Расщепление линейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа
Розглядається система лiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу. Доведено iснування iнтегральних многовидiв сингулярно збуреної системи. Показано, що вихiдну систему за допомогою лiнiйної замiни можна розщепити на два незалежнi рiвняння. Це перетворення використовується для до...
Збережено в:
| Дата: | 1999 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177268 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Расщепление линейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа / И. И. Клевчук // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 4. — С. 490-500. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177268 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772682021-02-15T01:26:38Z Расщепление линейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа Клевчук, И. И. Розглядається система лiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу. Доведено iснування iнтегральних многовидiв сингулярно збуреної системи. Показано, що вихiдну систему за допомогою лiнiйної замiни можна розщепити на два незалежнi рiвняння. Це перетворення використовується для дослiдження стiйкостi в критичному випадку. A system of linear functional differential equations of neutral type is considered. The existence of an integral manifolds of singularly perturbed system is proved. It is shown that the initial system can be splitted into two independent equations by linear substitution. This transformation is used for investigation of stability in the critical case 1999 Article Расщепление линейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа / И. И. Клевчук // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 4. — С. 490-500. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177268 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Розглядається система лiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу. Доведено iснування iнтегральних многовидiв сингулярно збуреної системи. Показано, що вихiдну систему за допомогою лiнiйної замiни можна розщепити на два незалежнi рiвняння. Це перетворення використовується для дослiдження стiйкостi в критичному випадку. |
| format |
Article |
| author |
Клевчук, И. И. |
| spellingShingle |
Клевчук, И. И. Расщепление линейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа Нелінійні коливання |
| author_facet |
Клевчук, И. И. |
| author_sort |
Клевчук, И. И. |
| title |
Расщепление линейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа |
| title_short |
Расщепление линейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа |
| title_full |
Расщепление линейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа |
| title_fullStr |
Расщепление линейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа |
| title_full_unstemmed |
Расщепление линейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа |
| title_sort |
расщепление линейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177268 |
| citation_txt |
Расщепление линейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа / И. И. Клевчук // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 4. — С. 490-500. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT klevčukii rasŝeplenielinejnyhdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenijnejtralʹnogotipa |
| first_indexed |
2025-07-15T15:18:31Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:18:31Z |
| _version_ |
1837726655529877504 |
| fulltext |
т. 2 •№ 4 • 1999
УДК 517 . 9
РАСЩЕПЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА
И. И. Клевчук
Чернов. ун-т,
Украина, 274012, Черновцы, ул. Коцюбинского, 2
A system of linear functional differential equations of neutral type is considered. The existence of
an integral manifolds of singularly perturbed system is proved. It is shown that the initial system
can be splitted into two independent equations by linear substitution. This transformation is used for
investigation of stability in the critical case.
Розглядається система лiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь нейтрального типу.
Доведено iснування iнтегральних многовидiв сингулярно збуреної системи. Показано, що вихiд-
ну систему за допомогою лiнiйної замiни можна розщепити на два незалежнi рiвняння. Це пере-
творення використовується для дослiдження стiйкостi в критичному випадку.
Данная работа посвящена обобщению результатов работы [1] на случай уравнений ней-
трального типа.
1. Регулярно возмущенные уравнения. Рассмотpим линейные диффеpенциально-
функциональные уpавнения нейтpального типа
d
dt
[D(xt)− εG(t, xt)] = L(xt) + εF (t, xt), (1)
d
dt
[D(ut)] = L(ut), (2)
где xt — элемент пpостpанства C, заданный функцией xt(θ) = x(t + θ), −∆ ≤ θ ≤ 0;
D : C→ R
n;G : R×C→ R
n;L : C→ R
n; F : R×C→ R
n; функционалыD,L,G, F линейны
по xt; функционал F непрерывен по t, а функционал G непрерывно дифференцируем по
t. Согласно теореме Рисса, функционал D(ϕ) можно представить с помощью интеграла
Стильтьеса
D(ϕ) = ϕ(0)−
0∫
−∆
[dµ(θ)]ϕ(θ),
где µ(θ) — матрица-функция ограниченной вариации.
Предположим, что функция µ(θ) не содержит сингулярную компоненту и полная ва-
риация V 0
−s[µ]→ 0 при s→ 0.
490 c© И.И. Клевчук, 1999
Обозначим
b = sup
Reλ : det
E − 0∫
−∆
eλθdµ(θ)
= 0
.
Тогда в полуплоскости Reλ > α > b содержится конечное число (m) корней характери-
стического уравнения, соответствующего уравнению (2), а остальные корни лежат в по-
луплоскости Reλ < α. Обозначим через P собственное подпространство в C, порожден-
ное решениями уравнения (2), соответствующими корням в полуплоскости Reλ > α.
Разложим пространство C в прямую сумму C = P ⊕ Q. Пусть Φ = Φ(θ) – базис в P.
Рассматривая сопряженное с (2) уравнение, можно аналогичным образом определить ба-
зис Ψ = Ψ(θ), 0 ≤ θ ≤ ∆. Тогда каждый элемент xt ∈ C можно представить в виде
xt = Φy(t) + zt, где y(t) = (Ψ, xt), zt = xt − Φy(t), y(t) ∈ Rm, zt ∈ Q, (Ψ, xt) – некоторый
билинейный функционал [2, 3].
Уравнение (1) эквивалентно системе уравнений
d
dt
[y − εΨ(0)G(t, xt)] = By + εΨ(0)F (t, xt),
(3)
zt = T (t− σ)zσ + ε
t∫
σ
T (t− s)XQ
0 [F (s, xs) +
d
ds
G(s, xs)]ds,
где T (t)ϕ = ut(ϕ), XQ
0 — проекция на подпространство Q функции X0(θ) = 0, −∆ ≤
≤ θ < 0; X0(0) = E; B — постоянная матрица, собственные значения которой лежат в
полуплоскости Reλ > α.
Справедливы неравенства [2 – 4]
|T (t)ϕ| ≤ K1 exp[(α− β1)t]|ϕ|, ϕ ∈ Q,
(4)
|T (t)XQ
0 |+
1∫
0
|dsT (t− s)XQ
0 | ≤ K1 exp[(α− β1)t],
где t ≥ 0, K1 > 0.
В силу предположения относительно собственных значений матрицы B справедлива
также оценка | exp(Bt)| ≤ K exp[(α+ β)t], где t ≤ 0, K > 0.
Пусть |G(t, ϕ)| ≤ ν|ϕ|, |F (t, ϕ)| ≤ ν|ϕ|, ν > 0. В работе [5] доказано, что при достаточно
малом ε существуют интегральные многообразия системы (3), представимые в виде zt =
= g(t, ε)y, y = r(t, zt, ε), причем справедливы оценки |g(t, ε)| ≤ 0, 5, |r(t, ϕ, ε)| ≤ 0, 5|ϕ|.
Функцию g(t, ε) можно представить в виде предела последовательности
gn(t, ε) = ε
t∫
−∞
T (t− s)XQ
0 [F (s, x(n)
s (t)) +
d
ds
G(s, x(n)
s (t))]ds,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 491
где
x(0)
s = 0, x(n)
s = ΦeB(s−t) − εΦ
t∫
s
eB(s−τ)Ψ(0)[F (τ, x(n−1)
τ ) +
d
dτ
G(τ, x(n−1)
τ )]dτ+
+ ε
s∫
−∞
T (s− τ)XQ
0 [F (τ, x(n−1)
τ ) +
d
dτ
G(τ, x(n−1)
τ )]dτ, n = 1, 2, ... .
Отсюда следует, что функцию gn(t, ε) можно записать в виде
gn(t, ε) = εh1(t) + ε2h2(t) + ...+ εnhn(t),
где функции h1(t), h2(t), ..., hn(t) выражаются через функции F и G. В частности,
h1(t) =
t∫
−∞
T (t− s)XQ
0 [F (s,ΦeB(s−t)) +
d
ds
G(s,ΦeB(s−t))]ds.
Из теоремы 5 работы [5] вытекает оценка
|g(t, ε)− gn(t, ε)| ≤ Lεn+1,
где n = 0, 1, 2, ...; L — некоторая положительная постоянная, не зависящая от ε.
Пусть функции F (t, ϕ), G(t, ϕ) являются квазипериодическими по t и разлагаются в
ряды
F (t, ϕ) =
∑
k
Fk(ϕ)ei(k,w)t, G(t, ϕ) =
∑
k
Gk(ϕ)ei(k,w)t,
где w = (w1, ..., wj), k = (k1, ..., kj), Fk(ϕ), Gk(ϕ) – линейные непрерывные функционалы.
Тогда определение функции gn(t, ε) сводится к вычислению интеграла
ξ =
0∫
−∞
T (−s)XQ
0 e
δsds,
где δ = i(k,w) + λ, λ — собственное значение матрицы B.
Теорема 1. Функция ξ(θ), −∆ ≤ θ ≤ 0 , принадлежит Q
⋂
D(A) и имеет место равен-
ство
δξ −Aξ = XQ
0 , (5)
где A — производящий оператор полугруппы {T (t), t ≥ 0} с областью определения
D(A).
Доказательство. Действительно,
(Ψ, ξ) =
0∫
−∞
(Ψ, T (−s)XQ
0 )eδsds = 0,
492 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
поэтому ξ ∈ Q. Согласно определению производящего оператора A полугруппы T (t)
имеем Aϕ = lim
t→0
Atϕ, где At = (T (t)− I)/t. При t > 0 получим
Atξ =
1
t
0∫
−∞
T (t− s)XQ
0 e
δsds− 1
t
0∫
−∞
T (−s)XQ
0 e
δsds =
=
eδt − 1
t
0∫
−∞
T (−s)XQ
0 e
δsds− eδt
t
0∫
−t
T (−s)XQ
0 e
δsds,
так что Atξ → δξ − XQ
0 при t → 0. Значит, ξ ∈ D(A) и Aξ = δξ − XQ
0 . Отсюда следует
равенство (5). Теорема доказана.
Нетрудно показать, что решение уравнения (5) сводится к решению системы линей-
ных алгебраических уравнений.
Рассмотрим систему
6
d
dt
[v − εΨ(0)G1(t, ε)v] = Bv + εΨ(0)F1(t, ε)v,
(6)
wt = T (t− σ)wσ + ε
t∫
σ
T (t− s)XQ
0 [F2(s, ws, ε) +
d
ds
G2(s, ws, ε)]ds,
где v ∈ Rm,wt ∈ Q,G1(t, ε)v = G(t,Φv+g(t, ε)v), F1(t, ε)v = F (t,Φv+g(t, ε)v),G2(t, wt, ε) =
= G(t,Φr(t, wt, ε) + wt), F2(t, wt, ε) = F (t,Φr(t, wt, ε) + wt).
Функции r(t, wt, ε), g(t, ε)v удовлетворяют уравнениям
d
dt
[r(t, wt, ε)− εΨ(0)G2(t, wt, ε)] = Br(t, wt, ε)+
+εΨ(0)F2(t, wt, ε), g(t, ε)v(t) = T (t− σ)g(σ, ε)v(σ)+ (7)
+ ε
t∫
σ
T (t− s)XQ
0 [F1(s, ε)v(s) +
d
ds
(G1(s, ε)v(s))]ds.
Складывая равенства (6), (7) и выполняя замену
y = v + r(t, wt, ε), zt = wt + g(t, ε)v, (8)
получаем систему (3).
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 2. При помощи замены (8) система (6) приводится к виду (3).
В силу линейности r(t, ϕ, ε) по ϕ система (8) однозначно разрешима относительно v и
wt. Следовательно, определяя из (8) v и wt, находим замену, которая расщепляет систему
(3) на два независимых уравнения (6).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 493
Второе уравнение системы (6) перепишем в виде
wt = T (t− σ)[wσ − εXQ
0 G2(σ,wσ, ε)] + εXQ
0 G2(t, wt, ε)+
+ ε
t∫
σ
T (t− s)XQ
0 F2(s, ws, ε)ds− ε
t∫
σ
ds[T (t− s)XQ
0 ]G2(s, ws, ε).
Оценим решение этого уравнения, использовав метод последовательных приближений
w
(0)
t = 0, w
(n+1)
t = T (t− σ)[c− εXQ
0 G2(σ, c, ε)] + εXQ
0 G2(t, w(n)
t , ε)+
+ ε
t∫
σ
T (t− s)XQ
0 F2(s, w(n)
s , ε)ds− ε
t∫
σ
ds[T (t− s)XQ
0 ]G2(s, w(n)
s , ε),
где c = wσ, n = 0, 1, 2, ... Функции G2(t, ϕ, ε) и F2(t, ϕ, ε) удовлетворяют по переменной ϕ
условию Липшица с постоянной ν1 = ν(0, 5|Φ| + 1). По индукции докажем, что справед-
ливо неравенство
|w(q)
t − w
(q−1)
t | ≤ K1(1 + ε|XQ
0 |ν1)(εγ)q−1|c| exp[α(t− σ)], (9)
где γ = ν1(|XQ
0 |+K1/β1 +K1/(exp(β1 − 1)), q = 1, 2, ..., t ≥ σ.
При q = 1 неравенство (9) следует из (4).
Пусть неравенство (9) справедливо при q = n. Тогда, учитывая (4), получаем
|w(n+1)
t − w(n)
t | ≤ K1(1 + ε|XQ
0 |ν1)(εγ)n|c| exp[α(t− σ)].
Значит, неравенство (9) справедливо при q = n + 1, следовательно, оно справедливо при
всех натуральных q.
Если просуммировать неравенства (9) по q, то при εγ < 0, 5 получим оценку
|wt| ≤ 2K1(1 + ε|XQ
0 |ν1)|c| exp[α(t− σ)], t ≥ σ.
Аналогично, используя неравенство Гронуолла – Беллмана, можно получить оценку
|v(t)| ≤M1|c| exp[(α+ β − εM)(t− σ)],
где
t ≤ σ,M =
K|Ψ(0)|ν2(1 + |B|)
1− ε|Ψ(0)|ν2
, M1 =
K(1 + ε|Ψ(0)|ν2)
1− ε|Ψ(0)|ν2
, ν2 = ν(|Φ|+ 0, 5).
Рассмотрим теперь критический случай: характеристическое уравнение, соответству-
ющее уравнению (2), имеет m корней на мнимой оси (с учетом их кратности), а осталь-
ные корни имеют отрицательные действительные части. В этом случае α < 0. Из теоре-
мы 2 вытекает, что если нулевое решение уравнения
d
dt
[v − εΨ(0)G1(t, ε)v] = Bv + εΨ(0)F1(t, ε)v (10)
494 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво, то и нулевое решение уравнения
(1) соответственно устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво.
Для исследования устойчивости уравнение (10) можно разрешить относительно v и
применить метод Штокало [6] или метод ускоренной сходимости [7]. Если собственные
значения матрицыB имеют простые элементарные делители, то в уравнении (10) можно
сделать замену v = exp(Bt)u и получить систему в стандартной форме. Для исследова-
ния устойчивости решений такой системы во многих случаях целесообразно применять
метод усреднения.
Замечание 1. Теоремы 1 и 2 позволяют обосновать алгоритм исследования устойчи-
вости линейных почти периодических уравнений с последействием. Аналогичный метод
предложен в [8].
2. Расщепление линейных сингулярно возмущенных систем. Рассмотрим систему
dx(t)
dt
= A(t)x(t) + F (t, yt),
(11)
ε
d
dt
[C(t)x(t) +D(t, yt)] = B1(t)x(t) +G1(t, yt),
где x — m-мерный вектор; y — n-мерный вектор; yt(θ) = y(t + θ), −ε∆ ≤ θ ≤ 0;
F (t, ϕ), G1(t, ϕ), D(t, ϕ) – линейные по ϕ функционалы; матрицы A(t), B1(t) и функцио-
налы F (t, ϕ), G1(t, ϕ), D(t, ϕ) непрерывны по t. Согласно теореме Рисса, функционалы
D(t, ϕ) и G1(t, ϕ) можно представить с помощью интеграла Стильтьеса
D(t, ϕ) = ϕ(0)−
0∫
−∆
[dµ(t, θ)]ϕ(θ), G1(t, ϕ) =
0∫
−∆
[dη(t, θ)]ϕ(θ),
где µ(t, θ), η(t, θ) — матрицы-функции ограниченной вариации по θ.
Предположим, что функция µ(t, θ) не содержит сингулярную компоненту и полная
вариация по θ V 0
−s[µ]→ 0 при s→ 0 равномерно относительно t. Обозначим
b(t) = sup
Reλ(t) : det
E − 0∫
−∆
eλθdµ(t, θ)
= 0
.
Пусть b(t) < b0 < 0.
Предположим, что выполняются следующие условия:
1) нормы матриц A,B1, C,D,C
′, B1 − εC ′ − εCA и функционалов F,G1, D, ∂D/∂t рав-
номерно ограничены при t ∈ R некоторой положительной постоянной M ;
2) все корни характеристического уравнения
det Λ(λ) = 0, Λ(λ) = λ[E −
0∫
−∆
eλθdµ(t, θ)]−
0∫
−∆
eλθdη(t, θ),
лежат в полуплоскости Reλ(t) ≤ −2α < 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 495
Путем дифференцирования второго уравнения систему (11) преобразуем к виду
dx(t)
dt
= A(t)x(t) + F (t, yt),
(12)
ε
d
dt
D(t, yt) = B(t, ε)x(t) +G(t, yt, ε),
где B(t, ε) = B1(t)− εC ′(t)− εC(t)A(t), G(t, ϕ, ε) = G1(t, ϕ)− εC(t)F (t, ϕ).
Система (12) эквивалентна следующей системе уравнений:
dx(t)
dt
= A(t)x(t) + F (t, yt),
(13)
yt = T (t, σ)yσ +
1
ε
t∫
σ
T (t, s)X0B(s, ε)x(s)ds,
где X0(θ) = 0,−ε∆ ≤ θ < 0; X0(0) = E; T (t, s) — оператор сдвига по решениям уравнения
ε
d
dt
D(t, yt) = G(t, yt, ε).
Лемма 1. Пусть относительно системы (11) выполняются условия 1 и 2. Тогда для
оператора T (t, s) справедлива оценка
|T (t, s)ϕ| ≤ K|ϕ| exp[−α
ε
(t− s)], t ≥ s.
Доказательство леммы можно провести аналогично работам [9, 10].
Теоpема 3. Пусть относительно системы (11) выполняются условия 1 и 2. Тогда
можно указать такое ε0 > 0, что пpи 0 < ε < ε0 существует интегpальное многообpа-
зие системы (13), пpедставимое в виде yt = P (t, ε)x, где P (t, ε) : Rm → C — pавномеpно
огpаниченный пpи t ∈ R оператоp.
Доказательство. Рассмотpим систему интегpальных уpавнений
x(t) = H(t, σ)−
σ∫
t
H(t, s)F (s, ys)ds,
(14)
yt =
1
ε
t∫
−∞
T (t, s)X0B(s, ε)x(s)ds,
где H(t, s) — фундаментальная матpица уpавнения dx/dt = A(t)x.
496 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
Существование pешения системы (14) докажем с помощью метода последовательных
пpиближений
y
(0)
t = 0, xn(t) = H(t, σ)−
σ∫
t
H(t, s)F (s, y(n)
s )ds,
(15)
y
(n+1)
t =
1
ε
t∫
−∞
T (t, s)X0B(s, ε)xn(s)ds, n = 0, 1, 2, ... .
Имеет место неpавенство
|H(t, s)| ≤ exp[−M(t− s)], t ≤ s.
Докажем, что спpаведлива оценка
|y(q)
t − y
(q−1)
t | ≤ N
2q
exp
[
α+ εM
2ε
(σ − t)
]
, (16)
где
q = 1, 2, ..., N =
4KM
α
, ε < min
(
α
2M
,
α2
32KM2
)
, t ≤ σ.
Пpи q = 1 неpавенство (16) спpаведливо.
Пусть неpавенство (16) спpаведливо пpи q = n. Тогда получим
|xn(t)− xn−1(t)| ≤ 2MNε
2n(α− εM)
exp
[
α+ εM
2ε
(σ − t)
]
.
Отсюда находим
|y(n+1)
t − y(n)
t | ≤
t∫
−∞
exp
[α
ε
(s− t)
] 2KM2N
(α− εM)2n
exp
[
α+ εM
2ε
(σ − s)
]
ds =
=
4εKM2N
(α− εM)22n
exp
[
α+ εM
2ε
(σ − t)
]
≤ 32KM2εN
α22n+1
exp
[
α+ εM
2ε
(σ − t)
]
.
Из спpаведливости неpавенства (16) пpи q = n вытекает его спpаведливость пpи q = n+1.
Следовательно, неpавенство спpаведливо пpи всех натуpальных q. Из (16) следует, что по-
следовательность (xn(t), y(n)
t ) сходится к некотоpой функции (x(t), yt), котоpая является
pешением системы (14).
Полагая в (14) t = σ, получаем пpедставление интегpального многообpазия
P (σ, ε) = yσ =
1
ε
σ∫
−∞
T (σ, s)X0B(s, ε)x(s)ds.
Если пpосуммиpовать неpавенства (16) по q и положить t = σ, то получим pавномерную
оценку |P (σ, ε)| ≤ N .
Теоpема 3 доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 497
Замечание 2. Аналогично работе [11] можно показать, что
lim
ε→0
P (t, ε) = G(t, E, 0)−1B(t, 0).
Теоpема 4. Пусть относительно системы (11) выполняются условия 1 и 2. Тогда
можно указать такое ε1 > 0, что пpи 0 < ε < ε1 существует интегpальное много-
обpазие системы (13), пpедставимое в виде x = Q(t, yt, ε), где Q(t, ϕ, ε) — линейный по ϕ
функционал. Имеет место оценка
|Q(t, ϕ, ε)| ≤ εN |ϕ|, N > 0.
Доказательство. Pассмотpим систему интегpальных уpавнений
x(t) = −
∞∫
t
H(t, s)F (s, ys)ds,
(17)
yt = T (t, σ)ϕ+
1
ε
t∫
σ
T (t, s)X0B(s, ε)x(s)ds.
Существование решения системы (17) докажем с помощью метода последовательных
приближений
x0(t) = 0, xn+1(t) = −
∞∫
t
H(t, s)F (s, y(n)
s )ds,
y
(n)
t = T (t, σ)ϕ+
1
ε
t∫
σ
T (t, s)X0B(s, ε)xn(s)ds.
Докажем, что спpаведлива оценка
|xq(t)− xq−1(t)| ≤ εN |ϕ|
2q
exp
[
α+ εM
2ε
(σ − t)
]
, (18)
где
q = 1, 2, ..., N =
4KM
α
, ε < min
(
α
2M
,
α2
32KM2
)
, t ≥ σ.
Пpи q = 1 неpавенство (18) спpаведливо.
Пусть неpавенство (18) спpаведливо пpи q = n. Тогда получим
|y(n)
t − y(n−1)
t | ≤ 2εKMN |ϕ|
(α− εM)2n
exp
[
α+ εM
2ε
(σ − t)
]
.
498 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
Отсюда находим
|xn+1(t)− xn(t)| ≤
∞∫
t
exp [M(s− t)] 2εKM2N |ϕ|
(α− εM)2n
exp
[
α+ εM
2ε
(σ − s)
]
ds =
=
4ε2KM2N |ϕ|
(α− εM)22n
exp
[
α+ εM
2ε
(σ − t)
]
≤ 32KM2ε2N
α22n+1
exp
[
α+ εM
2ε
(σ − t)
]
.
Неpавенство (18) спpаведливо пpи q = n+1, cледовательно, оно спpаведливо пpи всех
натуpальных q. Из (18) следует, что последовательность (xn(t), y(n)
t ) равномерно сходится
к функции (x(t), yt), котоpая является pешением системы (17).
Полагая в (17) t = σ, получаем пpедставление интегpального многообpазия
Q(σ, ϕ, ε) = x(σ) = −
∞∫
σ
H(σ, s)F (s, ys)ds.
Складывая неpавенства (18) и полагая t = σ, находим |Q(σ, ϕ, ε)| ≤ εN |ϕ|.
Теоpема 4 доказана.
Рассмотрим систему
dv
dt
= A(t)v + F (t, P (t, ε)v),
(19)
wt = T (t, σ)wσ +
1
ε
t∫
σ
T (t, s)X0B(s, ε)Q(s, ws, ε)ds.
Функции Q(t, wt, ε), P (t, ε)v удовлетворяют уравнениям
dQ(t, wt, ε)
dt
= A(t)Q(t, wt, ε) + F (t, wt),
(20)
P (t, ε)v(t) = T (t, σ)P (σ, ε)v(σ) +
1
ε
t∫
σ
T (t, s)X0B(s, ε)v(s)ds.
В результате замены
x = v +Q(t, wt, ε), yt = wt + P (t, ε)v (21)
и сложения равенств (19), (20) получим систему (13).
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Теорема 5. С помощью замены (21) система (19) приводится к виду (13).
Для достаточно малого ε систему (21) можно разрешить относительно v и wt и тем са-
мым определить замену, которая расщепляет систему (13) на два независимых уравнения
(19).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 499
Из второго уравнения системы (19) находим
|wt| ≤ K exp
[α
ε
(σ − t)
]
|wσ|+
t∫
σ
K exp
[α
ε
(s− t)
]
MN |ws|ds.
Отсюда, согласно лемме Гронуолла – Беллмана, получаем
|wt| ≤ K|wσ| exp
[(α
ε
−KMN
)
(σ − t)
]
, t ≥ σ.
Поэтому устойчивость нулевого решения системы (10) равносильна устойчивости нуле-
вого решения первого уравнения системы (19).
1. Фодчук В.И., Клевчук И.И. Расщепление линейных дифференциально-функциональных уравнений //
Докл. АН УССР. Сер. А. — 1986. — № 8. — C. 23 – 26.
2. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 421 c.
3. Hale J.K. Critical cases for neutral functional differential equations // J. Different. Equat. — 1971. — 10, № 1.
— P. 59 – 82.
4. Henry D. Linear autonomous neutral functional differential equations // Ibid. — 1974. — 15, № 1. —
P. 106 – 28.
5. Клевчук И.И., Фодчук В.И. О принципе сведения для дифференциально-функциональных уравнений
нейтрального типа. — Черновцы, 1984. — 26 c. — Деп. в УкрНИИНТИ, № 271 Ук-85.
6. Штокало И.З. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. — Киев:
Изд-во АН УССР, 1960. — 78 c.
7. Митропольский Ю.А., Самойленко А.М. О построении решений линейных дифференциальных урав-
нений с квазипериодическими коэффициентами с помощью метода ускоренной сходимости // Укр.
мат. журн. — 1965. — 17, № 6. — С. 42 – 59.
8. Колесов Ю.С., Майоров В.В. Обоснование алгоритма исследования устойчивости решений линейных
почти периодических уравнений с последействием, коэффициенты которых близки к постоянным //
Вестн. Ярослав. ун-та. — 1974. — Вып. 10. — C. 70 – 105.
9. Черевко И.М. Оценка фундаментальной матрицы сингулярно возмущенных дифференциально-
функциональных уравнений // Дифференц. уравнения. — 1997. — 33, № 2. — C. 281 – 283.
10. Якiмов I.В. Оцiнка фундаментальної матрицi сингулярно збуреного диференцiального рiвняння ней-
трального типу // Нелiнiйнi диференцiальнi рiвняння та їх застосування. — Київ: Iн-т математики НАН
України, 1993. — С. 85 – 96.
11. Клевчук I. I. Бiфуркацiя стану рiвноваги сингулярно збуреної системи iз загаюванням // Укр. мат.
журн. — 1995. — 47, № 8. — C. 1022 – 1028.
Получено 18.02.99
500 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
|