf
∫
[0,σ(τ∗))T
L(t, x∗(t), uk(t))χR(t)∆t ≥
∫
[0,σ(τ∗))T
L(t, x∗(t), u∗(t))χR(t)∆t.
Оскiльки L(t, x, u) > 0, χR(t) ≤ 1 i χR(t) → 1 при R → ∞, то
lim
k→∞
inf
∫
[0,σ(τ∗))T
L(t, x∗(t), uk(t))∆t ≥
∫
[0,σ(τ∗))T
L(t, x∗(t), u∗(t))∆t. (13)
Розглянемо тепер величину:∣∣∣∣∣∣∣
∫
[0,σ(τ∗))T
[L(t, xk(t), uk(t))− L(t, x∗(t), uk(t))] ∆t
∣∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣∣
∫
[0,σ(τ∗))T
1∫
0
Lx(t, xλk(t), uk(t))(xk(t)− x∗(t))dλ∆t
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∫
[0,σ(τ∗))T
|xk(t)− x∗(t)|K(1 + |uk(t)|p−1 + |xk(t) + x∗(t)|α)∆t ≤
≤ K
∫
[0,σ(τ∗))T
|xk(t)− x∗(t)|(1 + (2A)α)∆t+
+K‖uk‖p/qp
∫
[0,σ(τ∗))T
|xk(t)− x∗(t)|p∆t
1/p
, (14)
де xλk(t) = x∗(t) + λ(xk(t)− x∗(t)).
Оскiльки ‖uk‖p є обмеженою, то права частина в (14) прямує до 0 при k → ∞.
Далi розглянемо границю
lim
k→∞
∫
[0,σ(τ∗))T
L(t, xk(t), uk(t))∆t = lim
k→∞
∫
[0,σ(τ∗))T
[L(t, xk(t), uk(t))− L(t, x∗(t), uk(t))]∆t+
+ lim
k→∞
∫
[0,σ(τ∗))T
[L(t, x∗(t), uk(t))− L(t, x∗(t), u∗(t))]∆t+
+
∫
[0,σ(τ∗))T
L(t, x∗(t), u∗(t))∆t.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
УМОВИ IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 77
Перша границя у правiй частинi цiєї нерiвностi згiдно з (14) прямує до нуля при k → ∞, а
друга внаслiдок (13) є невiд’ємною. Тодi маємо
m = lim
k→∞
inf
∫
[0,σ(τk))T
L(t, xk(t), uk(t))∆t ≥ lim
k→∞
inf
∫
[0,σ(τ∗))T
L(t, xk(t), uk(t))∆t ≥
≥
∫
[0,σ(τ∗))T
L(t, x∗(t), u∗(t))∆t.
Звiдси
J(u∗) = m.
Отже, u∗(t) — оптимальне керування.
b) Нехай тепер σ(τ∗) = limn→∞ inf σ(τn). Виберемо довiльний момент t2 ∈ T так, що
t2 < σ(τ∗). Тодi за теоремою про характеризацiю нижньої межi множина {n ∈ N|σ(τn) <
< t2} є скiнченною. Виберемо пiдпослiдовнiсть {σ(τk), k > 0} послiдовностi {σ(τn), n >
> 0} таку, що σ(τk) ∈ (t2, σ(τ∗)) для будь-якого k > 0. Тодi для кожного t ∈ [0, t2]T маємо
yk(t) = xk(t) i y∗(t) = x∗(t).
Як i в попередньому випадку, отримуємо∫
[0,t2)T
L(t, x∗(t), u∗(t))∆t ≤ m для довiльного t2 ∈ [0, σ(τ∗))T.
Звiдси граничним переходом при t2 → σ(τ∗) маємо
J(u∗) =
∫
[0,σ(τ∗))T
L(t, x∗(t), u∗(t))∆t ≤ m,
а тому
J(u∗) = m.
Отже, u∗(t) — оптимальне керування.
2. Нехай тепер y∗(σ(τ∗)) ∈ D. Тому σ(τ∗) = T0.
Отже, σ(τnk
) = T0 для достатньо великих nk. Далi доведення аналогiчне доведенню
першого випадку, де σ(τ∗) i σ(τk) замiнюються на T0.
Теорему 1 доведено.
Далi ми розглянемо випадок, коли замiсть умови лiнiйного росту (3) для функцiй
f1(t, x) та f2(t, x) при деякому α > 0 виконується така умова:
|f1(t, x)| ≤ C(1 + |x|α), ‖f2(t, x)‖ ≤ C(1 + |x|α). (15)
Зауваження 1. При α > 1 умова (15) допускає вихiд розв’язку задачi Кошi (1) на не-
скiнченнiсть за скiнченний час.
Однак на пiдставi доведеної теореми можна отримати достатнi умови оптимальностi i
в цьому випадку. Має мiсце такий наслiдок.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
78 О. Є. ЛАВРОВА
Наслiдок. Нехай у задачi оптимального керування (1), (2) замiсть умови лiнiйного
росту (3) виконується умова (15), а для функцiї L(t, x, u) виконуються умови теореми 1
з замiною умов 1 i 2 на такi умови:
1′) iснують такi сталi k > 0, α > 0 та p > 1, що
L(t, x, u) ≥ k(|u|p + |x|αq) (16)
для t ∈ [0, T0]T, x ∈ D, u ∈ U, де
1
p
+
1
q
= 1;
2′) iснує така стала K > 0, що
|Lx(t, x, u)|+ |Lu(t, x, u)| ≤ K
(
1 + |u|p−1 + |x|α(q−1)
)
. (17)
Крiм того, нехай iснує хоча б одне таке допустиме керування u1(t), що
∫
[0,σ(τ1))T
L(t, x1(t), u1(t))∆t < ∞, (18)
де x1 — розв’язок задачi (1), що вiдповiдає керуванню u1.
Тодi задача (1), (2) має розв’язок у класi допустимих керувань V.
Доведення. З урахуванням (18) iснує невiд’ємна нижня межа m значень J(u) i послi-
довнiсть допустимих керувань {un(t), n ≥ 1} така, що J(un) → m при n → ∞.
Отже, для достатньо великих n
J(un) ≤ m+ 1.
Тодi з (16) отримаємо
k
∫
[0,σ(τn))T
(|un(t)|p + |xn(t)|αq) ∆t ≤
∫
[0,σ(τn))T
L(t, xn, un)∆t ≤ m+ 1.
Звiдси маємо ∫
[0,σ(τn))T
|xn(t)|αq∆t ≤
(
m+ 1
k
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
УМОВИ IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 79
Але, використовуючи нерiвнiсть (15) на iнтервалi iснування розв’язку xn(t), знаходимо
|xn(t)| =
∣∣∣∣∣∣∣x0 +
∫
[0,t)T
f1(s, xn(s))∆s+
∫
[0,t)T
f2(s, xn(s))un(s)∆s
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ |x0|+
∫
[0,t)T
C(1 + |xn(s)|α)∆s+
∫
[0,t)T
C(1 + |xn(s)|α)un(s)∆s ≤
≤ |x0|+ CT0 + CT
1/p
0
∫
[0,t)T
|xn(s)|αq∆s
1/q
+ CT
1/p
0 ‖un(s)‖p+
+ C
∫
[0,t)T
|xn(s)|αq∆s
1/q
‖un(s)‖p ≤
≤ |x0|+ CT0 + 2CT
1/p
0
(
m+ 1
k
)1/q
+ C
(
m+ 1
k
)2/q
.
Отже, для довiльних t ∈ [0, σ(τn)]T розв’язки xn(t) рiвномiрно обмеженi, а тому
xn(σ(τn)) < ∞. Далi доведення проводиться аналогiчно доведенню теореми 1.
3. Задача оптимального керування на пiвосi. На часовiй шкалi T (supT = ∞) розгля-
немо задачу оптимального керування (1) з критерiєм якостi
J(u) =
∫
[0,σ(τ))T
g(t)L(t, x(t), u(t))∆t → inf . (19)
Тут t ∈ [0,+∞)T, 0 ∈ T, x ∈ D — фазовий вектор, x0 ∈ D — фiксований вектор, x∆ — ∆-
похiдна на часовiй шкалi [2],D — обмежена область з Rd, σ(τ) — момент першого виходу
розв’язку x(t) на межу областiD, u ∈ U ⊂ Rm — вектор керування,U — опукла замкнена
множина, вектор-функцiя f1(t, x) : [0,+∞)T ×D → Rd i матриця f2(t, x) : [0,+∞)T ×D →
→ Rd × Rm є неперервними за сукупнiстю змiнних i для них виконується умова Лiпшиця,
тобто iснує така стала H > 0, що для будь-яких x1, x2 ∈ D, t ∈ [0,+∞)T та u ∈ U
виконуються нерiвностi
|f1(t, x1)− f1(t, x2)| ≤ H|x1 − x2|,
‖f2(t, x1)− f2(t, x2)‖ ≤ H|x1 − x2|.
(20)
Функцiї L(t, x, u), Lx(t, x, u) i Lu(t, x, u) є неперервними за сукупнiстю змiнних t ∈
∈ [0,+∞)T, x ∈ D, u ∈ U i задовольняють такi умови:
1) L(t, x, u) ≥ 0 для будь-яких t ∈ [0,+∞)T, x ∈ D та u ∈ U ;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
80 О. Є. ЛАВРОВА
2) iснують такi сталi C > 0 i p ≥ 2, що для будь-яких t ∈ [0,+∞)T, x ∈ D, u ∈ U
виконується нерiвнiсть
L(t, x, u) ≥ C(1 + |u|p); (21)
3) iснує таке K > 0, що для будь-яких t ∈ [0,+∞)T, x ∈ D та u ∈ U виконується
|Lx(t, x, u)|+ |Lu(t, x, u)| ≤ K
(
1 + |u|p−1
)
; (22)
4) L(t, x, u) є опуклою по u при будь-яких фiксованих t ∈ [0,+∞)T i x ∈ D.
Керування u(t) вважається допустимим, якщо:
b1) u(t) ∈ U при t ∈ [0,+∞)T;
b2) iснує стала C1 > 0, що не залежить вiд u(t) з виконанням умови∫
[0,+∞)T
|u(t)|p∆t ≤ C1.
Множину допустимих керувань будемо називати допустимою для задачi (1), (19) i позна-
чатимемо її через V.
Має мiсце така теорема.
Теорема 2. Нехай у системi (1) з критерiєм якостi (19) для функцiй f1(t, x), f2(t, x),
g(t) та L(t, x, u) виконуються умови постановки задачi на пiвосi. Функцiя g(t) належить
L1([0,+∞)T) i 0 ≤ g(t) ≤ 1 для будь-якого t ∈ [0,+∞)T.
Тодi задача (1), (19) має розв’язок у класi допустимих керувань.
Доведення. Iснує невiд’ємна нижня межа m значень J(u), i тому iснує послiдовнiсть
допустимих керувань {un(t), n ≥ 1} таких, що J(un) → m при n → ∞, тобто
J(un) =
∫
[0,σ(τn))T
g(t)L(t, xn(t), un(t))∆t → m, n → ∞,
де xn(t) — розв’язки системи (1), що вiдповiдають керуванням un(t), σ(τn) — моменти
виходу розв’язку xn(t) на межу областi D.
Умова b2) гарантує слабку компактнiсть послiдовностi un(t), тобто послiдовнiсть un(t)
слабко збiгається до границi u∗(t) ∈ Lp[0,+∞)T.
Як i при доведеннi теореми 1, можна показати, що u∗(t) ∈ U майже для всiх t.
Розглянемо послiдовнiсть розв’язкiв системи (1), що вiдповiдають послiдовностi керу-
вань {un(t), n ≥ 1} :
xn(t) = x0 +
∫
[0,t)T
[f1(s, xn(s)) + f2(s, xn(s))un(s)] ∆s, t ∈ [0, σ(τn)]T.
За функцiями xn(t) побудуємо функцiї yn(t), якi визначимо на всю множину [0,+∞)T та-
ким чином:
yn(t) =
{
xn(t) при t ∈ [0, σ(τn))T,
xn(σ(τn)) при t ∈ [σ(τn),+∞)T.
(23)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
УМОВИ IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 81
Виберемо довiльний момент часу T0 ∈ [0,+∞)T i зафiксуємо його. Як i при доведеннi
теореми 1, можна показати рiвностепеневу неперервнiсть функцiй yn(t) на [0, T0]T. Тодi
за аналогом теореми Арцела – Асколi [8] (теорема 4.2) на кожному обмеженому вiдрiзку
часу [0, T0]T можна видiлити рiвномiрно збiжну пiдпослiдовнiсть (яку будемо позначати
через {ykn(t), n ≥ 1}) таку, що ykn(t) → y∗(t) при n → ∞ на [0, T0]T. Покажемо, що iснує
пiдпослiдовнiсть функцiй {ynn(t), n ≥ 1}, яка збiгається поточково до функцiї y∗(t) для
будь-якого t ∈ [0,+∞)T.
Для цього розглянемо послiдовнiсть з часової шкали, яка задовольняє такi умови:
1) Tn ∈ T; 2) ∀n1 < n2 : [0,Tn1 ]T ⊂ [0,Tn2 ]T; 3) ∪n∈N[0,Tn]T = [0,+∞)T.
Для будь-якого натурального N iснує пiдпослiдовнiсть {yNn (t), n ≥ 1} послiдовностi
{yN−1
n (t), n ≥ 1} така, що
yNn (t) ⇒ y∗N (t) для будь-якого t ∈ [0,TN ]T,
де y∗N (t) = y∗N−1(t) при t ∈ [0,TN−1]T i т. д.
Використовуючи дiагональний метод, iз цих послiдовностей видiляємо таку пiдпослi-
довнiсть {ynn(t), n ≥ 1} :
y1
1(t), y2
2(t), y3
3(t), . . . , ynn(t), . . . .
Ця послiдовнiсть поточково збiгається до функцiї y∗(t) для будь-якого t ∈ [0,+∞)T. Далi
цю послiдовнiсть будемо позначати як {yn(t), n ≥ 1}.
Позначимо через σ(τ∗) момент першого виходу y∗(t) на межу областi D, де
σ(τ∗) = inf{s ∈ T : s > τ∗}, τ∗ = sup
t∈[0,+∞)T
{∀s ∈ [0, t]T : y∗(s) ∈ D},
σ(τn) = inf{s ∈ T : s > τn}, τn = sup
t∈[0,+∞)T
{∀s ∈ [0, t]T : yn(s) ∈ D}.
Як i при доведеннi теореми 1, можна показати, що σ(τ∗) ≤ limn→∞ inf σ(τn).
Покладемо x∗(t) = y∗(t) при t ∈ [0, σ(τ∗)]T у випадку скiнченного σ(τ∗) i x∗(t) = y∗(t)
при t ∈ [0,+∞)T у випадку σ(τ∗) = ∞.
Покажемо, що функцiя x∗(t) є розв’язком системи (1) при всiх t до моменту його ви-
ходу на межу областi, який вiдповiдає керуванню u∗(t).
Вiзьмемо довiльне t ∈ [0, σ(τ∗)]T у випадку σ(τ∗) < ∞ i t ∈ [0,+∞)T при σ(τ∗) =
∞. Виберемо достатньо велике T0 ∈ [0,+∞)T так, що для вказаного t yn(t) = xn(t) для
досить великих n. Оскiльки yn(t) → y∗(t) при n → ∞ рiвномiрно на [0, T0)T, то i xn(t) →
→ x∗(t) рiвномiрно по t ∈ [0, σ(τ∗1 )]T, де
σ(τ∗1 ) = inf{s ∈ T : s > τ∗1 }, τ∗1 = sup
t∈[0,T0]T
{∀s ∈ [0, t]T : x∗(s) ∈ D}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
82 О. Є. ЛАВРОВА
Оскiльки xn(t) — розв’язки системи (1), то
xn(t) = x0 +
∫
[0,t)T
[f1(s, xn(s)) + f2(s, xn(s))un(s)] ∆s =
= x0 +
∫
[0,t)T
[f1(s, xn(s)) + f2(s, xn(s))u∗(s)] ∆s+
+
∫
[0,t)T
[f2(s, xn(s))− f2(s, x∗(s))] (un(s)− u∗(s)) ∆s+
+
∫
[0,t)T
f2(s, x∗(s)) [un(s)− u∗(s)] ∆s. (24)
Використовуючи умову (20) i нерiвнiсть Гельдера, можна показати, що другий доданок
у (24) прямує до нуля. Внаслiдок слабкої збiжностi послiдовностi керувань un(t) до u∗(t)
при n → ∞ на вiдрiзку t ∈ [0, σ(τ∗1 )]T останнiй iнтеграл у (24) також прямує до нуля при
n → ∞.
Переходячи до границi в (24) при n → ∞, отримуємо
x∗(t) = x0 +
∫
[0,t)T
[f1(s, x∗(s)) + f2(s, x∗(s))u∗(s)] ∆s для будь-якого t ∈ [0, σ(τ∗1 )]T.
Звiдси випливає, що x∗(t) — розв’язок системи (1), що вiдповiдає керуванню u∗(t) при
t ∈ [0, σ(τ∗1 )]T.
Оскiльки момент часу T0 вибрано довiльним чином, то x∗(t) є розв’язком системи (1),
який вiдповiдає керуванню u∗(t) при t ∈ [0,+∞)T до моменту першого виходу розв’язку
на межу областi.
Оскiльки до цього моменту розв’язок xn(t) збiгається з yn(t), то послiдовнiсть {xn(t) :
n ≥ 1} збiгається поточково до x∗(t) для будь-якого t ∈ [0, σ(τ∗)]T.
Залишилось довести, що керування u∗(t) є оптимальним.
Розглянемо такi випадки:
1. Нехай x∗(σ(τ∗)) ∈ ∂D.Оскiльки функцiяL(t, x, ·) є опуклою, то має мiсце нерiвнiсть
g(t)L(t, x∗(t), v(t)) ≥ g(t)L(t, x∗(t), u∗(t))+
+ (v(t)− u∗(t))g(t)Lv(t, x
∗(t), u∗(t)), де v ∈ U, t ∈ [0, σ(τ∗)]T.
Покладемо v = un(t), тодi отримаємо оцiнку∫
[0,σ(τ∗))T
g(t)L(t, x∗(t), un(t))∆s ≥
∫
[0,σ(τ∗))T
g(t)L(t, x∗(t), u∗(t))∆s+
+
∫
[0,σ(τ∗))T
(un(t)− u∗(t))g(t)Lu(t, x∗(t), u∗(t))∆s. (25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
УМОВИ IСНУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 83
Згiдно з умовою (22) другий iнтеграл у (25) прямує до нуля.
Переходячи до границi у (25), отримуємо
lim
n→∞
inf
∫
[0,σ(τ∗))T
g(t)L(t, x∗(t), un(t))∆t ≥
∫
[0,σ(τ∗))T
g(t)L(t, x∗(t), u∗(t))∆t. (26)
Розглянемо також вираз∣∣∣∣∣∣∣
∫
[0,σ(τ∗))T
g(t) [L(t, xn(t), un(t))− L(t, x∗(t), un(t))] ∆t
∣∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣∣∣
∫
[0,σ(τ∗))T
g(t)
1∫
0
Lx(t, (1− λ)xn(t) + λx∗(t), un(t))|xn(t)− x∗(t)|dλ∆t
∣∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ K
∫
[0,σ(τ∗))T
g(t)|xn(t)− x∗(t)|∆s+
+K
∫
[0,σ(τ∗))T
|un(t)|p∆t
1/q ∫
[0,σ(τ∗))T
g(t)p|xn(t)− x∗(t)|p∆s
1/p
. (27)
Iз поточкової збiжностi xn(t) до x∗(t) при t ∈ [0,+∞)T та теореми Лебега випливає, що
дана величина прямує до нуля при n → ∞.
Розглянемо величину∫
[0,σ(τ∗))T
g(t)L(t, xn(t), un(t))∆t±
∫
[0,σ(τ∗))T
g(t)L(t, x∗(t), un(t))∆t±
±
∫
[0,σ(τ∗))T
g(t)L(t, x∗(t), u∗(t))∆t =
=
∫
[0,σ(τ∗))T
g(t) [L(t, xn(t), un(t))− L(t, x∗(t), un(t))] ∆t+
+
∫
[0,σ(τ∗))T
g(t) [L(t, x∗(t), un(t))− L(t, x∗(t), u∗(t))] ∆t+
+
∫
[0,σ(τ∗))T
g(t)L(t, x∗(t), u∗(t))∆t.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
84 О. Є. ЛАВРОВА
Перший iнтеграл у правiй частинi нерiвностi прямує до нуля з (27), а другий iнтеграл
бiльший або дорiвнює нулю з (26). Отже,
lim
n→∞
inf
∫
[0,σ(τ∗))T
g(t)L(t, xn(t), un(t))∆t ≥
∫
[0,σ(τ∗))T
g(t)L(t, x∗(t), u∗(t))∆t,
тобто
J(u∗) ≤ lim
n→∞
inf
∫
[0,σ(τ∗))T
g(t)L(t, xn(t), un(t))∆t ≤ lim
n→∞
inf J(un(t)).
Оскiльки infu∈U J(u) ≤ J(u∗) ≤ limn→∞ inf J(un) = m, то J(u∗) = m.
Отже, u∗(t) — оптимальне керування.
2. Нехай тепер x∗(σ(τ∗)) ∈ D, тодi σ(τ∗) = ∞. У цьому випадку доведення теореми
аналогiчне доведенню першого пункту.
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. Hilger S. Ein Maßkettenkalkül mit Anwendungen auf Zentrumsmannigfaltigkeiten: PhD Thesis. — Univ.
Würzburg, 1988.
2. Bohner M., Peterson A. Dynamic equations on time scales. An introduction with applications. — Boston,
MA: Birkhäuser Boston Inc., 2001.
3. Zhan Z., Wei W., Xu H. Hamilton – Jacobi – Bellman equations on time scales // Math. and Comput. Model-
ling. — 2009. — 49. — P. 2019 – 2028.
4. Ластiвка Л. О., Лаврова О. Є. Метод динамiчного програмування для систем диференцiальних рiв-
нянь на часових шкалах // Вiсн. Київ. нац. ун-ту iм.Т. Шевченка. — 2014. — Вип. 2. — С. 71 – 76.
5. Bourdin L., Trelat E. Pontryagin maximum principle for finite dimensional nonlinear optimal control pro-
blems on time scales // SIAM Contr. Optim. — 2013. — 51, № 5. — P. 3781 – 3813,
6. Zaidong Z., Wei W., Yinfei L., Honglei X. Existence for calculus of variations and optimal control problems
on time scales // Int. J. Innov. Comput., Inform. and Contr. — 2012. — 5, № 8. — P. 3793 – 3808.
7. Ли Э., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. — М.: Наука, 1972. — 576 с.
8. Gong Y., Xiang X. A class of optimal control problems of systems governed by the first order linear dynamic
equations on time scales // J. Industr. Manag. Optim. — 2009. — 5, № 1. — P. 1 – 10.
9. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.
10. Cabada A., Vivero D. Expression of the Lebesgue ∆-integral on time scales as a usual Lebesgue integral;
application to the calculus of ∆-antiderivatives // Math. and Comput. Modelling. — 2006. — 43. — P. 194 –
207.
11. Bourdin L., Trelat E. General Cauchy – Lipschitz theory for ∆-Cauchy problems with Caratheodory dynami-
cs on time scales // J. Difference Equat. and Appl. — 2014. — 20, № 4.
Одержано 18.06.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
|