Асимптотическое поведение решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка
Дослiджується асимптотична поведiнка при t ↑ ω (ω ≤ +∞) одного класу розв’язкiв двочленного диференцiального рiвняння другого порядку з правильно та швидко мiнливими нелiнiйностями....
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177250 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотическое поведение решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / Е.С. Владова // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 173-180 — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177250 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772502021-02-14T01:26:14Z Асимптотическое поведение решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка Владова, Е.С. Дослiджується асимптотична поведiнка при t ↑ ω (ω ≤ +∞) одного класу розв’язкiв двочленного диференцiального рiвняння другого порядку з правильно та швидко мiнливими нелiнiйностями. For a two-term second order differential equation with regularly and rapidly changing nonlinearity, we study asymptotic behavior of a class of solutions in the case where t ↑ ω (ω ≤ +∞). 2016 Article Асимптотическое поведение решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / Е.С. Владова // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 173-180 — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177250 517.925.44 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Дослiджується асимптотична поведiнка при t ↑ ω (ω ≤ +∞) одного класу розв’язкiв двочленного диференцiального рiвняння другого порядку з правильно та швидко мiнливими нелiнiйностями. |
| format |
Article |
| author |
Владова, Е.С. |
| spellingShingle |
Владова, Е.С. Асимптотическое поведение решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка Нелінійні коливання |
| author_facet |
Владова, Е.С. |
| author_sort |
Владова, Е.С. |
| title |
Асимптотическое поведение решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_short |
Асимптотическое поведение решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_full |
Асимптотическое поведение решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_fullStr |
Асимптотическое поведение решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_full_unstemmed |
Асимптотическое поведение решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| title_sort |
асимптотическое поведение решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177250 |
| citation_txt |
Асимптотическое поведение решений существенно нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка / Е.С. Владова // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 2. — С. 173-180 — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT vladovaes asimptotičeskoepovedenierešenijsuŝestvennonelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijvtorogoporâdka |
| first_indexed |
2025-07-15T15:17:22Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:17:22Z |
| _version_ |
1837726583488512000 |
| fulltext |
УДК 517.925.44
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
Е. С. Владова
Одес. гос. академия стр-ва и архитектуры
ул. Дидрихсона, 4, Одесса, 65000, Украина
e-mail: lena@gavrilovka.com.ua
For a two-term second order differential equation with regularly and rapidly changing nonlinearity, we
study asymptotic behavior of a class of solutions in the case where t ↑ ω (ω ≤ +∞).
Дослiджується асимптотична поведiнка при t ↑ ω (ω ≤ +∞) одного класу розв’язкiв двочлен-
ного диференцiального рiвняння другого порядку з правильно та швидко мiнливими нелiнiйно-
стями.
1. Постановка задачи. Рассматривается дифференциальное уравнение
y′′ = α0p(t)ϕ1(y)ϕ2(y′), (1.1)
в которомα0 ∈ {−1, 1}, p : [a, ω[−→]0,+∞[ — непрерывная функция,ϕi : ∆(Y 0
i ) →]0,+∞[,
i = 1, 2, — дважды непрерывно дифференцируемые функции, где ∆(Y 0
i ) — некото-
рая односторонняя окрестность точки Y 0
i , Y
0
i равно либо 0, либо ±∞, удовлетворяющие
условиям
lim
z→Y 0
1
z∈∆(Y 0
1 )
zϕ′1(z)
ϕ1(z)
= λ, λ ∈ R, (1.2)
ϕ′2(z) 6= 0 при z ∈ ∆(Y 0
2 ), lim
z→Y 0
2
z∈∆(Y 0
2 )
ϕ2(z) = Φ0
2, Φ0
2 ∈ {0,+∞},
lim
z→Y 0
2
z∈∆(Y 0
2 )
ϕ′′2(z)ϕ2(z)
[ϕ′2(z)]2
= 1.
(1.3)
В силу условий (1.2), (1.3) функция ϕ1(z) является правильно или медленно меняю-
щейся при z → Y 0
1 , а ϕ2(z) — быстро меняющейся при z → Y 0
2 (см. [1]).
В случае степенных и правильно меняющихся нелинейностей ϕi, i = 1, 2, асимптоти-
ческое поведение решений уравнения (1.1) исследовалось в работах [2 – 10].
Для рассматриваемого здесь типа уравнения (1.1) в работе [11] был введен следующий
достаточно широкий класс монотонных решений.
c© Е. С. Владова, 2016
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2 173
174 Е. С. ВЛАДОВА
Определение 1.1. Решение y уравнения (1.1) называется Pω(Λ0)-решением, где −∞ ≤
≤ Λ0 ≤ +∞, если оно определено на некотором промежутке [t0, ω[⊂ [a, ω[ и удовлетво-
ряет условиям
lim
t↑ω
y(t) = Y 0
1 , lim
t↑ω
ϕ2(y′(t)) = Φ0
2,
lim
t↑ω
ϕ′2(y′(t))
ϕ2(y′(t))
y′′(t)y(t)
y′(t)
= Λ0.
(1.4)
При этом в [11] исследовалась асимптотика Pω(Λ0)-решений уравнения (1.1) в случае,
когда Λ0 ∈ R \ {0}.
Целью настоящей работы является установление асимптотических свойств Pω(Λ0)-
решений уравнения (1.1) и условий их существования в особом случае, когда Λ0 = 0.
2. Вспомогательные результаты. Для установления основных результатов настоящей
работы нам потребуются некоторые вспомогательные результаты о поведении решений
системы
u′1 = α1p1(t)ψ2(u2),
(2.1)
u′2 = α2p2(t)ψ1(u1),
в которой αi ∈ {−1, 1}, i = 1, 2, pi : [a, ω[→]0 +∞[, i = 1, 2, — непрерывные функции,
ψi : ∆(U0
i ) →]0; +∞[, i = 1, 2, — непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворя-
ющие условиям
lim
z→U0
i
z∈∆(U0
i
)
zψ′i(z)
ψi(z)
= σi, i = 1, 2, (2.2)
где σi ∈ R и таковы, что
σ1σ2 6= 1, (2.3)
−∞ < a < ω ≤ +∞, U0
i равно либо 0, либо ±∞, ∆(U0
i ) — некоторая односторонняя
окрестность точки U0
i .
Из условия (2.2) следует, что ψi(z) — правильно меняющиеся функции при z → U0
i ,
i = 1, 2, и поэтому представимы в виде
ψi(z) = |z|σiθi(z), (2.4)
где θi(z) являются медленно меняющимися функциями при z → U0
i , i = 1, 2.
Определение 2.1 [7]. Будем говорить, что медленно меняющаяся при z → U0 функ-
ция θ : ∆(U0) −→]0,+∞[, U0 ∈ {0,±∞}, удовлетворяет условию S, если для любой
непрерывно дифференцируемой функции l : ∆(U0) −→]0,+∞[ такой, что
lim
z→U0
z∈∆(U0)
z l′(z)
l(z)
= 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 175
имеет место асимптотическое соотношение
θ(zl(z)) = θ(z)[1 + o(1)] при z → U0 (z ∈ ∆
(
U0
)
).
Определение 2.2. Решение (u1, u2) системы (2.1), заданное на промежутке [t0, ω[⊂
⊂ [a, ω[, будем называть Pω(0)-решением, если для него выполняются условия
ui(t) ∈ ∆(U0
i ) при t ∈ [t0, ω[, lim
t↑ω
ui(t) = U0
i , i = 1, 2,
lim
t↑ω
u1(t)u′2(t)
u′1(t)u2(t)
= 0.
Приведем два результата относительно асимптотического поведения Pω(0)-решений
системы (2.1), вытекающие из установленных в работе [12]. Для их формулировки по-
требуются следующие обозначения:
µi =
1, если U0
i = +∞,
либо U0
i = 0 и ∆(U0
i )− правая окрестность 0,
−1, если U0
i = −∞,
либо U0
i = 0 и ∆(U0
i )− левая окрестность 0,
β1 = 1, β2 = 1− σ1σ2 6= 0,
I1(t) =
t∫
A1
p1(τ) dτ, I2(t) =
t∫
A2
p2(τ)ψ1(µ1|I1(τ)|) dτ.
Здесь каждый из пределов интегрирования Ai ∈ {ω, a} и выбран так, чтобы соответству-
ющий ему интеграл Ii стремился либо к нулю, либо к∞ при t ↑ ω.
Кроме того, положим
A∗i =
{
1, если Ai = a,
−1, если Ai = ω,
i = 1, 2.
Лемма 2.1. Пусть функция θ1(z) удовлетворяет условию S. Тогда для существова-
ния Pω(0)-решений системы дифференциальных уравнений (2.1) необходимо и доста-
точно, чтобы
lim
t↑ω
I1(t)I ′2(t)
I ′1(t)I2(t)
= 0 (2.5)
и для каждого i ∈ {1, 2} выполнялись знаковые условия
A∗iβi > 0 при U0
i = ±∞, A∗iβi < 0 при U0
i = 0, (2.6)
sign [αiA
∗
iβi] = µi. (2.7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
176 Е. С. ВЛАДОВА
Более того, каждое такое решение допускает при t ↑ ω асимптотические представле-
ния
u1(t)
ψ2(u2(t))
= α1β1I1(t)[1 + o(1)], (2.8)
u2(t)
[ψ2(u2(t))]σ1
= α2β2I2(t)[1 + o(1)], (2.9)
причем существует однопараметрическое семейство таких решений в случае, когда
среди чисел A∗1, A
∗
2 одно положительное, и двупараметрическое семейство решений в
случае, когда оба числа A∗1, A
∗
2 являются положительными.
Лемма 2.2. Пусть θi(z), i = 1, 2, удовлетворяют условию S. Тогда каждое Pω(0)-
решение (в случае их существования) системы дифференциальных уравнений (2.1) до-
пускает при t ↑ ω асимптотические представления
u1(t) = µ1
∣∣∣β1I1(t)θ2
(
µ2|I2(t)|
1
β2
)∣∣∣ ∣∣∣β2I2(t)
[
θ2
(
µ2|I2(t)|
1
β2
)]σ1
∣∣∣ σ2
1−σ1σ2 ,
u2(t) = µ2
∣∣∣β2I2(t)
[
θ2
(
µ2 |I2(t)|
1
β2
)]σ1
∣∣∣ 1
1−σ1σ2 .
3. Основные результаты. Введем числа
µ0
i =
1, если Y 0
i = +∞,
либо Y 0
i = 0 и ∆(Y 0
i )− правая окрестность 0,
−1, если Y 0
i = −∞,
либо Y 0
i = 0 и ∆(Y 0
i )− левая окрестность 0,
i = 1, 2,
определяющие знаки Pω(0)-решений уравнения (1.1) и их производных в некоторой левой
окрестности ω, а также функции
πω(t) =
{
t, если ω = +∞,
t− ω, если ω < +∞, J(t) =
t∫
A
p(τ)ϕ1(µ0
1|πω(τ)|) dτ,
где предел интегрирования A ∈ {ω, a} и выбран так, чтобы интеграл J стремился либо к
нулю, либо к∞ при t ↑ ω.
Кроме того, положим
A∗1 =
{
1, если ω = ∞,
−1, если ω < ∞, A∗2 =
{
1, если A = a,
−1, если A = ω.
Поскольку функция ϕ1(z) является правильно меняющейся порядка λ при z → Y 0
1 ,
для нее справедливо представление
ϕ1(z) = |z|λθ1(z), (3.1)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 177
где функция θ1(z) является медленно меняющейся при z → Y 0
1 .
Для уравнения (1.1) имеет место следующее утверждение.
Теорема 3.1. Пусть функция θ1(z) удовлетворяет условию S. Тогда для существова-
ния Pω(0)-решений дифференциального уравнения (1.1) необходимо и достаточно, что-
бы
lim
t↑ω
πω(t)J ′(t)
J(t)
= 0 (3.2)
и выполнялись знаковые условия
A∗1 > 0 при Y 0
1 = ±∞, A∗1 < 0 при Y 0
1 = 0,
(3.3)
A∗2 > 0 при Φ0
2 = 0, A∗2 < 0 при Φ0
2 = ±∞,
µ0
1µ
0
2A
∗
1 > 0 и α0µ
0
2A
∗
2 > 0. (3.4)
Более того, каждое такое решение допускает при t ↑ ω асимптотические представле-
ния
y(t)
y′(t)
= πω(t)[1 + o(1)], (3.5)
1
|y′|λϕ′2(y′(t))
= −α0J(t)[1 + o(1)], (3.6)
причем существует однопараметрическое семейство таких решений в случае, когда
среди чисел A∗1, A
∗
2 одно положительное, и двупараметрическое семейство решений в
случае, когда оба числа A∗1, A
∗
2 являются положительными.
Доказательство. Покажем, что уравнение (1.1) сводится к системе (2.1). Для этого для
быстро меняющейся функции ϕ2(z) введем функцию
ψ(z) =
z∫
B
ds
ϕ2(s)
, где B =
Y 0
2 , если
∫ Y 0
2
b
ds
ϕ2(s)
сходится,
b, если
∫ Y 0
2
b
ds
ϕ2(s)
расходится,
(3.7)
и b — любое число из промежутка ∆(Y 0
2 ).
Поскольку ψ′(z) > 0 при z ∈ ∆(Y 0
2 ), то ψ : ∆(Y 0
2 ) −→ ∆(Ψ0) — возрастающая функ-
ция, где Ψ0 = limz→Y 0
2
ψ(z), и, следовательно, Ψ0 равно либо нулю, либо ±∞, ∆(Ψ0) —
односторонняя окрестность Ψ0.
Отметим, что функция ψ так же, как и ϕ2(z), является быстро меняющейся функцией
при z → Y 0
2 .
Действительно, с использованием (1.3) и правила Лопиталя имеем
lim
z→Y 0
2
ψ(z)ψ′′(z)
[ψ′(z)]2
= − lim
z→Y 0
2
ψ(z)ϕ′2(z) = lim
z→Y 0
2
ψ′(z)(
−1
ϕ′2(z)
)′ = lim
z→Y 0
2
[ϕ′2(z)]2
ϕ2(z)ϕ′′2(z)
= 1. (3.8)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
178 Е. С. ВЛАДОВА
Кроме того, из соотношений (3.8) следуют соотношения
ψ(z)
ψ′(z)
∼ ψ′(z)
ψ′′(z)
= −ϕ2(z)
ϕ′2(z)
при z → Y 0
2 , (3.9)
ψ(z) ∼ − 1
ϕ′2(z)
при z → Y 0
2 . (3.10)
С помощью (3.9) предельное соотношение (1.4) в определении Pω(0)-решения можно
записать в эквивалентной форме
lim
t↑ω
ψ′(y′(t))
ψ(y′(t))
y′′(t)y(t)
y′(t)
= 0. (3.11)
Кроме того, из (3.10) с учетом того, что ϕ2(z) — положительная и монотонная функ-
ция в ∆(Y 0
2 ), следует, что Φ0
2 = 0, если Ψ0 = ∞, и Φ0
2 = ∞, если Ψ0 = 0, и наоборот.
Как было отмечено ранее, функция ψ(z) является возрастающей и, следовательно,
обратимой. Более того, в силу свойств медленно, быстро и правильно меняющихся функ-
ций ψ−1(z) : ∆(Ψ0) → ∆(Y 0
2 ) — медленно меняющаяся функция при z → Ψ0. Для нее
имеем
lim
z→Φ0
z
(
ψ−1(z)
)′
ψ−1(z)
= lim
z→Φ0
zϕ2
(
ψ−1(z)
)
ψ−1(z)
= lim
u→Y 0
2
ψ(u)ϕ2(u)
u
= − lim
u→Y 0
2
ϕ2(u)
uϕ′(u)
= 0. (3.12)
Уравнение (1.1) с помощью преобразования
y = u1, ψ(y′) = u2 (3.13)
сведем к системе дифференциальных уравнений
u′1 = µ0
2
∣∣ψ−1(u2)
∣∣ ,
(3.14)
u′2 = α0p(t)ϕ1(u1).
Поскольку функцияϕ1: ∆(Y1) → ]0,+∞[ удовлетворяет условию (1.2), а функция
∣∣ψ−1(z)
∣∣ :
∆(Ψ0) → ]0,+∞[ — условию (3.12), получаем, что система (3.14) является системой ти-
па (2.1).
Более того, с учетом (3.11) несложно заметить, что y будет Pω(0)-решением уравне-
ния (1.1) тогда и только тогда, когда соответствующее ему в силу замен (3.13) решение
(u1, u2) системы (3.14) будет Pω(0)-решением системы (3.14). Кроме того, отметим, что
поскольку функция
∣∣ψ−1(z)
∣∣ удовлетворяет (3.12), то для системы (3.14) заведомо выпол-
нено условие (2.3), а значит, для системы (3.14) справедлива лемма 2.1.
Следовательно, необходимые и достаточные условия существования Pω(0)-решений
для системы (3.14), сформулированные в лемме 2.1, будут необходимыми и достаточными
условиями существования Pω(0)-решений уравнения (1.1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ . . . 179
Конкретизируем обозначения в лемме 2.1 для системы (3.14):
α1 = µ0
2, p1(t) ≡ 1, α2 = α0, p2(t) = p(t), µ1 = µ0
1, µ2 = µ0
2,
σ1 = λ, σ2 = 0, I1(t) = πω(t), β1 = 1, I2(t) = J(t) β2 = 1.
Тогда, записав условия (2.5) – (2.7) для системы (3.14), получим условия (3.2) – (3.4).
Для получения асимптотических представлений (3.5), (3.6) достаточно записать асимп-
тотические представления (2.8), (2.9) для системы (3.14), воспользоваться заменой (3.13)
и соотношением (3.10).
Теорема доказана.
Следует отметить, что в соотношениях (3.5), (3.6) асимптотические представления
для y, y′ записаны в неявном виде. Воспользовавшись леммой 2.2, укажем условия, при
которых данные асимптотические представления могут быть записаны в более простом
виде.
Теорема 3.2. Пусть функции θ1(z),
∣∣ψ−1(z)
∣∣ удовлетворяют условию S. Тогда каждое
Pω(0)-решение (в случае их существования) дифференциального уравнения (1.1) допус-
кает при t ↑ ω асимптотические представления
y(t) = µ0
1
∣∣πω(t)ψ−1
(
µ0
2|J(t)|
)∣∣ [1 + o(1)],
1
ϕ′2(y′(t))
= −µ0
2|J(t)|
∣∣ψ−1
(
µ0
2|J(t)|
)∣∣λ [1 + o(1)].
4. Приложение основных результатов. Рассмотрим класс дифференциальных уравне-
ний вида
y′′ = α0p(t)|y|λ| ln |y||γe−σ|y
′|δ |y′|1−δ, (4.1)
где α0 ∈ {1,−1}, δ, σ ∈ R \ {0}, λ, γ ∈ R, p : [a, ω[−→]0,+∞[ — непрерывная функция.
Уравнение (4.1) является уравнением вида (1.1), в котором ϕ1(z) = |z|λ lnγ |z|, ϕ2(z) =
= e−σ|z|
δ |z|1−δ. Функция ϕ1(z) является правильно меняющейся порядка λ при z → Y 0
2 ,
а функция ϕ2(z) в случае, когда δ > 0, — быстро меняющейся при z → ±∞ и в случае,
когда δ < 0, — быстро меняющейся при z → 0.
Для функции ϕ2(z) функция ψ(z), определенная в (3.7), имеет вид
ψ(z) =
1
σδ
eσ|z|
δ
sign z.
Более того, функция θ1(z), определенная в (3.1), и функция ψ−1(z) имеют вид
θ1(z) = lnγ |z| , ψ−1(z) = µ0
2
∣∣∣∣ 1σ ln |σδz|
∣∣∣∣ 1
δ
и удовлетворяют условию S.
Для уравнения (4.1) условие (1.4) в определении Pω(0)-решения, записанное в эквива-
лентной форме (3.11), примет вид
lim
t↑ω
yy′′(t)
|y′(t)|2−δ
= 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
180 Е. С. ВЛАДОВА
Для уравнения (4.1) из теорем 3.1 и 3.2 вытекает следующее утверждение.
Следствие 4.1. Для существованияPω(0)-решения дифференциального уравнения (4.1)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (3.2) – (3.4). Каждое такое ре-
шение допускает при t ↑ ω асимптотические представления
y(t) = µ0
1|πω(t)|
∣∣∣∣ 1σ ln |σδJ(t)|
∣∣∣∣ 1
δ
[1 + o(1)],
y′(t) = µ0
2
∣∣∣∣ 1σ ln |σδJ(t)|+ λ
σδ
ln
∣∣∣∣ 1σ ln |σδJ(t)|
∣∣∣∣+ o(1)
∣∣∣∣ 1
δ
,
причем существует однопараметрическое семейство таких решений в случае, когда
среди чисел A∗1, A
∗
2 одно положительное, и двупараметрическое семейство решений в
случае, когда оба числа A∗1, A
∗
2 являются положительными.
Литература
1. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — М.: Наука, 1985. — 144 с.
2. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1990. — 430 c.
3. Костин А. В., Евтухов В. М. Асимптотика решений одного нелинейного дифференциального урав-
нения // Докл. АН СССР. — 1976. — 231, № 5. — С. 1059 – 1062.
4. Евтухов В. М. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка // Докл. АН
СССР. — 1977. — 233, № 4. — С. 531 – 534.
5. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифференци-
альных уравнений второго порядка // Сообщ. АН ГССР. — 1982. — 106, № 3. — С. 473 – 476.
6. Евтухов В. М. Асимптотические свойства решений одного класса дифференциальных уравнений
второго порядка // Math. Naсhr. — 1984. — 115. — S. 215 – 236.
7. Евтухов В. М., Белозерова М. А. Асимптотические представления решений существенно нелиней-
ных неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка // Укр. мат. журн. — 2008. — 60,
№ 3. — С. 310 – 331.
8. Белозерова М. А. Асимптотические свойства одного класса решений существенно нелинейных диф-
ференциальных уравнений второго порядка // Мат. студ. — 2008. — 29, № 1. — С. 52 – 62.
9. Бiлозерова М. О. Асимптотичнi зображення розв’язкiв диференцiальних рiвнянь другого порядку
з нелiнiйностями, у деякому сенсi близькими до степеневих // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. — 2008. —
Вип. 374. — С. 34 – 43.
10. Белозерова М. А. Асимптотические представления решений неавтономных дифференциальных урав-
нений второго порядка с нелинейностями, близкими к степенным // Нелiнiйнi коливання. — 2009. —
12, № 1. — С. 3 – 15.
11. Владова Е. С. Асимптотика решений дифференциальных уравнений второго порядка с быстро меня-
ющейся нелинейностью // Нелiнiйнi коливання. — 2015. — 18, № 1. — С. 29 – 37.
12. Владова Е. С. Асимптотическое поведение решений нелинейных циклических систем обыкновенных
дифференциальных уравнений // Нелiнiйнi коливання. — 2011. — 14, № 3. — С. 299 – 317.
Получено 17.07.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 2
|