Асимптотично майже періодичні розв’язки рівнянь із запізненням і нефіксованими моментами імпульсної дії
С помощью свойств асимптотически почти периодических решений доказаны теоремы существования асимптотически устойчивого кусочно-непрерывного почти периодического решения системы дифференциальных уравнений с запаздыванием и нефиксированными моментами импульсного воздействия....
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177288 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотично майже періодичні розв’язки рівнянь із запізненням і нефіксованими моментами імпульсної дії / Ю.М. Мисло, В.І. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 533-546 — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177288 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772882021-02-15T01:26:14Z Асимптотично майже періодичні розв’язки рівнянь із запізненням і нефіксованими моментами імпульсної дії Мисло, Ю.М. Ткаченко, В.І. С помощью свойств асимптотически почти периодических решений доказаны теоремы существования асимптотически устойчивого кусочно-непрерывного почти периодического решения системы дифференциальных уравнений с запаздыванием и нефиксированными моментами импульсного воздействия. By using properties of almost periodic solutions, we prove theorems on existence of an asymptotically stable piecewise continuous solution to a differential system with delays and impulsive effects at nonfixed times. 2016 Article Асимптотично майже періодичні розв’язки рівнянь із запізненням і нефіксованими моментами імпульсної дії / Ю.М. Мисло, В.І. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 533-546 — Бібліогр.: 20 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177288 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
С помощью свойств асимптотически почти периодических решений доказаны теоремы существования асимптотически устойчивого кусочно-непрерывного почти периодического решения системы дифференциальных уравнений с запаздыванием и нефиксированными моментами импульсного воздействия. |
| format |
Article |
| author |
Мисло, Ю.М. Ткаченко, В.І. |
| spellingShingle |
Мисло, Ю.М. Ткаченко, В.І. Асимптотично майже періодичні розв’язки рівнянь із запізненням і нефіксованими моментами імпульсної дії Нелінійні коливання |
| author_facet |
Мисло, Ю.М. Ткаченко, В.І. |
| author_sort |
Мисло, Ю.М. |
| title |
Асимптотично майже періодичні розв’язки рівнянь із запізненням і нефіксованими моментами імпульсної дії |
| title_short |
Асимптотично майже періодичні розв’язки рівнянь із запізненням і нефіксованими моментами імпульсної дії |
| title_full |
Асимптотично майже періодичні розв’язки рівнянь із запізненням і нефіксованими моментами імпульсної дії |
| title_fullStr |
Асимптотично майже періодичні розв’язки рівнянь із запізненням і нефіксованими моментами імпульсної дії |
| title_full_unstemmed |
Асимптотично майже періодичні розв’язки рівнянь із запізненням і нефіксованими моментами імпульсної дії |
| title_sort |
асимптотично майже періодичні розв’язки рівнянь із запізненням і нефіксованими моментами імпульсної дії |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177288 |
| citation_txt |
Асимптотично майже періодичні розв’язки рівнянь із запізненням і нефіксованими моментами імпульсної дії / Ю.М. Мисло, В.І. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 533-546 — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT misloûm asimptotičnomajžeperíodičnírozvâzkirívnânʹízzapíznennâmínefíksovanimimomentamiímpulʹsnoídíí AT tkačenkoví asimptotičnomajžeperíodičnírozvâzkirívnânʹízzapíznennâmínefíksovanimimomentamiímpulʹsnoídíí |
| first_indexed |
2025-07-15T15:19:50Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:19:50Z |
| _version_ |
1837726739120259072 |
| fulltext |
УДК 517.9
АСИМПТОТИЧНО МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯНЬ
IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ ТА НЕФIКСОВАНИМИ МОМЕНТАМИ
IМПУЛЬСНОЇ ДIЇ
Ю. М. Мисло
Ужгород. нац. ун-т
пл. Народна, 3, Ужгород, 88000, Україна
В. I. Ткаченко
Iн-т математики НАН України
вул. Терещенкiвська, 3, Київ, 01004, Україна
By using properties of almost periodic solutions, we prove theorems on existence of an asymptotically
stable piecewise continuous solution to a differential system with delays and impulsive effects at nonfixed
times.
С помощью свойств асимптотически почти периодических решений доказаны теоремы су-
ществования асимптотически устойчивого кусочно-непрерывного почти периодического ре-
шения системы дифференциальных уравнений с запаздыванием и нефиксированными момента-
ми импульсного воздействия.
1. Вступ. Розглянемо систему диференцiальних рiвнянь iз запiзненням та нефiксованими
моментами iмпульсної дiї
ẋ(t) = f(t, x(t), x(t− h)), t 6= τk(x(t)), (1)
x(t+ 0) = x(t) + Ik(x(t)), t = τk(x(t)), k ∈ Z, (2)
де x ∈ Rn, h > 0. Iмпульсна дiя вiдбувається при досягненнi розв’язками поверхонь Γk =
= {(t, x) : t = τk(x)}, k ∈ Z, якi рiвномiрно вiддiленi одна вiд iншої.
Метою даної роботи є знаходження умов iснування кусково-неперервного майже пе-
рiодичного розв’язку системи (1), (2). Вивчення майже перiодичних iмпульсних систем
привертає увагу багатьох дослiдникiв (див., наприклад, [1 – 9]). Ми використовуємо кон-
цепцiю кусково-неперервних майже перiодичних функцiй у сенсi робiт [10, 11]. Спочатку
ми доведемо iснування асимптотично майже перiодичного розв’язку системи (1), (2), з чо-
го випливатиме iснування кусково-неперервного асимптотично стiйкого майже перiодич-
ного розв’язку. Такий пiдхiд запропоновано у роботi [12] для систем функцiонально-дифе-
ренцiальних рiвнянь. У роботi [13] цей пiдхiд поширено на системи рiвнянь iз запiзненням
та фiксованими моментами iмпульсної дiї. У системи рiвнянь з нефiксованими моментами
iмпульсної дiї розв’язки, якi мають рiзнi початковi значення, мають також i рiзнi точки
розривiв. Це вимагає iншого пiдходу при дослiдженнi асимптотично майже перiодичних
розв’язкiв. Вiдмiннiсть точок розриву рiзних розв’язкiв системи з нефiксованими момен-
тами iмпульсної дiї враховується також i при означеннi стiйкостi розв’язкiв.
Також у таких системах може з’являтися так званий феномен биття, тобто розв’язок
c© Ю. М. Мисло, В. I. Ткаченко, 2016
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 533
534 Ю. М. МИСЛО, В. I. ТКАЧЕНКО
може перетинати поверхню t = τk(x) кiлька разiв чи навiть нескiнченну кiлькiсть ра-
зiв [14, 15].
Оскiльки розв’язки рiвнянь iз запiзненням однозначно задаються значеннями на по-
чатковому iнтервалi i через кожну точку (t0, x0) ∈ R × Rn проходить нескiнченна кiль-
кiсть розв’язкiв, якi не обов’язково продовжуються влiво, до систем iз запiзненням i не-
фiксованими моментами iмпульсної дiї не застосовується метод зведення до систем з фiк-
сованими моментами iмпульсної дiї, запропонований у [16] для систем звичайних дифе-
ренцiальних рiвнянь без запiзнення.
2. Основнi означення та попереднi результати. Нехай R i Z — множини дiйсних i цi-
лих чисел вiдповiдно. Позначимо через ‖.‖ норму в Rn чи вiдповiдну норму в просторi
матриць. Будемо позначати через PCk(J,Rn), J ⊆ R, простiр усiх кусково-неперервних
функцiй x : J → Rn таких, що:
i) множина T = {tj ∈ J : tj+1 > tj , j ∈ Z} розривiв функцiї x не має скiнченних
граничних точок;
ii) функцiї неперервнi злiва x(tj−0) = x(tj) i iснують границi limt→tj+0 x(t) = x(tj+0);
iii) функцiя x(t) є гладкою класу Ck на множинi J \ T.
Введемо такi означення (див. [10, 11, 18]).
Означення 1. Цiле число p називається ε-майже перiодом послiдовностi {xk}, xk ∈
∈ Rn, якщо ‖xk+p−xk‖ < ε для всiх k ∈ Z.Послiдовнiсть {xk} називається майже перiо-
дичною, якщо для кожного ε > 0 iснує вiдносно щiльна множина її ε-майже перiодiв.
Множина A ⊂ R вiдносно щiльна, якщо iснує таке додатне число l, що кожний вiдрi-
зок дiйсної осi довжини l мiстить принаймнi одне число, яке належить A.
Означення 2. Послiдовнiсть дiйсних чисел {tk} має рiвномiрно майже перiодичнi рiз-
ницi, якщо для довiльного ε > 0 iснує вiдносно щiльна множина ε-майже перiодiв, спiль-
них для всiх послiдовностей {tjk}, де tjk = tk+j − tk, j ∈ Z.
Як показано у [17], послiдовнiсть {τk} має рiвномiрно майже перiодичнi послiдовностi
рiзниць тодi i тiльки тодi, коли τk = ak + ck, де {ck}— майже перiодична послiдовнiсть,
a — додатне число.
Означення 3. Функцiя ϕ(t) ∈ PC(R,Rn) називається w-майже перiодичною, якщо:
i) послiдовнiсть {tk} точок розривiв функцiї ϕ(t) має рiвномiрно майже перiодичнi
послiдовностi рiзниць;
ii) для довiльного ε > 0 iснує таке додатне число δ = δ(ε), що якщо точки t′ i t′′
належать одному iнтервалу неперервностi i |t′ − t′′| < δ, то ‖ϕ(t′)− ϕ(t′′)‖ < ε;
iii) для довiльного ε > 0 iснує вiдносно щiльна множина Γ ε-майже перiодiв таких, що
якщо τ ∈ Γ,то ‖ϕ(t+τ)−ϕ(t)‖ < ε для всiх t ∈ R, якi задовольняють умову |t− tk| > ε,
k ∈ Z.
Нагадаємо, що неперервна функцiя ψ : R → Rn майже перiодична за Бором, якщо
для довiльного ε > 0 iснує вiдносно щiльна множина Γ ε-майже перiодiв таких, що якщо
τ ∈ Γ, то ‖ψ(t+ τ)− ψ(t)‖ < ε для всiх t ∈ R.
Означення 4. Кусково-неперервна функцiя ϕ1(t) ∈ PC(J,Rn) знаходиться у ε-околi
функцiї ϕ2(t) ∈ PC(J,Rn), якщо ‖ϕ1(t)− ϕ2(t)‖ < ε для всiх таких t ∈ J, що |t− τ1
i | > ε,
|t− τ2
i | > ε та |τ1
i − τ2
i | < ε, i ∈ Z, де {τ1
i } i {τ2
i }— послiдовностi розривiв функцiй ϕ1(t)
i ϕ2(t) вiдповiдно. У цьому випадку будемо писати ρ(ϕ1, ϕ2) < ε.
Послiдовнiсть {fk(t)} функцiй fk ∈ PC(J,Rn), J ⊂ R, збiгається у w-топологiї до
функцiї f ∈ PC(J,Rn), якщо для кожного ε > 0 iснує таке натуральне число N = N(ε),
що ‖fk(t) − f(t)‖ < ε для всiх k ≥ N i |t − τi| > ε (τi — точки розривiв функцiї f
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
АСИМПТОТИЧНО МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯНЬ . . . 535
на множинi J), а також точки розривiв функцiй fk(t), якi лежать у J, збiгаються до
точок τi рiвномiрно вiдносно i.
В роботi [18] доведено, що функцiя ϕ(t) ∈ PC(R,Rn) w-майже перiодична тодi i тiльки
тодi, коли з довiльної послiдовностi дiйсних чисел {θn}, θn > θn−1, limn→∞ θn = ∞, можна
видiлити таку пiдпослiдовнiсть {θnk}, що послiдовнiсть ϕ(t+ θnk) збiгається на осi у w-то-
пологiї.
Будемо розглядати систему (1), (2) з такими умовами:
(H1) Нехай Uρ = {x ∈ Rn : ‖x‖ ≤ ρ}, де ρ — деяке додатне число. Припустимо, що
послiдовнiсть {τk} функцiй iмпульсної дiї τk : Uρ → R має рiвномiрно майже перiодичнi
послiдовностi рiзниць рiвномiрно вiдносно x ∈ Uρ i iснують такi θ > 0 i Θ > 0, що
infx τk+1(x)− supx τk(x) ≥ θ i supx τk+1(x)− infx τk(x) ≤ Θ для всiх x ∈ Uρ i k ∈ Z.
(H2) Функцiя f(t, x, y) майже перiодична по t i лiпшицева по x, y ∈ Uρ зi сталою L1 >
> 0: ‖f(t, x1, y1)− f(t, x2, y2)‖ ≤ L1(‖x1 − x2‖+ ‖y1 − y2‖).
(H3) Вектор-функцiї Ij : Uρ → Rn лiпшицевi по x ∈ Uρ зi сталою L1 > 0. Послiдов-
нiсть {Ij(x)} майже перiодична рiвномiрно вiдносно x ∈ Uρ.
Означення 5. Функцiя x(t) ∈ PC([t0 − h, t0 + α],Rn), де α > 0, є розв’язком системи
(1), (2), якщо виконуються такi умови:
(i) множина T = {t ∈ [t0, t0 + α] : t = τk(x(t)) для деякого k} точок iмпульсної дiї
скiнченна (можливо, порожня);
(ii) x(t) неперервна при всiх t ∈ [t0, t0 + α] \ T ;
(iii) x(t) неперервно диференцiйовна при всiх t ∈ (t0, t0+α]\T, за винятком скiнченної
множини точок;
(iv) похiдна злiва функцiї x(t) iснує i задовольняє систему (1) для всiх t ∈ (t0, t0+α]\T ;
(v) для t ∈ T функцiя x(t) задовольняє умову (2).
Якщо додатково функцiя x(t) задовольняє умову
x(t0 + θ) = ϕ(θ), θ ∈ [−h, 0], ϕ ∈ PC([−h, 0],Rn), (3)
то вона є розв’язком початкової задачi (1) – (3).
Функцiя x(t) є розв’язком системи (1), (2) на нескiнченному iнтервалi, якщо вона є
розв’язком на кожному обмеженому пiдiнтервалi.
Припускаємо, що розв’язки системи (1), (2) неперервнi злiва.
Також припускаємо, що у множинi Uρ розв’язки системи (1), (2) не мають биття з по-
верхнями t = τj(x), iншими словами, розв’язки перетинають кожну поверхню не бiльше
одного разу. Достатнi умови вiдсутностi биття наведено у [15].
Для розв’язку x(t) через xt будемо позначати його звуження на iнтервал [t−h, t], тобто
xt = {x(t+ θ), θ ∈ [−h, 0]}.
Означення 6. Розв’язок ξ(t) системи (1), (2), який при всiх t ≥ t0 − h належить Uρ i
τj(x0(t0)) 6= t0, j ∈ Z, називається стiйким за Ляпуновим, якщо для довiльного ε > 0
iснує таке число δ = δ(t0, ε), що для довiльного iншого розв’язку x(t) з початковими
значеннями з Uρ i
‖ξ(θ)− x(θ)‖ < δ, θ ∈ [t0 − h, t0], |θ − τ0
j | > δ,
виконується ‖ξ(t) − x(t)‖ < ε для всiх t ≥ t0 таких, що |t − τ0
j | > ε, де τ0
j — моменти
часу, при яких розв’язок ξ(t) перетинає поверхнi t = τj(x), j ∈ Z.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
536 Ю. М. МИСЛО, В. I. ТКАЧЕНКО
Розв’язок ξ(t) рiвномiрно стiйкий за Ляпуновим, якщо δ не залежить вiд початкових
моментiв t0, якi задовольняють нерiвностi |t0 − τ0
j | > δ, j ∈ Z.
Розв’язок ξ(t) називається асимптотично стiйким, якщо вiн стiйкий i iснує таке
δ0 > 0, що для t0 ∈ R, τj(x0(t0)) 6= t0, j ∈ Z, i кожного ε > 0 iснує T = T (t0, ε) > 0 таке,
що для будь-якого iншого розв’язку x(t) системи з початковими значеннями з Uρ i
‖ξ(θ)− x(θ)‖ < δ0, θ ∈ [t0 − h, t0], |θ − τ0
j | > δ0,
виконується ‖ξ(t)− x(t)‖ < ε для t ≥ t0 + T i |t− τ0
k | > ε.
Розв’язок ξ(t) рiвномiрно асимптотично стiйкий, якщо наведенi вище нерiвностi
виконуються для всiх t0 ∈ R, |t0 − τ0
j | > δ0, j ∈ Z, з незалежними вiд t0 моментами
часу T.
Як i в неперервному випадку [19, с. 154], для кусково-неперервних функцiй вводиться
поняття асимптотично w-майже перiодичних функцiй, яке будемо використовувати при
дослiдженнi iснування майже перiодичних розв’язкiв iмпульсних систем.
Означення 7. Кусково-неперервна функцiя ξ(t) називається асимптотично w-майже
перiодичною, якщо для кожної послiдовностi додатних чисел {θk}таких, що θk+1 > θk,
θk → ∞ при k → ∞, iснує така пiдпослiдовнiсть {θkj}, що ξ(t + θkj ) збiгається на
0 ≤ t < ∞ у w-топологiї.
Нехай функцiя ξ(t) асимптотично w-майже перiодична i θk → ∞, k → ∞. Припусти-
мо, що послiдовнiсть {ξ(t+ θk)} збiгається на [0,∞) в w-топологiї до функцiї p(t) з послi-
довнiстю розривiв {pk}. Використовуючи стандартний дiагональний метод i вибираючи,
якщо необхiдно, пiдпослiдовнiсть послiдовностi {θk}, продовжуємо функцiю p(t) з послi-
довнiстю розривiв {pk} на всю вiсь. Послiдовнiсть {ξ(t + θk)} збiгається у w-топологiї до
функцiї p(t) на компактних пiдмножинах R. Позначимо через H(ξ) замикання множини
всiх таких граничних функцiй p(t) в w-топологiї на компактних пiдмножинах.
Зауваження. При вивченнi майже перiодичних систем з фiксованими моментами iм-
пульсної дiї послiдовнiсть точок iмпульсiв {τk} не залежить вiд x i має рiвномiрно майже
перiодичнi послiдовностi рiзниць, тому достатньо розглядати асимптотично майже перi-
одичнi функцiї з розривами у наперед заданих точках τk. У цьому випадку асимптотично
майже перiодична функцiя є сумою w-майже перiодичної функцiї i функцiї, що прямує до
нуля при t → ∞ [13]. У загальному випадку послiдовнiсть розривiв асимптотично май-
же перiодичної функцiї не обов’язково має рiвномiрно майже перiодичнi послiдовностi
рiзниць.
Лема. Множина H(ξ) для асимптотично w-майже перiодичної функцiї ξ(t) з послi-
довнiстю розривiв {tk} компактна в w-топологiї на осi i складається з w-майже перiо-
дичних функцiй.
Доведення. Спочатку покажемо, що для кожного ε > 0 iснує таке T = T (ε), що
множина {
τ : sup
t≥T (ε)
‖ξ(t+ τ)− ξ(t)‖ < ε, |t− tk| > ε
}
(4)
вiдносно щiльна в R. Припустимо вiд супротивного, що множина (4) не є вiдносно щiль-
ною для деякого ε0 > 0. Тодi для довiльного T (ε0) iснує послiдовнiсть таких iнтервалiв
[hn − ln, hn + ln], що supt≥T (ε0),|t−tk|≥ε0 ‖ξ(t+ τ)− ξ(t)‖ ≥ ε0 для всiх τ ∈ [hn − ln, hn + ln].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
АСИМПТОТИЧНО МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯНЬ . . . 537
Виберемо довiльне l1 i ln > maxm<n hm, тодi hn − hm ∈ [hn − ln, hn + ln], якщо m < n.
Тому
sup
t≥0,|t+hm−tk|≥ε0
‖ξ(t+ hn)− ξ(t+ hm)‖ = sup
t≥hm,|t−tk|≥ε0
‖ξ(t)− ξ(t+ hn − hm)‖ ≥ ε0.
Це суперечить w-збiжностi послiдовностi функцiй {ξ(t+ hn)}.
Нехай {θk}— деяка послiдовнiсть дiйсних чисел така, що θk+1 > θk i θk → ∞, k → ∞,
i p(t) — побудована за цiєю послiдовнiстю гранична функцiя. Доведемо, що функцiя p(t)
w-майже перiодична.
Спочатку покажемо, що гранична функцiя p(t) задовольняє нерiвнiсть ‖p(t + τ) −
−p(t)‖ < ε для всiх t ∈ R, |t − pk| > ε. Вибираючи θn з достатньо великим n, отримуємо
нерiвнiсть ‖ξ(t+θn+τ)−ξ(t+θn)‖ < ε для t ≥ T (ε)−θn, t+τ ≥ T (ε)−θn i |t+θn−tk| > ε.
Зафiксуємо t, τ i виберемо достатньо велике n так, що виконуються останнi нерiвностi.
Переходячи до границi при n → ∞, отримуємо ‖p(t+ τ)− p(t)‖ < ε. Ця нерiвнiсть вико-
нується для t ∈ R, |t− pk| > ε i вiдносно щiльної множини ε-майже перiодiв τ.
Тепер покажемо, що послiдовнiсть розривiв {pk}k∈Z функцiї p(t) має рiвномiрно май-
же перiодичнi рiзницi. Розглянемо функцiї
F (t) =
∑
j∈Z+
φ(t− tj), P (t) =
∑
j∈Z+
φ(t− pj),
де φ(t) = max{0, 1 − 4|t|/θ}. Зазначимо, що при кожному фiксованому t кожна з цих сум
мiстить лише один ненульовий член.
Оскiльки ξ(t + θk) збiгається в w-топологiї до p(t), то iснує послiдовнiсть цiлих чисел
α(k) така, що
lim
k→∞
(tn+α(k) − θk) = pn
рiвномiрно по n ∈ Z+. Якщо |tn+α(k) − θk − pn| < ε, то
|φ(t− tn+α(k) + θk)− φ(t− pn)| =
∣∣∣∣∣∣∣
t−pn∫
t−tn+α(k)+θk
φ′(s)ds
∣∣∣∣∣∣∣ <
4ε
θ
.
Для кожного t ≥ 0 тiльки одна така рiзниця є вiдмiнною вiд нуля. Отже, послiдовнiсть
{F (t+ θj)} рiвномiрно збiгається на пiвосi t ≥ 0. Тому неперервна функцiя F (t) асимпто-
тично майже перiодична. Аналогiчно до попереднього отримуємо, що гранична функцiя
P (t) майже перiодична за Бором (див. також [19, с. 154]).
Для ε > 0 iснує вiдносно щiльна множина ε-майже перiодiв ω функцiї P (t). Зокрема,
|P (pn +ω)−P (pn)| < ε. Враховуючи форму функцiї P (t), отримуємо, що для pn +ω iснує
така точка pn+α(ω), що
|pn + ω − pn+α(ω)| <
θε
4
. (5)
За лемою 2 [20] послiдовнiсть {tn} має рiвномiрно майже перiодичнi послiдовностi рiз-
ниць тодi i тiльки тодi, коли для кожного ε > 0 множина Ωε всiх чисел ω таких, що
|thωn − ω| < ε
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
538 Ю. М. МИСЛО, В. I. ТКАЧЕНКО
для деякого hω ∈ Z i всiх n ∈ Z, є вiдносно щiльною в R. Тому за (5) послiдовнiсть {pn}
має рiвномiрно майже перiодичнi послiдовностi рiзниць.
Лему доведено.
3. Основнi результати.
Теорема 1. Припустимо, що система (1), (2) має розв’язок ξ(t), означений на I =
= [0,∞) i такий, що ‖ξ(t)‖ ≤ ρ < ∞ для всiх t ≥ 0. Якщо розв’язок ξ(t) асимптотично
w-майже перiодичний, то система (1), (2) має w-майже перiодичний розв’язок.
Доведення. Нехай послiдовнiсть {θm} така, що θm → ∞ i f(t + θm, x, y) → f(t, x, y)
при m → ∞ рiвномiрно по t ∈ R i x, y ∈ Uρ, а також iснує така послiдовнiсть цiлих чисел
{α(k)}k∈Z, що
lim
m→∞
(τn+α(m)(x)− θm) = τn(x), lim
m→∞
In+α(m)(x) = In(x) (6)
рiвномiрно по n ∈ Z, x ∈ Uρ.
Оскiльки розв’язок ξ(t) асимптотично w-майже перiодичний, то iснує пiдпослiдовнiсть
послiдовностi {θm} (яку ми знову позначимо {θm}) така, що ξ(t + θm) → p(t) на пiвосi
t ≥ 0 у w-топологiї. Функцiю p(t) можна однозначно продовжити до w-майже перiодичної
функцiї на осi. Покажемо, що p(t) задовольняє систему рiвнянь (1), (2).
Функцiя ξ(t+ θm) задовольняє систему
ẋ(t) = f(t+ θm, x(t), x(t− h)), t 6= τk(x(t))− θm, (7)
x(t+ 0) = x(t) + Ik(x(t)), t = τk(x(t))− θm, k ∈ Z. (8)
З урахуванням (6) запишемо (8) у виглядi
x(t+ 0) = x(t) + Ik+α(m)(x(t)), t = τk+α(m)(x(t))− θm, k ∈ Z. (9)
Приm → ∞ послiдовнiсть ξ(t+θm) збiгається на компактах у w-топологiї до w-майже
перiодичної функцiї p(t). Позначимо через τmj числа, якi задовольняють рiвностi
τmj = τj+α(m)(ξ(τ
m
j + θm))− θm, (10)
тобто τmj + θm — моменти перетину розв’язку ξ(t+ θm) з поверхнями t = τj+α(m)(x)− θm.
При m → ∞ виконується
τmj = τj+α(m)(ξ(τ
m
j + θm))− θm → pj = τj(p(pj)), j ∈ Z.
Нехай [t̄1, t̄2] — деякий пiдiнтервал R. Запишемо систему (7), (9) у iнтегральнiй формi
x(t) = x(t̄1) +
t∫
t̄1
f(s+ θm, x(s), x(s− h))ds+
∑
t̄1<τ̃j<t
Ij+α(m)(x(τ̃j)),
де τ̃j задовольняє рiвнiсть τj+α(m)(x(τ̃j))−θm = τ̃j .Функцiя ξ(t+θm) задовольняє рiвняння
ξ(t+θm) = ξ(t̄1 +θm)+
t∫
t̄1
f(s+θm, ξ(s+θm), ξ(s+θm−h))ds+
∑
t̄1<τmj <t
Ij+α(m)(ξ(τ
m
j +θm)).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
АСИМПТОТИЧНО МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯНЬ . . . 539
Переходячи до границi при θm → ∞, отримуємо
p(t) = p(t̄1) +
t∫
t̄1
f(s, p(s), p(s− h))ds+
∑
t̄1<pj<t
Ij(p(pj)).
Отже, w-майже перiодична функцiя p(t) є розв’язком системи (1), (2).
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Припустимо, що M0N1 + N1 < 1, де M0 = supt∈R,x,y∈Uρ ‖f(t, x, y)‖, а N1 є
сталою Лiпшиця для поверхонь iмпульсiв
|τj(x)− τj(y)| ≤ N1‖x− y‖, j ∈ Z, x, y ∈ Uρ.
Нехай розв’язок ξ(t) системи (1), (2) при всiх t ∈ [0,∞) належить Uρ i є рiвномiрно
асимптотично стiйким при t ≥ 0. Тодi ξ(t) асимптотично w-майже перiодичний, а
система (1), (2) має w-майже перiодичний розв’язок, який є асимптотично стiйким
при t ≥ 0.
Доведення. Скористаємось iдеєю роботи [12].
1. Оскiльки розв’язок ξ(t) рiвномiрно асимптотично стiйкий, то iснує таке δ0 > 0, що
для довiльного ε > 0 iснують δ = δ(ε) > 0, δ ≤ δ0, i T (ε) > h такi, що для iншого
розв’язку x(t) рiвняння (1), (2) з ρ(ξ0, x0) < δ випливає ‖ξ(t) − x(t)‖ < ε/2 для t ≥ 0,
|t− τ0
j | > ε/2 i ‖ξ(t)− x(t)‖ < δ1/2 для всiх t ≥ T (ε)− h, |t− τ0
j | > δ1/2, де δ1 = min(ε, δ),
а τ0
j — точки перетину розв’язку ξ(t) з поверхнями t = τj(x). Як i ранiше, ми позначаємо
xt = {x(t+ θ),−h ≤ θ ≤ 0} для розв’язку x(t).
Виберемо довiльну послiдовнiсть {θm} таку, що θm+1 > θm, θm → ∞ при m → ∞.
Покажемо, що iснує така пiдпослiдовнiсть {θmk}, що послiдовнiсть функцiй ξ(t + θmk)
збiгається у w-топологiї на пiвосi t ≥ 0.
Позначимо ξm(t) = ξ(t+θm). Тодi ξm(t) є розв’язком системи (7), (9), i вiн асимптотич-
но стiйкий з тими ж сталими δ0, δ(ε) i T (ε), що i у розв’язку ξ(t).
Послiдовнiсть {θm} мiстить пiдпослiдовнiсть (яку знову позначимо {θm}) таку, що ви-
конуються умови:
а) рiвномiрно по i ∈ Z i x ∈ Uρ iснує границя
lim
m→∞
(τi+α(m)(x)− θm) = pi(x), (11)
де {α(m)}— деяка послiдовнiсть цiлих чисел, а послiдовнiсть {pi(x)} має рiвномiрно май-
же перiодичнi рiзницi для x ∈ Uρ;
б) f(t + θm, x, y) збiгається до g(t, x, y) на осi у w-топологiї рiвномiрно вiдносно x, y ∈
∈ Uρ;
в) послiдовнiсть функцiй ξm0 = {ξm(θ), θ ∈ [−h, 0]} збiгається у w-топологiї при m →
→ ∞ до деякої функцiї ζ0. Iснування граничної функцiї показано в лемi 1 [18].
Кожна з функцiй ξm0 має скiнченну множину Ξm точок розривiв, якi вiдповiдають точ-
кам перетину ξ(t + θm) з поверхнями t = τj(x) на вiдрiзках [θm − h, θm]. Припускаємо,
що граничнi точки об’єднання множин Ξm рiвномiрно вiддiленi вiд нуля. Якщо таке при-
пущення не виконується, то замiсть послiдовностi функцiй ξm0 можна взяти послiдовнiсть
функцiй ξmν з деяким ν > 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
540 Ю. М. МИСЛО, В. I. ТКАЧЕНКО
Тому для δ1 i додатного δ2 ≤ θ/4 iснує натуральне число k0 = k0(δ2) таке, що для
k ≥ m ≥ k0 виконується ρ(ξk0 , ξ
m
0 ) ≤ δ1, ‖Ii+α(k)(x)− Ii+α(m)(x)‖ < δ2 i
‖f(t+ θk, x, y)− f(t+ θm, x, y)‖ < δ2,
|τi+α(k)(x)− θk − τi+α(m)(x) + θm| < δ2
для всiх x, y ∈ Uρ, t ∈ R, i ∈ Z.
Позначимо через η(t) розв’язок системи (7), (9) з початковою функцiєю η0 = ξk0 .
Оскiльки система (7), (9) рiвномiрно асимптотично стiйка, то
‖ξm(t)− η(t)‖ < ε/2 (12)
для всiх t ≥ 0, |t− τmj | > ε/2, i
‖ξm(t)− η(t)‖ < δ1/2 (13)
для всiх t ≥ T (ε)− h, |t− τmj | > δ1/2, де τmj , як i ранiше, задовольняє (10).
Оцiнимо рiзницю η(t)− ξk(t) на iнтервалi t ∈ [0, T (ε)]. Функцiя ξk(t) задовольняє сис-
тему рiвнянь
ẏ(t) = f(t+ θk, y(t), y(t− h)),
y(τkj + 0) = y(τkj ) + Ij+α(k)(y(τkj )), j ∈ Z,
де τkj визначається з рiвностi τkj = tj+α(k)(ξ
k(τkj ))− θk, j ∈ Z.
Рiзниця η(t)− ξk(t) задовольняє iнтегральне рiвняння
η(t)− ξk(t) = η(0)− ξk(0)+
+
t∫
0
(
f(s+ θm, η(s), η(s− h))− f(s+ θk, ξ
k(s), ξk(s− h))
)
ds+
+
∑
0<τηj <t
Ij+α(m)(η(τηj ))−
∑
0<τkj <t
Ij+α(k)(ξ
k(τkj )), (14)
де τηj визначається з рiвностi τηj = τj+α(m)(η(τηj ))− θm, j ∈ Z.
Позначимо τ ′j = min{τηj , τkj }, τ ′′j = max{τηj , τkj } i розглянемо множини на прямiй
J = ∪
j
Jj , Jj =
(
τ ′′j , τ
′
j+1
]
, I = ∪
j
Ij , Ij =
(
τ ′j , τ
′′
j
]
.
З (11) випливають оцiнки∣∣∣τηj − pj(η(τηj ))
∣∣∣ ≤ δ2,
∣∣∣τkj − pj(ξk(τkj ))
∣∣∣ ≤ δ2
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
АСИМПТОТИЧНО МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯНЬ . . . 541
для k ≥ m ≥ k0 i j = 1, 2, . . . . Тому
|τηj − τ
k
j | ≤ |τ
η
j − pj(η(τηj ))|+ |pj(η(τηj ))− pj(ξk(τkj ))|+
+ |τkj − pj(ξk(τkj ))| ≤ 2δ2 +N1‖η(τηj )− ξk(τkj )‖.
Виконуються нерiвностi
‖η(τηj )− ξk(τkj )‖ ≤
2M0δ2 + ‖η(τ ′j)− ξk(τ ′j)‖
1−M0N1
, (15)
|τηj − τ
k
j | ≤
2δ2 +N1‖η(τ ′j)− ξk(τ ′j)‖
1−M0N1
. (16)
Дiйсно, якщо τηj < τkj , то
‖η(τηj )− ξk(τkj )‖ ≤ ‖η(τηj )− ξk(τηj )‖+ ‖ξk(τηj )− ξk(τkj )‖ ≤
≤ ‖η(τηj )− ξk(τηj )‖+
τkj∫
τηj
‖f(s, ξk(s), ξk(s− h))‖ ds ≤
≤ ‖η(τηj )− ξk(τηj )‖+M0(2δ2 +N1‖η(τηj )− ξk(τkj )‖),
звiдки отримуємо (15) i (16). Зауважимо, що при наших припущеннях i досить малому
δ2 на вiдрiзку [τηj , τ
k
j ) розв’язок ξ(t) не має перетинiв з поверхнями τj(x). При τηj > τkj
доведення аналогiчне.
Враховуючи рiвнiсть початкових функцiй η0 = ξk0 , з (14) отримуємо
‖η(t)− ξk(t)‖ ≤
t∫
0
‖f(s+ θm, η(s), η(s− h))− f(s+ θm, ξ
k(s), η(s− h))‖ds+
+
t∫
0
‖f(s+ θm, ξ
k(s), η(s− h))− f(s+ θm, ξ
k(s), ξk(s− h))‖ ds+
+
t∫
0
‖f(s+ θm, ξ
k(s), ξk(s− h))− f(s+ θk, ξ
k(s), ξk(s− h))‖ds+
+
∥∥∥∥∥∥∥
∑
0<τηj <t
Ij+α(m)(η(τηj ))−
∑
0<τkj <t
Ij+α(k)(ξ
k(τkj ))
∥∥∥∥∥∥∥ = i1 + i2 + i3 + s1. (17)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
542 Ю. М. МИСЛО, В. I. ТКАЧЕНКО
Оцiнимо iнтеграли i суми в (17) при t ∈ J :
i1 =
∫
[0,t]∩J
‖f(s+ θm, η(s), η(s− h))− f(s+ θm, ξ
k(s), η(s− h))‖ds+
+
∫
[0,t]∩I
‖f(s+ θm, η(s), η(s− h))− f(s+ θm, ξ
k(s), η(s− h))‖ds ≤
≤ L1
∫
[0,t]∩J
‖η(s)− ξk(s)‖ds+ 2M0
∑
τ ′j ,τ
′′
j ∈(0,t)
|τ ′′j − τ ′j |,
i2 =
t−h∫
−h
‖f(s+ h+ θm, ξ
k(s+ h), η(s))− f(s+ h+ θm, ξ
k(s+ h), ξk(s))‖ds ≤
≤ L1
∫
[0,t−h]∩J
‖η(s)− ξk(s)‖ds+ 2M0
∑
0<τ ′j<t−h
|τ ′′j − τ ′j |+ L1
0∫
−h
‖η0 − ξk0‖ds,
i3 ≤
t∫
0
δ2ds.
Оскiльки виконуються нерiвностi
‖Ij+α(m)(η(τηj ))− Ij+α(k)(ξ
k(τkj ))‖ ≤ ‖Ij+α(m)(η(τηj ))− Ij+α(m)(ξ
k(τkj ))‖+
+ ‖Ij+α(m)(ξ
k(τkj ))− Ij+α(k)(ξ
k(τkj ))‖ ≤ L1‖η(τηj )− ξk(τkj )‖+ δ2,
то з урахуванням (15)
s1 ≤
∑
0<τ ′j<t
L1
1−M0N1
‖η(τ ′j)− ξk(τ ′j)‖+ δ2
(
2L1M0
1−M0N1
+ 1
)(
T (ε)
θ
+ 1
)
.
В результатi для t ∈ J отримуємо
‖η(t)− ξk(t)‖ ≤ 2L1
t∫
0
‖η(s)− ξk(s)‖ds+ δ2M1 +
∑
0<τ ′j<t
L1 + 4M0N1
1−M0N1
‖η(τ ′j)− ξk(τ ′j)‖,
де
M1 =
(
8M0 + 2M0L1
1−M0N1
+ 1
)(
T (ε)
θ
+ 1
)
+ T (ε).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
АСИМПТОТИЧНО МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯНЬ . . . 543
Використовуючи лему Гронуолла для iмпульсних систем [11, c. 12], маємо
‖η(t)− ξk(t)‖ ≤ δ2M1
(
1 +
L1 + 4M0N1
1−M0N1
)T (ε)
θ
+1
e2L1T (ε) (18)
для t ∈ [0, T (ε)], t 6∈ (τ ′j , τ
′′
j ]. Виберемо δ2 так, щоб права частина (18) була меншою за
δ1/2. Отже,
‖η(t)− ξk(t)‖ < δ1
2
, t ∈ [0, T (ε)], t 6∈ (τ ′j , τ
′′
j ]. (19)
Також будемо вимагати виконання нерiвностi |τ ′j − τ ′′j | < δ1/2, що досягається вибором
δ2, яке згiдно з (16) задовольняє умову
2δ2 +N1‖η(τ ′j)− ξk(τ ′j)‖
1−M0N1
≤ δ1
2
,
або δ2 ≤ δ1(1−N1 −N1M0)/4.
З (12) i (19) отримуємо∥∥∥ξm(t)− ξk(t)
∥∥∥ ≤ ‖ξm(t)− η(t)‖+
∥∥∥η(t)− ξk(t)
∥∥∥ < ε
для t ∈ [0, T (ε)], |t − τkj | > ε/2, |t − τmj | > ε/2. Зауважимо, що з (12), (15) i (19) випливає
|τkj − τmj | < ε. Вiдповiдно з (13) i (19) одержуємо
ρ
(
ξmT (ε), ξ
k
T (ε)
)
< δ1.
Повторюючи наведенi вище аргументи, доводимо, що при k ≥ m ≥ k0 виконується
‖ξm(t)− ξk(t)‖ < ε для t ∈ [T (ε), 2T (ε)], |t− τkj | > ε/2, |t− τmj | > ε/2 i далi
‖ξm(t)− ξk(t)‖ < ε, t ∈ [qT (ε), (q + 1)T (ε)], |t− τkj | > ε/2, |t− τmj | > ε/2.
Отже, ми встановили нерiвнiсть
‖ξm(t)− ξk(t)‖ < ε
для всiх t ≥ 0, |t−τkj | > ε/2, |t−τmj | > ε/2, причому |τkj −τmj | < ε.Функцiя ξ(t) асимптотич-
но майже перiодична. За теоремою 1 система (1), (2) має w-майже перiодичний розв’язок
p(t).
2. Доведемо, що w-майже перiодичний розв’язок p(t) є асимптотично стiйким при t ≥
≥ 0. Як показано в теоремi 1, iснує така послiдовнiсть {θm}, що ξ(t + θm) → p(t) рiвно-
мiрно по t ≥ 0 у w-топологiї.
Для послiдовностi {θm} виконується умова f(t + θm, x, y) → f(t, x, y) рiвномiрно по
t ∈ R i x, y ∈ Uρ, а також iснує послiдовнiсть цiлих чисел {α(k)}k∈Z така, що
lim
m→∞
(τn+α(m)(x)− θm) = τn(x)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
544 Ю. М. МИСЛО, В. I. ТКАЧЕНКО
рiвномiрно по n ∈ Z, x ∈ Uρ.
Оскiльки розв’язок ξ(t) системи (1), (2) рiвномiрно стiйкий, то розв’язок ξm(t) = ξ(t+
+θm) системи (7), (9) з початковою функцiєю ξt0+θm рiвномiрно стiйкий з тими ж пара-
метрами (ε, δ(ε)), що i ξ(t).
Для фiксованого t0 ∈ R, якщо m є досить великим, ρ(ξmt0 , pt0) <
1
2
δ(ε/2). Нехай ϕ
таке, що
ρ(ϕ, pt0) <
1
2
δ(ε/2), (20)
i x(t) — такий розв’язок системи (1), (2), що xt0+θm = ϕ. Вiдповiдно xm(t) = x(t + θm)
— розв’язок системи (7), (9) з початковою умовою xmt0 = ϕ. Оскiльки ξm(t) рiвномiрно
стiйкий i
ρ(ξmt0 , x
m
t0 ) ≤ ρ(ξmt0 , pt0) + ρ(pt0 , ϕ) < δ(ε/2),
то
‖ξm(t)− xm(t)‖ < ε
2
, t ≥ t0, |t− τmj | >
ε
2
, (21)
де τmj , як i ранiше, визначається рiвнiстю (10).
Виберемо довiльне T1 > 0. Iснує пiдпослiдовнiсть послiдовностi {θm} (яку ми зно-
ву позначимо {θm}) така, що xm(t) збiгається на iнтервалi [t0, t0 + T1] у w-топологiї до
розв’язку y(t) системи (1), (2) з початковими значеннями (t0, ϕ). Тодi при досить великих
m виконується
‖xm(t)− y(t)‖ < ε/4, t ∈ [t0, t0 + T1], |t− τyj | > ε/4, (22)
‖ξm(t)− p(t)‖ < ε/4, t ∈ [t0, t0 + T1], |t− pj | > ε/4, (23)
де τyj — точки перетину розв’язку y(t) з поверхнями t = τj(x).
З нерiвностей (21) – (23) отримуємо
‖p(t)− y(t)‖ ≤ ‖p(t)− ξm(t)‖+ ‖ξm(t)− xm(t)‖+ ‖xm(t)− y(t)‖ < ε
для t ∈ [t0, t0 + T1], |t− pj | > ε.
Оскiльки T1 довiльне, отримуємо нерiвнiсть
‖p(t)− y(t)‖ < ε, t ∈ [t0,∞), |t− pj | > ε
для розв’язку y(t) з початковою умовою y(θ) = ϕ(θ), t0 − h ≤ θ ≤ t0, яка задовольняє
(20). Це доводить рiвномiрну стiйкiсть розв’язку p(t).
Доведемо тепер рiвномiрну асимптотичну стiйкiсть p(t). Якщо розв’язок ξ(t) рiвно-
мiрно асимптотично стiйкий, то ξm(t) теж рiвномiрно асимптотично стiйкий розв’язок
системи (7), (9) з тими ж параметрами (δ0, ε, T (ε)), що i ξ(t). При досить великих m маємо
ρ(ξmt0 , pt0) < δ0/2.
Розглянемо розв’язок x(t) системи (1), (2) такий, що xt0+θm = ϕ, де початкова функ-
цiя ϕ задовольняє ρ(ϕ, pt0) < δ0/2. Тодi xm(t) = x(t + θm) є розв’язком системи (7), (9) з
початковою функцiєю xmt0 = ϕ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
АСИМПТОТИЧНО МАЙЖЕ ПЕРIОДИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯНЬ . . . 545
Оскiльки ρ(ξmt0 , ϕ) ≤ ρ(ξmt0 , pt0) + ρ(pt0 , ϕ) < δ0, а розв’язок ξm(t) рiвномiрно асимпто-
тично стiйкий, то
‖ξm(t)− xm(t)‖ < ε/2, t ≥ t0 + T (ε/2), |t− τmj | > ε/2. (24)
Зафiксуємо довiльне T1 > 0. Iснує пiдпослiдовнiсть послiдовностi xm(t) (її знову по-
значимо xm(t)), яка збiгається у w-топологiї на iнтервалi [t0 + T (ε/2), t0 + T (ε/2) + T1] до
розв’язку y(t) системи (1), (2) з початковою умовою y(θ) = ϕ(θ), t0 − h ≤ θ ≤ t0. Тому
при досить великих m виконується
‖xm(t)− y(t)‖ < ε/4, t ∈ [t0 + T (ε/2), t0 + T (ε/2) + T1], |t− τyj | > ε/4, (25)
‖ξm(t)− p(t)‖ < ε/4, t ∈ [t0 + T (ε/2), t0 + T (ε/2) + T1], |t− pj | > ε/4. (26)
З нерiвностей (24) – (26) отримуємо
‖p(t)− y(t)‖ ≤ ‖p(t)− ξm(t)‖+ ‖ξm(t)− xm(t)‖+ ‖xm(t)− y(t)‖ < ε
для t ∈ [t0 + T (ε/2), t0 + T (ε/2) + T1], |t− pj | > ε.
Оскiльки T1 довiльне, одержуємо нерiвнiсть
‖p(t)− y(t)‖ ≤ ε, t ∈ [t0 + T (ε/2),∞), |t− pj | > ε.
Звiдси випливає рiвномiрна асимптотична стiйкiсть майже перiодичного розв’язку p(t).
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. Hakl R., Pinto M., Tkachenko V., Trofimchuk S. Almost periodic evolution systems with impulse action at
state-dependent moments // J. Math. Anal. and Appl. — 2017. — 446. — P. 1030 – 1045.
2. Henriquez H. R., De Andrade B., Rabelo M. Existence of almost periodic solutions for a class of abstract
impulsive differential equations // ISRN Math. Anal. — 2011. — Article ID 632687. — 21 p.
3. Pinto M., Robledo G. Existence and stability of almost periodic solutions in impulsive neural network
models // Appl. Math. and Comput. — 2010. — 217, № 8. — P. 4167 – 4177.
4. Samoilenko A. M., Trofimchuk S. I. Almost periodic impulsive systems // Different. Equat. — 1993. — 29. —
P. 684 – 691.
5. Stamov G. T. Almost periodic solutions of impulsive differential equations // Lect. Notes Math. — 2012. —
2047. — xx+217 p.
6. Tkachenko V. Almost periodic solutions of parabolic type equations with impulsive action // Funct. Different.
Equat. — 2014. — 21, № 3 – 4. — P. 155 – 169.
7. Tkachenko V. I. Exponential dichotomy and existence of almost periodic solutions of impulsive differential
equations // J. Math. Sci. — 2016. — 212, № 4. — P. 490 – 502.
8. Tkachenko V. Almost periodic solutions of evolution differential equations with impulsive action // Mathe-
matical Modeling and Applications in Nonlinear Dynamics. – New York: Springer, 2016. — P. 161 – 205.
9. Wang Q., Zhang H., Ding M., Wang Z. Global attractivity of the almost periodic solution of a delay logistic
population model with impulses // Nonlinear Anal. — 2010. — 73. — P. 3688 – 3697.
10. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. — М.: Мир, 1971. — 310 с.
11. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A. Impulsive differential equations. — Singapore: World Sci. Publ., 1995. —
x+462 p.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
546 Ю. М. МИСЛО, В. I. ТКАЧЕНКО
12. Yoshizawa T. Asymptotically almost periodic solutions of an almost periodic system // Funkc. ekvacioj. —
1969. — 12. – P. 23 – 40.
13. Myslo Yu. M., Tkachenko V. I. Global attractivity in almost periodic single species models // Funct. Different.
Equat. — 2011. — 18, № 3 – 4. — P. 269 – 278.
14. Samoilenko A. M., Perestyuk N. A., Trofimchuk S. I. Generalized solutions of impulse systems and the
phenomenon of pulsations // Ukr. Math. J. — 1991. — 43, № 4. — P. 610 – 615.
15. Liu X., Ballinger G. Existence and continuability of solutions for differential equations with delays and
state-dependent impulses // Nonlinear Anal.: Theory, Meth. and Appl. — 2004. — 51, № 4. — P. 633 – 647.
16. Akhmetov M. U., Perestyuk N. A. Periodic and almost periodic solutions of strongly nonlinear impulse
systems // J. Appl. Math. and Mech. — 1992. — 56, № 6. — P. 829 – 837.
17. Самойленко А. М., Трофимчук С. И. Неограниченные функции с почти периодическими разностями
// Укр. мат. журн. — 1991. — 43, № 10. — С. 1409 – 1413.
18. Перестюк Н. А., Ахметов М. У. О почти периодических решениях импульсных систем // Укр. мат.
журн. — 1987. — 39, № 1. — С. 74 – 80.
19. Fink A. M. Almost periodic differential equations // Lect. Notes Math. — 1974. — 377. — 336 p.
20. Samoilenko A. M., Trofimchuk S. I. Spaces of piecewise-continuous almost-periodic functions and almost-
periodic sets on the line. I // Ukr. Math. J. — 1991. — 43, № 11. — P. 1501 – 1506.
Одержано 20.05.16
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
|