Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами
Побудовано розв’язок крайової задачi для системи лiнiйних неоднорiдних диференцiальних рiвнянь першого порядку з прямокутними матрицями.
Gespeichert in:
Datum: | 2016 |
---|---|
1. Verfasser: | |
Format: | Artikel |
Sprache: | Russian |
Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177284 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами / М.А. Елишевич // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 476-492 — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-177284 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1772842021-02-15T01:26:07Z Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами Елишевич, М.А. Побудовано розв’язок крайової задачi для системи лiнiйних неоднорiдних диференцiальних рiвнянь першого порядку з прямокутними матрицями. We construct a solution to a boundary-value problem for a system of linear nonhomogeneous first order differential equations with rectangular matrices. 2016 Article Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами / М.А. Елишевич // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 476-492 — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177284 517.926.7 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
description |
Побудовано розв’язок крайової задачi для системи лiнiйних неоднорiдних диференцiальних рiвнянь першого порядку з прямокутними матрицями. |
format |
Article |
author |
Елишевич, М.А. |
spellingShingle |
Елишевич, М.А. Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами Нелінійні коливання |
author_facet |
Елишевич, М.А. |
author_sort |
Елишевич, М.А. |
title |
Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами |
title_short |
Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами |
title_full |
Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами |
title_fullStr |
Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами |
title_full_unstemmed |
Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами |
title_sort |
краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами |
publisher |
Інститут математики НАН України |
publishDate |
2016 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177284 |
citation_txt |
Краевая задача для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка с прямоугольными матрицами / М.А. Елишевич // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 476-492 — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
series |
Нелінійні коливання |
work_keys_str_mv |
AT eliševičma kraevaâzadačadlâsistemylinejnyhneodnorodnyhdifferencialʹnyhuravnenijpervogoporâdkasprâmougolʹnymimatricami |
first_indexed |
2025-07-15T15:19:35Z |
last_indexed |
2025-07-15T15:19:35Z |
_version_ |
1837726722508718080 |
fulltext |
УДК 517.926.7
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
С ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ МАТРИЦАМИ
М. А. Елишевич
Киев. нац. ун-т стр-ва и архитектуры
Воздухофлотский просп., 31, Киев, 03037, Украина
We construct a solution to a boundary-value problem for a system of linear nonhomogeneous first order
differential equations with rectangular matrices.
Побудовано розв’язок крайової задачi для системи лiнiйних неоднорiдних диференцiальних рiв-
нянь першого порядку з прямокутними матрицями.
Постановка задачи. В данной работе для системы
B(t)
dx
dt
= A(t)x+ f(t), t ∈ [a; b], (1)
где A(t), B(t) — прямоугольные матрицы-функции размерности m × n, f(t) — вектор-
функция размерности m, A(t), B(t), f(t) ∈ C∞[a; b] действительные или комплексные,
рассматривается краевая задача с граничным условием
h[x(t)] = γ. (2)
Здесь h— линейный оператор, отображающий пространство вектор-функций размернос-
ти n, принадлежащих C∞[a; b], в пространство постоянных векторов размерности l, γ —
постоянный вектор размерности l.
Случай, когда A(t) и B(t) — квадратные матрицы, рассматривался в [1], где решение
построено с использованием жордановых наборов векторов матрицы B(t) относительно
оператора
L(t) = A(t)−B(t)
d
dt
и сопряженной матрицы B∗(t) относительно оператора
L∗(t) = A∗(t) +
d
dt
B∗(t),
формально сопряженного с L(t). Они используются и в данной работе.
Основные определения.
Определение 1. Элемент ϕ(1)(t) ∈ kerB(t) имеет в точке t ∈ [a; b] конечную жорда-
нову цепочку векторов матрицы B(t) относительно оператора L(t) длины p, p ≥ 1,
c© М. А. Елишевич, 2016
476 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 477
если существуют векторы ϕ(i)(t), i = 1, p, удовлетворяющие соотношениям
B(t)ϕ(1)(t) = 0,
B(t)ϕ(i)(t) = L(t)ϕ(i−1)(t), i = 2, p,
L(t)ϕ(p)(t) /∈ ImB(t).
Определение 2. Элемент ϕ̃(1)(t) ∈ kerB(t) имеет в точке t ∈ [a; b] циклическую жор-
данову цепочку векторов матрицы B(t) относительно оператора L(t) длины p̃, p̃ ≥ 1,
если существуют векторы ϕ̃(i)(t), i = 1, p̃, удовлетворяющие соотношениям
B(t)ϕ̃(1)(t) = 0,
B(t)ϕ̃(i)(t) = L(t)ϕ̃(i−1)(t), i = 2, p̃,
L(t)ϕ̃(p̃)(t) = 0.
Определение 3. Элемент ϕ̂(1)(t) имеет в точке t ∈ [a; b] вспомогательную цепоч-
ку векторов матрицы B(t) относительно оператора L(t) длины p̂, p̂ ≥ 1, если су-
ществуют векторы ϕ̂(i)(t), i = 1, p̂, удовлетворяющие соотношениям
B(t)ϕ̂(i)(t) = L(t)ϕ̂(i−1)(t), i = 2, p̂,
B(t)ϕ̂(1)(t) /∈ ImL(t),
L(t)ϕ̂(p̂)(t) /∈ ImB(t).
Аналогично определим цепочки векторов на отрезке [a; b]. Их свойства исследованы
в [2]. В дальнейшем будем предполагать, что доказываемые утверждения выполняются
на всем отрезке [a; b], если не оговорено иное.
В [1] рассмотрен случай, когдаA(t) иB(t) — квадратные матрицы и существуют толь-
ко конечные цепочки. В данной работе рассматривается случай, когда A(t) и B(t) — пря-
моугольные матрицы и могут существовать конечные, циклические и вспомогательные
цепочки, но их количество и длины постоянны при всех t ∈ [a; b].
Основной результат. Построим жордановы цепочки векторов матрицы B(t) относи-
тельно оператора L(t) и матрицы B∗(t) относительно оператора L∗(t) при t ∈ [a; b].
Определим циклические цепочки матрицыB(t) относительно оператора L(t) единич-
ной длины. Пусть мы построили r̆, r̆ ≥ 0, линейно независимых векторов ϕ̆i(t), i = 1, r̆.
Аналогично определим циклические цепочки матрицы B∗(t) относительно операто-
ра L∗(t) единичной длины. Пусть мы построили ř, ř ≥ 0, линейно независимых векторов
ψ̆i(t), i = 1, ř.
Определим циклические цепочки матрицы B(t) относительно оператора L(t) длины
больше 1 в порядке возрастания их длин. Выберем вектор ϕ̃
(1)
1 (t) ∈ kerB(t), линейно
независимый с ϕ̆i(t), i = 1, r̆, имеющий цепочку наименьшей из возможных длин s̃1 + 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
478 М. А. ЕЛИШЕВИЧ
Далее выберем вектор ϕ̃
(1)
2 (t) ∈ kerB(t), линейно независимый с ϕ̆i(t), i = 1, r̆, ϕ̃
(1)
1 (t),
имеющий цепочку наименьшей из возможных длин s̃2 + 1, и т. д. Пусть мы построили r̃,
r̃ ≥ 0, цепочек длин s̃i + 1, i = 1, r̃, 0 < s̃1 ≤ . . . ≤ s̃r̃, состоящих из векторов ϕ̃(j)
i (t),
j = 1, s̃i + 1, i = 1, r̃.
Аналогично определим циклические цепочки матрицы B∗(t) относительно операто-
ра L∗(t) длины больше 1 в порядке возрастания их длин. Пусть мы построили r̂, r̂ ≥ 0,
цепочек длин ŝi+1, i = 1, r̂, 0 < ŝ1 ≤ . . . ≤ ŝr̂, состоящих из векторов ψ̃(j)
i (t), j = 1, ŝi + 1,
i = 1, r̂.
Определим конечные цепочки матрицы B(t) относительно оператора L(t) в поряд-
ке убывания их длин. Выберем вектор ϕ
(1)
1 (t) ∈ kerB(t), линейно независимый с ϕ̆i(t),
i = 1, r̆, ϕ̃
(1)
i (t), i = 1, r̃, имеющий цепочку наибольшей из возможных длин s1. Далее
выберем вектор ϕ(1)
2 (t) ∈ kerB(t), линейно независимый с ϕ̆i(t), i = 1, r̆, ϕ̃
(1)
i (t), i = 1, r̃,
ϕ
(1)
1 (t), имеющий цепочку наибольшей из возможных длин s2, и т. д. Пусть мы построили
r, r ≥ 0, цепочек длин si, i = 1, r, s1 ≥ . . . ≥ sr > 0, состоящих из векторов ϕ(j)
i (t),
j = 1, si, i = 1, r.
Обозначим
s =
r∑
i=1
si, s̃ =
r̃∑
i=1
s̃i, ŝ =
r̂∑
i=1
ŝi, α = n− r̆ − r̃ − s̃− s− ŝ = m− ř − r̂ − ŝ− s− s̃.
Согласно [2, 3] существуют также:
r конечных цепочек матрицы B∗(t) относительно оператора L∗(t) длин si, i =
= 1, r, состоящих из векторов ψ(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r;
r̂ вспомогательных цепочек матрицы B(t) относительно оператора L(t) длин ŝi, i =
= 1, r̂, состоящих из векторов ϕ̂(j)
i (t), j = 1, ŝi, i = 1, r̂;
r̃ вспомогательных цепочек матрицы B∗(t) относительно оператора L∗(t) длин s̃i, i =
= 1, r̃, состоящих из векторов ψ̂(j)
i (t), j = 1, s̃i, i = 1, r̃;
ř векторов ϕ̌i(t) /∈ ImB(t)
⋃
ImL(t), i = 1, ř;
r̆ векторов ψ̌i(t) /∈ ImB∗(t)
⋃
ImL∗(t), i = 1, r̆;
α векторов qi(t), i = 1, α;
α векторов pi(t), i = 1, α,
таких, что элементы каждого из следующих множеств принадлежат C∞[a; b] и линейно
независимы:
1) qi(t), i = 1, α, ϕ̆i(t), i = 1, r̆, ϕ̃
(j)
i (t), j = 1, s̃i + 1, i = 1, r̃, ϕ
(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r,
ϕ̂
(j)
i (t), j = 1, ŝi, i = 1, r̂;
2) B(t)qi(t), i = 1, α, ϕ̌i(t), i = 1, ř, L(t)ϕ̃
(j)
i (t), j = 1, s̃i, i = 1, r̃, L(t)ϕ
(j)
i (t), j = 1, si,
i = 1, r, B(t)ϕ̂
(1)
i (t), i = 1, r̂, L(t)ϕ̂
(j)
i (t), j = 1, ŝi, i = 1, r̂;
3) pi(t), i = 1, α, ψ̆i(t), i = 1, ř, ψ̃
(j)
i (t), j = 1, ŝi + 1, i = 1, r̂, ψ
(j)
i (t), j = 1, si, i = 1, r,
ψ̂
(j)
i (t), j = 1, s̃i, i = 1, r̃;
4)B∗(t)pi(t), i = 1, α, ψ̌i(t), i = 1, r̆, L∗(t)ψ̃
(j)
i (t), j = 1, ŝi, i = 1, r̂, L∗(t)ψ
(j)
i (t), j = 1, si,
i = 1, r, B∗(t)ψ̂
(1)
i (t), i = 1, r̃, L∗(t)ψ̂
(j)
i (t), j = 1, s̃i, i = 1, r̃;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 479
пары множеств 1 и 4, 2 и 3 соответственно представляют собой биортогональные сис-
темы
(B(t)qi(t), pk(t)) = (qi(t), B
∗(t)pk(t)) = δik, i, k = 1, α,
(ϕ̆i(t), ψ̌k(t)) = δik, i, k = 1, r̆,(
ϕ̌i(t), ψ̆k(t)
)
= δik, i, k = 1, ř,(
ϕ̃
(j)
i (t), L∗(t)ψ̂
(l)
k (t)
)
=
(
L(t)ϕ̃
(j)
i (t), ψ̂
(l)
k (t)
)
= δikδl+j,s̃i+1, j, l = 1, s̃i, i, k = 1, r̃,(
ϕ̃
(s̃i+1)
i (t), B∗(t)ψ̂
(1)
k (t)
)
= δik, i, k = 1, r̃,(
ϕ̂
(j)
i (t), L∗(t)ψ̃
(l)
k (t)
)
=
(
L(t)ϕ̂
(j)
i (t), ψ̃
(l)
k (t)
)
= δikδl+j,ŝi+1, j, l = 1, ŝi, i, k = 1, r̂,(
B(t)ϕ̂
(1)
i (t), ψ̃
(ŝi+1)
k (t)
)
= δik, i, k = 1, r̂,(
ϕ
(j)
i (t), L∗(t)ψ
(l)
k (t)
)
=
(
L(t)ϕ
(j)
i (t), ψ
(l)
k (t)
)
= δikδl+j,si+1, j, l = 1, si, i, k = 1, r,
все остальные скалярные произведения векторов из соответствующих пар множеств рав-
ны 0.
Обозначим через ci произвольный постоянный вектор размерности i, c0 = 0, Ii —
нильпотентный блок Жордана размерности i.
Перейдем непосредственно к краевой задаче (1), (2). Согласно [3] система (1) разре-
шима при выполнении условий
ŝi∑
j=0
dj
dtj
(
f(t), ψ̃
(ŝi−j+1)
i (t)
)
= 0, i = 1, r̂, (3)
(
f(t), ψ̆i(t)
)
= 0, i = 1, ř. (4)
Ее общее решение имеет вид
x (t) = Xα(t)cα +
t∫
a
Xα(t)Y ∗α (τ)f(τ)dτ −
r∑
i=1
Φi(t)
si−1∑
j=0
Ijsi
dj
dtj
[Ψ∗i (t)f(t)]−
−
r̃∑
i=1
Φ̃i(t)
s̃i−1∑
j=0
(
ITs̃i
)j dj
dtj
[
Ψ̂∗i (t)f(t)
]
−
r̂∑
i=1
Φ̂i(t)
ŝi−1∑
j=0
Ijŝi
dj
dtj
[
Ψ̃∗i (t)f(t)
]
+
+
r̃∑
i=1
s̃i∑
j=0
[
dj
dtj
β̃i(t)
]
ϕ̃
(s̃i−j+1)
i (t) +
r̆∑
i=1
β̆i(t)ϕ̆i(t), (5)
где
Xα(t) = Q(t)X(t), Yα(t) = P (t)
[
X−1(t)
]∗
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
480 М. А. ЕЛИШЕВИЧ
X(t) — фундаментальная матрица однородной системы
dx0
dt
= M(t)x0,
M(t) = P ∗(t)L(t)Q(t),
Q(t) = [q1(t), . . . , qα(t)] , P (t) = [p1(t), . . . , pα(t)] ,
Φi(t) =
[
ϕ
(1)
i (t), . . . , ϕ
(si)
i (t)
]
, i = 1, r,
Φ̃i(t) =
[
ϕ̃
(s̃i)
i (t), . . . , ϕ̃
(1)
i (t)
]
, i = 1, r̃,
Φ̂i(t) =
[
ϕ̂
(1)
i (t), . . . , ϕ̂
(ŝi)
i (t)
]
, i = 1, r̂,
Ψi(t) =
[
ψ
(si)
i (t), . . . , ψ
(1)
i (t)
]
, i = 1, r,
Ψ̃i(t) =
[
ψ̃
(ŝi)
i (t), . . . , ψ̃
(1)
i (t)
]
, i = 1, r̂,
Ψ̂i(t) =
[
ψ̂
(1)
i (t), . . . , ψ̂
(s̃i)
i (t)
]
, i = 1, r̃,
β̃i(t) ∈ C∞[a; b], i = 1, r̃, β̆i(t) ∈ C∞[a; b], i = 1, r̆, — произвольные скалярные функции.
Выберем из столбцов матрицы h[Xα(t)] и векторов h
{∑s̃i
j=0
[
dj
dtj
ξ̃k(t)
]
ϕ̃
(s̃i−j+1)
i (t)
}
,
k = 1, 2, . . . , i = 1, r̃, h
[
ξ̆i(t)ϕ̆i(t)
]
, k = 1, 2, . . . , i = 1, r̆, где ξ̃k(t) ∈ C∞[a; b], k = 1, 2, . . . ,
ξ̆k(t) ∈ C∞[a; b], k = 1, 2, . . . , — произвольные скалярные функции, максимальное коли-
чество µ, 0 ≤ µ ≤ l, линейно независимых векторов и составим из соответствующих им
столбцов матрицы Xα(t) и векторов
∑s̃i
j=0
[
dj
dtj
ξ̃k(t)
]
ϕ̃
(s̃i−j+1)
i (t), ξ̆k(t)ϕ̆i(t) матрицу D(t)
размерности n×µ, при этом dim ker D(t) = dim ker h[D(t)] = 0, а если µ = 0, то положим
D(t) тождественно равной нулевому вектору размерности n.
В силу произвольности выбора вектора cα и функций β̃i(t) ∈ C∞[a; b], i = 1, r̃, β̆i(t) ∈
∈ C∞[a; b], i = 1, r̆, выражение (5) можно заменить выражением
x(t) = D(t)cµ +Xα(t)cα +
t∫
a
Xα(t)Y ∗α (τ)f(τ)dτ −
r∑
i=1
Φi(t)
si−1∑
j=0
Ijsi
dj
dtj
[Ψ∗i (t)f(t)]−
−
r̃∑
i=1
Φ̃i(t)
s̃i−1∑
j=0
(
ITs̃i
)j dj
dtj
[
Ψ̂∗i (t)f(t)
]
−
r̂∑
i=1
Φ̂i(t)
ŝi−1∑
j=0
Ijŝi
dj
dtj
[
Ψ̃∗i (t)f(t)
]
+
+
r̃∑
i=1
s̃i∑
j=0
[
dj
dtj
β̃i(t)
]
ϕ̃
(s̃i−j+1)
i (t) +
r̆∑
i=1
β̆i(t)ϕ̆i(t). (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 481
Пусть dim ker {h[D(t)]}∗ = ν, 0 ≤ ν ≤ l. Составим из элементов базиса ker {h[D(t)]}∗
матрицу H размерности l × ν, а если ν = 0, то положим H равной нулевому вектору
размерности l. Если µ = 0, то ν = l, H = El.
Теорема 1. Пусть A(t), B(t) и f(t) принадлежат C∞[a; b], при всех t ∈ [a; b] существу-
ют жордановы цепочки векторов:
матрицы B(t) относительно оператора L(t) :
r, r ≥ 0, конечных длин si, si > 0, i = 1, r;
r̃, r̃ ≥ 0, циклических длин s̃i + 1, s̃i > 0, i = 1, r̃;
r̆, r̆ ≥ 0 циклических длины 1;
матрицы B∗(t) относительно оператора L∗(t) :
r̂, r̂ ≥ 0, циклических длин ŝi + 1, ŝi > 0, i = 1, r̂;
ř, ř ≥ 0, циклических длины 1.
Тогда краевая задача (1), (2) разрешима в том и только в том случае, когда выпол-
няются условия (3), (4),
H∗
γ − h
t∫
a
Xα(t)Y ∗α (τ)f(τ)dτ −
r∑
i=1
Φi(t)
si−1∑
j=0
Ijsi
dj
dtj
[Ψ∗i (t)f(t)]−
−
r̃∑
i=1
Φ̃i(t)
s̃i−1∑
j=0
(
ITs̃i
)j dj
dtj
[
Ψ̂∗i (t)f(t)
]
−
r̂∑
i=1
Φ̂i(t)
ŝi−1∑
j=0
Ijŝi
dj
dtj
[
Ψ̃∗i (t)f(t)
]
= 0. (7)
Ее общее решение имеет вид
x(t) = D(t){h[D(t)]}−
(
γ − h
{
Xα(t)cα +
t∫
a
Xα(t)Y ∗α (τ)f(τ)dτ −
−
r∑
i=1
Φi(t)
si−1∑
j=0
Ijsi
dj
dtj
[Ψ∗i (t)f(t)]−
r̃∑
i=1
Φ̃i(t)
s̃i−1∑
j=0
(
ITs̃i
)j dj
dtj
[
Ψ̂∗i (t)f(t)
]
−
−
r̂∑
i=1
Φ̂i(t)
ŝi−1∑
j=0
Ijŝi
dj
dtj
[
Ψ̃∗i (t)f(t)
]
+
r̃∑
i=1
s̃i∑
j=0
[
dj
dtj
β̃i(t)
]
ϕ̃
(s̃i−j+1)
i (t)+
+
r̆∑
i=1
β̆i(t)ϕ̆i(t)
})
+Xα(t)cα +
t∫
a
Xα(t)Y ∗α (τ)f(τ)dτ−
−
r∑
i=1
Φi(t)
si−1∑
j=0
Ijsi
dj
dtj
[Ψ∗i (t)f(t)]−
r̃∑
i=1
Φ̃i(t)
s̃i−1∑
j=0
(
ITs̃i
)j dj
dtj
[
Ψ̂∗i (t)f(t)
]
−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
482 М. А. ЕЛИШЕВИЧ
−
r̂∑
i=1
Φ̂i(t)
ŝi−1∑
j=0
Ijŝi
dj
dtj
[
Ψ̃∗i (t)f(t)
]
+
r̃∑
i=1
s̃i∑
j=0
[
dj
dtj
β̃i(t)
]
ϕ̃
(s̃i−j+1)
i (t)+
+
r̆∑
i=1
β̆i(t)ϕ̆i(t). (8)
Доказательство. Подставив (6) в (2), получим систему
h[D(t)]cµ = γ − h
Xα(t)cα +
t∫
a
Xα(t)Y ∗α (τ)f(τ)dτ −
r∑
i=1
Φi(t)
si−1∑
j=0
Ijsi
dj
dtj
[Ψ∗i (t)f(t)]−
−
r̃∑
i=1
Φ̃i(t)
s̃i−1∑
j=0
(
ITs̃i
)j dj
dtj
[
Ψ̂∗i (t)f(t)
]
−
r̂∑
i=1
Φ̂i(t)
ŝi−1∑
j=0
Ijŝi
dj
dtj
[
Ψ̃∗i (t)f(t)
]
+
+
r̃∑
i=1
s̃i∑
j=0
[
dj
dtj
β̃i(t)
]
ϕ̃
(s̃i−j+1)
i (t) +
r̆∑
i=1
β̆i(t)ϕ̆i(t)
.
Для ее разрешимости необходимо и достаточно выполнения условия (7), поскольку столб-
цы матрицы h [Xα (t)] и векторы
h
s̃i∑
j=0
[
dj
dtj
β̃i(t)
]
ϕ̃
(s̃i−j+1)
i (t)
, i = 1, r̃, h
[
β̆i(t)ϕ̆i(t)
]
, i = 1, r̆,
являются линейными комбинациями столбцов матрицы h[D(t)]. При его выполнении
cµ = {h[D(t)]}−
γ − h
Xα(t)cα +
t∫
a
Xα(t)Y ∗α (τ)f(τ)dτ −
r∑
i=1
Φi(t)
si−1∑
j=0
Ijsi
dj
dtj
[Ψ∗i (t)f(t)]−
−
r̃∑
i=1
Φ̃i(t)
s̃i−1∑
j=0
(
ITs̃i
)j dj
dtj
[
Ψ̂∗i (t)f(t)
]
−
r̂∑
i=1
Φ̂i(t)
ŝi−1∑
j=0
Ijŝi
dj
dtj
[
Ψ̃∗i (t)f(t)
]
+
+
r̃∑
i=1
s̃i∑
j=0
[
dj
dtj
β̃i(t)
]
ϕ̃
(s̃i−j+1)
i (t) +
r̆∑
i=1
β̆i(t)ϕ̆i(t)
. (9)
Подставив (9) в (6), получим (8).
Теорема 1 доказана.
Пример. Пусть в (1), (2) m = n = l = 2, h[x(t)] = x(b)− x(a),
B(t) =
[
1 0
0 0
]
, A(t) =
[
a11(t) a12(t)
a21(t) a22(t)
]
, f(t) =
[
f1(t)
f2(t)
]
, γ =
[
γ1
γ2
]
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 483
aij(t) ∈ C∞[a; b], i, j = 1, 2, fi(t) ∈ C∞[a; b], i = 1, 2, — действительные скалярные функ-
ции, γi, i = 1, 2, — действительные числа. Рассмотрим следующие случаи [2, 3].
Случай 1 : a22(t) 6= 0 ∀t ∈ [a; b]. Имеем r = 1, s1 = 1, r̆ = ř = r̃ = r̂ = 0, α = 1,
Φ1(t) = ϕ
(1)
1 (t) =
[
0
1
]
, Ψ1(t) = ψ
(1)
1 (t) =
[
0
a−1
22 (t)
]
,
Q(t) = q1(t) =
[
1
−a21(t) a−1
22 (t)
]
, P (t) = p1(t) =
[
1
−a12(t) a−1
22 (t)
]
,
M(t) = m11(t) = a11(t)− a12(t)a21(t)a−1
22 (t).
Общее решение (5) системы (1) имеет вид
x(t) =
[
1
−a21(t)a−1
22 (t)
]
exp
t∫
a
m11(z)dz
c1 +
t∫
a
[
1
−a21(t)a−1
22 (t)
]
exp
t∫
a
m11(z)dz
×
× exp
− τ∫
a
m11(z)dz
[f1(τ)− a12(τ)a−1
22 (τ)f2(τ)
]
dτ −
[
0
a−1
22 (t)f2(t)
]
,
h[X1(t)] =
[
1
−a21(b)a−1
22 (b)
]
exp
b∫
a
m11(z)dz
− [ 1
−a21(a)a−1
22 (a)
]
.
Если
∫ b
a
m11(z)dz = 0 и a21(a)a−1
22 (a) = a21(b)a−1
22 (b), то
µ = 0, D(t) ≡
[
0
0
]
, h[D(t)] =
[
0
0
]
,
ν = 2, H =
[
1 0
0 1
]
, {h[D(t)]}− =
[
0 0
]
,
условие (7) разрешимости краевой задачи (1), (2) принимает вид
[
γ1
γ2
]
−
b∫
a
[
1
−a21(b) a−1
22 (b)
]
exp
− τ∫
a
m11(z)dz
×
×
[
f1(τ)− a12(τ)a−1
22 (τ)f2(τ)
]
dτ +
[
0
a−1
22 (b) f2(b)
]
−
[
0
a−1
22 (a) f2(a)
]
= 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
484 М. А. ЕЛИШЕВИЧ
Отсюда
[
γ1
γ2
]
=
b∫
a
[
1
−a21(b) a−1
22 (b)
]
exp
− τ∫
a
m11(z)dz
×
×
[
f1(τ)− a12(τ)a−1
22 (τ)f2(τ)
]
dτ −
[
0
a−1
22 (b) f2(b)
]
+
[
0
a−1
22 (a) f2(a)
]
.
Тогда общее решение (8) задачи (1), (2) имеет вид
x(t) =
[
1
−a21(t) a−1
22 (t)
]
exp
t∫
a
m11(z)dz
c1 +
t∫
a
[
1
−a21(t) a−1
22 (t)
]
exp
t∫
a
m11(z)dz
×
× exp
− τ∫
a
m11(z)dz
[f1(τ)− a12(τ)a−1
22 (τ)f2(τ)
]
dτ −
[
0
a−1
22 (t) f2(t)
]
.
Если
∫ b
a
m11(z)dz = 0 и a21(a)a−1
22 (a) 6= a21(b)a−1
22 (b), то
µ = 1, D(t) =
[
1
−a21(t)a−1
22 (t)
]
exp
t∫
a
m11(z)dz
,
h[D(t)] =
[
0
−a21(b)a−1
22 (b) + a21(a)a−1
22 (a)
]
, ν = 1, H =
[
1
0
]
,
{h[D(t)]}− =
[
0
[
−a21(b)a−1
22 (b) + a21(a)a−1
22 (a)
]−1
]
,
условие (7) разрешимости краевой задачи (1), (2) принимает вид
γ1 −
b∫
a
exp
− τ∫
a
m11(z)dz
[f1(τ)− a12(τ)a−1
22 (τ)f2(τ)
]
dτ = 0.
Отсюда
γ1 =
b∫
a
exp
− τ∫
a
m11(z)dz
[f1(τ)− a12(τ)a−1
22 (τ)f2(τ)
]
dτ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 485
Тогда единственное решение (8) задачи (1), (2) имеет вид
x(t) =
[
1
−a21(t)a−1
22 (t)
]
exp
[ t∫
a
m11(z)dz
] [
−a21(b)a−1
22 (b) + a21(a)a−1
22 (a)
]−1×
×
{
γ2 + a21(b)a−1
22 (b)
b∫
a
exp
[
−
τ∫
a
m11(z)dz
] [
f1(τ)− a12(τ)a−1
22 (τ)f2(τ)
]
dτ +
+ a−1
22 (b)f2(b)− a−1
22 (a)f2(a)
}
+
t∫
a
[
1
−a21(t)a−1
22 (t)
]
exp
[ t∫
a
m11(z)dz
]
×
× exp
[
−
τ∫
a
m11(z)dz
] [
f1(τ)− a12(τ)a−1
22 (τ)f2(τ)
]
dτ −
[
0
a−1
22 (t)f2(t)
]
.
Если
∫ b
a
m11(z)dz 6= 0, то
µ = 1, D(t) =
[
1
−a21(t) a−1
22 (t)
]
exp
t∫
a
m11(z)dz
,
h[D(t)] =
[
1
−a21(b) a−1
22 (b)
]
exp
b∫
a
m11(z)dz
− [ 1
−a21(a) a−1
22 (a)
]
,
ν = 1, H =
[
a21(b) a−1
22 (b)
1
]
exp
b∫
a
m11(z)dz
− [ a21(a) a−1
22 (a)
1
]
,
{h[D(t)]}− =
exp
b∫
a
m11(z)dz
− 1
−1
0
,
условие (7) разрешимости краевой задачи (1), (2) принимает вид
γ1
a21(b)a−1
22 (b) exp
b∫
a
m11(z)dz
− a21(a)a−1
22 (a)
+
+ γ2
exp
b∫
a
m11(z)dz
− 1
− [a21(b)a−1
22 (b)− a21(a)a−1
22 (a)
]
×
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
486 М. А. ЕЛИШЕВИЧ
× exp
b∫
a
m11(z)dz
b∫
a
exp
− τ∫
a
m11(z)dz
[f1(τ)− a12(τ)a−1
22 (τ)f2(τ)
]
dτ+
+
[
a−1
22 (b)f2(b)− a−1
22 (a)f2(a)
]exp
b∫
a
m11(z)dz
− 1
= 0.
Отсюда
γ2 = −γ1
a21(b)a−1
22 (b) exp
b∫
a
m11(z)dz
− a21(a)a−1
22 (a)
×
×
exp
b∫
a
m11(z)dz
− 1
−1
+
[
a21(b)a−1
22 (b)− a21(a)a−1
22 (a)
]
exp
b∫
a
m11(z)dz
×
×
b∫
a
exp
− τ∫
a
m11(z)dz
[f1(τ)− a12(τ)a−1
22 (τ)f2(τ)
]
dτ×
×
exp
b∫
a
m11(z)dz
− 1
−1
−a−1
22 (b)f2(b) + a−1
22 (a)f2(a).
Тогда единственное решение (8) задачи (1), (2) имеет вид
x(t) =
[
1
−a21(t)a−1
22 (t)
]
exp
t∫
a
m11(z)dz
exp
b∫
a
m11(z)dz
− 1
−1
×
×
γ1 − exp
t∫
a
m11(z)dz
b∫
a
exp
− τ∫
a
m11(z)dz
[f1(τ)− a12(τ)a−1
22 (τ)f2(τ)
]
dτ
+
+
t∫
a
[
1
−a21(t)a−1
22 (t)
]
exp
t∫
a
m11(z)dz
exp
− τ∫
a
m11(z)dz
×
×
[
f1(τ)− a12(τ)a−1
22 (τ)f2(τ)
]
dτ −
[
0
a−1
22 (t)f2(t)
]
.
Случай 2 : a22(t) ≡ 0, a12(t) 6= 0, a21(t) 6= 0 ∀t ∈ [a; b]. Имеем r = 1, s1 = 2, r̆ = ř =
= r̃ = r̂ = 0, α = 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 487
ϕ
(1)
1 (t) =
[
0
1
]
, ϕ
(2)
1 (t) =
a12(t)
a−1
12 (t)
d
dt
a12(t)− a11(t)
,
ψ
(1)
1 (t) =
[
0
a−1
12 (t) a−1
21 (t)
]
, ψ
(2)
1 (t) =
[
a−1
12 (t)
0
]
,
Φ1(t) =
0 a12(t)
1 a−1
12 (t)
d
dt
a12(t)− a11(t)
, Ψ1(t) =
[
a−1
12 (t) 0
0 a−1
12 (t) a−1
21 (t)
]
.
Общее решение (5) системы (1) таково:
x(t) =
−a−1
21 (t)f2(t)
a−1
12 (t)
{
a11(t)a−1
21 (t)f2(t)− f1(t)− d
dt
[
a−1
21 (t)f2(t)
]}
,
µ = 0, D(t) ≡
[
0
0
]
, h[D(t)] =
[
0
0
]
, ν = 2, H =
[
1 0
0 1
]
, {h[D(t)]}− =
[
0 0
]
,
условие (7) разрешимости краевой задачи (1), (2) принимает вид
[
γ1
γ2
]
−
−a−1
21 (b)f2(b)
a−1
12 (b)
{
a11(b) a−1
21 (b)f2(b)− f1(b)− d
dt
[
a−1
21 (t)f2(t)
]
t=b
}
+
+
−a−1
21 (a)f2(a)
a−1
12 (a)
{
a11(a) a−1
21 (a)f2(a)− f1(a)− d
dt
[
a−1
21 (t)f2(t)
]
t=a
} = 0.
Отсюда
[
γ1
γ2
]
=
−a−1
21 (b)f2(b)
a−1
12 (b)
{
a11(b) a−1
21 (b) f2(b)− f1(b)− d
dt
[
a−1
21 (t)f2(t)
]
t=b
}
−
−
−a−1
21 (a)f2(a)
a−1
12 (a)
{
a11(a) a−1
21 (a) f2(a)− f1(a)− d
dt
[
a−1
21 (t)f2(t)
]
t=a
}
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
488 М. А. ЕЛИШЕВИЧ
Тогда единственное решение (8) задачи (1), (2) имеет вид
x(t) =
−a−1
21 (t)f2(t)
a−1
12 (t)
{
a11(t) a−1
21 (t) f2(t)− f1(t)− d
dt
[
a−1
21 (t)f2(t)
]}
.
Случай 3 : a22(t) ≡ 0, a12(t) 6= 0, a21(t) ≡ 0 ∀t ∈ [a; b]. Имеем r̃ = 1, s̃1 = 1, ř = 1,
r̆ = r = r̂ = 0, α = 0,
Φ̃1(t) = ϕ̃
(1)
1 (t) =
[
0
1
]
, ϕ̃
(2)
1 (t) =
[
a12(t)
a−1
12 (t)
d
dt
a12(t)− a11(t)
]
,
ψ̆1(t) =
[
0
1
]
, Ψ̂1(t) = ψ̂
(1)
1 (t) =
[
a−1
12 (t)
0
]
, ϕ̌1(t) =
[
0
1
]
.
Условие (4) разрешимости системы (1) принимает вид
f2(t) ≡ 0.
При его выполнении ее общее решение (5) имеет вид
x(t) =
a12(t)β̃1(t)
a−1
12 (t)β̃1(t)
d
dt
a12(t)− a11(t)β̃1(t)− a−1
12 (t)f1(t) +
d
dt
β̃1(t)
.
Функции ξ̃k(t), k = 1, 2, выберем таким образом, чтобы векторы a12(t)ξ̃k(t)
a−1
12 (t)ξ̃k(t)
d
dt
a12(t)− a11(t)ξ̃k(t) +
d
dt
ξ̃k(t)
, k = 1, 2,
были линейно независимы и выполнялись равенства
ξ̃1(b) = a−1
12 (b)
[
a12(a)ξ̃1(a) + 1
]
,
d
dt
ξ̃1(t)t=b = −a−1
12 (b)ξ̃1(b)
d
dt
a12(t)t=b + a11(b)ξ̃1(b) + a−1
12 (a)ξ̃1(a)
d
dt
a12(t)t=a−
− a11(a)ξ̃1(a) +
d
dt
ξ̃1(t)t=a,
ξ̃2(b) = a−1
12 (b)a12(a)ξ̃2(a),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 489
d
dt
ξ̃2(t)t=b = −a−1
12 (b)ξ̃2(b)
d
dt
a12(t)t=b + a11(b)ξ̃2(b) + a−1
12 (a)ξ̃2(a)
d
dt
a12(t)t=a−
− a11(a)ξ̃2(a) +
d
dt
ξ̃2(t)t=a + 1.
Составим из этих векторов матрицу D(t). Тогда
µ = 2, h[D(t)] =
[
1 0
0 1
]
, ν = 0, H =
[
0
0
]
, {h[D(t)]}− =
[
1 0
0 1
]
,
условие (7) разрешимости краевой задачи (1), (2) выполняется. Ее общее решение (8)
имеет вид
x(t) =
[
a12(t)ξ(t)
a−1
12 (t)ξ(t)
d
dt
a12(t)− a11(t)ξ(t)− a−1
12 (t)f1(t) +
d
dt
ξ(t)
]
,
где
ξ(t) =
[
γ1 − a12(b)β̃1(b) + a12(a)β̃1(a)
]
ξ̃1(t)+
+
[
γ2 − a−1
12 (b)β̃1(b)
d
dt
a12(t)t=b + a11(b)β̃1(b) + a−1
12 (b)f1(b)−
− d
dt
β̃1(t)t=b + a−1
12 (a)β̃1(a)
d
dt
a12(t)t=a−
−a11(a)β̃1(a)− a−1
12 (a)f1(a) +
d
dt
β̃1(t)t=a
]
ξ̃2(t) + β̃1(t).
Случай 4 : a22(t) ≡ 0, a12(t) ≡ 0, a21(t) 6= 0 ∀t ∈ [a; b]. Имеем r̆ = 1, r̂ = 1, ŝ1 = 1,
r̃ = r = ř = 0, α = 0,
ϕ̆1(t) =
[
0
1
]
, Ψ̃1(t) = ψ̃
(1)
1 (t) =
[
0
1
]
, ψ̃
(2)
1 (t) =
[
a21(t)
−a11(t)− a−1
21 (t)
d
dt
a21(t)
]
,
Φ̂1(t) = ϕ̂
(1)
1 (t) =
[
a−1
21 (t)
0
]
, ψ̌1(t) =
[
0
1
]
.
Условие (4) разрешимости системы (1) принимает вид
a21(t)f1(t)− a11(t)f2(t)− a−1
21 (t)f2(t)
d
dt
a21(t) +
d
dt
f2(t) ≡ 0.
Тогда ее общее решение (5) имеет вид
x(t) =
[
−a−1
21 (t)f2(t)
β̆1(t)
]
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
490 М. А. ЕЛИШЕВИЧ
Функцию ξ̆1(t) выберем таким образом, чтобы ξ̆1(t) 6= 0 ∀t ∈ [a; b] и выполнялось равен-
ство ξ̆1(b) = ξ̆1(a) + 1. Тогда
µ = 1, D(t) =
[
0
ξ̆1(t)
]
, h[D(t)] =
[
0
1
]
,
ν = 1, H =
[
1
0
]
, {h[D(t)]}− =
[
0 1
]
,
условие (7) разрешимости краевой задачи (1), (2) принимает вид
γ1 + a−1
21 (b)f2(b)− a−1
21 (a)f2(a) = 0.
Отсюда
γ1 = −a−1
21 (b)f2(b) + a−1
21 (a)f2(a).
Тогда общее решение (8) краевой задачи (1), (2) имеет вид
x(t) =
[
−a−1
21 (t)f2(t)
ξ̆1(t)
[
γ2 − β̆1(b) + β̆1(a)
]
+ β̆1(t)
]
.
Случай 5 : a22(t) ≡ 0, a12(t) ≡ 0, a21(t) ≡ 0 ∀t ∈ [a; b].Имеем r̆ = 1, ř = 1, r̃ = r = r̂ =
= 0, α = 1,
ϕ̆1(t) =
[
0
1
]
, ψ̆1(t) =
[
0
1
]
, ϕ̌1(t) =
[
0
1
]
, ψ̌1(t) =
[
0
1
]
,
Q(t) = q1(t) =
[
1
0
]
, P (t) = p1(t) =
[
1
0
]
, M(t) = a11(t).
Условие (4) разрешимости системы (1) принимает вид
f2(t) ≡ 0.
Тогда общее решение (6) системы (1) имеет вид
x(t) =
[
1
0
]
exp
t∫
a
a11(z)dz
c1 +
t∫
a
[
1
0
]
exp
t∫
a
a11(z)dz
×
× exp
− τ∫
a
a11(z)dz
f1(τ)dτ +
[
0
β̆1(t)
]
,
h[X1(t)] =
[
1
0
]
exp
b∫
a
a11(z)dz
− [ 1
0
]
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 491
Функцию ξ̆1(t) выберем таким образом, чтобы ξ̆1(t) 6= 0 ∀t ∈ [a; b] и выполнялось равен-
ство ξ̆1(b) = ξ̆1(a) + 1.
Если
∫ b
a
a11(z)dz = 0, то
µ = 1, D(t) =
[
0
ξ̆1(t)
]
, h[D(t)] =
[
0
1
]
,
ν = 1, H =
[
1
0
]
, {h[D(t)]}− =
[
0 1
]
,
условие (7) разрешимости краевой задачи (1), (2) принимает вид
γ1 −
b∫
a
exp
− τ∫
a
a11(z)dz
f1(τ)dτ = 0.
Отсюда
γ1 =
b∫
a
exp
− τ∫
a
a11(z)dz
f1(τ)dτ.
Тогда общее решение (8) задачи (1), (2) имеет вид
x(t) =
[
1
0
]
exp
t∫
a
a11(z)dz
c1 +
t∫
a
[
1
0
]
exp
t∫
a
a11(z)dz
×
× exp
− τ∫
a
a11(z)dz
f1(τ)dτ +
[
0
ξ̆1(t)
[
γ2 − β̆1(b) + β̆1(a)
]
+ β̆1(t)
]
.
Если
∫ b
a
11(z)dz 6= 0, то
µ = 1, D(t) =
exp
t∫
a
a11(z)dz
0
0 ξ̆1(t)
, h[D(t)] =
exp
b∫
a
a11(z)dz
− 1 0
0 1
,
ν = 0, H =
[
0
0
]
, {h[D(t)]}− =
exp
b∫
a
a11(z)dz
− 1
−1
0
0 1
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
492 М. А. ЕЛИШЕВИЧ
условие (7) разрешимости краевой задачи (1), (2) выполняется. Ее общее решение (8)
имеет вид
x(t) =
[
1
0
]
exp
t∫
a
a11(z)dz
exp
b∫
a
a11(z)dz
− 1
−1
×
×
γ1 − exp
b∫
a
a11(z)dz
b∫
a
exp
− τ∫
a
a11(z)dz
f1(τ)dτ
+
+
t∫
a
[
1
0
]
exp
t∫
a
a11(z)dz
exp
− τ∫
a
a11(z)dz
f1 (τ) dτ+
+
[
0
ξ̆1(t)
[
γ2 − β̆1(b) + β̆1(a)
]
+ β̆1(t)
]
.
Литература
1. Бойчук О. А., Шегда Л. М. Виродженi нетеровi крайовi задачi // Нелiнiйнi коливання. — 2007. — 10,
№ 3. — С. 303 – 312.
2. Елишевич М. А. Некоторые свойства жордановых наборов векторов матрицы относительно опера-
тора, содержащего дифференцирование // Журн. обчислюв. та прикл. математики. — 2012. — № 2
(108). — С. 119 – 134.
3. Елишевич М. А. Задача Коши для системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений
первого порядка с прямоугольными матрицами // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — 16, № 2. — С. 173 –
190.
Получено 31.10.14
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
|