Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами

Побудовано розв’язок крайової задачi для системи лiнiйних неоднорiдних диференцiальних рiвнянь першого порядку з прямокутними матрицями.

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2016
1. Verfasser: Елишевич, М.А.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут математики НАН України 2016
Schriftenreihe:Нелінійні коливання
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177284
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами / М.А. Елишевич // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 476-492 — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-177284
record_format dspace
spelling irk-123456789-1772842021-02-15T01:26:07Z Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами Елишевич, М.А. Побудовано розв’язок крайової задачi для системи лiнiйних неоднорiдних диференцiальних рiвнянь першого порядку з прямокутними матрицями. We construct a solution to a boundary-value problem for a system of linear nonhomogeneous first order differential equations with rectangular matrices. 2016 Article Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами / М.А. Елишевич // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 476-492 — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177284 517.926.7 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Побудовано розв’язок крайової задачi для системи лiнiйних неоднорiдних диференцiальних рiвнянь першого порядку з прямокутними матрицями.
format Article
author Елишевич, М.А.
spellingShingle Елишевич, М.А.
Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами
Нелінійні коливання
author_facet Елишевич, М.А.
author_sort Елишевич, М.А.
title Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами
title_short Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами
title_full Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами
title_fullStr Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами
title_full_unstemmed Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами
title_sort краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами
publisher Інститут математики НАН України
publishDate 2016
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177284
citation_txt Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами / М.А. Елишевич // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 476-492 — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series Нелінійні коливання
work_keys_str_mv AT eliševičma kraevaâzadačadlâsistemylinejnyhneodnorodnyhdifferencialʹnyhuravnenijpervogoporâdkasprâmougolʹnymimatricami
first_indexed 2025-07-15T15:19:35Z
last_indexed 2025-07-15T15:19:35Z
_version_ 1837726722508718080
fulltext УДК 517.926.7 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ МАТРИЦАМИ М. А. Елишевич Киев. нац. ун-т стр-ва и архитектуры Воздухофлотский просп., 31, Киев, 03037, Украина We construct a solution to a boundary-value problem for a system of linear nonhomogeneous first order differential equations with rectangular matrices. Побудовано розв’язок крайової задачi для системи лiнiйних неоднорiдних диференцiальних рiв- нянь першого порядку з прямокутними матрицями. Постановка задачи. В данной работе для системы B(t) dx dt = A(t)x+ f(t), t ∈ [a; b], (1) где A(t), B(t) — прямоугольные матрицы-функции размерности m × n, f(t) — вектор- функция размерности m, A(t), B(t), f(t) ∈ C∞[a; b] действительные или комплексные, рассматривается краевая задача с граничным условием h[x(t)] = γ. (2) Здесь h— линейный оператор, отображающий пространство вектор-функций размернос- ти n, принадлежащих C∞[a; b], в пространство постоянных векторов размерности l, γ — постоянный вектор размерности l. Случай, когда A(t) и B(t) — квадратные матрицы, рассматривался в [1], где решение построено с использованием жордановых наборов векторов матрицы B(t) относительно оператора L(t) = A(t)−B(t) d dt и сопряженной матрицы B∗(t) относительно оператора L∗(t) = A∗(t) + d dt B∗(t), формально сопряженного с L(t). Они используются и в данной работе. Основные определения. Определение 1. Элемент ϕ(1)(t) ∈ kerB(t) имеет в точке t ∈ [a; b] конечную жорда- нову цепочку векторов матрицы B(t) относительно оператора L(t) длины p, p ≥ 1, c© М. А. Елишевич, 2016 476 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 477 если существуют векторы ϕ(i)(t), i = 1, p, удовлетворяющие соотношениям B(t)ϕ(1)(t) = 0, B(t)ϕ(i)(t) = L(t)ϕ(i−1)(t), i = 2, p, L(t)ϕ(p)(t) /∈ ImB(t). Определение 2. Элемент ϕ̃(1)(t) ∈ kerB(t) имеет в точке t ∈ [a; b] циклическую жор- данову цепочку векторов матрицы B(t) относительно оператора L(t) длины p̃, p̃ ≥ 1, если существуют векторы ϕ̃(i)(t), i = 1, p̃, удовлетворяющие соотношениям B(t)ϕ̃(1)(t) = 0, B(t)ϕ̃(i)(t) = L(t)ϕ̃(i−1)(t), i = 2, p̃, L(t)ϕ̃(p̃)(t) = 0. Определение 3. Элемент ϕ̂(1)(t) имеет в точке t ∈ [a; b] вспомогательную цепоч- ку векторов матрицы B(t) относительно оператора L(t) длины p̂, p̂ ≥ 1, если су- ществуют векторы ϕ̂(i)(t), i = 1, p̂, удовлетворяющие соотношениям B(t)ϕ̂(i)(t) = L(t)ϕ̂(i−1)(t), i = 2, p̂, B(t)ϕ̂(1)(t) /∈ ImL(t), L(t)ϕ̂(p̂)(t) /∈ ImB(t). Аналогично определим цепочки векторов на отрезке [a; b]. Их свойства исследованы в [2]. В дальнейшем будем предполагать, что доказываемые утверждения выполняются на всем отрезке [a; b], если не оговорено иное. В [1] рассмотрен случай, когдаA(t) иB(t) — квадратные матрицы и существуют толь- ко конечные цепочки. В данной работе рассматривается случай, когда A(t) и B(t) — пря- моугольные матрицы и могут существовать конечные, циклические и вспомогательные цепочки, но их количество и длины постоянны при всех t ∈ [a; b]. Основной результат. Построим жордановы цепочки векторов матрицы B(t) относи- тельно оператора L(t) и матрицы B∗(t) относительно оператора L∗(t) при t ∈ [a; b]. Определим циклические цепочки матрицыB(t) относительно оператора L(t) единич- ной длины. Пусть мы построили r̆, r̆ ≥ 0, линейно независимых векторов ϕ̆i(t), i = 1, r̆. Аналогично определим циклические цепочки матрицы B∗(t) относительно операто- ра L∗(t) единичной длины. Пусть мы построили ř, ř ≥ 0, линейно независимых векторов ψ̆i(t), i = 1, ř. Определим циклические цепочки матрицы B(t) относительно оператора L(t) длины больше 1 в порядке возрастания их длин. Выберем вектор ϕ̃ (1) 1 (t) ∈ kerB(t), линейно независимый с ϕ̆i(t), i = 1, r̆, имеющий цепочку наименьшей из возможных длин s̃1 + 1. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 478 М. А. ЕЛИШЕВИЧ Далее выберем вектор ϕ̃ (1) 2 (t) ∈ kerB(t), линейно независимый с ϕ̆i(t), i = 1, r̆, ϕ̃ (1) 1 (t), имеющий цепочку наименьшей из возможных длин s̃2 + 1, и т. д. Пусть мы построили r̃, r̃ ≥ 0, цепочек длин s̃i + 1, i = 1, r̃, 0 < s̃1 ≤ . . . ≤ s̃r̃, состоящих из векторов ϕ̃(j) i (t), j = 1, s̃i + 1, i = 1, r̃. Аналогично определим циклические цепочки матрицы B∗(t) относительно операто- ра L∗(t) длины больше 1 в порядке возрастания их длин. Пусть мы построили r̂, r̂ ≥ 0, цепочек длин ŝi+1, i = 1, r̂, 0 < ŝ1 ≤ . . . ≤ ŝr̂, состоящих из векторов ψ̃(j) i (t), j = 1, ŝi + 1, i = 1, r̂. Определим конечные цепочки матрицы B(t) относительно оператора L(t) в поряд- ке убывания их длин. Выберем вектор ϕ (1) 1 (t) ∈ kerB(t), линейно независимый с ϕ̆i(t), i = 1, r̆, ϕ̃ (1) i (t), i = 1, r̃, имеющий цепочку наибольшей из возможных длин s1. Далее выберем вектор ϕ(1) 2 (t) ∈ kerB(t), линейно независимый с ϕ̆i(t), i = 1, r̆, ϕ̃ (1) i (t), i = 1, r̃, ϕ (1) 1 (t), имеющий цепочку наибольшей из возможных длин s2, и т. д. Пусть мы построили r, r ≥ 0, цепочек длин si, i = 1, r, s1 ≥ . . . ≥ sr > 0, состоящих из векторов ϕ(j) i (t), j = 1, si, i = 1, r. Обозначим s = r∑ i=1 si, s̃ = r̃∑ i=1 s̃i, ŝ = r̂∑ i=1 ŝi, α = n− r̆ − r̃ − s̃− s− ŝ = m− ř − r̂ − ŝ− s− s̃. Согласно [2, 3] существуют также: r конечных цепочек матрицы B∗(t) относительно оператора L∗(t) длин si, i = = 1, r, состоящих из векторов ψ(j) i (t), j = 1, si, i = 1, r; r̂ вспомогательных цепочек матрицы B(t) относительно оператора L(t) длин ŝi, i = = 1, r̂, состоящих из векторов ϕ̂(j) i (t), j = 1, ŝi, i = 1, r̂; r̃ вспомогательных цепочек матрицы B∗(t) относительно оператора L∗(t) длин s̃i, i = = 1, r̃, состоящих из векторов ψ̂(j) i (t), j = 1, s̃i, i = 1, r̃; ř векторов ϕ̌i(t) /∈ ImB(t) ⋃ ImL(t), i = 1, ř; r̆ векторов ψ̌i(t) /∈ ImB∗(t) ⋃ ImL∗(t), i = 1, r̆; α векторов qi(t), i = 1, α; α векторов pi(t), i = 1, α, таких, что элементы каждого из следующих множеств принадлежат C∞[a; b] и линейно независимы: 1) qi(t), i = 1, α, ϕ̆i(t), i = 1, r̆, ϕ̃ (j) i (t), j = 1, s̃i + 1, i = 1, r̃, ϕ (j) i (t), j = 1, si, i = 1, r, ϕ̂ (j) i (t), j = 1, ŝi, i = 1, r̂; 2) B(t)qi(t), i = 1, α, ϕ̌i(t), i = 1, ř, L(t)ϕ̃ (j) i (t), j = 1, s̃i, i = 1, r̃, L(t)ϕ (j) i (t), j = 1, si, i = 1, r, B(t)ϕ̂ (1) i (t), i = 1, r̂, L(t)ϕ̂ (j) i (t), j = 1, ŝi, i = 1, r̂; 3) pi(t), i = 1, α, ψ̆i(t), i = 1, ř, ψ̃ (j) i (t), j = 1, ŝi + 1, i = 1, r̂, ψ (j) i (t), j = 1, si, i = 1, r, ψ̂ (j) i (t), j = 1, s̃i, i = 1, r̃; 4)B∗(t)pi(t), i = 1, α, ψ̌i(t), i = 1, r̆, L∗(t)ψ̃ (j) i (t), j = 1, ŝi, i = 1, r̂, L∗(t)ψ (j) i (t), j = 1, si, i = 1, r, B∗(t)ψ̂ (1) i (t), i = 1, r̃, L∗(t)ψ̂ (j) i (t), j = 1, s̃i, i = 1, r̃; ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 479 пары множеств 1 и 4, 2 и 3 соответственно представляют собой биортогональные сис- темы (B(t)qi(t), pk(t)) = (qi(t), B ∗(t)pk(t)) = δik, i, k = 1, α, (ϕ̆i(t), ψ̌k(t)) = δik, i, k = 1, r̆,( ϕ̌i(t), ψ̆k(t) ) = δik, i, k = 1, ř,( ϕ̃ (j) i (t), L∗(t)ψ̂ (l) k (t) ) = ( L(t)ϕ̃ (j) i (t), ψ̂ (l) k (t) ) = δikδl+j,s̃i+1, j, l = 1, s̃i, i, k = 1, r̃,( ϕ̃ (s̃i+1) i (t), B∗(t)ψ̂ (1) k (t) ) = δik, i, k = 1, r̃,( ϕ̂ (j) i (t), L∗(t)ψ̃ (l) k (t) ) = ( L(t)ϕ̂ (j) i (t), ψ̃ (l) k (t) ) = δikδl+j,ŝi+1, j, l = 1, ŝi, i, k = 1, r̂,( B(t)ϕ̂ (1) i (t), ψ̃ (ŝi+1) k (t) ) = δik, i, k = 1, r̂,( ϕ (j) i (t), L∗(t)ψ (l) k (t) ) = ( L(t)ϕ (j) i (t), ψ (l) k (t) ) = δikδl+j,si+1, j, l = 1, si, i, k = 1, r, все остальные скалярные произведения векторов из соответствующих пар множеств рав- ны 0. Обозначим через ci произвольный постоянный вектор размерности i, c0 = 0, Ii — нильпотентный блок Жордана размерности i. Перейдем непосредственно к краевой задаче (1), (2). Согласно [3] система (1) разре- шима при выполнении условий ŝi∑ j=0 dj dtj ( f(t), ψ̃ (ŝi−j+1) i (t) ) = 0, i = 1, r̂, (3) ( f(t), ψ̆i(t) ) = 0, i = 1, ř. (4) Ее общее решение имеет вид x (t) = Xα(t)cα + t∫ a Xα(t)Y ∗α (τ)f(τ)dτ − r∑ i=1 Φi(t) si−1∑ j=0 Ijsi dj dtj [Ψ∗i (t)f(t)]− − r̃∑ i=1 Φ̃i(t) s̃i−1∑ j=0 ( ITs̃i )j dj dtj [ Ψ̂∗i (t)f(t) ] − r̂∑ i=1 Φ̂i(t) ŝi−1∑ j=0 Ijŝi dj dtj [ Ψ̃∗i (t)f(t) ] + + r̃∑ i=1 s̃i∑ j=0 [ dj dtj β̃i(t) ] ϕ̃ (s̃i−j+1) i (t) + r̆∑ i=1 β̆i(t)ϕ̆i(t), (5) где Xα(t) = Q(t)X(t), Yα(t) = P (t) [ X−1(t) ]∗ , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 480 М. А. ЕЛИШЕВИЧ X(t) — фундаментальная матрица однородной системы dx0 dt = M(t)x0, M(t) = P ∗(t)L(t)Q(t), Q(t) = [q1(t), . . . , qα(t)] , P (t) = [p1(t), . . . , pα(t)] , Φi(t) = [ ϕ (1) i (t), . . . , ϕ (si) i (t) ] , i = 1, r, Φ̃i(t) = [ ϕ̃ (s̃i) i (t), . . . , ϕ̃ (1) i (t) ] , i = 1, r̃, Φ̂i(t) = [ ϕ̂ (1) i (t), . . . , ϕ̂ (ŝi) i (t) ] , i = 1, r̂, Ψi(t) = [ ψ (si) i (t), . . . , ψ (1) i (t) ] , i = 1, r, Ψ̃i(t) = [ ψ̃ (ŝi) i (t), . . . , ψ̃ (1) i (t) ] , i = 1, r̂, Ψ̂i(t) = [ ψ̂ (1) i (t), . . . , ψ̂ (s̃i) i (t) ] , i = 1, r̃, β̃i(t) ∈ C∞[a; b], i = 1, r̃, β̆i(t) ∈ C∞[a; b], i = 1, r̆, — произвольные скалярные функции. Выберем из столбцов матрицы h[Xα(t)] и векторов h {∑s̃i j=0 [ dj dtj ξ̃k(t) ] ϕ̃ (s̃i−j+1) i (t) } , k = 1, 2, . . . , i = 1, r̃, h [ ξ̆i(t)ϕ̆i(t) ] , k = 1, 2, . . . , i = 1, r̆, где ξ̃k(t) ∈ C∞[a; b], k = 1, 2, . . . , ξ̆k(t) ∈ C∞[a; b], k = 1, 2, . . . , — произвольные скалярные функции, максимальное коли- чество µ, 0 ≤ µ ≤ l, линейно независимых векторов и составим из соответствующих им столбцов матрицы Xα(t) и векторов ∑s̃i j=0 [ dj dtj ξ̃k(t) ] ϕ̃ (s̃i−j+1) i (t), ξ̆k(t)ϕ̆i(t) матрицу D(t) размерности n×µ, при этом dim ker D(t) = dim ker h[D(t)] = 0, а если µ = 0, то положим D(t) тождественно равной нулевому вектору размерности n. В силу произвольности выбора вектора cα и функций β̃i(t) ∈ C∞[a; b], i = 1, r̃, β̆i(t) ∈ ∈ C∞[a; b], i = 1, r̆, выражение (5) можно заменить выражением x(t) = D(t)cµ +Xα(t)cα + t∫ a Xα(t)Y ∗α (τ)f(τ)dτ − r∑ i=1 Φi(t) si−1∑ j=0 Ijsi dj dtj [Ψ∗i (t)f(t)]− − r̃∑ i=1 Φ̃i(t) s̃i−1∑ j=0 ( ITs̃i )j dj dtj [ Ψ̂∗i (t)f(t) ] − r̂∑ i=1 Φ̂i(t) ŝi−1∑ j=0 Ijŝi dj dtj [ Ψ̃∗i (t)f(t) ] + + r̃∑ i=1 s̃i∑ j=0 [ dj dtj β̃i(t) ] ϕ̃ (s̃i−j+1) i (t) + r̆∑ i=1 β̆i(t)ϕ̆i(t). (6) ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 481 Пусть dim ker {h[D(t)]}∗ = ν, 0 ≤ ν ≤ l. Составим из элементов базиса ker {h[D(t)]}∗ матрицу H размерности l × ν, а если ν = 0, то положим H равной нулевому вектору размерности l. Если µ = 0, то ν = l, H = El. Теорема 1. Пусть A(t), B(t) и f(t) принадлежат C∞[a; b], при всех t ∈ [a; b] существу- ют жордановы цепочки векторов: матрицы B(t) относительно оператора L(t) : r, r ≥ 0, конечных длин si, si > 0, i = 1, r; r̃, r̃ ≥ 0, циклических длин s̃i + 1, s̃i > 0, i = 1, r̃; r̆, r̆ ≥ 0 циклических длины 1; матрицы B∗(t) относительно оператора L∗(t) : r̂, r̂ ≥ 0, циклических длин ŝi + 1, ŝi > 0, i = 1, r̂; ř, ř ≥ 0, циклических длины 1. Тогда краевая задача (1), (2) разрешима в том и только в том случае, когда выпол- няются условия (3), (4), H∗ γ − h  t∫ a Xα(t)Y ∗α (τ)f(τ)dτ − r∑ i=1 Φi(t) si−1∑ j=0 Ijsi dj dtj [Ψ∗i (t)f(t)]− − r̃∑ i=1 Φ̃i(t) s̃i−1∑ j=0 ( ITs̃i )j dj dtj [ Ψ̂∗i (t)f(t) ] − r̂∑ i=1 Φ̂i(t) ŝi−1∑ j=0 Ijŝi dj dtj [ Ψ̃∗i (t)f(t) ]  = 0. (7) Ее общее решение имеет вид x(t) = D(t){h[D(t)]}− ( γ − h { Xα(t)cα + t∫ a Xα(t)Y ∗α (τ)f(τ)dτ − − r∑ i=1 Φi(t) si−1∑ j=0 Ijsi dj dtj [Ψ∗i (t)f(t)]− r̃∑ i=1 Φ̃i(t) s̃i−1∑ j=0 ( ITs̃i )j dj dtj [ Ψ̂∗i (t)f(t) ] − − r̂∑ i=1 Φ̂i(t) ŝi−1∑ j=0 Ijŝi dj dtj [ Ψ̃∗i (t)f(t) ] + r̃∑ i=1 s̃i∑ j=0 [ dj dtj β̃i(t) ] ϕ̃ (s̃i−j+1) i (t)+ + r̆∑ i=1 β̆i(t)ϕ̆i(t) }) +Xα(t)cα + t∫ a Xα(t)Y ∗α (τ)f(τ)dτ− − r∑ i=1 Φi(t) si−1∑ j=0 Ijsi dj dtj [Ψ∗i (t)f(t)]− r̃∑ i=1 Φ̃i(t) s̃i−1∑ j=0 ( ITs̃i )j dj dtj [ Ψ̂∗i (t)f(t) ] − ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 482 М. А. ЕЛИШЕВИЧ − r̂∑ i=1 Φ̂i(t) ŝi−1∑ j=0 Ijŝi dj dtj [ Ψ̃∗i (t)f(t) ] + r̃∑ i=1 s̃i∑ j=0 [ dj dtj β̃i(t) ] ϕ̃ (s̃i−j+1) i (t)+ + r̆∑ i=1 β̆i(t)ϕ̆i(t). (8) Доказательство. Подставив (6) в (2), получим систему h[D(t)]cµ = γ − h Xα(t)cα + t∫ a Xα(t)Y ∗α (τ)f(τ)dτ − r∑ i=1 Φi(t) si−1∑ j=0 Ijsi dj dtj [Ψ∗i (t)f(t)]− − r̃∑ i=1 Φ̃i(t) s̃i−1∑ j=0 ( ITs̃i )j dj dtj [ Ψ̂∗i (t)f(t) ] − r̂∑ i=1 Φ̂i(t) ŝi−1∑ j=0 Ijŝi dj dtj [ Ψ̃∗i (t)f(t) ] + + r̃∑ i=1 s̃i∑ j=0 [ dj dtj β̃i(t) ] ϕ̃ (s̃i−j+1) i (t) + r̆∑ i=1 β̆i(t)ϕ̆i(t)  . Для ее разрешимости необходимо и достаточно выполнения условия (7), поскольку столб- цы матрицы h [Xα (t)] и векторы h  s̃i∑ j=0 [ dj dtj β̃i(t) ] ϕ̃ (s̃i−j+1) i (t)  , i = 1, r̃, h [ β̆i(t)ϕ̆i(t) ] , i = 1, r̆, являются линейными комбинациями столбцов матрицы h[D(t)]. При его выполнении cµ = {h[D(t)]}− γ − h Xα(t)cα + t∫ a Xα(t)Y ∗α (τ)f(τ)dτ − r∑ i=1 Φi(t) si−1∑ j=0 Ijsi dj dtj [Ψ∗i (t)f(t)]− − r̃∑ i=1 Φ̃i(t) s̃i−1∑ j=0 ( ITs̃i )j dj dtj [ Ψ̂∗i (t)f(t) ] − r̂∑ i=1 Φ̂i(t) ŝi−1∑ j=0 Ijŝi dj dtj [ Ψ̃∗i (t)f(t) ] + + r̃∑ i=1 s̃i∑ j=0 [ dj dtj β̃i(t) ] ϕ̃ (s̃i−j+1) i (t) + r̆∑ i=1 β̆i(t)ϕ̆i(t)   . (9) Подставив (9) в (6), получим (8). Теорема 1 доказана. Пример. Пусть в (1), (2) m = n = l = 2, h[x(t)] = x(b)− x(a), B(t) = [ 1 0 0 0 ] , A(t) = [ a11(t) a12(t) a21(t) a22(t) ] , f(t) = [ f1(t) f2(t) ] , γ = [ γ1 γ2 ] , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 483 aij(t) ∈ C∞[a; b], i, j = 1, 2, fi(t) ∈ C∞[a; b], i = 1, 2, — действительные скалярные функ- ции, γi, i = 1, 2, — действительные числа. Рассмотрим следующие случаи [2, 3]. Случай 1 : a22(t) 6= 0 ∀t ∈ [a; b]. Имеем r = 1, s1 = 1, r̆ = ř = r̃ = r̂ = 0, α = 1, Φ1(t) = ϕ (1) 1 (t) = [ 0 1 ] , Ψ1(t) = ψ (1) 1 (t) = [ 0 a−1 22 (t) ] , Q(t) = q1(t) = [ 1 −a21(t) a−1 22 (t) ] , P (t) = p1(t) = [ 1 −a12(t) a−1 22 (t) ] , M(t) = m11(t) = a11(t)− a12(t)a21(t)a−1 22 (t). Общее решение (5) системы (1) имеет вид x(t) = [ 1 −a21(t)a−1 22 (t) ] exp  t∫ a m11(z)dz  c1 + t∫ a [ 1 −a21(t)a−1 22 (t) ] exp  t∫ a m11(z)dz × × exp − τ∫ a m11(z)dz  [f1(τ)− a12(τ)a−1 22 (τ)f2(τ) ] dτ − [ 0 a−1 22 (t)f2(t) ] , h[X1(t)] = [ 1 −a21(b)a−1 22 (b) ] exp  b∫ a m11(z)dz − [ 1 −a21(a)a−1 22 (a) ] . Если ∫ b a m11(z)dz = 0 и a21(a)a−1 22 (a) = a21(b)a−1 22 (b), то µ = 0, D(t) ≡ [ 0 0 ] , h[D(t)] = [ 0 0 ] , ν = 2, H = [ 1 0 0 1 ] , {h[D(t)]}− = [ 0 0 ] , условие (7) разрешимости краевой задачи (1), (2) принимает вид [ γ1 γ2 ] − b∫ a [ 1 −a21(b) a−1 22 (b) ] exp − τ∫ a m11(z)dz × × [ f1(τ)− a12(τ)a−1 22 (τ)f2(τ) ] dτ + [ 0 a−1 22 (b) f2(b) ] − [ 0 a−1 22 (a) f2(a) ] = 0. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 484 М. А. ЕЛИШЕВИЧ Отсюда [ γ1 γ2 ] = b∫ a [ 1 −a21(b) a−1 22 (b) ] exp − τ∫ a m11(z)dz × × [ f1(τ)− a12(τ)a−1 22 (τ)f2(τ) ] dτ − [ 0 a−1 22 (b) f2(b) ] + [ 0 a−1 22 (a) f2(a) ] . Тогда общее решение (8) задачи (1), (2) имеет вид x(t) = [ 1 −a21(t) a−1 22 (t) ] exp  t∫ a m11(z)dz  c1 + t∫ a [ 1 −a21(t) a−1 22 (t) ] exp  t∫ a m11(z)dz × × exp − τ∫ a m11(z)dz  [f1(τ)− a12(τ)a−1 22 (τ)f2(τ) ] dτ − [ 0 a−1 22 (t) f2(t) ] . Если ∫ b a m11(z)dz = 0 и a21(a)a−1 22 (a) 6= a21(b)a−1 22 (b), то µ = 1, D(t) = [ 1 −a21(t)a−1 22 (t) ] exp  t∫ a m11(z)dz  , h[D(t)] = [ 0 −a21(b)a−1 22 (b) + a21(a)a−1 22 (a) ] , ν = 1, H = [ 1 0 ] , {h[D(t)]}− = [ 0 [ −a21(b)a−1 22 (b) + a21(a)a−1 22 (a) ]−1 ] , условие (7) разрешимости краевой задачи (1), (2) принимает вид γ1 − b∫ a exp − τ∫ a m11(z)dz  [f1(τ)− a12(τ)a−1 22 (τ)f2(τ) ] dτ = 0. Отсюда γ1 = b∫ a exp − τ∫ a m11(z)dz  [f1(τ)− a12(τ)a−1 22 (τ)f2(τ) ] dτ. ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 485 Тогда единственное решение (8) задачи (1), (2) имеет вид x(t) = [ 1 −a21(t)a−1 22 (t) ] exp [ t∫ a m11(z)dz ] [ −a21(b)a−1 22 (b) + a21(a)a−1 22 (a) ]−1× × { γ2 + a21(b)a−1 22 (b) b∫ a exp [ − τ∫ a m11(z)dz ] [ f1(τ)− a12(τ)a−1 22 (τ)f2(τ) ] dτ + + a−1 22 (b)f2(b)− a−1 22 (a)f2(a) } + t∫ a [ 1 −a21(t)a−1 22 (t) ] exp [ t∫ a m11(z)dz ] × × exp [ − τ∫ a m11(z)dz ] [ f1(τ)− a12(τ)a−1 22 (τ)f2(τ) ] dτ − [ 0 a−1 22 (t)f2(t) ] . Если ∫ b a m11(z)dz 6= 0, то µ = 1, D(t) = [ 1 −a21(t) a−1 22 (t) ] exp  t∫ a m11(z)dz  , h[D(t)] = [ 1 −a21(b) a−1 22 (b) ] exp  b∫ a m11(z)dz − [ 1 −a21(a) a−1 22 (a) ] , ν = 1, H = [ a21(b) a−1 22 (b) 1 ] exp  b∫ a m11(z)dz − [ a21(a) a−1 22 (a) 1 ] , {h[D(t)]}− =  exp  b∫ a m11(z)dz − 1  −1 0  , условие (7) разрешимости краевой задачи (1), (2) принимает вид γ1 a21(b)a−1 22 (b) exp  b∫ a m11(z)dz − a21(a)a−1 22 (a) + + γ2 exp  b∫ a m11(z)dz − 1 − [a21(b)a−1 22 (b)− a21(a)a−1 22 (a) ] × ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 486 М. А. ЕЛИШЕВИЧ × exp  b∫ a m11(z)dz  b∫ a exp − τ∫ a m11(z)dz  [f1(τ)− a12(τ)a−1 22 (τ)f2(τ) ] dτ+ + [ a−1 22 (b)f2(b)− a−1 22 (a)f2(a) ]exp  b∫ a m11(z)dz − 1  = 0. Отсюда γ2 = −γ1 a21(b)a−1 22 (b) exp  b∫ a m11(z)dz − a21(a)a−1 22 (a) × × exp  b∫ a m11(z)dz − 1  −1 + [ a21(b)a−1 22 (b)− a21(a)a−1 22 (a) ] exp  b∫ a m11(z)dz × × b∫ a exp − τ∫ a m11(z)dz  [f1(τ)− a12(τ)a−1 22 (τ)f2(τ) ] dτ× × exp  b∫ a m11(z)dz − 1  −1 −a−1 22 (b)f2(b) + a−1 22 (a)f2(a). Тогда единственное решение (8) задачи (1), (2) имеет вид x(t) = [ 1 −a21(t)a−1 22 (t) ] exp  t∫ a m11(z)dz exp  b∫ a m11(z)dz − 1  −1 × × γ1 − exp  t∫ a m11(z)dz  b∫ a exp − τ∫ a m11(z)dz [f1(τ)− a12(τ)a−1 22 (τ)f2(τ) ] dτ + + t∫ a [ 1 −a21(t)a−1 22 (t) ] exp  t∫ a m11(z)dz  exp − τ∫ a m11(z)dz × × [ f1(τ)− a12(τ)a−1 22 (τ)f2(τ) ] dτ − [ 0 a−1 22 (t)f2(t) ] . Случай 2 : a22(t) ≡ 0, a12(t) 6= 0, a21(t) 6= 0 ∀t ∈ [a; b]. Имеем r = 1, s1 = 2, r̆ = ř = = r̃ = r̂ = 0, α = 0, ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 487 ϕ (1) 1 (t) = [ 0 1 ] , ϕ (2) 1 (t) =  a12(t) a−1 12 (t) d dt a12(t)− a11(t)  , ψ (1) 1 (t) = [ 0 a−1 12 (t) a−1 21 (t) ] , ψ (2) 1 (t) = [ a−1 12 (t) 0 ] , Φ1(t) =  0 a12(t) 1 a−1 12 (t) d dt a12(t)− a11(t)  , Ψ1(t) = [ a−1 12 (t) 0 0 a−1 12 (t) a−1 21 (t) ] . Общее решение (5) системы (1) таково: x(t) =  −a−1 21 (t)f2(t) a−1 12 (t) { a11(t)a−1 21 (t)f2(t)− f1(t)− d dt [ a−1 21 (t)f2(t) ]}  , µ = 0, D(t) ≡ [ 0 0 ] , h[D(t)] = [ 0 0 ] , ν = 2, H = [ 1 0 0 1 ] , {h[D(t)]}− = [ 0 0 ] , условие (7) разрешимости краевой задачи (1), (2) принимает вид [ γ1 γ2 ] −  −a−1 21 (b)f2(b) a−1 12 (b) { a11(b) a−1 21 (b)f2(b)− f1(b)− d dt [ a−1 21 (t)f2(t) ] t=b } + +  −a−1 21 (a)f2(a) a−1 12 (a) { a11(a) a−1 21 (a)f2(a)− f1(a)− d dt [ a−1 21 (t)f2(t) ] t=a }  = 0. Отсюда [ γ1 γ2 ] =  −a−1 21 (b)f2(b) a−1 12 (b) { a11(b) a−1 21 (b) f2(b)− f1(b)− d dt [ a−1 21 (t)f2(t) ] t=b } − −  −a−1 21 (a)f2(a) a−1 12 (a) { a11(a) a−1 21 (a) f2(a)− f1(a)− d dt [ a−1 21 (t)f2(t) ] t=a }  . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 488 М. А. ЕЛИШЕВИЧ Тогда единственное решение (8) задачи (1), (2) имеет вид x(t) =  −a−1 21 (t)f2(t) a−1 12 (t) { a11(t) a−1 21 (t) f2(t)− f1(t)− d dt [ a−1 21 (t)f2(t) ]}  . Случай 3 : a22(t) ≡ 0, a12(t) 6= 0, a21(t) ≡ 0 ∀t ∈ [a; b]. Имеем r̃ = 1, s̃1 = 1, ř = 1, r̆ = r = r̂ = 0, α = 0, Φ̃1(t) = ϕ̃ (1) 1 (t) = [ 0 1 ] , ϕ̃ (2) 1 (t) = [ a12(t) a−1 12 (t) d dt a12(t)− a11(t) ] , ψ̆1(t) = [ 0 1 ] , Ψ̂1(t) = ψ̂ (1) 1 (t) = [ a−1 12 (t) 0 ] , ϕ̌1(t) = [ 0 1 ] . Условие (4) разрешимости системы (1) принимает вид f2(t) ≡ 0. При его выполнении ее общее решение (5) имеет вид x(t) =  a12(t)β̃1(t) a−1 12 (t)β̃1(t) d dt a12(t)− a11(t)β̃1(t)− a−1 12 (t)f1(t) + d dt β̃1(t)  . Функции ξ̃k(t), k = 1, 2, выберем таким образом, чтобы векторы a12(t)ξ̃k(t) a−1 12 (t)ξ̃k(t) d dt a12(t)− a11(t)ξ̃k(t) + d dt ξ̃k(t)  , k = 1, 2, были линейно независимы и выполнялись равенства ξ̃1(b) = a−1 12 (b) [ a12(a)ξ̃1(a) + 1 ] , d dt ξ̃1(t)t=b = −a−1 12 (b)ξ̃1(b) d dt a12(t)t=b + a11(b)ξ̃1(b) + a−1 12 (a)ξ̃1(a) d dt a12(t)t=a− − a11(a)ξ̃1(a) + d dt ξ̃1(t)t=a, ξ̃2(b) = a−1 12 (b)a12(a)ξ̃2(a), ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 489 d dt ξ̃2(t)t=b = −a−1 12 (b)ξ̃2(b) d dt a12(t)t=b + a11(b)ξ̃2(b) + a−1 12 (a)ξ̃2(a) d dt a12(t)t=a− − a11(a)ξ̃2(a) + d dt ξ̃2(t)t=a + 1. Составим из этих векторов матрицу D(t). Тогда µ = 2, h[D(t)] = [ 1 0 0 1 ] , ν = 0, H = [ 0 0 ] , {h[D(t)]}− = [ 1 0 0 1 ] , условие (7) разрешимости краевой задачи (1), (2) выполняется. Ее общее решение (8) имеет вид x(t) = [ a12(t)ξ(t) a−1 12 (t)ξ(t) d dt a12(t)− a11(t)ξ(t)− a−1 12 (t)f1(t) + d dt ξ(t) ] , где ξ(t) = [ γ1 − a12(b)β̃1(b) + a12(a)β̃1(a) ] ξ̃1(t)+ + [ γ2 − a−1 12 (b)β̃1(b) d dt a12(t)t=b + a11(b)β̃1(b) + a−1 12 (b)f1(b)− − d dt β̃1(t)t=b + a−1 12 (a)β̃1(a) d dt a12(t)t=a− −a11(a)β̃1(a)− a−1 12 (a)f1(a) + d dt β̃1(t)t=a ] ξ̃2(t) + β̃1(t). Случай 4 : a22(t) ≡ 0, a12(t) ≡ 0, a21(t) 6= 0 ∀t ∈ [a; b]. Имеем r̆ = 1, r̂ = 1, ŝ1 = 1, r̃ = r = ř = 0, α = 0, ϕ̆1(t) = [ 0 1 ] , Ψ̃1(t) = ψ̃ (1) 1 (t) = [ 0 1 ] , ψ̃ (2) 1 (t) = [ a21(t) −a11(t)− a−1 21 (t) d dt a21(t) ] , Φ̂1(t) = ϕ̂ (1) 1 (t) = [ a−1 21 (t) 0 ] , ψ̌1(t) = [ 0 1 ] . Условие (4) разрешимости системы (1) принимает вид a21(t)f1(t)− a11(t)f2(t)− a−1 21 (t)f2(t) d dt a21(t) + d dt f2(t) ≡ 0. Тогда ее общее решение (5) имеет вид x(t) = [ −a−1 21 (t)f2(t) β̆1(t) ] . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 490 М. А. ЕЛИШЕВИЧ Функцию ξ̆1(t) выберем таким образом, чтобы ξ̆1(t) 6= 0 ∀t ∈ [a; b] и выполнялось равен- ство ξ̆1(b) = ξ̆1(a) + 1. Тогда µ = 1, D(t) = [ 0 ξ̆1(t) ] , h[D(t)] = [ 0 1 ] , ν = 1, H = [ 1 0 ] , {h[D(t)]}− = [ 0 1 ] , условие (7) разрешимости краевой задачи (1), (2) принимает вид γ1 + a−1 21 (b)f2(b)− a−1 21 (a)f2(a) = 0. Отсюда γ1 = −a−1 21 (b)f2(b) + a−1 21 (a)f2(a). Тогда общее решение (8) краевой задачи (1), (2) имеет вид x(t) = [ −a−1 21 (t)f2(t) ξ̆1(t) [ γ2 − β̆1(b) + β̆1(a) ] + β̆1(t) ] . Случай 5 : a22(t) ≡ 0, a12(t) ≡ 0, a21(t) ≡ 0 ∀t ∈ [a; b].Имеем r̆ = 1, ř = 1, r̃ = r = r̂ = = 0, α = 1, ϕ̆1(t) = [ 0 1 ] , ψ̆1(t) = [ 0 1 ] , ϕ̌1(t) = [ 0 1 ] , ψ̌1(t) = [ 0 1 ] , Q(t) = q1(t) = [ 1 0 ] , P (t) = p1(t) = [ 1 0 ] , M(t) = a11(t). Условие (4) разрешимости системы (1) принимает вид f2(t) ≡ 0. Тогда общее решение (6) системы (1) имеет вид x(t) = [ 1 0 ] exp  t∫ a a11(z)dz  c1 + t∫ a [ 1 0 ] exp  t∫ a a11(z)dz × × exp − τ∫ a a11(z)dz  f1(τ)dτ + [ 0 β̆1(t) ] , h[X1(t)] = [ 1 0 ] exp  b∫ a a11(z)dz − [ 1 0 ] . ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 491 Функцию ξ̆1(t) выберем таким образом, чтобы ξ̆1(t) 6= 0 ∀t ∈ [a; b] и выполнялось равен- ство ξ̆1(b) = ξ̆1(a) + 1. Если ∫ b a a11(z)dz = 0, то µ = 1, D(t) = [ 0 ξ̆1(t) ] , h[D(t)] = [ 0 1 ] , ν = 1, H = [ 1 0 ] , {h[D(t)]}− = [ 0 1 ] , условие (7) разрешимости краевой задачи (1), (2) принимает вид γ1 − b∫ a exp − τ∫ a a11(z)dz  f1(τ)dτ = 0. Отсюда γ1 = b∫ a exp − τ∫ a a11(z)dz  f1(τ)dτ. Тогда общее решение (8) задачи (1), (2) имеет вид x(t) = [ 1 0 ] exp  t∫ a a11(z)dz  c1 + t∫ a [ 1 0 ] exp  t∫ a a11(z)dz × × exp − τ∫ a a11(z)dz  f1(τ)dτ + [ 0 ξ̆1(t) [ γ2 − β̆1(b) + β̆1(a) ] + β̆1(t) ] . Если ∫ b a 11(z)dz 6= 0, то µ = 1, D(t) =  exp  t∫ a a11(z)dz  0 0 ξ̆1(t)  , h[D(t)] =  exp  b∫ a a11(z)dz − 1 0 0 1  , ν = 0, H = [ 0 0 ] , {h[D(t)]}− =  exp  b∫ a a11(z)dz − 1  −1 0 0 1  , ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 492 М. А. ЕЛИШЕВИЧ условие (7) разрешимости краевой задачи (1), (2) выполняется. Ее общее решение (8) имеет вид x(t) = [ 1 0 ] exp  t∫ a a11(z)dz exp  b∫ a a11(z)dz − 1  −1 × × γ1 − exp  b∫ a a11(z)dz  b∫ a exp − τ∫ a a11(z)dz  f1(τ)dτ + + t∫ a [ 1 0 ] exp  t∫ a a11(z)dz  exp − τ∫ a a11(z)dz  f1 (τ) dτ+ + [ 0 ξ̆1(t) [ γ2 − β̆1(b) + β̆1(a) ] + β̆1(t) ] . Литература 1. Бойчук О. А., Шегда Л. М. Виродженi нетеровi крайовi задачi // Нелiнiйнi коливання. — 2007. — 10, № 3. — С. 303 – 312. 2. Елишевич М. А. Некоторые свойства жордановых наборов векторов матрицы относительно опера- тора, содержащего дифференцирование // Журн. обчислюв. та прикл. математики. — 2012. — № 2 (108). — С. 119 – 134. 3. Елишевич М. А. Задача Коши для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — 16, № 2. — С. 173 – 190. Получено 31.10.14 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4