Необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений
Отриманi необхiднi та достатнi умови iснування i єдиностi обмежених розв’язкiв нелiнiйного диференцiального рiвняння dx/dt + f(x) = h(t), t ∈ R. Тут f : R → R — неперервне вiдображення, h(t) — неперервна i обмежена на R функцiя....
Gespeichert in:
| Datum: | 1999 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
1999
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177271 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений / В. Е. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 4. — С. 523-539. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177271 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772712021-02-14T10:04:43Z Необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений Слюсарчук, В. Е. Отриманi необхiднi та достатнi умови iснування i єдиностi обмежених розв’язкiв нелiнiйного диференцiального рiвняння dx/dt + f(x) = h(t), t ∈ R. Тут f : R → R — неперервне вiдображення, h(t) — неперервна i обмежена на R функцiя. Necessary and suf ficient conditions of the existence and uniqueness of bounded solutions of nonlinear dif ferential equation dx/dt + f(x) = h(t), t ∈ R, are obtained. Here f : R → R is continuous operator and h(t) is continuous and bounded function on R. 1999 Article Необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений / В. Е. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 4. — С. 523-539. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177271 517.9 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Отриманi необхiднi та достатнi умови iснування i єдиностi обмежених розв’язкiв нелiнiйного диференцiального рiвняння dx/dt + f(x) = h(t), t ∈ R. Тут f : R → R — неперервне вiдображення, h(t) — неперервна i обмежена на R функцiя. |
| format |
Article |
| author |
Слюсарчук, В. Е. |
| spellingShingle |
Слюсарчук, В. Е. Необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений Нелінійні коливання |
| author_facet |
Слюсарчук, В. Е. |
| author_sort |
Слюсарчук, В. Е. |
| title |
Необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений |
| title_short |
Необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений |
| title_full |
Необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений |
| title_fullStr |
Необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed |
Необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений |
| title_sort |
необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
1999 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177271 |
| citation_txt |
Необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений / В. Е. Слюсарчук // Нелінійні коливання. — 1999. — Т. 2, № 4. — С. 523-539. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT slûsarčukve neobhodimyeidostatočnyeusloviâsuŝestvovaniâiedinstvennostiograničennyhrešenijnelinejnyhdifferencialʹnyhuravnenij |
| first_indexed |
2025-07-15T15:18:43Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:18:43Z |
| _version_ |
1837726668399050752 |
| fulltext |
т. 2 •№ 4 • 1999
УДК 517 . 9
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ
И ЕДИНСТВЕННОСТИ ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В. Е. Слюсарчук
Ривнэн. техн. ун-т,
Украина, 266000, Ривнэ, ул. Соборная, 11
e-mail: admi@uswm.rovno.ua
Necessary and suf f icient conditions of the existence and uniqueness of bounded solutions of nonlinear
dif ferential equation dx/dt+ f(x) = h(t), t ∈ R, are obtained. Here f : R → R is continuous operator
and h(t) is continuous and bounded function on R.
Отриманi необхiднi та достатнi умови iснування i єдиностi обмежених розв’язкiв нелiнiйного
диференцiального рiвняння dx/dt+ f(x) = h(t), t ∈ R. Тут f : R→ R— неперервне вiдображен-
ня, h(t) — неперервна i обмежена на R функцiя.
1. c-Непрерывные отображения. Постановка задачи. Пусть R — множество всех ве-
щественных чисел, N — множество всех натуральных чисел, C0 — банахово простран-
ство непрерывных и ограниченных на R функций x = x(t) со значениями в R с нормой
‖x‖C0 = sup
t∈R
| x(t) | и C1 — банахово пространство функций x = x(t) ∈ C0, для каждой из
которых dx/dt ∈ C0, с нормой ‖x‖C1 = ‖x‖C0 + ‖dx/dt‖C0 .
Последовательность функций xk = xk(t) ∈ C0, k ∈ N, будем называть локально схо-
дящейся к функции x = x(t) ∈ C0 при k →∞ и обозначать
xk
лок., C1
−→ x при k →∞,
если эта последовательность ограничена и
lim
k→∞
max
|t|≤p
|xk(t)− x(t)| = 0 ∀p ∈ N.
Аналогично последовательность функций xk = xk(t) ∈ C1, k ∈ N, локально сходится к
функции x = x(t) ∈ C1 при k →∞:
xk
лок., C1
−→ x при k →∞,
если sup
k≥1
‖xk‖C1 <∞ и
lim
k→∞
max
|t|≤p
(
|xk(t)− x(t)|+
∣∣∣∣dxk(t)dt
− dx(t)
dt
∣∣∣∣) = 0 ∀ p ∈ N.
c© В. Е. Слюсарчук, 1999 523
Отображение F : X → Y , где X,Y ∈ {C0, C1}, будем называть c-непрерывным, если
для произвольных элемента x ∈ X и последовательности xk ∈ X, k ∈ N, для которых
xk
лок., X−→ x, Fxk
лок., Y−→ Fx при k →∞.
Заметим, что c-непрерывные отображения введены в рассмотрение Э.Мухамадиевым
[1, 2], а детальное их исследование осуществлено в [3 – 11].
Примером c-непрерывного отображения, действующего из C1 в C0, является отобра-
жение L : C1 → C0, определенное равенством
(Lx)(t) =
dx(t)
dt
+ f(x(t)), t ∈ R,
где f : R→ R— непрерывное отображение и x = x(t) ∈ C1.
Выясним, когда уравнение
(Ly)(t) = h(t), t ∈ R, (1)
имеет по крайней мере одно решение y = y(t) ∈ C1 для каждой функции h = h(t) ∈ C0 и
когда это решение единственное.
При решении этой задачи существенным является использование локально сходящих-
ся последовательностей и c-непрерывных отображений.
Заметим, что аналогичная задача решалась многими авторами в основном для линей-
ных или слабонелинейных отображений L (см., например, [12 – 16]). Определенное выше
отображение L в силу произвольности f не принадлежит такому классу отображений и
решение сформулированной задачи не является тривиальным.
2. Формулировка основных результатов. Пусть R(F ) — множество значений отобра-
жения F : X −→ Y , где X,Y ∈ {R, C0, C1}, F−1y и F−1M — полные прообразы соответ-
ственно элемента y ∈ Y и множества M ⊂ Y (при отображении F ), f |[α,β](x) — сужение
функции f(x) на отрезок [α, β] и Ck(R,M)
def= {x ∈ Ck : R(x) ⊂ M} (здесь M — произ-
вольное подмножество множества R и k ∈ {0, 1}).
Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1. (L−1h) ∩ C1 6= ∅ для каждой функции h = h(t) ∈ C0(R, I), где I — один
из интервалов [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) (a, b ∈ R; a < b), тогда и только тогда, когда
R(f) ⊃ [a, b].
Теорема 2. R(L) = C0 тогда и только тогда, когда R(f) = R. При этом для произ-
вольных отрезка [α, β] и функции h = h(t) ∈ C0, для которых R(f |[α,β]) ⊃ R(h), найдет-
ся функция x = x(t) ∈ L−1h такая, что R(x) ⊂ [α, β].
Теорема 3. Уравнение (1) для каждой функции h = h(t) ∈ C0(R, I), где I — один из
интервалов [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) (a, b ∈ R; a < b), имеет единственное решение yh =
= yh(t) ∈ C1(R, [α, β]) и
[α, β] =
⋃
h∈C0(R,I)
R(yh) (2)
тогда и только тогда, когда функция f(x) является строго монотонной на [α, β] и
R(f |[α,β]) = [a, b].
524 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
Теорема 4. Следующие утверждения эквивалентны:
1) отображение f : R→ R имеет непрерывное обратное отображение;
2) отображение L : C1 → C0 имеет обратное непрерывное отображение;
3) отображение L : C1 → C0 имеет обратное непрерывное и c-непрерывное отобра-
жение.
Теорема 5. Пусть отображение L : C1 → C0 имеет обратное непрерывное отобра-
жение L−1 и |f(x)| ≥ k|x| для всех x ∈ R и некоторого числа k > 0. Тогда
‖L−1h‖C0 ≤ k−1‖h‖C0 ∀h ∈ C0, (3)
‖L−1h‖C1 ≤ (2 + k−1)‖h‖C0 ∀h ∈ C0 (4)
и для каждого c-непрерывного отображения G : C0 → C0, для которого
lim
r→+∞
(
kr − sup
‖x‖C0≤r
‖Gx‖C0
)
= +∞, (5)
выполняется равенство
R(L+G) = C0. (6)
3. Вспомогательные утверждения. Обозначим через F множество всех непрерывных
отображений g : R→ R, для каждого из которых R(g) = R i lim
|x|→+∞
|g(x)| = +∞.
Лемма 1. Пусть g ∈ F . Тогда для каждого числа H > 0 найдутся числа k 6= 0 и a > 0
такие, что
|g(x)− kx| ≤ |k|a−H ∀ x ∈ [−a, a].
Доказательство. Пусть b — такое положительное число, что min
|x|≥b
|g(x)| ≥ H , и пусть
M = max
|x|≤b
|g(x)|. Возьмем произвольные числа k 6= 0 и a > b , для которых
|k|b ≥ H, (7)
M + |k|b ≤ |k|a−H, (8)
kxg(x) > 0, если |x| > b, (9)
и
|g(x)| ≤ |k|a, если b < |x| ≤ a.
Тогда
|g(x)− kx| = ||g(x)| − |kx|| ≤ |k|a−H,
если b < |x| ≤ a (здесь учтены соотношения (7) и (9)). Если |x| ≤ b, то согласно (8)
|g(x)− kx| ≤ |g(x)|+ |kx| ≤M + |k|b ≤ |k|a−H,
и лемма 1 доказана.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 525
Обозначим через PT , где T — произвольное положительное число, подпространство
пространства C0, элементами которого являются T -периодические функции.
Лемма 2. Пусть f ∈ F . Тогда (L−1h) ∩ PT 6= ∅ для всех h ∈ PT и T > 0.
Доказательство. Зафиксируем произвольные число T > 0 и функцию h ∈ h(t) ∈ PT .
Согласно лемме 1, найдутся числа k 6= 0 и a > 0 такие, что
|f(x)− kx| ≤ |k|a− ‖h‖C0 , если |x| ≤ a. (10)
Рассмотрим вполне непрерывное отображение G : PT → PT , определенное равенством
(Gx)(t) = − k
|k|
∫
{s:kt<ks}
ek(t−s)(−f(x(s)) + kx(s) + h(s))ds, t ∈ R.
Нетрудно убедиться в том, что задача о существовании T -периодических решений урав-
нения (1) равносильна аналогичной задаче для уравнения
x(t) = (Gx)(t), t ∈ R, (11)
и на основании (10) имеет место соотношение
GSa ⊂ Sa,
где Sa = {x ∈ PT : ‖x‖C0 ≤ a}. Поэтому, согласно теореме Шаудера о неподвижной
точке [17, c. 36], множество T -периодических решений уравнения (11), а следовательно, и
уравнения (1) является непустым.
Лемма 2 доказана.
Пусть S0
r = {x ∈ C0 : ‖x‖C0 ≤ r} и S1
r = {x ∈ C1 : ‖x‖C1 ≤ r} (r > 0).
Лемма 3. Для каждой последовательности функций xn = xn(t) ∈ S0
r ∩ S1
R, n ∈ N, где
r и R — произвольные положительные числа, найдутся такие строго возрастающая
последовательность натуральных чисел nk, k ∈ N, и функция x = x(t) ∈ S0
r , что
xnk
лок., C0
−→ x при k →∞.
Доказательство. Из ограничений на множество {xn ∈ C1 : n ∈ N} вытекает, что
функции xn = xn(t), n ∈ N, равномерно ограничены и равностепенно непрерывны на R.
Поэтому на основании теоремы Арцела [18, c. 105] найдутся такие подпоследовательно-
сти
xn1,1 , xn1,2 , . . . , xn1,p , . . . ,
xn2,1 , xn2,2 , . . . , xn2,p , . . . ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xnm,1 , xnm,2 , . . . , xnm,p , . . . ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
526 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
последовательности xn, n ∈ N, что: 1) последовательности чисел nl,p, p ∈ N, являются
строго возрастающими для каждого l ∈ N и
{n1,p : p ∈ N} ⊃ {n2,p : p ∈ N} ⊃ . . . ⊃ {nm,p : p ∈ N} ⊃ . . . ;
2) для каждого m ∈ N последовательность xnm,p(t), p ∈ N, является равномерно сходя-
щейся на [−m,m]. Тогда диагональная последовательность
xn1,1 , xn2,2 , . . . , xnp,p , . . .
будет равномерно сходящейся на каждом отрезке [a, b] ⊂ R и поэтому функция
x(t) = lim
p→∞
xnp,p(t), t ∈ R,
будет непрерывной и, очевидно, R(x) ⊂ [−r, r]. Отсюда следует, что
xnp,p
лок., C0
−→ x при p→∞.
Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Пусть f : R→ R— непрерывное отображение, h(t) ∈ C0 и [a, b], [α, β] — та-
кие отрезки, что R(f |[α,β]) = [a, b], {f(α), f(β)} = {a, b} и R(h) ⊂ [a, b]. Тогда уравнение
(1) имеет решение y(t) ∈ C1, для которого R(y) ⊂ [α, β].
Доказательство. Рассмотрим отображение f∗ ∈ F , для которого f∗|[α,β] = f |[α,β] и
f∗(x) ∈ R \ [a, b] ∀ x ∈ R \ [α, β], (12)
и последовательность периодических функций hn = hn(t) ∈ C0, для которых
R(hn) ⊂ [a, b], n ∈ N, (13)
и
hn
лок., C0
−→ h при n→∞. (14)
Согласно лемме 2, уравнение
dy
dt
+ f∗(y) = hn(t), t ∈ R, (15)
имеет периодическое решение yn(t), которое в некоторых точках t1 и t2 принимает
наименьшее yn,min и наибольшее yn,max значения. В этих точках
dyn
dt
= 0. Поэтому
{f∗(yn,min), f∗(yn,max)} = {hn(t1), hn(t2)} и на основании (12) {yn,min, yn,max} ⊂ [α, β]. Сле-
довательно,
R(yn) ⊂ [α, β] , n ∈ N. (16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 527
Поскольку f∗(x) = f(x) для всех x ∈ [α, β], то решение yn = yn(t) уравнения (15) также
является решением уравнения (1) при h(t) = hn(t), т. е.
dyn(t)
dt
+ f(yn(t)) = hn(t), t ∈ R, n ∈ N. (17)
Отсюда, из включений (13), (16) и из непрерывности функции f(x) на R вытекает, что
sup
n∈N
‖yn‖C1 <∞.
Поэтому на основании леммы 3 можно считать, не ограничивая общности, что для неко-
торой функции y = y(t) ∈ C0
yn
лок., C0
−→ y при n→∞ (18)
(из (16) следует, что R(y) ⊂ [α, β]). Поскольку согласно (17)
yn(t)− yn(0) +
∫ t
0
f(yn(τ))dτ =
t∫
0
hn(τ)dτ , t ∈ R, n ∈ N,
то на основании (14), (18) и непрерывности функции f(x) на R
y(t)− y(0) +
∫ t
0
f(y(τ))dτ =
t∫
0
h(τ)dτ , t ∈ R,
и, следовательно, y = y(t) ∈ C1.
Лемма 4 доказана.
Лемма 5. Пусть g(x) — непрерывная и строго возрастающая на [a, b] функция. Тогда
для каждого ε ∈ (0, b− a) найдется k > 0 такое, что
g(u)− g(v) ≥ k(u− v)
для всех u, v ∈ [a, b], для которых u− v ≥ ε.
Доказательство. Пусть утверждение леммы ложно. Тогда найдутся последовательно-
сти чисел un, vn ∈ [a, b], для которых un − vn ≥ ε, n ∈ N, и
lim
n→+∞
g(un)− g(vn)
un − vn
= 0.
Поэтому, согласно непрерывности функции g(x) на [a, b], найдутся числа α, β ∈ [a, b] та-
кие, что β − α ≥ ε и g(β) = g(α). Последнее равенство противоречит условиям леммы.
Итак, предположение о ложности утверждения леммы ошибочно.
Лемма 5 доказана.
528 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
Лемма 6. Пусть g(x) — непрерывная и строго убывающая на [a, b] функция. Тогда
для каждого ε ∈ (0, b− a) найдется k < 0 такое, что
g(u)− g(v) ≤ k(u− v)
для всех u, v ∈ [a, b], для которых u− v ≥ ε.
Эта лемма доказывается аналогично лемме 5.
Лемма 7. Пусть отображение A : C0 → C0 является c-непрерывным и для некото-
рых чисел r > 0 и R > 0, r ≤ R выполняются включения AS0
r ⊂ S0
r и AS0
r ⊂ S1
R. Тогда
отображение A имеет по крайней мере одну неподвижную точку x∗ ∈ S0
r ∩ S1
R.
Доказательство. Рассмотрим функции
δn(t) =
1, если |t| ≤ n;
cos2(|t| − n), если n < |t| ≤ n+
π
2
,
0, если |t| > n+
π
2
,
и отображения An : C0 → C0, определенные равенствами
(Anx)(t) = δn(t)(Ax)(t), t ∈ R, n ∈ N. (19)
Из условий леммы и того, что ‖δn‖C0 = 1 и
∥∥∥∥dδndt
∥∥∥∥
C0
= 1, следуют включения
AnS0
r ⊂ S0
r и AnS0
r ⊂ S1
R+r, n ∈ N. (20)
Поэтому отображения An : S0
r → S0
r , n ≥ 1, вполне непрерывны (согласно теореме
Арцела) и на основании теоремы Шаудера о неподвижной точке найдется множество
{x∗n ∈ S0
r ∩ S1
R+r : n ∈ N} такое, что
Anx∗n = x∗n ∀n ∈ N. (21)
Тогда, согласно лемме 3,
x∗nk
лок., C0
−→ x∗ при k →∞ (22)
для некоторой строго возрастающей последовательности nk, k ∈ N, и функции x∗ =
= x∗(t) ∈ C0, а согласно (19) и (21)
Ax∗ − x∗ = (Ax∗ − δnkAx
∗) + (δnkAx
∗ − δnkAx
∗
nk
)+
+(δnkAx
∗
nk
− x∗nk) + (x∗nk − x
∗) ∀k ∈ N.
Поскольку
Ax∗ − δnkAx
∗
лок., C0
−→ 0 при k →∞,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 529
x∗nk − x
∗
лок., C0
−→ 0 при k →∞,
δnkAx
∗ − δnkAx
∗
nk
лок., C0
−→ 0 при k →∞
и
δnkAx
∗
nk
− x∗nk = 0 ∀k ∈ N
(здесь использована c-непрерывность отображения A), то Ax∗ − x∗ = 0, т. е. x∗ — непо-
движная точка отображения A. Эта точка находится в шаре S0
r на основании (20) и (22),
а следовательно, и во множестве S0
r ∩ S1
R (в силу включения AS0
r ⊂ S1
R).
Лемма 7 доказана.
Заметим, что утверждения, близкие к лемме 7, применялись в [8, 19, 20] для исследова-
ния ограниченных решений функционально-дифференциальных, дискретных и диффе-
ренциальных (с импульсным воздействием) уравнений.
4. Доказательство теоремы 1. Пусть R(f) ⊃ [a, b] и h ∈ C0(R, I). В силу непрерывно-
сти функции f(x) на R найдется отрезок [α, β], для которого
R(f |[α,β]) ⊃ [a, b].
Тогда на основании леммы 4 {x ∈ (L−1h) ∩ C1 : R(x) ⊂ [α, β]} 6= ∅.
Итак, выполнение соотношения R(f) ⊃ [a, b] обеспечивает выполнение соотношения
(L−1h) ∩ C1 6= ∅ для всех h ∈ C0(R, I).
Пусть соотношение R(f) ⊃ [a, b] не выполняется. Тогда [a, b] \ R(f) 6= ∅. Рассмотрим
произвольные число γ ∈ [a, b] \ R(f) и функцию h = h(t) ∈ C0 такие, чтобы R(h) ⊂ (a, b)
и
lim
t→+∞
h(t) = γ.
Предположим, что уравнение (1) из рассмотренной правой частью h(t) имеет в простран-
стве C1 решение y = y(t). Пусть [ρ, ν]
def= R(f |
R(y)
). Поскольку [ρ, ν] ⊂ R(f), то
lim
t→+∞
dy(t)
dt
= lim
t→+∞
(−f(y(t)) + h(t)) ≥ −ν + γ > 0, (23)
если γ > f(x) для всех x ∈ R, и
lim
t→+∞
dy(t)
dt
= lim
t→+∞
(−f(y(t)) + h(t)) ≤ −ρ+ γ < 0, (24)
если γ < f(x) для всех x ∈ R. Каждое из соотношений (23) и (24) противоречит огра-
ниченности функции y = y(t) на R, т. е. предположение о том, что уравнение (1) имеет
решение, принадлежащее пространству C1, ложно.
Итак, если соотношение R(f) ⊃ [a, b] не выполняется, то не для каждой функции h =
= h(t) ∈ C0(R, I) уравнение (1) имеет решение y = y(t) ∈ C1.
Теорема 1 доказана.
5. Доказательство теоремы 2. Пусть R(f) = R. Рассмотрим произвольную функцию
h = h(t) ∈ C0. Поскольку R(h) ⊂ R(f), то согласно теореме 1 (L−1h) ∩ C1 6= ∅. Итак, в
силу произвольности h ∈ C0 справедливо равенство R(L) = C0.
530 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
Пусть R(f) 6= R. Тогда R(f) 6= R, так как отображение f : R −→ R непрерывно.
Рассмотрим уравнение
dx
dt
= −f(x) +m, t ∈ R,
где m ∈ R \ R(f). Каждое решение x = x(t) этого уравнения является неограниченным,
поскольку∣∣∣∣dx(t)
dt
∣∣∣∣ ≥ inf
y∈R(f)
|m− y| > 0
для всех точек t области определения решения. Отсюда вытекает, что существование
ограниченных решений уравнения (1) с произвольной функцией h = h(t) ∈ C0, т. е. вы-
полнение равенства R(L) = C0, гарантирует выполнение равенства R(f) = R.
Вторая часть утверждения теоремы является следствием леммы 4.
Теорема 2 доказана.
6. Доказательство теоремы 3. Докажем сначала часть „только тогда”. Пусть урав-
нение (1) для каждой функции h = h(t) ∈ C0(R, I) имеет единственное решение
yh = yh(t) ∈ C1(R, [α, β]) и выполняется соотношение (2). Тогда для каждого числа c ∈
∈ I дифференциальное уравнение
dy
dt
+ f(y) = c
имеет единственное решение yc, которое является постоянным, и, следовательно, урав-
нение
f(y) = c (25)
имеет единственное решение y = yc для каждого c ∈ I. Поэтому отображение f :M−→
−→ I, гдеM def= {yc : c ∈ (a, b)}, имеет обратное отображение f−1 : I −→M. Рассмотрим
произвольные числа m1,m2 ∈ M. Пусть m1 < m2. Функция f(x) непрерывна на [m1,m2]
и {f(m1), f(m2)} ⊂ I. Покажем, что
f(x) ∈ [A,B] ∀x ∈ [m1,m2], (26)
где A = min{f(m1), f(m2)} и B = max{f(m1), f(m2)}.
Предположим, что соотношение (26) не выполняется, т. е. f(x0) 6∈ [A,B] для некото-
рого числа x0 ∈ (m1,m2). Согласно теореме Больцано – Коши о промежуточном значе-
нии [21, с. 171], найдется такое число x1 ∈ (m1,m2), что f(x1) ∈ {f(m1), f(m2)}. Это вклю-
чение противоречит тому, что уравнение (25) имеет единственное решение для каждого
c ∈ I (при c = f(x1) уравнение (25) имеет по крайней мере два решения). Следователь-
но, соотношение (26) выполняется. Поэтому [m1,m2] ⊂M. Отсюда и из произвольности
чисел m1,m2 ∈ I следует связность множестваM. Тогда функция f(x), если учесть, что
отображение f :M −→ I имеет обратное отображение, является строго монотонной на
множествеM, а следовательно, и на замыканииM этого множества. В силу непрерыв-
ности отображения f выполняется равенство
R(f |M) = I.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 531
Отсюда и из соотношения (2) на основании леммы 4 получаемM = [α, β].
Таким образом, часть „только тогда” доказана.
Докажем теперь часть „тогда". Пусть функция f(x) является строго монотонной на
[α, β] и R(f |[α,β]) = [a, b]. Зафиксируем произвольную функцию h = h(t) ∈ C0(R, I). Со-
гласно лемме 4, уравнение (1) имеет решение y = y(t) ∈ C1(R, [α, β]). Покажем един-
ственность этого решения. Предположим противное. Пусть y1 = y1(t) и y2 = y2(t) —
решения рассматриваемого уравнения,
R(yk) ⊂ [α, β], k ∈ {1, 2}, (27)
и
y1(τ) < y2(τ)
для некоторого τ ∈ R. Очевидно, что
d(y2(t)− y1(t))
dt
= f(y2(t))− f(y1(t)) ∀t ∈ R. (28)
Отсюда и из непрерывности функции f(y2(t))− f(y1(t)) на R следует, что или
d(y2(t)− y1(t))
dt
> 0 ∀t ≥ τ
и, следовательно,
y2(t)− y1(t) ≥ ν ∀t ≥ τ, (29)
если функция f(x) является строго возрастающей на [α, β], или
d(y2(t)− y1(t))
dt
< 0 ∀t ≤ τ
и, следовательно,
y2(t)− y1(t) ≥ ν ∀t ≤ τ, (30)
если функция f(x) является строго убывающей на [α, β]. В первом случае на основании
соотношений (27) — (29) и леммы 5
(y2(t)− y1(t))
dt
≥ k(y2(t)− y1(t)) ∀t ≥ τ (31)
(здесь k — некоторое положительное число). Во втором случае на основании соотноше-
ний (27), (28), (30) и леммы 6
(y2(t)− y1(t))
dt
≤ k(y2(t)− y1(t)) ∀t ≤ τ (32)
(здесь k — некоторое отрицательное число). Каждое из соотношений (31) и (32) проти-
воречит соотношению (27).
Итак, предположение о неединственности решений уравнения (1) c правой частью из
множества C0(R, I) ложно.
Следовательно, для каждой функции h = h(t) ∈ 0(R, I) уравнение (1) имеет един-
ственное решение yh = yh(t) ∈ C1(R, [α, β]). Отсюда, из равенства R(f |[α,β]) и строгой
монотонности функции f(x) на [α, β] получаем соотношение (25).
532 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
Таким образом, часть „тогда"также доказана.
Теорема 3 доказана.
7. Доказательство теоремы 4. Докажем импликацию 1) ⇒ 2). Пусть отображение
f : R → R имеет непрерывное обратное отображение. Тогда функция f(x) будет стро-
го монотонной на R и R(f) = R. Рассмотрим произвольные функции h = h(t) ∈ C0 и
hn = hn(t) ∈ C0, n ∈ N, для которых
lim
n→+∞
||h− hn||C0 = 0. (33)
Согласно теореме 2 найдутся функции x = x(t) ∈ C1 и xn = xn(t) ∈ C1, n ∈ N, которые
будут решениями соответственно уравнений
dx
dt
+ f(x) = h(t), t ∈ R, (34)
и
dxn
dt
+ f(xn) = hn(t), t ∈ R, n ∈ N. (35)
Также найдется отрезок [a, b], для которого
R(x)
⋃⋃
n≥1
R(xn)
⊂ [a, b]. (36)
Покажем, что
lim
n→+∞
||x− xn||C1 = 0. (37)
Отсюда будет вытекать, что уравнение (34) имеет в пространстве C1 единственное ре-
шение для каждой функции h = h(t) ∈ C0, т. е. отображение L : C1 → C0 обратимо, и
отображение L−1 : C0 → C1непрерывно.
Предположим, что соотношение (37) не выполняется, т. е.
lim
n→+∞
||x− xn||C1 > 0.
Из соотношений (33) — (35) и равномерной непрерывности функции f(x) на [a, b] выте-
кает, что
lim
n→+∞
||x− xn||C0 > 0.
Не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого числа µ ∈ (0, b − a) вы-
полняется неравенство
||x− xn||C0 ≥ µ, n ≥ 1. (38)
Рассмотрим случай, когда функция f(x) является строго убывающей на R.На основа-
нии леммы 4 найдется число k > 0 такое, что
−f(α) + f(β) ≥ k(α− β) (39)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 533
для всех α, β ∈ [a, b], для которых α− β ≥ µ/2. Возьмем такое число δ > 0, чтобы
kµ− 2δ > 0. (40)
Из (33) и (38) вытекает, что найдутся числа n1 ∈ N и t1 ∈ R, для которых
||h− hn1 ||C0 ≤ δ (41)
и
|x(t1)− xn1(t1)| ≥ µ
2
.
Не ограничивая общности, можна считать, что
x(t1)− xn1(t1) ≥ µ
2
. (42)
Используем соотношение
d(x(t)− xn1(t))
dt
= −f(x(t)) + f(xn1(t)) + h(t)− hn1(t), t ∈ R, (43)
которое вытекает из (34) и (35). Из этого соотношения с учетом (39)—(41) и (42) получа-
ем
d(x(t1)− xn1(t1))
dt
> 0. (44)
Рассмотрим произвольный интервал [t1, T ), для которого
d(x(t)− xn1(t))
dt
> 0 ∀t ∈ [t1, T ) (45)
(множество таких интервалов непустое, поскольку функция −f(x(t)) + f(xn1(t)) + h(t)−
−hn1(t) является непрерывной на R и выполняются соотношения (43) и (44)). Тогда на
основании (45) функция x(t)− xn1(t) является строго возрастающей на интервале [t1, T ).
Поэтому на основании непрерывности функции x(t)−xn1(t) в точке T выполняется нера-
венство
x(T )− xn1(T ) >
µ
2
.
А поскольку на основании (36) {x(T ), xn1(T )} ⊂ [a, b], то согласно (39), (40) и (41)
−f(x(T )) + f(xn1(T )) + h(T )− hn1(T ) >
kµ
2
− δ > 0.
Отсюда вытекает, что на интервале [t1,+∞) не найдется точки τ , в которой
d(x(t)− xn1(t))
dt
∣∣∣∣
t=τ
= 0.
Поэтому
d(x(t)− xn1(t))
dt
> 0 ∀t ≥ t1.
534 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
Следовательно,
x(t)− xn1(t) ≥ µ
2
∀t ≥ t1.
Тогда на основании (39) — (41) и (43)
d(x(t)− xn1(t))
dt
≥ kµ
2
− δ > 0 ∀t ≥ t1.
Это соотношение, очевидно, противоречит соотношению (36).
Таким образом, предположение о том, что не выполняется соотношение (37), являет-
ся ложным в случае, когда функция f(t) является строго убывающей на R.
Теперь рассмотрим случай, когда функция f(x) является строго возрастающей на R.
На основании леммы 6 найдется число k < 0 такое, что
−f(α) + f(β) ≤ k(α− β) (46)
для всeх α, β ∈ [a, b], для которых α− β ≥ µ/2. Возьмем такое число γ > 0, чтобы
kµ+ 2γ < 0. (47)
Из (33) вытекает, что найдется n2 ∈ N, для которого
||h− hn2 ||C0 ≤ γ. (48)
Тогда согласно (38) для некоторого t2 ∈ R
|x(t2)− xn2(t2)| ≥ µ
2
.
Не ограничивая общности, можна считать, что
x(t2)− xn2(t2) ≥ µ
2
. (49)
Из соотношения
d(x(t)− xn2(t))
dt
= −f(x(t)) + f(xn2(t)) + h(t)− hn2(t), t ∈ R, (50)
которое получается из (34) и (35), и соотношений (46) — (49) вытекает
d(x(t2)− xn2(t2))
dt
< 0. (51)
Рассмотрим произвольный интервал (T, t2], для которого
d(x(t)− xn2(t))
dt
< 0 ∀t ∈ (T, t2] (52)
(множество таких интервалов является непустым, поскольку функция −f(x(t)) +
+f(xn2(t)) + h(t)− hn2(t) непрерывна на R и выполняются соотношения (50) и (51)). По-
этому на основании (52) функция x(t)−xn2(t) является строго убывающей на (T, t2]. Сле-
довательно, для непрерывной функции x(t)− xn2(t) в точке T выполняется неравенство
x(T )− xn2(T ) >
µ
2
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 535
А поскольку на основании (36) {x(T ), xn2(T )} ⊂ [a, b], то согласно (46), (47) и (23)
−f(x(T )) + f(xn2(T )) + h(T )− hn2(T ) <
kµ
2
+ γ < 0.
Отсюда вытекает, что на интервале (−∞, t2] не найдется точки τ , в которой
d(x(t)− xn2(t))
dt
∣∣∣∣
t=τ
= 0.
Поэтому
d(x(t)− xn2(t))
dt
< 0 ∀t ≤ t2
и, следовательно,
x(t)− xn2(t) ≥ µ
2
∀t ≤ t2.
Тогда на основании (46) — (48) и (50)
d(x(t)− xn2(t))
dt
≤ kµ
2
+ γ < 0 ∀t < t2.
Это соотношение противоречит соотношению (36).
Итак, предположение о том, что соотношение (37) не выполняется, ложно и в случае,
когда функция f(x) является строго возрастающей на R.
Таким образом, отображение L : C1 → C0 имеет обратное непрерывное отображе-
ние, т. е. импликация 1)⇒ 2) доказана.
Докажем импликацию 2) ⇒ 3). Предположим, что непрерывное отображение L−1 :
C0 → C1 не является c-непрерывным. Тогда найдутся функции h = h(t) ∈ C0 и hn =
= hn(t) ∈ C0, n ∈ N, такие, что
hn
лок., C0
−→ h при n→∞ (53)
и
max
a≤t≤b
(
|(L−1h)(t)− (L−1hn)(t)|+
∣∣∣∣(L−1h)(t)
dt
− (L−1hn)(t)
dt
∣∣∣∣) > δ (54)
для всех n ∈ N. Согласно ограниченности множества {hn ∈ C0 : n ∈ N} (на основании
(53)) и теореме 2, множество {L−1hn : n ∈ N} также ограничено. Поэтому на основании
леммы 3 можно считать, не ограничивая общности, что
L−1hn
лок., C0
−→ y при n→∞, (55)
где y = y(t) — некоторый элемент пространства C0. Из равенств
(L−1hn)(t)− (L−1hn)(0) +
t∫
0
f((L−1hn)(τ))dτ =
t∫
0
hn(τ)dτ , t ∈ R, n ∈ N,
536 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
соотношений (53), (55) и непрерывности функции f(x) на R получаем
y(t)− y(0) +
t∫
0
f(y(τ))τ =
t∫
0
h(τ)τ , t ∈ R,
и
L−1hn
лок., C1
−→ y при n→∞. (56)
Следовательно, уравнение (1) имеет решения x = x(t) и y = y(t), для которых
‖x− y‖C1 ≥ δ > 0
(согласно (54) и (56)). Последнее соотношение противоречит тому, что отображение L :
C1 → C0 имеет обратное непрерывное отображение.
Итак, предположение о том, что отображение L−1 : C0 → C1 не является c-
непрерывным, ложно.
Следовательно, импликация 2)⇒ 3) доказана.
Теперь докажем импликацию 3)⇒ 1). Пусть отображение L : C1 → C0 имеет обрат-
ное непрерывное и c-непрерывное отображение. Тогда R(L) = C0 и на основании теоре-
мы 2 R(f) = R. Рассмотрим уравнения
dy
dt
+ f(y) = h (57)
и
f(x) = h, (58)
в которых h = const ∈ R. Каждое постоянное решение уравнения (58) также будет ре-
шением уравнения (57). А поскольку согласно обратимости отображения L : C1 → C0
уравнение (57) имеет единственное решение y ∈ C1, то уравнение (58) также будет иметь
единственное решение. На основании этого и равенства R(f) = R непрерывное отобра-
жение f : R→ R будет иметь непрерывное обратное отображение.
Таким образом, импликация 3)⇒ 1) доказана.
Теорема 4 доказана, поскольку 1)⇒ 2)⇒ 3)⇒ 1).
8. Доказательство теоремы 5. Согласно теореме 4, отображение f : R → R име-
ет непрерывное обратное. Поэтому функция f(x) является строго монотонной на R и
R(f) = R. Тогда на основании леммы 4 для каждой функции h = h(t) ∈ C0
R(L−1h) ⊂ f−1(R(h)) (59)
и, следовательно,
sup
{
|x| : x ∈ R(L−1h)
}
≤ sup
{
|x| : x ∈ f−1(R(h))
}
. (60)
Поскольку |f(x)| ≥ k|x| для всех x ∈ R, то
sup
{
|x| : x ∈ f−1(R(h))
}
≤ sup
{
|x| : x ∈ R(k−1h)
}
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 537
Отсюда и из неравенства (60) вытекает неравенство (3). Для доказательства неравенства
(4) используем то, что
d(L−1h)(t)
dt
= −f((L−1h)(t)) + h(t), t ∈ R, (61)
и
f(R(L−1h)) ⊂ R(h)
для всех функций h = h(t) ∈ C0 (последнее соотношение получается из соотношения (59)
на основании монотонности функции f(x) на R). Поэтому
‖f(L−1h)‖C0 ≤ ‖h‖C0
и согласно (61)∥∥∥∥dL−1h
dt
∥∥∥∥
C0
≤ 2‖h‖C0 .
Из этого неравенства и из неравенства (3) вытекает неравенство (4).
Равенство (6) вытекает из того, что уравнение
Ly +Gy = h,
где h ∈ C0, равносильно уравнению
y = L−1(h−Gy),
а последнее уравнение на основании леммы 7 имеет по крайней мере одно решение
y ∈ C1 при каждом h ∈ C0 (условия леммы 7 выполняются, поскольку отображение
A def= L−1(h−Gy)) является c-непрерывным на основании c-непрерывности отображений
L−1 (см. теорему 4) и G и на основании соотношений (3) – (5) выполняются включения
AS0
r ⊂ S0
r , AS0
r ⊂ S1
(2+k−1)r при достаточно большом r > 0).
Теорема 5 доказана.
1. Мухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси
функций // Мат. заметки. — 1972. — 11, N◦3. — С. 269 – 274.
2. Мухамадиев Э. Исследования по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных
уравнений: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. — Душанбе, 1978. — 289 с.
3. Слюсарчук В.Е. Обратимость почти периодических c-непрерывных функциональных операторов //
Мат. сб. — 1981. — 116, № 4. — С. 483 – 501.
4. Слюсарчук В.Е. Интегральное представление c-непрерывных линейных операторов // Докл. АН
УССР. Сер.А. — 1981. — № 8. — С. 34 – 37.
5. Слюсарчук В.Е. Обратимость неавтономных дифференциально- функциональных операторов // Мат.
сб. — 1986. — 130, № 1. — C. 86 – 104.
6. Слюсарчук В.Е. Необходимые и достаточные условия обратимости неавтономных функционально-
дифференциальных операторов // Мат. заметки. — 1987. — 42, № 2. — С. 262 – 267.
7. Слюсарчук В.Е. О представлении ограниченных решений линейных дискретных систем // Укр. мат.
журн. — 1987. — 39, № 2. — С. 210 – 215.
8. Слюсарчук В.Е. Слабонелинейные возмущения нормально разрешимых функционально-диффе-
ренциальных и дискретных уравнений // Там же. — № 5. — С. 660 – 662.
538 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4
9. Слюсарчук В.Е. Необходимые и достаточные условия обратимости равномерно c-непрерывных
функционально-дифференциальных операторов // Там же. — 1989. — 41, № 2. — С. 201 – 205.
10. Слюсарчук В.Е. Ограниченные решения функциональных и функционально-дифференциальных
уравнений: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. — Ровно, 1983. — 300 с.
11. Слюсарчук В.Е. P-непрерывные операторы и их применение к решению задач математической фи-
зики // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач. — Київ: Iн-т математики НАН
України, 1997. — Вип.15. — С.188 – 226.
12. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве. — М.: Наука, 1970. — 535 с.
13. Красносельский М.А., Бурд В.Ш., Колесов Ю.С. Нелинейные почти периодические колебания. — М.:
Наука, 1970. — 352 с.
14. Массера Х., Шеффер Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства.
— М.: Мир, 1970. — 456 с.
15. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970. — 720 с.
16. Митропольский Ю.А., Самойленко А.М., Кулик В.Л. Исследования дихотомии линейных систем диф-
ференциальных уравнений с помощью функций Ляпунова. — Киев: Наук. думка, 1990. — 271 с.
17. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. — М.: Мир, 1977. — 232 с.
18. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,
1968. — 496 с.
19. Слюсарчук В.Е. Нелокальные теоремы об ограниченных решениях функционально-
дифференциальных уравнений с нелипшицевыми нелинейностями // Исследование дифферен-
циальных, разностных и дифференциально-разностных уравнений. — Киев: Наук. думка, 1980. —
С. 121 – 130.
20. Слюсарчук В.Е. Ограниченные решения импульсных систем // Дифференц. уравнения. — 1983. — 19,
№ 4. — C. 588 – 596.
21. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3-х т. — М.: Наука, 1966.
— Т. 1. — 608 с.
Получено 04.10.99
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 1999, т. 2, № 4 539
|