Об асимптотических свойствах решений некоторых дифференциально-функциональных уравнений
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiональних рiвнянь зi сталим запiзненням i лiнiйно перетвореним аргументом.
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177260 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об асимптотических свойствах решений некоторых дифференциально-функциональных уравнений / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 3. — С. 311-348 — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177260 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772602021-02-14T01:26:24Z Об асимптотических свойствах решений некоторых дифференциально-функциональных уравнений Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiональних рiвнянь зi сталим запiзненням i лiнiйно перетвореним аргументом. We find new properties of solutions to differential-functional equations with a constant delay and a linearly transformed argument. 2016 Article Об асимптотических свойствах решений некоторых дифференциально-функциональных уравнений / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 3. — С. 311-348 — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177260 517.929 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiональних рiвнянь зi сталим запiзненням i лiнiйно перетвореним аргументом. |
| format |
Article |
| author |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. |
| spellingShingle |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. Об асимптотических свойствах решений некоторых дифференциально-функциональных уравнений Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. |
| author_sort |
Бельский, Д.В. |
| title |
Об асимптотических свойствах решений некоторых дифференциально-функциональных уравнений |
| title_short |
Об асимптотических свойствах решений некоторых дифференциально-функциональных уравнений |
| title_full |
Об асимптотических свойствах решений некоторых дифференциально-функциональных уравнений |
| title_fullStr |
Об асимптотических свойствах решений некоторых дифференциально-функциональных уравнений |
| title_full_unstemmed |
Об асимптотических свойствах решений некоторых дифференциально-функциональных уравнений |
| title_sort |
об асимптотических свойствах решений некоторых дифференциально-функциональных уравнений |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177260 |
| citation_txt |
Об асимптотических свойствах решений некоторых дифференциально-функциональных уравнений / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 3. — С. 311-348 — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT belʹskijdv obasimptotičeskihsvojstvahrešenijnekotoryhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenij AT pelûhgp obasimptotičeskihsvojstvahrešenijnekotoryhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenij |
| first_indexed |
2025-07-15T15:17:59Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:17:59Z |
| _version_ |
1837726622622416896 |
| fulltext |
УДК 517.929
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Д. В. Бельский, Г. П. Пелюх
Ин-т математики НАН Украины
ул. Терещенковская, 3, Киев, 01004, Украина
We find new properties of solutions to differential-functional equations with a constant delay and a linearly
transformed argument.
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiональних рiвнянь зi сталим за-
пiзненням i лiнiйно перетвореним аргументом.
В данной работе рассматривается уравнение
x′(t) =
n0∑
k=1
akx(t− r0,k) +
n1∑
k=1
bkx
′(t− r1,k) +
m0∑
k=1
pkx(q0,kt) +
m1∑
k=1
hkx
′(q1,kt), (1)
где {pk, hk} ⊂ R, r0,k ≥ 0, r1,k > 0, 0 < q0,k, q1,k < 1, частные случаи которого изуча-
лись многими математиками. Так, в [1] исследованы асимптотические свойства решений
уравнения y′(x) = ay(λx) + by(x), в [2] установлены новые свойства решений уравнения
y′(x) = ay(λx), в [3] получены условия существования аналитических почти периодиче-
ских решений уравнения y′(x) = ay(λx) + by(x), в [4] построено представление общего
решения уравнения x′(t) = ax(t) + px(qt) + hx′(qt) при |h| > 1, в [5] получен ряд но-
вых результатов о существовании ограниченных и финитных решений уравнений с ли-
нейно преобразованным аргументом, в [6] исследовано поведение решений уравнения
x′(t) = ax(t) + px(qt) + hx′(qt) в окрестности точки t = 0, в [7] доказано существование
решений уравнения x′(t) = F (x(2t)) с периодическим модулем, в [8] изучается асимпто-
тическое поведение решений систем уравнений x′(t) = a(t)x(t) + b(t)x(t− r) + p(t)x(qt), в
[9, 10] определены мажоранты для решений уравнения x′(t) = ax(t)+bx(t−r)+cx′(t−r)+
+px(qt) + hx′(qt), в [11, 12] установлены достаточные условия асимптотической устойчи-
вости систем дифференциальных уравнений x′(t) = ax(t)+bx(t−r)+px(qt) и разработан
метод их стабилизации. Несмотря на изложенное и широкие приложения, которые нахо-
дят такие уравнения в различных областях науки и техники (см. [13] и приведенную в ней
библиографию), многие вопросы теории дифференциально-функциональных уравнений
вида (1) изучены мало. Это прежде всего касается асимптотических свойств решений
этих уравнений в окрестности особой точки t = +∞. Поэтому основной целью данной
работы является продолжение исследования, начатого в [11], с помощью методов этой
работы, по установлению новых свойств решений уравнения (1) при достаточно общих
предположениях относительно коэффициентов ak, bk, pk, hk.
Для фундаментального решения дифференциально-разностного уравнения
x′(t) =
n0∑
k=1
akx(t− r0,k) +
n1∑
k=1
bkx
′(t− r1,k)
c© Д. В. Бельский, Г. П. Пелюх, 2016
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3 311
312 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
(обозначим его символом X(t)) справедливы оценки [14] (главы 1, 12)
|X(t)| ≤ k1e
αt, var
[t−rmax,t]
X ≤ k2e
αt, t ≥ 0, (2)
где
sup
{
Reλ
∣∣∣∣∣λ
(
1−
n1∑
k=1
bke
−λr1,k
)
−
n0∑
k=1
ake
−λr0,k = 0
}
df
=α0 < α,
k1, k2 — некоторые постоянные и rmax
df
= max{r0,k, r1,k}.
Теорема 1. Пусть:
1) α0 < 0 и r(t0)
df
= min{t0 − r0,k, t0 − r1,k, q0,kt0, q1,kt0} > 0;
2) параметры v ∈ R и j ∈ {0, 1, 2, . . .} удовлетворяют неравенствам
v > β
df
= sup
{
Reµ
∣∣∣∣∣1 = − 1∑n0
j=1 aj
m0∑
k=1
pke
µ ln q0,k
}
,
m0∑
k=1
|pk|qv+j0,k
+∞∫
0
|X(s)|ds+
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k +
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k var
s∈[0,+∞)
X(s) < 1.
Тогда для j+1 раз непрерывно дифференцируемых решений x(t) уравнения (1) имеет
место оценка
∣∣∣x(m)(t)
∣∣∣ ≤ Km(t0, v)tv max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(m)(s)
∣∣∣ , . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣} , t ≥ r(t0),
где Km(t0, v) — некоторые константы, m = 0, j.
Доказательство. Из условия α0 < 0 следует неравенство
∑n0
k=1 ak 6= 0. Поэтому из
условия α0 < 0 и неравенств (2) следует справедливость второго условия теоремы для
некоторых v и j.
Последовательно дифференцируя левую и правую части уравнения (1) j раз, получа-
ем j + 1 уравнение
x(m+1)(t) =
n0∑
k=1
akx
(m)(t− r0,k) +
n1∑
k=1
bkx
(m+1)(t− r1,k)+
+
m0∑
k=1
pkq
m
0,kx
(m)(q0,kt) +
m1∑
k=1
hkq
m
1,kx
(m+1)(q1,kt), m = 0, j.
При m = j для производной x(j)(t) выполним замену переменных x(j)(t) = tvy(t). Тогда
имеем
y′(t) =
n0∑
k=1
aky(t− r0,k) +
n1∑
k=1
bky
′(t− r1,k) +
m0∑
k=1
pkq
v+j
0,k y(q0,kt) +
m1∑
k=1
hkq
v+j
1,k y
′(q1,kt)+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 313
+
n0∑
k=1
ak
[(
1−
r0,k
t
)v
− 1
]
y(t− r0,k) +
n1∑
k=1
bkv
(
1−
r1,k
t
)v−1 1
t
y(t− r1,k)+
+
n1∑
k=1
bk
[(
1−
r1,k
t
)v
− 1
]
y′(t− r1,k) +
m1∑
k=1
hkvq
v+j−1
1,k
1
t
y(q1,kt)− v
1
t
y(t).
Запишем это уравнение в интегральной форме:
y(t) = X(t− t0)
(
y(t0)−
n1∑
k=1
bky (t0 − r1,k)
)
+
n0∑
k=1
ak
t0∫
t0−r0,k
X(t− θ − r0,k)y(θ)dθ−
−
n1∑
k=1
bk
t0∫
t0−r1,k
y(θ)dX(t− θ − r1,k)−X(t− t0)
m1∑
k=1
hkq
v+j−1
1,k y(q1,kt0)−
−X(t− t0)
n1∑
k=1
bk
((
1−
r1,k
t0
)v
− 1
)
y(t0 − r1,k)+
+
m0∑
k=1
pkq
v+j
0,k
t∫
t0
X(t− s)y(q0,ks)ds+
m1∑
k=1
hkq
v+j−1
1,k y(q1,kt)−
−
m1∑
k=1
hkq
v+j−1
1,k
t∫
t0
y(q1,ks) dX(t− s)+
+
n0∑
k=1
ak
t∫
t0
X(t− s)
[(
1−
r0,k
s
)v
− 1
]
y(s− r0,k)ds+
+
n1∑
k=1
bkv
t∫
t0
X(t− s)
(
1−
r1,k
s
)v−1 1
s
y(s− r1,k)ds+
n1∑
k=1
bk
((
1−
r1,k
t
)v
−1
)
y(t− r1,k)−
−
t∫
t0
X(t− s)
[
n1∑
k=1
bkv
(
1−
r1,k
s
)v−1 r1,k
s2
y(s− r1,k)
]
ds−
−
n1∑
k=1
bk
t∫
t0
((
1−
r1,k
s
)v
− 1
)
y(s− r1,k)dX(t− s)+
+
m1∑
k=1
hkvq
v+j−1
1,k
t∫
t0
X(t− s) 1
s
y(q1,ks)ds− v
t∫
t0
X(t− s) 1
s
y(s)ds, t ≥ t0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
314 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Учитывая (2), получаем
∣∣∣∣∣X(t− t0)
(
y(t0)−
n1∑
k=1
bky (t0 − r1,k)
)
+
n0∑
k=1
ak
t0∫
t0−r0,k
X(t− θ − r0,k)y(θ)dθ −
−
n1∑
k=1
bk
t0∫
t0−r1,k
y(θ)dX(t− θ − r1,k)−
m1∑
k=1
hkq
v+j−1
1,k X(t− t0)y(q1,kt0)−
−X(t− t0)
n1∑
k=1
bk
((
1−
r1,k
t0
)v
− 1
)
y(t0 − r1,k)
∣∣∣∣∣ ≤
≤
(
|X(t− t0)|
(
1 +
n1∑
k=1
|bk|
)
+
n0∑
k=1
|ak|
t0∫
t0−r0,k
|X(t− θ − r0,k)| dθ +
+
n1∑
k=1
|bk| var
s∈[t−t0−r1,k,t−t0]
X(s) +
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k |X(t− t0)|+
+ |X(t− t0)|
n1∑
k=1
|bk|
∣∣∣∣(1−
r1,k
t0
)v
− 1
∣∣∣∣
)
sup
s∈[r(t0),t0]
|y(s)| ≤ M(T ) sup
s∈[r(t0),t0]
|y(s)|,
где t0 ≥ T, M(T ) — некоторые константы,
∣∣∣∣∣
m0∑
k=1
pkq
v+j
0,k
t∫
t0
X(t− s)y(q0,ks)ds+
m1∑
k=1
hkq
v+j−1
1,k y(q1,kt)−
−
m1∑
k=1
hkq
v+j−1
1,k
t∫
t0
y(q1,ks)dX(t− s)
∣∣∣∣∣ ≤
(
m0∑
k=1
|pk|qv+j0,k
+∞∫
0
|X(s)|ds+
+
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k +
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k var
s∈[0,+∞)
X(s)
)
sup
s∈[r(t0),t]
|y(s)|,
∣∣∣∣∣
n0∑
k=1
ak
t∫
t0
X(t− s)
[(
1−
r0,k
s
)v
− 1
]
y(s− r0,k)ds+
+
n1∑
k=1
bkv
t∫
t0
X(t− s)
(
1−
r1,k
s
)v−1 1
s
y(s− r1,k)ds+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 315
+
n1∑
k=1
bk
((
1−
r1,k
t
)v
− 1
)
y(t− r1,k)−
−
t∫
t0
X(t− s)
[
n1∑
k=1
bkv
(
1−
r1,k
s
)v−1 r1,k
s2
y(s− r1,k)
]
ds−
−
n1∑
k=1
bk
t∫
t0
((
1−
r1,k
s
)v
− 1
)
y(s− r1,k) dX(t− s)+
+
m1∑
k=1
hkvq
v+j−1
1,k
t∫
t0
X(t− s)1
s
y(q1,ks)ds− v
t∫
t0
X(t− s) 1
s
y(s)ds
∣∣∣∣∣ ≤
≤
n0∑
k=1
|ak|
t∫
t0
∣∣∣X(t− s)
[(
1−
r0,k
s
)v
− 1
]∣∣∣ ds+
+
n1∑
k=1
|bkv|
t∫
t0
∣∣∣∣X(t− s)
(
1−
r1,k
s
)v−1 1
s
∣∣∣∣ ds+
n1∑
k=1
|bk|
∣∣∣(1−
r1,k
t
)v
− 1
∣∣∣+
+
t∫
t0
|X(t− s)|
n1∑
k=1
∣∣∣∣bkv (1−
r1,k
s
)v−1 r1,k
s2
∣∣∣∣ ds+
+
n1∑
k=1
|bk| sup
s≥t0
∣∣∣(1−
r1,k
s
)v
− 1
∣∣∣ var
s∈[0,+∞)
X(s) +
m1∑
k=1
|hkv|qv+j−11,k
t∫
t0
∣∣∣∣X(t− s)1
s
∣∣∣∣ ds+
+|v|
t∫
t0
∣∣∣∣X(t− s)1
s
∣∣∣∣ ds
sup
s∈[r(t0),t]
|y(s)| df= l(T, t) sup
s∈[r(t0),t]
|y(s)|.
Здесь t0 ≥ T, supt≥T l(T, t) → 0, T → +∞. Следовательно, имеем соотношение
|y(t)| ≤ M(T ) sup
s∈[r(t0),t0]
|y(s)|+
(
m0∑
k=1
|pk|qv+j0,k
+∞∫
0
|X(s)|ds+
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k +
+
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k var
s∈[0,+∞)
X(s) + sup
t≥T
l(T, t)
)
sup
s∈[r(t0),t]
|y(s)|.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
316 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Поскольку M(T ) ≥ 1 и функция в правой части является неубывающей, получаем
sup
s∈[r(t0),t]
|y(s)| ≤ M(T ) sup
s∈[r(t0),t0]
|y(s)|+
(
m0∑
k=1
|pk|qv+j0,k
+∞∫
0
|X(s)|ds+
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k +
+
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k var
s∈[0,+∞)
X(s) + sup
t≥T
l(T, t)
)
sup
s∈[r(t0),t]
|y(s)|.
Отсюда (в силу второго условия теоремы) при достаточно большом T находим
sup
s∈[r(t0),t]
|y(s)| ≤
(
1−
m0∑
k=1
|pk|qv+j0,k
+∞∫
0
|X(s)|ds−
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k −
−
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k var
s∈[0,+∞)
X(s)− sup
t≥T
l(T, t)
)−1
M(T ) sup
s∈[r(t0),t0]
|y(s)|,
и, следовательно, sups∈[r(t0),t] |y(s)| ≤ Kj(T )
1
tv0
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣ , где Kj(T ) — некоторая
константа. Отсюда и из соотношения (замены переменных) x(j)(t) = tvy(t) получаем∣∣x(j)(t)∣∣ ≤ Kj(T )
(
t
t0
)v
sups∈[r(t0),t0]
∣∣x(j)(s)∣∣ , t ≥ r(t0).
Для 0 ≤ m ≤ j − 1 предположим, что
∣∣∣x(m+1)(t)
∣∣∣ ≤ Km+1(T )
(
t
t0
)v
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(m+1)(s)
∣∣∣ , . . .
. . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣} , t ≥ r(t0), t0 ≥ T,
гдеKm+1(T ) — некоторая константа. Запишем дифференциальное уравнение для x(m)(t)
в другой форме:
x(m)(t) = − 1∑n0
k=1 ak
m0∑
k=1
pkq
m
0,kx
(m)(q0,kt) +
1∑n0
k=1 ak
×
×
(
n0∑
k=1
ak
(
x(m)(t)− x(m)(t− r0,k)
)
+ x(m+1)(t)−
−
n1∑
k=1
bkx
(m+1)(t− r1,k)−
m1∑
k=1
hkq
m
1,kx
(m+1)(q1,kt)
)
.
С помощью теоремы Лагранжа запишем разности
x(m)(t)− x(m)(t− r0,k) = x(m+1)
(
t− θm0,k(t)
)
r0,k, 0 < θm0,k(t) < r0,k.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 317
Тогда
x(m)(t) = − 1∑n0
k=1 ak
m0∑
k=1
pkq
m
0,kx
(m)(q0,kt) +
1∑n0
k=1 ak
(
n0∑
k=1
akx
(m+1)
(
t− θm0,k(t)
)
r0,k+
+x(m+1)(t)−
n1∑
k=1
bkx
(m+1)(t− r1,k)−
m1∑
k=1
hkq
m
1,kx
(m+1)t(q1,kt)
)
.
Выполнив замену переменных x(m)(t) = tvy(t), получим
y(t) = − 1
n0∑
k=1
ak
m0∑
k=1
pkq
m+v
0,k y(q0,kt) +
t−v∑n0
k=1 ak
(
n0∑
k=1
akx
(m+1)
(
t− θm0,k(t)
)
r0,k +
+x(m+1)(t)−
n1∑
k=1
bkx
(m+1)(t− r1,k)−
m1∑
k=1
hkq
m
1,kx
(m+1)(q1,kt)
)
.
На основании сделанного предположения об асимптотическом поведении производной
x(m+1)(t) оценим неоднородность в уравнении для функции y(t), обозначив ее символом
f(t)
df
=
t−v∑n0
k=1 ak
(
n0∑
k=1
akx
(m+1)
(
t− θm0,k(t)
)
r0,k + x(m+1)(t)−
−
n1∑
k=1
bkx
(m+1)(t− r1,k)−
m1∑
k=1
hkq
m
1,kx
(m+1)(q1,kt)
)
,
(3)
|f(t)| ≤ Lm(T )
1
tv0
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(m+1)(s)
∣∣∣ , . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣} , t ≥ t0 ≥ T,
где Lm(T ) — некоторая константа.
Запишем уравнение для y(t) в новых обозначениях
y(t) = − 1∑n0
k=1 ak
m0∑
k=1
pkq
m+v
0,k y(q0,kt) + f(t), t ≥ t0.
Выполняя в нем замену переменных y (eτ ) = z(τ), получаем
z(τ) = − 1∑n0
j=1 aj
m0∑
k=1
pkq
v+m
0,k z(τ + ln q0,k) + f (eτ ) , τ = ln t ≥ τ0 = ln t0. (4)
Характеристическое уравнение для однородного разностного уравнения
w(τ) = − 1∑n0
j=1 aj
m0∑
k=1
pkq
v+m
0,k w (τ + ln q0,k)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
318 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
имеет вид
D(λ)
df
= 1 +
1∑n0
j=1 aj
m0∑
k=1
pke
(λ+v+m) ln q0,k = 0.
В силу второго условия теоремы имеем sup {Reλ |D(λ) = 0} = β − v −m < 0. Следова-
тельно, разностное уравнение для функции w(τ) асимптотически устойчиво. Обозначим
его фундаментальное решение символом Zv+m(τ) и запишем уравнение (4) в интеграль-
ной форме:
z(τ) =
p1q
v+m
0,1∑n0
j=1 aj
τ0∫
τ0+ln q0,1
[dθZv+m (τ − θ + ln q0,1)] z(θ) + . . .
. . .+
pm0q
v+m
0,m0∑n0
j=1 aj
τ0∫
τ0+ln q0,m0
[dθZv+m − (τ − θ + ln q0,m0)] z(θ)−
−
τ∫
τ0
[dsZv+m(τ − s)] f (es) + f (eτ ) , τ ≥ τ0.
Учитывая (3), оцениваем модуль решения
|z(τ)| ≤ Λm(T )
1
tv0
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(m)(s)
∣∣∣ , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(m+1)(s)
∣∣∣ , . . .
. . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣} , τ ≥ τ0,
для некоторой константы Λm(T ). Отсюда получаем
|y(t)| ≤ Λm(T )
1
tv0
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(m)(s)
∣∣∣ , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(m+1)(s)
∣∣∣ , . . .
. . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣} , t ≥ t0.
Следовательно,
∣∣∣x(m)(t)
∣∣∣ ≤ Km(T )
(
t
t0
)v
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(m)(s)
∣∣∣ , . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣} , t ≥ r(t0),
для некоторой константы Km(T ). Тем самым мы доказали (методом математической ин-
дукции) последнее неравенство для всех m = 0, j. Отметим, что величина T в наших рас-
суждениях удовлетворяла условию малости коэффициента supt≥T l(T, t), которое может
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 319
быть вынесено в начало доказательства. Верхние границы для коэффициентов Km(T ),
m = 0, j, не зависят от T. Поскольку в наших рассуждениях t0 ≥ T является переменной
величиной, а по условию теоремы эта величина должна быть фиксирована, из равенств
x(m)(t) = X(t− t1)
(
x(m)(t1)−
n1∑
k=1
bkx
(m)(t1 − r1,k)
)
+
+
n0∑
k=1
ak
t1∫
t1−r0,k
X(t− θ − r0,k)x(m)(θ) dθ−
−
n1∑
k=1
bk
t1∫
t1−r1,k
x(m)(θ) dX(t− θ − r1,k)−
m1∑
k=1
hkq
m−1
1,k X(t− t1)x(m)(q1,kt1)+
+
m0∑
k=1
pkq
m
0,k
t∫
t1
X(t− s)x(m)(q0,ks)ds+
+
m1∑
k=1
hkq
m−1
1,k x(m)(q1,kt)−
m1∑
k=1
hkq
m−1
1,k
t∫
t1
x(m)(q1,ks)dX(t− s), t ≥ t1,
можно получить оценки
sup
s∈[r(t1),t]
∣∣∣x(m)(s)
∣∣∣ ≤ σm sup
s∈[r(t1),t1]
∣∣∣x(m)(s)
∣∣∣+ ηm sup
s∈[r(t1),qmaxt]
∣∣∣x(m)(s)
∣∣∣ , t ≥ t1,
где σm ≥ 1, ηm — некоторые константы, а qmax
df
= max{q0,k, q1,k}.
Теорема 1 доказана.
Рассмотрим теперь частный случай уравнения (1)
x′(t) =
n0∑
k=1
akx (t− r0,k) +
n1∑
k=1
bkx
′(t− r1,k) + px(qt) +
m1∑
k=1
hkx
′(q1,kt) (5)
и докажем следующую теорему.
Теорема 2. Пусть:
1) α0 < 0, r(t0) > 0, p 6= 0 и v∗
df
=
1
ln q−1
ln
∣∣∣∣p(∑n0
j=1 aj
)−1∣∣∣∣ ;
2) параметр j ∈ N
⋃
{0} удовлетворяет неравенству
m0∑
k=1
|p|qv∗+j+1
+∞∫
0
|X(s)|ds+
m1∑
k=1
|hk|qv∗+j1,k +
m1∑
k=1
|hk|qv∗+j1,k var
s∈[0,+∞)
X(s) < 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
320 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Тогда для j+2 раза непрерывно дифференцируемых решений x(t) уравнения (5) имеет
место оценка
|x(t)| ≤ K(t0)t
1
ln q−1 ln
∣∣∣p(∑n0
j=1 aj)
−1
∣∣∣
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
|x(s)|, . . .
. . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j+1)(s)
∣∣∣} , t ≥ r(t0),
где K(t0) — некоторая константа.
Доказательство. Запишем уравнение (5) в виде
x(t) = − p∑n0
k=1 ak
x(qt) +
1∑n0
k=1 ak
×
×
(
n0∑
k=1
ak(x(t)− x(t− r0,k))−
n1∑
k=1
bkx
′(t− r1,k)−
m1∑
k=1
hkx
′(q1,kt) + x′(t)
)
.
Поскольку в силу теоремы Лагранжа имеем x(t) − x(t − r0,k) = x′(t − θ0,k(t))r0,k, 0 <
< θ0,k(t) < r0,k, k = 1, n0, уравнение (5) принимает вид
x(t) = − p∑n0
k=1 ak
x(qt) +
1∑n0
k=1 ak
(
n0∑
k=1
akx
′(t− θ0,k(t))r0,k −
n1∑
k=1
bkx
′(t− r1,k)−
−
m1∑
k=1
hkx
′(q1,kt) + x′(t)
)
df
=− p∑n0
k=1 ak
x(qt) + f(t).
Выполняя в последнем уравнении замену переменных x(t) = tvy(t), t ≥ r(t0), получаем
уравнение
y(t) = − pqv∑n0
k=1 ak
y(qt) + t−vf(t). (6)
В силу теоремы 1 для
1
ln q−1
ln
∣∣∣∣∣∣p
n0∑
j=1
aj
−1∣∣∣∣∣∣− 1 < v <
1
ln q−1
ln
∣∣∣∣∣∣p
n0∑
j=1
aj
−1∣∣∣∣∣∣ (7)
при достаточной гладкости решения функция t−vx′(t) ограничена в окрестности точки
t = +∞. Последнее станет очевидным, если применить теорему 1 к уравнению
x′′(t) =
n0∑
k=1
akx
′(t− r0,k) +
n1∑
k=1
bkx
′′(t− r1,k) + pqx′(qt) +
m1∑
k=1
hkq1,kx
′′(q1,kt).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 321
Более того, рассуждения, использованные в доказательстве теоремы 1, позволяют сде-
лать более точный вывод: для параметра v ∈ R, удовлетворяющего неравенствам (7) и
m0∑
k=1
|pq|qv+j
+∞∫
0
|X(s)|ds+
m1∑
k=1
∣∣hkq1,k∣∣ qv+j−11,k +
m1∑
k=1
∣∣hkq1,k∣∣ qv+j−11,k var
s∈[0,+∞)
X(s) =
=
m0∑
k=1
|p|qv+j+1
+∞∫
0
|X(s)|ds+
m1∑
k=1
|hk|qv+j1,k +
m1∑
k=1
|hk|qv+j1,k var
s∈[0,+∞)
X(s) < 1,
j + 2 раза непрерывно дифференцируемые решения x(t) уравнения (5) удовлетворяют
оценке
∣∣x′(t)∣∣ ≤ K(T )
(
t
t0
)v
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′(s)∣∣ , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′′(s)∣∣ , . . .
. . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j+1)(s)
∣∣∣} , t ≥ r(t0), t0 ≥ T,
где K(T ) — некоторая константа. Отсюда следует неравенство
∣∣t−vf(t)
∣∣ ≤ L(T )
1
tv0
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′(s)∣∣ , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′′(s)∣∣ , . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j+1)(s)
∣∣∣} df
=M1
при t ≥ t0 ≥ T ≥ 1, где L(T ) ≥ 1 — некоторая константа. Тогда при qnt ∈ [qt0, t0] из
уравнения (6) получаем следующую оценку для y(t):
|y(t)| ≤
∣∣∣∣∣∣pqv
n0∑
j=1
aj
−1∣∣∣∣∣∣ |y(qt)|+M1
df
= d|y(qt)|+M1 ≤
≤ d2
∣∣y(q2t)
∣∣+ dM1 +M1 ≤ . . . ≤ dn |y(qnt)|+ dn−1M1 + . . .+ dM1 +M1 ≤
≤ dn sup
s∈[qt0,t0]
|y(s)|+ dn − 1
d− 1
M1 ≤
dn+1 − 1
d− 1
(
max
{
q−v, 1
}
+ L(T )
) 1
tv0
×
×max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
|x(s)|, sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′(s)∣∣ , . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j+1)(s)
∣∣∣} df
=
dn+1 − 1
d− 1
M2,
qt0 ≤ qnt ⇒ q−n ≤ t
qt0
⇒ n ≤ 1
ln q−1
ln
(
t
qt0
)
.
Заметим, что согласно выбору v имеем d =
∣∣∣∣pqv (∑n0
j=1 aj
)−1∣∣∣∣ > 1, и оценку y(t) можно
уточнить
|y(t)| ≤ d
1
ln q−1 ln
(
t
qt0
)
d
d− 1
M2
df
= e
ln d 1
ln q−1 ln
(
t
qt0
)
M3 =
t
1
ln q−1 ln
∣∣∣p(∑n0
j=1 aj)
−1
∣∣∣−v
(qt0)
1
ln q−1 ln
∣∣∣p(∑n0
j=1 aj)
−1
∣∣∣−v M3.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
322 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Отсюда находим
|x(t)| = |tvy(t)| ≤ t
1
ln q−1 ln
∣∣∣p(∑n0
j=1 aj)
−1
∣∣∣
(qt0)
1
ln q−1 ln
∣∣∣p(∑n0
j=1 aj)
−1
∣∣∣−v M3 =
t
1
ln q−1 ln
∣∣∣p(∑n0
j=1 aj)
−1
∣∣∣
(qt0)
1
ln q−1 ln
∣∣∣p(∑n0
j=1 aj)
−1
∣∣∣−v L1(T )
1
tv0
×
×max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
|x(s)|, sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′(s)∣∣ , . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j+1)(s)
∣∣∣} =
= L2(T )
(
t
t0
) 1
ln q−1 ln
∣∣∣p(∑n0
j=1 aj)
−1
∣∣∣
×
×max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
|x(s)|, sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′(s)∣∣ , . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j+1)(s)
∣∣∣} , t ≥ t0 ≥ T.
Увеличив константуL2(T ), последнее неравенство можно считать выполненным на полу-
оси t ≥ r(t0). Отметим, что T не является произвольной величиной. Поэтому для завер-
шения доказательства необходимо повторить замечание относительно t0, приведенное в
конце доказательства теоремы 1.
Теорема 2 доказана.
Для частного случая уравнения (5) запишем частное решение, условие существования
которого частично совпадает с достаточным условием асимптотической устойчивости,
вытекающим из теоремы 2.
Пример 1. Для уравнения x′(t) =
∑n0
k=1 akx(t−r0,k)+
∑n1
k=1 bkx
′(t−r1,k)+px(qt)+hx′(qt)
существует решение в виде ряда x(t) = x0e
λt+x1e
λqt+x2e
λq2t+ . . .+xne
λqnt+ . . . , где λ—
корень характеристического уравнения H(λ)
df
=λ
(
1−
∑n1
k=1 bke
−λr1,k
)
−
∑n0
k=1 ake
−λr0,k =
= 0, xn =
p+ hλqn−1
H (λqn)
xn−1, n ≥ 1, x0 — произвольное число. Условием сходимости ряда
является неравенство
∣∣∣p (∑n0
k=1 ak
)−1∣∣∣ < 1. Отметим, что Reλ не обязательно меньше
нуля.
С помощью идей де Брейна [15] докажем точность степени v∗ и уточним асимптоти-
ческое поведение решений уравнения (5) в условиях предыдущей теоремы.
Теорема 3. Пусть:
1) α0 < 0, r(t0) > 0, p 6= 0 и v df
=
1
ln q−1
ln
∣∣∣∣p(∑n0
j=1 aj
)−1∣∣∣∣ ;
2) параметр j ∈ N
⋃
{0} удовлетворяет неравенству
m0∑
k=1
|p|qv+j+1
+∞∫
0
|X(s)|ds+
m1∑
k=1
|hk|qv+j1,k +
m1∑
k=1
|hk|qv+j1,k var
s∈[0,+∞)
X(s) < 1.
Тогда для j + 3 раза непрерывно дифференцируемого решения x(t) уравнения (5) в
случае p
(∑n0
j=1 aj
)−1
< 0 существует предельная непрерывная периодическая функция
ϕ(u) с периодом 1, а в случае p
(∑n0
j=1 aj
)−1
> 0 — предельная непрерывная периодиче-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 323
ская функция ϕ(u) ≡ −ϕ(u− 1) с периодом 2 такая, что
∣∣∣∣ t−vx(t)− ϕ
(
ln t
ln q−1
)∣∣∣∣ ≤ K(t0)
1
t
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
|x(s)|, . . .
. . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j+2)(s)
∣∣∣} , t ≥ r(t0),
где K(t0) — некоторая константа. При этом в случае p
(∑n0
j=1 aj
)−1
< 0 для любой
непрерывной периодической функции ψ(u) с периодом 1, а в случае p
(∑n0
j=1 aj
)−1
> 0
для любой непрерывной периодической функции ψ(u) ≡ −ψ(u− 1) с периодом 2 и сколь
угодно малой окрестности этой функции существует j+3 раза непрерывно дифферен-
цируемое решение уравнения (5), которое начинается на некотором начальном отрез-
ке [r(t1), t1] и имеет предельную периодическую функцию в данной окрестности функ-
ции ψ(u).
Доказательство. Предположим, что p
(∑n0
j=1 aj
)−1
< 0, тогда после замены пере-
менных x(t) = tvy(t) при t ≥ r(t0) в уравнении (5) уравнение (6) примет вид y(t) =
= y(qt) + t−vf(t). Обозначая t−vf(t)
df
= g(t), получаем
y(t) = y(qt) + g(t). (8)
Если к производной x′(t) и дифференциальному уравнению
x′′(t) =
n0∑
k=1
akx
′(t− r0,k) +
n1∑
k=1
bkx
′′(t− r1,k) + pqx′(qt) +
m1∑
k=1
hkq1,kx
′′(q1,k)
применить рассуждения из доказательства теоремы 2, то получим следующий результат:
для параметра j из второго условия теоремы j + 3 раза непрерывно дифференцируемые
решения x(t) уравнения (5) удовлетворяют оценке
∣∣x′(t)∣∣ ≤ K(T )
(
t
t0
)v−1
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′(s)∣∣ , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′′(s)∣∣ , . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j+2)(s)
∣∣∣}
при t ≥ r(t0), t0 ≥ T, где K(T ) — некоторая константа. Отсюда следует неравенство
|g(t)| =
∣∣t−vf(t)
∣∣ ≤ L(T )
1
t
1
tv−10
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′(s)∣∣ , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′′(s)∣∣ , . . .
. . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j+2)(s)
∣∣∣}
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
324 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
при t ≥ t0 ≥ T ≥ 1, где L(T ) ≥ 1 — некоторая константа. Выполняя еще одну замену
переменных y(t) = z
(
ln t
ln q−1
)
в функциональном уравнении (8), получаем
y(t) = z
(
ln t
ln q−1
)
= y(qt) + g(t) = z
(
ln t
ln q−1
− 1
)
+ g
(
e
ln q−1 ln t
ln q−1
)
или z(u) = z(u− 1) + g
(
eu ln q
−1
)
, где u =
ln t
ln q−1
. Поскольку
x′(t) = vtv−1y(t) + tvy′(t) = tv−1
(
vz
(
ln t
ln q−1
)
+ z′
(
ln t
ln q−1
)
1
ln q−1
)
,
имеем оценку
|g(t)| ≤ 1
t
D(T ) max
sup
s∈
[
ln r(t0)
ln q−1 ,
ln t0
ln q−1
] |z(s)|, . . . , sup
s∈
[
ln r(t0)
ln q−1 ,
ln t0
ln q−1
]
∣∣∣z(j+2)(s)
∣∣∣
df
=
1
t
W (T, z0).
Используя равенство z(u) − z(u − 1) = g
(
eu ln q
−1
)
и мажоранту для |g(t)|, оцениваем
разность
|z(u+m)− z(u+ n)| ≤ |z(u+m)− z(u+m− 1)|+ . . .+ |z(u+ n+ 1)− z(u+ n)| =
=
∣∣∣g (e(u+m) ln q−1
)∣∣∣+ . . .+
∣∣∣g (e(u+n+1) ln q−1
)∣∣∣ ≤
≤ e−(u+m) ln q−1
W (T, z0) + . . .+ e−(u+n+1) ln q−1
W (T, z0) ≤
≤ qu+n+1W (T, z0)
1
1− q
.
Отсюда следует фундаментальность последовательности z(u+ n), существование преде-
ла limn→+∞ z(u+n)
df
=ϕ(u) и неравенство |z(u)−ϕ(u)| ≤ qu+1W (T, z0)
1
1− q
, u ≥ ln t0
ln q−1
−1.
Очевидно, что ϕ(u) — периодическая функция с периодом 1, ее непрерывность следует
из ограниченности z′(u). Запишем последнее неравенство в развернутом виде
|z(u)− ϕ(u)| ≤ quD1(T ) max
sup
s∈
[
ln r(t0)
ln q−1 ,
ln t0
ln q−1
] |z(s)|, . . .
. . . , sup
s∈
[
ln r(t0)
ln q−1 ,
ln t0
ln q−1
]
∣∣∣z(j+2)(s)
∣∣∣
, u ≥ ln t0
ln q−1
− 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 325
где D1(T )
df
=D(T )
q
1− q
, т. е. уже на отрезке
[
ln t0
ln q−1
− 1,
ln t0
ln q−1
]
можно оценить разность
между решением z(u) и его предельной периодической функцией ϕ(u) через начальные
значения решения и его производных.
Таким образом, в случае p
(∑n0
j=1 aj
)−1
< 0 доказано существование предельной пе-
риодической функции и получена оценка скорости сходимости.
Обратно, предположим, что q 6= q1,k, k = 1,m1, и задана непрерывная периодиче-
ская функция ϕ(u). Ее можно приблизить с помощью тригонометрического полинома
ψ(u), который в свою очередь приближается полиномом Эрмита H(u) равномерно на
отрезке
[
− ln q−1c
ln q−1
, 0
]
, где qc
df
= min{q, q1,1, . . . , q1,m1}, вместе с конечным числом производ-
ных, полином H(u) также приближается некоторым полиномом G(u), который при за-
мене аргумента G(u − u0), u0 =
ln t0
ln q−1
, удовлетворяет j + 3 условиям склейки (глад-
кости) дифференциального уравнения и, таким образом, задает j + 3 раза непрерывно
дифференцируемое решение zG(u), начальные значения которого, G(u − u0), близки к
фиксированному тригонометрическому полиному ψ(u− u0), а следовательно, ограниче-
ны. Последнее позволяет при достаточно большом t0 утверждать близость предельной
периодической функции решения ϕzG(u) к решению zG(u) на начальном отрезке, т. е. к
G(u − u0), а значит, и к функции ϕ(u − u0); если u0 — целое число, то и к данной пе-
риодической функции ϕ(u). В этой цепочке рассуждений необходимо показать только
построение полинома G(u).
Сформулируем j + 3 условия склейки в терминах функции z
(
ln t
ln q−1
)
и ее производ-
ных. Для этого запишем в явном виде уравнение этой функции. Выполнив замену пере-
менных x(t) = tvy(t) в уравнении (5) при t ≥ r(t0), получим
y′(t) =
n0∑
k=1
aky(t− r0,k) +
n1∑
k=1
bky
′(t− r1,k) + pqvy(qt) + g(t),
где
g(t)
df
=
m1∑
k=1
hkq
v
1,ky
′(q1,kt) +
n0∑
k=1
ak
[(
1−
r0,k
t
)v
− 1
]
y(t− r0,k)+
+
n1∑
k=1
bkv
(
1−
r1,k
t
)v−1 1
t
y(t− r1,k) +
n1∑
k=1
bk
[(
1−
r1,k
t
)v
− 1
]
y′(t− r1,k)+
+
m1∑
k=1
hkvq
v−1
1,k
1
t
y(q1,kt)− v
1
t
y(t).
С помощью теоремы Лагранжа запишем равенство
n0∑
k=1
aky(t)−
n0∑
k=1
aky(t− r0,k) =
n0∑
k=1
akr0,ky
′(t− θ1(t, r0,k)), 0 < θ1(t, r0,k) < r0,k.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
326 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
После этого дифференциальное уравнение для y(t) запишем как функциональное
y(t) = − pqv∑n0
k=1 ak
y(qt) +
1∑n0
k=1 ak
(
y′(t) +
n0∑
k=1
akr0,ky
′(t− θ1(t, r0,k))−
+
n1∑
k=1
bky
′(t− r1,k)− g(t)
)
или
y(t) = y(qt) +
1∑n0
k=1 ak
(
y′(t) +
n0∑
k=1
akr0,ky
′(t− θ1(t, r0,k))−
n1∑
k=1
bky
′(t− r1,k)− g(t)
)
.
Последняя замена переменных y(t) = z
(
ln t
ln q−1
)
дает искомый результат
z
(
ln t
ln q−1
− 1
)
= z
(
ln t
ln q−1
)
− 1∑n0
k=1 ak
(
z′
(
ln t
ln q−1
)
1
t ln q−1
+
+
n0∑
k=1
akr0,kz
′
(
ln t
ln q−1
− 1
ln q−1
ln
(
t
t− θ1(t, r0,k)
))
1
(t− θ1(t, r0,k)) ln q−1
−
−
n1∑
k=1
bkz
′
(
ln t
ln q−1
− 1
ln q−1
ln
(
t
t− r1,k
))
1
(t− r1,k) ln q−1
− g(t)
)
, (9)
где
g(t)
df
=
m1∑
k=1
hkq
v
1,kz
′
(
ln t
ln q−1
−
ln q−11,k
ln q−1
)
1
q1,kt ln q−1
+
+
n0∑
k=1
ak
[(
1−
r0,k
t
)v
− 1
]
z
(
ln t
ln q−1
− 1
ln q−1
ln
(
t
t− r0,k
))
+
+
n1∑
k=1
bkv
(
1−
r1,k
t
)v−1 1
t
z
(
ln t
ln q−1
− 1
ln q−1
ln
(
t
t− r1,k
))
+
+
n1∑
k=1
bk
[(
1−
r1,k
t
)v
− 1
]
z′
(
ln t
ln q−1
− 1
ln q−1
ln
(
t
t− r1,k
))
1
(t− r1,k) ln q−1
+
+
m1∑
k=1
hkvq
v−1
1,k
1
t
z
(
ln t
ln q−1
−
ln q−11,k
ln q−1
)
− v 1
t
z
(
ln t
ln q−1
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 327
Рассмотрим отдельно слагаемое
n0∑
k=1
akr0,kz
′
(
ln t
ln q−1
− 1
ln q−1
ln
(
t
t− θ1 (t, r0,k)
))
×
× 1
(t− θ1 (t, r0,k)) ln q−1
=
n0∑
k=1
ak(y(t)− y(t− r0,k)).
Продифференцируем явно несколько раз функцию y(t) = z
(
ln t
ln q−1
)
:
y′(t) = z′
(
ln t
ln q−1
)
1
t ln q−1
, . . . ,
y(l)(t) =
dl
dtl
z
(
ln t
ln q−1
)
= z(l)
(
ln t
ln q−1
)
1
tl lnl q−1
. . .+ (−1)l+1z′
(
ln t
ln q−1
)
(l − 1)!
tl ln q−1
, l ≥ 2.
Аналогично получим
dl
dtl
z
(
ln t
ln q−1
− 1
)
= z(l)
(
ln t
ln q−1
− 1
)
1
tl lnl q−1
+ . . .+ (−1)l+1z′
(
ln t
ln q−1
− 1
)
(l − 1)!
tl ln q−1
.
Теперь запишем разность
∑n0
k=1 ak
(
y(l)(t)− y(l)(t− r0,k)
)
с помощью теоремы Лагранжа
через функцию z
(
ln t
ln q−1
)
:
n0∑
k=1
ak
(
y(l)(t)− y(l)(t− r0,k)
)
=
n0∑
k=1
akr0,ky
(l+1) (t− θl+1 (t, r0,k)) =
=
n0∑
k=1
akr0,k
1
(t− θl+1 (t, r0,k))
l+1
(
z(l+1)
(
ln (t− θl+1(t, r0,k))
ln q−1
)
1
lnl+1 q−1
+ . . .
. . .+ (−1)l+2z′
(
ln (t− θl+1(t, r0,k))
ln q−1
)
l!
ln q−1
)
=
=
dl
dtl
n0∑
k=1
akr0,kz
′
(
ln t
ln q−1
− 1
ln q−1
ln
(
t
t− θ1 (t, r0,k)
))
×
× 1
(t− θ1 (t, r0,k)) ln q−1
, 0 < θl+1(t, r0,k) < r0,k.
Приведенные выше замечания позволяют утверждать, что производную l-го порядка
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
328 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
тождества (9) можно записать следующим образом:
dl
dtl
z
(
ln t
ln q−1
− 1
)
= z(l)
(
ln t
ln q−1
− 1
)
1
tl lnl q−1
+ . . .+ (−1)l+1z′
(
ln t
ln q−1
− 1
)
(l − 1)!
tl ln q−1
=
= z(l)
(
ln t
ln q−1
)
1
tl lnl q−1
+ . . .+ (−1)l+1z′
(
ln t
ln q−1
)
(l − 1)!
tl ln q−1
+
+
1
tl+1
[
l∑
i=0
n0∑
k=1
αil,k(t)z
(i)
(
ln (t− r0,k)
ln q−1
)
+
+
l+1∑
i=1
n0∑
k=1
χil,k(t)z
(i)
(
ln (t− θl+1 (t, r0,k))
ln q−1
)
+
+
l+1∑
i=0
n1∑
k=1
βil,k(t)z
(i)
(
ln(t− r1,k)
ln q−1
)
+
+
l+1∑
i=0
m1∑
k=1
ηil,k(t)z
(i)
(
ln t
ln q−1
−
ln q−11,k
ln q−1
)
+
l+1∑
i=0
ρil(t)z
(i)
(
ln t
ln q−1
)]
,
где коэффициенты αil,k(t), χ
i
l,k(t), β
i
l,k(t), η
i
l,k(t), ρ
i
l(t) — ограниченные на полуоси функ-
ции. Умножая левую и правую части тождества на tl, окончательно получаем
z(l)
(
ln t
ln q−1
− 1
)
1
lnl q−1
+ . . .+ (−1)l+1z′
(
ln t
ln q−1
− 1
)
(l − 1)!
ln q−1
=
= z(l)
(
ln t
ln q−1
)
1
lnl q−1
+ . . .+ (−1)l+1z′
(
ln t
ln q−1
)
(l − 1)!
ln q−1
+
+
1
t
[
l∑
i=0
n0∑
k=1
αil,k(t)z
(i)
(
ln (t− r0,k)
ln q−1
)
+
+
l+1∑
i=1
n0∑
k=1
χil,k(t)z
(i)
(
ln (t− θl+1 (t, r0,k))
ln q−1
)
+
l+1∑
i=0
n1∑
k=1
βil,k(t)z
(i)
(
ln (t− r1,k)
ln q−1
)
+
+
l+1∑
i=0
m1∑
k=1
ηil,k(t)z
(i)
(
ln t
ln q−1
−
ln q−11,k
ln q−1
)
+
l+1∑
i=0
ρil(t)z
(i)
(
ln t
ln q−1
)]
.
Параметр l изменяется от 0 до j + 2, что соответствует необходимой гладкости реше-
ния z
(
ln t
ln q−1
)
. Обозначим ~z
(
ln t
ln q−1
)
=
(
z
(
ln t
ln q−1
)
, . . . , z(j+2)
(
ln t
ln q−1
))T
, ~F (t, zu) =
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 329
= (F0(t, zu), . . . , Fj+2(t, zu))T , где
Fl(t, zu)
df
=
l∑
i=0
n0∑
k=1
αil,k(t)z
(i)
(
ln (t− r0,k)
ln q−1
)
+
l+1∑
i=1
n0∑
k=1
χil,k(t)z
(i)
(
ln (t− θl+1 (t, r0,k))
ln q−1
)
+
+
l+1∑
i=0
n1∑
k=1
βil,k(t)z
(i)
(
ln(t− r1,k)
ln q−1
)
+
l+1∑
i=0
m1∑
k=1
ηil,k(t)z
(i)
(
ln t
ln q−1
−
ln q−11,k
ln q−1
)
+
+
l+1∑
i=0
ρil(t)z
(i)
(
ln t
ln q−1
)
.
В этих обозначениях условия склейки примут вид C~z
(
ln t0
ln q−1
− 1
)
= C~z
(
ln t0
ln q−1
)
+
+
1
t0
~F (t0, zu) , где C df
=
1 0 · · · 0
∗ 1
ln q−1
. . .
...
...
. . . . . . 0
∗ · · · ∗ 1
lnj+2 q−1
— постоянная нижняя треугольная
матрица с ненулевыми элементами на главной диагонали, или
~z
(
ln t0
ln q−1
− 1
)
= ~z
(
ln t0
ln q−1
)
+
1
t0
C−1 ~F (t0, zu). (10)
Теперь потребуем, чтобы полином H(λ) совпадал с полиномом ψ(λ) и (N − 1)-й его
производной в каждой точке uτ−u0, где uτ принимает значения всех аргументов функции
z(u) и ее производных в равенстве (10). Если некоторые из этих аргументов совпадают,
то мы суммируем количество условий равенства полиномов и их производных во всех
совпавших точках, т. е. если θl(t0, r0,k) = θi(t0, r0,s), то в точке
ln (t0 − θl(t0, r0,k))
ln q−1
− ln t0
ln q−1
полином H(λ) совпадает с полиномом ψ(λ) и (2N − 1)-й его производной.
Таким образом, количество условий Эрмита для H(λ) остается неизменным и рав-
ным ((j + 4)n0 + n1 + m1 + 2)N. Выбор достаточно большого N ≥ j + 4 позволяет
утверждать сколь угодно малую равномерную на отрезке
[
− ln q−1c
ln q−1
, 0
]
близость поли-
номов H(λ) и ψ(λ) вместе с производными до (j + 3)-го порядка включительно. Бо-
лее того, эта близость не зависит от расположения запаздываний в данный момент t0.
Полином G(λ) строится по тем же условиям Эрмита, что и H(λ), за исключением точ-
ки −1, где значения G(λ) и его производных до (j + 2)-го порядка включительно уже
не совпадают с полиномом ψ(λ) и его производными, а задаются правой частью равен-
ства (10), где вместо функций z(i)(u) используются функции ψ(i)(u − u0), т. е. величи-
ной ~ψ(0) +
1
t0
C−1 ~F (t0, ψu−u0). Отметим, что неоднородность ~F (t0, ψu−u0) ограничена, что
дает возможность увеличением t0 сделать сумму ~ψ(0) +
1
t0
C−1 ~F (t0, ψu−u0) сколь угодно
близкой к величине ~ψ(0) = ~ψ(−1), т. е. изменение (j + 3)-х условий Эрмита полинома
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
330 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
H(λ) в точке −1 для полинома G(λ) минимально и зависит только от величины t0. Эти
изменения
1
t0
C−1 ~F (t0, ψu−u0) будут касаться коэффициентов перед полиномами Hik(λ) в
явной формуле полинома Эрмита, которые соответствуют точке −1 и производным от
нулевого до (j + 2)-го порядка включительно [16, с. 169]. Полиномы Hik(λ) существен-
но зависят от расположения узлов интерполирования uτ − u0 и от того, совпадают они
или нет. С ростом t0 это расположение будет меняться. Но во всех случаях расположения
запаздываний коэффициенты полинома Hik(λ) стремятся к коэффициентам некоторо-
го предельного полинома при t0 → +∞, а следовательно, полиномы Hik(λ) и их произ-
водные ограничены на отрезке
[
− ln q−1c
ln q−1
, 0
]
некоторой константой для всех t0.
Таким образом, так как изменения коэффициентов перед Hik(λ) в полиноме G(λ)
относительно исходных значений в полиноме H(λ) равны
1
t0
C−1 ~F (t0, ψu−u0) и стремят-
ся к нулю при t0 → +∞, то равномерная близость полиномов G(u − u0), H(u − u0) и
их производных до (j + 2)-го порядка включительно будет иметь место при достаточно
больших t0 и любых расположениях запаздываний на отрезке
[
u0 −
ln q−1c
ln q−1
, u0
]
.
Случай q = q1,k, 1 ≤ k ≤ m1, требует лишь очень незначительных поправок в изло-
женных выше рассуждениях.
Если p
(∑n0
j=1 aj
)−1
> 0, то функциональное уравнение для y(t) имеет вид y(t) =
= −y(qt) + g(t). После замены переменных y(t) = z
(
ln t
ln q−1
)
получим уравнение
z(u) = −z(u− 1) + g
(
eu ln q
−1
)
= z(u− 2)− g
(
e(u−1) ln q
−1
)
+
+ g
(
eu ln q
−1
)
df
= z(u− 2) + w(u), u ≥ u0 + 1.
Как и раньше |g(t)| ≤ 1
t
W (T, z0), следовательно,
|w(u)| ≤
∣∣∣g (e(u−1) ln q−1
)∣∣∣+
∣∣∣g (eu ln q−1
)∣∣∣ ≤ (qu−1 + qu
)
W (T, z0).
Используя равенство z(u)− z(u− 2) = w(u) и мажоранту для |w(u)|, оцениваем разность
|z(u+ 2m)− z(u+ 2n)| ≤ |z(u+ 2m)− z(u+ 2m− 2)|+ . . .+ |z(u+ 2n+ 2)− z(u+ 2n)|=
= |w(u+ 2m)|+ . . .+ |w(u+ 2n+ 2)| ≤
≤
(
qu+2m + . . .+ qu+2n+2
) (
q−1 + 1
)
W (T, z0) ≤
qu+1+2n
1− q
W (T, z0).
Отсюда следует фундаментальность последовательности z(u+2n), существование преде-
ла limn→+∞ z(u+ 2n) =df ϕ(u) и неравенство |z(u)−ϕ(u)| ≤ qu+1
1−q W (T, z0), u ≥
ln t0
ln q−1
− 1.
Очевидно, что ϕ(u) — периодическая функция с периодом 2, ее непрерывность следует
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 331
из ограниченности z′(u), а из равенства z(u) = −z(u−1)+g
(
eu ln q
−1
)
вытекает тождество
ϕ(u) ≡ −ϕ(u− 1). Запишем последнее неравенство в развернутом виде
|z(u)− ϕ(u)| ≤ quD1(T ) max
sup
s∈
[
ln r(t0)
ln q−1 ,
ln t0
ln q−1
] |z(s)|, . . .
. . . , sup
s∈
[
ln r(t0)
ln q−1 ,
ln t0
ln q−1
]
∣∣∣z(j+2)(s)
∣∣∣
, u ≥ ln t0
ln q−1
− 1,
где D1(T )
df
=D(T )
q
1− q
. Дальнейшие рассуждения аналогичны предыдущим для случая
p
(∑n0
j=1 aj
)−1
< 0 с небольшим изменением. А именно, предельная непрерывная перио-
дическая функция удовлетворяет тождеству ϕz(u) = −ϕz(u − 1), и для доказательства
полноты множества предельных периодических функций в пространстве непрерывных
периодических функций, удовлетворяющих равенству ϕ(u) ≡ −ϕ(u − 1), необходимо в
качестве тригонометрического полинома ψ(u) использовать среднее по Чезаро частич-
ных сумм ряда Фурье приближаемой периодической функции. Такой тригонометриче-
ский полином будет иметь то же свойство ψ(u) ≡ −ψ(u− 1).
Теорема 3 доказана.
Замечание. В приведенных рассуждениях существенную роль играет величина t0, ко-
торая предполагается достаточно большой. Возникает естественный вопрос о продолже-
нии результата влево до фиксированной величины на положительной полуоси. В случае,
когда наименьшее запаздывание содержится в производной x′(qct), продолжение реше-
ния дифференциального уравнения влево не составляет труда. Если мы рассматриваем
дифференциальное уравнение не нейтрального типа, т. е. в уравнении нет производных
с запаздыванием, то можно использовать рассуждения де Брейна [15]. Во-первых, необ-
ходимо показать, что в окрестности данной непрерывной функции, заданной на неко-
тором начальном отрезке, можно построить непрерывно дифференцируемую функцию,
которая будет удовлетворять дифференциальному уравнению, и таким образом может
быть непрерывно продолжена влево на некоторую положительную величину посред-
ством дифференциального (в данном случае функционального) уравнения. Во-вторых,
используя элементарные свойства решений линейного дифференциально-функциональ-
ного уравнения с постоянными коэффициентами, можно легко показать на основе ре-
зультатов первого пункта, что для любого отрезка [qct∗, t∗] и любой заданной на нем не-
прерывной функции можно построить решение дифференциального уравнения, начина-
ющееся в любой другой точке полуоси t1 < t∗ и попадающее на отрезке [qct∗, t∗] в сколь
угодно малую окрестность данной непрерывной функции. В-третьих, если для данной
периодической функции ϕ(u) уже построено решение z(u), предельная периодическая
функция которого на начальном отрезке [u0 − 1, u0] попадает в заданную окрестность
ϕ(u), необходимо непрерывно продолжить решение z(u) влево посредством дифферен-
циального (функционального) уравнения на максимально возможную длину, исходя из
степени гладкости решения z(u) на начальном отрезке и количества условий склейки, ко-
торым это решение и его производные удовлетворяют. Обозначим левую границу про-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
332 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
должения решения z(u) символом ue ≤ u0 −
ln q−1c
ln q−1
. В-четвертых, на основе результа-
тов второго пункта можно утверждать существование решения z1(u), которое начинает-
ся в любой точке u1 ≤ ue и попадает в сколь угодно малую окрестность решения z(u)
на отрезке
[
ue, ue +
ln q−1c
ln q−1
]
. Близость решений z1(u) и z(u) на отрезке
[
ue, ue +
ln q−1c
ln q−1
]
означает близость решений и их производных на отрезке
[
u0 −
ln q−1c
ln q−1
, u0
]
. Следователь-
но, предельная функцияϕz1(u) решения z1(u) будет сколь угодно близкой к данной перио-
дической функции ϕ(u).
Возникает еще один естественный вопрос. Если предельная периодическая функция
решения тождественно равна нулю, будет ли само решение тождественно равным нулю?
В общем случае это не так. Приведем контрпример.
Пример 2. Для уравнения x′(t) = ax(t) + bx(qt) + cx′(qt), где {a, b, c} ⊂ R, 0 < q < 1,
t ∈ (0,+∞), предварительно заменив t на q−1t и записав уравнение с помощью фор-
мулы вариации произвольных постоянных в интегральной форме, легко доказать с по-
мощью отображения сжатия следующий факт. Если
b
c
> 0 и 2
∣∣∣q
c
∣∣∣ +
∣∣∣a
b
+
q
c
∣∣∣ < 1, то
x(t) =
∑+∞
k=0 xke
− b
c
q−kt, где xk =
ac+ bq−k+1
bc (q−k − 1)
xk−1, k ≥ 1, x0 произвольно, будет единст-
венным, ненулевым и ограниченным на отрезке [1,+∞) решением этого уравнения. Это
решение не имеет нулей на интервале (0,+∞).
Рассмотрим неоднородное уравнение
x′(t) =
n0∑
k=1
akx(t− r0,k) +
n1∑
k=1
bkx
′(t− r1,k) +
m0∑
k=1
pkx(q0,kt) +
m1∑
k=1
hkx
′(q1,kt)+
+ f1
(
x(t− r0,k), x′(t− r1,k), x(q0,kt), x
′(q1,kt)
)
, (11)
где {ak, bk, pk, hk} ⊂ R, r0,k ≥ 0, r1,k > 0, 0 < q0,k, q1,k < 1, f1 : Rn0+n1+m0+m1 → R, x(t−
−r0,k) = (x(t− r0,1), . . . , x(t− r0, n0)) , x′(t−r1,k) = (x′(t− r1,1), . . . , x′(t− r1,n1)) , x(q0,kt) =
= (x(q0,1t), . . . , x(q0,m0t)) и x′(q1,kt) = (x′(q1,1t), . . . , x
′(q1,m1t)) .
Обозначим фундаментальное решение разностного уравнения z(t) =
∑n1
k=1 bkz(t −
−r1,k) символом Z(t). Заметим, что если α0 < 0, то это уравнение является асимпто-
тически устойчивым.
Теорема 4. Пусть:
1) α0 < 0, β < 0 и r(t0) > 0;
2) параметры v ∈ R и j ∈ {0, 1, 2, . . .} удовлетворяют неравенствам
β < v < 0,
m0∑
k=1
|pk|qv+j0,k
+∞∫
0
|X(s)| ds+
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k +
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k var
s∈[0,+∞)
X(s) < 1,
(
var
s∈[0,+∞)
Z(s) + 1
) m1∑
k=1
|hk|qv+j1,k < 1;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 333
3) функция f1 является непрерывно дифференцируемой j + 1 раз в окрестности на-
чала координат и равна нулю в начале координат вместе со всеми частными производ-
ными 1-го порядка.
Тогда существуют константы 0 < δ < σ < +∞ такие, что для j + 1 раз не-
прерывно дифференцируемых решений x(t) уравнения (11), удовлетворяющих условию∣∣x(m)(θ)
∣∣ ≤ δ, θ ∈ [r(t0), t0], m = 0, j + 1, имеет место оценка
max
{
|x(t)|,
∣∣x′(t)∣∣ , . . . , ∣∣∣x(j+1)(t)
∣∣∣} ≤ σtv
для любого t ∈ [r(t0),+∞).
Доказательство. В дальнейшем будем использовать некоторые обозначения и рас-
суждения из доказательства теоремы 1 без повторных пояснений. Последовательно диф-
ференцируя левую и правую части уравнения (11) j раз, получаем j + 1 уравнение
x(m+1)(t) =
n0∑
k=1
akx
(m)(t− r0,k) +
n1∑
k=1
bkx
(m+1)(t− r1,k) +
m0∑
k=1
pkq
m
0,kx
(m)(q0,kt)+
+
m1∑
k=1
hkq
m
1,kx
(m+1)(q1,kt) + fm+1
(
x(t− r0,k), . . .
. . . , x(m)(t− r0,k), x′(t− r1,k), . . . , x(m+1)(t− r1,k), x(q0,kt), . . .
. . . , x(m)(q0,kt), x
′(q1,kt), . . . , x
(m+1)(q1,kt)
)
, m = 0, j.
Из третьего условия теоремы следует, что все функции fm, m = 1, j + 1, непрерывно
дифференцируемы по всем своим аргументам и равны нулю вместе со всеми своими част-
ными производными 1-го порядка в начале координат.
Выполняя замену переменных x(t) = tvy(t), получаем уравнения
y(m+1)(t) =
n0∑
k=1
aky
(m)(t− r0,k) +
n1∑
k=1
bky
(m+1)(t− r1,k) +
m0∑
k=1
pkq
v+m
0,k y(m)(q0,kt)+
+
m1∑
k=1
hkq
v+m
1,k y(m+1)(q1,kt) + Fm+1
(
t, v, y(t− r0,k), . . .
. . . , y(m)(t− r0,k), y′(t− r1,k), . . . , y(m+1)(t− r1,k), y(q0,kt), . . .
. . . , y(m)(q0,kt), y
′(q1,kt), . . . , y
(m+1)(q1,kt)
)
, m = 0, j,
где Fi — некоторые непрерывно дифференцируемые по всем своим аргументам функ-
ции. Для краткости обозначим (m + 1)(n0 + n1 + m0 + m1)
df
=Nm. Принимая во внима-
ние условия теоремы и вид функций Fi, можно показать, что для любых t ∈ [t0,+∞) и
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
334 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
{zi, ui, i = 1, Nm} ⊂ R : max
{
|zi|, |ui|, i = 1, Nm
}
≤ σ выполняется неравенство
|Fm+1(t, v, z1, . . . , zNm)− Fm+1(t, v, u1, . . . , uNm)| ≤ lm+1(t0, σ)
Nm∑
i=1
|zi − ui|, (12)
где lm+1(t0, σ) → 0 при t0 → +∞, σ → 0, m = 0, j.
Запишем уравнение для y(m)(t), m = 0, j − 1, в виде
y(m)(t) = − 1∑n0
k=1 ak
m0∑
k=1
pkq
v+m
0,k y(m)(q0,kt)−
1∑n0
k=1 ak
(
n0∑
k=1
ak
(
y(m)(t− r0,k)− y(m)(t)
)
+
+
n1∑
k=1
bky
(m+1)(t− r1,k) +
m1∑
k=1
hkq
v+m
1,k y(m+1)(q1,kt)− y(m+1)(t)
)
−
− 1∑n0
k=1 ak
Fm+1
(
t, v, y(t− r0,k), . . . , y(m)(t− r0,k), y′(t− r1,k), . . .
. . . , y(m+1)(t− r1,k), y(q0,kt), . . . , y
(m)(q0,kt), y
′(q1,kt), . . . , y
(m+1)(q1,kt)
)
.
Записав с помощью теоремы Лагранжа разность y(m)(t − r0,k) − y(m)(t) = −y(m+1)(t −
−θm(t, r0,k))r0,k, 0 < θm(t, r0,k) < r0,k, окончательно получим
y(m)(t) = − 1∑n0
k=1 ak
m0∑
k=1
pkq
v+m
0,k y(m)(q0,kt)−
− 1∑n0
k=1 ak
(
−
n0∑
k=1
aky
(m+1)(t− θm(t, r0,k))r0,k +
+
n1∑
k=1
bky
(m+1)(t− r1,k) +
m1∑
k=1
hkq
v+m
1,k y(m+1)(q1,kt)− y(m+1)(t)
)
−
− 1∑n0
k=1 ak
Fm+1
(
t, v, y(t− r0,k), . . . , y(m)(t− r0,k), y′(t− r1,k), . . .
. . . , y(m+1)(t− r1,k), y(q0,kt), . . . , y
(m)(q0,kt), y
′(q1,kt), . . .
. . . , y(m+1)(q1,kt)
)
df
=− 1∑n0
j=1 aj
m0∑
k=1
pkq
v+m
0,k y(m)(q0,kt) + gm(t), t ≥ t0. (13)
Дифференциальное уравнение для функции y(j)(t), m = j, запишем в интегральной
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 335
форме
y(j)(t) = X(t− t0)
(
y(j)(t0)−
n1∑
k=1
bky
(j)(t0 − r1,k)
)
+
+
n0∑
k=1
ak
t0∫
t0−r0,k
X(t− θ − r0,k)y(j)(θ)dθ −
n1∑
k=1
bk
t0∫
t0−r1,k
y(j)(θ)dX(t− θ − r1,k)−
−
m1∑
k=1
hkq
v+j−1
1,k X(t− t0)y(j)(q1,kt0) +
m0∑
k=1
pkq
v+j
0,k
t∫
t0
X(t− s)y(j)(q0,ks)ds+
+
m1∑
k=1
hkq
v+j−1
1,k y(j)(q1,kt)−
m1∑
k=1
hkq
v+j−1
1,k
t∫
t0
y(j)(q1,ks)dX(t− s)+
+
t∫
t0
X(t− s)Fj+1
(
s, v, y(s− r0,k), . . . , y(j)(s− r0,k), y′(s− r1,k), . . .
. . . , y(j+1)(s− r1,k), y(q0,ks), . . . , y
(j)(q0,ks), y
′(q1,ks), . . . , y
(j+1)(q1,ks)
)
ds, t ≥ t0.
(14)
Функциональное уравнение для функции y(j+1)(t) записываем в сокращенном виде
y(j+1)(t) =
n0∑
k=1
aky
(j)(t− r0,k) +
n1∑
k=1
bky
(j+1)(t− r1,k) +
m0∑
k=1
pkq
v+j
0,k y
(j)(q0,kt)+
+
m1∑
k=1
hkq
v+j
1,k y
(j+1)(q1,kt) + Fj+1
(
t, v, y(t− r0,k), . . . , y(j)(t− r0,k), y′(t− r1,k), . . .
. . . , y(j+1)(t− r1,k), y(q0,kt), . . . , y
(j)(q0,kt), y
′(q1,kt), . . .
. . . , y(j+1)(q1,kt)
)
df
=
n1∑
k=1
bky
(j+1)(t− r1,k) + gj+1(t).
Отсюда для функции y(j+1)(t) получаем равенство
y(j+1)(t) =− b1
t0∫
t0−r1,1
[dθZ(t− θ − r1,1)] y(j+1)(θ)− . . .
. . .− bn1
t0∫
t0−r1,n1
[dθZ (t− θ − r1,n1)] y(j+1)(θ)−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
336 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
−
t∫
t0
[dsZ(t− s)]gj+1(s) + gj+1(t), t ≥ t0. (15)
Положим
max
{
m0∑
k=1
|pk|qv+j0,k
+∞∫
0
|X(s)|ds+
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k +
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k var
s∈[0,+∞)
X(s);
(
var
s∈[0,+∞)
Z(s) + 1
) m1∑
k=1
|hk|qv+j1,k
}
= 1− ε < 1
и выберем числа cm, m = 0, j + 1, так, чтобы выполнялись неравенства
cj
df
= 1 < cj−1 < cj−2 < . . . < c0 < cj+1 < +∞,(
var
s∈[0,+∞)
Zv+m(s) + 1
)
1∣∣∑n0
k=1 ak
∣∣
(
n0∑
k=1
|ak|r0,k +
n1∑
k=1
|bk|+
m1∑
k=1
|hk|qv+m1,k + 1
)
×
×cm+1
cm
≤ 1
4
при m = 0, j − 1,
(16)(
var
s∈[0,+∞)
Z(s) + 1
)( n0∑
k=1
|ak|+
m0∑
k=1
|pk|qv+j0,k
)
cj
cj+1
≤ ε
4
.
Определим величины t0 > 0 и σ > 0 так, чтобы выполнялись неравенства(
var
s∈[0,+∞)
Zv+m(s) + 1
)
1∣∣∑n0
k=1 ak
∣∣ lm+1 (t0, cj+1σ)
(
(n0 +m0)(c0 + . . .+ cm) +
+ (n1 +m1)(c1 + . . .+ cm+1)
) 1
cm
≤ 1
4
при m = 0, j − 1,
+∞∫
0
|X(s)|ds lj+1(t0, cj+1σ)((n0 +m0)(c0 + . . .+ cj)+
+ (n1 +m1)(c1 + . . .+ cj+1))
1
cj
≤ ε
3
,
(17)(
var
s∈[0,+∞)
Z(s) + 1
)
lj+1 (t0, cj+1σ) ((n0 +m0)(c0 + . . .+ cj)+
+ (n1 +m1)(c1 + . . .+ cj+1))
1
cj+1
≤ ε
4
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 337
Пусть
∣∣y(m)(θ)
∣∣ ≤ δ для любого θ ∈ [r(t0), t0], m = 0, j + 1, где δ выберем меньшим σ и
таким, чтобы выполнялись неравенства
1∣∣∣∑n0
j=1 aj
∣∣∣
m0∑
k=1
|pk|qv+m0,k sup
t≥t0
var
s∈[ln t−ln t0+ln q,ln t−ln t0]
Zv+m(s)
δ
σ
≤ 1
4
при m = 0, j − 1,
(
sup
s≥0
|X(s)|
(
1 +
n1∑
k=1
|bk|
)
+
n0∑
k=1
|ak| sup
t≥t0
t0∫
t0−r0,k
|X(t− θ − r0,k)|dθ +
+
n1∑
k=1
|bk| sup
t≥t0
var
s∈[t−t0−r1,k,t−t0]
X(s) +
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k sup
s≥0
|X(s)|
)
δ
σ
≤ ε
3
, (18)
(|b1|+ . . .+ |bn1 |) sup
t≥t0
var
s∈[t−t0−rmax,t−t0]
Z(s)
δ
σ
≤ ε
4
.
Следовательно, для некоторого T > t0 имеют место неравенства∣∣∣y(m)(t)
∣∣∣ < cmσ ∀t ∈ [r(t0), T ), m = 0, j + 1. (19)
Если T = +∞, то нужное утверждение доказано. Предположим, что это не так, и пусть
T — конечный и первый момент времени, когда хотя бы одно из неравенств (19) стано-
вится равенством.
С учетом (12), (14) и (19) оценим
∣∣y(j)(t)∣∣ на отрезке [t0, T ):
∣∣∣y(j)(t)∣∣∣ ≤ [( sup
s≥0
|X(s)|
(
1 +
n1∑
k=1
|bk|
)
+
n0∑
k=1
|ak| sup
t≥t0
t0∫
t0−r0,k
|X(t− θ − r0,k)|dθ +
+
n1∑
k=1
|bk| sup
t≥t0
var
s∈[t−t0−r1,k,t−t0]
X(s) +
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k sup
s≥0
|X(s)|
)
δ
σ
+
+
m0∑
k=1
|pk|qv+j0,k
+∞∫
0
|X(s)|ds+
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k +
m1∑
k=1
|hk|qv+j−11,k var
s∈[0,+∞)
X(s)+
+
+∞∫
0
|X(s)|ds lj+1(t0, cj+1σ)
(
(n0 +m0)(c0 + . . .+ cj) +
+ (n1 +m1)(c1 + . . .+ cj+1)
) 1
cj
]
cjσ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
338 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Из (16) – (18) и последнего неравенства окончательно получаем
∣∣y(j)(t)∣∣≤ (1− ε
3
)
cjσ для
любого t ∈ [t0, T ). В силу (15) для функции y(j+1)(t) имеем∣∣∣y(j+1)(t)
∣∣∣ ≤ (|b1|+ . . .+ |bn1 |) sup
t≥t0
var
s∈[t−t0−rmax,t−t0]
Z(s)δ+
+
(
var
s∈[0,+∞)
Z(s) + 1
)
sup
s∈[t0,t]
|gj+1(s)|, t ≥ t0.
Принимая во внимание (12) и (19), оцениваем |gj+1(t)| на отрезке [t0, T ):
|gj+1(t)| ≤
(
n0∑
k=1
|ak|+
m0∑
k=1
|pk|qv+j0,k
)
cjσ +
m1∑
k=1
|hk|qv+j1,k cj+1σ+
+ lj+1(t0, cj+1σ)
(
(n0 +m0)(c0 + . . .+ cj) + (n1 +m1)(c1 + . . .+ cj+1)
)
σ.
Тогда для
∣∣y(j+1)(t)
∣∣ находим
∣∣∣y(j+1)(t)
∣∣∣ ≤ [ (|b1|+ . . .+ |bn1 |) sup
t≥t0
var
s∈[t−t0−rmax,t−t0]
Z(s)
δ
σ
+
+
(
var
s∈[0,+∞)
Z(s) + 1
)( n0∑
k=1
|ak|+
m0∑
k=1
|pk|qv+j0,k
)
cj
cj+1
+
+
(
var
s∈[0,+∞)
Z(s) + 1
) m1∑
k=1
|hk|qv+j1,k +
(
var
s∈[0,+∞)
Z(s) + 1
)
lj+1(t0, cj+1σ)×
×
(
(n0 +m0)(c0 + . . .+ cj) + (n1 +m1)(c1 + . . .+ cj+1)
) 1
cj+1
]
cj+1σ.
Следовательно, в силу (16) –(18) окончательно получаем
∣∣y(j+1)(t)
∣∣ ≤ (
1− ε
4
)
cj+1σ для
любого t ∈ [t0, T ).
Обозначим q df
= min{q0,k}.С помощью рассуждений, использованных при доказательст-
ве теоремы 1, из уравнения (13) получаем оценку для функции y(m)(t):
∣∣∣y(m)(t)
∣∣∣ ≤ 1∣∣∣∑n0
j=1 aj
∣∣∣
m0∑
k=1
|pk|qv+m0,k sup
t≥t0
var
s∈[ln t−ln t0+ln q,ln t−ln t0]
Zv+m(s)δ+
+
(
var
s∈[0,+∞)
Zv+m(s) + 1
)
sup
s∈[t0,t]
|gm(s)|.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 339
Учитывая (12) и (19), оцениваем |gm(t)| на отрезке [t0, T ):
|gm(t)| ≤ 1∣∣∑n0
k=1 ak
∣∣
(
n0∑
k=1
|ak|r0,k +
n1∑
k=1
|bk|+
m1∑
k=1
|hk|qv+m1,k + 1
)
cm+1σ +
1∣∣∑n0
k=1 ak
∣∣×
× lm+1 (t0, cj+1σ)
(
(n0 +m0)(c0 + . . .+ cm) + (n1 +m1)(c1 + . . .+ cm+1)
)
σ.
Таким образом,
∣∣∣y(m)(t)
∣∣∣ ≤ [ 1∣∣∣∑n0
j=1 aj
∣∣∣
m0∑
k=1
|pk|qv+m0,k sup
t≥t0
var
s∈[ln t−ln t0+ln q,ln t−ln t0]
Zv+m(s)
δ
σ
+
+
(
var
s∈[0,+∞)
Zv+m(s) + 1
)
1∣∣∑n0
k=1 ak
∣∣×
×
(
n0∑
k=1
|ak|r0,k +
n1∑
k=1
|bk|+
m1∑
k=1
|hk|qv+m1,k + 1
)
cm+1
cm
+
+
(
var
s∈[0,+∞)
Zv+m(s) + 1
)
1∣∣∑n0
k=1 ak
∣∣ lm+1(t0, cj+1σ)×
×
(
(n0 +m0)(c0 + . . .+ cm) + (n1 +m1)(c1 + . . .+ cm+1)
) 1
cm
]
cmσ.
Отсюда и из (16) – (18) окончательно получаем
∣∣y(m)(t)
∣∣ ≤ 3
4
cmσ для любого t ∈ [t0, T ).
Итак, мы показали, что
∣∣y(m)(T )
∣∣ < cmσ, m = 0, j + 1. Но это противоречит пред-
положению относительно T. Поэтому T = +∞ и
∣∣y(m)(t)
∣∣ < cmσ ∀t ∈ [r(t0),+∞),
m = 0, j + 1.
В приведенных рассуждениях t0 является переменной величиной, а по условию тео-
ремы эта величина должна быть фиксирована. Однако с помощью рассуждений, анало-
гичных изложенным выше, можно показать, что для любых t1 > 0, и η > 0 существует
константа 0 < γ < η такая, что из условия
∣∣x(m)(θ)
∣∣ ≤ γ ∀θ ∈ [r(t1), t1], m = 0, j + 1,
следует оценка
∣∣x(m)(t)
∣∣ ≤ η ∀t ∈ [r(t1),+∞), m = 0, j + 1.
Теорема 4 доказана.
Рассмотрим линейное уравнение без постоянных запаздываний и с одним линейным
запаздыванием у искомой функции
x′(t) = ax(t) + bx(qt) + c1x
′(q1t) + . . .+ cnx
′(qnt), (20)
где {a, b, ci} ⊂ R, 0 < qi < 1.
Теорема 5. Пусть:
1) a < 0, b 6= 0, M ∈ N
⋃
{0} и r(t0)
df
= min{qit0} > 0;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
340 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
2) параметры v
df
=
1
ln q−1
ln
∣∣∣∣ ba
∣∣∣∣ и j ∈ {0, 1, 2, . . .} удовлетворяют неравенству
∣∣∣∣ ba
∣∣∣∣ qv+j + 2
n∑
i=1
|ci|qv+j−1i < 1.
Тогда дляM + j+2 раза непрерывно дифференцируемых решений x(t) уравнения (20)
имеет место представление
x(t) = tv1f0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−1f1
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−2f2
(
ln t
ln q−1
)
+ . . .
. . .+ tv1−M+1fM−1
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−MfM
(
ln t
ln q−1
)
+
+ tv1−M−1dM+1
(
ln t
ln q−1
)
, t ≥ r(t0),
где параметр v1 определяется из равенства qv1 = −a
b
, fp(u), 0 ≤ p ≤ M, — непрерыв-
ные периодические функции с периодом 1 такие, что f0(u) ∈ CM (R) и
fp+1(u) =
qp+1
a (qp+1 − 1)
[
(v1 − p)fp(u) +
1
ln q−1
f ′p(u)−
n∑
i=1
ciq
v1−(p+1)
i ×
×
(
(v1 − p)fp
(
u−
ln q−1i
ln q−1
)
+
1
ln q−1
f ′p
(
u−
ln q−1i
ln q−1
))]
, 0 ≤ p ≤ M − 1,
dM+1(u) — ограниченная функция.
Доказательство. Из условия данной теоремы и теоремы 2 для всех 0 ≤ k ≤ M следу-
ют неравенства
∣∣∣x(k)(t)∣∣∣ ≤ K(t0)t
v−k max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(k)(s)∣∣∣ , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(k+1)(s)
∣∣∣ , . . .
. . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(k+j)(s)∣∣∣} , t ≥ r(t0),
а из теоремы 3 — неравенства∣∣∣∣t−(v1−k)x(k)(t)− fk,0( ln t
ln q−1
)∣∣∣∣ ≤ K(t0)
1
t
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(k)(s)∣∣∣ , . . .
. . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(k+j+1)(s)
∣∣∣} , t ≥ r(t0),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 341
гдеK(t0) — некоторая константа, fk,0(u) — непрерывные периодические функции с перио-
дом 1.
Изучим свойства предельных функций fk,0(u), 0 ≤ k ≤ M.С этой целью для производ-
ных x(k)(t) выполним замены переменных, аналогичные той, которая была выполнена в
доказательстве теоремы 3 для решения x(t) уравнения (20): x(k)(t) = tv1−kzk
(
ln t
ln q−1
)
.
Отсюда получаем тождества
z′k
(
ln t
ln q−1
)
= ln
(
q−1
)(
−(v1 − k)zk
(
ln t
ln q−1
)
+ zk+1
(
ln t
ln q−1
))
, 0 ≤ k ≤ M − 1,
или z′k(u) = ln
(
q−1
)
(−(v1 − k)zk(u) + zk+1(u)). Из теоремы 3 следует
z′k(u+ n) → ln
(
q−1
)
(−(v1 − k)fk,0(u) + fk+1,0(u))
df
=ψk(u) ∈ C(R), n → +∞.
С помощью теоремы Лагранжа запишем тождество
Re zk(u2 + n)− Re zk(u1 + n) =
= Re z′k(u1 + θ(n)(u2 − u1) + n)(u2 − u1), 0 < θ(n) < 1. (21)
Из ограниченной последовательности θ(n) выберем сходящуюся подпоследовательность
θ(n(m)) → θ∗ ∈ [0, 1], m → +∞, и запишем равенство
Re z′k(u1 + θ(n(m))(u2 − u1) + n(m))− Reψk(u1 + θ∗(u2 − u1)) =
= Re z′k(u1 + θ(n(m))(u2 − u1) + n(m))− Reψk(u1 + θ(n(m))(u2 − u1) + n(m))+
+ Reψk(u1 + θ(n(m))(u2 − u1))− Reψk(u1 + θ∗(u2 − u1)).
Поскольку согласно теореме 3 имеет место оценка∣∣Re z′k(u)− Reψk(u)
∣∣ ≤ ∣∣z′k(u)− ψk(u)
∣∣ =
∣∣ln (q−1) (−(v1 − k) (zk(u)− fk,0(u)) +
+ (zk+1(u)− fk+1,0(u)))| ≤ quLk,
где Lk — некоторая константа и ψk(u) ∈ C(R), из последнего равенства следует
Re z′k(u1 + θ(n(m))(u2 − u1) + n(m)) → Reψk(u1 + θ∗(u2 − u1)), m → +∞.
Переходя к пределу в формуле (21) при n(m) → +∞, получаем
Re fk,0(u2)− Re fk,0(u1) = Reψk(u1 + θ∗(u2 − u1))(u2 − u1),
т. е.
d
du
Re fk,0(u) = Reψk(u). Аналогично получаем
d
du
Im fk,0(u) = Imψk(u). Отсюда
следует, что f ′k,0(u) = ψk(u) = ln
(
q−1
)
(−(v1 − k)fk,0(u) + fk+1,0(u)) или
fk+1,0(u) = (v1 − k)fk,0(u) +
1
ln q−1
f ′k,0(u). (22)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
342 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
При k = M−1 из последнего равенства следует, что fM−1,0(u) принадлежитC1(R), поэто-
му при k = M − 2 на основании этой же формулы можно утверждать, что fM−2,0(u) при-
надлежитC2(R), и через конечное число шагов получаем fM−k,0(u) ∈ Ck(R), 0 ≤ k ≤ M.
Продифференцируем уравнение (20) k раз:
x(k+1)(t) = ax(k)(t) + bqkx(k)(qt) + c1q
k
1x
(k+1)(q1t) + . . .+ cnq
k
nx
(k+1)(qnt). (23)
Формальное решение полученного уравнения найдем в виде функционального ряда
x(k)(t) = tv1−kfk,0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−k−1fk,1
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−k−2fk,2
(
ln t
ln q−1
)
+
+ tv1−k−3fk,3
(
ln t
ln q−1
)
+ . . . =
+∞∑
p=0
fk,p
(
ln t
ln q−1
)
tv1−k−p, (24)
где fk,p(u+ 1) ≡ fk,p(u), p = 0, 1, 2, . . . . Для этого подставим его в уравнение
x(k+1)(t) =
+∞∑
p=0
(
(v1 − k − p)fk,p
(
ln t
ln q−1
)
+
1
ln q−1
f ′k,p
(
ln t
ln q−1
))
tv1−(k+1)−p =
= a
+∞∑
p=0
fk,p
(
ln t
ln q−1
)
tv1−k−p + bqk
+∞∑
p=0
fk,p
(
ln t
ln q−1
)
qv1−k−ptv1−k−p+
+
n∑
i=1
ciq
k
i
+∞∑
p=0
(
(v1 − k − p) fk,p
(
ln t
ln q−1
−
ln q−1i
ln q−1
)
+
+
1
ln q−1
f ′k,p
(
ln t
ln q−1
−
ln q−1i
ln q−1
))
q
v1−(k+1)−p
i tv1−(k+1)−p.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, с учетом равенства qv1 = −a
b
получаем, что fk,0(u) — произвольная периодическая функция, а последующие коэффи-
циенты определяются рекуррентной формулой
fk,p+1(u) =
qp+1
a (qp+1 − 1)
[
(v1 − k − p)fk,p(u) +
1
ln q−1
f ′k,p(u)−
n∑
i=1
ciq
v1−(p+1)
i ×
×
(
(v1 − k − p)fk,p
(
u−
ln q−1i
ln q−1
)
+
1
ln q−1
f ′k,p
(
u−
ln q−1i
ln q−1
))]
, p ≥ 0. (25)
С другой стороны, при подстановке функционального ряда (24) в дифференциальное
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 343
уравнение (23) получаем функциональный ряд для производной x(k+1)(t):
x(k+1)(t) =
+∞∑
p=0
(
(v1 − k − p)fk,p
(
ln t
ln q−1
)
+
1
ln q−1
f ′k,p
(
ln t
ln q−1
))
tv1−(k+1)−p =
=
+∞∑
p=0
fk+1,p
(
ln t
ln q−1
)
tv1−(k+1)−p.
Согласно (22) равенство
fk+1,p(u) = (v1 − k − p)fk,p(u) +
1
ln q−1
f ′k,p(u) (26)
выполняется при p = 0, 0 ≤ k ≤ M − 1. Предположим, что оно справедливо для некото-
рого p ≥ 0, и рассмотрим коэффициент fk+1,p+1(u) на основании его определения (25):
fk+1,p+1(u) =
qp+1
a (qp+1 − 1)
[
(v1 − (k + 1)− p)fk+1,p(u) +
1
ln q−1
f ′k+1,p(u)−
n∑
i=1
ciq
v1−(p+1)
i ×
×
(
(v1 − (k + 1)− p)fk+1,p
(
u−
ln q−1i
ln q−1
)
+
1
ln q−1
f ′k+1,p
(
u−
ln q−1i
ln q−1
))]
.
Согласно предположению математической индукции, заменив в этом выражении функ-
цию fk+1,p(u) ее выражением (26), после простых алгебраических действий с помощью
формулы (25) получим fk+1,p+1(u) = (v1 − k − (p + 1))fk,p+1(u) +
1
ln q−1
f ′k,p+1(u), т. е.
тождество (26) доказано для всех p ≥ 0.
Заметим, что из условия fk,0(u) ∈ CM−k(R), 0 ≤ k ≤ M, следует определенность
коэффициентов fk,p(u), 0 ≤ p ≤ M − k, в разложении (24).
Из теоремы 3 следует тождество x(M)(t) = fM,0
(
ln t
ln q−1
)
tv1−M+dM,1
(
ln t
ln q−1
)
tv1−M−1,
t ≥ r(t0), где dM,1(u) — ограниченная функция. Предположим, что для некоторого 0 ≤
≤ k ≤ M − 1 выполняется равенство
x(k+1)(t) = tv1−k−1fk+1,0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−k−2fk+1,1
(
ln t
ln q−1
)
+
+ tv1−k−3fk+1,2
(
ln t
ln q−1
)
+ . . .+ tv1−Mfk+1,M−k−1
(
ln t
ln q−1
)
+
+ dk+1,M−k
(
ln t
ln q−1
)
tv1−M−1, t ≥ r(t0), (27)
где dk+1,M−k(u) — ограниченная функция. Согласно теореме 3
x(k)(t) = fk,0
(
ln t
ln q−1
)
tv1−k + dk,1
(
ln t
ln q−1
)
tv1−k−1, t ≥ r(t0),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
344 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
где dk,1(u) — ограниченная функция. Для 1 ≤ p ≤ M − k предположим выполненным
равенство
x(k)(t) = tv1−kfk,0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−k−1fk,1
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−k−2fk,2
(
ln t
ln q−1
)
+ . . .
. . .+ tv1−k−p+1fk,p−1
(
ln t
ln q−1
)
+ dk,p
(
ln t
ln q−1
)
tv1−k−p, t ≥ r(t0), (28)
где dk,p(u) — ограниченная функция. Продифференцируем последнее тождество:
x(k+1)(t) = tv1−k−1
(
(v1 − k)fk,0
(
ln t
ln q−1
)
+
1
ln q−1
f ′k,0
(
ln t
ln q−1
))
+
+ tv1−k−2
(
(v1 − k − 1)fk,1
(
ln t
ln q−1
)
+
1
ln q−1
f ′k,1
(
ln t
ln q−1
))
+ . . .
. . .+ tv1−k−p
(
(v1 − k − p+ 1)fk,p−1
(
ln t
ln q−1
)
+
1
ln q−1
f ′k,p−1
(
ln t
ln q−1
))
+
+ tv1−k−p−1
(
(v1 − k − p)dk,p
(
ln t
ln q−1
)
+
1
ln q−1
d′k,p
(
ln t
ln q−1
))
.
Учитывая формулу (26), последнее выражение записываем следующим образом:
x(k+1)(t) = tv1−k−1fk+1,0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−k−2fk+1,1
(
ln t
ln q−1
)
+ . . .
. . .+ tv1−k−pfk+1,p−1
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−k−p−1×
×
(
(v1 − k − p)dk,p
(
ln t
ln q−1
)
+
1
ln q−1
d′k,p
(
ln t
ln q−1
))
.
Согласно предположению (27) из последнего равенства следует ограниченность суммы
(v1 − k − p) dk,p
(
ln t
ln q−1
)
+
1
ln q−1
d′k,p
(
ln t
ln q−1
)
,
а так как функция dk,p(u) ограничена, то и производная d′k,p(u) является ограниченной
функцией.
Подставляя замену переменных (28) для производной x(k)(t) в уравнение (23), полу-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 345
чаем
dk,p(u) = fk,p(u) +
1
qp − 1
(dk,p(u− 1)− dk,p(u)) + qu
qp
a (qp − 1)
×
×
[
(v1 − k − p)dk,p(u) +
1
ln q−1
d′k,p(u)−
n∑
i=1
ciq
v1−p−1
i ×
×
(
(v1 − k − p)dk,p
(
u−
ln q−1i
ln q−1
)
+
1
ln q−1
d′k,p
(
u−
ln q−1i
ln q−1
))]
,
где u =
ln t
ln q−1
. Определим для краткости записи
gp(u)
df
=
qp
a (qp − 1)
[
(v1 − k − p)dk,p(u) +
1
ln q−1
d′k,p(u)−
n∑
i=1
ciq
v1−p−1
i ×
×
(
(v1 − k − p)dk,p
(
u−
ln q−1i
ln q−1
)
+
1
ln q−1
d′k,p
(
u−
ln q−1i
ln q−1
))]
.
Из ограниченности функций dk,p(u) и d′k,p(u) следует ограниченность функции gp(u). В
новых обозначениях
dk,p(u) = fk,p(u) +
1
qp − 1
(dk,p(u− 1)− dk,p(u)) + qugp(u). (29)
Учитывая периодичность fk,p(u), имеем
dk,p(u+ 1) = fk,p(u) +
1
qp − 1
(dk,p(u)− dk,p(u+ 1)) + qu+1gp(u+ 1).
Вычитая два последних равенства одно из другого, находим
dk,p(u+ 1)− dk,p(u) = q−p(dk,p(u)− dk,p(u− 1)) + qu
qp − 1
qp
(qgp(u+ 1)− gp(u)).
Снова определим для краткости lp(u)
df
=
qp − 1
qp
(qgp(u + 1) − gp(u)). Из ограниченности
функции gp(u) следует ограниченность функции lp(u). В новых обозначениях
dk,p(u+ 1)− dk,p(u) = q−p(dk,p(u)− dk,p(u− 1)) + qulp(u).
Отсюда получаем
dk,p(u+m)−dk,p(u+m− 1) = q−mp
[
dk,p(u)− dk,p(u− 1) + qu
(
qplp(u) +
.+ q2p+1lp(u+ 1) + . . .+ q(m−1)p+m−2lp(u+m− 2)+
+ qmp+m−1lp(u+m− 1)
)]
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
346 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
В полученном равенстве слева содержится ограниченная варианта, а справа — произве-
дение стремящегося к бесконечности множителя q−mp и частичной суммы сходящего ря-
да (функция lp(u) ограничена):
dk,p(u)− dk,p(u− 1) + qu
(
qplp(u) + q2p+1lp(u+ 1) + q3p+2lp(u+ 2) + . . .
. . .+ q(m+1)p+mlp(u+m) + . . .
)
.
Следовательно, сумма ряда равна нулю:
dk,p(u)− dk,p(u− 1) + qu
(
qplp(u) + q2p+1lp(u+ 1) + q3p+2lp(u+ 2) + . . .
. . .+ q(m+1)p+mlp(u+m) + . . .
)
= 0,
или
dk,p(u)− dk,p(u− 1) = −qu
(
qplp(u) + q2p+1lp(u+ 1) + q3p+2lp(u+ 2) + . . .
. . .+ q(m+1)p+mlp(u+m) + . . .
)
.
Определим для краткости
Sp(u)
df
= qplp(u) + q2p+1lp(u+ 1) + q3p+2lp(u+ 2) + . . .+ q(m+1)p+mlp(u+m) + . . . .
Из ограниченности функции lp(u) следует ограниченность суммы Sp(u). В новых обозна-
чениях dk,p(u)− dk,p(u− 1) = −quSp(u). С учетом этой формулы запишем равенство (29)
в виде dk,p(u) = fk,p(u) + qu
(
1
qp − 1
Sp(u) + gp(u)
)
. Определим dk,p+1(u)
df
=
1
qp − 1
Sp(u) +
+gp(u).Функция dk,p+1(u) ограничена. В новых обозначениях dk,p(u) = fk,p(u)+qudk,p+1(u),
и тождество (28) можно записать так:
x(k)(t) = tv1−kfk,0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−k−1fk,1
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−k−2fk,2
(
ln t
ln q−1
)
+ . . .
. . .+ tv1−k−p+1fk,p−1
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−k−pfk,p
(
ln t
ln q−1
)
+
+ tv1−k−p−1dk,p+1
(
ln t
ln q−1
)
, t ≥ r(t0).
Действуя таким образом с индексом p, через конечное число шагов получаем представ-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ . . . 347
ление
x(k)(t) = tv1−kfk,0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−k−1fk,1
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−k−2fk,2
(
ln t
ln q−1
)
+ . . .
. . .+ tv1−M+1fk,M−k−1
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−Mfk,M−k
(
ln t
ln q−1
)
+
+ tv1−M−1dk,M−k+1
(
ln t
ln q−1
)
, t ≥ r(t0),
где dk,M−k+1(u) — ограниченная функция.
На основании полученной формулы для производной x(k)(t), повторяя изложенные
выше рассуждения, можно доказать аналогичное представление для производной x(k−1)(t)
и через конечное число шагов следующее равенство для решения x(t) уравнения (20):
x(t) = tv1f0,0
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−1f0,1
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−2f0,2
(
ln t
ln q−1
)
+ . . .
. . .+ tv1−M+1f0,M−1
(
ln t
ln q−1
)
+ tv1−Mf0,M
(
ln t
ln q−1
)
+
+ tv1−M−1d0,M+1
(
ln t
ln q−1
)
, t ≥ r(t0),
где d0,M+1(u) — ограниченная функция.
Теорема 5 доказана.
Отметим, что формальное решение (24) уравнения (23) при fk,0(u) ≡ const 6= 0 явля-
ется расходящимся степенным рядом на всей полуоси t > 0.
Статья [17] является продолжением и в некотором смысле логическим завершением
этой работы, посвященной уравнению x′(t) = ax(t) + bx(qt) + cx′(qt). Там есть ссылка на
теорему 5 из второго параграфа некоторого препринта, которая тождественна теореме 5
этой статьи.
Литература
1. Kato T., McLeod J. B. The functional-differential equation y′(x) = ay(λx) + by(x) // Bull. Amer. Math.
Soc. — 1971. — 77. — P. 891 – 937.
2. de Bruijn N. G. The difference-differential equation F ′(x) = eαx+βF (x− 1) // I, II, Ned. Akad. Wetensch.
Proc. Ser. A 56-Indag. Math. — 1953. — 15. — P. 449 – 464.
3. Frederickson P. O. Series solutions for certain functional-differential equations // Lect. Notes Math. —
1971. — 243. — P. 249 – 254.
4. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Введение в теорию функциональных уравнений. — Киев: Наук. думка,
1974. — 192 с.
5. Дерфель Г. А. Вероятностный метод исследования одного класса дифференциально-функциональных
уравнений // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, № 10. — С. 1483 – 1491.
6. Полищук В. М., Шарковский А. Н. Представление решений линейных дифференциально-разностных
уравнений нейтрального типа // Дифференц. уравнения. — 1973. — 9, № 9. — С. 1627 – 1645.
7. Frederickson P. O. Global solutions to certain nonlinear functional differential equations // J. Math. Anal.
and Appl. — 1971. — 33. — P. 355 – 358.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
348 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
8. Гребенщиков Б. Г. Об асимптотических свойствах некоторых систем с двумя запаздываниями // Изв.
вузов. Математика. — 2006. — 528, № 5. – С. 27 – 37.
9. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональ-
ных уравнений с линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2007. — 10, № 1. —
С. 144 – 160.
10. Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональных уравне-
ний с линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2008. — 11, № 2. — С. 147 – 150.
11. Гребенщиков Б. Г., Рожков В. И. Асимптотическое поведение решения одной стационарной системы
с запаздыванием // Дифференц. уравнения. — 1993. — 29, № 5. — С. 751 – 758.
12. Гребенщиков Б. Г., Ложников А. Б. Стабилизация системы, содержащей постоянное и линейное запаз-
дывания // Дифференц. уравнения. — 2004. — 40, № 12. — C. 1587 – 1595.
13. Gumovski I., Mira C. Recurrences and discrete dynamic systems // Lect. Notes Math. — 1980. — 809.
14. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 421 с.
15. de Bruijn N. G. The asymptotically periodic behavior of the solutions of some linear functional equations //
Amer. J. Math. — 1949. — 71, № 2. — P. 313 – 330.
16. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. — М.: Физматгиз, 1962. — Т. 1. — 464 с.
17. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-
функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобра-
зованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2012. — 15, № 4. — С. 466 – 493.
Получено 20.12.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3
|