Частотные условия конвергентности систем управлений в окрестности программного многообразия

Дослiджено умови конвергентностi нелiнiйних систем керувань в околi програмного многовиду. Отримано достатнi умови конвергентностi основної системи керування. Встановлено частотнi умови, що забезпечують властивостi конвергентностi програмного многовиду вiдносно вектор-функцiї ω. Знайдено достатнi, н...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
1. Verfasser:	Жуматов, С.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2016
Schriftenreihe:	Нелінійні коливання
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177274
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Частотные условия конвергентности систем управлений в окрестности программного многообразия / С.С. Жуматов // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 3. — С. 367-375 — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-177274
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1772742021-02-15T01:26:12Z Частотные условия конвергентности систем управлений в окрестности программного многообразия Жуматов, С.С. Дослiджено умови конвергентностi нелiнiйних систем керувань в околi програмного многовиду. Отримано достатнi умови конвергентностi основної системи керування. Встановлено частотнi умови, що забезпечують властивостi конвергентностi програмного многовиду вiдносно вектор-функцiї ω. Знайдено достатнi, необхiдну та достатню умови конвергентностi вiдносно деякого параметра. We study convergence conditions for nonlinear control systems in a neighborhood of a program manifold. Sufficient convergence conditions were obtained for a basic control system. We find frequency conditions that imply convergence of the program manifold with respect to a vector-valued function ω. We also find a sufficient condition, as well as a necessary and sufficient condition, for convergence with respect to a parameter. 2016 Article Частотные условия конвергентности систем управлений в окрестности программного многообразия / С.С. Жуматов // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 3. — С. 367-375 — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177274 517.925:62.50 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Дослiджено умови конвергентностi нелiнiйних систем керувань в околi програмного многовиду. Отримано достатнi умови конвергентностi основної системи керування. Встановлено частотнi умови, що забезпечують властивостi конвергентностi програмного многовиду вiдносно вектор-функцiї ω. Знайдено достатнi, необхiдну та достатню умови конвергентностi вiдносно деякого параметра.
format	Article
author	Жуматов, С.С.
spellingShingle	Жуматов, С.С. Частотные условия конвергентности систем управлений в окрестности программного многообразия Нелінійні коливання
author_facet	Жуматов, С.С.
author_sort	Жуматов, С.С.
title	Частотные условия конвергентности систем управлений в окрестности программного многообразия
title_short	Частотные условия конвергентности систем управлений в окрестности программного многообразия
title_full	Частотные условия конвергентности систем управлений в окрестности программного многообразия
title_fullStr	Частотные условия конвергентности систем управлений в окрестности программного многообразия
title_full_unstemmed	Частотные условия конвергентности систем управлений в окрестности программного многообразия
title_sort	частотные условия конвергентности систем управлений в окрестности программного многообразия
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2016
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177274
citation_txt	Частотные условия конвергентности систем управлений в окрестности программного многообразия / С.С. Жуматов // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 3. — С. 367-375 — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT žumatovss častotnyeusloviâkonvergentnostisistemupravlenijvokrestnostiprogrammnogomnogoobraziâ
first_indexed	2025-07-15T15:18:55Z
last_indexed	2025-07-15T15:18:55Z
_version_	1837726681000837120
fulltext	УДК 517.925:62.50 ЧАСТОТНЫЕ УСЛОВИЯ КОНВЕРГЕНТНОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЙ В ОКРЕСТНОСТИ ПРОГРАММНОГО МНОГООБРАЗИЯ С. С. Жуматов Ин-т математики и мат. моделирования М-ва образования и науки Республики Казахстан ул. Пушкина, 125, Алматы, 050010, Казахстан e-mail: sailau.math@mail.ru We study convergence conditions for nonlinear control systems in a neighborhood of a program manifold. Sufficient convergence conditions were obtained for a basic control system. We find frequency conditions that imply convergence of the program manifold with respect to a vector-valued function ω. We also find a sufficient condition, as well as a necessary and sufficient condition, for convergence with respect to a parameter. Дослiджено умови конвергентностi нелiнiйних систем керувань в околi програмного многови- ду. Отримано достатнi умови конвергентностi основної системи керування. Встановлено час- тотнi умови, що забезпечують властивостi конвергентностi програмного многовиду вiдносно вектор-функцiї ω. Знайдено достатнi, необхiдну та достатню умови конвергентностi вiднос- но деякого параметра. 1. Введение. Современные методы моделирования динамики сложных систем предпола- гают обеспечение выполнения требуемых свойств функционирования на этапе состав- ления уравнений динамики. Для составления уравнений динамики управляемых систем, содержащих элементы различной природы, и исследования ее кинематических и дина- мических свойств успешно используются уравнения и методы классической механики [1 – 5]. Одной из основных задач динамики механических систем, описываемых обыкно- венными дифференциальными уравнениями, является задача определения сил и момен- тов по заданным кинематическим элементам движения или, в более общей постанов- ке, по заданным свойствам движения. Задачи такого типа с различными их видоизме- нениями названы обратными задачами динамики или обратными задачами дифференци- альных систем [4]. Теория обратных задач дифференциальных систем является обобще- нием методов решения классических обратных задач динамики. Н. П. Еругиным реше- на задача построения множества систем дифференциальных уравнений, имеющих задан- ную интегральную кривую, которая стала исходной для решения обратных задач диф- ференциальных систем. В дальнейшем она развивалась как задача построения систем дифференциальных уравнений по заданному интегральному многообразию, как реше- ние различных обратных задач динамики, как построение систем программного движе- ния. Обзор работ по этим направлениям и обширная библиография приведены в [5], а обзор работ, посвященных построению систем автоматического управления по заданно- му программному многообразию, приведен в монографии [6]. В работах [7, 8] обратные задачи динамики рассматриваются при наличии случайных возмущений, а именно в клас- се стохастических дифференциальных уравнений Ито. В работе [9] изучались свойства систем при s = n, когда при старшей производной стоит матрица, детерминант которой c© С. С. Жуматов, 2016 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3 367 368 С. С. ЖУМАТОВ равен нулю, установлены условия приводимости к канонической форме и условия раз- решимости задачи Коши, а также исследованы вопросы существования периодических решений. Заданная программа ω(t, x) = 0 выполняется лишь при условии, когда началь- ные значения вектора состояния системы удовлетворяют равенству ω(t0, x0) = 0. Но эти равенства не всегда могут быть выполнены. Поэтому при построении систем уравнений следует иметь в виду еще и требования к качественным свойствам заданной програм- мы, таким как устойчивость, конвергентность, диссипативность относительно некоторой функции. В работе [10] найдены достаточные условия устойчивости, экспоненциальной устойчивости программного многообразия, а также условия асимптотической устойчи- вости неявных дифференциальных систем. В работах [11 – 13] получены условия конвер- гентности нелинейных систем относительно нулевого положения равновесия. В рассматриваемой работе мы исследуем условия конвергентности в окрестности про- граммного многообразия. По заданному программному многообразию строятся диффе- ренциальные системы заданной структуры, рассматривается задача построения устойчи- вой системы управления, подверженной внешним воздействиям. Найдены достаточные частотные условия конвергентности нелинейных систем автоматического управления в окрестности программного многообразия. 2. Постановка задачи. Рассмотрим задачу построения устойчивой системы управле- ния следующей структуры, подверженной внешним воздействиям: ẋ = f(t, x)−Bξ − g(t), ξ = ϕ(σ), σ = P Tω, t ∈ I = [0,∞), (1) по заданному (n−s)-мерному гладкому интегральному многообразию Ω(t), которое опре- деляется векторным уравнением ω(t, x) = 0, (2) где B ∈ Rn×r, P ∈ Rs×r — матрицы, x ∈ Rn — вектор состояния объекта, f ∈ Rn — вектор-функция, g ∈ Rs —вектор внешних возмущений, ω ∈ Rs —вектор s ≤ n, ξ ∈ ∈ Rr — вектор-функция управления по отклонению от заданной программы, удовлетво- ряющая условиям локальной квадратичной связи в угле [0,K], ϕ(0) = 0, 0 < σTϕ(σ) ≤ σTKσ, K = diag ‖k1, . . . , kr‖, K = KT > 0, (3) дифференцируемая по σ, ∂ϕ ∂σ удовлетворяет условию K1 ≤ ∂ϕ ∂σ ≤ K2, Ki = diag ‖n1, . . . , nr‖ i = 1, 2, K2 � 0. (4) В пространстве Rn выделим область G(R): G(R) = {(t, x) : t ∈ I ∧ ‖ω(t, x)‖ ≤ ρ < ∞} . (5) Учитывая необходимое и достаточное условие того, что многообразие Ω будет инте- гральным для системы (1) имеем ω̇ = F (t, x, ω)−HBξ −Hg(t), ξ = ϕ(σ), σ = P Tω, H = ∂ω ∂x . (6) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3 ЧАСТОТНЫЕ УСЛОВИЯ КОНВЕРГЕНТНОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЙ . . . 369 Здесь F (t, x, ω) — функция Еругина, удовлетворяющая условию F (t, x, 0) ≡ 0. Полагая в (6) F = −Aω (A ∈ Rs×s — гурвицева матрица), получаем ω̇ = −Aω −HBξ −Hg(t), ξ = ϕ(σ), σ = P Tω. (7) Таким образом, задача построения сводится к исследованию качественных свойств системы (7) относительно вектор-функции ω. Рассмотрим систему (7) без внешнего воз- мущения ω̇ = −Aω −HBξ, ξ = ϕ(σ), σ = P Tω. (8) Определение 1. Программное многообразие Ω(t) называется абсолютно устойчи- вым, если оно устойчиво в целом на решениях системы (1) при любой ω(t0, x0) и функ- ции ϕ(σ), удовлетворяющей условиям (3). Определение 2. Программное многообразие Ω(t) системы (8) называется абсолют- но экспоненциально устойчивым при t → +∞ относительно вектор-функции ω, если существуют постоянные N > 0 и α > 0, зависящие лишь от коэффициентов систе- мы, и для каждого решения ω(t) = ω(t, t0, ω0) в области (5), в которой ξ(t) и σ(t) удов- летворяют условиям локальной квадратичной связи (3), выполняется неравенство ‖ω(t)‖ ≤ N‖ω(t0)‖ exp[−α(t− t0)]. Определение 3. Будем говорить, что программное многообразие Ω(t) имеет свойст- во конвергенции относительно вектор-функции ω, если в области (5) определены все ω(t, t0, ω0) при t ≥ t0 и существует единственное ограниченное решение η(t), удовле- творяющее условию lim t→∞ [ω(t, t0, ω0)− η(t)] = 0. Определение 4. Будем говорить, что программное многообразие Ω(t) имеет свойст- вом экспоненциальной конвергенции относительно вектор-функций ω и ξ при t → → ∞, если в области (5) существуют N > 0, α > 0 такие, что выполняется нера- венство ‖z1(t)− z2(t)‖ ≤ N‖z1(t0)− z2(t0)‖ exp[−α(t− t0)], t ≥ t0, (9) для любой ω(t0, x0) и ϕ(σ), удовлетворяющей условиям (3), где ‖z‖2 = ‖ω‖2 + ‖ξ‖2. Ставится задача: получить достаточное условие экспоненциальной абсолютной устой- чивости программного многообразия систем управлений относительно вектор-функций ω и установить условия конвергентности систем управлений в окрестности программно- го многообразия. 3. Абсолютная устойчивость программного многообразия нелинейных систем управ- лений. Рассмотрим систему управления (8), где нелинейность ϕ(σ) удовлетворяет услови- ям (3), (4). Теорема 1. Пусть система (8) асимптотически устойчива для ϕ(σ) = hσ, h ∈ [0,K], и при нелинейной функции ϕ(σ), удовлетворяющей условиям (3), (4), существуют мат- рицы L = LT > 0, β = diag (β1, . . . , βr) > 0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3 370 С. С. ЖУМАТОВ Тогда для абсолютной устойчивости программного многообразия Ω(t) достаточ- но выполнения условия Q > 0 ∧Q− CG−1CT > 0 или Q > 0 ∧G = 0, и оно является экспоненциально абсолютно устойчивым относительно вектор-функ- ции ω. Доказательство. Если существуют матрицы L = LT > 0, β = diag (β1, . . . , βr) > 0, то для системы (8) можно построить функцию Ляпунова вида V (ω, ξ) = ωTLω + σ∫ 0 ϕTβdσ > 0. (10) Для случая ϕ(σ) = hσ, h ≤ K, второе слагаемое равно J = σThβσ 2 . Производная функции (10) после применения s-процедуры [6] примет вид −V̇ = ωTGω + 2ωTCϕ+ ϕTC1ϕ+ S > 0, (11) где G = ATL+ LA, C = LN − Γ, C1 = βP TN + θK−1, Q = Q1 +QT1 , (12) Q1 = βP TN + θK−1, Γ = 1 2 (Pθ −ATPβ), N = HB, S = ϕT θ(σ −K−1ϕ) > 0. Для того чтобы −V̇ > 0, при условии Q > 0 достаточно выполнения условия Q− CG−1CT > 0 (13) или Q > 0 ∧G = 0. (14) Таким образом, программное многообразие Ω(t) абсолютно устойчиво при выполне- нии условий (13) или (14). Пусть теперь l1(h), l2(h) и γ1, γs+r — действительные наименьшие и наибольшие кор- ни уравнений det ‖L(h)− lE‖ = 0, L(h) = L+ PhβP T 2 , det ‖Q− γE‖ = 0, Q = ∥∥∥∥ G C CT C1 ∥∥∥∥ . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3 ЧАСТОТНЫЕ УСЛОВИЯ КОНВЕРГЕНТНОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЙ . . . 371 Тогда в силу соотношений (10) и (11) имеем l1(h)‖ω‖2 ≤ V ≤ ls(h)‖ω‖2, (15) γ1(‖ω‖2 + ‖ϕ‖2) ≤ zTQz ≤ γs+r(‖ω‖2 + ‖ϕ‖2), z = ∥∥∥∥ ω ϕ ∥∥∥∥ . (16) Из свойства (3) следует неравенство β1 cs ‖ω‖2 ≤ ‖ϕ‖2 ≤ βs c1 ‖ω‖2, (17) где β1, βs и c1, cs — действительные наименьшие и наибольшие корни уравнений det ‖B1 − βE‖ = 0, B1 = PhθP T , det ‖C2 − cE‖ = 0, C2 = θK−1. Учитывая неравенства (11), (16) и (17), получаем µ1‖ω‖2 ≤ −V̇ ≤ µ1‖ω‖2, (18) где µ1 = γ1 ( 1 + β1 cs ) , µs = γs+r ( 1 + βs c1 ) + βs. Из соотношений (15) и (18) имеем µ1 ls dt ≤ − V̇ V ≤ µs l1 dt. (19) Интегрируя неравенство (19) от t0 до t и учитывая соотношение (15), получаем l−1 s V0 exp[α1(t− t0)] ≤ ‖ω‖2 ≤ l−1 1 V0 exp[α2(t− t0)], (20) где V0 = ωT (t0)L(h)ω(t0), α1 = −µs/l1, α2 = −µ1/l2. Поскольку неравенства (15) выполняются для ω(t0), V0, то из (20) имеем оценку ‖ω‖2 ≤ l−1 1 V0‖ω0‖2 exp[α2(t− t0)] или ‖ω(t)‖ ≤ N‖ω(t0)‖ exp[α(t− t0)], (21) где N = l −1/2 1 V 1/2 0 , α = 1/2α2. Следовательно, программное многообразие Ω(t) абсолют- но устойчиво экспоненциально. 4. Свойство конвергентности программного многообразия систем с внешним воздейст- вием. Теперь рассмотрим систему (7) с внешним воздействием. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3 372 С. С. ЖУМАТОВ Пусть в системе (7) вектор-функция внешних возмущений g ∈ Rs является ограничен- ной. Выполним замену ϕ(σ) = hσ, h ≤ K. В результате получим следующую систему: ω̇ = −Ãω − g̃(t), Ã = A+HBhP T , g̃ = Hg(t), σ = P Tω. (22) Теорема 2. Если система (7) асимптотически устойчива для ϕ(σ) = hσ, h ∈ [0,K], вектор-функция g̃ ограничена на I sup t ‖g̃(t)‖ = M < ∞, то система имеет свойство конвергенции и единственное ограниченное на I решение η(t) = t∫ 0 exp Ã(t− τ)g̃(t)dτ. (23) Доказательство очевидно. 5. Экспоненциальная конвергентность программного многообразия. Пусть ω1(t), ω2(t) — два произвольных решения системы (7). Введя переменные z = ω1 − ω2, ζ = ξ1 − ξ2, η = σ1 − σ2, cистему (7) преобразуем к виду ż = −Az −Nζ, ζ = ψ(η), η = P T z, N = HB, (24) где ζ ∈ Rr — вектор управления, удовлетворяющий следующим условиям: ψT θ ( σ −K−1ψ ) > 0, θ = diag ‖θ1, . . . , θr‖ , K = KT > 0, K1 ≤ ∂ψ ∂η ≤ K2, η(t) 6= 0, Ki = diag ‖k1, . . . , kr‖, i = 1, 2, K2 � 0. (25) Систему (24) рассмотрим как линейную часть некоторой системы, вход ζ и выход η нели- нейной части которой удовлетворяют соотношениям (25). Поэтому к системе (24) можно применить результаты п. 3. Из теоремы 1 следует, что ‖z‖ → 0 при t → ∞ и выполняется условие ‖z(t)‖ ≤ N2‖z(t0)‖ exp[α(t− t0)]. (26) Следовательно, программное многообразие Ω(t) имеет свойство экспоненциальной кон- вергенции относительно вектор-функции ω̄. Передаточная матрица линейной части системы (24) от входа ζ к выходу −η имеет вид W (iω̄) = −P T (A− iω̄E)−1N. (27) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3 ЧАСТОТНЫЕ УСЛОВИЯ КОНВЕРГЕНТНОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЙ . . . 373 С учетом выражения (27) можно сформулировать частотный аналог теоремы 1. Справедлива следующая теорема. Теорема 3 [12]. Пусть −A — гурвицева матрица, ψ(η) удовлетворяет условиям ло- кальной квадратичной связи, дифференцируема по η и существуют диагональные ма- трицы K, θ, β такие, что Q+ Re ΓT (A− iω̄E)−1N > 0 ∀ω̄ ≥ 0 (28) или Re ΓT (A− iω̄E)−1N > 0 ∀ω̄ ≥ 0, (29) lim ω̄→∞ ω̄2Re ΓT (A− iω̄E)−1N > 0 ∀ω̄ ≥ 0. (30) Тогда программное многообразие Ω(t) имеет свойство экспоненциальной конверген- ции относительно вектор-функции ω̄. Можно сделать переход от условия (28) к частотному условию В. М. Попова. Рассмо- трим очевидное тождество (A− iω̄E)(A− iω̄E)−1 = E. Преобразуем это тождество к виду AA−1 iω̄ = E + iω̄A−1 iω̄ , Aiω̄ = A− iω̄E. (31) Умножая первое равенство из (31) слева на P T и справа N, получаем P TAA−1 iω̄ N = P TN + iω̄W (iω̄). (32) Подставляя значения Γ из (11) в (32), находим Π(ω̄) = Q+ Re (θP T − βP TA)A−1 iω̄ N > 0 ∀ω̄ ≥ 0. (33) В силу (24) имеем Π(ω̄) = Q− βP TN + Re [(θ + iω̄β)W (iω̄)] > 0. (34) Подставляя значение матрицы Q из (11) в (34), получаем условия типа Попова Π(ω̄) = θK−1 + Re [(θ + iω̄β)W (iω̄)] > 0 ∀ω̄ ≥ 0. (35) Неравенство (35) гарантирует существование функции Ляпунова „квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности” (10). 6. Конвергентные свойства программного многообразия по параметру. На основании тождества A−1 iω̄ = A−1 + iω̄A−1 iω̄ A −1 из (35) определим Π(ω̄) = θΓ + Re ( −βω̄2 + iω̄θ ) ATA−1 iω̄ A −1N > 0 ∀ω̄ ≥ 0, (36) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3 374 С. С. ЖУМАТОВ где Γ = K−1 + P TA−1N. (37) В силу соотношений A−1 iω̄ A −1 = D−1 µ ( E + iω̄A−1 ) , Dµ = A2 + µE, µ = ω̄2, от частотного условия устойчивости (37) можно перейти к условиям относительно пара- метра µ. Имеем Π(µ) = θΓ + µΨ(µ, θ, β) > 0 ∀µ > 0, (38) Ψ = βR1(µ) + θR2(µ), R1(µ) = P TD−1 µ N, R2(µ) = P TD−1 µ A[−1]N. Таким образом, справедлива следующая теорема. Теорема 4. Пусть матрица −A гурвицева и существуют положительные матрицы θ, β такие, что для любого µ > 0 выполняется неравенство (38). Тогда многообразие Ω(t) имеет свойство экспоненциальной конвергенции относительно вектор-функции ω при выполнении условий (25). Приведем еще одно условие конвергентности нелинейной системы. Для этого нам понадобится следующая лемма. Лемма. Пусть A(s× s),K(r × r) — невырожденные матрицы. Тогда справедливо ра- венство ∆ = det ‖A+NhP T ‖ = detA · detK · det Γ. (39) Доказательство. Рассмотрим равенство вида det ∥∥∥∥ A −N KP T E ∥∥∥∥ = det ∥∥∥∥ A+NKP T 0 KP T E ∥∥∥∥ = ∆. (40) Умножая слева первую строку матрицы из (40) наKP TA−1 и вычитая из второй стро- ки, определяем det ∥∥∥∥ A −N 0 E +KP TA−1N ∥∥∥∥ = detA · detK · det Γ. (41) Теорема 5. Пусть матрица −A гурвицева и существуют положительные матрицы θ > 0, β > 0 такие, что Ψ(µ) ≥ 0 ∀µ > 0. (42) Многообразие Ω(t) имеет свойство экспоненциальной конвергенции относительно век- тор-функции ω тогда и только тогда, когда выполняется условие Γ = K−1 + P TA−1N > 0, (43) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3 ЧАСТОТНЫЕ УСЛОВИЯ КОНВЕРГЕНТНОСТИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЙ . . . 375 а если Ψ(µ) > 0, то условие (43) является необходимым. Доказательство. Достаточность условия (42) следует из (35) с учетом (37). Чтобы доказать необходимость условия (42), рассмотрим линеаризованную систему ż = −(A+NhP T )z, N = HB, (44) которая получена из (24) при ζ = ψ(η) = hη, где h = diag ‖h1, . . . , hr‖. Составляем харак- теристическое уравнение системы (44): det ‖A+NhP T − λE‖ = 0. Как известно, для асимптотической устойчивости системы (44), в частности, необходи- мо,чтобы Sp‖A+NhP T ‖ > 0, 0 < h < K, (45) (−1)s‖A+NhP T ‖ < 0, 0 < h < K, Умножая равенство (41) на (−1)s+r и сравнивая с неравенством (45), получаем необходи- мое условие устойчивости (43). Литература 1. Layton R. A. Principle of analytical system dynamics. – New York: Springer, 1998. — 158 p. 2. Meiser P., Enge O., Freudenberg H., Kielau G. Electromechanical interactions in multibody systems contai- ning electromechanical drives // Multibody System Dynamics. — 1997. — № 1. — P. 281 – 302. 3. Мухарлямов Р. Г. Моделирование динамических процессов различной природы // Проблемы аналити- ческой механики и теория устойчивости: Сборник трудов, посвященный памяти академика В. В. Ру- мянцева. — М.: Наука, 2009. — С. 310 – 324. 4. Галиуллин А. С. Методы решения обратных задач динамики. — М.: Наука, 1986. — 224 с. 5. Галиуллин А. С., Мухаметзянов И. А., Мухарлямов Р. Г. Обзор исследований по аналитическому по- строению систем программного движения // Вестн. Рос. ун-та дружбы народов. — 1994. — № 1. — С. 5 – 21. 6. Жуматов С. С., Крементуло В. В., Майгарин Б. Ж. Второй метод Ляпунова в задачах устойчивости и управление движением. — Алматы: Гылым, 1999. — 228 с. 7. Тлеубергенов М. И. К обратной стохастической задаче восстановления // Дифференц. уравнения. — 2014. — 50, № 2. — С. 269 – 273. 8. Ибраева Г. Т., Тлеубергенов М. И. Об основной обратной задаче дифференциальных систем с выро- ждающейся диффузией // Укр. мат. журн. — 2013. — 65, № 5. — С. 712 – 716. 9. Самойленко А. М., Яковец В. П. О приводимости вырожденной линейной системы к центральной канонической форме // Доп. НАН України. — 1993. — № 4. — С. 10 – 15. 10. Жуматов С. С. Асимптотическая устойчивость неявных дифференциальных систем в окрестности программного многообразия // Укр. мат. журн. — 2014. — 66, № 4. — С. 558 – 565. 11. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с. 12. Якубович В. А. Методы теории абсолютной устойчивости // Методы исследования нелинейных сис- тем автоматического управления. — М.: Наука, 1975. — С. 74 – 180. 13. Буркин И. М. Конвергентность и абсолютная устойчивость систем управления с монотонными нели- нейностями // Вестн. Тамбов. ун-та. Естеств. и техн. науки. — 2007. — 12, вып. 4. — С. 423 – 425. Получено 17.02.15, после доработки — 13.05.16 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3

Частотные условия конвергентности систем управлений в окрестности программного многообразия

Institution

Ähnliche Einträge