Майже перiодичнi розв’язки функцiональних рiвнянь
Получены условия существования почти периодических решений линейных и нелинейных почти периодических функциональных уравнений, в которых не используются H-классы этих уравнений....
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177246 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Майже перiодичнi розв’язки функцiональних рiвнянь / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 141-148 — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177246 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772462021-03-01T01:26:05Z Майже перiодичнi розв’язки функцiональних рiвнянь Слюсарчук, В.Ю. Получены условия существования почти периодических решений линейных и нелинейных почти периодических функциональных уравнений, в которых не используются H-классы этих уравнений. We obtain conditions for existence of almost periodic solutions of linear and nonlinear almost periodic functional equations without using the H-classes of these equations. 2016 Article Майже перiодичнi розв’язки функцiональних рiвнянь / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 141-148 — Бібліогр.: 20 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177246 517.988.6 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Получены условия существования почти периодических решений линейных и нелинейных почти периодических функциональных уравнений, в которых не используются H-классы этих уравнений. |
| format |
Article |
| author |
Слюсарчук, В.Ю. |
| spellingShingle |
Слюсарчук, В.Ю. Майже перiодичнi розв’язки функцiональних рiвнянь Нелінійні коливання |
| author_facet |
Слюсарчук, В.Ю. |
| author_sort |
Слюсарчук, В.Ю. |
| title |
Майже перiодичнi розв’язки функцiональних рiвнянь |
| title_short |
Майже перiодичнi розв’язки функцiональних рiвнянь |
| title_full |
Майже перiодичнi розв’язки функцiональних рiвнянь |
| title_fullStr |
Майже перiодичнi розв’язки функцiональних рiвнянь |
| title_full_unstemmed |
Майже перiодичнi розв’язки функцiональних рiвнянь |
| title_sort |
майже перiодичнi розв’язки функцiональних рiвнянь |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177246 |
| citation_txt |
Майже перiодичнi розв’язки функцiональних рiвнянь / В.Ю. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 1. — С. 141-148 — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT slûsarčukvû majžeperiodičnirozvâzkifunkcionalʹnihrivnânʹ |
| first_indexed |
2025-07-15T15:17:06Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:17:06Z |
| _version_ |
1837726567089831936 |
| fulltext |
УДК 517.988.6
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
В. Ю. Слюсарчук
Нац. ун-т вод. госп-ва та природокористування
вул. Соборна, 11, Рiвне, 33000, Україна
e-mail: V.E.Slyusarchuk@gmail.com
We obtain conditions for existence of almost periodic solutions of linear and nonlinear almost periodic
functional equations without using theH-classes of these equations.
Получены условия существования почти периодических решений линейных и нелинейных поч-
ти периодических функциональных уравнений, в которых не используютсяH-классы этих урав-
нений.
1. Основнi позначення та об’єкт дослiджень. Нехай G — топологiчна абелева група, тоб-
то група, для якої вiдображення (g1, g2) 7→ g1g2 множини G × G на G є неперервним вi-
дображенням прямого добуткуG×G (з топологiєю прямого добутку) наG, вiдображення
g 7→ g−1 множини G на G також є неперервним i g1g2 = g2g1 для всiх g1, g2 ∈ G [1]. Не-
хай E — банаховий простiр над полем R дiйсних чисел або полем C комплексних чисел
з нормою ‖ · ‖E . Позначимо через C0 банаховий простiр неперервних i обмежених на G
функцiй x = x(g) зi значеннями в E з нормою ‖x‖C0 = supg∈G ‖x(g)‖E .
У просторi C0 визначимо оператор зсуву Sh, h ∈ G, за допомогою формули
(Shx)(g) = x(gh), g ∈ G.
Очевидно, що в цiй формулi x(gh) можна замiнити на x(hg).
Означення 1. Елемент y ∈ C0 називається майже перiодичним (за Бохнером) [2,
3], якщо замикання множини {Shy : h ∈ G} у просторi C0 є компактною пiдмножи-
ною цього простору, тобто з кожної послiдовностi (Shny)n≥1 можна вибрати збiжну
пiдпослiдовнiсть.
Множина B0 майже перiодичних елементiв простору C0 є пiдпростором цього прос-
тору з нормою ‖ · ‖C0 .
Нехай B[a, r] — замкнена куля в C0 iз центром в точцi a ∈ C0 i радиусом r, тобто
множина {x ∈ C0 : ‖x− a‖C0 ≤ r}.
Означення 2. Оператор H : C0 → C0 називається майже перiодичним, якщо для
кожних елемента a ∈ C0, числа r ∈ (0,+∞) i послiдовностi (hk)k≥1 елементiв групи G
iснує така пiдпослiдовнiсть (hkl)l≥1 , що
lim
l1→∞, l2→∞
sup
x∈B[a,r]
∥∥∥∥Shl1HSh−1
l1
x− Shl2HSh−1
l2
x
∥∥∥∥
C0
= 0.
Це означення у випадку лiнiйного майже перiодичного оператораH рiвносильне озна-
ченню, що використовувалося Е. Мухамадiєвим при дослiдженнi оборотностi лiнiйних
функцiональних операторiв у просторi обмежених на осi функцiй [4].
c© В. Ю. Слюсарчук, 2016
142 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 143
Нехай K — множина всiх непорожнiх компактних пiдмножин K ⊂ E i R(x) — мно-
жина значень функцiї x = x(g), тобто множина {x(g) : g ∈ G}. Для компактної мно-
жини K ∈ K позначимо через DK множину всiх елементiв x ∈ C0, для кожного з яких
R(x) ⊂ K.
У подальшому будемо використовувати наступне означення майже перiодичного опе-
ратора.
Означення 3. Оператор H : C0 → C0 називається майже перiодичним, якщо для
кожних множини K ∈ K i послiдовностi (hmk
)k≥1 елементiв групи G iснує така пiдпо-
слiдовнiсть
(
hmkl
)
l≥1
, що
lim
l1→∞, l2→∞
sup
x∈DK
∥∥∥∥Shml1
HSh−1
ml1
x− Shml2
HSh−1
ml2
x
∥∥∥∥
C0
= 0.
Розглянемо обмежений майже перiодичний у сенсi означення 3 оператор F : C0 → C0
(нагадаємо, що обмежений оператор вiдображає обмежену множину в обмежену множи-
ну). Оператору F поставимо у вiдповiднiсть функцiональне рiвняння
Fx = y, (1)
де y ∈ B0.
Метою статтi є встановлення умов, при виконаннi яких обмеженi розв’язки рiвняння
(1) є майже перiодичними. При дослiдженнi рiвняння (1) будемо використовувати один
функцiонал, визначений на множинi розв’язкiв цього рiвняння, множини значень яких є
пiдмножинами компактних множин простору E.
2. Зв’язок мiж означеннями 2 i 3. Очевидно, що кожний майже перiодичний за означен-
ням 2 оператор H є майже перiодичним i за означенням 3. Проте обернене твердження є
хибним, що пiдтверджується наступним прикладом.
Приклад 1. Нехай банаховий простiр E i група G є такими, що iснують елемент ω =
= ω(g) простору C0, послiдовнiсть (gn)n≥1 елементiв групи G i число µ > 0, для яких:
1) ω(g) = ω(g1), якщо g ∈ G \ {g2, g3, g4, . . .};
2) ‖ω(gn1)− ω(gn2)‖E ≥ µ, якщо n1, n2 ∈ N i n1 6= n2.
Такими простором i групою є кожний нескiнченновимiрний банаховий простiр [5] i
група, що мiстить нескiнченне число елементiв.
Розглянемо множину S усiх елементiв x ∈ C0, замикання множин значень яких є
компактними пiдмножинами простору E.
Зафiксуємо довiльний елемент a простору E i розглянемо елемент b = b(g) простору
C0, для якого b(g) = a для всiх g ∈ G.
Визначимо оператор H : C0 → C0 за допомогою рiвностi
Hx =
{
b, якщо x ∈ S,
ω, якщо x ∈ C0 \S.
Очевидно, що для кожної компактної множини K ⊂ E
{ShHSh−1x : h ∈ G, x ∈ DK} = {ShHSh−1x : h ∈ G, x ∈ S} = {b}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
144 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Тому оператор H : C0 → C0 є майже перiодичним у сенсi означення 3. Проте цей опера-
тор не є майже перiодичним у сенсi означення 2. Справдi, зафiксуємо довiльний елемент
z ∈ C0 \S. Очевидно, що
ShHSh−1z = Shω (2)
для кожного h ∈ G. Тому∥∥∥Shm1
ω − Shm2
ω
∥∥∥
C0
= sup
g∈G
‖ω(ghm1)− ω(ghm2)‖E ≥ ‖ω(hm1)− ω(hm2)‖E ≥ µ,
якщо m1 6= m2.
Отже, якщо m1 6= m2 i {Shz : h ∈ G} ⊂ B[b, r] (r — деяке додатне число), то
sup
x∈B[b,r]
∥∥∥Shm1
HSh−1
m1
x− Shm2
HSh−1
m2
x
∥∥∥
C0
≥ µ > 0.
Звiдси, iз спiввiдношення (2) та означення 2 випливає, що оператор H не є майже перiо-
дичним у сенсi означення 2.
3. Функцiонал δ.Нехай Λ — обмежена пiдмножина просторуE i diam Λ — дiаметр цiєї
множини, тобто число sup{‖x1 − x2‖E : x1, x2 ∈ Λ}.
Зафiксуємо довiльну множину K ∈ K. Позначимо через N(F,K) множину всiх роз-
в’язкiв рiвняння (1) зi значеннями в K. Вважатимемо, що N(F,K) 6= ∅.
Розглянемо елемент x∗ ∈ N(F,K), для якого diamR(x∗) 6= 0. Також розглянемо до-
датне число r(x∗,K) = sup
{
‖x1 − x2‖E : x1 ∈ R(x∗), x2 ∈ K
}
.
Зафiксуємо довiльне число ε ∈ [0, r(x∗,K)]. Позначимо через Ω(x∗,K, ε) множину
всiх елементiв z ∈ C0, для кожного з яких R(z) ⊂ K i ‖z − x∗‖C0 ≥ ε.
Розглянемо функцiонал
δ(x∗,K, ε) = inf
z∈Ω(x∗,K,ε)
‖Fz − Fx∗‖C0 . (3)
Очевидно, що тут Fx∗ можна замiнити на y.
4. Основний результат. За допомогою функцiонала δ отримаємо умови iснування май-
же перiодичних розв’язкiв рiвняння (1).
Теорема 1. Нехай K ∈ K. Якщо для розв’язку x∗ ∈ N(F,K) функцiонального рiвнян-
ня (1) diamR(x∗) 6= 0 i
δ(x∗,K, ε) > 0 (4)
для кожного ε ∈ (0, r(x∗,K)), то цей розв’язок є майже перiодичним.
Зауваження 1. Розв’язок x∗ ∈ N(F,K) рiвняння (1), для якого diam R(x∗) = 0, є
сталим i, отже, майже перiодичним.
Доведення. Припустимо, що розв’язок x∗ ∈ N(F,K) рiвняння (1) не є елементом про-
стору B0. Тодi iснує послiдовнiсть
(
Shpx
∗)
p≥1
, для якої кожна пiдпослiдовнiсть
(
Skpx
∗)
p≥1
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 145
буде розбiжною. Отже, для деяких послiдовностей (pr)r≥1, (qr)r≥1 натуральних чисел i
числа γ ∈ (0, diamR(x∗)) ∥∥Skprx∗ − Skqrx∗∥∥C0 ≥ γ, r ≥ 1,
тому
Sk−1
pr
Skqrx
∗ ∈ Ω(x∗,K, γ), r ≥ 1.
Не обмежуючи загальностi доведення можна вважати, що на пiдставi включення y ∈ B0
lim
r→∞
∥∥∥Sk−1
pr
y − Sk−1
qr
y
∥∥∥
C0
= 0. (5)
Зазначимо, що diamR(x∗)) ≤ r(x∗,K)). Не зменшуючи загальностi можна вважати, що
послiдовнiсть (SkpFSk−1
p
x)p≥1 збiгається рiвномiрно на DK . Тому
lim
p,q→∞
sup
x∈DK
∥∥∥SkpFSk−1
p
x− SkqFSk−1
q
x
∥∥∥
C0
= 0. (6)
Покажемо, що
δ(x∗,K, γ) = 0. (7)
Очевидно, що завдяки (3) i (6)
δ(x∗,K, γ) = inf
z∈Ω(x∗,K,γ)
‖Fz − Fx∗‖C0 ≤
∥∥∥FSk−1
pr
Skqrx
∗ − Fx∗
∥∥∥
C0
, r ≥ 1. (8)
Оскiльки∥∥∥FSk−1
pr
Skqrx
∗ − Fx∗
∥∥∥
C0
=
∥∥∥Sk−1
pr
(
SkprFSk−1
pr
)
Skqrx
∗ − Sk−1
qr
(
SkqrFSk−1
qr
)
Skqrx
∗
∥∥∥
C0
≤
≤
∥∥∥Sk−1
pr
(
SkprFSk−1
pr
)
Skqrx
∗ − Sk−1
pr
(
SkqrFSk−1
qr
)
Skqrx
∗
∥∥∥
C0
+
+
∥∥∥Sk−1
pr
(
SkqrFSk−1
qr
)
Skqrx
∗ − Sk−1
qr
(
SkqrFSk−1
qr
)
Skqrx
∗
∥∥∥
C0
=
=
∥∥∥(SkprFSk−1
pr
)
Skqrx
∗ −
(
SkqrFSk−1
qr
)
Skqrx
∗
∥∥∥
C0
+
+
∥∥∥Sk−1
pr
Skqr y − Sk−1
qr
Skqr y
∥∥∥
C0
≤
≤ sup
x∈DK
∥∥∥SkprFSk−1
pr
x− SkqrFSk−1
qr
x
∥∥∥
C0
+
+
∥∥∥Sk−1
pr
y − Sk−1
qr
y
∥∥∥
C0
, r ≥ 1,
то на пiдставi (5), (6) i (8) справджується рiвнiсть (7), що суперечить (4). Отже, припущен-
ня, що розв’язок x∗ ∈ N(F,K) рiвняння (1) не є елементом простору B0, хибне.
Теорему 1 доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
146 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
Зауваження 2. Теорема 1 застосовна до дослiдження широкого класу нелiнiйних рiз-
ницевих, дискретних та функцiональних рiвнянь, оскiльки в якостi топологiчної групи G,
що використовується у статтi, можна взяти, наприклад, довiльну з наступних груп:
1) адитивну групу R дiйсних чисел зi „звичайною” топологiєю (тобто топологiєю, що
визначається метрикою d(x, y) = |x− y|);
2) мультиплiкативну групу додатних дiйсних чисел зi „звичайною” топологiєю;
3) адитивну групу Q рацiональних чисел зi „звичайною” топологiєю;
4) групу Z цiлих чисел з дискретною топологiєю (тобто кожна множина є вiдкритою);
5) довiльну абелеву групу з дискретною топологiєю;
6) довiльну абелеву групу з грубою топологiєю (тобто вiдкритими множинами є лише
∅ i весь простiр).
5. Випадок лiнiйного рiвняння (1). Розглянемо майже перiодичний у сенсi означення 3
лiнiйний неперервний оператор A : C0 → C0 i вiдповiдне лiнiйне рiвняння
Ax = v, (9)
де v ∈ B0.
Рiвняння (9) є окремим випадком рiвняння (1), тому до нього застосовна теорема 1.
Завдяки (3) та теоремi 1 справджується наступне твердження.
Теорема 2. Нехай K ∈ K. Якщо для розв’язку x∗ рiвняння (9) diamR(x∗) 6= 0, R(x∗) ⊂
⊂ K i
inf
z∈Ω(x∗,K,ε)
‖Az − v‖C0 > 0 (10)
для кожного ε ∈ (0, r(x∗,K)), то цей розв’язок є майже перiодичним.
Зауваження 3. У теоремi 2 оператор A може не мати неперервного оберненого, що
пiдтверджується наступним прикладом.
Приклад 2. Нехай G = R i E = l∞, де l∞ — банаховий простiр обмежених числових
послiдовностей x = 〈x1, x2, . . . , xn, . . .〉 з нормою ‖x‖l∞ = supn∈N |xn|.
Оператор A : C0 → C0 в рiвняннi (9) визначимо за допомогою спiввiдношення
(Ax)(t) =
〈
x1(t),
x2(t)
2
, . . . ,
xn(t)
n
, . . .
〉
, t ∈ R.
Очевидно, що цей оператор є майже перiодичним у сенсi означення 3 i не має неперерв-
ного оберненого.
Зафiксуємо довiльне натуральне число n0 i компактну множину K, елементами якої є
всi послiдовностi z = 〈z1, z2, . . . , zn0 , 0, 0, 0, . . .〉, для кожної з яких ‖z‖l∞ ≤ 1.
Очевидно, що для кожної майже перiодичної функцiї v ∈ C0 зi значеннями в n−1
0 K
рiвняння (9) має розв’язок x∗ ∈ C0 зi значеннями в K i для нього виконується спiввiдно-
шення (10).
6. Додатковi зауваження та лiтературнi вказiвки. Функцiонали, аналогiчнi δ, вперше
застосованi автором у [6 – 12] для дослiдження нелiнiйних майже перiодичних рiзницевих,
диференцiальних та диференцiально-рiзницевих рiвнянь.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ 147
Наведенi в пп. 4 i 5 умови iснування майже перiодичних розв’язкiв рiвнянь (1) i (9) є
новими. На вiдмiну вiд теорем Амерiо [13, 14] i Фавара [14, 15] в теоремах 1 i 2 не ви-
користовуються H-класи рiвнянь (1) i (9). Також у теоремi 1 не використовується умова
вiдокремлення розв’язкiв рiвняньH-класу рiвняння (1).
Дослiдженню майже перiодичних рiвнянь присвячено багато публiкацiй. Вiдмiтимо
частину з них. Для звичайних лiнiйних диференцiальних рiвнянь першi теореми про май-
же перiодичнi розв’язки були доведенi Фаваром у роботi [15], а для нелiнiйних диферен-
цiальних рiвнянь — Амерiо в роботi [13]. У цих роботах суттєво використовуються H-
класи дослiджуваних рiвнянь, а в [13] використовується також вимога вiдокремленостi
обмежених розв’язкiв рiвнянь. Результати Фавара були покращенi Е. Мухамадiєвим [4].
Узагальненням теорем Мухамадiєва присвячено роботи [16 – 18]. Важливi результати в
цьому напрямку також належать Б. М. Левiтану [3], Амерiо [19] та В. В. Жикову [20].
Лiтература
1. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — Изд. второе. — М.: Гостехиздат, 1954. — 516 с.
2. Bochner S. Beitrage zur Theorie der fastperiodischen // Math. Ann. — 1927. — 96. — I Teil. — P. 119 – 147.
II Teil. — P. 383 – 409.
3. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. — М.: Гостехиздат, 1953. — 396 с.
4. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси
функций // Мат. заметки. — 1972. — 11, № 3. — С. 269 – 274.
5. Колмогоров А. М., Фомiн С. В. Елементи теорiї функцiй i функцiонального аналiзу. — Київ: Вища шк.,
1974. — 456 с.
6. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь
з неперервним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — 16, № 1. — С. 118 – 124 (англ. пер.:
Slyusarchuk V. Yu. Conditions of almost periodicity for bounded solutions of nonlinear difference equati-
ons with continous argument // J. Math. Sci. — 2014. — 197, № 1. — P. 122 – 128).
7. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних диференцiальних рiвнянь
у банаховому просторi // Укр. мат. журн. — 2013. — 65, № 2. — С. 307 – 312.
8. Слюсарчук В. Ю. Умови iснування майже перiодичних розв’язкiв нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з дис-
кретним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — 16, № 3. — С. 416 – 425 (англ. пер.: Slyusarchuk
V. Yu. Conditions for the existence of almost periodicity solutions of nonlinear difference equations with
discrete argument // J. Math. Sci. — 2014. — 201, № 3. — P. 391 – 399).
9. Слюсарчук В. Ю. Умови майже перiодичностi обмежених розв’язкiв не розв’язаних вiдносно похiдної
нелiнiйних диференцiальних рiвнянь // Укр. мат. журн. — 2014. — 66, № 3. — С. 384 – 393.
10. Slyusarchuk V. Yu. Almost periodic solutions of difference equations with discrete argument on metric space
// Miskolc Math. Notes. — 2014. — 15, № 1. — P. 211 – 215.
11. Слюсарчук В. Е. Исследование нелинейных почти периодических дифференциальных уравнений, не
использующее H-классы этих уравнений // Мат. сб. — 2014. — 205, № 6. — С. 139 – 160.
12. Слюсарчук В. Е. Условия почти периодичности ограниченных решений нелинейных дифференциаль-
но-разностных уравнений // Изв. РАН. Сер. мат. — 2014. — 78, № 6. — С. 179 – 192.
13. Amerio L. Soluzioni quasiperiodiche, o limital, di sistemi differenziali non lineari quasi-periodici, o limitati //
Ann. mat. pura ed appl. — 1955. — 39. — P. 97 – 119.
14. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 c.
15. Favard J. Sur les équations différentielles á coefficients presquepériodiques // Acta math. — 1927. — 51. —
P. 31 – 81.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
148 В. Ю. СЛЮСАРЧУК
16. Слюсарчук В. Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов //
Мат. сб. — 1981. — 116(158), № 4(12). — С. 483 – 501.
17. Слюсарчук В. Е. Обратимость неавтономных дифференциально-функциональных операторов // Мат.
сб. — 1986. — 130(172), № 1(5). — C. 86 – 104.
18. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-
дифференциальных операторов // Мат. заметки. — 1987. — 42, № 2. — С. 262 – 267.
19. Amerio L. Sull equazioni differenziali quasi-periodiche astratte // Ric. mat. — 1960. — 30. — P. 288 – 301.
20. Жиков В. В. Доказательство теоремы Фавара о существовании почти-периодического решения в слу-
чае произвольного банахова пространства // Мат. заметки. — 1978. — 23, № 1. — С. 121 – 126.
Одержано 05.12.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 1
|