Гіперболічні інваріантні тори швидко-повільної системи, у якій спостерігається динамічна біфуркація багаточастотних коливань

Приведены дополнительные сведения, касающиеся динамики быстро-медленной системы, в которой наблюдается динамическая бифуркация многочастотных колебаний. Показано, что кроме асимптотически устойчивого инвариантного тора система также имеет гиперболические инвариантные торы меньших размерностей, распо...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
Hauptverfasser:	Парасюк, І.О., Репета, Б.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2016
Schriftenreihe:	Нелінійні коливання
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177243
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Гіперболічні інваріантні тори швидко-повільної системи, у якій спостерігається динамічна біфуркація багаточастотних коливань / І.О. Парасюк, Б.В. Репета // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 101-121 — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-177243
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1772432021-02-14T01:26:11Z Гіперболічні інваріантні тори швидко-повільної системи, у якій спостерігається динамічна біфуркація багаточастотних коливань Парасюк, І.О. Репета, Б.В. Приведены дополнительные сведения, касающиеся динамики быстро-медленной системы, в которой наблюдается динамическая бифуркация многочастотных колебаний. Показано, что кроме асимптотически устойчивого инвариантного тора система также имеет гиперболические инвариантные торы меньших размерностей, расположенные в малой окрестности инвариантного многообразия медленных движений. This article provides additional information on the dynamics of a fast-slow system which exhibits the dynamical bifurcation of multifrequency oscillations. We show that apart from an asymptotically stable invariant torus the system also has hyperbolic invariant tori of lower dimensions located within a small neighbourhood of its invariant manifold of slow motions. 2016 Article Гіперболічні інваріантні тори швидко-повільної системи, у якій спостерігається динамічна біфуркація багаточастотних коливань / І.О. Парасюк, Б.В. Репета // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 101-121 — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177243 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Приведены дополнительные сведения, касающиеся динамики быстро-медленной системы, в которой наблюдается динамическая бифуркация многочастотных колебаний. Показано, что кроме асимптотически устойчивого инвариантного тора система также имеет гиперболические инвариантные торы меньших размерностей, расположенные в малой окрестности инвариантного многообразия медленных движений.
format	Article
author	Парасюк, І.О. Репета, Б.В.
spellingShingle	Парасюк, І.О. Репета, Б.В. Гіперболічні інваріантні тори швидко-повільної системи, у якій спостерігається динамічна біфуркація багаточастотних коливань Нелінійні коливання
author_facet	Парасюк, І.О. Репета, Б.В.
author_sort	Парасюк, І.О.
title	Гіперболічні інваріантні тори швидко-повільної системи, у якій спостерігається динамічна біфуркація багаточастотних коливань
title_short	Гіперболічні інваріантні тори швидко-повільної системи, у якій спостерігається динамічна біфуркація багаточастотних коливань
title_full	Гіперболічні інваріантні тори швидко-повільної системи, у якій спостерігається динамічна біфуркація багаточастотних коливань
title_fullStr	Гіперболічні інваріантні тори швидко-повільної системи, у якій спостерігається динамічна біфуркація багаточастотних коливань
title_full_unstemmed	Гіперболічні інваріантні тори швидко-повільної системи, у якій спостерігається динамічна біфуркація багаточастотних коливань
title_sort	гіперболічні інваріантні тори швидко-повільної системи, у якій спостерігається динамічна біфуркація багаточастотних коливань
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2016
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177243
citation_txt	Гіперболічні інваріантні тори швидко-повільної системи, у якій спостерігається динамічна біфуркація багаточастотних коливань / І.О. Парасюк, Б.В. Репета // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 101-121 — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT parasûkío gíperbolíčníínvaríantnítorišvidkopovílʹnoísistemiuâkíjsposterígaêtʹsâdinamíčnabífurkacíâbagatočastotnihkolivanʹ AT repetabv gíperbolíčníínvaríantnítorišvidkopovílʹnoísistemiuâkíjsposterígaêtʹsâdinamíčnabífurkacíâbagatočastotnihkolivanʹ
first_indexed	2025-07-15T15:16:55Z
last_indexed	2025-07-15T15:16:55Z
_version_	1837726554827784192
fulltext	УДК 517.9 ГIПЕРБОЛIЧНI IНВАРIАНТНI ТОРИ ШВИДКО-ПОВIЛЬНОЇ СИСТЕМИ, У ЯКIЙ СПОСТЕРIГАЄТЬСЯ ДИНАМIЧНА БIФУРКАЦIЯ БАГАТОЧАСТОТНИХ КОЛИВАНЬ I. О. Парасюк, Б. В. Репета Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка вул. Володимирська, 64, Київ, 01004, Україна e-mail: pio@univ.kiev.ua bogdan.repeta@gmail.com This article provides additional information on the dynamics of a fast-slow system which exhibits the dynamical bifurcation of multifrequency oscillations. We show that apart from an asymptotically stable invariant torus the system also has hyperbolic invariant tori of lower dimensions located within a small neighbourhood of its invariant manifold of slow motions. Приведены дополнительные сведения, касающиеся динамики быстро-медленной системы, в ко- торой наблюдается динамическая бифуркация многочастотных колебаний. Показано, что кро- ме асимптотически устойчивого инвариантного тора система также имеет гиперболические инвариантные торы меньших размерностей, расположенные в малой окрестности инвариант- ного многообразия медленных движений. 1. Вступ. Цю роботу присвячено посиленню результатiв статтi [1], в якiй вивчалася дина- мiчна бiфуркацiя багаточастотних коливань у швидко-повiльнiй системi вигляду ẋ = f(x, u, ε), u̇ = εg(x, u, ε), (1) де x = (x1, . . . , x2n) — вектор швидких фазових змiнних, u = (u1, . . . , um) — вектор повiльно змiнних параметрiв, ε — малий статичний параметр, f : R2n+m+1 → R2n та g : R2n+m+1 → Rm — гладкi обмеженi функцiї. В [1] розглядався випадок, коли система (1) має iнварiантний многовид повiльних рухiв (повiльний многовид), заданий рiвнянням x = 0, характеристичний полiном оператора f ′x(0, u, 0) має суто уявнi коренi для всiх u, а у лiнiйної системи ẋ = [ f ′x(0, u, 0) + εf ′′x,ε(0, u, 0) ] x (2) (першого наближення системи у варiацiях для фазових змiнних вiдносно повiльного мно- говиду) простiр параметрiв u можна розбити на три зони: зону асимптотичної стiйкос- тi Ds, перехiдну зону невизначеностi D∗ та зону цiлковитої нестiйкостi Du. За певних додаткових умов було показано, що в деякому O( √ ε)-околi Uε початку координат про- стору R2n iснує множина Vε, вiдносна мiра Лебега якої прямує до 1 при ε → 0, тобто limε→+0 mes(Uε \Vε) = 0, i розв’язки системи (1) з початковими значеннями (x(0), u(0)) ∈ ∈ Vε × Ds демонструють таку поведiнку: поки повiльно змiнний вектор параметрiв u(t) протягом часу порядкуO(ε−1) рухається в зонiDs, вектор x(t) фазових компонент розв’яз- ку здiйснює експоненцiально згасаючi коливання; пiсля того, як u(t), пройшовши через c© I. О. Парасюк, Б. В. Репета, 2016 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 101 102 I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА D∗, опиняється в Du, амплiтуда коливань починає зростати i врештi-решт при t → +∞ вiдповiдна траєкторiя системи (1) притягується до n-вимiрного iнварiантного тора T nε , асимптотично зближаючись з певною траєкторiєю на ньому. Мета даної роботи полягає в тому, щоб показати, що за певних достатньо природних умов, окрiм n-вимiрного тора T nε , система (1) має в областi Uε×Du певну кiлькiсть гiпер- болiчних iнварiантних торiв вимiрiв менших, нiж n, i цi тори притягують до себе всi тi до- датнi пiвтраєкторiї, якi починаються в Uε×Ds, але не притягуються тором T nε .При цьому для кожного гiперболiчного тора ковимiрнiсть його стiйкого многовиду (множини почат- кових точок додатних пiвтраєкторiй, якi притягуються тором), як пiдмноговиду в R2n+m, не менша, нiж 2. Як наслiдок, множина Vε ×Ds складається з усiх точок областi Uε ×Ds, за винятком пiдмноговидiв ненульової ковимiрностi — стiйких многовидiв гiперболiчних торiв. Таким чином, явище динамiчної бiфуркацiї коливань у системi (1) демонструють усi рухи, якi починаються в Uε ×Du, за винятком точок повiльного многовиду. Аби уникнути перевантаження аналiзу технiчними деталями, далi розглядатимемо частинний випадок n = 3. 2. Основна теорема. Як i у статтi [1], щодо системи (1) припускаємо, що справджу- ються такi гiпотези: H1) правi частини системи задовольняють умови гладкостi та обмеженостi, а саме, f(·, ·, ·) ∈ Ĉ∞ ( R6 × Rm × R→R6 ) , g(·, ·, ·) ∈ Ĉ∞ ( R6 × Rm × R →Rm ) , де через Ĉ∞ (X →Y) позначено простiр гладких обмежених вiдображень з областi X у множину Y, якi мають обмеженi похiднi всiх порядкiв1 ; H2) система має повiльний iнварiантний многовид, заданий рiвнянням x = 0, тобто f(0, u, ε) = 0 для всiх (u, ε) ∈ Rm × R; H3) iснує таке додатне число R∗, що при всiх u ∈ Bm R∗ := {u ∈ Rm : ‖u‖ < R∗} опера- тор f ′x(0, u, 0) має суто уявнi власнi числа ±iωj(u), j = 1, 2, 3, до того ж inf {\|ωj(u)− σωk(u)\| : u ∈ Bm R∗} > 0 ∀j, k ∈ {1, 2, 3} , j 6= k, ∀σ ∈ {0, 1} , i виконано умови вiдсутностi резонансiв мiж частотами inf {∣∣∣∣∣ 3∑ i=1 (qi − qi+3)ωi(u)− σωj(u) ∣∣∣∣∣ : u ∈ Bm R∗ } > 0 для всiх j ∈ {1, 2, 3}, σ ∈ {0, 1} та всiх qi ∈ N, i ∈ {1, . . . , 6}, таких, що 2 ≤ 6∑ i=1 qi ≤ 3, 3∑ i=1 \|qi − qi+3 − σδij \| 6= 0, де δij — символ Кронекера; 1 Оскiльки подальшi дослiдження стосуються поведiнки розв’язкiв системи (1) в обмеженiй областi змiн- них x, u та при малих значеннях параметра ε, то виконання умови H1 для гладких, але необмежених вiдобра- жень f та g завжди можна досягти, якщо правi частини системи домножити на гладку фiнiтну функцiю, що дорiвнює 1 в кулi, має достатньо великий радiус i центр якої розташовано в початку координат простору R2n+m+1. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 ГIПЕРБОЛIЧНI IНВАРIАНТНI ТОРИ ШВИДКО-ПОВIЛЬНОЇ СИСТЕМИ . . . 103 H4) система на повiльному многовидi u̇ = c(u), де c(u) := g(0, u, 0), конвергентна в деякiй кулi, а саме, iснують такi додатнi числа R∗ та κ > 0, що 〈c(u), u〉 < −κ ‖u‖2 для всiх u ∈ Bm R∗ . В [1] показано, що за виконання умов H1 – H3 при ε ∈ [−ε0, ε0], де ε0 > 0 є достатньо малим, в деякому околi повiльного многовиду iснує гладка замiна змiнних (x, u) 7→ (y, v), внаслiдок якої система (1) набирає вигляду żj = εα̂j(v, ε) + iω̂j(v, ε) + ∑ \|p\|=1 ĥj,p(v, ε)(\|z\|)2p  zj +O ( ‖z‖4 + ε3 ‖z‖ ) , j ∈ {1, 2, 3}, (3) v̇ = ε  ∑ 0≤\|p\|≤1 ĉp(v, ε)(\|z\|)2p +O ( ‖z‖4 + ε2 ) . Тут zj = y2j−1 + iy2j ∈ C, z := (z1, z2, z3), p := (p1, p2, p3) ∈ Z3 +, (\|z\|)2p := ∏3 j=1 \|zj \|2pj , \|p\| := ∑3 j=1 pj , коефiцiєнти у правих частинах такi, що α̂j(·, ε), ω̂j(·, ε) ∈ C∞ (Bm R∗→R) , ĥj,p(·, ε) ∈ C∞ (Bm R∗→C) , ĉp(·, ε) ∈ C∞ (Bm R∗→Rm) при кожному фiксованому ε ∈ R, причому при кожному v ∈ Bm R∗ , як функцiї ε, коефiцiєн- ти α̂j(v, ε), ω̂j(v, ε), ĥj,p(v, ε) є полiномами степеня не вищого за 2, а ĉp(v, ε) — полiномами степеня не вищого за 1. Крiм того, ω̂j(v, 0) = ωj(v), ĉ0(v, 0) = g(0, v, 0) ≡ c(v), а вiдно- шення пiдпорядкування O(·) рiвномiрнi щодо v ∈ Bm R∗ i, як функцiї змiнних Re z, Im z, v, ε, є гладкими та обмеженими в B6 ρ ×Bm R∗ × [−ε0, ε0] при деякому ρ > 0. Ввiвши, як i в [1], координати rj , ϕj \| mod 2π полярного типу спiввiдношеннями zj = = √ εrje iϕj , позначивши αj(v) := α̂j(v, 0), ajk(v) := −Re ĥj,εk(v, 0), bjk(v) := Im ĥj,εk(v, 0), c̃(v) := ∂ ∂ε ĉ0(v, 0), ck(v) := ĉεk(v, 0), де εk — k-й координатний орт простору R3, r := := (r1, r2, r3), √ r := ( √ r1, √ r2, √ r3), ϕ := (ϕ1, ϕ2, ϕ3), отримаємо систему вигляду ṙj = 2ε [ αj(v)− 3∑ k=1 ajk(v)rk + εPj(r, v, ε) ] rj + ε3/2√rjRj(r, v, ϕ, ε), j ∈ {1, 2, 3} , v̇ = ε [ c(v) + ε ( c̃(v) + 3∑ k=1 ck(v)rk ) + ε2Q(r, v, ϕ, ε) ] , (4) ϕ̇j = ω̂j(v, ε) + ε 3∑ k=1 bjk(v)rk + ε3/2 Φj(r, v, ϕ, ε)√ rj + ε2ω̄j(r, v, ϕ, ε), j ∈ {1, 2, 3} . Зазначимо, що всi функцiї, якi фiгурують у правих частинах, обмеженi i неперервнi в [0, %]3 × Bm R∗ × T3 × [0, ε0], де % = ρ2/ε0. Крiм того, рiвномiрно щодо (v, ϕ, ε) ∈ Bm R∗ × ×Tn × [0, ε0] справджуються вiдношення пiдпорядкування ‖R(r, v, ϕ, ε)‖ = O( ∥∥√r∥∥), ‖Φ(r, v, ϕ, ε)‖ = O( ∥∥√r∥∥) при ‖r‖ → 0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 104 I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА При виконаннi гiпотези H4 початок координат в Rm є атрактором для всiх додатних пiвтраєкторiй системи v̇ = c(v), якi починаються в Bm R∗ . Через цю обставину поведiнка розв’язкiв системи (4) значною мiрою обумовлена характером траєкторiй системи Воль- терра ṙj = ( αj − 3∑ k=1 ajkrk ) rj , j ∈ {1, 2, 3}, (5) де позначено αj := αj(0), ajk := ajk(0). Зауважимо, що системи вигляду (5) виникають у математичнiй теорiї динамiки популяцiй [2 – 4]. Зробимо невеликий вiдступ i наведемо один важливий факт, що стосується стiйкостi положення рiвноваги системи Вольтерра. Для довiльного вектора r = (r1, . . . , rd) ∈ Rd покладемо D[r] := diag (r1, . . . , rd) i, як узагальнення (5), розглянемо d-вимiрну систему Вольтерра ṙ = D[r](α−Ar), (6) у якiй α = (α1, . . . , αd) ∈ (0,+∞)d, A ∈ Rd×d — дiйсна невироджена матриця. Припусти- мо, що положення рiвноваги r∗ := A−1α цiєї системи має додатнi компоненти. Вiдомо [1, 4], що у випадку, коли знайдеться таке q ∈ (0,∞)d, що min ‖ξ‖=1 〈D[q]Aξ, ξ〉 > 0, (7) положення рiвноваги r∗ є атрактором системи (6) у (0,+∞)d. Цей факт є наслiдком наяв- ностi у системи Вoльтерра додатно визначеної вiдносно r∗ функцiї Ляпунова V0(r) = 〈q, r −D [r∗] ln r〉 − 〈q, r∗ −D [r∗] ln r∗〉 , похiдна якої внаслiдок системи (6) є вiд’ємно визначеною. (Тут i нижче для довiльної функцiї f : (0,∞) → R i довiльного r ∈ (0,∞)d позначено f(r) := (f(r1), . . . , f(rd))). Справдi, оскiльки α−Ar = A(r∗ − r), то[ V̇0 ] (6) (r) = 〈q, (E −D [r∗/r]) ṙ〉 = 〈q,D [r − r∗]D[1/r]D[r](α−Ar)〉 = = 〈q,D [r − r∗]A(r∗ − r)〉 = −〈D[q]A(r − r∗), r − r∗〉 < 0 ∀r 6= r∗. (8) Iз рiвностi D [r∗ + y] (α−A(r∗ + y)) = −D [r∗]Ay + o(‖y‖) випливає, що лiнеаризацiя системи (6) у положеннi рiвноваги має вигляд ẏ = −D [r∗]Ay i власнi числа матрицi D [r∗]A мають додатнi дiйснi частини. Дiйсно, додатно визначена квадратична форма 〈D[q/r∗]y, y〉 є функцiєю Ляпунова з вiд’ємно визначеною похiдною −2 〈D[q]Ay, y〉 внаслiдок лiнеаризованої системи, яка таким чином є асимптотично стiй- кою. З цих мiркувань, зокрема, випливає такий факт: sign det(A) = sign det(D [r∗]A) > 0. (9) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 ГIПЕРБОЛIЧНI IНВАРIАНТНI ТОРИ ШВИДКО-ПОВIЛЬНОЇ СИСТЕМИ . . . 105 Зауваження 1. Якщо ввести новий скалярний добуток 〈·, ·〉q := 〈D[q]·, ·〉 , то умова (7) набере вигляду min‖ξ‖=1 〈Aξ, ξ〉q > 0. Далi нам доведеться вимагати, щоб зазначену умову задовольняла матрицяA := {aij}3i,j=1 системи (5). Задля спрощення записiв будемо припускати виконання умови (7) з одиничною матрицею D[q] = E. Ввiвши матрицюA(v) := {aij(v)}3i,j=1 та векторα(v) = (α1(v), α2(v), α3(v)) з урахуван- ням зауваження 1, приймемо ще двi гiпотези з [1]: H5) iснують числа R∗ ∈ (0, R∗) та R0 ∈ (0, R∗) такi, що α0 := min 1≤j≤3 inf v∈Bm R0 αj(v) > 0, α∗ := − max 1≤j≤3 sup v∈Bm R∗\B m R∗ αj(v) > 0, λ∗ := inf v∈Bm R∗ min ‖ξ‖=1 〈A(v)ξ, ξ〉 > 0. Зрозумiло, що коли справджується гiпотеза H5, то система у варiацiях (2) для кожного u ∈ Bm R∗ \ Bm R∗ є асимптотично стiйкою, а для кожного u ∈ Bm R0 — цiлком нестiйкою. Отже, можемо вважати, що Ds = Bm R∗ \Bm R∗ , Du = Bm R0 . З гiпотези H5 випливає, що всi αj > 0, а матриця A + A>, де A := A(0), є додатно визначеною. Важливим для подальших мiркувань є не лише припущення з [1] про те, що система (5) має положення рiвноваги r∗ = (r∗1, r ∗ 2, r ∗ 3) з додатними компонентами, але й вимога, щоб звуження системи (5) на кожну iнварiантну площину ri = 0 мало таку саму властивiсть, тобто приймаємо таку гiпотезу: H6) система ∑3 k=1 ajkrk = αj , j ∈ {1, 2, 3}, має такий розв’язок r∗ = (r∗1, r ∗ 2, r ∗ 3) , що r∗j > 0, j ∈ {1, 2, 3}, i для кожного k ∈ {1, 2, 3} система aiiri + aijrj = αi, ajiri + ajjrj = αj , i, j ∈ {1, 2, 3} \ {k}, i < j, має розв’язок ri = r∗ij,i > 0, rj = r∗ij,j > 0. Зауважимо, що внаслiдок гiпотези H6 aii > 0 для всiх i ∈ {1, 2, 3}, а тому система (5) має ще й положення рiвноваги з координатами ri = 0, rj = 0, rk = r∗k,k := αk/akk для попарно рiзних i, j, k ∈ {1, 2, 3}. Крiм того, внаслiдок додатної визначеностi матрицi A+A> кожна з лiнiйних систем у гiпотезi H6 має єдиний розв’язок. Тепер сформулюємо основний результат. Теорема 1. Нехай справджуються гiпотези H1 – H6. Тодi iснує таке ε0 > 0, що для довiльного ε ∈ (0, ε0) можна виокремити деякий O( √ ε)-окiл Oε початку координат в C3 такий, що система (3) у множинi Oε × Bm R∗ має орбiтально асимптотично стiйкий 3-вимiрний iнварiантний тор T 3 ε , три двовимiрнi гiперболiчнi iнварiантнi тори T 2 ε,12, T 2 ε,13, T 2 ε,23 та три гiперболiчнi iнварiантнi цикли Cε,1, Cε,2, Cε,3. При цьому тор T 3 ε мiс- титься в деякому O(ε)-околi тора T3 ε, заданого рiвняннями \|zj \|2 = εr∗j , j = 1, 2, 3, v = 0; кожен тор T 2 ε,ij мiститься в деякому O(ε)-околi тора T2 ε,ij , заданого рiвняннями \|zi\|2 = εr∗ij,i, \|zj \| 2 = εr∗ij,j , zk = 0, k ∈ {1, 2, 3} \ {i, j}, v = 0, i має (4 +m)-вимiрний стiй- кий многовид, утворений додатними пiвтраєкторiями, що притягуються до T 2 ε,ij ; ко- жен цикл Cε,k мiститься в деякому O(ε)-околi циклу Cε,k, заданого рiвняннями \|zi\|2 = 0, \|zj \|2 = 0, \|zk\|2 = εr∗k,k, i, j ∈ {1, 2, 3} \ {k}, v = 0, i має (2 + m)-вимiрний стiйкий мно- говид, утворений додатними пiвтраєкторiями, що притягуються до Cε,k. Кожна до- ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 106 I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА датна пiвтраєкторiя з початком у Oε × Bm R∗ притягується до одного iз зазначених iнварiантних торiв або циклiв. 3. Допомiжний результат про iснування гiперболiчного iнварiантного тора. Перед тим як довести сформульовану вище теорему, наведемо лему, яку можна розглядати як пев- ну модифiкацiю вiдомих результатiв (див., наприклад, [5, 6]). Важливо зауважити, що ця лема не лише встановлює достатнi умови iснування iнварiантного тора, але й мiстить вичерпну iнформацiю про поведiнку траєкторiй в його околi. Також зазначимо, що iден- тифiкатори, якi використовуються далi, як, наприклад,A, z, Z, µ, не пов’язанi з одноймен- ними iдентифiкаторами з iнших пунктiв. Лема 1. Нехай правi частини системи ẏ = By + Y (y, θ), θ̇ = Θ(y, θ) (10) задовольняють такi умови: 1) лiнiйний оператор B : Rd → Rd є дихотомiчним, а саме, iснує пара таких про- екторiв P± : Rd → Rd, що P+ + P− = Id, i знайдуться такi додатнi сталi K, κ, що оператор G(t) := { eBtP− при t > 0, −eBtP+ при t ≤ 0 задовольняє нерiвнiсть ‖G(t)‖ ≤ Ke−κ\|t\| ∀t ∈ R; (11) 2) для вiдображень Y (·, ·) ∈ C ( Rd × Tk→Rd ) , Θ(·, ·) ∈ C ( Rd × Tk→Rk ) знайдуться такi додатнi сталi MY , LY , lY , LΘ, lΘ, λ, що для довiльних (y, θ), (y′, θ′) ∈ Rd×Tk справ- джуються нерiвностi ‖Y (y, θ)‖ ≤ MY , ∥∥Y (y, θ)− Y (y′, θ′) ∥∥ ≤ LY ∥∥y − y′∥∥+ lY ∥∥θ − θ′∥∥ , (12)∥∥Θ(y, θ)−Θ(y′, θ′) ∥∥ ≤ LΘ ∥∥y − y′∥∥+ lΘ ∥∥θ − θ′∥∥ (13) i 2K (LY λ+ lY ) κ− LΘλ− lΘ ≤ λ, KLY κ + KLΘ (LY λ+ lY ) (LΘλ+ lΘ) (κ− LΘλ− lΘ) < 1 2 . (14) Тодi iснує таке вiдображення Z(·, ·) ∈ C ( Rd × Tk→Rd ) , що sup (z,θ)∈Rd×Tk ‖Z(z, θ)‖ ≤ 2KMY κ , ∥∥Z(z, θ)− Z(z, θ′) ∥∥ ≤ λ ∥∥θ − θ′∥∥ ∀θ, θ′ ∈ Tk, i вiдображення h(·, ·) : Rd × Tk → Rd × Tk : (z, θ) 7→ (y, θ) = h(z, θ) := (z + Z(z, θ), θ) (15) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 ГIПЕРБОЛIЧНI IНВАРIАНТНI ТОРИ ШВИДКО-ПОВIЛЬНОЇ СИСТЕМИ . . . 107 визначає гомеоморфiзм спряження потокiв систем ż = Bz, θ̇ = Θ(z + Z(z, θ), θ) (16) та (10). Доведення. Обмеженi вiдображення Z(·, ·) ∈ C(Rd × Tk→ Rd), якi для деякого λ > 0 задовольняють нерiвнiсть ∥∥Z(z, θ)− Z(z, θ′) ∥∥ ≤ λ ∥∥θ − θ′∥∥ , утворюють повний метричний простiр з метрикою, породженою нормою \|Z\|∞ = sup (z,θ)∈Rd×Tk ‖Z(z, θ)‖ . Позначимо цей простiр через Mλ. Для кожного Z(·, ·) ∈ Mλ система (16) породжує то- пологiчний потiк. Справдi, покладаючи ζt(z) := eBtz, бачимо, що права частина неавто- номної системи θ̇ = Θ ( eBtz + Z(eBtz, θ), θ ) (17) глобально лiпшицева щодо θ i неперервно залежить вiд z, як вiд параметра. Тому розв’я- зок ϑt[Z](z, θ) цiєї системи, який набуває значення θ ∈ Tk при t = 0, має властивiсть єдиностi i є неперервною функцiєю змiнних (t, z, θ) ∈ R × Rd × Tk. Отже, зазначеним потоком є сiм’я гомеоморфiзмiв{ Rd × Tk 3 (z, θ) 7→ (ζt(z), ϑt[Z](z, θ)) } t∈R . Будемо тепер шукати таке вiдображення Z(·, ·) ∈ Mλ, щоб залежна вiд параметрiв (z, θ) функцiя змiнної t, визначена рiвнiстю y(t; z, θ) := eBtz + Z ( eBtz, ϑt[Z](z, θ) ) , була розв’язком системи ẏ = By + Y (y, ϑt[Z](z, θ)), або, що те саме, функцiя Ẑ(t; z, θ) := Z(eBtz, ϑt[Z](z, θ)) була обмеженим на всiй осi розв’язком лiнiйної системи d dt Ẑ = BẐ + Y ( eBtz + Z ( eBtz, ϑt[Z](z, θ) ) , ϑt[Z](z, θ) ) . (18) Як вiдомо, такий обмежений розв’язок визначається формулою Ẑ(t; z, θ) = ∞∫ −∞ G(t− s)Y ( eBsz + Z ( eBsz, ϑs[Z](z, θ) ) , ϑs[Z](z, θ) ) ds ≡ ≡ ∞∫ −∞ G(−τ)Y ( eB(t+τ)z + Z ( eB(t+τ)z, ϑt+τ [Z](z, θ) ) , ϑt+τ [Z](z, θ) ) dτ. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 108 I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА Пiдставимо тут (ζ−t(z), ϑ−t(z, θ)) замiсть (z, θ), позначимо змiнну iнтегрування через t i покладемо G[Z](θ, z) := ∞∫ −∞ G(−t)Y ( eBtz + Z ( eBtz, ϑt[Z](z, θ) ) , ϑt[Z](z, θ) ) dt. Неважко пересвiдчитися в тому, що нерухома точка оператора G[·], визначеного на Mλ цiєю рiвнiстю, i є вiдображенням, яке породжує обмежений розв’язок Ẑ(·; z, θ) системи (18). Якщо така нерухома точка iснує, то за побудовою вiдображення (15) перетворює розв’язок t 7→ (ζt(z), ϑt[Z](z, θ)) системи (16) у розв’язок системи (10). З цього факту вiдразу випливає взаємна однозначнiсть вiдображення (15). Справдi, припустивши про- тилежне, можна було б знайти пару рiзних точок (z1, θ0), (z2, θ0) ∈ Rd × Tk таких, що z1 + Z(z1, θ0) = z2 + Z(z2, θ0). Оскiльки всi розв’язки системи (10) мають властивiсть єдиностi, то для всiх t повинна була б виконуватися рiвнiсть y(t; z1, θ0) = y(t; z2, θ0) ⇐⇒ eBt(z1 − z2) ≡ Z ( eBtz1, ϑt[Z](z1, θ0) ) − Z ( eBtz2, ϑt[Z](z2, θ0) ) . Остання тотожнiсть, однак, неможлива, оскiльки норма її правої частини обмежена щодо t ∈ R, а норма лiвої — нi. Покажемо, що iснування нерухомої точки оператора G[·] випливає з принципу Банаха. Для кожного Z(·, ·) ∈ Mλ маємо \|G[Z]\|∞ ≤ 2K κ \|Y \|∞ ≤ 2KMY κ . Звiдси, зокрема, випливає, що G[Z](·, ·) ∈C ( Rd × Tk→Rd ) . Покладаючи задля спрощен- ня позначень ζt := eBtz, ϑ′t := ϑt[Z](z, θ′), ϑ′′t := ϑt[Z](z, θ′′), з урахуванням (17) маємо ∥∥ϑ′t − ϑ′′t ∥∥ ≤ ∥∥θ′ − θ′′∥∥+ ∣∣∣∣∣∣ t∫ 0 ( LΘ ∥∥Z (ζt, ϑ′s)− Z (ζt, ϑ′′s)∥∥+ lΘ ∥∥ϑ′s − ϑ′′s∥∥) ds ∣∣∣∣∣∣ ≤ ≤ ∥∥θ′ − θ′′∥∥+ ∣∣∣∣∣∣ t∫ 0 (LΘλ+ lΘ) ∥∥ϑ′s − ϑ′′s∥∥ ds ∣∣∣∣∣∣ , звiдки, застосовуючи нерiвнiсть Гронуолла, дiстаємо оцiнку∥∥ϑ′t − ϑ′′t ∥∥ ≤ ∥∥θ′ − θ′′∥∥ exp ([LΘλ+ lΘ] \|t\|) . Тодi з огляду на умову 2 отримуємо ∥∥G[Z](z, θ′)− G[Z](z, θ′′) ∥∥ ≤ ∞∫ −∞ Ke−κ\|t\| [ LY ∥∥Z (ζt, ϑ′t)− Z (ζt, ϑ′′t )∥∥+ lY ∥∥ϑ′t − ϑ′′t ∥∥] dt ≤ ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 ГIПЕРБОЛIЧНI IНВАРIАНТНI ТОРИ ШВИДКО-ПОВIЛЬНОЇ СИСТЕМИ . . . 109 ≤ ∞∫ −∞ K (LY λ+ lY ) ∥∥θ′ − θ′′∥∥ exp ([LΘλ+ lΘ − κ] \|t\|) dt ≤ ≤ 2K (LY λ+ lY ) κ− LΘλ− lΘ ∥∥θ′ − θ′′∥∥ ≤ λ ∥∥θ′ − θ′′∥∥ . Отже, G[·] : Mλ → Mλ. Покажемо, що вiдображення G[·] є стискаючим. Для довiльних Zi(·, ·) ∈ Mλ, i = 1, 2, позначимо ϑit := ϑt[Zi](z, θ). Тодi з урахуванням (17) одержимо∣∣∣∣ ddt ∥∥ϑ1 t − ϑ2 t ∥∥2 ∣∣∣∣ = 2 ∣∣〈Θ (ζt + Z1(ζt, ϑ 1 t ), ϑ 1 t ) −Θ ( ζt + Z2(ζt, ϑ 2 t ), ϑ 2 t ) , ϑ1 t − ϑ2 t 〉∣∣ ≤ ≤ 2 ( LΘ ∥∥Z1 ( ζt, ϑ 1 t ) − Z2 ( ζt, ϑ 2 t )∥∥ ∥∥ϑ1 t − ϑ2 t ∥∥+ lΘ ∥∥ϑ1 t − ϑ2 t ∥∥2 ) ≤ ≤ 2 ( LΘ \|Z1 − Z2\|∞ ∥∥ϑ1 t − ϑ2 t ∥∥+ (LΘλ+ lΘ) ∥∥ϑ1 t − ϑ2 t ∥∥2 ) . Якщо ϑ1 t 6≡ ϑ2 t , то вiдкриту множину { t ∈ R : ϑ1 t 66= ϑ2 t } можна подати у виглядi об’єднання не менш нiж двох iнтервалiв, i на кожному такому iнтервалi справджується диференцi- альна нерiвнiсть ∣∣∣∣ ddt ∥∥ϑ1 t − ϑ2 t ∥∥∣∣∣∣ ≤ (LΘλ+ lΘ) ∥∥ϑ1 t − ϑ2 t ∥∥+ LΘ \|Z1 − Z2\|∞ . Тому функцiя ∥∥ϑ1 t − ϑ2 t ∥∥ обмежена зверху розв’язками задач Кошi ṡ = sign t [(LΘλ+ lΘ) s+ LΘ\|Z1 − Z2\|∞] , s(0) = 0 при tsign t ≥ 0. Таким чином, ∥∥ϑ1 t − ϑ2 t ∥∥ ≤ LΘ LΘλ+ lΘ \|Z1 − Z2\|∞ exp ([LΘλ+ lΘ] \|t\|) . З використанням цiєї оцiнки та з огляду на умову 2 маємо ‖G[Z1](z, θ)− G[Z2](z, θ)‖ ≤ ∞∫ −∞ Ke−κ\|t\| ( LY ∥∥Z1 ( ζt, ϑ 1 t ) − Z2 ( ζt, ϑ 2 t )∥∥+ lY ∥∥ϑ1 t − ϑ2 t ∥∥) dt ≤ ≤ ∞∫ −∞ Ke−κ\|t\| ( LY ∥∥Z1 ( ζt, ϑ 1 t ) − Z2 ( ζt, ϑ 1 t )∥∥+ (LY λ+ lY ) ∥∥ϑ1 t − ϑ2 t ∥∥) dt ≤ ≤ 2KLY κ + ∞∫ −∞ KLΘ (LY λ+ lY ) LΘλ+ lΘ exp ([LΘλ+ lΘ − κ] \|t\|) dt  \|Z1 − Z2\|∞ ≤ ≤ 2 [ KLY κ + KLΘ (LY λ+ lY ) (LΘλ+ lΘ) (κ− LΘλ− lΘ) ] \|Z1 − Z2\|∞ < \|Z1 − Z2\|∞. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 110 I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА Тепер iснування вiдображення Z(·, ·) випливає з принципу Банаха. Оскiльки Z(·, ·) є обмеженим, то для кожного θ ∈ Tk вiдображення Rd 3 z 7→ z + +Z(z, θ) ∈ Rd коерцитивне, а тому його образом є Rd (див., наприклад, [7, с. 168]). Звiдси випливає, що h(Rd × Tk) = Rd × Tk. Вище було встановлено, що вiдображення h(·, ·) є взаємно однозначним. Мiркуванням вiд супротивного неважко довести, що вiдображення h−1(·, ·) неперервне. Отже, h(·, ·) — гомеоморфiзм простору Rd × Tk на себе. Лему 1 доведено. Зауваження 2. Припустимо, що умови теореми виконуються не в Rd×Tk, а в Bd 2δ ×Tk з деяким δ > 0, i при цьому 2KMY /κ < δ. Тодi, позначивши через π2δ(·) ортогональну ретракцiю простору Rd на кулю Bd 2δ, лему 1 можна застосувати до системи ẏ = By + Y (π2δ(y), θ), θ̇ = Θ(π2δ(y), θ), (19) побудувавши для неї гомеоморфiзм (15). Зауважимо, що на множинi Bd 2δ × Tk ця система збiгається з системою (10). Нехай{ Rd × Tk 3 (z, θ) 7→ gt(z, θ) = ( eBtz, ϑt(z, θ) )} t∈R — потiк системи ż = Bz, θ̇ = Θ (π2δ(z + Z(z, θ)), θ) . (20) Тодi { h ◦ gt ◦ h−1 : Rd × Tk→Rd × Tk } t∈R — потiк системи (19). Визначимо множинуM := := h−1 ( Bd 2δ × Tk ) .Оскiльки z+Z(z, θ) ∈ Bd 2δ при z ∈ Bd δ , тоM мiстить множинуBd δ×Tk i, зокрема, спiльний iнварiантний тор {0}×Tk систем (20) та (10). Якщо тепер для довiльної точки (z, θ) ∈ M визначити iнтервал I(z, θ) = (T−(z, θ), T+(z, θ)) з межами T−(z, θ) := inf { τ < 0: gt(z, θ) ∈ M ∀t ∈ (τ, 0] } ≥ −∞, T+(z, θ) := sup { τ > 0: gt(z, θ) ∈ M ∀t ∈ [0, τ) } ≤ ∞, то I(z, θ) 3 t 7→ (ζt(z), ϑt(z, θ)) буде розв’язком системи (16), а I ◦ h−1(y, θ) 3 t 7→ h ◦ gt ◦ h−1(y, θ) — розв’язком системи (10) для довiльної точки (y, θ) ∈ Bd 2δ × Tk. Зокрема, рiвняння y = = Z(0, θ), θ ∈ Tk, визначає спiльний iнварiантний тор T систем (19) та (10). Легко бачити, що необхiдною умовою того, що T+(z, θ) = +∞, є z ∈ P−Rd. Рiвняння y = z + Z(z, θ), (z, θ) ∈ P−Rd × Tk, визначає стiйкий iнварiантний (вiдносно системи (19)) многовид Us iнварiантного тора T , а пiдобласть многовиду Us, яка вiдповiдає значенням z ∈ P−Rd∩Bd δ , є додатно напiвiнварiантною вiдносно системи (10), причому кожна точка цiєї пiдобластi пiд дiєю потоку {h ◦ gt ◦ h−1} прямує до тора T . Якщо ж (y, θ) ∈ ( Bd 2δ × Tk ) \ Us, то iснує такий момент t∗ = t∗(y, θ) > 0, що h ◦ gt∗ ◦ h−1(y, θ) ∈ ∂ ( Bd 2δ × Tk ) , оскiльки функцiя R+ 3 t 7→ ∥∥eBtz∥∥ необмежена для кожного z ∈ P+Rd \ {0}. Зауваження 3. Нехай κ = εκ1, LY = εµ, lΘ = εµ, lY = εµ, LΘ = εL. Тодi для будь-яких додатних κ1, L можна вказати таке достатньо мале µ > 0, що при всiх ε > 0 нерiвностi ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 ГIПЕРБОЛIЧНI IНВАРIАНТНI ТОРИ ШВИДКО-ПОВIЛЬНОЇ СИСТЕМИ . . . 111 (14) будуть виконуватись, якщо покласти λ = κ1/(2L). Зазначимо, що в [5] iснування iнварiантного тора встановлювалось у випадку, коли LΘ = εµ. Зауваження 4. Нехай маємо систему ẏ = By + Ŷ (y, ψ), ψ̇ = Ξy + Θ̂(y, ψ), де Ŷ (y, ψ), Θ̂(y, ψ) мають тi самi властивостi, що й Y (y, θ), Θ(y, θ) у лемi 1, до того ж∥∥B−1 ∥∥ = ε−1β, ‖Ξ‖ = εξ, κ = εκ1, LŶ = εµ̂, lΘ̂ = εµ̂, lŶ = εµ̂, LΘ̂ = εµ̂ i µ̂ � 1. Виконаємо замiну змiнних ψ = θ + ΞB−1y. Тодi дiстанемо систему ẏ = By + Ŷ ( y, θ + ΞB−1y ) , θ̇ = Θ̂ ( y, θ + ΞB−1y ) − ΞB−1Ŷ ( y, θ + ΞB−1y ) . Поклавши Y (y, θ) = Ŷ ( y, θ + ΞB−1y ) , Θ(y, θ) = Θ̂ ( y, θ + ΞB−1y ) − ΞB−1Ŷ ( y, θ + ΞB−1y ) , матимемо LY = LŶ + lŶ βξ, lY = lŶ , LΘ = LΘ̂ + lΘ̂βξ + βξ ( LŶ + lŶ βξ ) , lΘ = lΘ̂ + βξlŶ . Таким чином, тепер замiсть LΘ = εL маємо LΘ = εµ̂ (1 + βξ)2 =: εµ. Скориставшись цим фактом, можна показати, що при достатньо малих µ та ε стiйкий многовид iнварi- антного тора системи (10) є лiпшицевим пiдмноговидом фазового простору ненульової ковимiрностi, а тому має нульову (d+ k)-вимiрну лебегову мiру. 4. Доведення основної теореми. Без обмеження загальностi мiркувань далi вважати- мемо, що r∗ = (1, 1, 1), оскiльки цього завжди можна досягти, виконавши попередньо розтяги ri 7→ r∗i ri, i ∈ {1, 2, 3}. Вiдтак V0(r) := 3∑ i=1 [ri − 1− ln ri] = 3∑ i=1 ri − ln 3∏ i=1 ri − 3, [V̇0](5)(r) = −〈A(r − r∗), (r − r∗)〉 ≤ −λ∗ ‖r − r∗‖2 . Нехай ν ∈ (0, 1) i Γ+ := {(r(t), v(t), ϕ(t))}t≥0 — додатна пiвтраєкторiя системи (4) з почат- ком у точцi (r(0), v(0), ϕ(0)) ∈ S% ×Bm R∗ × T3, де S% := { r ∈ Rn+ : \|r\| ≤ % } ⊂ [0, %]n. У статтi [1] показано, що якщо V0(r(0)) ≤ \|ln εν \| i ε0 є достатньо малим, то Γ+ притягу- ється iнварiантним тором T 3 ε системи (4), розташованим поблизу тора, заданого рiвнян- нями r = r∗, v = 0. Тепер наше завдання полягатиме в тому, щоб охарактеризувати тi додатнi пiвтраєкторiї, якi не притягуються тором T 3 ε . На пiдставi результатiв [1] можна дiйти такого попереднього висновку: iснують такi числа 0 < c0 < C0 < % i C∗ > 0, що для кожної додатної пiвтраєкторiї Γ+, яка не притягується тором T 3 ε , знайдеться такий момент tε > 0, що r(t) ∈ Gε := { r ∈ R3 + : c0 ≤ 3∑ i=1 ri ≤ C0, V0(r) ≥ \|ln εν \| } , ‖v(t)‖ ≤ C∗ε ∀t ≥ tε. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 112 I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА Оскiльки система (4) автономна, то без обмеження загальностi вважаємо, що tε = 0. Твердження 1. Знайдуться такi додатнi сталi C∗, σ ∈ (0, 1) i ε0, що при ε ∈ (0, ε0) для кожної додатної пiвтраєкторiї Γ+ системи (5), у якої r(t) ∈ Gε i ‖v(t)‖ ≤ C∗ε для всiх t ≥ 0, iснують положення рiвноваги r∗ = (r∗1, r ∗ 2, r ∗ 3) ∈ R3 \ {0, r∗} системи (5) i момент τε > 0 такi, що ‖r(t)− r∗‖ ≤ C∗εσ i ‖v(t)− v∗(ε)‖ ≤ C∗ε1+σ для всiх t ≥ τε, де v∗(·) : (−ε0, ε0) → Rm — гладке вiдображення, визначене як неявна функцiя рiвнянням c(v) + ε ( c̃(v) + 3∑ k=1 ck(v)r∗k ) = 0. (21) Доведення. Для кожної пари i, j ∈ {1, 2, 3}, i < j, визначимо функцiю Vij(r) := ∑ k∈{i,j} ( rk − r∗ij,k − r∗ij,k ln rk r∗ij,k ) . Її звуження на координатну площину rk = 0, де k ∈ {1, 2, 3}\{i, j}, є додатно визначеною функцiєю вiдносно точки (r∗ij,i, r ∗ ij,j), а похiдна цiєї функцiї внаслiдок системи ṙi = (αi − aiiri − aijrj)ri, (22) ṙj = (αj − ajiri − ajjrj)rj (звуження системи (5) на цю площину) — вiд’ємно визначеною. Справдi, з урахуванням (8) (зараз d = 2) маємо[ V̇ij ] (22) (r) ≤ −λ∗ [( r∗ij,i − ri )2 + ( r∗ij,j − rj )2] . (23) Зафiксуємо число µ, яке задовольняє умову 0 < 2µ < νmin { r∗ij,k : i, j ∈ {1, 2, 3}, i < j, k ∈ {i, j} } , i з функцiєю Vij(·) пов’яжемо множини G+ ε,ij := {r ∈ Gε : Vij(r) ≤ \|ln εµ\|} , G−ε,ij := {r ∈ Gε : Vij(r) > \|ln εµ\|} . Iснують такi додатнi сталi c1, C1, що для кожної точки r ∈ G+ ε,12 виконано нерiвностi c0 ≤ 3∑ i=1 ri ≤ C0, r1r2r3 < C1ε ν , r r∗12,1 1 r r∗12,2 2 > c1ε µ. (24) Припустимо для визначеностi, що r∗12,2 ≥ r∗12,1. Тодi мiнiмальне значення функцiї r1r2 на множинi рiвня r r∗12,1 1 r r∗12,2 2 = c > 0 при 0 < r2 ≤ C0 дорiвнює C 1−r∗12,2/r∗12,1 0 c1/r∗12,1 . Тому, як наслiдок (24), маємо C 1−r∗12,2/r∗12,1 0 c 1/r∗12,1 1 εµ/r ∗ 12,1r3 < C1ε ν . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 ГIПЕРБОЛIЧНI IНВАРIАНТНI ТОРИ ШВИДКО-ПОВIЛЬНОЇ СИСТЕМИ . . . 113 Оскiльки ν − µ/mink∈{i,j}{r∗ij,k} ≥ ν/2, то знайдеться така стала C12,3 > 0, що r3 < < C12,3ε ν/2, а тодi при всiх достатньо малих ε > 0, як наслiдок першої нерiвностi (24), матимемо c0/2 ≤ r1 + r2 ≤ 2C0. З цiєї нерiвностi та третьої з нерiвностей (24) отримуємо r1 > c 1/r∗12,1 1 (2C0)−r ∗ 12,2/r ∗ 12,1εµ/r ∗ 12,1 =: C12,1ε µ/r∗12,1 , r2 > c 1/r∗12,2 1 (2C0)−r ∗ 12,1/r ∗ 12,2εµ/r ∗ 12,2 =: C12,2ε µ/r∗12,2 . Отже, доведено, що G+ ε,12 ⊂ { r ∈ R3 + : r1 > C12,1ε µ/r∗12,1 , r2 > C12,2ε µ/r∗12,2 , r3 < C12,3ε ν/2 } . Аналогiчнi включення одержуємо для iнших множин G+ ε,ij , i, оскiльки ν/2 > µ/min r∗ij,k, цi множини при всiх достатньо малих ε > 0 попарно не перетинаються. Тепер оцiнимо похiдну функцiї V12(·) внаслiдок системи (4) за умови, що r ∈ G+ ε,12 i ‖v‖ ≤ C∗ε. З урахуванням (23) маємо [ V̇12 ] (4) ≤ −2ελ∗ 2∑ i=1 (ri − r∗12,i) 2 + 2ε 2∑ i=1 ∣∣ri − r∗12,i ∣∣ [\|ai3\|r3 +O(ε)] + + ε3/2 2∑ i=1 ∣∣∣ri − r∗12,i ∣∣∣ √ ri \|Ri(r, v, ϕ, ε)\| . Якщо 2∑ i=1 ( ri − r∗12,i )2 ≥ 1 4 min i∈{1,2} {( r∗12,i )2} , то з урахуванням нерiвностей ri ≥ C12,iε µ/r∗12,i , i ∈ {1, 2}, при всiх достатньо малих ε > 0 маємо [ V̇12 ] (4) ≤ −2ε λ∗ 2∑ i=1 (ri − r∗12,i) 2 + √√√√ 2∑ i=1 ( ri − r∗12,i )2 O ( εν/2 )+ + ε3/2 2∑ i=1 ∣∣∣ri − r∗12,i ∣∣∣ √ ri \|Ri(r, v, ϕ, ε)\| ≤ ≤ −ε min i∈{1,2} { r∗12,i }[λ∗ 2 min i=1,2 { r∗12,i } +O(εν/2) +O ( ε(1−µ/mini∈{1,2}{r∗12,i})/2 )] ≤ ≤ −ε min i∈{1,2} { r∗12,i }[A∗ 2 min i∈{1,2} { r∗12,i } +O(εν/4) ] < 0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 114 I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА Якщо ж ∑2 i=1 ( ri − r∗12,i )2 < 1 4 min i∈{1,2} {( r∗12,i )2} , то ∣∣∣ri − r∗12,i ∣∣∣ < 1 2 r∗12,i, звiдки ri > 1 2 r∗12,i. Тодi з другої з нерiвностей (24) дiстаємо r3 < 4 r∗12,1r ∗ 12,2 C1ε ν , а тому [ V̇12 ] (4) ≤ −2ε λ∗ 2∑ i=1 (ri − r∗12,i) 2 +O(εν/2) √√√√ 2∑ i=1 (ri − r∗12,i) 2  . На пiдставi одержаних нерiвностей неважко дiйти таких висновкiв. Для додатної пiв- траєкторiї Γ+ такої, що r(0) ∈ G+ ε,12, ‖v(0)‖ ≤ C∗ε, виконується нерiвнiсть V12(r(t)) < < V12(r(0)) ≤ \|ln εµ\| , поки r(t) ∈ G+ ε,12 i t > 0. Неважко зрозумiти, що тодi r(t) ∈ G+ ε,12 для всiх t ≥ 0. Бiльше того, похiдна функцiї V12(r(t)) залишається вiдокремленою вiд 0 деяким вiд’ємним числом поки r(t) перебуває за межами деякого O(εν/2)-околу точ- ки (r∗12,1, r ∗ 12,2, 0). Поблизу цiєї точки V12(r) ∼ 1 2 ∑2 i=1(ri − r∗12,i) 2/r∗12,i. Тому знайдеться таке C∗1 > 0, що починаючи з певного моменту r(t) належатиме C∗1ε ν/2-околу точки r∗ = (r∗12,1, r ∗ 12,2, 0). При цьому вибiр C∗1 не залежить вiд конкретної пiвтраєкторiї. Такий самий аналiз проводимо в iнших випадках, коли r(0) ∈ G+ ε,ij . Розглянемо тепер додатну пiвтраєкторiю Γ+, для якої r(t) ∈ G−ε,12∩G − ε,13∩G − ε,23 при t ≥ ≥ 0. Для визначеностi припустимо, що r1(0) ≥ r2(0) i r1(0) ≥ r3(0). Тодi знайдуться дода- тнi сталi C1, C12, C13 такi, що r(0) належить множинi, координати точок якої задовольня- ють нерiвностi r1 ≥ r2, r1 ≥ r3, (25) r r∗12,1 1 r r∗12,2 2 < C12ε µ, r r∗13,1 1 r r∗13,3 3 < C13ε µ, r r∗23,2 2 r r∗23,3 3 < C13ε µ, (26) c0 < r1 + r2 + r3 < C0, r1r2r3 < C1ε ν . (27) Зрозумiло, що звiдси для всiх достатньо малих ε > 0 дiстаємо r r∗12,1+r∗12,2 2 < C12ε µ, r r∗13,1+r∗13,3 3 < C13ε µ, c0/2 < r1 < 2C0, (28) а отже, r2 < r1, r3 < r1. Далi, оскiльки вздовж Γ+ виконуються нерiвностi (26) та (27), а початкова точка задо- вольняє нерiвностi (25), то нерiвностi (25) у точках Γ+ порушуватися не можуть. Тому вздовж Γ+ справджуються нерiвностi (28). Але тодi з (26) i третьої з нерiвностей (28) випливають нерiвностi r2 < (2/c0)r ∗ 12,1/r ∗ 12,2C 1/r∗12,2 12 εµ/r ∗ 12,2 , r3 < (2/c0)r ∗ 13,1/r ∗ 13,3C 1/r∗13,3 13 εµ/r ∗ 13,3 . Покажемо, що точка, рухаючись уздовж Γ+, потрапляє i в подальшому залишається в O (εσ)-околi точки (r∗1,1, 0, 0), де σ = min { 1, ν 2 , µmin { 1 r∗ij,k : i, j ∈ {1, 2, 3}, i < j, k ∈ {i, j} }} . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 ГIПЕРБОЛIЧНI IНВАРIАНТНI ТОРИ ШВИДКО-ПОВIЛЬНОЇ СИСТЕМИ . . . 115 З цiєю метою оцiнимо похiдну функцiї V1(r) := r1 − r∗1,1 ln(r1/r ∗ 1,1)− r∗1,1 внаслiдок систе- ми (4):[ V̇1 ] (4) = 2ε ( r1 − r∗1,1 ) [α1 − a11r1 − a12r2 − a13r3 +O(ε)] + + ε3/2 r1 − r∗1,1√ r1 R1(r, v, ϕ, ε) ≤ −2ε [ a11(r1 − r∗1,1)2 +O(εσ) ∣∣r1 − r∗1,1 ∣∣] . Оскiльки V1(r) ∼ 1 2r∗1,1 (r1−r∗1,1)2 при r1 → r∗1,1, то, збiльшивши в разi потреби сталуC∗1 , на пiдставi тих самих аргументiв, якi вище стосувалися функцiї V12(r), можемо стверджува- ти, що починаючи з певного моменту r(t) належатиме C∗1ε σ-околу точки r∗ = (r∗1,1, 0, 0). Аналогiчнi оцiнки отримуємо для положень рiвноваги r∗2,2 та r∗3,3. Розглянемо пiдсистему v̇ = ε [ c(v) + ε ( c̃(v) + 3∑ k=1 ck(v)rk ) + ε2q(r, v, ϕ, ε) ] (29) для значень r з C∗εσ-околу однiєї з точок r∗ = (r∗1, r ∗ 2, r ∗ 3) . Наслiдком гiпотези H4 є рiвнiсть c(0) = 0 i невиродженiсть c′(0). Тодi за теоремою про неявну функцiю рiвняння (21) має гладкий в околi ε = 0 розв’язок v∗(ε) = −ε [c′(0)]−1× × ( c̃(0) + ∑3 k=1 ck(0)r∗k ) + O(ε2). Оскiльки c(v) = [c′(0) + o(1)] v при ‖v‖ → 0 i ‖c′(v∗(ε))− −c′(0)‖=O(ε) при ε → 0, то при достатньо малих ε виконується нерiвнiсть 〈c′(v∗(ε))v, v〉 ≤ ≤ −1 2 κ ‖v‖2 для всiх v ∈ Rm. Взявши до уваги рiвностi c(v) + ε ( c̃(v) + 3∑ k=1 ck(v)r∗k ) = c(v)− c(v∗(ε))+ + ε ( c̃(v)− c̃(v∗(ε)) + 3∑ k=1 [ck(v)− ck(v∗(ε))] r∗k ) = = [ c′(v∗(ε)) + o(1) ] (v − v∗(ε)), при всiх достатньо малих ε i ‖v‖ ≤ C∗ε дiстанемо d dt ∣∣∣∣ (29) ‖v − v∗(ε)‖2 ≤ −εκ 2 ‖v − v∗(ε)‖2 + ‖v − v∗(ε)‖× × [ 3∑ k=1 \|ck(v)\| \|rk − r∗k\|+ ε2 ‖q(r, v, ϕ, ε)‖ ] . Якщо при цьому ‖r − r∗‖ ≤ C∗1ε σ, то знайдеться така стала C∗2 > 0, що при всiх достат- ньо малих ε похiдна функцiї ‖v − v∗(ε)‖2 внаслiдок системи (29) буде вiдокремлена вiд ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 116 I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА нуля деяким вiд’ємним числом, поки ‖v − v∗(ε)‖ > C∗2ε 1+σ. Звiдси й випливає iснування шуканого моменту τε, якщо покласти C∗ = max {C∗1 , C∗2} . Твердження 1 доведено. Твердження 2. Кожне положення рiвноваги системи (5) з координатами rk = 0, ri = = r∗ij,i > 0, rj = r∗ij,j > 0, де i, j ∈ {1, 2, 3} \ {k}, i < j, а також з координатами rj = rk = 0, ri = r∗i,i > 0, де i, j, k ∈ {1, 2, 3} попарно рiзнi, є гiперболiчним. Доведення. З’ясуємо характер положення рiвноваги (r∗12,1, r ∗ 12,2, 0) системи (5). Матри- ця лiнеаризованої системи має вигляд A12 :=  −a11r ∗ 12,1 −a12r ∗ 12,1 −a13r ∗ 12,1 −a21r ∗ 12,2 −a22r ∗ 12,2 −a23r ∗ 12,2 0 0 α3 − a31r ∗ 12,1 − a32r ∗ 12,2  . (30) З викладених вище фактiв щодо системи Вольтерра при d = 2 випливає, що власнi числа матрицi ( −a11r ∗ 12,1 −a12r ∗ 12,1 −a21r ∗ 12,2 −a22r ∗ 12,2 ) = − ( r∗12,1 0 0 r∗12,2 )( a11 a12 a21 a22 ) мають вiд’ємнi дiйснi частини, а тодi, оскiльки r∗12,i > 0 при i = 1, 2, ∣∣∣∣ a11 a12 a21 a22 ∣∣∣∣ > 0. Покажемо, що α3 − a31r ∗ 12,1 − a32r ∗ 12,2 > 0. Справдi, оскiльки detA > 0 (див. (9)), то за правилом Крамера дiстаємо рiвнiсть∣∣∣∣∣∣ a11 a12 α1 a21 a22 α2 a31 a32 α3 ∣∣∣∣∣∣ = r∗3 detA > 0. Розкладаючи визначник у лiвiй частинi цiєї формули за останнiм рядком, маємо a31 ∣∣∣∣ a12 α1 a22 α2 ∣∣∣∣−a32 ∣∣∣∣ a11 α1 a21 α2 ∣∣∣∣+α3 ∣∣∣∣ a11 a12 a21 a22 ∣∣∣∣ = ( α3 − a31r ∗ 12,1 − a32r ∗ 12,2 ) ∣∣∣∣ a11 a12 a21 a22 ∣∣∣∣ > 0. Отже, матриця лiнеаризованої системи в положеннi рiвноваги (r∗12,1, r ∗ 12,2, 0) має пару влас- них чисел з вiд’ємними дiйсними частинами i одне додатне власне число. Зрозумiло, що такий самий висновок можна зробити щодо iнших положень рiвноваги з парою додатних i однiєю нульовою компонентами. Нарештi, з’ясуємо характер положення рiвноваги (r∗1,1, 0, 0) системи (5). Матриця лi- неаризованої системи має вигляд A1 :=  α1 − 2a11r ∗ 1,1 −a12r ∗ 1,1 −a13r ∗ 1,1 0 α2 − a21r ∗ 1,1 0 0 0 α3 − a31r ∗ 1,1  . (31) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 ГIПЕРБОЛIЧНI IНВАРIАНТНI ТОРИ ШВИДКО-ПОВIЛЬНОЇ СИСТЕМИ . . . 117 Оскiльки ∣∣∣∣ a11 a1j aj1 ajj ∣∣∣∣ > 0, як при j = 2, так i при j = 3, i за правилом Крамера r∗1j,j = ∣∣∣∣ a11 α1 aj1 αj ∣∣∣∣ : ∣∣∣∣ a11 a1j aj1 ajj ∣∣∣∣ , то елементи головної дiагоналi — власнi числа — мають такi знаки: α1 − 2a11r ∗ 1,1 = −α1 < 0, αj − aj1r∗1,1 = r∗1j,j a11 ∣∣∣∣ a11 a1j aj1 ajj ∣∣∣∣ > 0, j = 2, 3. Зрозумiло, що й для iнших положень рiвноваги з парою нульових i однiєю додатною ком- понентами матрицi вiдповiдних лiнеаризованих систем мають одне вiд’ємне i пару додат- них власних чисел. Твердження 2 доведено. Повернемось до системи (3). Для дослiдження поведiнки траєкторiй в околi двовимiр- ного тора T2 ε,12 : \|z1\|2 = εr∗12,1, \|z2\|2 = εr∗12,2, z3 = 0, v = 0 введемо спочатку в цiй системi полярнi змiннi r1, r2 ∈ (0,∞), ψ1, ψ2 ∈ S1 та нову комп- лексну змiнну ζ за формулами zj = √ εrje iψj , j = 1, 2, z3 = √ εζ. Тодi система набере вигляду ṙj = 2ε [ αj(v)− 2∑ k=1 ajk(v)rk − aj3(v)\|ζ\|2 +O(ε) ] rj +O(ε3/2), j ∈ {1, 2}, ζ̇ = iω̂3(v, ε)ζ + ε [ α3(v) + 2∑ k=1 h3k(v)rk − h33(v)\|ζ\|2 +O(ε) ] ζ +O(ε3/2), v̇ = ε [ c(v) + ε ( c̃(v) + 2∑ k=1 ck(v)rk + c3(v)\|ζ\|2 ) +O ( ε2 )] , ψ̇j = ω̂j(v, ε) + ε ( 2∑ k=1 bjk(v)rk + bj3(v)\|ζ\|2 ) +O(ε3/2), j ∈ {1, 2}. Тепер виконаємо тут ще одну замiну змiнних rj = r∗12,j + ξj , j ∈ {1, 2}, v = v∗(ε) + εw, де v∗(ε) взято з твердження 1 для r∗ = ( r∗12,1, r ∗ 12,2, 0 ) . Тодi, ввiвши вектор Ω(w, ε) := 1∫ 0 [ ∂ ∂v ω̂3(v, ε) ] v=v∗(ε)+sεw ds, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 118 I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА дiстанемо систему ξ̇j = −2ε 2∑ k=1 ajkr ∗ 12,jξk − 2ε [ 2∑ k=1 ajkξkξj + aj3\|ζ\|2 ( r∗12,j + ξj )] + + ε3/2Ξj (ξ,Re ζ, Im ζ, w, ψ, ε) , j ∈ {1, 2}, ζ̇ = [ iω̂3(v∗(ε), ε) + ε ( α3 + 2∑ k=1 h3kr ∗ 12,k )] ζ+ + ε ( i 〈Ω(w, ε), w〉+ 2∑ k=1 h3kξk + h33ζ 2 ) ζ + ε3/2Z (ξ,Re ζ, Im ζ, w, ψ, ε) , (32) ẇ = ε [ c′(0)w + 2∑ k=1 ckξk + c3\|ζ\|2 ] + ε2W (ξ,Re ζ, Im ζ, w, ψ, ε), ψ̇j = ω̂j(v ∗(ε) + εw, ε) + ε ( 2∑ k=1 ( r∗12,k + ξk ) bjk + bj3\|ζ\|2 ) + + ε3/2Ψj (ξ,Re ζ, Im ζ, w, ψ, ε) , j ∈ {1, 2}, де ξ = (ξ1, ξ2), ψ = (ψ1, ψ2), hjk := hj,εk(0), bjk = Imhjk = bjk(0), ck = ck(0), а функцiї Ξj , Z, W, Ψj , j ∈ {1, 2}, для достатньо малого δ > 0 на множинi, яка визначається спiввiдно- шеннями ‖ξ‖2 + \|ζ\|2 + ‖w‖2 ≤ δ2, (ψ1, ψ2) ∈ T2, ε ∈ [0, ε0], задовольняють умову Лiпшиця за змiнними ξ,Re ζ, Im ζ, w, ψ зi сталою Лiпшиця, яка не залежить вiд ε. Неважко зрозумiти, що яким би малим не було δ, число ε0 можна вибрати так, щоб пiвтраєкторiї Γ+, про яку йдеться у твердженнi 1, вiдповiдав розв’язок системи (32), який задовольняє нерiвнiсть ‖ξ(t)‖2 + \|ζ(t)\|2 + ‖w(t)‖2 ≤ 4δ2 для всiх t ≥ τε. Покажемо, що всi такi додатнi пiвтраєкторiї утворюють (4 + m)-вимiрний пiдмноговид (6 + m)-вимiрного фазового простору i при t → +∞ притягуються до 2-вимiрного гiперболiчного iнварiант- ного тора T 2 ε,12, розташованого поблизу тора T2 ε,12. Зведемо систему (32) до еквiвалентної (4 + m + 2)-вимiрної дiйсної системи того са- мого вигляду, що й система (10), увiвши нормальнi y := (ξ1, ξ2,Re ζ, Im ζ, w) та кутовi θ := (ψ1, ψ2) координати. Для такої системи матриця B має блоково-трикутний вигляд з ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 ГIПЕРБОЛIЧНI IНВАРIАНТНI ТОРИ ШВИДКО-ПОВIЛЬНОЇ СИСТЕМИ . . . 119 трьома блоками на головнiй дiагоналi, а саме, −2ε ( a11r ∗ 12,1 a12r ∗ 12,1 a21r ∗ 12,2 a22r ∗ 12,2 ) ,  ε ( α3 − 2∑ k=1 a3kr ∗ 12,k ) −ω̂3(v∗(ε), ε)− ε 2∑ k=1 b3kr ∗ 12,k ω̂3(v∗(ε), ε) + ε 2∑ k=1 b3kr ∗ 12,k ε ( α3 − 2∑ k=1 a3kr ∗ 12,k )  та εc′(0). З урахуванням характеру власних чисел матрицi A12 у (30) та структури матрицi B легко дiйти висновку, що остання має 2 + m власних чисел з вiд’ємними i 2 власних числа з додатними дiйсними частинами, а оцiнка (11) справджується зi сталою K, що не залежить вiд ε, та сталою κ = εκ1, де κ1 > 0 також не залежить вiд ε. Аналiзуючи характер правих частин системи (32), бачимо, що в розглядуваному випадку функцiї в правих частинах еквiвалентної (4+m+2)-вимiрної дiйсної системи допускають природне зображення вигляду Y (y, θ; ε) = εY1(y; ε) + ε3/2Y2(y, θ; ε), Θ(y, θ; ε) = ω (v∗(ε)) + εΘ1(y; ε) + ε3/2Θ2(y, θ; ε). Як наслiдок, незалежно вiд ε ∈ (0, ε0) i δ можна вибрати додатнi сталi M, L, l так, щоб на множинi B4+m 2δ × T2 функцiї Y (·, ·; ε) та Θ(·, ·; ε) задовольняли нерiвностi (12), (13) зi сталими MY := ε ( δ2 + ε1/2 ) M, LY := ε ( δ + ε1/2 ) L, lY := ε3/2l, LΘ = εL, lΘ := ε3/2l. Тепер твердження теореми, яке стосується тора T 2 ε,12, випливає з леми 1 та зауважень 2, 3. Дослiдимо поведiнку траєкторiй в околi циклу Cε,1 : \|z1\|2 = εr∗1,1 := α1 a11 , z2 = 0, z3 = 0, v = 0. Спочатку введемо новi змiннi r1 ∈ (0,∞), ζ2, ζ3 ∈ C, ψ ∈ S1 за формулами z1 = √ εr1e iψ, z2 = √ εζ2, z3 = √ εζ3. Тодi система (3) набере вигляду ṙ1 = 2ε [ α1(v)− a11(v)r1 − 3∑ k=2 a1k(v)\|ζk\|2 +O(ε) ] r1 +O(ε3/2), ζ̇j = iω̂j(v, ε)ζj + ε [ αj(v) + hj1(v)r1 + 3∑ k=2 hjk(v)\|ζk\|2 +O(ε) ] ζj +O(ε3/2), j ∈ {2, 3}, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 120 I. О. ПАРАСЮК, Б. В. РЕПЕТА v̇ = ε [ c(v) + ε ( c̃(v) + c1(v)r1 + 3∑ k=2 ck(v)\|ζk\|2 ) +O(ε2) ] , ψ̇ = ω̂1(v, ε) + ε ( b11(v)r1 + 3∑ k=1 b1k(v)\|ζk\|2 ) +O(ε3/2). Тепер виконаємо тут ще одну замiну змiнних rj = r∗1,1 + ξ, v = v∗(ε) + εw, де v∗(ε) взято з твердження 1 для r∗ = (r∗1,1, 0, 0). Тодi, ввiвши вектори Ωj(w, ε) := 1∫ 0 [ ∂ ∂v ω̂j(v, ε) ] v=v∗(ε)+sεw ds, j ∈ {2, 3}, одержимо систему ξ̇ = −2εα1ξ − 2ε [ a11ξ 2 + 3∑ k=2 a1k\|ζk\|2 ( r∗1,1 + ξ )] + ε3/2Ξ (ξ,Re ζ, Im ζ, w, ψ, ε) , ζ̇j = [ iω̂j(v ∗(ε), ε) + ε ( αj − aj1r∗1,1 )] ζj + ε ( i 〈Ωj(w, ε), w〉+ hj1ξ + 3∑ k=2 hjk\|ζk\|2 ) ζj+ + ε3/2Zj (ξ,Re ζ, Im ζ, w, ψ, ε) , j ∈ {2, 3}, ẇ = ε [ c′(0)w + c1ξ + 3∑ k=2 ck\|ζk\|2 ] + ε2Ŵ (ξ,Re ζ, Im ζ, w, ψ, ε), ψ̇ = ω̂1 (v∗(ε) + εw, ε) + ε (( r∗1,1 + ξ ) b11 + 3∑ k=2 b1k\|ζk\|2 ) + ε3/2Ψ (ξ,Re ζ, Im ζ, w, ψ, ε) , де ζ = (ζ2, ζ3), а функцiї Ξ, Zj , Ŵ , Ψ для достатньо малого δ > 0 на множинi, яка визна- чається спiввiдношеннями \|ξ\|2 + ‖ζ‖2 + ‖w‖2 ≤ 4δ2, ψ ∈ S1, ε ∈ [0, ε0], задовольняють умову Лiпшиця за змiнними ξ, Re ζ, Im ζ, w, ψ зi сталою Лiпшиця, яка не залежить вiд ε. Як i в попередньому випадку, взявши до уваги знаки власних чисел матрицi A1 у (31) та застосувавши лему 1, з урахуванням зауважень 2, 3 можна показати, що всi додатнi пiвтраєкторiї, про якi йдеться у твердженнi 1, утворюють (2 +m)-вимiрний iнварiантний пiдмноговид (6 +m)-вимiрного фазового простору i при t → +∞ притягуються до гiпер- болiчного циклу Cε,1, розташованого поблизу циклу Cε,1. 5. Висновки. У цiй роботi результати статтi [1] доповнено новими фактами щодо пове- дiнки траєкторiй швидко-повiльної системи, яка демонструє динамiчну бiфуркацiю бага- точастотних коливань, тобто перехiд вiд затухаючих коливань до коливань, що є асимпто- тично близькими до рухiв на деякому iнварiантному торi. Показано, що дослiджувана сис- тема вO(ε)-околi Uε її повiльного iнварiантного многовиду разом з асимптотично стiйким ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1 ГIПЕРБОЛIЧНI IНВАРIАНТНI ТОРИ ШВИДКО-ПОВIЛЬНОЇ СИСТЕМИ . . . 121 iнварiантним тором Tε, про який йшлося в [1], має певну кiлькiсть гiперболiчних iнварi- антних торiв. Стiйкi многовиди цих торiв мають ковимiрностi не нижчi за 2 i мiстять всi тi траєкторiї, якi починаються в Tε i не притягуються тором Tε. Цей факт дає змогу роз- класифiкувати траєкторiї системи в околi повiльного многовиду в залежностi вiд того, якому iз зазначених торiв належать їхнi ω-граничнi множини. Можна довести, що стiйкi многовиди гiперболiчних iнварiантних торiв є лiпшицевими, а отже, асимптотично стiй- кий тор Tε притягує до себе майже всi (в сенсi мiри Лебега) додатнi пiвтраєкторiї системи, якi починаються в Uε. Лiтература 1. Самойленко А. М., Парасюк I. О., Репета Б. В. Динамiчна бiфуркацiя багаточастотних коливань у швидко-повiльнiй системi // Укр. мат. журн. — 2015. — 67, № 7. — С. 890 – 915. 2. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. — М.: Наука, 1976. — 288 с. 3. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. — М.: Наука, 1978. — 352 с. 4. Harrison G. W. Persistent sets via Lyapunov functions // Nonlinear Anal. — 1979. — 3, № 1. — P. 73 – 80. 5. Hale J. K. Integral manifolds of perturbed differential systems // Ann. Math. (2). — 1961. — 73, № 3. — P. 496 – 531. 6. Samoilenko A. M. Elements of the mathematical theory of multi-frequency oscillations. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1991. — 313 p. 7. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многи- ми неизвестными. — М.: Мир, 1975. — 560 с. Одержано 08.05.15 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1

Гіперболічні інваріантні тори швидко-повільної системи, у якій спостерігається динамічна біфуркація багаточастотних коливань

Institution

Ähnliche Einträge