Существование решений краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка
Отримано достатнi умови iснування розв’язкiв крайової задачi для нелiнiйного диференцiального рiвняння, яке мiстить мiшану похiдну Рiмана – Лiувiлля дробового порядку....
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177249 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Существование решений краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка / А.Н. Витюк, А.В. Михайленко // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 161-172 — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177249 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772492021-02-14T01:26:17Z Существование решений краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка Витюк, А.Н. Михайленко, А.В. Отримано достатнi умови iснування розв’язкiв крайової задачi для нелiнiйного диференцiального рiвняння, яке мiстить мiшану похiдну Рiмана – Лiувiлля дробового порядку. We find sufficient conditions for existence of solutions to a boundary-value problem for a nonlinear differential equation that contains a mixed Riemann – Liouville fractional order derivative. 2016 Article Существование решений краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка / А.Н. Витюк, А.В. Михайленко // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 161-172 — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177249 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Отримано достатнi умови iснування розв’язкiв крайової задачi для нелiнiйного диференцiального рiвняння, яке мiстить мiшану похiдну Рiмана – Лiувiлля дробового порядку. |
| format |
Article |
| author |
Витюк, А.Н. Михайленко, А.В. |
| spellingShingle |
Витюк, А.Н. Михайленко, А.В. Существование решений краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка Нелінійні коливання |
| author_facet |
Витюк, А.Н. Михайленко, А.В. |
| author_sort |
Витюк, А.Н. |
| title |
Существование решений краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка |
| title_short |
Существование решений краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка |
| title_full |
Существование решений краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка |
| title_fullStr |
Существование решений краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка |
| title_full_unstemmed |
Существование решений краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка |
| title_sort |
существование решений краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177249 |
| citation_txt |
Существование решений краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка / А.Н. Витюк, А.В. Михайленко // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 161-172 — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT vitûkan suŝestvovanierešenijkraevojzadačidlânelinejnogodifferencialʹnogouravneniâdrobnogoporâdka AT mihajlenkoav suŝestvovanierešenijkraevojzadačidlânelinejnogodifferencialʹnogouravneniâdrobnogoporâdka |
| first_indexed |
2025-07-15T15:17:18Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:17:18Z |
| _version_ |
1837726579845758976 |
| fulltext |
УДК 517.9
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ДРОБНОГО ПОРЯДКА
А. Н. Витюк
Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова
Ин-т математики, экономики и механики
ул. Дворянская, 2, Одесса, 65026, Украина
e-mail: vva@te.net.ua
А. В. Михайленко
Одес. нац. эконом. ун-т
ул. Преображенская, 8, Одесса, 65082, Украина
e-mail: 8012@mail.ru
We find sufficient conditions for existence of solutions to a boundary-value problem for a nonlinear di-
fferential equation that contains a mixed Riemann – Liouville fractional order derivative.
Отримано достатнi умови iснування розв’язкiв крайової задачi для нелiнiйного диференцiаль-
ного рiвняння, яке мiстить мiшану похiдну Рiмана – Лiувiлля дробового порядку.
1. Введение. Пусть P = [0, a] × [0, b], 0 < a, b < ∞, α > 0, β > 0, r = (α;β), θ =
= (0; 0). Через C(P ), AC(P ), L(P ) обозначим соответственно пространства непрерыв-
ных, абсолютно непрерывных и суммируемых функций f : P → R, причем
‖f(x, y)‖C = max
P
|f(x, y)|.
Левосторонний смешанный интеграл и производная Римана – Лиувилля порядка r опре-
деляются соответственно так [1]:
fr(x, y) = I
(α;β)
θ f(x, y) = Irθf(x, y) =
1
Γ(α) Γ(β)
x∫
0
y∫
0
(x− t)α−1(y − s)β−1f(t, s)dsdt,
Dr
θf(x, y) =
1
Γ(n− α) Γ(m− β)
∂n+m
∂xn∂ym
x∫
0
y∫
0
(x− t)n−α−1(y − s)m−β−1f(t, s)dsdt,
где Γ(·) — гамма-функция Эйлера, n = [α] + 1,m = [β] + 1. При этом
Iθθf(x, y) = f(x, y), I
(1;1)
θ f(x, y) =
x∫
0
y∫
0
f(t, s)dsdt.
c© А. Н. Витюк, А. В. Михайленко, 2016
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2 161
162 А. Н. ВИТЮК, А. В. МИХАЙЛЕНКО
Краевые задачи для гиперболических уравнений с данными на границе всей области
начали исследовать сравнительно недавно. Первые работы в этом направлении принад-
лежали Дж. Адамару [10], А. Губеру [11], Д. Манжерону [2, 3] и др. Исследованию краевых
задач с данными на всей границе области для дифференциальных уравнений и систем
гиперболического типа посвящены работы Б. И. Пташника [9] и его учеников.
Изучение краевых задач вида
∂4u(x, y)
∂x2∂y2
= F (x, y, u(x, y)), (1)
u(x, j) = u(i, y) = 0, 0 ≤ x, y ≤ 1, i = j = 0, 1, (2)
началось с работы [2]. В [3] рассмотрена краевая задача
∂4u(x, y)
∂x2∂y2
−A(x, y)u(x, y) = f(x, y), 0 < x < a, 0 < y < b, (3)
u(0, y) = u(x, 0) = 0,
∂2u(x, y)
∂x∂y
∣∣∣∣
x=a
=
∂2u(x, y)
∂x∂y
∣∣∣∣
x=b
= 0. (4)
Для этой задачи построена функция Грина такая, что
u(x, y) =
a∫
0
b∫
0
G(x, y; t, s)f(t, s)dsdt.
Вопросам разрешимости и приближенному решению краевых задач вида (1), (2) по-
священы многие работы (см., например, [4 – 6]).
Пусть 0 < α, β ≤ 1, p = (1 + α; 1 + β), q = (1 − α; 1 − β). В статье [7] получены
достаточные условия разрешимости краевой задачи
Dp
θu(x, y) = F (x, y, u(x, y), Dr
θu(x, y)) , (5)
uq(x, 0) = uq(x, b) = uq(0, y) = uq(a, y) = 0, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b. (6)
Пусть v(x, y) = uq(x, y). Тогда Dr
θu(x, y) = vxy(x, y). В статье [8] рассматриваются
условия существования и единственности решений уравнения (5), которые удовлетворя-
ют краевым условиям
v(x, 0) = vxy(x, b) = 0, 0 ≤ x ≤ a; v(0, y) = vxy(a, y) = 0, 0 ≤ y ≤ b. (7)
Заметим, что при α = β = 1 условия (6) преобразуются в условия вида (2), а условия
(7) — в условия (4). В настоящей работе получены достаточные условия разрешимости
краевой задачи
Dp
θu(x, y) = F [u(x, y)] ≡ F (x, y, u(x, y)), (8)
u(x, 0) = u(0, y) = 0, ux(a, y) = uy(x, b) = 0, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ b ≤ b. (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 163
Основы дробного интегродифференцирования и некоторые его приложения можно
найти в [1, 15 – 17].
2. Вспомогательные результаты. В этом пункте приведены обозначения, определения
и утверждения, используемые в данной статье.
Определение 1 [14]. Непрерывная функция z(x, y) : P → R называется абсолютно
непрерывной, если и только если она допускает представление
z(x, y) = u(x) + v(y)− u(0) +
x∫
0
y∫
0
ṽ(t, s)dsdt,
где u(x) ∈ AC([0, a]), v(y) ∈ AC([0, b]), ṽ(x, y) ∈ L(P ), u(0) = v(0).
Определение 2 [1]. Функция u(x) : J → R, J = [0, a], принадлежит множествуACn(J),
если u(k)(x) ∈ C(J), k = 0, n− 2, а u(n−1)(x) ∈ AC(J).
Пусть
Dk
xyu(x, y) =
∂2ku(x, y)
∂xk∂yk
, k = 0, 1, 2, . . . ,
причем D0
xyu(x, y) = u(x, y).
Определение 3 [12]. Функция u(x, y) : P → R принадлежит множеству ACn(P ), если
Dk
xyu(x, y) ∈ AC(P ), k = 0, n− 1.
Лемма 1. Пусть u(x) ∈ AC([0, a]), v(y) ∈ AC([0, b]) и u(0) = v(0) = 0. Тогда z(x, y) =
= u(x) v(y) ∈ AC(P ).
В работе [13] рассмотрена задача
D1+αy(x) = f(x), 0 < x < a, 0 < α ≤ 1, (10)
y(0) = y′(a) = 0, (11)
где f(x) : J → R — измеримая функция, причем |f(x)| ≤ M. Пусть δ > 0. Выражения
fδ(x) = Iδ0f(x) =
1
Γ(δ)
x∫
0
(x− t)δ−1f(t)dt, I10f(x) =
x∫
0
f(t)dt,
Dδ
0f(x) =
1
Γ(n− δ)
(
d
dx
)n x∫
0
(x− t)n−δ−1f(t)dt,
где n = [δ]+1, а [δ] — целая часть δ, называем соответственно левосторонним интегралом
и левосторонней производной Римана – Лиувилля порядка δ.
Если δ = 1 + α, 0 < α ≤ 1, то
D1+α
0 y(x) =
1
Γ(1− α)
(
d
dx
)2
x∫
0
(x− t)−αy(t)dt = y′′1−α(x).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
164 А. Н. ВИТЮК, А. В. МИХАЙЛЕНКО
Определение 4 [13]. Функцию y(x) ∈ C(J) ∩ C1((0, a]) называем решением краевой
задачи (10), (11), если y1−α(x) ∈ AC2(J), y(x) удовлетворяет условиям (11) и дифферен-
циальному уравнению (10) почти всюду на J.
Лемма 2 [13]. При сделанных предположениях относительно функции f(x) краевая
задача (10), (11) имеет единственное решение
y(x) =
a∫
0
G(x, t)f(t)dt,
где
G(x, t) =
−x
α(a− t)α−1 − aα−1(x− t)α
aα−1Γ(1 + α)
, 0 ≤ t ≤ x,
−x
α(a− t)α−1
aα−1Γ(α)
, x ≤ t < a.
Лемма 3 [19]. Если α > 0, β > 0, а f(x, y) : P → R — измеримая и ограниченная
функция, то µ(x, y) = I
(α;β)
θ f(x, y) ∈ C(P ) и µ(x, 0) = µ(0, y) = 0. Если f(x) : [0, a] → R
— измеримая и ограниченная функция, то τ(x) = Iα0 f(x) ∈ C([0, a]) и τ(0) = 0.
3. Существование решений. Далее считаем, что 0 < α, β ≤ 1, p = (1 + α; 1 + β),
q = (1 − α; 1 − β). Согласно определению смешанной дробной производной Римана –
Лиувилля получаем
Dp
θu(x, y) = D1+α
0,x D1+β
0,y u(x, y) =
∂4uq(x, y)
∂x2∂y2
,
где
D1+α
0,x u(x, y) =
1
Γ(1− α)
∂2
∂x2
x∫
0
(x− t)−αu(t, y)dt,
D1+β
0,y u(x, y) =
1
Γ(1− β)
∂2
∂y2
y∫
0
(y − s)−βu(x, s)ds.
Определение 5. Функция v(x, y) : P → R принадлежит множеству S(P ), если:
(i) v(x, y) ∈ AC(P ), vx(x, y) ∈ C ((0, a]× [0, b]) , vy(x, y) ∈ C ([0, a]× (0, b]) ;
(ii) uq(x, y) ∈ AC2(P );
(iii) v(x, y) удовлетворяет краевым условиям (9).
Определение 6. Решением краевой задачи (8), (9) называем такую функцию u(x, y) ∈
∈ S(P ), которая удовлетворяет уравнению (8) при (x, y) ∈ P.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
Dp
θu(x, y) = f(x, y), f(x, y) ∈ C(P ). (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 165
Лемма 4. Решение уравнения (12), которое удовлетворяет условиям (9), представи-
мо в виде
u(x, y) =
a∫
0
b∫
0
G(x, t)G(y, s)f(t, s)dsdt, (13)
где
G(y, s) =
−y
β(b− s)β−1 − bβ−1(y − s)β
bβ−1Γ(1 + β)
, 0 ≤ s ≤ y,
− y
β(b− s)β−1
bβ−1Γ(1 + β)
, y ≤ s < b.
Доказательство. Пусть u(x, y) — решение задачи (12), (9) в смысле определения 6.
Полагаем
v(x, y) = D1+β
0,y u(x, y) =
1
Γ(1− β)
∂2
∂y2
y∫
0
(y − s)−βu(x, s)ds. (14)
Следовательно, при каждом фиксированном y функция v(x, y) является решением
уравнения
D1+α
0,x v(x, y) = f(x, y). (15)
Поскольку
vx(x, y) =
1
Γ(1− β)
∂2
∂y2
y∫
0
(y − s)−βu(x, s)ds,
то, учитывая, что согласно (9) u(0, y) = ux(a, y) = 0, получаем
v(0, y) = vx(a, y) = 0. (16)
Таким образом, при фиксированном y v(x, y), как функция x, является решением кра-
евой задачи (15), (16). В силу леммы 2
v(x, y) =
a∫
0
G(x, t)f(t, y)dt ≡ w(x, y). (17)
Из (14) и (9) следует, что при каждом x u(x, y), как функция y, является решением краевой
задачи
D1+β
0,y u(x, y) = w(x, y), u(x, 0) = uy(x, b) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
166 А. Н. ВИТЮК, А. В. МИХАЙЛЕНКО
Согласно лемме 2
u(x, y) =
b∫
0
G(y, s)w(x, s)ds =
b∫
0
G(y, s)
a∫
0
G(x, t)f(t, s)dt
ds =
=
a∫
0
b∫
0
G(x, t)G(y, s)f(t, s)dsdt.
Лемма 4 доказана.
Теорема 1. Пусть функция F (x, y, u) : P×R → R непрерывна и |F (x, y, u)| ≤ M. Тогда
краевая задача (8), (9) эквивалентна интегральному уравнению
u(x, y) =
a∫
0
b∫
0
G(x, t)G(y, s)F (t, s, u(t, s))dsdt. (18)
Доказательство. Пусть u(x, y) ∈ AC(P ) — решение краевой задачи (8), (9). Тогда
σ(x, y) = F (x, y, u(x, y)) ∈ C(P ) и, согласно лемме 3, u(x, y) представимо в виде (18).
Пусть, далее, u(x, y) ∈ C(P )) — решение интегрального уравнения (18). Докажем, что
u(x, y) является решением краевой задачи (8), (9).
Пусть (x, y) ∈ (0, a) × (0, b). Используя выражения для функций G(x, t) и G(y, s), по-
лучаем
u(x, y) =
1
aα−1bβ−1Γ(1 + α)Γ(1 + β)
x∫
0
y∫
0
(
xα(a− t)α−1 − aα−1(x− t)α
) (
yβ(b− s)β−1 −
− bβ−1(y − s)β
)
σ(s, t)dsdt+
a∫
x
y∫
0
xα(a− t)α−1
(
yβ(b− s)β−1 −
−bβ−1(y − s)β
)
σ(s, t)dsdt+
+
x∫
0
b∫
y
(
xα(a− t)α−1 − aα−1(x− t)α
)
yβ(b− s)β−1σ(s, t)dsdt+
+
a∫
x
b∫
y
xα(a− t)α−1yβ(b− s)β−1σ(s, t)dsdt
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 167
После простых преобразований имеем
u(x, y) =
xα yβ γ
aα−1bβ−1Γ(1 + α) Γ(1 + β)
− xα
aα−1 Γ(1 + α)Γ(1 + β)
a∫
0
y∫
0
(a− t)α−1×
× (y − s)β σ(t, s)dsdt− yβ
bβ−1Γ(1 + α)Γ(1 + β)
x∫
0
b∫
0
(x− t)α(b− s)β−1σ(t, s)dsdt+
+
1
Γ(1 + α)Γ(1 + β)
x∫
0
y∫
0
(x− t)α(y − s)β σ(t, s)dsdt = A1 −A2 −A3 +A4,
(19)
γ =
a∫
0
b∫
0
(a− t)α−1(b− s)β−1σ(t, s)dsdt.
Согласно (19) u(x, 0) = u(0, y) = 0. Докажем, что u(x, y) ∈ AC(P ). Согласно лемме 1
A1(x, y) ∈ AC(P ). Покажем, что A3(x, y) ∈ AC(P ). Пусть
φ(t) =
b∫
0
(b− s)β−1σ(t, s)ds.
Проверим, что φ(t) ∈ C([0, a]). Пусть t1, t2 ∈ [0, a]. Тогда
|φ(t1)− φ(t2)| ≤
b∫
0
(b− s)β−1|σ(t1, s)− σ(t2, s)|ds ≤
≤ w(σ, δ, 0)
b∫
0
(b− s)β−1ds ≤ bβ
β
w(σ, δ, 0),
где
w(σ, δ, 0) = sup
s
sup
|t1−t2|≤δ
|σ(t1, s)− σ(t2, s)|
— частный модуль непрерывности [18] функции σ(t, s) ∈ C(P ). Далее надо учесть, что
w(σ, δ, 0) → 0 при δ → 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
168 А. Н. ВИТЮК, А. В. МИХАЙЛЕНКО
Используя полугрупповое свойство дробного интегрирования и лемму 3, имеем
r(x) =
1
Γ(1 + α)
x∫
0
(x− t)α
b∫
0
(b− s)β−1σ(t, s)ds
dt =
=
1
Γ(1 + α)
x∫
0
(x− t)αφ(t)dt = I1+α0 φ(x) = I10I
α
0 φ(x) =
=
x∫
0
1
Γ(α)
t∫
0
(t− τ)α−1φ(τ)dτ
dt ∈ AC([0, a]).
Согласно лемме 1 при u(x) = r(x), v(y) = yβ получаем, что A3(x, y) ∈ AC(P ). Анало-
гично доказываем, что A2(x, y) ∈ AC(P ).
На основании определения смешанного дробного интеграла Римана – Лиувилля и его
полугруппового свойства выражение для A4(x, y) запишем в виде
A4(x, y) = I
(1+α;1+β)
θ σ(x, y) = I
(1;1)
θ
(
I
(α;β)
θ σ(x, y)
)
.
Поскольку в силу леммы 3 µ(x, y) = I
(α;β)
θ σ(x, y) ∈ C(P ), то
A4(x, y) =
x∫
0
y∫
0
µ(t, s)dsdt ∈ AC(P ).
Докажем, что ux(x, y) ∈ C ((0, a]× [0, b]) и ux(a, y) = 0.В соответствии с (19) получаем
ux(x, y) =
1
Γ(1 + α)Γ(1 + β)
αxα−1yβγ
aα−1bβ−1
− αxα−1
aα−1
a∫
0
y∫
0
(a− t)α−1(y − s)βσ(t, s)dsdt−
− αyβ
bβ−1
x∫
0
b∫
0
(x− t)α−1(b− s)β−1σ(t, s)dsdt+
+ α
x∫
0
y∫
0
(x− t)α−1(y − s)βσ(t, s)dsdt
=
= B1(x, y)−B2(x, y)−B3(x, y) +B4(x, y).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 169
Очевидно, что B1(x, y) ∈ C((0, a]× [0, b]). Далее
B2(x, y) =
xα−1
aα−1 Γ(β + 1)
y∫
0
(y − s)βψ(s)ds,
ψ(s) =
1
Γ(α)
a∫
0
(a− t)α−1σ(t, s)dt ∈ C([0, b]).
Учтем, что
1
Γ(β + 1)
y∫
0
(y − s)βψ(s)ds = Iβ+1
0 ψ(y) = I10
(
Iβ0 ψ(y)
)
∈ C([0, b]),
так как в силу леммы 3 Iβ0 φ(y) ∈ C([0, b]). Следовательно, B2(x, y) ∈ C((0, a]× [0, b]).
Пусть
τ(x, y) = I
(α;β)
θ σ(x, y) ∈ C(P ).
Тогда
B3(x, y) =
yβ
βbβ−1
τ(x, b) ∈ C(P ).
Рассмотрим B4(x, y) и согласно лемме 3 запишем его в виде
B4(x, y) =
1
Γ(α)Γ(1 + β)
x∫
0
y∫
0
(x− t)α−1(y − s)βσ(t, s)dsdt = I
(α;1+β)
θ σ(x, y) ∈ C(P ).
Очевидно, что ux(a, y) = 0. Аналогично доказываем, что uy(x, y) ∈ C ([0, a]× (0, b]) и
uy(x, b) = 0.
Докажем, что uq(x, y) ∈ AC2(P ). При непосредственном вычислении дробных инте-
гралов для u(x, y) в виде (19) имеем
uq(x, y) = I
(1−α;1−β)
θ u(x, y) = xyγ − x
aα−1
y∫
0
(y − τ)
a∫
0
(a− z)α−1σ(z, τ)dz
dτ−
− y
bβ−1
x∫
0
(x− z)
b∫
0
(b− τ)β−1σ(z, τ)dτ
dz + I
(2;2)
θ σ(x, y) =
= K1(x, y)−K2(x, y)−K3(x, y) +K4(x, y). (20)
Очевидно, что K1(x, y) ∈ AC(P ),K4(x, y) ∈ AC(P ). Второе слагаемое представим в виде
K2(x, y) =
x
aα−1
y∫
0
(y − τ)ψ(τ)dτ, ψ(τ) =
a∫
0
(a− z)α−1σ(z, τ)dz ∈ C([0, b]).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
170 А. Н. ВИТЮК, А. В. МИХАЙЛЕНКО
Поскольку
y∫
0
(y − τ)ψ(τ)dτ =
y∫
0
s∫
0
ψ(τ)dτ
ds,
то согласно лемме 1 K2(x, y) ∈ AC(P ). Аналогично доказываем, что K3(x, y) ∈ AC(P ).
Используя (20), получаем
D1
xyuq(x, y) = γ − 1
aα−1
y∫
0
a∫
0
(a− z)α−1σ(z, τ)dz
dτ−
− 1
bβ−1
x∫
0
b∫
0
(b− τ)β−1σ(z, τ)dτ
dz + I
(1;1)
θ σ(x, y).
Очевидно, что D1
xyuq(x, y) ∈ AC(P ). Согласно определению смешанной производной
Римана – Лиувилля Dp
θu(x, y) = D2
xyuq(x, y) = σ(x, y) = F (x, y, u(x, y)).
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть непрерывная функция F (x, y, u) : P ×R → R удовлетворяет усло-
виям теоремы 1 и условию Липшица |F (x, y, u)− F (x, y, v)| ≤ L|u− v|, причем
ρ =
Laα+1bβ+1
αβΓ(1 + α)Γ(1 + β)
< 1.
Тогда существует единственное решение краевой задачи (8), (9).
Доказательство. Для u(x, y) ∈ C(P ) определим оператор
Tu(x, y) =
a∫
0
b∫
0
G(x, t)G(y, s)F [u(t, s)]dsdt.
Пусть u(x, y) ∈ C(P ) и w(x, y) = Tu(x, y). Как и при доказательстве теоремы 1, пока-
зываем, что w(x, y) ∈ S(P ) ⊂ C(P ). Следовательно, оператор T действует в пространст-
ве C(P ) и его неподвижная точка является решением краевой задачи (8), (9).
Докажем, что оператор T является оператором сжатия. Пусть wk(x, y) = Tuk(x, y),
uk(x, y) ∈ C(P ), k = 1, 2. Тогда
|w1(x, y)− w2(x, y)| ≤
a∫
0
b∫
0
|G(x, t)| |G(y, s)|L|u1(t, s)− u2(t, s)|dsdt ≤
≤ sup
x
a∫
0
|G(x, t))|dt sup
y
b∫
0
|G(y, s)|dsL‖u1(x, y)− u2(x, y)‖C . (21)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ . . . 171
Пусть 0 < x < a. Тогда
a∫
0
|G(x, t)|dt ≤
x∫
0
|G(x, t)|dt+
a∫
x
|G(x, t)|dt =
=
1
aα−1Γ(1 + α)
x∫
0
(
xα(a− t)α−1 − aα−1(x− t)α
)
dt+
a∫
x
xα(a− t)α−1dt
.
(22)
Из (22) при α = 1 получаем
sup
x
a∫
0
|G(x, t)|dt ≤ a2
2
.
Пусть 0 < α < 1. Согласно (21) имеем
a∫
0
|G(x, y)|dt =
1
aα−1Γ(1 + α)
(
xα
α
(aα − (a− x)α)− aα−1xα+1
α+ 1
+
xα(a− x)α
α
)
=
=
1
aα−1Γ(α+ 1)
(
xαaα
α
− aα−1xα+1
α+ 1
)
=
=
(
xαa
α
− xα+1
α+ 1
)
1
Γ(1 + α)
≤ aα+1
αΓ(1 + α)
. (23)
Аналогично получаем
sup
y
b∫
0
|G(y, s)|ds ≤ bβ+1
βΓ(1 + β)
. (24)
Из (21), (23), (24) следует, что
‖Tu1(x, y)− Tu2(x, y)‖C ≤ ρ‖u1(x, y)− u2(x, y)‖C .
Согласно принципу сжимающих отображений оператор T имеет единственную неподвиж-
ную точку, которая будет решением краевой задачи (8), (9).
Теорема 2 доказана.
Литература
1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые
их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987. — 688 с.
2. Mangeron D. Sopra un problema al contorno per un’equazione differenziale all derivate parziale di qaunt
con le caratteristiche reali dopi. // Rend. Accad. sci. fis. e mat. Napoli. — 1932. — 2. — P. 28 – 40.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
172 А. Н. ВИТЮК, А. В. МИХАЙЛЕНКО
3. Mangeron D. New methods for determining solutions of mathematical models governing polyvibrating
phenomena // Bull. Inst. politech. Iasi. — 1968. — 14, № 1 – 2. — P. 433 – 436.
4. Birkhoff G., Gordon W. J. The draftman’s and related equations // J. Approxim. Theory. — 1968. — 1. —
P. 199 – 208.
5. Seifert P. Fehlerabschätzungen für differenzenverfahren bei einer hyperbolischen Differentialgleichung //
Beitr. Numer. Math. — 1974. — 2. — S. 193 – 209.
6. Витюк А. Н. О множестве решений краевой задачи для гиперболического дифференциального вклю-
чения // Дифференц. уравнения. — 1999. — 35, № 6. —С. 780 – 783.
7. Витюк А. Н., Михайленко А. В. О разрешимости краевой задачи для дифференциального уравнения
дробного порядка // Дифференц. уравнения. — 2011. — 47, № 12. —С. 1803 – 1807.
8. Михайленко А. В. Об одной краевой задаче для дифференциального уравнения дробного порядка //
Вiсн. Одес. нац. ун-ту. Математика, механiка. — 2010. — 15, вип. 19. — С. 88 – 93.
9. Пташник Б. И. Некорректные краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными про-
изводными. — Киев: Наук. думка, 1984. — 263 с.
10. Hadamard J. Equations aux derivees partielles, le cas hyperbolique // L’Enseignement Math. — 1936. — 35,
№ 1. — P. 25 – 29.
11. Huber A. Die erste Randwertaufgabe für geschlossene Bereiche bei der Gleichung uxy = f(x, y) // Monatsh.
Math. und Phys. — 1932. — 39. — S. 79 – 100.
12. Vityuk A. N., Mykhailenko A. V. Darboux problem for differential equation with mixed regularized derivati-
ve of fractional order // Nonlinear Stud. — 2013. — 20, № 4. — P. 571 – 580.
13. Витюк А. Н., Михайленко А. В. Краевая задача для дифференциального уравнения дробного поряд-
ка // Вiсн. Одес. нац. ун-ту. — 2014. — 19, вип. 2(22). — С. 19 – 26.
14. Walczak S. Absolutely continuous functions of several variables and their application // Bull. Polon. Acad.
Sci. Math. — 1987. — 35, № 11 – 12. — P. 733 – 744.
15. Вiрченко Н. О., Рибак В. Я. Основи дробового iнтегродиференцiювання. — Київ: ТОВ „Задруга”,
2007. — 361 с.
16. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. I. Theory and application of fractional differential equation //
Norht-Holland Math. Stud. — 2006. — 204. — 523 p.
17. Чикрий А. А., Матичин И. И. О линейных конфликтно управляемых процессах с дробными про-
изводными // Труды Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2001. — 17, № 2. — С. 256 – 270.
18. Тиман А. Ф. Теория функций действительного переменного. —М.: Физматгиз, 1960. — 624 с.
19. Витюк А. Н., Михайленко А. В. Об одном классе дифференциальных уравнений // Нелiнiйнi коливан-
ня. — 2008. — 11, № 3. —С. 293 – 304.
Получено 22.01.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
|