К периодическим решениям автономных систем
Запропоновано метод дослiдження перiодичних розв’язкiв автономних динамiчних систем, що описуються звичайними диференцiальними рiвняннями з фазовими та iнтегральними обмеженнями. Сформульовано загальну задачу про перiодичний розв’язок у виглядi крайової задачi з обмеженнями. Шляхом уведення фiктивно...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177283 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К периодическим решениям автономных систем / С.А. Айсагалиев // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 3-19 — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177283 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772832021-02-15T01:26:20Z К периодическим решениям автономных систем Айсагалиев, С.А. Запропоновано метод дослiдження перiодичних розв’язкiв автономних динамiчних систем, що описуються звичайними диференцiальними рiвняннями з фазовими та iнтегральними обмеженнями. Сформульовано загальну задачу про перiодичний розв’язок у виглядi крайової задачi з обмеженнями. Шляхом уведення фiктивного керування крайову задачу зведено до задачi керованостi динамiчних систем iз фазовими та iнтегральними обмеженнями. Розв’язання задачi керованостi зводиться до iнтегрального рiвняння Фредгольма першого роду. Отримано необхiднi та достатнi умови iснування перiодичного розв’язку i розроблено алгоритм побудови перiодичного розв’язку за граничними точками мiнiмiзацiйних послiдовностей. We propose a method for studying periodic solutions of autonomous dynamical systems given by ordinary differential equations with phase and integral restrictions. We formulate a general problem on periodic solutions as a boundary-value problem with restrictions. By introducing a fictitious control, the boundaryvalue problem is transformed to a control problem for dynamical systems with phase and integral restrictions. The control problem is solved by reducing it to an integral first kind Fredholm equation. We find necessary and sufficient conditions for existence of a periodic solution, and propose an algorithm for finding a periodic solution from limit points of minimizing sequences. 2017 Article К периодическим решениям автономных систем / С.А. Айсагалиев // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 3-19 — Бібліогр.: 26 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177283 517.925.42 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Запропоновано метод дослiдження перiодичних розв’язкiв автономних динамiчних систем, що описуються звичайними диференцiальними рiвняннями з фазовими та iнтегральними обмеженнями. Сформульовано загальну задачу про перiодичний розв’язок у виглядi крайової задачi з обмеженнями. Шляхом уведення фiктивного керування крайову задачу зведено до задачi керованостi динамiчних систем iз фазовими та iнтегральними обмеженнями. Розв’язання задачi керованостi зводиться до iнтегрального рiвняння Фредгольма першого роду. Отримано необхiднi та достатнi умови iснування перiодичного розв’язку i розроблено алгоритм побудови перiодичного розв’язку за граничними точками мiнiмiзацiйних послiдовностей. |
| format |
Article |
| author |
Айсагалиев, С.А. |
| spellingShingle |
Айсагалиев, С.А. К периодическим решениям автономных систем Нелінійні коливання |
| author_facet |
Айсагалиев, С.А. |
| author_sort |
Айсагалиев, С.А. |
| title |
К периодическим решениям автономных систем |
| title_short |
К периодическим решениям автономных систем |
| title_full |
К периодическим решениям автономных систем |
| title_fullStr |
К периодическим решениям автономных систем |
| title_full_unstemmed |
К периодическим решениям автономных систем |
| title_sort |
к периодическим решениям автономных систем |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177283 |
| citation_txt |
К периодическим решениям автономных систем / С.А. Айсагалиев // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 3-19 — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT ajsagalievsa kperiodičeskimrešeniâmavtonomnyhsistem |
| first_indexed |
2025-07-15T15:19:31Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:19:31Z |
| _version_ |
1837726718360551424 |
| fulltext |
УДК 517.925.42
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
С. А. Айсагалиев
Казах. нац. ун-т им. аль-Фараби
просп. Аль-Фараби, 71, корп. 13, Алматы, 050040, Казахстан
e-mail: serikbai.aisagaliev@kaznu.kz
We propose a method for studying periodic solutions of autonomous dynamical systems given by ordinary
differential equations with phase and integral restrictions. We formulate a general problem on periodic
solutions as a boundary-value problem with restrictions. By introducing a fictitious control, the boundary-
value problem is transformed to a control problem for dynamical systems with phase and integral restric-
tions. The control problem is solved by reducing it to an integral first kind Fredholm equation. We find
necessary and sufficient conditions for existence of a periodic solution, and propose an algorithm for
finding a periodic solution from limit points of minimizing sequences.
Запропоновано метод дослiдження перiодичних розв’язкiв автономних динамiчних систем, що
описуються звичайними диференцiальними рiвняннями з фазовими та iнтегральними обмежен-
нями. Сформульовано загальну задачу про перiодичний розв’язок у виглядi крайової задачi з
обмеженнями. Шляхом уведення фiктивного керування крайову задачу зведено до задачi керова-
ностi динамiчних систем iз фазовими та iнтегральними обмеженнями. Розв’язання задачi керо-
ваностi зводиться до iнтегрального рiвняння Фредгольма першого роду. Отримано необхiднi
та достатнi умови iснування перiодичного розв’язку i розроблено алгоритм побудови перiодич-
ного розв’язку за граничними точками мiнiмiзацiйних послiдовностей.
1. Введение. Основными методами исследования периодических решений процессов, опи-
сываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, являются метод малого
параметра, асимптотические методы разделения движения, метод фазового пространст-
ва и точечных отображений, метод гармонической линеаризации.
Метод малого параметра берет свое начало в работах А. Пуанкаре [1, 2] и А. М. Ляпу-
нова [3]. Аппарат теории Пуанкаре – Ляпунова основан на использовании свойств анали-
тичности правых частей дифференциальных уравнений. Однако во многих прикладных
задачах уравнения движения системы не имеют этих свойств.
Эффективный способ решения нелинейных задач в теории колебаний систем с одной
степенью свободы был предложен голландским инженером Ван-дер-Полем [4].
В 30-х годах ХХ века Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов [5] предложили общий подход
к исследованию уравнений с малым параметром. Его суть заключается в построении та-
кой замены переменных, которая позволяет отделить „быстрые” переменные от „мед-
ленных” . Эта замена переменных позволяет также представить решение в виде асимп-
тотического ряда, первый член которого совпадает с решением, полученным по методу
Ван-дер-Поля. Метод Крылова – Боголюбова с дополнением, а именно, исследованием
систем с „медленно” меняющимися параметрами, изложен в работе [6].
Идея Крылова – Боголюбова была развита Е. П. Поповым [7, 8], и им в 50-е годы
ХХ века создан метод гармонической линеаризации, получивший широкое практическое
применение. Этот метод более чем какой-либо другой оказался способным в простейшем
виде уловить самые главные специфические свойства нелинейных процессов в системе.
c© С. А. Айсагалиев, 2017
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1 3
4 С. А. АЙСАГАЛИЕВ
Метод малого параметра и разделения движения, гармонической линеаризации отно-
сится к приближенным методам. Достоинствами этих методов являются универсальность
и простота, а к недостаткам относится невозможность во многих случаях предсказать или
оценить величину получаемой погрешности.
Метод фазового пространства и точечных отображений берет свое начало в работах
М. Г. Леоте и А. Пфарр. Существенный вклад в развитие данного метода внесли А. Пу-
анкаре [2], Г. Д. Биркгоф [9], А. А. Андронов [10], Ю. И. Неймарк [11], Р. А. Нелепин [12].
Он весьма эффективен, если порядок автономной системы n = 2. Данный метод был
распространен на нелинейные системы высокого порядка (n ≥ 3) Р. А. Нелепиным [12].
Метод Ляпунова – Пуанкаре получил развитие в работах Г. В. Каменкова [13] и
И. Г. Малкина [14]. О. Воеводы [15], А. П. Проскурякова [16], А. Бойчука, С. Чуйко [17, 18].
Существование и построение периодического решения при наличии фазового и ин-
тегрального ограничений относятся к числу нерешенных проблем качественной теории.
К сожалению, в настоящее время нет публикаций, посвященных решению данной про-
блемы. Поэтому разработка методов построения периодических решений обыкновен-
ных дифференциальных уравнений общего вида является актуальной проблемой.
Данная работа является продолжением научных исследований, приведенных в рабо-
тах [19, 20].
2. Постановка задачи. Рассмотрим нелинейную автономную систему
ẋ = Ax+Bf(x), t ∈ I∗ = [0, T∗], (1)
x(0) = x(T∗) = x0 ∈ S ⊂ Rn, (2)
при наличии фазовых
x(t) ∈ G : G = {x ∈ Rn/a ≤ F (x) ≤ b, t ∈ I∗} (3)
и интегральных
gj(x) ≤ cj , j = 1,m1, gj(x) = cj , j = m1 + 1,m2, (4)
gj(x) =
T∗∫
0
f0j(x(t))dt, j = 1,m2, (5)
ограничений. Здесь A, B — постоянные матрицы порядков n× n, n×m соответственно,
S — заданное выпуклое замкнутое множество, m-мерная вектор-функция f(x) опреде-
лена и непрерывна по переменной x ∈ D и удовлетворяет условиям
|f(x)− f(y)| ≤ l|x− y| ∀x, y ∈ D, l = const > 0,
|f(x)| ≤ c0, x ∈ D, c0 = const > 0, G ⊂ D,
гдеD ⊂ Rn — ограниченное замкнутое множество. Функция F (x) = (F1(x), . . . , Fs(x)) —
s-мерная вектор-функция, непрерывная по переменной x ∈ D, a ∈ Rs, b ∈ Rs — задан-
ные векторы, T∗ — период.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 5
Величины cj , j = 1,m2, — заданные постоянные, f0j(x), j = 1,m2, — заданные не-
прерывные функции, удовлетворяющие условиям
|f0j(x)− f0j(y)| ≤ lj |x− y| ∀x, y ∈ D,
|f0j(x)| ≤ c0j , c0j = const > 0, j = 1,m2.
Ставятся следующие задачи.
Задача 1. Найти необходимые и достаточные условия существования периодиче-
ского решения системы (1) – (5).
Задача 2. Построить периодическое решение системы (1) – (5). Найти период T∗.
Заметим, что если матрица A = 0, B = In, то
ẋ = f(x), t ∈ I∗, I∗ = [0, T∗], (6)
где In — единичная матрица порядка n×n.Поэтому полученные ниже результаты остают-
ся справедливыми для уравнения вида (6) при условиях (2) – (5).
Из уравнения (1), в частности, могут быть получены система уравнений Ляпунова и
система уравнений Пуанкаре, а также уравнение Ван-дер-Поля.
При отсутствии фазовых и интегральных ограничений (3) – (5) задачи 1, 2, в частнос-
ти, можно сформулировать так:
Задача 3. Найти необходимые и достаточные условия существования периодиче-
ского решения уравнения (1).
Задача 4. Построить периодическое решение уравнения (1). Найти период T∗.
Решения задач 3, 4 следуют из решений задач 1, 2. Известные результаты являются
приближенными решениями задач 3, 4.
Как следует из постановки задачи, необходимо найти периодическое решение x(t) =
= x(t+T∗), t ≥ 0, удовлетворяющее следующим условиям: 1) x(t) = x(t+T∗) ∈ G, t ≥ 0,
2) вдоль периодического решения выполнены соотношения (4), (5).
3. Преобразования. Рассмотрим интегральные ограничения (4), (5). Введем вектор-
функцию η(t) = (η1(t), . . . , ηm2(t)), t ∈ I∗, следующим образом:
ηj(t) =
t∫
0
f0j(x(τ))dτ, j = 1,m2, t ∈ I∗. (7)
Из (7) следует, что
η̇ = f0(x), f0(x) = (f01(x), . . . , f0m2(x)), (8)
где η = (η1, . . . , ηm2),
η(t0) = 0, η(T∗) = c, c ∈ Q =
{
c ∈ Rm2/c = (c1, . . . , cm2),
cj = cj − dj , j = 1,m1, cj = cj , j = m1 + 1,m2, dj ≥ 0, j = 1,m1
}
.
(9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
6 С. А. АЙСАГАЛИЕВ
Введем следующие векторы и матрицы:
ξ =
(
x
η
)
, A1 =
(
A Onm2
Om2n Om2m2
)
, B1 =
(
B
Om2n
)
, B2 =
(
Onm2
Im2
)
,
P1 = (In, Onm2), P2 = (Om2n, Im2).
Теперь систему уравнений (1), (8) можно записать в векторной форме
ξ̇ = A1ξ +B1f(P1ξ) +B2f0(P1ξ), t ∈ I∗, (10)
с краевыми условиями (см. (9))
P1ξ(0) = P1ξ(T∗) = x0 ∈ S, P2ξ(0) = 0, P2ξ(T∗) = c ∈ Ω, (11)
P1ξ(t) ∈ G, P1ξ = x, P2ξ = η. (12)
Заметим, что соотношения (1) – (6) равносильны (10) – (12). Тогда задачи 1, 2 равно-
сильны следующим задачам.
Задача 1′. Найти необходимые и достаточные условия существования решения
краевой задачи (10) – (12).
Задача 2′. Построить решение краевой задачи (10) – (12).
4. Интегральные уравнения. Для решения краевой задачи (10) – (12) необходимы тео-
ремы о свойствах решений интегрального уравнения Фредгольма первого рода из работ
[21, 22]. Рассмотрим интегральные уравнения вида
Ku ≡
t1∫
t0
K(t0, t)u(t)dt = a, t ∈ I = [t0, t1], (13)
где K(t0, t) = ‖Kij(t0, t)‖, i = 1, n, j = 1,m, — известная матрица порядка n × m с
кусочно-непрерывными элементами по t при фиксированных t0, t1, u(·) ∈ L2(I,R
m) —
искомая функция, a ∈ Rn — заданный вектор.
Теорема 1. Интегральное уравнение (13) при любом фиксированном a ∈ Rn имеет
решение тогда и только тогда, когда матрица
C(t0, t1) =
t1∫
t0
K(t0, t)K
∗(t0, t)dt (14)
порядка n×n является положительно определенной, ∗— знак транспонирования, t1 >
> t0.
Теорема 2. Пусть матрица C(t0, t1) положительно определена. Тогда общее решение
интегрального уравнения (13) имеет вид
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 7
u(t) = v(t) +K∗(t0, t)C
−1(t0, t1)a−K∗(t0, t)C−1(t0, t1)
t1∫
t0
K(t0, t)v(t)dt, t ∈ I,
где v(·) ∈ L2(I,R
m) — произвольная функция, a ∈ Rn — произвольный вектор.
5. Существование решения. Наряду с дифференциальным уравнением (10) с крае-
выми условиями (11) рассмотрим линейную управляемую систему
ẏ = A1y +B1w1(t) +B2w2(t), t ∈ I∗ = [0, T∗], (15)
y(0) = ξ(0) = ξ0 =
(
x0
Om21
)
, y(T∗) = ξ(T∗) = ξ1 =
(
x0
c
)
, (16)
w1(·) ∈ L2(I,R
m), w2(·) ∈ L2(I,R
m2), (17)
где
ξ(0) = ξ0 =
(
x(0)
η(0)
)
=
(
x0
Om21
)
, ξ(T∗) = ξ1 =
(
x(T∗)
η(T∗)
)
=
(
x0
c
)
,
ξ0 ∈ Rn ×Om2,1, ξ1 ∈ Rn ×Q, P1ξ0 = x(0) = x0, P2ξ0 = η(0) = Om2,1,
P1ξ1 = x(T∗) = x0, P2ξ1 = η(T∗) = c, x0 ∈ S, c ∈ Q,
Om2,1 — (m2 × 1)-вектор с нулевыми элементами.
Заметим, что уравнение (15) получено из (10) путем замены f(P1ξ), f0(P1ξ) на w1(t),
w2(t) соответственно.
Пусть матрица E = (B1, B2) имеет порядок (n + m2) × (m + m2), функция w(t) =
= (w1(t), w2(t)) принадлежитL2(I,R
m+m2),матрица Ψ(t, τ) = θ(t)θ−1(τ), где θ(t) = eA1t —
фундаментальная матрица решений линейной однородной системы ζ̇ = A1ζ. По исход-
ным данным системы (15) – (17) определим следующие векторы и матрицы:
a = Ψ(0, T∗)ξ1 − ξ0, W1(0, T∗) =
T∗∫
0
Ψ(0, t)EE∗Ψ∗(0, t)dt,
W1(0, t) =
t∫
0
Ψ(0, τ)EE∗Ψ∗(0, τ)dτ, W1(t, T∗) = W1(0, T∗)−W1(0, t),
Γ1(t, ξ0, ξ1) = E∗Ψ∗(0, t)W−11 (0, T∗)a, M1(t) = −E∗Ψ∗(0, t)W−11 (0, T∗)Ψ(0, T∗) =
=
(
−B∗1Ψ∗(0, t)W−11 (0, T∗)Ψ(0, T∗)
−B∗2Ψ∗(0, t)W−11 (0, T∗)Ψ(0, T∗)
)
=
(
M11(t)
M12(t)
)
,
Γ2(t, ξ0, ξ1) = Ψ(t, 0)W1(t, T∗)W
−1
1 (0, T∗)ξ0 + Ψ(t, 0)W1(0, t)W
−1
1 (0, T∗)Ψ(0, T∗)ξ1,
M2(t) = −Ψ(t, 0)W1(0, t)W
−1
1 (0, T∗)Ψ(0, T∗), t ∈ T∗, Ψ(t, τ) = eA1(t−τ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
8 С. А. АЙСАГАЛИЕВ
Теорема 3. Пусть матрица W1(0, T∗) положительно определена. Управление w(·) ∈
∈ L2(I,R
m+m2) переводит траекторию системы (15) – (17) из любой заданной точки
ξ0 ∈ Rn+m2 в любое заданное конечное состояние ξ1 ∈ Rn+m2 тогда и только тогда,
когда
w(t) ∈ Ω =
{
w(·) ∈ L2(I,R
m+m2)/w(t) = v(t)+
+Γ1(t, ξ0, ξ1) +M1(t)z(T∗, v) ∀v(·) ∈ L2(I,R
m+m2), t ∈ I∗
}
, (18)
где v(·) ∈ L2(I,R
m+m2) — произвольная функция, а функция z(t, v), t ∈ I∗, — решение
дифференциального уравнения
ż = A1z + Ev(t), z(0) = 0, v(t) = (v1(t), v2(t)), t ∈ I∗. (19)
Решение дифференциального уравнения (15), соответствующее управлению w(t) ∈
∈ Ω, определяется по формуле
y(t) = z(t) + Γ2(t, ξ0, ξ1) +M2(t)z(T∗, v), t ∈ I∗. (20)
Доказательство. Уравнения движения управляемой системы (15) – (17) могут быть
представлены в виде
ẏ = A1y + Ew(t), t ∈ [0, T∗], y(0) = ξ0, y(T∗) = ξ1,
w(t) = (w1(t), w2(t)) ∈ L2(I,R
m+m2).
(21)
Решение дифференциального уравнения
ẏ = A1y + Ew(t), y(0) = ξ0, t ∈ I∗ = [0, T∗],
имеет вид
y(t) = Φ(t, 0)ξ0 +
t∫
0
Ψ(t, τ)Ew(t)dτ, t ∈ I∗.
Тогда управление w(·) ∈ L2(I,R
m+m2), которое переводит траекторию системы (21) из
начального состояния ξ0 ∈ Rn+m2 в состояние ξ1 ∈ Rn+m2 , определяется из условия
T∗∫
0
Ψ(0, t)Ew(t)dt = Ψ(0, T∗)ξ1 − ξ0 = a. (22)
Из теоремы 2 следует, что общее решение интегрального уравнения (22) имеет вид
w(t) = v(t) +K∗(0, t)C−1(0, T∗)a−K∗(0, T∗)C−1(0, T∗)
T∗∫
0
K(0, t)v(t)dt,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 9
где K(0, t) = Ψ(0, t)E, C(0, T∗) = W1(0, T∗). Отсюда имеем (см. (14))
w(t) = E∗Ψ∗(0, t)W−1(0, T∗)a+ v(t)− E∗Ψ∗(0, t)W−1(0, T∗)
T∗∫
0
Ψ(0, t)Ev(t)dt, t ∈ I, (23)
где v(·) ∈ L2(I,R
m+m2) — произвольная функция. Решение дифференциального уравне-
ния (19) таково:
z(t) = z(t, v) = Ψ(t, 0)z(0) +
t∫
0
Ψ(t, τ)Ev(τ)dτ =
t∫
0
Ψ(t, τ)Ev(τ)dτ.
Тогда
w(t) = v(t) + Γ1(t, ξ0, ξ1) +M1(t)z(T∗, v), t ∈ I.
Отсюда следует, что w(t) принадлежит Ω. Итак, доказано включение (18).
Пусть w(t) принадлежит Ω. Тогда решение дифференциального уравнения (21) имеет
вид
y(t) = Ψ(t, 0)ξ0 +
t∫
0
Ψ(t, τ)E[v(τ) + Γ1(τ, ξ0, ξ1) +M1(t)z(T∗, v)]dτ =
= z(t, v) + Γ2(t, ξ0, ξ1) +M2(t)z(T∗, v), t ∈ I∗.
Отсюда следует представление решения системы (21) в виде (20).
Легко убедиться в том, что y(0) = z(0, v) + Γ2(0, ξ0, ξ1) + M2(0)z(T∗, v) = ξ0, y(T∗) =
= z(T∗, v) + Γ2(T∗, ξ0, ξ1) +M2(T∗)z(T∗, v) = ξ1.
Теорема 3 доказана.
Лемма 1. Для того чтобы матрица
W1(0, T∗) =
T∗∫
0
Ψ(0, t)EE∗Ψ∗(0, t)dt =
T∗∫
0
e−A1tEE∗e−A
∗
1tdt (24)
была положительно определенной для любого T∗ > 0, необходимо и достаточно, что-
бы ранг матрицы
W =
∥∥∥E,A1E,A
2
1E, . . . , A
n+m2−1
1 E
∥∥∥ (25)
был равен n+m2.
Критерий управляемости пары (A1, E) в виде rankW = n+m2 был получен Р. Е. Кал-
маном [23]. Доказательство равносильности rankW = n + m2 и W1(0, T∗) > 0 можно
найти в [24].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
10 С. А. АЙСАГАЛИЕВ
Лемма 2. Пусть матрица W1(0, T∗) > 0. Тогда краевая задача с ограничениями (1) –
(5) равносильна задаче
w1(t) = v1(t) + Γ11(t, ξ0, ξ1) +M11(t)z(T∗, v1, v2) = f(P1y(t)), t ∈ I∗, (26)
w2(t) = v2(t) + Γ12(t, ξ0, ξ1) +M12(t)z(T∗, v1, v2) = f0(P1y(t)), t ∈ I∗, (27)
w(t) = (w1(t), w2(t)) ∈ Ω, v(t) = (v1, v2) ∈ L2(I∗, R
m+m2),
v1(·) ∈ L2(I,R
m), v2(·) ∈ L2(I,R
m2), (28)
Γ1(t, ξ0, ξ1) = (Γ11(t, ξ0, ξ1),Γ12(t, ξ0, ξ1)), P1y(t) ∈ G(t), t ∈ I∗,
где функция z(t, v) = z(t, v1, v2), t ∈ I∗, — решение дифференциального уравнения (19),
функция y(t), t ∈ I∗, определяется по формуле (20).
Доказательство леммы следует из теоремы 3 и равенства P1y(t) = x(t), ξ(t) = y(t),
t ∈ I∗.
Рассмотрим следующую задачу оптимального управления: минимизировать функцио-
нал (см. (23), (28))
J(v1, v2, x0, d, p) =
T∗∫
0
[
|w1(t)− f(P1y(t))|2 + |w2(t)− f0(P1y(t))|2+
+|p(t)− F (P1y(t))|2
]
dt → inf (29)
при
ż = A1z +B1v1(t) +B2v2(t), z(0) = 0, t ∈ I∗, (30)
v1(·) ∈ L2(I∗, R
m), v2(·) ∈ L2(I∗, R
m2), (31)
x0 ∈ S, d ∈ Γ = {d ∈ Rm1/d ≥ 0}, (32)
p(t) ∈ V = {p(·) ∈ L2(I∗, R
s)/a ≤ p(t) ≤ b, t ∈ I∗}, (33)
где функции w1(t), w2(t), t ∈ I∗, определяются формулами (26), (27) соответственно.
Введем следующие обозначения:
θ = (v1(t), v2(t), x0, d, p(t)) ∈ X = L2(I,R
m)× L2(I,R
m2)× S × Γ× V,
H = L2(I,R
m)× L2(I,R
m2)×Rn ×Rm1 × L2(I∗, R
s), X ⊂ H.
Теорема 4. Пусть матрица W1(0, T∗) > 0. Для того чтобы краевая задача с ограни-
чениями (1) – (5) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы значение J(θ∗) = 0,
где θ∗ = (v∗1, v
∗
2, x
∗
0, d∗, p∗) ∈ X — решение оптимизационной задачи (29) – (33).
Доказательство. Необходимость. Пусть краевая задача (1) – (5) имеет решение. По-
кажем, что значение J(θ∗) = 0. Пусть x(t; 0, x∗0), t ∈ I∗, — решение дифференциального
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 11
уравнения (1), где x∗0 ∈ S. Как следует из леммы 2, краевая задача (1) – (5) равносильна
задаче (26) – (28). Следовательно,
v∗1(t) + Γ11(t;x
∗
0, d∗) +M11(t)z(T∗, v
∗
1, v
∗
2) = f(P1y∗(t)), t ∈ I∗,
v∗2(t) + Γ12(t;x
∗
0, d∗) +M12(t)z(T∗, v
∗
1, v
∗
2) = f0(P1y∗(t)), t ∈ I∗,
y∗(t) = z(t, v∗1, v
∗
2) + Γ2(t;x
∗
0, d∗) +M2(t)z(T∗, v
∗
1, v
∗
2), t ∈ I∗,
где
x∗0 ∈ S, w∗1(t) = v∗1(t) + Γ11(t;x
∗
0, d∗) +M11(t)z(T∗, v
∗
1, v
∗
2),
w∗2(t) = v∗2(t) + Γ12(t;x
∗
0, d∗) +M12(t)z(T∗, v
∗
1, v
∗
2),
y∗(t) = ξ∗(t) = (x(t, 0, x∗0), η∗(t; 0, 0)), t ∈ I∗,
F (P1y∗(t)) = F (x(t; 0, x∗0)), t ∈ I∗.
Тогда
J(θ∗) =
T∗∫
0
[|w∗1 − f(P1y∗)|2 + |w∗2(t)− f0(P1y∗(t))|2 + |p∗ − F (P1y∗)|2]dt = 0,
где P∗(t) = F (P1y∗(t)) ∈ V, t ∈ I∗. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть значение J(θ∗) = 0. Покажем, что краевая задача (1) – (5)
имеет решение. В самом деле, значение J(θ∗) = 0 тогда и только тогда, когда w∗1(t) =
= f(P1y∗(t)), w
∗
2(t) = f0(P1y∗(t)), p∗(t) = F (P1y∗(t)), где
y∗(t) = (x(t; 0, x∗0), η∗(t)), (w∗1(t), w∗2(t)) ∈ Ω, θ∗ ∈ X.
Отсюда следует, что x(t; 0, x∗0), t ∈ I∗, — решение уравнения (1), x(0) = x(T∗) = x∗0,
η∗(0) = 0, η∗(T∗) ∈ Q, p∗(t) = F (P1y∗(t)) ∈ G. Достаточность доказана.
Теорема 4 доказана.
Поскольку
Γ11(t, ξ0, ξ1) = T1(t)x0 + T2(t)d+ r1(t) +M11(t)z(T∗, v),
Γ12(t, ξ0, ξ1) = C1(t)x0 + C2(t) + r2(t) +M12(t)z(T∗, v),
Γ2(t, ξ0, ξ1) = D1(t)x0 +D2(t)d+ r(t) +M2(t)z(T∗, v),
то
w1(t) = v1(t) + T1(t)x0 + T2(t)d+ r1(t) +M11(t)z(T∗, v), t ∈ I∗,
w2(t) = v2(t) + C1(t)x0 + C2(t)d+ r2(t) +M12(t)z(T∗, v), t ∈ I∗, (34)
y∗(t) = z(t, v) +D1(t)x0 +D2(t)d+ r(t) +M2(t)z(T∗, v), t ∈ I∗,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
12 С. А. АЙСАГАЛИЕВ
функция
F0 = |w1(t)− f(P1y(t))|2 + |w2(t)− f0(P1y(t))|2 + |p(t)− F (P1y(t))|2 = F0(q(t), t),
q(t) = (θ(t), z(t, v), z(T∗, v)).
(35)
Обозначим F0q(q, t) = (F0v1 , F0v2 , F0x0 , F0d, F0p, F0z, F0z(T∗)).
Лемма 3. Пусть выполнено неравенство
〈F0q(q1, t)− F0q(q2, t), q1 − q2〉RN ≥ 0, q1, q2 ∈ RN ,
N = m+m1 + s+ 3(n+m2).
(36)
Тогда функционал (29) при условиях (30) – (33) является выпуклым.
Доказательство. Для любого фиксированного t ∈ I∗ соотношение (36) является необ-
ходимым и достаточным условием выпуклости гладкой функции F0(q, t) по переменной
q, т. е.
F0(αq1 + (1− α)q2, t) ≤ αF0(q1, t) + (1− α)F0(q2, t), q1, q2 ∈ RN , α ∈ [0, 1]. (37)
Значение функционала (см. (34), (35)) таково:
J(θα) = J(αθ1 + (1− α)θ2) =
T∗∫
0
F0(qα(t), t)dt =
=
T∗∫
0
F0(αθ1 + (1− α)θ2, z(t, αv
1 + (1− α)v2), z(T∗, αv
1 + (1− α)v2))dt ≤
≤ α
T∗∫
0
F0(q1(t), t)dt+ (1− α)
T∗∫
0
F0(q2(t), t)dt =
= αJ(θ1) + (1− α)J(θ2), θ1, θ2 ∈ X.
Лемма 3 доказана.
Теорема 5. Пусть производнаяF0q(q, t) удовлетворяет условию Липшица. Тогда функ-
ционал (29) при условиях (30) – (33) дифференцируем по Фреше, градиент
J ′(θ) =
(
J ′v1(θ), J ′v2(θ), J ′x0(θ), J ′d(θ), J
′
p(θ)
)
∈ H
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 13
в любой точке θ ∈ X и вычисляется по формулам
J ′v1(θ) = F0v1(q(t), t)−B∗1ψ(t) ∈ L2(I,R
m),
J ′v2(θ) = F0v2(q(t), t)−B∗2ψ(t) ∈ L2(I,R
m2),
(38)
J ′x0(θ) =
T∗∫
0
F0x0(q(t), t)dt ∈ Rn, J ′d(θ) =
T∗∫
0
F0d(q(t), t)dt ∈ Rm1 ,
J ′p(θ) = F0p(q(t), t) ∈ L2(I,R
s),
где q(t) = (v1(t), v2(t), x0, d, p(t), z(t, v), z(T∗, v)), z(t, v), t ∈ I, — решение дифференциаль-
ного уравнения (30), а функция ψ(t), t ∈ I∗, — решение сопряженной системы
ψ̇ = F0z(q(t), t)−A∗1(t)ψ, ψ(T∗) = −
T∗∫
0
F0z(T∗)(q(t), t)dt. (39)
Кроме того, градиент J ′(θ) ∈ H удовлетворяет условию Липшица
‖J ′(θ1)− J ′(θ2)‖ ≤ l0‖θ1 − θ2‖, θ1, θ2 ∈ X. (40)
Доказательство. Функционал (29) не относится к классу известных типов функцио-
налов (функционал Лагранжа, функционал Майера, функционал Больца). Поэтому тре-
буется отдельное доказательство каждого утверждения теоремы.
Дифференциальное уравнение (30) может быть представлено в виде
ż = A1z + Ev(t), z(0) = 0, t ∈ I∗, (41)
гдеE = (B1, B2), v(t) = (v1(t), v2(t)) ∈ L2(I1, R
m+m2).Пусть v(t), v(t)+h(t) ∈ L2(I,R
m+m2),
z(t, v), z(t, v + h) — решения уравнения (41), соответствующие управлениям v(t), v(t) +
+h(t). Тогда приращение ∆z(t) = z(t, v+h)− z(t, v) является решением дифференциаль-
ного уравнения
∆ż(t) = A1∆z + Eh(t), ∆z(0) = 0, t ∈ I∗.
Справедлива оценка
|∆z(t)| ≤
T∗∫
0
‖Φ(t, τ)E‖|h(τ)|dτ ≤ c1
T∗∫
0
|h(t)|dt ≤ c2‖h‖L2 ,
где c1 = sup ‖Φ(t, τ)E‖, 0 ≤ t, τ ≤ T∗, c2 = c1
√
T∗, ‖h‖L2 =
(∫ T∗
0
|h(t)|2dt
)1/2
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
14 С. А. АЙСАГАЛИЕВ
Пусть θ = (v1, v2, x0, d, p) ∈ X, θ + ∆θ = (v + h, x0 + ∆x0, d + ∆d, p + ∆p) ∈ X. Тогда
приращение функционала
∆J = J(θ + ∆θ)− J(θ) =
T∗∫
0
[h∗1(t)F0v1(q(t), t) + h2(t)F0v2(q(t), t) + ∆x∗0F0x0(q(t), t)+
+ ∆d∗F0d(q(t), t) + ∆p∗(t)F0p(q(t), t) + ∆z∗(t)F0z(q(t), t)+
+∆z∗(T∗)F0z(T∗)(q(t), t)
]
dt+R1 +R2 +R3 +R4 +R5 +R6 +R7. (42)
Из (42) с учетом того, что
∆z∗(T∗)
T∗∫
0
F0z(T∗)(q(t), t)dt = −
T∗∫
0
h∗1(t)B
∗
1ψ(t)dt−
−
T∗∫
0
h∗2(t)B
∗
2ψ(t)dt−
T∗∫
0
∆z∗(t)F0z(q(t), t)dt,
получаем
∆J =
T∗∫
0
{h∗1[F0v1(q(t), t)−B∗1ψ(t)] + h∗2(t)[F0v2 −B∗2ψ(t)]+
+∆x∗0F0x0(q(t), t) + ∆d∗F0d(q(t), t)} dt+
7∑
i=1
Ri. (43)
Легко убедиться в том, что
‖∆q‖2 ≤ c23‖∆θ‖2, ‖∆θ‖2 = ‖h1‖2 + ‖h2‖2 + |∆x0|2 + |∆d|2 + ‖∆p‖2.
Тогда |R| ≤
∑7
i=1 |Ri| ≤ c4‖∆θ‖2, c3 = const > 0, c4 = const > 0. Из соотношений (43)
следует, что J ′(θ) определяется по формуле (38).
Покажем, что градиент J ′(θ) удовлетворяет условию Липшица (40). Обозначим θ1 =
= (v + h, x0 + ∆x0, d + ∆d, p + ∆p), θ2 = (v, x0, d, p), θ1 ∈ X, θ2 ∈ X. Тогда, согласно
соотношениям (38), имеем
J ′(θ1)− J ′(θ2) =
(
F0v1(· ·)− F0v1(·)−B1∆ψ(t), F0v2(· ·)− F0v2(·)−B2∆ψ(t),
T∗∫
0
[F0x0(· ·)− F0x0(·)]dt,
T∗∫
0
[F0d(· ·)− F0d(·)]dt, F0p(· ·)− F0p(·)
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 15
где (· ·) = (q(t) + ∆q(t), t), (·) = (q(t), t), ∆ψ(t) = ψ(t, v + ∆v) − ψ(t, v). Отсюда следует,
что
|J ′(θ1)− J ′(θ2)| ≤ |F0v1(· ·)− F0v1(·)|+ ‖B1‖ |∆ψ(t)|+ |F0v2(· ·)− F0v2(·)|+ ‖B2‖ |∆ψ(t)|+
+
T∗∫
0
|F0x0(· ·)− F0x0(·)|dt+
T∗∫
0
|F0d(· ·)− F0d(·)|dt+ |F0p(· ·)− F0p(·)|.
Поскольку частные производные удовлетворяют условиям Липшица, то выполняется
неравенство ∣∣J ′(θ1)− J ′(θ2)∣∣2 ≤ c5|∆q(t)|2 + c6|∆ψ(t)|2 + c7‖∆θ‖2.
Тогда
‖J ′(θ1)− J ′(θ2)‖2 =
T∗∫
0
|J ′(θ1)− J ′(θ2)|2dt ≤ c8‖∆θ‖2 + c9
T∗∫
0
|∆ψ(t)|2dt, (44)
где ci = const > 0, i = 5, 9.
Можно показать, что |∆ψ(t)| ≤ c10‖∆θ‖. Из (44) следует, что ‖J ′(θ1) − J ′(θ2)‖2 ≤
≤ c11‖∆θ‖2, где ∆θ = θ1 − θ2. Отсюда следует неравенство (40).
Теорема 5 доказана.
Пусть θ0 = (v01, v
0
2, x
0
0, d0, p0) ∈ X — произвольная фиксированная точка. На основе
формул (38) – (40) строим следующие последовательности:
vn+1
1 = vn1 − αnJ ′v1(θn), vn+1
2 = vn2 − αnJ ′v2(θn),
xn+1
0 = PS
[
xn0 − αnJ ′x0(θn)
]
, dn+1 = dn − αnJ ′d(θn),
(45)
pn+1 = PV [pn − αnJ ′p(θn)], n = 0, 1, . . . ,
ε0 < αn ≤
2
l0 + 2ε
, ε > 0, ε0 > 0,
где PS [·], PV [·] — проекции точек на множества. Поскольку S, V — выпуклые замкнутые
множества, то любая точка имеет единственную проекцию на эти множества соответ-
ственно.
Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 5, последовательность {θn} = {vn1 ,
vn2 , x
n
0 , dn, pn}⊂X определяется по формулам (45). Тогда:
1) числовая последовательность {J(θn)} строго убывает;
2) ‖vn1 − v
n+1
1 ‖ → 0, ‖vn1 − v
n+1
1 ‖ → 0, |xn0 −x
n+1
0 | → 0, |dn− dn+1| → 0, ‖pn− pn+1‖ → 0
при n → ∞.
Если, кроме того, выполнено неравенство (36), а множествоM(θ0) = {θ ∈ X/J(θ) ≤
≤ J(θ0)} ограничено, то:
3) последовательность {θn} ⊂ X является минимизирующей
lim
n→∞
J(θn) = J∗ = inf
θ∈X
J(θ);
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
16 С. А. АЙСАГАЛИЕВ
4) множество X∗ = {θ∗ ∈ X/J(θ∗) = J∗ = infθ∈X J(θ)} не пусто;
5) последовательность {θn ⊂ X} слабо сходится к множеству X∗, vn1
сл−→ v∗1, v
n
2
сл−→
сл−→ v∗2, x
n
0 → x∗0, dn → d∗, pn
сл−→ p∗ при n → ∞, где θ∗ = (v∗1, v
∗
2, x
∗
0, d∗, p∗) ∈ X∗;
6) cправедлива следующая оценка скорости сходимости:
0 ≤ J(θn)− J∗ ≤
m0
n
, n = 1, 2, . . . , m0 = const > 0;
7) система (1) – (5) имеет периодическое решение тогда и только тогда, когда
J(θ∗) = 0.Если J(θ∗) = 0,то периодическим решением краевой задачи (1) – (5) является
функция
x∗(t) = P1 [z(t, v∗1, v
∗
2) +D1(t)x
∗
0 +D2(t)d∗ + r(t) +M2(t)z(T∗, v
∗
1, v
∗
2)] , t ∈ I∗,
где x∗(t), t ∈ I∗, удовлетворяет фазовому и интегральному ограничению.
Доказательство. Необходимое и достаточное условие того, что θn+1 является проек-
цией точки θn − αnJ ′(θn) на множестве X, имеет вид〈
θn+1 − (θn − αnJ ′(θn)), θ − θn+1
〉
X
≥ 0, θ ∈ X. (46)
С другой стороны, поскольку функционал J(θ) ∈ C1,1(X) (см. теорему 5), то выпол-
няется неравенство
J(θ1)− J(θ2)−
〈
J ′(θ2), θ1 − θ2
〉
≤ 1
2
l0
∥∥θ1 − θ2∥∥2 , θ1, θ2 ∈ X.
Следовательно,
J(θ2)− J(θ1) ≥
〈
J ′(θ2), θ2 − θ1
〉
− 1
2
l0
∥∥θ1 − θ2∥∥2 , θ1, θ2 ∈ X.
Отсюда, в частности, при θ2 = θn, θ
1 = θn+1 имеем
J(θn)− J(θn+1) ≥
〈
J ′(θn), θn − θn+1
〉
− l0
2
‖θn − θn+1‖2 .
Подставляя оценку для значения 〈J ′(θn), θn − θn+1〉 , из данного неравенства получаем
J(θn)− J(θn+1) ≥ ε
(∥∥vn1 − vn+1
1
∥∥2 +
∥∥vn2 − vn+1
2
∥∥2 +
+
∣∣xn0 − xn+1
0
∣∣2 + |dn − dn+1|2 + ‖pn − pn+1‖2
)
(47)
в силу того, что
1
αn
≥ l0 + 2ε
2
,
1
αn
− l0
2
≥ ε, ε > 0. Из (47) следует, что: 1) числовая
последовательность {J(θn)} строго убывает; 2) так как значение функционала J(θ) огра-
ничено снизу, J(θ) ≥ 0, θ ∈ X, то числовая последовательность {J(θn)} сходится; 3) вы-
полнено равенство limn→0[J(θn) − J(θn+1)] = 0; 4) переходя к пределу, из (47) получаем
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 17
‖vn1 − v
n+1
1 ‖ → 0, ‖vn2 − v
n+1
2 ‖ → 0, |xn0 − x
n+1
0 | → 0, |dn − dn+1| → 0, ‖pn − pn+1‖ → 0 при
n → ∞. Отсюда следуют утверждения 1, 2 теоремы.
Пусть выполнено неравенство (36), множество M(θ0) ограничено. Покажем, что по-
следовательность {θn} ⊂ X является минимизирующей. Поскольку значение функци-
онала строго убывает, то {θn} ⊂ M(θ0). Из неравенства (36) следует, что функционал
J(θ) ∈ C1,1(X) является выпуклым. Следовательно, выполняется неравенство
J
(
θ2
)
− J
(
θ1
)
≤
〈
J ′(θ2), θ2 − θ1
〉
, θ1, θ2 ∈ X. (48)
Поскольку функционал (29) при условиях (30) – (33) является выпуклым, множество
X выпукло, то M(θ0) — ограниченное выпуклое замкнутое множество. Тогда множество
M(θ0) слабо бикомпактно в силу того, что M(θ0) — ограниченное выпуклое замкнутое
множество в рефлексивном пространстве H. Так как M(θ0) = {θ ∈ X/J(θ) ≤ J(θ0)}, то
нижнюю грань функционала (29) при условиях (30) – (33) следует искать на множестве
M(θ0). Любой выпуклый функционал является слабо полунепрерывным снизу. Тогда,
согласно теореме Вейерштрасса о том, что „слабо полунепрерывный снизу функционал
на слабо бикомпактном множестве достигает нижней грани” , функционал J(θ) достига-
ет нижней грани на множестве M(θ0), X∗ ⊂ M(θ0), X∗ 6= ∅, где ∅ — пустое множество.
Из неравенства (48) при θ2 = θn, θ
1 = θ∗ ∈ X∗, θn ∈ M(θ0) ⊂ X, имеем
J(θn)− J(θ∗) ≤
〈
J ′(θn), θn − θ∗
〉
=
〈
J ′(θn), θn − θn+1
〉
−
〈
J ′(θn, θ∗ − θn+1)
〉
.
Отсюда с учетом неравенства (46) получаем
J(θn)− J(θ∗) ≤
〈
J ′(θn)− 1
αn
(θ∗ − θn+1, θn − θn+1)
〉
≤
≤
∥∥∥∥J ′(θn)− 1
αn
(θ∗ − θn+1)
∥∥∥∥ ‖θn − θn+1‖ ≤
≤ sup
∥∥J ′(θn)
∥∥+
D
ε0
‖θn − θn+1‖, (49)
где
1
αn
<
1
ε0
, ‖θ∗ − θn+1‖ ≤ D, D = supθ1,θ2∈M(θ0) ‖θ
1 − θ2‖ — диаметр множества
M(θ0). Так как ‖θn − θn+1‖ → 0 при n → ∞, то из (49) следует, что limn→∞ J(θn) =
= J(θ∗) = infθ∈X J(θ). Это означает, что последовательность {θn} ⊂ M(θ0) является
минимизирующей, θ∗ ∈ X∗ ⊂ M(θ0). Поскольку {θn} ⊂ M(θ0), M(θ0) — слабо биком-
пактное множество, то θ∗ ∈ M(θ0) является слабо предельной точкой последовательнос-
ти {θn}.
Пусть величина an = J(θn) − J(θ∗). Тогда неравенства (49) примут вид an ≤ c1‖θn −
−θn+1‖. Из оценки (47) имеем an − an+1 ≥ ε‖θn − θn+1‖2. Тогда an − an+1 ≥
εa2n
c21
, n =
= 0, 1, 2, . . . . Далее, применяя лемму о свойстве числовой последовательности {an} из
[23], получаем an <
1
An
, A =
ε
c21
. Отсюда следует, что an = J(θn) − J(θ∗) ≤
ε
c21
1
n
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
18 С. А. АЙСАГАЛИЕВ
n = 1, 2, . . . , где m0 =
ε
c21
= const > 0. Последнее утверждение теоремы следует из
теоремы 4.
Теорема 6 доказана.
6. Построение периодического решения. Пусть последовательность {Tk} ⊂ R1 тако-
ва, что 0 < T1 < T2 < . . . < Tk < . . . . Заметим, что матрица (см. (24), (25))
W1(0, Tk) =
Tk∫
0
Ψ(0, t)EE∗Ψ∗(0, t)dt =
Tk∫
0
e−A1tEE∗e−A
∗
1tdt
является положительно определенной для любого Tk > 0 в силу леммы 1. Поэтому оста-
ются справедливыми теоремы 3 – 6, леммы 2, 3 для любого Tk > 0.
Если для некоторого Tk решение оптимизационной задачи
Jk(v1, v2, x0, d, p) =
Tk∫
0
[
|w1(t)− f(P1y(t))|2+
+|w2(t)− f0(P1y(t))|2 + |p(t)− F (P1y(t))|2
]
dt → inf (50)
при условиях
ż = A1z +B1v1(t) +B2v2(t), z(0) = 0, t ∈ Ik = [0, Tk], (51)
v1(·) ∈ L2(Ik, R
m), v2(·) ∈ L2(Ik, R
m), (52)
x0 ∈ S, d ∈ Γ, p(t) ∈ V, t ∈ Ik, (53)
таково, что Jk(θ∗) = 0, где θ∗ = (v∗1, v
∗
2, x
∗
0, d∗, p∗) ∈ X — оптимальное управление для
задачи (50) – (53), то Tk = T∗ — период, а функция x∗(t), t ∈ Ik = [0, Tk] = [0, T∗] =
= I∗, — периодическое решение краевой задачи (1) – (5). Заметим, что в случае отсут-
ствия фазовых и интегральных ограничений для нахождения периодических решений
может быть применен метод наименьших квадратов из [25, 26].
Литература
1. Poincare A. Sur les courbes definces par une equation differentielle. — Paris, 1928. — Vol. 1.
2. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. — М.: Гостехиздат, 1947.
3. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959.
4. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука, 1969.
5. Крылов Н. Н., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. — Киев, 1937.
6. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колеба-
ний. — М.: Наука, 1974.
7. Попов Е. П., Пальтов И. П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических сис-
тем. — М.: Физматгиз, 1960.
8. Попов Е. П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. — М.: Наука, 1973.
9. Birhhoff G. D. Surface transformations and their dynamical applications // Acta Math. — 1920. — 43.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 19
10. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М.: Физматгиз, 1959.
11. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний // Изв. вузов. Радио-
физика. — 1958. — 1. — С. 7 – 20.
12. Нелепин Р. А. Об исследовании нелинейных автоматических систем высокого порядка точными ма-
тематическими методами // Докл. АН СССР. — 1965. — 161, № 4. — С. 111 – 116.
13. Каменков Г. В. Исследование нелинейных колебаний с помощью функций Ляпунова // Труды Ун-та
дружбы народов им. Патриса Лумумбы. — 1966. — 15. — С. 3 – 35.
14. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1956.
15. Vejvoda О. On perturbed nonlinear boundary-value problems // Czech. Math. J. — 1961. — № 11. — P. 323 –
364.
16. Проскуряков А. П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1977. — 256 с.
17. Boichuk A., Chuiko S. Autonomous weakly nonlinear boundary-value problems in critical cases // Different.
Equat. — 1992. — № 10. — P. 1353 – 1358.
18. Chuiko S. M., Boichuk I. A. An autonomous Noetherian boundary value problem in the critical case //
Nonlinear Oscillations. — 2009. — 12, № 3. — P. 405 – 416.
19. Айсагалиев С. А., Айсагалиев Т. С. Конструктивный метод построения периодических решений обыкно-
венных дифференциальных уравнений // Изв. НАН РК. Cер. физ.-мат. — 1997. — № 5. — C. 3 – 11.
20. Айсагалиев С. А., Айсагалиев Т. С. Методы решения краевых задач. — Алматы: Казах. ун-т, 2002.
21. Айсагалиев С. А. Управляемость некоторой системы дифференциальных уравнений // Дифференц.
уравнения. — 1991. — 27, № 9. — С. 1475 – 1486.
22. Айсагалиев С. А. Общее решение одного класса интегральных уравнений // Мат. журн. — 2005. — 5,
№ 4(18). — С. 17 – 34.
23. Калман Р. Е. Об общей теории систем управления // Труды 1-го Междунар. конгр. Междунар. феде-
рации по автоматическому управлению. — 1961. — Т. 2.
24. Айсагалиев С. А. Лекции по оптимальному управлению. — Алматы: Казах. ун-т, 2007.
25. Chuiko S. M. On approximate solution of boundary value problems by the least square method // Nonlinear
Oscillations. — 2008. — 11, № 4. — P. 585 – 604.
26. Chuiko S. M., Starkova O. V. On the approximate solution of autonomous boundary value problems by the
least square method // Nonlinear Oscillations. — 2009. — 12, № 4. — P. 556 – 573.
Получено 08.12.14,
после доработки — 22.09.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
|