Чутливість індукованої системи на вiдрiзку
Рассматриваются динамические системы (C(I), f), в которых функция f отображает отрезок I в себя и естественным образом распространяется на замкнутые связные подмножества данного отрезка. Для упомянутых систем исследуется их чувствительность к начальным условиям. В частности, доказано, что в системе...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177244 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Чутливість індукованої системи на вiдрiзку / О.В. Рибак // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 122-128 — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177244 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772442021-02-14T01:26:12Z Чутливість індукованої системи на вiдрiзку Рибак, О.В. Рассматриваются динамические системы (C(I), f), в которых функция f отображает отрезок I в себя и естественным образом распространяется на замкнутые связные подмножества данного отрезка. Для упомянутых систем исследуется их чувствительность к начальным условиям. В частности, доказано, что в системе (C(I), f) всегда есть точка, устойчивая по Ляпунову. We consider dynamical systems (C(I), f), where the function f maps a segment I into itself and is naturally extended to closed connected subsets of the given segment. For the mentioned systems we investigate their sensitivity to the initial conditions. In partial, it is proved that there is always a Lyapunov-stable point in the system (C(I), f). 2016 Article Чутливість індукованої системи на вiдрiзку / О.В. Рибак // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 122-128 — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177244 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Рассматриваются динамические системы (C(I), f), в которых функция f отображает отрезок I в себя и естественным образом распространяется на замкнутые связные подмножества данного отрезка. Для упомянутых систем исследуется их чувствительность к начальным условиям. В частности, доказано, что в системе (C(I), f) всегда есть точка, устойчивая по Ляпунову. |
| format |
Article |
| author |
Рибак, О.В. |
| spellingShingle |
Рибак, О.В. Чутливість індукованої системи на вiдрiзку Нелінійні коливання |
| author_facet |
Рибак, О.В. |
| author_sort |
Рибак, О.В. |
| title |
Чутливість індукованої системи на вiдрiзку |
| title_short |
Чутливість індукованої системи на вiдрiзку |
| title_full |
Чутливість індукованої системи на вiдрiзку |
| title_fullStr |
Чутливість індукованої системи на вiдрiзку |
| title_full_unstemmed |
Чутливість індукованої системи на вiдрiзку |
| title_sort |
чутливість індукованої системи на вiдрiзку |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177244 |
| citation_txt |
Чутливість індукованої системи на вiдрiзку / О.В. Рибак // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 122-128 — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT ribakov čutlivístʹíndukovanoísisteminavidrizku |
| first_indexed |
2025-07-15T15:16:59Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:16:59Z |
| _version_ |
1837726558565957632 |
| fulltext |
УДК 517.9
ЧУТЛИВIСТЬ IНДУКОВАНОЇ СИСТЕМИ НА ВIДРIЗКУ
О. В. Рибак
Iн-т математики НАН України
вул. Терещенкiвська, 3, Київ, 01004, Україна
We consider dynamical systems (C(I), f),where the function f maps a segment I into itself and is naturally
extended to closed connected subsets of the given segment. For the mentioned systems we investigate their
sensitivity to the initial conditions. In partial, it is proved that there is always a Lyapunov-stable point in
the system (C(I), f).
Рассматриваются динамические системы (C(I), f), в которых функция f отображает отре-
зок I в себя и естественным образом распространяется на замкнутые связные подмножества
данного отрезка. Для упомянутых систем исследуется их чувствительность к начальным
условиям. В частности, доказано, что в системе (C(I), f) всегда есть точка, устойчивая по
Ляпунову.
Вступ. Дану статтю присвячено дослiдженню чутливостi певних динамiчних систем. Тут
динамiчною системою називатимемо конструкцiю (X, f), де X — деяка множина, а f —
функцiя, що вiдображає цю множину в себе. Зазвичай X є простором з метрикою d, а f
— неперервним вiдображенням вiдносно цiєї метрики. Саме такий випадок ми розгляда-
тимемо.
При дослiдженнi динамiчних систем, як правило, аналiзуються послiдовностi вигляду
(a0, a1, . . . , an, . . .), де a0 — довiльний елемент множини X, а для всiх наступних елементiв
справджується рiвнiсть an = f(an−1). Такi послiдовностi називають орбiтами або траєк-
торiями.
Для зручностi введемо деякi умовнi позначення. Запис fn(x) позначатиме n-кратну
iтерацiю f, тобто вираз f(f(. . . f︸ ︷︷ ︸
n разiв
(x) . . .)). Зокрема, f0 означає тотожне вiдображення
f0(x) = x для всiх x ∈ X. Тодi кожну орбiту динамiчної системи можна виразити як
(x, f(x), . . . , fn(x), . . .) або (f0(x), f(x), . . . , fn(x), . . .), де x — деяка точка в X.
Пiд N0 розумiтимемо множину невiд’ємних цiлих чисел. Таким чином, множину точок
орбiти можна записати як {fn(x)|n ∈ N0}.
Одним iз важливих питань у дослiдженнi динамiчних систем є те, чи може незначний
зсув початкового елемента x викликати iстотнi змiни деякого fn(x). Якщо це можливо
при як завгодно малих змiнах точки x, то прогнозування поведiнки системи пов’язане з
певними труднощами. Вказане явище називають чутливiстю до початкових умов.
Строге означення чутливої системи уперше наведено у [2, 6]. У цих роботах видiлено
системи з наступною властивiстю.
Означення 1. Систему (X, f) називають чутливою до початкових умов (або просто
чутливою), якщо iснує таке ε > 0, що для довiльної точки x ∈ X та довiльного її
вiдкритого околу U знайдуться n ∈ N0 та y ∈ U, для яких d(fn(x), fn(y)) > ε.
У роботi [1] наведено кiлька iнших означень i показано, що всi вони рiвносильнi.
А саме, доведено таке твердження.
c© О. В. Рибак, 2016
122 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
ЧУТЛИВIСТЬ IНДУКОВАНОЇ СИСТЕМИ НА ВIДРIЗКУ 123
Твердження. Якщо для системи (X, f) з компактним простором X та неперервною
функцiєю f виконується одна з наступних умов, то виконуються i всi iншi.
1. Знайдеться таке ε1, що для довiльної вiдкритої непорожньої множини U ⊂ X
iснують n ∈ N0 та x, y ∈ U, для яких виконується d(fn(x), fn(y)) > ε1.
2. Знайдеться таке ε2, що для довiльної вiдкритої непорожньої множини U ⊂ X
iснують x, y ∈ U, для яких виконується lim supn→∞ d(f
n(x), fn(y)) > ε2.
3. Знайдеться таке ε3, що для довiльної точки x ∈ X та довiльного її вiдкритого
околу U iснують n ∈ N0 та y ∈ U, для яких виконується d(fn(x), fn(y)) > ε3, тобто
система (X, f) чутлива у сенсi означення 1.
4. Знайдеться таке ε4, що для довiльної точки x ∈ X та довiльного її вiдкритого
околу U iснує точка y ∈ U, для якої виконується lim supn→∞ d(f
n(x), fn(y)) > ε4.
Наведенi означення чутливостi пов’язанi з поняттям стiйкостi точки, яке було введене
О. М. Ляпуновим.
Означення 2. Точка x системи (X, f) називається стiйкою (у сенсi Ляпунова) або рiв-
номiрно неперервною, якщо для будь-якого ε > 0 iснує такий вiдкритий окiл U точки
x, що для всiх y ∈ U та всiх n ∈ N виконується нерiвнiсть d(fn(x), fn(y)) < ε.
Це означення можна розумiти таким чином. Кожна iтерацiя fn є неперервною функ-
цiєю. Тому якщо розглянути якусь окрему fn, то для довiльного ε > 0 можна знайти
такий окiл Un,ε точки x (залежний вiд n та ε), що для всiх y ∈ Un,ε виконується нерiвнiсть
d(fn(x), fn(y)) < ε.Але якщо розглянути одночасно всi fn, то можливi два випадки. Пер-
ший полягає в тому, що для будь-якого ε > 0 iснує такий унiверсальний окiлUε (залежний
вiд ε, але не вiд n), що для всiх y ∈ Uε та всiх n ∈ N виконується d(fn(x), fn(y)) < ε. Цей
варiант вiдповiдає означенню 2. Другий випадок має мiсце тодi, коли знайдеться ε > 0,
для якого не iснує згаданого унiверсального Uε, тобто вiдповiднi Un,ε у своєму перетинi
дають множину, яка не мiстить вiдкритого околу точки x. Саме цей варiант ми будемо
аналiзувати далi.
Якщо другий випадок спостерiгається для всiх точок системи, то можна розглянути
верхню грань вiдповiдних ε, для яких усi x ∈ X демонструють нестiйкiсть. Цю верхню
грань та деякi подiбнi параметри у [3] названо числами Ляпунова. Наведемо їхнi означен-
ня.
Означення 3. Для системи (X, f) числами Ляпунова є наступнi параметри:
1) першим числом Ляпунова називається таке найбiльше L1, що для всiх ε1 < L1 ви-
конується така умова: для довiльної вiдкритої непорожньої множини U ⊂ X iснують
n ∈ N0 та x, y ∈ U, для яких d(fn(x), fn(y)) > ε1;
2) другим числом Ляпунова називається таке найбiльше L2, що для всiх ε2 < L2 ви-
конується така умова: для довiльної вiдкритої непорожньої множини U ⊂ X iснують
x, y ∈ U, для яких lim supn→∞ d(f
n(x), fn(y)) > ε2;
3) третiм числом Ляпунова називається таке найбiльше L3, що для всiх ε3 < L3
виконується така умова: для довiльної x ∈ X та довiльного її вiдкритого околу U
iснують такi n ∈ N0 та y ∈ U, що d(fn(x), fn(y)) > ε3;
4) четвертим числом Ляпунова називається таке найбiльше L4, що для всiх ε4 < L4
виконується така умова: для довiльної x ∈ X та довiльного її вiдкритого околуU iснує
така точка y ∈ U, що lim supn→∞ d(f
n(x), fn(y)) > ε4.
З очевидних мiркувань випливає, що L1 ≥ L2 ≥ L4 та L1 ≥ L3 ≥ L4. Також у [3]
доведено, що для систем (X, f) з компактним простором X та неперервним вiдображен-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
124 О. В. РИБАК
ням f виконується L1 ≤ 2L4. Звiдси випливає, що будь-якi два числа Ляпунова для таких
систем вiдрiзняються не бiльше, нiж удвiчi.
Згiдно з означеннями 1 та 3, динамiчна система є чутливої тодi i тiльки тодi, коли її
число Ляпунова L3 бiльше 0. Якщо простiр є компактним, а вiдображення f — неперерв-
ним, то (X, f) чутлива тодi i тiльки тодi, коли хоча б одне її Li, i = 1, 2, 3, 4, вiдмiнне вiд
нуля.
Також у [3, 7] показано, що для певних класiв систем (X, f) має мiсце рiвнiсть мiж
деякимиLi.Наприклад, для транзитивної системи виконуєтьсяL1 = L2, а для мiнiмальної
— L1 = L2 та L3 = L4.
У [7] введено локальнi числа Ляпунова L3(x) та L4(x).
Означення 4. Для системи (X, f) локальними числами Ляпунова називаються такi
величини:
1) третiм локальним числом Ляпунова для точки x ∈ X називається таке найбiль-
ше L3(x), що для всiх ε3 < L3(x) виконується умова: для довiльної вiдкритої множини
U ⊂ X, що мiстить x, iснують n ∈ N0 та y ∈ U, для яких d(fn(x), fn(y)) > ε3;
2) четвертим локальним числом Ляпунова для точки x ∈ X називається таке най-
бiльшеL4(x),що для всiх ε4 < L4(x) виконується умова: для довiльної вiдкритоїU ⊂ X,
що мiстить x, iснує така точка y ∈ U, що lim supn→∞ d(f
n(x), fn(y)) > ε4.
З наведених означень очевидно, що L3 = infx∈X L3(x) та L4 = infx∈X L4(x). Точка
x ∈ X є стiйкою тодi i тiльки тодi, коли L3(x) = 0.
Постановка задачi. Останнiм часом у роботах багатьох авторiв вивчаються iндукова-
нi динамiчнi системи (див., наприклад, [4, 5]). Iндукованою системою називається пара
(S, f), побудована на основi динамiчної системи (X, f) таким чином. За S вибирається де-
яка сiм’я пiдмножин множини X. Функцiя f природним чином розповсюджується на пiд-
множини згаданої сiм’ї: для всiхA ∈ S вiдображення задається рiвнiстю f(A) = {f(x)|x ∈
∈ A}. При цьому S повинна задовольняти таку умову: для кожної A ∈ S має виконувати-
ся включення f(A) ∈ M.
Наприклад, у випадку неперервної функцiї f можна використати простiр C(X) усiх
замкнених зв’язних непорожнiх пiдмножин простору X, оскiльки для кожної A ∈ C(X)
образ f(A) теж буде замкненим, зв’язним та непорожнiм. У згаданому просторi бажано
задати метрику, яка дозволить дослiджувати збiжнiсть i подiбнi явища. Для розглядувано-
го випадку пiдходить метрика Гаусдорфа, згiдно з якою вiдстань мiж U, V ⊂ X визнача-
ється як
dH(U, V ) = max
{
sup
u∈U
inf
v∈V
d(u, v), sup
v∈V
inf
u∈U
d(u, v)
}
,
де d(u, v) дорiвнює вiдстанi мiж u та v у просторi X. Iншими словами, вiдстань Гаусдорфа
— це нижня межа таких r, для яких замкнений r-окiл множини U мiстить V, а замкнений
r-окiл множини V — U.
Для довiльних рiзних непорожнiх замкнених U, V ⊂ X виконується dH(U, V ) > 0. Та-
кож справджуються рiвнiсть dH(U,U) = 0 та нерiвнiсть трикутника dH(U,W )≤ dH(U, V )+
+dH(V,W ). Отже, dH задає коректну метрику в просторi C(X).
Ще метрика Гаусдорфа цiкава тим, що вiдносно неї простiр C(X) буде компактним,
якщо компактним є самX.Для вiдображень виконується аналогiчне правило: f : C(X) →
→ C(X) буде неперервним вiдносно метрики Гаусдорфа, якщо неперервним є вихiдне
вiдображення f : X → X.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
ЧУТЛИВIСТЬ IНДУКОВАНОЇ СИСТЕМИ НА ВIДРIЗКУ 125
У данiй статтi розглядається випадок, коли простiрX є вiдрiзком I. Тодi простiрC(I) є
множиною всiх вiдрiзкiв, що мiстяться в I (включаючи окремi точки), а вiдстань dH ([a, b],
[c, d]) дорiвнює max{|a − c|, |b − d|}. Легко довести, що множина C(I) (з метрикою dH)
гомеоморфна трикутнику {(a, b)|a, b ∈ I, a ≤ b}.
Основнi результати. Перейдемо до аналiзу чутливостi iндукованих систем вигляду
(C(I), f). Спочатку доведемо двi леми.
Лема 1. Якщо функцiя f : [0, 1] → R нестрого монотонна, то вона має не бiльш нiж
злiченну множину точок розриву.
Доведення. Розглянемо випадок, коли функцiя f є неспадаючою. (Випадок незроста-
ючої функцiї є аналогiчним.)
Нехай u(x) = sup{f(y)|y < x}, v(x) = inf{f(y)|y > x}, D — множина точок, де f має
розрив. Тодi для кожної точки x ∈ D виконується нерiвнiсть u(x) < v(x), тобто iнтервал
(u(x), v(x)) є непорожнiм. Поставимо кожнiй x ∈ D у вiдповiднiсть деяке рацiональне
число q(x) з (u(x), v(x)). Нехай x1 та x2 (x1 < x2) — деякi точки множини D. З монотон-
ностi f випливає, що v(x1) ≤ f(x1) ≤ f(x2) ≤ u(x2), тобто iнтервали (u(x1), v(x1)) та
(u(x2), v(x2)) не мають спiльних точок. Отже, для всiх x ∈ D вiдповiднi q(x) будуть рiзни-
ми. Звiдси випливає, що множина D не потужнiша, нiж Q, тобто не бiльш нiж злiченна.
Лему 1 доведено.
Наступна лема є частковим випадком результату статтi [8]. Доведення для зазначено-
го випадку є досить коротким, тому наведемо його для повноти викладу.
Лема 2. Якщо вiдрiзок J мiстить нерухому точку функцiї f, то послiдовнiсть вiд-
рiзкiв f2n(J) збiгається. Збiжнiсть вiдрiзкiв будемо розумiти як збiжностi координат
лiвих та правих вершин (тобто у сенсi метрики Гаусдорфа).
Доведення. Нехай J — вiдрiзок, що мiстить нерухому точку s. Для кожного n ∈ N0
через Jn позначатимемо вiдрiзок fn(J).
Випадок 1. Нехай для деякого цiлого невiд’ємногоm має мiсце включення Jm ⊂ Jm+1
або Jm+1 ⊂ Jm. Тодi для всiх n > m також виконується Jn ⊂ Jn+1 або Jn+1 ⊂ Jn вiдпо-
вiдно. Отже, всi вiдрiзки Jn (n ≥ m) вкладенi один в одного. Звiдси випливає, що послi-
довнiсть вiдрiзкiв Jn збiгається. А тодi цю властивiсть мають i f2n(J).
Випадок 2. Нехай для деякого цiлого невiд’ємного m виконується Jm ⊂ Jm+2 або
Jm+2 ⊂ Jm. Тодi, як i в попередньому випадку, вiдрiзки f2n(J) для n ≥ m утворюють
послiдовнiсть вкладених множин.
Випадок 3. Припустимо, що для всiх n ∈ N0 вiдрiзок Jn не мiстить анi Jn+1, анi Jn+2, а
також сам не мiститься в жодному з останнiх двох вiдрiзкiв.
Введемо такi позначення. Для U = [a, b] та V = [c, d] будемо використовувати запис
U < V, якщо a < c та b < d. Аналогiчно, записуватимемо U > V, якщо a > c та b > d.
Зауважимо, що для вiдрiзкiв U та V, жоден з яких не мiстить iнший, завжди буде U < V
або U > V.
Випадок 3.1. Нехай для всiх n ∈ N0 виконується Jn < Jn+1 або Jn > Jn+1. Тодi за
теоремою Вейєрштрасса координати кiнцiв Jn збiгаються.
Випадок 3.2. Тепер розглянемо ситуацiю, коли для деякого m ∈ N одночасно вико-
нуються нерiвностi Jm < Jm−1 та Jm < Jm+1 або Jm > Jm−1 i Jm > Jm+1. Нехай K =
= Jm−1∪Jm.МножинаK є вiдрiзком, тому що Jm−1 та Jm мiстять точку s. Застосовуючи
вiдображення f до обох частин рiвностi K = Jm−1 ∪ Jm, отримуємо f(K) = Jm ∪ Jm+1.
Отже, згiдно з розглянутим випадком, виконується f(K) ⊂ K або K ⊂ f(K). Розгля-
немо варiант f(K) ⊂ K (iнший є аналогiчним). Застосовуючи функцiю fn до обох час-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
126 О. В. РИБАК
тин останнього включення, отримуємо, що для будь-якого натурального n виконується
fn+1(K) ⊂ fn(K).
Оскiльки в розглянутому випадку вiдрiзки Jm−1 i Jm не мiстять один одного, викону-
ється умова Jm−1 < Jm або Jm−1 > Jm. Вважатимемо, що Jm−1 < Jm (протилежний
варiант аналiзується так само). Зi спiввiдношення f(K) ⊂ K випливає, що Jm+1 ⊂ K =
= Jm−1 ∪ Jm. Тому лiвий кiнець Jm+1 має бути не лiвiше лiвого кiнця Jm−1, а правий
кiнець Jm+1 — не правiше правого кiнця Jm. За умовою випадку 3 вiдрiзок Jm+1 не мiс-
титься анi в Jm−1, анi в Jm. Тому Jm−1 < Jm+1 < Jm. Тепер iз f2(K) ⊂ f(K) та нерiвностi
Jm > Jm+1 так само виводимо, що Jm > Jm+2 > Jm+1.
Застосовуючи iндукцiю та включення fn+1(K) ⊂ fn(K), n ∈ N0, приходимо до вис-
новку, що для всiх натуральних k виконуються нерiвностi Jm−1+2k < Jm+1+2k < Jm+2k i
Jm+2k > Jm+2+2k > Jm+1+2k.
Отже, вiдрiзки вигляду Jm+2k утворюють спадну послiдовнiсть, а Jm−1+2k — зростаю-
чу. Тому координати кiнцiв J2n для n ≥ m утворюють монотоннi послiдовностi. Звiдси
випливає, що послiдовнiсть вiдрiзкiв f2n(J) збiгається.
Лему 2 доведено.
Теорема. Нехай I — вiдрiзок. Тодi в iндукованiй системi (C(I), f) з метрикою dH iснує
такий елемент J ∈ C(I), що L3(J) = 0.
Доведення. Для зручностi введемо систему координат, у якiй I стане вiдрiзком [0,1].
Розглянемо кiлька випадкiв.
Випадок 1. Нехай на iнтервалi (0, 1) немає такої точки s,що f(s) = s.У цьому випадку
для всiх x ∈ (0, 1) виконується нерiвнiсть f(x) > x або f(x) < x.
Розглянемо випадок, коли для всiх x ∈ (0, 1) маємо f(x) > x (iнший випадок є аналогiч-
ним). У цьому випадку виконується рiвнiсть f(1) = 1, оскiльки функцiя f є неперервною.
Розглянемо довiльний вiдрiзок J = [a, b], для якого a > 0. Покажемо, що в системi
(C(I), f) виконується L3(J) = 0. Нехай a0 = a/2. Розглянемо вiдрiзки Jn = fn([a0, 1]),
n ∈ N0. Оскiльки справджується рiвнiсть f(1) = 1, для довiльного цiлого невiд’ємного n
вiдрiзок Jn мiститиме точку 1. Отже, кожен такий вiдрiзок має вигляд [an, 1]. Для лiвих
кiнцiв згаданих вiдрiзкiв при всiх n ∈ N виконується рiвнiсть an = min{f(x)|x ∈ [an−1, 1]}.
За вибором випадку для всiх x ∈ [an−1, 1] виконується f(x) > x ≥ an−1. Тому an ≥
≥ an−1 для всiх n ∈ N. Отже, за теоремою Вейєрштрасса {an} має границю. Покажемо,
що зазначена границя дорiвнює 1. Нехай limn→∞ an = d. Тодi для всiх n виконується не-
рiвнiсть an ≤ d.Отже, з неперервностi f та рiвностi f([an, 1]) = [an+1, 1] випливає, що для
довiльного n ∈ N на вiдрiзку [an, 1] є така точка xn, що f(xn) = d. За умовою випадку,
який ми розглядаємо, x ≤ f(x) для всiх x. Тому для будь-якого натурального n викону-
ється xn ≤ f(xn) = d. З того, що an ≤ xn ≤ d та limn→∞ an = d, маємо limn→∞ xn = d.
Отже, f(d) = limn→∞ f(xn) = d.
У розглянутому випадку рiвнiсть f(d) = d можлива лише при d = 0 або d = 1. З
нерiвностi d ≥ a0 > 0 випливає, що d = 1.
Тепер покажемо, що вiдрiзок J = [a, b] не є чутливим. Вiдрiзок J0 = [a0, 1] мiстить J,
тому для всiх n ∈ N виконується включення fn(J) ⊂ fn(J0) = Jn. Розглянемо довiльне
ε > 0. Як показано вище, для послiдовностi {an}, де [an, 1] = fn(J), справджується рiв-
нiсть limn→∞ an = 1. Тому знайдеться такий iндекс m, що для всiх натуральних n > m
виконується нерiвнiсть 1 − an < ε. Якщо для деякого K = [c, d] виконано dH(J,K) ≤ a
2
,
то за вибором a0 вiдрiзок K також мiститься в J0, а тодi при всiх n ∈ N має мiсце спiв-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
ЧУТЛИВIСТЬ IНДУКОВАНОЇ СИСТЕМИ НА ВIДРIЗКУ 127
вiдношення fn(K) ⊂ Jn. За вибором iндексу m для всiх n > m вiдрiзки fn(J) та fn(K)
лежать всерединi Jn, довжина якого менша за ε. Тому для цих n виконується нерiвнiсть
dH(f
n(J), fn(K)) < ε. Розглянемо таке δ ∈
(
0,
a
2
)
, що для всiх вiдрiзкiв L, що задо-
вольняють умову dH(J, L) < δ, та для всiх цiлих невiд’ємних n ≤ m має мiсце нерiвнiсть
dH(f
n(J), fn(L)) < ε.Потрiбне δ знайдеться, тому що вiдображення f : C(I) → C(I) є не-
перервним вiдносно метрики Гаусдорфа. Тодi для будь-якого K ∈ C(I), що задовольняє
нерiвнiсть dH(J,K) < δ, маємо нерiвнiсть dH(fn(J), fn(K)) < ε при всiх n ∈ N0. Дiйсно,
для n ≤ m ця нерiвнiсть виконується за вибором δ. А для n > m вона справджується за
вибором m. Отже, за означенням 4 виконується рiвнiсть L3(J) = 0.
Випадок 2. Нехай iснує точка s ∈ (0, 1), для якої f(s) = s, Ix = [s − sx, s + (1 − s)x]
для кожного x ∈ [0, 1]. Тодi вiдрiзок I0 збiгається з {s}, а I1 — з вiдрiзком [0, 1]. Та-
кож якщо 0 ≤ x < y ≤ 1, то Ix ⊂ Iy. За лемою 2 для всiх x ∈ [0, 1] послiдовнiсть
{f2n(Ix)} має границю. Нехай для кожного x ∈ [0, 1] функцiї g(x) та h(x) задано рiвнiстю
[g(x), h(x)] = limn→∞ f
2n(Ix). Оскiльки вiдрiзки Ix, 0 ≤ x ≤ 1, вкладенi один в одного,
так само побудовано й граничнi вiдрiзки [g(x), h(x)]. Тобто g(x) нестрого монотонно спа-
дає, а h(x) нестрого монотонно зростає. За лемою 1 функцiї g(x) та h(x) мають максимум
злiченну множину точок розриву.
Нехай y ∈ (0, 1) — точка неперервностi функцiй g та h.Покажемо, що вiдрiзок Iy не є
чутливим у динамiчнiй системi (C(I), f).Задамо функцiї p(x) та q(x) за допомогою рiвнос-
тi [p(x), q(x)] = limn→∞ f
2n+1(Ix). Оскiльки [p(x), q(x)] = f([g(x), h(x)]), а вiдображення f
неперервне вiдносно метрики Гаусдорфа, функцiї p та q також неперервнi в точцi y. Для
зручностi введемо позначення Jx = [g(x), h(x)] таKx = [p(x), q(x)]. Тодi, якщо розглядати
Jx та Kx як функцiї вiд x, вони неперервнi в точцi y вiдносно метрики dH .
Розглянемо довiльне ε > 0. Нехай δ > 0 таке, що dH(Jy−δ, Jy) <
ε
4
, dH(Jy+δ, Jy) <
<
ε
4
, dH(Ky−δ,Ky) <
ε
4
i dH(Ky+δ,Ky) <
ε
4
. Розглянемо таке m, що для всiх парних
n > m виконуються нерiвностi dH(fn(Iy−δ), Jy−δ) <
ε
4
та dH(fn(Iy+δ), Jy+δ) <
ε
4
, а для
всiх непарних n > m справджуються dH(fn(Iy−δ),Ky−δ) <
ε
4
та dH(fn(Iy+δ),Ky+δ) <
ε
4
.
Тодi для парних n > m, за нерiвнiстю трикутника, маємо спiввiдношення
dH(f
n(Iy−δ), Jy) ≤ dH(f
n(Iy−δ), Jy−δ) + dH(Jy−δ, Jy) <
ε
4
+
ε
4
=
ε
2
,
dH(f
n(Iy+δ), Jy) ≤ dH(f
n(Iy+δ), Jy+δ) + dH(Jy+δ, Jy) <
ε
4
+
ε
4
=
ε
2
.
Аналогiчно, для непарних n > m справджуються оцiнки
dH(f
n(Iy+δ),Ky) ≤ dH(f
n(Iy+δ),Ky+δ) + dH(Ky+δ,Ky) <
ε
4
+
ε
4
=
ε
2
,
dH(f
n(Iy+δ),Ky) ≤ dH(f
n(Iy+δ),Ky+δ) + dH(Ky+δ,Ky) <
ε
4
+
ε
4
=
ε
2
.
Зрозумiло, що довiльний вiдрiзок U, для якого Iy−δ ⊂ U ⊂ Iy+δ, також задовольняє
нерiвностi dH(fn(U), Jy) <
ε
2
(для парних n) та dH(fn(U),Ky) <
ε
2
(для непарних n) при
всiх n > m. Для вiдрiзка Iy теж виконується умова Iy−δ ⊂ Iy ⊂ Iy+δ, тому з нерiвностi
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
128 О. В. РИБАК
трикутника отримуємо, що для парних n > m та для всiх вiдрiзкiв U, якi задовольняють
умову Iy−δ ⊂ U ⊂ Iy+δ, справджується
dH(f
n(Iy), f
n(U)) < dH(f
n(Iy), Jy) + dH(Jy, f
n(U)) <
ε
2
+
ε
2
= ε.
Аналогiчно, для непарних n > m та тих самих U виконується
dH(f
n(Iy), f
n(U)) < dH(f
n(Iy),Ky) + dH(Ky, f
n(U)) <
ε
2
+
ε
2
= ε.
Отже, dH(fn(Iy), fn(U)) < ε для всiх n > m.
Тепер пiдберемо таке δ1 > 0, що δ1 < dH(Iy, Iy−δ) = dH(Iy, Iy+δ) i для всiх цiлих не-
вiд’ємних n ≤ m з нерiвностi dH(Iy, U) < δ1 випливатиме dH(fn(Iy), fn(U)) < ε. З умови
dH(Iy, U) < δ1 також випливатиме, що Iy−δ ⊂ U ⊂ Iy+δ. Тому для вибраного δ1 нерiвнiсть
dH(f
n(Iy), f
n(U)) < ε виконується i для всiх n > m, якщо тiльки dH(Iy, U) < δ1. Отже,
вiдрiзок Iy є стiйким в iндукованiй системi (C(I), f), для нього виконується L3(Iy) = 0.
Теорему доведено.
Висновки. З доведеної теореми, зокрема, випливає, що для системи (C(I), f) число
Ляпунова L3 дорiвнює 0.
Результат, отриманий у статтi, свiдчить про бiльшу стiйкiсть iндукованої системи
(C(I), f) у порiвняннi зi стiйкiстю вихiдної системи (I, f). Окрiм теоретичного iнтересу
це може допомогти у розрахунках, пов’язаних iз iтерацiями деякої чутливої системи. При
замiнi окремих точок їхнiми околами можна буде уникнути накопичення похибок.
Лiтература
1. Akin E., Kolyada S. Li – Yorke sensitivity // Nonlinearity. — 2003. — 16. — P. 1421 – 1433.
2. Auslander J., Yorke J. Interval maps, factors of maps and chaos // Tohoku Math. J. — 1980. — 32. — P. 177 –
188.
3. Kolyada S., Rybak O. On the Lyapunov numbers // Colloq. Math. — 2013. — 131, № 2. — P. 209 – 218.
4. Matviichuk M., Robatian D. Chain transitive induced interval maps on continua // Discrete and Contin.
Dynam. Syst. — 2015. — 35, № 2. — P. 741 – 755.
5. Robatian D. The fixed-point property under induced interval maps of continua // Nonlinear Oscillations. —
2015. — 18, № 1. — P. 102 – 111.
6. Ruelle D. Dynamical systems with turbulent behavior // Lect. Notes Phys. — 1978. — 80.
7. Рибак О. Числа Ляпунова для динамiчних систем на вiдрiзку // Мат. вiсн. Наук. тов-ва iм. Шевченка. —
2013. — 10. — С. 127 – 134.
8. Федоренко В. В. Асимптотична перiодичнiсть траєкторiй iнтервалу // Укр. мат. журн. — 2009. — 61,
№ 6. — С. 854 – 858.
Одержано 19.09.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
|