Задачи рассеяния на возмущении границы слоя
Сформульовано та розв’язано методом граничного поглинання задачi розсiяння в необмеженiй областi у випадку задач на власнi значення для рiвняння Лапласа iз спектральним параметром в умовах на частинi межi областi. Дослiджено вплив деформацiї iншої частини межi областi на спектри та функцiї Грiна. Од...
Збережено в:
| Дата: | 1999 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177266 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задачи рассеяния на возмущении границы слоя / В. В. Барковский // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 4. — С. 448-464. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177266 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772662021-02-15T01:26:36Z Задачи рассеяния на возмущении границы слоя Барковский, В. В. Сформульовано та розв’язано методом граничного поглинання задачi розсiяння в необмеженiй областi у випадку задач на власнi значення для рiвняння Лапласа iз спектральним параметром в умовах на частинi межi областi. Дослiджено вплив деформацiї iншої частини межi областi на спектри та функцiї Грiна. Одержано розв’язки лiнеаризованих обернених задач розсiяння. We formulate and solve by the limiting absorption method scattering problems in unbounded domain of a boundary value problem for Laplase’s equation with spectral parameter in a boundary condition on a part of the boundary of the domain. We investigate the influence of the various another a part of the boundary on the spectrums and Green’s functions. We obtain the solves of linearity back scattering problem. 1999 Article Задачи рассеяния на возмущении границы слоя / В. В. Барковский // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 4. — С. 448-464. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177266 517.947 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Сформульовано та розв’язано методом граничного поглинання задачi розсiяння в необмеженiй областi у випадку задач на власнi значення для рiвняння Лапласа iз спектральним параметром в умовах на частинi межi областi. Дослiджено вплив деформацiї iншої частини межi областi на спектри та функцiї Грiна. Одержано розв’язки лiнеаризованих обернених задач розсiяння. |
| format |
Article |
| author |
Барковский, В. В. |
| spellingShingle |
Барковский, В. В. Задачи рассеяния на возмущении границы слоя Нелінійні коливання |
| author_facet |
Барковский, В. В. |
| author_sort |
Барковский, В. В. |
| title |
Задачи рассеяния на возмущении границы слоя |
| title_short |
Задачи рассеяния на возмущении границы слоя |
| title_full |
Задачи рассеяния на возмущении границы слоя |
| title_fullStr |
Задачи рассеяния на возмущении границы слоя |
| title_full_unstemmed |
Задачи рассеяния на возмущении границы слоя |
| title_sort |
задачи рассеяния на возмущении границы слоя |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177266 |
| citation_txt |
Задачи рассеяния на возмущении границы слоя / В. В. Барковский // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 4. — С. 448-464. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT barkovskijvv zadačirasseâniânavozmuŝeniigranicysloâ |
| first_indexed |
2025-07-15T15:18:22Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:18:22Z |
| _version_ |
1837726645904998400 |
| fulltext |
т. 2 •№ 4 • 1999
УДК 517 . 947
ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ НА ВОЗМУЩЕНИИ ГРАНИЦЫ СЛОЯ
В. В. Барковский
Киев. ин-т связи,
Украина, 252035, Киев, ул. Соломенская, 7
We formulate and solve by the limiting absorption method scattering problems in unbounded domain
of a boundary value problem for Laplase’s equation with spectral parameter in a boundary condition
on a part of the boundary of the domain. We investigate the influence of the various another a part of
the boundary on the spectrums and Green’s functions. We obtain the solves of linearity back scattering
problems.
Сформульовано та розв’язано методом граничного поглинання задачi розсiяння в необмеженiй
областi у випадку задач на власнi значення для рiвняння Лапласа iз спектральним параметром
в умовах на частинi межi областi. Дослiджено вплив деформацiї iншої частини межi областi на
спектри та функцiї Грiна. Одержано розв’язки лiнеаризованих обернених задач розсiяння.
1. Введение. Обозначим через G слой R3, ограниченный плоскостями Γ и Γ0, уравнения
которых x3 = 0 и x3 = −h (h > 0) соответственно.
ПустьG посредством деформации преобразуется вGτ с границей ∂Gτ = Γ∪Γτ , где Γτ
— поверхность x3 = −h + τ(x1, x2), τ(x1, x2) — однозначная, неотрицательная функция,
равная нулю вне ограниченной области.
Рассмотрим задачу на собственные значения В.А. Стеклова для уравнения Лапласа со
спектральным параметром λ в граничном условии:
(∆u)(x) = 0, x ∈ Gτ ;
∂u(x)
∂n
=
{ λu(x), x ∈ Γ;
0, x ∈ Γτ .
(1)
В этой работе для задачи (1) решены прямая и линеаризованная обратная задачи рас-
сеяния, указанные в [1].
2. Постановка задач рассеяния. Задаче (1) можно придать операторный вид, если вве-
сти оператор Bτ — замыкание в гильбертовом пространстве L2(Γ) оператора, действую-
щего по закону
φ(x̃) = φ(x)|Γ→
∂φ(x)
∂n
∣∣∣
Γ
на φ(x) ∈ C2
0 (Gτ ∪ Γ) и таких, что
(∆φ)(x) = 0, x ∈ Gτ ; φ(x)|Γ= φ(x̃), x̃ ∈ Γ;
∂φ(x)
∂n
= 0, x ∈ Γτ . (2)
Согласно [2], операторBτ самосопряжен вL2(Γ), неотрицателен.Bτ можно понимать как
возмущение оператораB, который строится какBτ , но в слоеG. Такой подход позволяет
поставить и решить методом предельного поглощения следующую задачу рассеяния на
возмущении Γ0 :
448 c© В. В. Барковский, 1999
требуется найти обобщенные собственные функции Bτ в виде
u(x̃, λ) = u0(x̃, λ, ν) + uτ (x̃, λ, ν), (3)
где u0(x̃, λ, ν) — обобщенные собственные функции невозмущенного оператора B, име-
ющие вид плоской волны, проходящей в направлении орта ν, а uτ (x̃, λ, ν) — добавка, во-
зникающая из-за возмущения Γ0 и являющаяся сужением на Γ решения задачи
(∆uτ )(x), x ∈ Gτ ,
∂uτ (x̃)
∂x3
= λuτ (x̃), x̃ ∈ Γ;
∂uτ (x)
∂n
=
{
0, x ∈ Γτ ∩ Γ0;
−∂u0(x, λ, ν)
∂n
, x ∈ Γ+
τ = Γτ \
(
Γτ ∩ Γ0
)
,
(4)
удовлетворяющего условиям излучения
uτ (x̃) = O
(
|x̃|−3/2
)
;
∂uτ (x̃)
∂|x̃|
− iα(λ)uτ (x̃) = O
(
|x̃|−1/2
)
, |x̃| → ∞, (5)
α(λ) tanhα(λ)h = λ. (6)
Обратная задача рассеяния — задача нахождения возмущения Γ0 по спектральным дан-
ным.
3. Спектральный анализ невозмущенного оператора B.
Лемма 1.Оператор B — псевдодифференциален с символом |ξ| tanh |ξ|h и имеет не-
прерывный спектр [0,∞).
Действительно, по построению B при φ(x̃) ∈ D(B), f(x̃) = (Bφ) (x̃) имеем
(∆φ)(x) = 0, x ∈ G; φ(x)|Γ= φ(x̃);
∂φ(x)
∂x3
∣∣∣
Γ
= f(x̃);
∂φ(x)
∂x3
∣∣∣
Γ0
= 0.
Так как φ(x̃), f(x̃) ∈ L2(Γ), то к этой задаче можно применить преобразование Фурье по
(x1, x2). Тогда получим равенство
f̂(ξ) = |ξ| tanh |ξ|h · φ̂(ξ),
которое означает, что образ оператора B унитарно эквивалентен оператору умноже-
ния на функцию |ξ| tanh |ξ|h. Поэтому оператор B псевдодифференциален с указанным в
лемме символом и спектром.
Теорема 1. Пусть λ ∈ [0,∞),функция α(λ) ≥ 0 и удовлетворяет условию (6), 〈x̃, ν〉—
скалярное произведение x̃ = (x1, x2) и орта ν, произвольно меняющегося на окружности
C(1) единичного радиуса плоскости Γ.
Тогда совокупность плоских волн u0(x̃, λ, ν) = exp {iα(λ)〈x̃, ν〉} образует полную сис-
тему обобщенных собственных функций оператора B и для любой f(x̃) ∈ L2(Γ) имеет
место равенство Парсеваля в виде
∞∫
0
∫
C(1)
|f̂(α(λ), ν)|2α(λ)α
′
(λ)dλdν =
∫
Γ
|f(x̃)|2dx̃; α
′
(λ) > 0, (7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 449
f̂(α(λ), ν) =
1
2π
∫
Γ
u0(x̃, λ, ν)f(x̃)dx̃. (8)
Доказательство. В силу (6) непосредственной проверкой убеждаемся, что
u0(x, λ, ν) =
coshα(λ)(h+ x3)
coshα(λ)h
exp {iα(λ)〈x̃, ν〉}
удовлетворяет задаче (1) в слое G.
Докажем, что плоские волны
u0(x̃, λ, ν) = lim
x3→0
u0(x, λ, ν) = exp {iα(λ)〈x̃, ν〉}
будут обобщенными собственными функциями оператора B.
Действительно, самосопряженный оператор B действует в оснащенном гильберто-
вом пространстве L2(Γ), причем оснащением L2(Γ) = H0 будет
H− = L2
(
Γ,
dx̃
(1 + |x̃|)2+ε
)
⊇ H0 = L2(Γ) ⊇ H+ = L2
(
Γ, (1 + |x̃|)2+εdx̃
)
, ε > 0.
Оператор B допускает продолжение оснащения (см., например, [3, c. 339]): в качестве D
возьмем сужение на Γ множества функций из C∞(G ∪ Γ), финитных на ∞ и удовлетво-
ряющих (2) в слое G. Указанное D входит в область определения оператора B, является
линейным топологическим пространством, плотным в H+, и переводится оператором B
непрерывно в H+. Поэтому такой выбор D законен.
Функции u0(x̃, λ, ν) ∈ H− и на φ ∈ D в силу формулы Грина получаем
(u0(x̃, λ, ν), (B − λE)φ(x̃))L2(Γ) =
= −(u0(x, λ, ν), (∆φ)(x))L2(G) +
(
(u0(x, λ, ν),
(
∂φ
∂x3
)
(x)
)
L(Γ∪Γ0)
−
− (u0(x̃, λ, ν), λφ(x̃))L2(Γ) =
=
((
∂u0
∂x3
)
(x, λ, ν), φ(x)
)
L2(Γ∪Γ0)
− (u0(x̃, λ, ν), λφ(x̃))L2(Γ) =
= (λu0(x̃, λ, ν), φ(x̃)L2(Γ) − (λu0(x̃, λ, ν), φ(x̃)L2(Γ) = 0,
т. е. u0(x̃, λ, ν) являются обобщенными собственными функциями оператора B.
Так как α(λ) ∈ [0,∞) при λ ∈ [0,∞), то преобразование Фурье по обобщенным соб-
ственным функциям оператора B сходно с обычным преобразованием Фурье. Поэтому
для любой f(x̃) ∈ L2(Γ) справедливы равенства (8) и
f(x̃) =
1
2π
∞∫
0
∫
C(1)
u0(x̃, λ, ν)f̂(α(λ), ν)dα(λ)dν,
а равенство Парсеваля имеет вид (7). Из (7) следует полнота обобщенных собственных
функций оператора B.
450 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
Функция α(λ) — обратная к растущей, будет возрастающей, поэтому α
′
(λ) > 0. Тео-
рема доказана.
Для изучения свойств резольвенты (B − zE)−1 оператора B понадобятся функции
Грина R(·) и E(·) — обобщенные решения указанных ниже задач (9) и (14).
Согласно [4], функция Грина R(x̃, ỹ, z) — ядро резольвенты оператора B — существу-
ет, если при фиксированном ỹ ∈ Γ существует обобщенное решение задачи
(∆R)(x) = 0, x ∈ G;
(
∂R(x)
∂x3
− zR(x)
) ∣∣∣
x3=0
= δỹ;
∂R(x)
∂x3
∣∣∣
Γ0
= 0 (9)
и сужение этого решения на Γ.
Лемма 2. При фиксированном ỹ ∈ Γ в классе обобщенных функций медленного роста
существует единственное решение задачи (9) в виде
R(x, ỹ, z) =
1
2π
∞∫
0
ξ cosh ξ(h+ x3) J0(ξ|x− ỹ|)
cosh ξh (ξ tanh ξh− z)
dξ (10)
(J0(·) — функция Бесселя нулевого порядка, Im z 6= 0), имеющее свойства:
1) R(x, ỹ, z) = R(x, ỹ, z);
2) при z 6∈ [0,∞) и любом направлении l существует в смысле обобщенных функций
∂R(x, ỹ, z)
∂l
=
1
2π
∞∫
0
ξ
∂
∂lx
[cosh ξ(h+ x3) J0(ξ|x− ỹ|)]
cosh ξh (ξ tanh ξh− z)
dξ;
3) R(x, ỹ, z) = O
(
|x− ỹ|−3/2
)
, |x − ỹ| → ∞, z 6∈ [0,∞), где O(r) означает величину
порядка r;
4) при z = λ+ iε, λ ∈ (0,∞), ε ≥ 0 и указанной в теореме 1 α(λ) существует
lim
ε→0
R(x, ỹ, λ+ iε) = R(x, ỹ, λ) =
1
2π
∫
L
σ coshσ(h+ x3)J0(σ|x− ỹ|)
coshσh(σ tanhσh− λ)
dσ,
где L — контур в комплексной плоскости σ, который получается из вещественной
положительной полуоси путем замены отрезка |Reσ − α(λ)| < ρ на нижнюю полуок-
ружность |σ − α(λ)| = ρ. При этом ρ настолько мало, что в круге |σ − α(λ)| ≤ ρ нет
других нулей функции λ = σ tanhσh, кроме σ = α(λ);
5) при |x− ỹ| → ∞ для всех α(λ) > 0 имеет место асимптотическое представление
R(x, ỹ, λ) = i exp (−iπ/4)
[
α3(λ)
2π|x− ỹ|
]1/2 cosh(α(λ)(h+ x3) exp (iα(λ)|x̃− ỹ|
[λ+ h(α2(λ)− λ2)] coshα(λ)h
+
+ O
(
|x̃− ỹ|−1
)
.
Доказательство. Задача (9) рассматривается в классе обобщенных функций медлен-
ного роста, где возможно применение прямого и обратного преобразований Фурье. Пря-
мое преобразование Фурье сводит (9) к задаче
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 451
d2R̂(x3)
dx2
3
− |ξ|2R̂(x3) = 0, 0 > x3 > −h;
dR̂(x3)
dx3
= 0, x3 = −h;
(11)(
dR̂(x3)
dx3
− zR̂(x3)
)∣∣∣
x3=0
=
1
2π
exp {−i〈ξ, ỹ〉}
в смысле обобщенных функций, где R̂ — преобразование Фурье искомой функции, 〈ξ, ỹ〉
— скалярное произведение ξ = (ξ1, ξ2) и ỹ = (y1, y2).
Легко видеть, что решение этой задачи существует, единственно и имеет вид
R̂(x3, ξ, ỹ, z) =
cosh |ξ|(h+ x3) exp (−i〈ξ, ỹ〉)
2π cosh |ξ|h(|ξ| tanh |ξ|h− z)
.
Обратное преобразование Фурье и переход к полярным координатам дают
R(x, ỹ, z) =
1
4π2
∞∫
0
|ξ| cosh |ξ|(h+ x3)
cosh |ξ|h(|ξ| tanh |ξ|h− z)
2π∫
0
e−i|ξ| |x̃−ỹ| cosφdφ
d|ξ|.
Отсюда, используя интегральное представление функции Бесселя нулевого порядка, по-
лучаем представление (10).
Единственность этого решения вытекает из единственности решения задачи (11), а
также из свойств преобразования Фурье в классе обобщенных функций медленного ро-
ста.
Теперь докажем указанные в лемме свойства решения (10). Если в задаче (9) δỹ и z
заменить соответственно на δx̃ и z и рассмотреть задачу по переменной y, то получим
R(y, x̃, z) =
1
2π
∞∫
0
|ξ| cosh |ξ|(h+ y3)J0(ξ|x̃− ỹ|)
cosh ξh(ξ tanh ξh− z)
dξ.
Отсюда и из (10) следует первое свойство.
При Im z 6= 0 несобственный интеграл в (10) равномерно сходится в областях 0 > x3 ≥
≥ −h, 0 ≤ |x̃ − ỹ| < ∞ и 0 ≥ x3 ≥ −h, 0 < δ ≤ |x̃ − ỹ| < ∞. В силу свойств функции
Бесселя и гиперболических функций интегралы
∞∫
0
ξJ0(ξ|x̃− ỹ|)
ξ tanh ξh− z
dξ,
∞∫
0
ξ cosh ξ(h+ x3)
cosh ξh(ξ tanh ξh− z)
dξ
оценивают его и сходятся. Дифференцируя под знаком несобственного интеграла по па-
раметрам x1, x2, x3 и учитывая равенство
∂φ
∂l
= 〈gradφ, l〉,
убеждаемся в справедливости второго свойства.
452 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
Переходя к пределу при |x̃ − ỹ| → ∞ под знаком интеграла и учитывая асимптотику
функции Бесселя (см., например, [5, c. 604]), получаем
R(x, ỹ, z) =
1
2π
√
2
π|x̃− ỹ|
∞∫
0
ξ1/2 cosh ξ(h+ x3) cos(ξ|x̃− ỹ| − π/4)
cosh ξh(ξ tanh ξh− z)
dξ+O
(
|x̃− ỹ|−3/2
)
.
Интегрируя несобственный интеграл по частям, получаем асимптотическое представле-
ние, указанное в третьем свойстве.
В интеграле (10) продолжим ξ в комплексную плоскость и заметим, что подынте-
гральная функция аналитична всюду, кроме точек σ, в которых coshσh(σ tanhσh−z) = 0.
Выбранный путь интегрирования не проходит через эти точки, поэтому существует пре-
дел, указанный в четвертом свойстве.
Для доказательства последнего свойства представим контур интегрирования (10) в
виде
L = [0, α(λ)− ρ) ∪ C−ρ ∪ (α(λ) + ρ,∞),
где C−ρ — полуокружность радиуса ρ с центром в точке α(λ), лежащей в нижней полу-
плоскости. Введем
ξ∫
0
J0(t)dt = f(ξ)
и заметим, что |f(ξ)| ограничен при вещественных ξ. Тогда
α(λ)−ρ∫
0
ξ cosh ξ(h+ x3)J0(ξ|x̃− ỹ|)
cosh ξh(ξ tanh ξh− λ)
dξ =
=
α(λ)−ρ∫
0
ξ cosh ξ(h+ x3)
cosh ξh(ξ tanh ξh− λ)
d
[
f(ξ|x̃− ỹ|)
|x̃− ỹ|
]
=
=
(α(λ)− ρ) cosh(α(λ)− ρ)(h+ x3)
cosh(α(λ)− ρ)h((α(λ)− ρ) tanh(α(λ)h− λ))
[
f(α(λ)− ρ)|x̃− ỹ|)
|x̃− ỹ|
]
−
− 1
|x̃− ỹ|
α(λ)−ρ∫
0
f(ξ|x̃− ỹ|)d
[
ξ cosh ξ(h+ x3)
cosh ξh(ξ tanh ξh− λ)
]
= O
(
|x̃− ỹ|−1
)
.
Аналогично доказывается оценка
∞∫
α(λ)+ρ
ξ cosh ξ(h+ x3)J0(ξ|x̃− ỹ|)
cosh ξh(ξ tanh ξh− λ)
dξ = O
(
|x̃− ỹ|−1
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 453
Для оценки оставшейся части воспользуемся представлением функции Бесселя через
функции Ханкеля первого и второго рода. Тогда∫
C−ρ
σ coshσ(h+ x3)J0(σ|x̃− ỹ|)
coshσh(σ tanhσh− λ)
dσ =
1
2
∫
C−ρ
σ coshσ(h+ x3)H(1)
0 (σ|x̃− ỹ|)
coshσh(σ tanhσh− λ)
dσ+
+
1
2
∫
C−ρ
σ coshσ(h+ x3)H(2)
0 (σ|x̃− ỹ|)
coshσh(σ tanhσh− λ)
dσ.
Обозначим через C+
ρ полуокружность |σ − α(λ)| = ρ, Imσ > 0, проходящую в направле-
нии движения часовой стрелки. С помощью теоремы о вычетах имеем∫
C−ρ
σ coshσ(h+ x3)H(1)
0 (σ|x̃− ỹ|)
coshσh(σ tanhσh− λ)
dσ =
=
∫
C+
ρ
σ coshσ(h+ x3)H(1)
0 (σ|x̃− ỹ|)
coshσh(σ tanhσh− λ)
dσ+
+iπ
α2(λ) coshα(λ)(h+ x3)H(1)
0 (α(λ)|x̃− ỹ|)
[λ+ h(α2(λ)− λ2)] coshα(λ)h
.
В силу асимптотических представлений функций Ханкеля получаем оценки∫
C+
ρ
σ coshσ(h+ x3)H(1)
0 (σ|x̃− ỹ|)
coshσh(σ tanhσh− λ)
dσ = O
(
|x̃− ỹ|−1
)
, |x̃− ỹ| → ∞;
∫
C−ρ
σ coshσ(h+ x3)H(2)
0 (σ|x̃− ỹ|)
coshσh(σ tanhσh− λ)
dσ = O
(
|x̃− ỹ|−1)
)
, |x̃− ỹ| → ∞,
а значит, и асимптотическое представление, указанное в пятом свойстве. Лемма доказана.
Теорема 2. В классе обобщенных функций медленного роста функция ГринаR(x̃, ỹ, z)
оператора B существует, единственна, представима в виде
R(|x̃− ỹ|, z) =
1
2π
∞∫
0
ξJ0(ξ|x̃− ỹ|)
ξ tanh ξh− z
dξ (12)
и имеет следующие свойства:
1) R(|x̃− ỹ|, z) = O
(
|x̃− ỹ|−3/2
)
, |x̃− ỹ| → ∞, Im z 6= 0;
2) существует
lim
ε→0
R(|x̃− ỹ|, λ+ iε) = R(|x̃− ỹ|, λ) =
1
2π
∫
L
σJ0(σ|x̃− ỹ|)
σ tanhσh− λ
dσ, (13)
где λ ∈ [0,∞), контур L в комплексной плоскости σ описан в лемме 2;
454 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
3) при r = |x̃− ỹ| → ∞
R(r, λ) = i exp {−iπ/4}
[
α3(λ)
2πr
]1/2 exp {iα(λ)r}
λ+ h(α2(λ)− λ2)]
+ O
(
r−1
)
и удовлетворяет условиям излучения (5);
4) R(|x̃− ỹ|, λ) ≤ c
|x̃− ỹ|
, |x̃− ỹ| → 0, c — постоянная;
5) R(|x̃ − ỹ|, λ) = i exp {−iπ/4}
√
λ
2π|x̃− ỹ|
exp {iλ|x̃− ỹ|}
[
1 + O
(
(λ|x̃− ỹ|)−1
)]
при
λ→∞ для всех |x̃− ỹ| ≥ δ > 0.
Доказательство существования, единственности, представления функции Грина опе-
ратораB и указанных в теореме ее первых трех свойств непосредственно следует из лем-
мы 2 в силу законности предельного перехода при x3 → 0 в (10).
Докажем последние два свойства. Обозначим |x̃ − ỹ| = r. Замена переменной τ = rσ
в интеграле (13) дает
R(r, λ) =
1
2πr
∫
L
τJ0(τ)
τ tanh(τh/r)− rλ
dτ.
Отсюда в силу известного равенства
∞∫
0
J0(τ)dτ = 1
следует R(r, λ) ≤ c
r
, r → 0 (c− постоянная).
Асимптотику функции Грина оператора B при λ → ∞ легко получить, используя
рассуждения доказательства четвертого свойства из леммы 2, эквивалентность α(λ) и λ
при λ→∞, а также свойства функций Ханкеля.
Аналогично доказываются следующие утверждения относительно используемой ни-
же вспомогательной функции Грина E(x, y, z).
Лемма 3. При фиксированном y ∈ G в классе обобщенных функций медленного роста
существует единственное решение задачи
(∆E)(x) = −δy, x ∈ G;
(
∂E(x)
∂x3
− zE(x)
)∣∣∣
x3=0
= 0;
∂E(x)
∂x3
∣∣∣
x3=−h
= 0, (14)
представимое в виде
E(x, y, z) =
1
4π
∞∫
0
φ(ξ, x3, y3)J0(ξ|x̃− ỹ|)
cosh ξh(ξ tanh ξh− z)
dξ,
где J0(·) — функция Бесселя нулевого порядка,
φ(·) = (ξ sinh ξh− z cosh ξh) exp {−ξ|x3 − y3|}+ (z + ξ) cosh ξ(h+ x3) exp {ξy3}+
+ (ξ cosh ξx3 + z sinh ξx3) exp {−ξ(h+ y3)}.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 455
Это решение имеет следующие свойства:
1) E(y, x, z) = E(x, y, z);
2) E(x, y, z) = O
(
|x̃− ỹ|−3/2
)
, |x̃− ỹ| → ∞, Im z 6= 0;
3) существует
lim
ε→0
E(x, y, λ+ iε) = E(x, y, λ) =
1
4π|x− y|
+
1
4π|x̃− ỹ|
+
+
1
2π
∫
L
(λ+ σ) coshσ(h+ x3) coshσ(h+ y3) exp {−σh}J0(σ|x̃− ỹ|)
σ sinhσh− λ coshσh
dσ,
где L — контур, указанный в лемме 2;
4) E(x, y, λ) =
1
4π|x− y|
+ O(1), |x− y| → 0;
5) при |x̃− ỹ| → ∞ имеет место асимптотическое представление
E(x, y, λ) = i exp {−iπ/4}
√
α3(λ)
2π
×
×coshα(λ)(h+ x3) coshα(λ)(h+ y3) exp {iα(λ)|x̃− ỹ|}
cosh2 α(λ)h [λ+ h(α2(λ)− λ2)] |x̃− ỹ|1/2
+O
(
|x̃− ỹ|−1
)
.
Следствие 1. Существует limx3→0E(x, y, λ) = E(x̃, y, λ) и при x̃ = |x̃|ω → ∞ имеет
место асимптотическое представление
E(x̃, y, λ) = i exp {−iπ/4}exp {iα(λ)|x̃|}
|x̃|1/2
√
α3(λ)
2π
u0(y, λ, ω)
[λ+ h(α2(λ)− λ2)]
+ O
(
|x̃|−1
)
, (15)
которое позволяет убедиться, что E(x̃, y, λ) при |x̃| → ∞ удовлетворяет условиям
излучения (5).
4. Спектральный анализ возмущенного оператора.
Лемма 4. Пусть граница ∂Gτ будет дважды непрерывно дифференцируемой,
Γ+
τ = Γτ \ (Γτ ∩ Γ0) , 0 < sup
(x1,x2)∈D(τ)
τ(x1, x2) < h.
Тогда при любом фиксированном ỹ ∈ Γ и z 6∈ [0,∞) в классе обобщенных функций ме-
дленного роста существует единственное решение задачи
(∆Rτ )(x) = 0, x ∈ Gτ ;
(
∂Rτ (x)
∂x3
− zRτ (x)
)∣∣∣
x3=0
= δỹ;
∂Rτ (x)
∂n
∣∣∣
Γτ
= 0, (16)
представимое в виде
Rτ (x, ỹ, z) = R(x, ỹ, z) + 4π
∫
Γ+
τ
E(x, s, z)ρ(s, ỹ, z)ds, (17)
456 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
где R(·) и E(·) — функции Грина, описанные в леммах 2 и 3, функция ρ(·, ỹ, z) ∈ C (Γ+
τ ) и
является единственным решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода
ρ(x, ỹ, z) + 2
∫
Γ+
τ
∂E(x, s, z)
∂nx
ρ(s, ỹ, z)ds = − 1
2π
∂R(x, ỹ, z)
∂nx
, x ∈ Γ+
τ , (18)
зависящим от ỹ и z, как от параметров. Решение задачи (16) имеет следующие свой-
ства:
1) существует в смысле обобщенных функций
lim
x3→0
Rτ (x, ỹ, z) = Rτ (x̃, ỹ, z) =
= R(x̃, ỹ, z) + 4π
∫
Γ+
τ
E(x̃, s, z)ρ(s, ỹ, z)ds, x ∈ Gτ ; x̃, ỹ ∈ Γ; (19)
2) Rτ (x̃, ỹ, z) = O
(
|x̃|−3/2
)
, |x̃| → ∞;
3) Rτ (x̃, ỹ, z) = O
(
|ỹ|−3/2
)
, |ỹ| → ∞;
4) Rτ (y, x̃, z) = Rτ (x, ỹ, z), x, y ∈ Gτ ; x̃, ỹ ∈ Γ.
Доказательство. Вначале убедимся, что задача (16) сводится к интегральному уравне-
нию. Действительно, функция R(x, ỹ, z) гармонична при x 6= ỹ, поэтому решение задачи
(16) можно искать в виде
Rτ (x, ỹ, z) = R(x, ỹ, z) + V (x), (20)
где V (x) — обобщенное решение задачи
(∆V )(x) = 0, x ∈ Gτ ;
(
∂V (x)
∂x3
− zV (x)
)∣∣∣
x3=0
= 0;
∂V (x)
∂n
= 0, x ∈ Γτ ∩ Γ0,
∂V (x)
∂n
= −∂R(x, ỹ, z)
∂nx
, x ∈ Γ+
τ . (21)
Решение задачи (21) естественно искать с помощью потенциала простого слоя
V (x) = 4π
∫
Γ+
τ
E(x, s, z)ρ(s, ỹ, z)ds,
где ρ(·) — неизвестная плотность.
Используя граничное условие на Γτ и предельное значение производной по внешней
нормали потенциала простого слоя в точке x ∈ Γ+
τ внутри области (см., например, п. 7
§ 27 работы [6]), имеем
2πρ(x, ỹ, z) +
∫
Γ+
τ
∂(|x− s|−1)
∂nx
ρ(s, ỹ, z)ds+
∫
Γ+
τ
∂g(x, s, z)
∂nx
ρ(s, ỹ, z)ds = −∂R(x, ỹ, z)
∂nx
,
где x ∈ Γ+
τ , g(x, s, z) = E(x, s, z)−(4π|x−s|)−1 — непрерывная функция при x→ s.В силу
представления E(x, y, z) отсюда получаем интегральное уравнение (18), ядро и правая
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 457
часть которого равны нулю на ∂Γ+
τ в силу свойств E(·) и R(·). Особенность E(x, s, z) при
x → s и гладкость Γ+
τ позволяют заключить, что для интегрального уравнения (18) в
C (Γ+
τ ) справедливы все теоремы теории Фредгольма.
Для указанной в лемме Gτ множество Γ ∩ Γτ 6= ∅, поэтому при x ∈ Γ+
τ , ỹ ∈ Γ, |x − ỹ|
не стремится к нулю, а значит, правая часть уравнения (18) имеет единственное решение
в C (Γ+
τ ) , если соответствующее однородное интегральное уравнение имеет лишь триви-
альное решение.
Предположим противное. Пусть однородное интегральное уравнение имеет нетриви-
альное решение ρ1(x, ỹ, z). Тогда в силу свойства E(x, s, z) функция
V1(x) = 4π
∫
Γ+
τ
E(x, s, z)ρ1(s, ỹ, z)ds
будет обобщенным решением задачи
(∆V1)(x) = 0, x ∈ Gτ ;
(
∂V1(x)
∂x3
− zV1(x)
)∣∣∣
x3=0
= 0;
∂V1(x)
∂n
∣∣∣
Γτ
= 0, (22)
убывающим на ∞ как O
(
|x̃|−3/2
)
при z 6∈ [0,∞). Но задача (22) в L2(Γ) эквивалентна
задаче (BτV1) (x̃) = zV1(x̃), которая в силу самосопряженности и неотрицательности Bτ
имеет лишь тривиальное решение. Нетрудно видеть, что из V1(x̃) ≡ 0 следует V1(x) ≡ 0
при x ∈ Gτ . Следовательно, ∂V1(x)/∂n = 0 на Γ+
τ изнутри Gτ .
При τ(x1, x2) > 0 в силу свойствE(x, s, z) функция V1(x) будет обобщенным решением
задачи
∆V1(x) = 0, x ∈ G+
τ ,
∂V1(x)
∂n
∣∣∣
∂G+
τ
= 0
в ограниченной области G+
τ = G \ Gτ . Так как решением этой задачи Неймана будет
V1(x) = const, то ∂V1(x)/∂n = 0 на Γ+
τ изнутри G+
τ , т. е. извне Gτ .
В силу равенства нулю скачка ∂V1(x)/∂n на Γ+
τ и равенства
4πρ1(x, ỹ, z) =
(
∂V1(x)
∂n
)
−
(x)−
(
∂V1(x)
∂n
)
+
(x), x ∈ Γ+
τ
(см. [6, с. 412]) заключаем, что ρ1(x, ỹ, z) ≡ 0, x ∈ Γ+
τ , но это противоречит сделанному
предположению.
Таким образом, однородное интегральное уравнение имеет лишь тривиальное реше-
ние, поэтому уравнение (18) имеет единственное решение ρ(·, ỹ, z) ∈ C (Γ+
τ ) .
Тем самым доказано, что для z 6∈ [0,∞) в классе обобщенных функций медленного ро-
ста существует единственное решение задачи (16), представимое в виде (17). Из представ-
ления (17) в силу свойств E(x, s, z) и R(x, ỹ, z) непосредственно следуют первые два свой-
ства Rτ (x, ỹ, z), указанные в лемме. Используя асимптотическое свойство правой части
уравнения (18) при |ỹ| → ∞, убеждаемся в справедливости третьего свойства Rτ .
Если при фиксированном x̃ ∈ Γ рассмотреть задачу (16) по y, заменив в ней δỹ на δx̃ и z
на z, то проведенные рассуждения позволят доказать существование и единственность в
классе обобщенных функций медленного роста решения Rτ (y, x̃, z), а значит, установить
четвертое свойство Rτ (x, ỹ, z). Лемма доказана.
458 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
Теорема 3. При указанном в лемме 4 возмущении Γ0 предельные спектры операторов
B и Bτ совпадают, изолированные собственные значения не появляются.
Доказательство. При выполнении условий леммы 4 для z 6∈ [0,∞) существует (Bτ −
−zE)−1. Рассмотрим оператор
P = (Bτ − zE)−1 − (B − zE)−1.
Для любой f(x̃) ∈ L2(Γ) имеем
(Pf)(x̃) =
∫
Γ
Rτ (x̃, ỹ, z)f(ỹ)dỹ −
∫
Γ
R(x̃, ỹ, z)f(ỹ)dỹ =
∫
Γ
K(x̃, ỹ, z)f(ỹ)dỹ,
где в силу (19)
K(x̃, ỹ, z) = 4π
∫
Γ+
τ
E(x̃, s, z)ρ(s, ỹ, z)ds.
Согласно неравенству Коши – Буняковского
|K(x̃, ỹ, z)|2 ≤ 16π2
∫
Γ+
τ
|E(x̃, s, z)|2ds
∫
Γ+
τ
|ρ(s, ỹ, z)|2ds
.
В силу асимптотических свойств E(x̃, s, z) и решения уравнения (18) имеем∫
Γ+
τ
|E(x̃, s, z)|2ds ≤ c1
|x̃|3
,
∫
Γ+
τ
|ρ(s, ỹ, z)|2ds ≤ c2
|ỹ|3
,
где c1 и c2 — постоянные. Из этих соотношений следует∫
Γ
∫
Γ
|K(x̃, ỹ, z)|2dx̃dỹ <∞,
а значит, разность резольвент P есть оператор Гильберта – Шмидта. Поэтому предель-
ные спектры операторов Bτ и B совпадают.
Спектром B служит [0,∞). Из неотрицательности Bτ и совпадения предельных спе-
ктров Bτ и B следует, что при указанном возмущении Γ0 изолированные собственные
значения не появляются. Теорема доказана.
Замечание. Из теоремы 3 следует, что при возмущении границы слоя на непрерывном
спектре могут появиться точки дискретного спектра возмущенного оператора. В работе
Р.М. Гарипова [7] приведен пример возмущения Γ0, при котором на непрерывном спектре
оператора Bτ появляются точки дискретного спектра. Отметим, что имеются работы
(см., например, [8]), в которых исследуются достаточные условия отсутствия точек дис-
кретного спектра на непрерывном спектре Bτ .
Ниже будет показано, что при достаточно малых возмущениях границы Γ0 точки дис-
кретного спектра не появляются на непрерывном спектре оператора Bτ .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 459
5. Задача рассеяния.
Лемма 5. Пусть граница ∂Gτ удовлетворяет условиям леммы 4. Тогда задача (1) с
условиями излучения (5) имеет нетривиальные решения, если λ > 0 является точкой
дискретного спектра оператора Bτ .
Доказательство. Пусть G+
τ = G\Gτ , Gr — пересечение цилиндра радиуса r и области
Gτ , причем G+
τ ⊂ Gr. В силу однородности задачи (1) ее обобщенное решение регулярно
и можно воспользоваться формулой Грина∫
Gr
[∆u(x, λ)u(x, λ)− u(x, λ)∆u(x, λ)]dx =
∫
∂Gr
[
u(x, λ)
∂u(x, λ)
∂n
− ∂u(x, λ)
∂n
u(x, λ)
]
dx.
Так как u(x, λ) и u(x, λ) гармоничны, а граничные условия на Γτ,r = Γτ ∩Gr и Γr = Γ∩Gr
однородны, то эта формула принимает вид
0 =
∫
Sr
[
u(x, λ)
∂u(x, λ)
∂r
− ∂u(x, λ)
∂r
u(x, λ)
]
dx, (23)
где Sr — боковая поверхность цилиндра, заключенная между плоскостями x3 = 0 и x3 =
= −h, ∂/∂n = ∂/∂|x̃| = ∂/∂r на Sr.
Из (23) и тождества
iα(λ)
[
u(x, λ)
∂u(x, λ)
∂r
− ∂u(x, λ)
∂r
u(x, λ)
]
=
∣∣∣∣∂u∂r
∣∣∣∣2 + α2(λ)|u|2 −
∣∣∣∣∂u∂r − iα(λ)u
∣∣∣∣2
вытекает равенство
0 =
∫
Sr
[∣∣∣∣∂u(x, λ)
∂r
∣∣∣∣2 + α2(λ)|u(x, λ)|2
]
dx−
∫
Sr
∣∣∣∣∂u(x, λ)
∂r
− iα(λ)u(x, λ)
∣∣∣∣2 dx.
Переходя к пределу и используя условия излучения (5), получаем
lim
r→∞
∫
Sr
[∣∣∣∣∂u(x, λ)
∂r
∣∣∣∣2 + α2(λ)|u(x, λ)|2
]
dx = 0,
а значит,
lim
r→∞
∫
Sr
|u(x, λ)|2 dx = 0, lim
r→∞
∫
Sr
∣∣∣∣∂u(x, λ)
∂r
∣∣∣∣2 dx = 0.
Обозначим J(r) =
∫
Gr
|u(x, λ)|2dx. Тогда J ′(r) =
∫
Sr
|u(x, λ)|2dx и рассуждения доказатель-
ства леммы 1.13 из [9] позволяют установить существование такой последовательности
rn, что при rn →∞∫
Srn
∂u
∂r
uds→ 0,
∫
Gτ
〈gradu, gradu〉dx <∞.
460 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
Переходя к пределу при rn →∞ в формуле Грина∫
Gτ
〈gradu, gradu〉dx =
∫
Sr
∂u
∂r
uds+ λ
∫
Γr
u · udx̃,
получаем u(x̃, λ) ∈ L2 (Γ) . В силу
∣∣∣∣∂u∂n
∣∣∣∣ ≤ |gradu| имеем
∂u(x̃, λ)
∂n
∈ L2 (Γ) . Но эти вло-
жения означают, что u(x̃, λ) является обобщенной собственной функцией оператора Bτ ,
соответствующей точке λ его дискретного спектра. Лемма доказана.
Ниже будем называть возмущение Γ+
τ = Γτ \Γ0 границы слоя достаточно малым, если
mes Γ+
τ , ‖τ(x1, x2)‖ и ‖∇τ‖— достаточно малы. Здесь
‖f(x1, x2)‖ = max
(x1,x2)∈D(f)
|f(x1, x2)|.
Теорема 4. Пусть граница ∂Gτ удовлетворяет условиям леммы 4 и ν — орт на Γ.
Тогда:
1) при всех λ ∈ [0,∞), за исключением, возможно, множества точек дискретного
спектра оператора Bτ задача рассеяния (1), (3) – (6) имеет единственное решение, рас-
сеянная поверхностная волна представима в виде
uτ (x̃, λ, ν) = 4π
∫
Γ+
τ
E(x̃, s, λ)ρ(s, α(λ), ν)ds, (24)
где E(·) — вспомогательная функция Грина, ρ(·, α(λ), ν) — единственное решение инте-
грального уравнения Фредгольма
ρ(s, α(λ), ν) + 2
∫
Γ+
τ
∂E(s, y, λ)
∂ns
ρ(y, α(λ), ν)dy = − 1
2π
∂u0(s, α(λ), ν)
∂ns
, (25)
зависящее от α(λ) и ν, как от параметров; при наличии точек дискретного спектра
оператора Bτ каждому собственному значению отвечает конечное число линейно не-
зависимых собственных функций, принадлежащих L2 (Γ) ;
2) рассеянная поверхностная волна допускает асимптотическое представление
uτ (x̃, λ, ν) = A(λ, ν, ω)
exp {iα(λ)|x̃|}
|x̃|1/2
+ O
(
|x̃|−1
)
, x̃ = |x̃|ω →∞,
причем амплитуда круговой рассеянной волны имеет вид
A(·) = 2i exp (−iπ/4)
√
2πα3(λ)
[λ+ h(α2(λ)− λ)]
∫
Γ+
τ
u0(s, λ, ω)ρ(s, α(λ), ν)ds, (26)
u0(·) =
coshα(λ)(h+ s3)
coshα(λ)h
exp {−iα(λ)〈s̃, ω〉};
3) при достаточно малых возмущениях плоскости Γ0 точки дискретного спектра
оператора Bτ не появляются.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 461
Доказательство. Решение задачи на спектре (4) будем искать с помощью потенциала
простого слоя в виде
uτ (x, λ) = 4π
∫
Γ+
τ
E(x, s, λ)ρ(s)ds, (27)
где ρ(s) — неизвестная плотность. Используя граничное условие на Γτ и предельное зна-
чение производной по внешней нормали потенциала простого слоя при x → Γ+
τ изнутри
Gτ , получаем интегральное уравнение (25) относительно ρ(·, α(λ), ν) ∈ C (Γ+
τ ) , завися-
щей от α(λ) и ν, как от параметров. Правая часть уравнения непрерывна на Γ+
τ и равна
нулю на ∂Γ+
τ . Ядро интегрального уравнения является суммой непрерывного и поляр-
ного ядер и равно нулю на ∂Γ+
τ . Поэтому для уравнения (25) справедливы все теоремы
теории Фредгольма. Поскольку соответствующее однородное интегральное уравнение
имеет лишь тривиальные решения при λ, не принадлежащих дискретному спектру Bτ , то
для таких λ неоднородное интегральное уравнение, а значит и задача рассеяния, имеет
единственное решение, причем справедливо представление (27). Переходя в этом пред-
ставлении к пределу при x3 → 0, получаем (24). Асимптотика E(x, y, λ) позволяет убеди-
ться в справедливости асимптотического представления рассеянной поверхностной вол-
ны и ее амплитуды.
Для доказательства последнего утверждения теоремы в пространстве C (Γ+
τ ) с нор-
мой ‖f‖ = sup
s∈Γ+
τ
|f(s)| определим интегральный оператор
(T (λ)f)(x) = −2
∫
Γ+
τ
∂E(x, s, λ)
∂nx
f(s)ds.
Этот оператор вполне непрерывен, так как переводит ограниченное в L2 (Γ+
τ ) множество
C (Γ+
τ ) в компактное множество, состоящее из равностепенно непрерывных функций на
Γ+
τ . Теперь однородное интегральное уравнение можно записать в виде
ρ(x)− (T (λ)ρ)(x) = 0.
Оценим норму этого оператора
‖T (λ)‖ = 2 max
x∈Γ+
τ
∫
Γ+
τ
∣∣∣∣∂E(x, s, λ)
∂nx
∣∣∣∣ ds
при малых возмущениях границы Γ0. Обозначим через U δx окрестность точки x ∈ Γ+
τ
радиуса δ. Тогда∫
Γ+
τ
∣∣∣∣∂E(x, s, λ)
∂nx
∣∣∣∣ dsy ≤ ∫
Γ+
τ \Uδx
∣∣∣∣∂E(·)
∂nx
+
∂E(·)
∂x3
∣∣∣∣ dsy +
∫
Γ+
τ \Uδx
∣∣∣∣∂E(·)
∂x3
∣∣∣∣ dsy +
∫
Uδx
∣∣∣∣∂E(·)
∂nx
∣∣∣∣ dsy.
Свойства вспомогательной функции Грина E(·) позволяют получить оценки∫
Γ+
τ \Uδx
∣∣∣∣∂E(·)
∂nx
+
∂E(·)
∂x3
∣∣∣∣ dsy ≤ ∫
Γ+
τ \Uδx
∣∣∣ ~nx +~j
∣∣∣ |∇xE| dsy ≤
≤ max
x∈Γ+
τ
∣∣∣ ~nx +~j
∣∣∣ max
x∈Γ+
τ
|∇xE| mes Γ+
τ ≤ ‖∇τ(x̃)‖ c1
δ2
mes Γ+
τ ,
462 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
∫
Γ+
τ \Uδx
∣∣∣∣∂E(·)
∂x3
∣∣∣∣ dsy ≤ c2
∫
Γ+
τ \Uδx
(h+ x3)
(
1 +
1
|x− y|2
)
dsy ≤
≤ max
x∈Γ+
τ
|τ(x)| c3
δ2
mes Γ+
τ = ‖τ(x)‖ c3
δ2
mes Γ+
τ ,
∫
Uδx
∣∣∣∣∂E(·)
∂nx
∣∣∣∣ dsy ≤ c4mesU δx ≤ c5δ
2,
из которых следует
2
∫
Γ+
τ
∣∣∣∣∂E(·)
∂nx
∣∣∣∣ dsy ≤ c{mes Γ+
τ (‖τ(x)‖+ ‖(∇τ)(x)‖)
}1/2
,
а значит, при достаточно малом возмущении Γ0 выполняется соотношение ‖T (λ)‖ < 1.
Это означает, что при таком возмущении границы однородное интегральное уравнение
имеет лишь тривиальное решение при всех λ ∈ [0,∞), а значит, на непрерывном спектре
точки дискретного спектра оператора Bτ не появляются. Теорема доказана.
6. Обратная задача в линеаризованной постановке. Если для указанного в лемме 4 во-
змущения τ(x1, x2) плоскости Γ0 известна амплитуда A(λ, ν, ω) круговой рассеянной вол-
ны при фиксированном λ ∈ [0,∞), то для ω = −ν эта амплитуда представима в виде
A(λ, ν,−ν) = i exp {−iπ/4}
√
2
π
α7/2(λ)τ̂ [2α(λ), ν]
[λ+ h(α2(λ)− λ2)] cosh2 α(λ)h
− γ(τ, α(λ), ν), (28)
где τ̂(·) — преобразование Фурье возмущения τ(x1, x2),
γ(·) = 4i exp {−iπ/4}
√
2πα3(λ)
[λ+ h(α2(λ)− λ2)]
×
×
∫
Γ+
τ
u0(s, λ, ν)
(∫
Γ+
τ
∂E(s, y, λ)
∂ns
ρ(y, α(λ), ν)dy
)
ds.
При достаточно малом возмущении Γ0
γ(·) = O
[
(mesD(τ) (‖τ‖+ ‖∇τ‖))3/2
]
, (29)
где O(r) — величина порядка r.
Доказательство этого утверждения вытекает из представления
A(λ, ν, ω) = − i exp {−iπ/4}
[λ+ h(α2(λ)− λ2)]
√
2α3(λ)
π
∫
Γ+
τ
u0(s, λ, ω)
∂u0(s, λ, ν)
∂ns
ds−
− 2i exp {−iπ/4}
[λ+ h(α2(λ)− λ2)]
∫
Γ+
τ
u0(s, λ, ω)(ρ− ρ0)(s, α(λ), ν)ds,
где ρ0(·) = − 1
2π
∂u0(·)
∂ns
— правая часть уравнения (25), а также равенства
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 463
∫
Γ+
τ
u0(s, λ, ω)
∂u0(s, λ, ν)
∂ns
ds =
∫
G+
τ
〈∇su0(s, λ, ω),∇su0(s, λ, ν)〉ds,
которое при ω = −ν имеет вид∫
Γ+
τ
u0(s, λ, ω)
∂u0(s, λ, ν)
∂ns
ds =
= − α2(λ)
cosh2 α(λ)h
∫
D(τ)
exp {i2α(λ)〈s̃, ν〉}
( −h+τ(s̃)∫
−h
ds3
)
ds̃ =
= − α2(λ)
cosh2 α(λ)h
∫
Γ
τ(s̃) exp {i2α(λ)〈s̃, ν〉}ds̃ = − α2(λ)
cosh2 α(λ)h
τ̂ [2α(λ), ν].
Формула (28) позволяет сформулировать и решить обратную задачу рассеяния в сле-
дующей линеаризованной постановке.
Пусть известна амплитуда A(λ, ν,−ν) круговых рассеянных волн для всех λ ∈ [0,∞).
Тогда, рассматривая малые возмущения плоскости Γ0, можно пренебречь γ, имеющей
оценку (29), и получить линейную часть возмущения границы слоя по формуле
τ(s1, s2) =
∞∫
0
∫
C(1)
ψ(λ)A(λ, ν,−ν) exp {−2iα(λ)〈s̃, ν〉}dα(λ)dν,
где
ψ(λ) = − i exp {−iπ/4}
4π
√
2π
[λ+ h(α2(λ)− λ2)] cosh2 α(λ)h]
α5/2(λ)
и ν — орт, произвольно меняющийся на окружности C(1) единичного радиуса.
В заключение укажем, что аналогичные результаты можно получить и в случае, ко-
гда в задаче (1) на Γτ задано условие Дирихле вместо условия Неймана.
1. Барковский В.В. Исследование двух задач рассеяния типа задачи Стеклова // Докл. АН СССР. — 1974.
— 218, № 2. — C. 257 – 260.
2. Барковский В.В. Самосопряженность оператора, порожденного уравнением Шредингера и неодноро-
дными граничными условиями на части границы // Дифференц. уравнения. — 1970. — 6, № 3. — C. 513
– 524.
3. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. — Киев:
Наук. думка, 1965. — 798 c.
4. Барковский В.В. О функции Грина самосопряженного эллиптического оператора, порожденного
дифференциальным выражением и неоднородными граничными условиями //Укр. мат. журн. — 1966.
— 18, № 2. — C. 84 – 91.
5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Гостехиздат, 1953. — 679 c.
6. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. — 512 c.
7. Гарипов Р.М. Неустановившиеся волны над подводным хребтом // Докл. АН СССР. — 1965. — 161, № 3.
— C. 547 – 550.
8. Вайнберг Б.Р., Мазья В.Г. К задаче об установившихся колебаниях слоя жидкости переменной грани-
цы // Тр. Моск. мат. о-ва. — 1973. — 28. — C. 57 – 74.
9. Барковский В.В. Самосопряженность операторов, порожденных общими задачами Стеклова. — Ки-
ев, 1977. — 52 с. — (Препринт / АН Украины. Ин-т математики; № 77-18).
Получено 20.04.99
464 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
|