Наближений синтез розподіленого оптимального керування для гіперболічного рівняння зі швидкоколивними коефіцієнтами
Рассматривается задача нахождения приближенной формы оптимального управления в форме обратной связи (синтеза) для линейно квадратической задачи, состоящей из гиперболического уравнения с быстроколеблющимися коэффициентами и распределенным управлением в правой части, и квадратического критерия качест...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177289 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Наближений синтез розподіленого оптимального керування для гіперболічного рівняння зі швидкоколивними коефіцієнтами / О.В. Перегуда, А.В. Русіна // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 547-554 — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177289 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772892021-02-15T01:26:16Z Наближений синтез розподіленого оптимального керування для гіперболічного рівняння зі швидкоколивними коефіцієнтами Перегуда, О.В. Русіна, А.В. Рассматривается задача нахождения приближенной формы оптимального управления в форме обратной связи (синтеза) для линейно квадратической задачи, состоящей из гиперболического уравнения с быстроколеблющимися коэффициентами и распределенным управлением в правой части, и квадратического критерия качества. На основании точной формулы синтеза обоснована его приближенная форма, заключающаяся в замене быстроколеблющихся параметров на усредненные. We consider the problem of finding an approximation of an optimal control, with respect to a quadratic type quality criterion, in the form of a feedback for a linear-quadratic problem that consists of a hyperbolic equation with rapidly oscillating coefficients and a distributed control in the right-hand side. On the basis of an exact synthesis formula, an approximate form of the synthesis is substantiated; it is obtained by replacing the fast changing variables and making averaging. 2016 Article Наближений синтез розподіленого оптимального керування для гіперболічного рівняння зі швидкоколивними коефіцієнтами / О.В. Перегуда, А.В. Русіна // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 547-554 — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177289 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Рассматривается задача нахождения приближенной формы оптимального управления в форме обратной связи (синтеза) для линейно квадратической задачи, состоящей из гиперболического уравнения с быстроколеблющимися коэффициентами и распределенным управлением в правой части, и квадратического критерия качества. На основании точной формулы синтеза обоснована его приближенная форма, заключающаяся в замене быстроколеблющихся параметров на усредненные. |
| format |
Article |
| author |
Перегуда, О.В. Русіна, А.В. |
| spellingShingle |
Перегуда, О.В. Русіна, А.В. Наближений синтез розподіленого оптимального керування для гіперболічного рівняння зі швидкоколивними коефіцієнтами Нелінійні коливання |
| author_facet |
Перегуда, О.В. Русіна, А.В. |
| author_sort |
Перегуда, О.В. |
| title |
Наближений синтез розподіленого оптимального керування для гіперболічного рівняння зі швидкоколивними коефіцієнтами |
| title_short |
Наближений синтез розподіленого оптимального керування для гіперболічного рівняння зі швидкоколивними коефіцієнтами |
| title_full |
Наближений синтез розподіленого оптимального керування для гіперболічного рівняння зі швидкоколивними коефіцієнтами |
| title_fullStr |
Наближений синтез розподіленого оптимального керування для гіперболічного рівняння зі швидкоколивними коефіцієнтами |
| title_full_unstemmed |
Наближений синтез розподіленого оптимального керування для гіперболічного рівняння зі швидкоколивними коефіцієнтами |
| title_sort |
наближений синтез розподіленого оптимального керування для гіперболічного рівняння зі швидкоколивними коефіцієнтами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177289 |
| citation_txt |
Наближений синтез розподіленого оптимального керування для гіперболічного рівняння зі швидкоколивними коефіцієнтами / О.В. Перегуда, А.В. Русіна // Нелінійні коливання. — 2016. — Т. 19, № 4. — С. 547-554 — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT peregudaov nabliženijsintezrozpodílenogooptimalʹnogokeruvannâdlâgíperbolíčnogorívnânnâzíšvidkokolivnimikoefícíêntami AT rusínaav nabliženijsintezrozpodílenogooptimalʹnogokeruvannâdlâgíperbolíčnogorívnânnâzíšvidkokolivnimikoefícíêntami |
| first_indexed |
2025-07-15T15:19:54Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:19:54Z |
| _version_ |
1837726743289397248 |
| fulltext |
УДК 517.9
НАБЛИЖЕНИЙ СИНТЕЗ РОЗПОДIЛЕНОГО ОПТИМАЛЬНОГО
КЕРУВАННЯ ДЛЯ ГIПЕРБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ
ЗI ШВИДКОКОЛИВНИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ
О. В. Перегуда, А. В. Русiна
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
вул. Володимирська, 64, Київ, 01601, Україна
e-mail: perol@ukr.net
rusina.alina@gmail.com
We consider the problem of finding an approximation of an optimal control, with respect to a quadratic
type quality criterion, in the form of a feedback for a linear-quadratic problem that consists of a hyperbolic
equation with rapidly oscillating coefficients and a distributed control in the right-hand side. On the basis
of an exact synthesis formula, an approximate form of the synthesis is substantiated; it is obtained by
replacing the fast changing variables and making averaging.
Рассматривается задача нахождения приближенной формы оптимального управления в форме
обратной связи (синтеза) для линейно квадратической задачи, состоящей из гиперболического
уравнения с быстроколеблющимися коэффициентами и распределенным управлением в правой
части, и квадратического критерия качества. На основании точной формулы синтеза обосно-
вана его приближенная форма, заключающаяся в замене быстроколеблющихся параметров на
усредненные.
Вступ. Для лiнiйно квадратичних нескiнченновимiрних задач оптимального керування
[1 – 3] однiєю з важливих проблем є побудова наближеного синтезу (керування у формi
оберненого зв’язку). У випадку наявностi швидкоколивних коефiцiєнтiв, зокрема при мо-
делюваннi процесiв у мiкронеоднорiдних середовищах, оптимальне керування сингуляр-
но залежить вiд малого параметра. Тому при побудовi наближених оптимальних регуля-
торiв природним є перехiд до усереднених характеристик. Для параболiчних та гiпербо-
лiчних рiвнянь у випадку зосередженого керування g(x)u(t), де функцiя g є фiксованою,
вiдповiднi результати для спецiальних критерiїв якостi одержано в [4] шляхом зведення
вихiдної задачi до скiнченновимiрної задачi оптимального керування. У випадку розподi-
леного керування u(t, x) редукцiя можлива лише для злiченної кiлькостi задач оптималь-
ного керування. Для параболiчного випадку аналiз такої задачi та побудову наближеного
синтезу проведено в [5]. У данiй статтi цей пiдхiд реалiзовано для гiперболiчної задачi з
розподiленим керуванням. На основi точної формули оптимального керування у формi
оберненого зв’язку обґрунтовано процедуру наближеного усередненого синтезу шляхом
замiни всiх швидкоколивних параметрiв на усередненi, а всiх нескiнченних сум на скiн-
ченнi.
Постановка задачi. Нехай Ω ⊂ Rn — обмежена область, ε ∈ (0, 1) — малий параметр.
У цилiндрi Q = (0, T )× Ω розглядається задача оптимального керування
ytt(t, x) = Aεy(t, x) + u(t, x), (t, x) ∈ Q,
c© О. В. Перегуда, А. В. Русiна, 2016
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4 547
548 О. В. ПЕРЕГУДА, А. В. РУСIНА
y|∂Ω = 0, (1)
y|t=0 = yε0, yt|t=0 = yε1,
J(y, u) =
∫
Ω
y2(T, x)dx+
∫
Q
u2(t, x)dtdx → inf, (2)
u ∈ L2(Q), (3)
де yε0 ∈ H1
0 (Ω), yε1 ∈ L2(Ω), Aε = div (aε∇), aε(x) = a
(x
ε
)
, a = ((aij)) — вимiрна, симет-
рична, перiодична матриця, що задовольняє умови рiвномiрної елiптичностi та обмеже-
ностi:
∃v1 > 0, v2 > 0 ∀ η, x ∈ Rn : v1
n∑
i=1
η2
i ≤
n∑
i,j=1
aij(x)ηiηj ≤ v2
n∑
i=1
η2
i . (4)
Вiдомо [1, с. 290], що задача (1) – (3) має єдиний розв’язок {yε, uε} у класiW (0, T )×L2(Q),
де
W (0, T ) =
{
y ∈ L2(0, T ;H1
0 (Ω))
∣∣∣∣ dydt ∈ L2(0, T ;L2(Ω))
}
.
Метою статтi є побудова оптимального синтезу задачi (1) – (3) та обґрунтування його
наближеної формули за допомогою переходу до усереднених параметрiв.
Основнi результати. Далi через ‖·‖ i (·, ·) будемо позначати норму i скалярний добуток
в L2(Ω). Нехай {Xε
i }, {λεi}— розв’язки спектральної задачi
AεXε
i = −λεiXε
i ,
Xε
i |∂Ω = 0,
(5)
{Xε
i } ⊂ H1
0 (Ω) — ортонормований базис в L2(Ω), 0 < λε1 ≤ λε2 ≤ . . . , λεi → ∞, i → ∞.
Розв’язок задачi (1) – (3) шукаємо у виглядi
yε(t, x) =
∞∑
i=1
yεi (t)Xε
i (x), uε(t, x) =
∞∑
i=1
uεi (t)X
ε
i (x).
Тодi маємо злiченну систему одномiрних задач оптимального керування
ÿεi (t) = −λεiyεi (t) + uεi (t),
yεi (0) = (yε0, X
ε
i ), ẏεi (0) = (yε1, X
ε
i ), (6)
(yεi (T ))2 +
T∫
0
(uεi (t))
2dt → inf .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
НАБЛИЖЕНИЙ СИНТЕЗ РОЗПОДIЛЕНОГО ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 549
Оптимальний регулятор у кожнiй iз цих задач визначається за формулою [3] (гл. 4, § 6)
uεi (t) = Kε
1i(t)y
ε
i (t) +Kε
2i(t)ẏ
ε
i (t), (7)
де
Kε
1i(t) = −
bεi (t) cos
√
λεi (T − t)
1 +
∫ T
t (bεi (s))
2ds
, Kε
2i(t) = − 1√
λεi
bεi (t) sin
√
λεi (T − t)
1 +
∫ T
t (bεi (s))
2ds
, (8)
bεi (t) =
1√
λεi
sin
√
λεi (T − t).
Переходячи до вихiдної задачi, остаточно отримуємо оптимальне керування у формi обер-
неного зв’язку
uε(t, x, yε, yεt ) =
∞∑
i=0
(Kε
1i(t)(y
ε, Xε
i ) +Kε
2i(t)(y
ε
t , X
ε
i ))Xε
i (x). (9)
Нехай стала матриця a0 є усередненою для a
(x
ε
)
, A0 = div (a0∇), {λ0
i }, {X0
i } —
розв’язки спектральної задачi (5) при ε = 0, причому будемо вважати, що спектр A0 є
простим, тобто
0 < λ0
1 < λ0
2 < . . . < λ0
k <, . . . , λ
0
i → ∞, i → ∞. (10)
Тодi для довiльних i ≥ 1 справджуються граничнi рiвностi [6, с. 299]
λεi → λ0
i , Xε
i → X0
i в L2(Ω) при ε → 0. (11)
Будемо вважати виконаними умови збiжностi
yε0 → y0 слабко в H1
0 (Ω), yε1 → y1 слабко в L2(Ω) при ε → 0. (12)
Слiд зауважити, що клас симетричних матриць, що задовольняють умову (4), є компакт-
ним вiдносно G-збiжностi [6, с. 167]. Тодi наближений усереднений синтез має вигляд
u0
N (t, x, yεN , y
ε
Nt) =
N∑
i=0
(
K0
1i(t)(y
ε
N , X
0
i ) +K0
2i(t)(y
ε
Nt, X
0
i )
)
X0
i (x), (13)
де yεN (t, x) — розв’язок задачi (1) з керуванням (13), функцiї K0
1i, K
0
2i визначаються фор-
мулами (8), в яких коефiцiєнти λεi замiнено на λ0
i .
Основним результатом роботи є така теорема.
Теорема. Нехай для задачi (1) – (3) виконуються умови (4), (10), (12). Тодi формула
(13) є наближеним усередненим синтезом для задачi (1) – (3) в тому сенсi, що iснують
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
550 О. В. ПЕРЕГУДА, А. В. РУСIНА
η > 0, N ≥ 1 i ε ∈ (0, 1) такi, що
∥∥uε[·, ·, yε, yεt ]− u0
N [·, ·, yεN , yεNt]
∥∥
L2(Q)
< η ∀ N ≥ N ∀ ε ∈ (0, ε), (14)
‖yε − yεN‖C([0,T ];L2(Ω)) < η, (15)∣∣J(yε, uε[t, x, yε, yεt ])− J(yεN , u
0
N [t, x, yεN , y
ε
Nt])
∣∣ < η. (16)
Доведення. Розглянемо допомiжну задачу
ztt = Aεz + u0[t, x, z, zt],
z|∂Ω = 0, (17)
z|t=0 = yε0, zt|t=0 = yε1,
де u0 : [0, T ]× Ω×H1
0 (Ω)× L2(Ω) 7→ R задається рiвнiстю
u0[t, x, φ, ψ] =
∞∑
i=0
(
K0
1i(t)(φ,X
0
i ) +K0
2i(t)(ψ,X
0
i )
)
X0
i (x).
Оскiльки
|K0
1i(t)| ≤
1√
λ0
i
, |K0
2i(t)| ≤
1
λ0
i
, (18)
то з рiвностi Парсеваля випливає, що
‖u0[t, x, φ, ψ]‖2 ≤ 2
∞∑
i=0
(
1
λ0
i
(
φ,X0
i
)2
+
1
(λ0
i )
2
(
ψ,X0
i
)2) ≤ 2
(λ0
1)2
(
‖φ‖2H1
0
+ ‖ψ‖2
)
, (19)
∥∥u0[t, x, φ1, ψ1]− u0[t, x, φ2, ψ2]
∥∥2 ≤ 2
(λ0
1)2
(
‖φ1 − φ2‖2H1
0
+ ‖ψ1 − ψ2‖2
)
. (20)
Це означає, що задача (17) має єдиний розв’язок у класi W (0, T ), причому для нього
справджується рiвнiсть [7, с. 77]
1
2
d
dt
(
‖zεt ‖
2 + (aε∇zε,∇zε)
)
=
(
u0 [t, x, zε, zεt ] , zεt
)
. (21)
З (19) – (21) i леми Гронуолла виводимо оцiнку
sup
t∈[0,T ]
(
‖zεt (t)‖2 + ‖zε(t)‖2H1
0 (Ω)
)
≤ C1. (22)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
НАБЛИЖЕНИЙ СИНТЕЗ РОЗПОДIЛЕНОГО ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 551
Тут i далi сталi Ci залежать лише вiд параметрiв задачi (1) – (3) i не залежать вiд ε. Звiдси,
враховуючи (20), отримуємо, що
{zε} обмежена в L∞
(
0, T ;H1
0 (Ω)
)
,
{zεt } обмежена в L∞
(
0, T ;L2(Ω)
)
, (23)
{zεtt} обмежена в L∞
(
0, T ;H−1(Ω)
)
.
Тодi з теореми про компактнiсть [8] випливає, що iснує така функцiя z(t, x) ∈ W (0, T ),
що по пiдпослiдовностi
zε → z в C
(
[0, T ];L2(Ω)
)
∩ C
(
[0, T ];H1
0w(Ω)
)
,
zεt → zt в C
(
[0, T ];H−1(Ω)
)
∩ C
(
[0, T ];L2
w(Ω)
)
.
(24)
Оскiльки для будь-якого M ≥ 1
T∫
0
‖u0[t, x, zε, zεt ]− u0[t, x, z, zt]‖2dt ≤
≤ 2
M∑
i=1
T∫
0
(
1
λ0
i
(
zε(t)− z(t), X0
i
)2
+
1
(λ0
i )
2
(
zεt (t)− zt(t), X0
i
)2)
dt+
4C1T
λ0
M+1
,
то з (24) випливає, що
u0[t, x, zε, zεt ] → u0[t, x, z, zt] в L2(Q). (25)
Оcкiльки Aε G→ A0, то з результатiв [9] виводимо, що z — розв’язок задачi
ztt = A0z + u0[t, x, z, zt],
z|∂Ω = 0, (26)
z|t=0 = y0, zt|t=0 = y1,
причому, оскiльки задача (26) має єдиний розв’язок, збiжнiсть у (24) вiдбувається по всiй
послiдовностi i
J
(
zε, u0[t, x, zε, zεt ]
)
→ J
(
z, u0[t, x, z, zt]
)
, ε → 0. (27)
Далi, для рiзницi ωε
N = yεN − zε маємо задачу
ωε
Ntt = Aεωε
N +
N∑
i=0
(
K0
1i(t)(ω
ε
N , X
0
i ) +K0
2i(t)(ω
ε
Nt, X
0
i )
)
X0
i (x) + f εN (t, x),
ωε
N |∂Ω = 0, (28)
ωε
N |t=0 = 0, ωε
Nt|t=0 = 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
552 О. В. ПЕРЕГУДА, А. В. РУСIНА
де
f εN (t, x) = −
∞∑
i=N+1
(
K0
1i(t)(z
ε, X0
i ) +K0
2i(t)(z
ε
t , X
0
i )
)
X0
i (x).
Застосовуючи рiвнiсть Парсеваля та (22), отримуємо оцiнку
‖f εN (t, x)‖2 ≤ 2
∞∑
i=N+1
(
K0
1i(t)
)2
(zε, X0
i )2 +
∞∑
i=N+1
(
K0
2i(t)
)2
(zεt , X
0
i )2 ≤
≤ 2
(λ0
N+1)2
( ∞∑
i=N+1
(zε, X0
i )2
H1
0
+
∞∑
i=N+1
(zεt , X
0
i )2
)
≤ 2C1
(λ0
N+1)2
. (29)
Тодi з (28) та леми Гронуолла випливає, що
sup
t∈[0,T ]
(
‖ωε
Nt(t)‖2 + ‖ωε(t)‖2H1
0
)
≤ C2
(λ0
N+1)2
. (30)
Звiдси i з (19) остаточно маємо
sup
t∈[0,T ]
(
‖ωε
Nt(t)‖2 + ‖ωε
N (t)‖2H1
0
)
+
T∫
0
‖u0
N [t, x, yεN , y
ε
Nt]− u0[t, x, zε, zεt ]‖2dt ≤ C3
(λ0
N+1)2
. (31)
З огляду на (27) i (31) залишилось показати, що для процесiв {yε, uε[t, x, yε, yεt ]} та
{z, u0[t, x, z, zt]} виконуються нерiвностi (14) – (16). Спочатку зауважимо, що задача опти-
мального керування (1) – (3) при ε = 0 має єдиний розв’язок {y0, u0}, причому оптималь-
не керування u0 = u0[t, x, y0, y0
t ] визначається формулами (7) – (9) при ε = 0.
Таким чином, внаслiдок єдиностi z ≡ y0.
Оскiльки для uε[t, x, yε, yεt ] справджуються оцiнки (18) – (20) з {Xε
i }, {λεi} замiсть {X0
i },
{λ0
i }, то yε задовольняє (23).
Отже, iснує така функцiя y ∈ W (0, T ), що по пiдпослiдовностi
yε → y в C
(
[0, T ];L2(Ω)
)
∩ C
(
[0, T ];H1
0w(Ω)
)
,
yεt → yt в C
(
[0, T ];H−1(Ω)
)
∩ C
(
[0, T ];L2
w(Ω)
)
,
(32)
де H1
0w(Ω) та L2
w(Ω) — простори H1
0 (Ω) та L2(Ω) зi слабкою топологiєю.
З (11) маємо, що Kε
ji → K0
ji в C([0, T ]) при ε → 0, j = 1, 2, тому з (11), (32) i теореми
Лебега для будь-якого M > 1 отримуємо
M∑
i=1
(Kε
1i(t)(y
ε, Xε
i ) +Kε
2i(t)(y
ε
t , X
ε
i ))Xε
i (x) →
→
M∑
i=1
(
K0
1i(t)(y,X
0
i ) +K0
2i(t)(yt, X
0
i )
)
X0
i (x) в L2(Q). (33)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
НАБЛИЖЕНИЙ СИНТЕЗ РОЗПОДIЛЕНОГО ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ . . . 553
Крiм того,
T∫
0
∥∥∥∥∥
∞∑
i=M+1
(
K0
1i(t)(y,X
0
i ) +K0
2i(t)(yt, X
0
i )
)
X0
i
∥∥∥∥∥
2
dt ≤ C4
(λ0
M+1)2
. (34)
Використовуючи оптимальнiсть uε, маємо
ξεM (t, x) :=
∞∑
i=M+1
(Kε
1i(t)(y
ε(t), Xε
i ) +Kε
2i(t)(y
ε
t (t), Xε
i ))Xε
i =
∞∑
i=M+1
uεi (t)X
ε
i (x),
де з (6) випливає, що
uεi (t) = − bεi (t)
1 +
∫ T
0 (bεi (s))
2ds
(
(yε0, X
ε
i ) cos
√
λεi (T − t) +
(yε1, X
ε
i )√
λεi
sin
√
λεi (T − t)
)
. (35)
Звiдси для будь-якого t ∈ [0, T ] маємо
|uεi (t)|2 ≤ C5
(
(yε0, X
ε
i )2 +
1
λεi
(yε1, X
ε
i )2
)
. (36)
На пiдставi (12)
yε0 → y0 в L2(Ω), yε1 → y1 в H−1(Ω),
отже,
∞∑
i=1
(yε0, X
ε
i )2 →
∞∑
i=1
(y0, X
0
i )2,
∞∑
i=1
1
λεi
(yε1, X
ε
i )2 →
∞∑
i=1
1
λ0
i
(y1, X
0
i )2. (37)
З (35) – (37) виводимо, що для будь-якого η > 0 iснує M ≥ 1 таке, що для всiх достатньо
малих ε > 0 виконується нерiвнiсть
T∫
0
‖ξεM (t)‖2dt < η.
Звiдси i з (33), (34) одержуємо шукану збiжнiсть
uε[t, x, yε, yεt ] → u0[t, x, y, yt] в L2(Q).
Оcкiльки Aε G→ A0, то з [9] виводимо, що y ≡ z.
Теорему доведено.
Лiтература
1. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производ-
ными. — М.: Мир, 1972. — 416 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
554 О. В. ПЕРЕГУДА, А. В. РУСIНА
2. Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределенными системами. — Новосибирск: Науч. книга,
1999. — 350 с.
3. Егоров А. И. Оптимальное управление линейными системами. — Киев: Вища шк., 1988. — 278 с.
4. Kapustyan O. V., Kapustian O. A., Sukretna A. V. Approximate bounded synthesis for distributed systems. —
Saarbrucken: Lambert Acad. Publ., 2013. — 235 p.
5. Капустян О. В., Русiна А. В. Наближений синтез розподiленого обмеженого керування в параболiч-
нiй задачi зi швидкоосцилюючими коефiцiєнтами // Укр. мат. журн. — 2015. — 67, № 3. — С. 355 – 365.
6. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. — М.: Физмат-
лит, 1993. — 464 с.
7. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. — New York: Springer, 1993. —
530 p.
8. Simon J. Compact sets in the space Lp(0, T ;B) // Ann. mat. pura ed appl. — 1986. — 146, № 1. — P. 65 – 96.
9. Colombini F., Spagnolo S. On the convergence of solutions of hyperbolic equations // Communs Partial
Different. Equat. — 1978. — 3, № 1. — P. 77 – 103.
Одержано 22.02.16,
пiсля доопрацювання — 23.03.16
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2016, т . 19, N◦ 4
|