Бiфуркацiя автоколивань параболiчних систем iз аргументом, що запiзнюється, та малою дифузiєю

Доказано существование периодических решений автономной параболической системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и малой диффузией на окружности. Изучены вопросы существования и устойчивости бегущих волн уравнения спинового горения с запаздыванием....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
1. Verfasser:	Клевчук, І.І.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2016
Schriftenreihe:	Нелінійні коливання
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177276
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Бiфуркацiя автоколивань параболiчних систем iз аргументом, що запiзнюється, та малою дифузiєю / І.І. Клевчук // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 3. — С. 390-398 — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-177276
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1772762021-02-16T01:25:21Z Бiфуркацiя автоколивань параболiчних систем iз аргументом, що запiзнюється, та малою дифузiєю Клевчук, І.І. Доказано существование периодических решений автономной параболической системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и малой диффузией на окружности. Изучены вопросы существования и устойчивости бегущих волн уравнения спинового горения с запаздыванием. We prove existence of periodic solutions in an autonomous parabolic system of differential equations on the circle with a delay in the argument and small diffusion. We consider the problem of existence and stability of traveling waves in the equation of spin combustion with delay. 2016 Article Бiфуркацiя автоколивань параболiчних систем iз аргументом, що запiзнюється, та малою дифузiєю / І.І. Клевчук // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 3. — С. 390-398 — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177276 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Доказано существование периодических решений автономной параболической системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и малой диффузией на окружности. Изучены вопросы существования и устойчивости бегущих волн уравнения спинового горения с запаздыванием.
format	Article
author	Клевчук, І.І.
spellingShingle	Клевчук, І.І. Бiфуркацiя автоколивань параболiчних систем iз аргументом, що запiзнюється, та малою дифузiєю Нелінійні коливання
author_facet	Клевчук, І.І.
author_sort	Клевчук, І.І.
title	Бiфуркацiя автоколивань параболiчних систем iз аргументом, що запiзнюється, та малою дифузiєю
title_short	Бiфуркацiя автоколивань параболiчних систем iз аргументом, що запiзнюється, та малою дифузiєю
title_full	Бiфуркацiя автоколивань параболiчних систем iз аргументом, що запiзнюється, та малою дифузiєю
title_fullStr	Бiфуркацiя автоколивань параболiчних систем iз аргументом, що запiзнюється, та малою дифузiєю
title_full_unstemmed	Бiфуркацiя автоколивань параболiчних систем iз аргументом, що запiзнюється, та малою дифузiєю
title_sort	бiфуркацiя автоколивань параболiчних систем iз аргументом, що запiзнюється, та малою дифузiєю
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2016
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177276
citation_txt	Бiфуркацiя автоколивань параболiчних систем iз аргументом, що запiзнюється, та малою дифузiєю / І.І. Клевчук // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 3. — С. 390-398 — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
series	Нелінійні коливання
work_keys_str_mv	AT klevčukíí bifurkaciâavtokolivanʹparaboličnihsistemizargumentomŝozapiznûêtʹsâtamaloûdifuziêû
first_indexed	2025-07-15T15:19:03Z
last_indexed	2025-07-15T15:19:03Z
_version_	1837726688783368192
fulltext	УДК 517.9 БIФУРКАЦIЯ АВТОКОЛИВАНЬ ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ IЗ АРГУМЕНТОМ, ЩО ЗАПIЗНЮЄТЬСЯ, ТА МАЛОЮ ДИФУЗIЄЮ I. I. Клевчук Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича вул. Коцюбинського, 2, Чернiвцi, 58012, Україна We prove existence of periodic solutions in an autonomous parabolic system of differential equations on the circle with a delay in the argument and small diffusion. We consider the problem of existence and stability of traveling waves in the equation of spin combustion with delay. Доказано существование периодических решений автономной параболической системы диф- ференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и малой диффузией на окружности. Изучены вопросы существования и устойчивости бегущих волн уравнения спинового горения с запаздыванием. Питання стiйкостi та бiфуркацiї розв’язкiв диференцiально-функцiональних рiвнянь, па- раболiчних та гiперболiчних систем з перетвореним аргументом розглядалися, зокрема, в [1 – 5]. У цiй статтi дослiджено iснування та стiйкiсть як завгодно великого скiнченного числа циклiв параболiчної системи iз запiзненням та малою дифузiєю i рiвняння спiно- вого горiння iз запiзненням. Подiбнi задачi для диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними вивчалися у багатьох роботах (див., наприклад, [6 – 8]). 1. Бiжучi хвилi параболiчних рiвнянь iз запiзненням та малою дифузiєю. Розглянемо систему ∂u ∂t = εD ∂2u ∂x2 +A0u+ εA1u+ F (u, u(t−∆, x)) (1) з перiодичною умовою u(t, x+ 2π) = u(t, x), (2) де ε— малий додатний параметр, ∆ > 0, u ∈ R2,функцiя F (u, v) чотири рази неперервно диференцiйовна вiдносно своїх аргументiв, F (0, 0) = 0, причому F має в нулi порядок малостi вище першого, A0a = iω0a, ω0 > 0, A∗0b = −iω0b. Тут a i b — власнi вектори матриць A0 i A∗0 вiдповiдно, для яких (a, b) = 1, (ā, b) = 0, матриця A0 + εA1 має пару власних значень вигляду τ(ε) ± iω(ε), τ(0) = 0, τ ′(0) > 0, ω(0) = ω0, D = diag (d1, d2), d1 > 0, d2 > 0. Дослiдимо iснування i стiйкiсть хвильових розв’язкiв задачi (1), (2). Розв’язок системи (1) будемо шукати у виглядi бiжучої хвилi u = θ(y), y = σt+x, де функцiя θ(y) має перiод 2π. Тодi одержимо систему σ dθ dy = εD d2θ dy2 +A0θ + εA1θ + F (θ, θ(y − σ∆)). c© I. I. Клевчук, 2016 390 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3 БIФУРКАЦIЯ АВТОКОЛИВАНЬ ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ . . . 391 Цю систему замiною dθ dy = θ1 зведемо до вигляду dθ dy = θ1, σθ1 = εD dθ1 dy +A0θ + εA1θ + F (θ, θ(y − σ∆)). (3) Iнтегральний многовид системи (3) можна зобразити у виглядi θ1 = 1 σ A0θ + ε σ3 DA2 0θ + ε σ A1θ + 1 σ F (θ, θ(y − σ∆)) + . . . . Тут у лiнiйних доданках збережено члени порядку O(ε), а в нелiнiйних — O(1). Система рiвнянь на цьому многовидi набере вигляду dθ dy = 1 σ A0θ + ε σ3 DA2 0θ + ε σ A1θ + 1 σ F (θ, θ(y − σ∆)) + . . . . (4) У системi (4) виконаємо замiну θ = av + āv̄ i домножимо обидвi частини злiва на матрицю ( b̄1 b̄2 b1 b2 ) . Тодi, враховуючи, що (a, b) = 1, де b = ( b1 b2 ) , одержуємо dv dy = i ω0 σ v − ε σ3 ω2 0b ∗D(av + āv̄) + ε σ b∗A1(av + āv̄)+ + 1 σ b∗F (av + āv̄, av(y − σ∆) + āv̄(y − σ∆)) + . . . . (5) Виконавши у рiвняннi (5) замiну v = w exp ( i ω0 σ y ) , одержимо dw dy = ( − ε σ3 ω2 0b ∗D + ε σ b∗A1 )( aw + āw̄ exp ( −2i ω0 σ y )) + exp ( −iω0 σ y ) × × F ( aw exp ( i ω0 σ y ) + āw̄ exp ( −i ω0 σ y ) , aw(y − σ∆) exp ( i ω0 σ (y − σ∆) ) + + āw̄(y − σ∆) exp ( −i ω0 σ (y − σ∆) )) + . . . . В останньому рiвняннi перейдемо до нормальної форми, використавши властивостi функ- цiї F, i замiнимо w на √ εw [9, 10]. В результатi одержимо автономне рiвняння вигляду dw dy = − ε σ3 ω2 0b ∗Daw + ε σ b∗A1aw + ε σ (d0 + ic0)w2w̄. (6) Оскiльки (a, b) = 1, (ā, b) = 0, то Re (b∗Da) = 1 2 (d1 + d2). Зауважимо, що сталi d0 та c0 залежать вiд власного вектора a. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3 392 I. I. КЛЕВЧУК Перейшовши у рiвняннi (6) до полярних координат w = r exp(iϕ), одержимо рiвняння dr dy = − ε 2σ3 ω2 0(d1 + d2)r + ε σ τ ′(0)r + ε σ d0r 3, (7) де τ ′(0) = Re (A1a, b) > 0. Нехай d0 < 0 i виконується нерiвнiсть τ ′(0) > 1 2σ2 ω2 0(d1 + d2). Тодi рiвняння (7) має стацiонарний розв’язок R0 = √( τ ′(0)− 1 2σ2 ω2 0(d1 + d2) ) \|d0\|−1. Отже, перiодичний розв’язок рiвняння (5) має вигляд v = √ εR0 exp ( i ω0 σ y ) +O(ε). Звiдси знаходимо перiодичний розв’язок θ = av + āv̄ системи (4). Враховуючи, що функцiя θ має перiод 2π, одержуємо σ = ω0 n + O(ε), n = ±1,±2, . . . . Отже, перiодичний розв’язок системи (1) має вигляд un = √ εrn(a exp iη + ā exp(−iη)) +O(ε), (8) де rn = √( τ ′(0)− 1 2 (d1 + d2)n2 ) \|d0\|−1, η = ωn(ε)t+ nx, ωn(ε) = ω0 +O(ε), n ∈ Z. Тому справджується таке твердження. Теорема 1. Нехай d0 < 0 i для деякого цiлого n виконується нерiвнiсть τ ′(0) > 1 2 (d1+ +d2)n2. Тодi знайдеться таке ε0 > 0, що при 0 < ε < ε0 задача (1), (2) має перiодичнi вiдносно t розв’язки (8). 2. Стiйкiсть перiодичних розв’язкiв. Система рiвнянь у варiацiях в околi розв’язку un(t, x) системи (1) має вигляд ∂v ∂t = εD ∂2v ∂x2 +A0v + εA1v + √ εB1(t, ε)v + √ εB2(t, ε)v(t−∆, x). (9) У системi (9) виконаємо замiну v = aw+āw̄ i домножимо обидвi частини злiва на матрицю( b̄1 b̄2 b1 b2 ) , де b = ( b1 b2 ) . Тодi одержимо ∂w ∂t = εb∗D ∂2(aw + āw̄) ∂x2 + iω0w + b∗(εA1 + √ εB1(t, ε))(aw + āw̄)+ + √ εb∗B2(t, ε)(aw(t−∆, x) + āw̄(t−∆, x)). (10) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3 БIФУРКАЦIЯ АВТОКОЛИВАНЬ ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ . . . 393 Виконавши у рiвняннi (10) замiну w = z exp(iω0t) i використавши друге наближення в методi усереднення вiдносно t, одержимо ∂z ∂t = εb∗Da ∂2z ∂x2 + εb∗A1az + ε(d0 + ic0)(2r2 nz + w2 nz̄), (11) де wn = rn exp(i(χn(ε)t + nx)), χn(ε) = εβ + εc0r 2 n − εδn2, β = Im (A1a, b), δ = Im (Da, b). Замiною z = u exp(iχn(ε)t) рiвняння (11) зведемо до вигляду ∂u ∂t = ε [ (γ + iδ) ∂2u ∂x2 + ( α+ iδn2 + d0r 2 n ) u+ (d0 + ic0)r2 n(u+ u exp(2inx)) ] , (12) де γ = Re (Da, b) = 1 2 (d1 + d2), α = τ ′(0) = Re (A1a, b). Розв’язок рiвняння (12) будемо шукати у виглядi ряду Фур’є в комплекснiй формi u(t, x) = ∞∑ k=−∞ yk(t) exp(ikx), u(t, x) = ∞∑ k=−∞ vk(t) exp(ikx). (13) Пiдставляючи (13) у (12) i зрiвнюючи коефiцiєнти при exp(ikx), отримуємо рiвняння вiд- носно коефiцiєнтiв ряду Фур’є dyk+n dt = ε [ (α+ iδn2 + d0r 2 n)yk+n − (γ + iδ)(k + n)2yk+n+ +(d0 + ic0)r2 n(yk+n + vk−n) ] . (14) Аналогiчно, пiдставляючи (13) у спряжене до (12) рiвняння, одержуємо dvk−n dt = ε [ (α− iδn2 + d0r 2 n)vk−n − (γ − iδ)(k − n)2vk−n+ +(d0 − ic0)r2 n(vk−n + yk+n) ] . (15) Стiйкiсть хвильових розв’язкiв задачi (1), (2) визначається стiйкiстю системи (14), (15) з параметром k ∈ Z. У системi (14), (15) виконаємо замiну yk+n = zk+n exp(2iεδkn), vk−n = wk−n exp(2iεδkn). Тодi отримаємо лiнiйну систему з матрицею εA = ( εa11 εa12 εa21 εa22 ) . Оскiльки α−γn2 = −d0r 2 n, то матриця A має нульове власне значення при k = 0. Оскiль- ки сума дiагональних елементiв матрицi A є вiд’ємною, a = a11 + a22 < 0, то для орбi- тальної експоненцiальної стiйкостi хвильового розв’язку un(t, x) необхiдно i достатньо, щоб при k 6= 0 виконувалась умова a2c > f2, де c = Re (det(A)), f = Im (det(A)), f = 4γkn(c0r 2 n − δk2), тобто( d0r 2 n − γk2 )2 ( γ2k2 + δ2k2 − 2γd0r 2 n − 4γ2n2 − 2δc0r 2 n ) > 4γ2n2 ( c0r 2 n − δk2 )2 , (16) де r2 n = (γn2 − α)/d0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3 394 I. I. КЛЕВЧУК Теорема 2. Бiжучi хвилi un(t, x) задачi (1), (2) експоненцiально орбiтально стiйкi то- дi i тiльки тодi, коли виконується умова (16) при всiх k ∈ Z\{0}. Як приклад розглянемо рiвняння (1), в якому D = diag (d, d), d > 0, A0 = ( 0 1 −1 0 ) , A1 = E, E — одинична матриця, F (u, u(t−∆, x)) = d0(u2 1 +u2 2) ( u1 u2 ) . Тодi γ = d, δ = 0, α = 1, c0 = 0, тому з теореми 1 випливає, що при d0 < 0, n2 < 1 d iснує перiодичний розв’язок un = √ ε(1− dn2)\|d0\|−1 ( cos(t+ nx) − sin(t+ nx) ) . Згiдно з теоремою 2 бiжучi хвилi un(t, x) експоненцiально орбiтально стiйкi тодi i тiльки тодi, коли n2 < 1 6d (d+ 2). Зауваження 1. Умови iснування та стiйкостi перiодичних розв’язкiв задачi (1), (2) мож- на отримати iз рiвняння ∂u ∂t = iω0u+ ε [ (γ + iδ) ∂2u ∂x2 + (α+ iβ)u ] + (d0 + ic0)u2u, яке одержується за допомогою усереднення. 3. Перiодичнi режими рiвняння спiнового горiння iз запiзненням. Розглянемо задачу ∂2ξ ∂t2 + ξ = 2ε [ ∂ξ ∂t + 1 %2 ∂3ξ ∂t∂x2 + F ( ξ, ∂ξ ∂t , ξ(t−∆, x), ∂ξ ∂t (t−∆, x) )] , (17) ξ(t, x+ 2π) = ξ(t, x), (18) де ε — малий додатний параметр, ∆ > 0, % > 0, причому F — однорiдний многочлен третього степеня, тобто F (aξ, ap, aη, aζ) = a3F (ξ, p, η, ζ), a ∈ R. Задача (17), (18) еквiвалентна системi ∂ξ ∂t = p, ∂p ∂t + ξ = 2ε [ p+ 1 %2 ∂2p ∂x2 + F (ξ, p, ξ∆, p∆) ] , (19) ξ(t, x+ 2π) = ξ(t, x), p(t, x+ 2π) = p(t, x), де ξ∆ = ξ(t−∆, x), p∆ = p(t−∆, x). Розв’язок системи (19) будемо шукати у виглядi бiжучої хвилi ξ = θ1(y), p = θ2(y), y = σt+ x, де функцiї θ1(y), θ2(y) мають перiод 2π. Тодi одержимо систему σ dθ1 dy = θ2, σ dθ2 dy + θ1 = 2ε [ θ2 + 1 %2 d2θ2 dy2 + F (θ1, θ2, θ1(y − σ∆), θ2(y − σ∆)) ] . Цю систему замiною dθ2 dy = θ3 зведемо до вигляду σ dθ1 dy = θ2, dθ2 dy = θ3, σθ3 + θ1 = 2ε [ θ2 + 1 %2 dθ3 dy + F (θ1, θ2, θ1(y − σ∆), θ2(y − σ∆)) ] . (20) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3 БIФУРКАЦIЯ АВТОКОЛИВАНЬ ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ . . . 395 Iнтегральний многовид системи (20) можна зобразити у виглядi θ3 = − 1 σ θ1 + 2ε σ [ θ2 − 1 σ2%2 θ2 + F (θ1, θ2, θ1(y − σ∆), θ2(y − σ∆)) ] +O(ε2). Система рiвнянь на цьому многовидi набере вигляду σ dθ1 dy = θ2, dθ2 dy =− 1 σ θ1 + 2ε σ [ θ2 − 1 σ2%2 θ2 + F (θ1, θ2, θ1(y − σ∆), θ2(y − σ∆)) ] +O(ε2). (21) Перейшовши до комплексних змiнних u = θ1 + iθ2, ū = θ1 − iθ2, одержимо рiвняння du dy = − i σ u+ ε σ [ u− ū− 1 σ2%2 (u− ū) + 2iF1(u, ū, u(y − σ∆), ū(y − σ∆)) ] +O(ε2), (22) де F1(u, ū, u(y − σ∆), ū(y − σ∆)) = F ( 1 2 (u+ ū), i 2 (ū− u), 1 2 (u(y − σ∆)+ +ū(y − σ∆)), i 2 (ū(y − σ∆)− u(y − σ∆)) ) . Виконуючи у рiвняннi (22) замiну u = w exp ( − i σ y ) , одержуємо рiвняння dw dy = ε σ [( 1− 1 σ2%2 )( w − w̄ exp ( 2 i σ y )) + 2i exp ( − i σ y ) × × F1 ( w exp ( − i σ y ) , w̄ exp ( i σ y ) , w(y − σ∆)× × exp ( − i σ (y − σ∆) ) , w̄(y − σ∆) exp ( i σ (y − σ∆) ))] +O(ε2). Виконавши усереднення в цьому рiвняннi вiдносно y [9, 10], отримаємо рiвняння dw dy = ε σ [ w − 1 σ2 %2 w + (d0 + ic0)w2w̄ ] . (23) Перейшовши у рiвняннi (23) до полярних координат w = r exp(iϕ), одержимо рiвняння dr dy = ε σ [ r − 1 σ2 %2 r + d0r 3 ] . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3 396 I. I. КЛЕВЧУК Нехай d0 < 0 i виконується нерiвнiсть σ2%2 > 1. Тодi рiвняння (23) має стацiонарний розв’язок R0 = √( 1− 1 σ2%2 ) \|d0\|−1. Oтже, перiодичний розв’язок рiвняння (22) має вигляд u = R0 exp ( − i σ y ) + O(ε). Звiдси знаходимо перiодичний розв’язок θ1 = R0 cos ( y σ ) +O(ε), θ2 = −R0 sin ( y σ ) +O(ε) системи (21). Враховуючи, що функцiї θ1 та θ2 мають перiод 2π, одержуємо σ = 1 n +O(ε), n = ±1,±2, . . . . Отже, перiодичний розв’язок рiвняння (17) має вигляд ξn = rn cos(t+ nx) +O(ε), rn = √( 1− n2 %2 ) \|d0\|−1, (24) де n ∈ Z. Тому справджується таке твердження. Теорема 3. Нехай d0 < 0 i для деякого цiлого n виконується нерiвнiсть n2 < %2. Тодi знайдеться таке ε0 > 0, що при 0 < ε < ε0 задача (17), (18) має перiодичнi вiдносно t розв’язки (24), де n ∈ Z. 4. Стiйкiсть перiодичних режимiв рiвняння спiнового горiння iз запiзненням. Система рiвнянь у варiацiях в околi розв’язку ξ = ξn(t, x), p = ∂ξn(t, x) ∂t системи (19) має вигляд ∂v1 ∂t = v2, ∂v2 ∂t + v1 = 2ε [ v2 + 1 %2 ∂2v2 ∂x2 +B1(t)v1 +B2(t)v2 +B3(t)v1(t−∆, x) +B4(t)v2(t−∆, x) ] . Перейшовши до комплексних змiнних v = v1 + iv2, одержимо рiвняння ∂v ∂t = −iv + ε [ v − v̄ + 1 %2 ∂2(v − v̄) ∂x2 + C1(t)v + C2(t)v̄ + C3(t)v∆ + C4(t)v̄∆ ] , де v∆ = v(t − ∆, x), v̄∆ = v̄(t − ∆, x). Виконавши замiну v = w exp(−it) i усереднивши одержане рiвняння вiдносно t, отримаємо рiвняння ∂w ∂t = ε [ w + 1 %2 ∂2w ∂x2 + (d0 + ic0)(2r2 nw + u2 nw̄) ] , (25) де un = rn exp(i(ωn(ε)t + nx)), ωn(ε) = εc0r 2 n. Замiною w = u exp(iωn(ε)t) рiвняння (25) зведемо до вигляду ∂u ∂t = ε [ u+ 1 %2 ∂2u ∂x2 + (d0 + ic0)(r2 nu+ r2 nū exp(2inx)) + d0r 2 nu ] . (26) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3 БIФУРКАЦIЯ АВТОКОЛИВАНЬ ПАРАБОЛIЧНИХ СИСТЕМ . . . 397 Розв’язок рiвняння (26) будемо шукати у виглядi ряду Фур’є в комплекснiй формi u(t, x) = ∞∑ k=−∞ yk(t) exp(ikx), u(t, x) = ∞∑ k=−∞ vk(t) exp(ikx). (27) Пiдставляючи (27) в (26) i зрiвнюючи коефiцiєнти при exp(ikx), одержуємо рiвняння вiд- носно коефiцiєнтiв ряду Фур’є dyk+n dt = ε [ (1 + d0r 2 n)yk+n − (k + n)2 %2 yk+n + (d0 + ic0)r2 n(yk+n + vk−n) ] . (28) Аналогiчно, пiдставляючи (27) у спряжене до (26) рiвняння, отримуємо dvk−n dt = ε [ (1 + d0r 2 n)vk−n − (k − n)2 %2 vk−n + (d0 − ic0)r2 n(vk−n + yk+n) ] . (29) Стiйкiсть перiодичних розв’язкiв рiвняння спiнового горiння визначається стiйкiстю системи (28), (29) з параметром k ∈ Z. Позначимо через εA матрицю системи (28), (29) з елементами εa11, εa12, εa21, εa22. Матриця A має нульове власне значення при k = 0. Оскiльки сума дiагональних елеменетiв матрицi A є вiд’ємною, a = a11 + a22 < 0, то для орбiтальної експоненцiальної стiйкостi перiодичного розв’язку ξn(t, x) необхiдно i достат- ньо, щоб при k 6= 0 виконувалась умова a2c > f2, де c = Re (det(A)), f = Im (det(A)), f = 4c0nk \|d0\|%2 ( 1− n2 %2 ) , тобто ( k2 %2 + 1− n2 %2 )2( k2 %2 + 2− 6n2 %2 ) > 4c2 0n 2 %2d2 0 ( 1− n2 %2 )2 . (30) Теорема 4. Бiжучi хвилi ξn(t, x) задачi (17), (18) експоненцiально орбiтально стiйкi тодi i тiльки тодi, коли виконується умова (30) при всiх k ∈ Z\{0}. Як приклад розглянемо рiвняння (17) з нелiнiйнiстю F = −4 3 ( ∂ξ ∂t )3 . Тодi d0 = −1, c0 = 0, тому з теореми 3 випливає, що при n2 < %2 iснує перiодичний розв’язок ξn = = √ 1− n2 %2 cos(t + nx) + O(ε). Згiдно з теоремою 4 бiжучi хвилi ξn(t, x) експоненцiально орбiтально стiйкi тодi i тiльки тодi, коли n2 < 1 6 (2%2 + 1). Лiтература 1. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Миp, 1984. — 421 c. 2. Клевчук И. И. О принципе сведения для дифференциально-функциональных уравнений нейтрально- го типа // Дифференц. уравнения. — 1999. — 35, № 4. — C. 464 – 472. 3. Клевчук I. I. Гомоклiнiчнi точки для сингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь iз запiз- ненням // Укр. мат. журн. — 2002. — 54, № 4. — С. 563 – 567. 4. Клевчук И. И. Бифуркация положения равновесия в системе нелинейных параболических уравнений с преобразованным аргументом // Укp. мат. жуpн. — 1999. — 51, № 10. — C. 1342 – 1351. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3 398 I. I. КЛЕВЧУК 5. Клевчук I. I. Iснування злiченного числа циклiв у гiперболiчних системах диференцiальних рiвнянь з перетвореним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2015. — 18, № 1. — C. 71 – 78. 6. Васильева А. Б., Кащенко С. А., Колесов Ю. С., Розов Н. Х. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией // Мат. сб. — 1986. — 130, № 4. — C. 488 – 499. 7. Белан Е. П., Самойленко А. М. Динамика периодических режимов феноменологического уравнения спинового горения // Укp. мат. жуpн. — 2013. — 65, № 1. — C. 21 – 43. 8. Мищенко Е. Ф., Садовничий В. А., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. — М.: Физматлит, 2005. — 430 с. 9. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колеба- ний. — М.: Наука, 1974. — 502 с. 10. Hale J. K. Averaging methods for differential equations with retarded arguments and a small parameter // J. Different. Equat. — 1966. — 2, № 1. — P. 57 – 73. Одержано 10.06.15 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 3

Бiфуркацiя автоколивань параболiчних систем iз аргументом, що запiзнюється, та малою дифузiєю

Institution

Ähnliche Einträge