Узагальнені періодичні розв'язки гіперболічного рівняння другого порядку
Знайдено умови iснування узагальненого (u ∈ L∞) π-перiодичного розв’язку гiперболiчного рiвняння другого порядку.
Gespeichert in:
| Datum: | 1999 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177265 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Узагальнені періодичні розв'язки гіперболічного рівняння другого порядку / С. Г. Хома // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 4. — С. 574-577. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177265 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772652021-02-15T01:26:34Z Узагальнені періодичні розв'язки гіперболічного рівняння другого порядку Хома, С. Г. Знайдено умови iснування узагальненого (u ∈ L∞) π-перiодичного розв’язку гiперболiчного рiвняння другого порядку. The existence conditions of generalised (u ∈ L∞) π-periodical solutions of second-order hyperbolic equation are found. 1999 Article Узагальнені періодичні розв'язки гіперболічного рівняння другого порядку / С. Г. Хома // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 4. — С. 574-577. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177265 517.944 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Знайдено умови iснування узагальненого (u ∈ L∞) π-перiодичного розв’язку гiперболiчного рiвняння другого порядку. |
| format |
Article |
| author |
Хома, С. Г. |
| spellingShingle |
Хома, С. Г. Узагальнені періодичні розв'язки гіперболічного рівняння другого порядку Нелінійні коливання |
| author_facet |
Хома, С. Г. |
| author_sort |
Хома, С. Г. |
| title |
Узагальнені періодичні розв'язки гіперболічного рівняння другого порядку |
| title_short |
Узагальнені періодичні розв'язки гіперболічного рівняння другого порядку |
| title_full |
Узагальнені періодичні розв'язки гіперболічного рівняння другого порядку |
| title_fullStr |
Узагальнені періодичні розв'язки гіперболічного рівняння другого порядку |
| title_full_unstemmed |
Узагальнені періодичні розв'язки гіперболічного рівняння другого порядку |
| title_sort |
узагальнені періодичні розв'язки гіперболічного рівняння другого порядку |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177265 |
| citation_txt |
Узагальнені періодичні розв'язки гіперболічного рівняння другого порядку / С. Г. Хома // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 4. — С. 574-577. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT homasg uzagalʹneníperíodičnírozvâzkigíperbolíčnogorívnânnâdrugogoporâdku |
| first_indexed |
2025-07-15T15:18:17Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:18:17Z |
| _version_ |
1837726641640439808 |
| fulltext |
т. 2 •№ 4 • 1999
УДК 517 . 944
УЗАГАЛЬНЕНI ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ
ГIПЕРБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
С. Г. Хома
Тернопiл. акад. нар. госп-ва,
Україна, 282004, Тернопiль, вул. Львiвська, 11
The existence conditions of generalised (u ∈ L∞) π-periodical solutions of second-order hyperbolic
equation are found.
Знайдено умови iснування узагальненого (u ∈ L∞) π-перiодичного розв’язку гiперболiчного рiв-
няння другого порядку.
Встановлено, що класичний розв’язок крайової перiодичної задачi [1, 2]
utt − uxx = g(x, t), u(0, t) = u(π, t) = 0, (1)
u(x, t+ T ) = u(x, t), 0 ≤ x ≤ π, t ∈ R, (2)
iснує для таких трьох перiодiв i вiдповiдних їм класiв функцiй: T1 = 2πp/q, p — непарне
цiле число, q — парне натуральне число, A1 = {g : g(x, t) = g(π−x, t) = g(x, t+T1)}; T2 =
= 2πp/q, p, q — непарнi числа, A2 = {g : g(x, t) = g(π − x, t + T2/2) = g(x, t + T2)};
T3 = 2πp/q, p — парне цiле число, g — непарне натуральне число, A3 = {g : g(x, t) =
= −g(x, t+ T3/2)}.
Якщо розглянути крайову перiодичну задачу вигляду
vtt − vxx = g1(x, t), v(x, t+ T ) = v(x, t), (3)
v(0, t) = ν1t, v(π, t) = ν2(t), (4)
νi(t+ T ) = νi(t), i = 1, 2, 0 ≤ x ≤ π, t ∈ R, (5)
то замiною змiнних [3]
v(x, t) = u(x, t) + z(x, t), (6)
z(x, t) = ν1(t) +
x
π
(ν2(t)− ν1(t)) , νi(t+ T ) = νi(t), (7)
задача (3) – (5) зводиться до задачi (1), (2), де
574 c© С. Г. Хома, 1999
g(x, t) = g1(x, t) + zxx − ztt ≡
≡ g1(x, t)− ν ′′1 (t) +
x
π
(
ν ′′2 (t)− ν ′′1 (t)
)
. (8)
Виходячи iз зображення (8) функцiї g(x, t), переконуємося, що g /∈ Aj , j = 1, 2. Дове-
демо, що якщо виконується умова
g1(x, t+ π) = g1(x, t), νi(t+ π) = νi(t), i = 1, 2,
то крайова перiодична задача (3) – (5) має π-перiодичний узагальнений (u ∈ L∞) розв’я-
зок.
Для цього знайдемо розв’язок таких двох задач Кошi:
u1
tt − u1
xx = f(x, t), (9)
u1(0, t) = 0, u1
x(0, t) = 0, 0 ≤ x ≤ π, x ≤ t ≤ 2π − x; (10)
u2
tt − u2
xx = f(x, t), (11)
u2(π, t) = 0, u2
x(π, t) = 0, 0 ≤ x ≤ π, π − x ≤ t ≤ π + x. (12)
Легко довести наступне твердження.
Лема. Якщо f ∈ C0,1(∆1), то функцiя
u1(x, t) = −1
2
x∫
0
dξ
t+x−ξ∫
t−x+ξ
f(ξ, τ) dτ (13)
є єдиним розв’язком задачi Кошi (9), (10) в характеристичному трикутнику ∆1 =
= {(x, t) : 0 ≤ x ≤ π, x ≤ t ≤ 2π − x}, а при f ∈ C0,1(∆2) функцiя
u2(x, t) = −1
2
π∫
x
dξ
t−x+ξ∫
t+x−ξ
f(ξ, τ) dτ (14)
є єдиним розв’язком задачi Кошi (11), (12) в характеристичному трикутнику ∆2 =
= {(x, t) : 0 ≤ x ≤ π, π − x ≤ t ≤ π + x}.
Доведення. Справдi, обчислюючи частиннi похiднi функцiй ui(x, t), i = 1, 2, знаходимо
u1
t (x, t) = −1
2
x∫
0
(f(ξ, t+ x− ξ)− f(ξ, t− x+ ξ)) dξ,
u1
x(x, t) = −1
2
x∫
0
(f(ξ, t+ x− ξ)− f(ξ, t− x+ ξ)) dξ,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 575
u2
t (x, t) = −1
2
π∫
x
(f(ξ, t− x+ ξ)− f(ξ, t+ x− ξ)) dξ,
u2
x(x, t) = −1
2
π∫
x
(−f(ξ, t− x+ ξ)− f(ξ, t+ x− ξ)) dξ,
(15)
u1
tt(x, t) = −1
2
x∫
0
(
∂f(ξ, t+ x− ξ)
∂(t+ x− ξ)
− ∂f(ξ, t− x+ ξ)
∂(t− x+ ξ)
)
dξ,
u1
xx(x, t) = −f(x, t) + u1
tt(x, t),
u2
tt(x, t) = −1
2
π∫
x
(
∂f(ξ, t− x+ ξ)
∂(t− x+ ξ)
− ∂f(ξ, t+ x− ξ)
∂(t+ x− ξ)
)
dξ,
u2
xx(x, t) = −f(x, t) + u2
tt(x, t).
Тепер, враховуючи (13) – (15), переконуємось у справедливостi твердження леми.
Позначимо через C̃ i C̃πt простори функцiй, неперервних i обмежених вiдповiдно на R
i [0, π]× R, а через Qπ — клас π-перiодичних за змiнною t функцiй.
У прямокутнику Π = {0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ t ≤ π} для g ∈ C̃πt ∩ Qπ побудуємо розривну
функцiю
ũ(x, t) =
ũ1(x, t), (x, t) ∈ D1;
ũ2(x, t), (x, t) ∈ D2,
(16)
де ũ 1(x, t) i ũ 2(x, t) визначаються формулами
ũ1(x, t) = −1
2
x∫
0
dξ
t+x−ξ∫
t−x+ξ
(
g1(ξ, t)− ν ′′1 (τ)− ξ
π
(
ν ′′2 (τ)− ν ′′1 (τ)
))
dτ,
(17)
ũ2(x, t) = −1
2
π∫
x
dξ
t−x+ξ∫
t+x−ξ
(
g1(ξ, t)− ν ′′1 (τ)− ξ
π
(
ν ′′2 (τ)− ν ′′1 (τ)
))
dτ,
D1 = {0 ≤ x ≤ π, x ≤ t ≤ π} \ {(π, π)},
D2 = {0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ t ≤ x \ {(x, t)} : t = x, 0 ≤ x < π}.
576 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
Справедливе таке твердження.
Теорема. Якщо νi(t) ∈ C̃ (R) ∩ Qπ, i = 1, 2, g1 ∈ C̃πt ∩ Qπ, то iснує узагальнений (v ∈
∈ L∞ ∩Qπ) розв’язок крайової перiодичної задачi (3) – (5), заданий формулою
v(x, t) = ν1(t) +
x
π
(ν2(t)− ν1(t)) + ũ(x, t), 0 ≤ x ≤ π, t ∈ R,
де ũ(x, t) визначена формулами (16), (17), причому
‖ũ(x, t)‖C̃πt ≤
π2
2
‖g̃(x, t)‖C̃πt .
Приклад. Нехай g1(x, t) = 0, µ1(t) ≡ 0, µ2 = sin(2t). На основi формул (17) одержуємо
ũ 1(x, t) = −x sin 2t
π
− sin 2t
2π
sin 2x,
ũ 2(x, t) = −x sin 2t
π
+ sin 2t cos 2x+
sin 2t sin 2x
2π
,
а отже, в цьому випадку розв’язок задачi (3) – (5) має вигляд
v(x, t) =
− 1
2π
sin 2t sin 2x, якщо (x, t) ∈ D1;
sin 2t cos 2x+
1
2π
sin 2t sin 2x, якщо (x, t) ∈ D2.
1. Митропольский Ю.А, Хома Г.П., Громяк М.И. Асимптотические методы исследования квазиволно-
вых уравнений гиперболического типа. — Киев: Наук. думка, 1991. — 232 с.
2. Вейвода О., Штедры М. Существование классических периодических решений волнового уравне-
ния: Связь теоретико-числового характера периода и геометрических свойств решений // Дифференц.
уравнения. — 1984. — 20, № 10. — C. 1733 – 1739.
3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977. — 736 с.
Одержано 02.03.99
|