Об асимптотических свойствах решений некоторых функциональных уравнений
Встановлено новi властивостi розв’язкiв функцiональних рiвнянь зi сталим запiзненням i лiнiйно перетвореним аргументом.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177291 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об асимптотических свойствах решений некоторых функциональных уравнений / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 32-52 — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177291 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772912021-02-15T01:26:21Z Об асимптотических свойствах решений некоторых функциональных уравнений Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. Встановлено новi властивостi розв’язкiв функцiональних рiвнянь зi сталим запiзненням i лiнiйно перетвореним аргументом. We find new properties of solutions of functional equations with constant delays and linearly transformed argument. 2017 Article Об асимптотических свойствах решений некоторых функциональных уравнений / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 32-52 — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177291 517.929 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено новi властивостi розв’язкiв функцiональних рiвнянь зi сталим запiзненням i лiнiйно перетвореним аргументом. |
| format |
Article |
| author |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. |
| spellingShingle |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. Об асимптотических свойствах решений некоторых функциональных уравнений Нелінійні коливання |
| author_facet |
Бельский, Д.В. Пелюх, Г.П. |
| author_sort |
Бельский, Д.В. |
| title |
Об асимптотических свойствах решений некоторых функциональных уравнений |
| title_short |
Об асимптотических свойствах решений некоторых функциональных уравнений |
| title_full |
Об асимптотических свойствах решений некоторых функциональных уравнений |
| title_fullStr |
Об асимптотических свойствах решений некоторых функциональных уравнений |
| title_full_unstemmed |
Об асимптотических свойствах решений некоторых функциональных уравнений |
| title_sort |
об асимптотических свойствах решений некоторых функциональных уравнений |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177291 |
| citation_txt |
Об асимптотических свойствах решений некоторых функциональных уравнений / Д.В. Бельский, Г.П. Пелюх // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 32-52 — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT belʹskijdv obasimptotičeskihsvojstvahrešenijnekotoryhfunkcionalʹnyhuravnenij AT pelûhgp obasimptotičeskihsvojstvahrešenijnekotoryhfunkcionalʹnyhuravnenij |
| first_indexed |
2025-07-15T15:20:03Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:20:03Z |
| _version_ |
1837726752558809088 |
| fulltext |
УДК 517.929
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Д. В. Бельский, Г. П. Пелюх
Ин-т математики НАН Украины
ул. Терещенковская, 3, Киев, 01004, Украина
We find new properties of solutions of functional equations with constant delays and linearly transformed
argument.
Встановлено новi властивостi розв’язкiв функцiональних рiвнянь зi сталим запiзненням i лiнiй-
но перетвореним аргументом.
В данной работе исследуется уравнение
x(t) = a1x(t− r1) + . . .+ an0x(t− rn0) + b1x(q1t) + . . .+ bn1x(qn1t), (1)
где {ak, bk} ⊂ R, rk > 0, 0 < qk < 1. Наиболее сложный случай n0 = n1 = 1, a1 = 1,
b1 = r1 изучен в [1], полученный там результат немного уточнен в [2].
Пусть Y (t) — решение задачи
Y (t) = a1Y (t− r1) + . . .+ an0Y (t− rn0) + 1, t ≥ 0,
Y (t) = 0, t < 0,
где 0 < r1 < r2 < . . . < rn0
df
= r < +∞. Функция Y (t), как известно [3] (гл. 12), удовле-
творяет условию
var
s∈[t−r,t]
Y (s) ≤ Keαt,
где α > sup {Re z |1− a1e−zr1 − . . .− ane−zrn0 = 0} df=αD.
Теорема 1. Пусть:
1) αD < 0 и r(t0)
df
= min{t0 − rk, qkt0} > 0;
2) параметры v ∈ R и j ∈ {0, 1, 2, . . .} удовлетворяют неравенствам
v > β
df
= sup
{
Reλ
∣∣∣∣ 1 =
b1e
λ ln q1 + . . .+ bn1e
λ ln qn1
1− a1 − . . .− an0
}
,
(
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
)(∣∣∣b1qj+v1
∣∣∣+ . . .+
∣∣bn1q
j+v
n1
∣∣) < 1.
c© Д. В. Бельский, Г. П. Пелюх, 2017
32 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 33
Тогда для j раз непрерывно дифференцируемых решений x(t) уравнения (1) справед-
лива оценка
∣∣∣x(m)(t)
∣∣∣ ≤ Km(t0, v)tv max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(m)(s)
∣∣∣ , . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣} , t ≥ r(t0),
где Km(t0, v), m = 0, j, — некоторые константы.
Доказательство. Последовательно дифференцируя левую и правую части уравнения
(1) j раз, получаем j + 1 дифференциальное уравнение
x(m)(t) = a1x
(m)(t− r1) + . . .+ an0x
(m)(t− rn0)+
+ b1q
m
1 x
(m)(q1t) + . . .+ bn1q
m
n1
x(m)(qn1t), m = 0, j.
Выполняя при m = j замену переменных x(j)(t) = tvy(t), получаем уравнение
y(t) = a1y(t− r1) + . . .+ an0y(t− rn0) + b1q
j+v
1 y(q1t) + . . .+ bn1q
j+v
n1
y(qn1t)+
+ a1
((
1− r1
t
)v
− 1
)
y(t− r1) + . . .+ an0
((
1− rn0
t
)v
− 1
)
y(t− rn0).
Запишем его в интегральной форме
y(t) = −a1
t0∫
t0−r1
[dθY (t− θ − r1)]ϕ(θ)− . . .− an0
t0∫
t0−rn0
[dθY (t− θ − rn0)]ϕ(θ)−
−
t∫
t0
[dθY (t− θ)]
(
b1q
j+v
1 y(q1θ) + . . .+ bn1q
j+v
n1
y(qn1θ)
)
+
+ b1q
j+v
1 y(q1t) + . . .+ bn1q
j+v
n1
y(qn1t)−
−
t∫
t0
[dθY (t− θ)]
(
a1
((
1− r1
θ
)v
− 1
)
×
×y(θ − r1) + . . .+ an0
((
1− rn0
θ
)v
− 1
)
y (θ − rn0)
)
+
+ a1
((
1− r1
t
)v
− 1
)
y(t− r1) + . . .+ an0
((
1− rn0
t
)v
− 1
)
y(t− rn0).
Разобьем правую часть последнего уравнения на три слагаемых и оценим каждое из них
отдельно, принимая во внимание, что по условию теоремы αD < 0:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
34 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
∣∣∣∣∣∣∣−a1
t0∫
t0−r1
[dθY (t− θ − r1)]ϕ(θ)− . . .− an0
t0∫
t0−rn0
[dθY (t− θ − rn0)]ϕ(θ)
∣∣∣∣∣∣∣ ≤ M sup
s∈[r(t0),t0]
|y(s)|,
где M — некоторая константа,
∣∣∣∣∣∣−
t∫
t0
[dθY (t− θ)]
(
b1q
j+v
1 y(q1θ) + . . .+ bn1q
j+v
n1
y(qn1θ)
)
+ b1q
j+v
1 y(q1t)+ . . .+bn1q
j+v
n1
y(qn1t)
∣∣∣∣∣∣≤
≤
(
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
)(∣∣∣b1qj+v1
∣∣∣+ . . .+
∣∣bn1q
j+v
n1
∣∣) sup
s∈[r(t0),t]
|y(s)|.
Пусть t0 ≥ T, где T — некоторый параметр. Обозначим
sup
t≥T
(
|a1|
∣∣∣(1− r1
t
)v
− 1
∣∣∣+ . . .+ |an0 |
∣∣∣(1− rn0
t
)v
− 1
∣∣∣) df
= l(T ),
тогда∣∣∣∣∣−
t∫
t0
[dθY (t− θ)]
(
a1
((
1− r1
θ
)v
− 1
)
y (θ − r1) + . . .+ an0
((
1− rn0
θ
)v
− 1
)
y (θ − rn0)
)
+
+ a1
((
1− r1
t
)v
− 1
)
y(t− r1) + . . .+ an0
((
1− rn0
t
)v
− 1
)
y(t− rn0)
∣∣∣∣∣ ≤
≤
(
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
)
l(T ) sup
s∈[r(t0),t]
|y(s)|.
Теперь можно записать оценку для y(t):
|y(t)| ≤ (M + 1) sup
s∈[r(t0),t0]
|y(s)|+
(
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
)
×
×
(∣∣∣b1qj+v1
∣∣∣+ . . .+
∣∣bn1q
j+v
n1
∣∣+ l(T )
)
sup
s∈[r(t0),t]
|y(s)|, t ≥ t0 ≥ T.
Функция в правой части является неубывающей, поэтому из последнего неравенства сле-
дует
sup
s∈[r(t0),t]
|y(s)| ≤ (M + 1) sup
s∈[r(t0),t0]
|y(s)|+
(
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
)
×
×
(∣∣∣b1qj+v1
∣∣∣+ . . .+
∣∣bn1q
j+v
n1
∣∣+ l(T )
)
sup
s∈[r(t0),t]
|y(s)|.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 35
Поскольку по условию теоремы(
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
)(∣∣∣b1qj+v1
∣∣∣+ . . .+
∣∣bn1q
j+v
n1
∣∣) < 1
и l(T ) → 0, T → +∞, то можем считать T настолько большим, что выполняется соотно-
шение (
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
)(∣∣b1qm+v
1
∣∣+ . . .+
∣∣bn1q
m+v
n1
∣∣+ l(T )
)
< 1.
Тогда имеем
sup
s∈[r(t0),t]
|y(s)| ≤ M + 1
1−
(
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
)(∣∣b1qm+v
1
∣∣+ . . .+
∣∣bn1q
m+v
n1
∣∣+ l(T )
) sup
s∈[r(t0),t0]
|y(s)|,
откуда получаем
∣∣∣x(j)(t)∣∣∣ ≤ Kj(T )
(
t
t0
)v
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣ , t ≥ r(t0),
где Kj(T ) — некоторая константа.
Далее, уравнение для производной (j − 1)-го порядка запишем в виде
x(j−1)(t) =
b1q
j−1
1 x(j−1)(q1t) + . . .+ bn1q
j−1
n1 x(j−1)(qn1t)
1− a1 − . . .− an0
+
+
a1
(
x(j−1)(t− r1)− x(j−1)(t)
)
+ . . .+ an0
(
x(j−1) (t− rn0)− x(j−1)(t)
)
1− a1 − . . .− an0
.
Для краткости обозначим
f(t)
df
=
a1
(
x(j−1) (t− r1)− x(j−1)(t)
)
+ . . .+ an0
(
x(j−1) (t− rn0)− x(j−1)(t)
)
1− a1 − . . .− an0
и соответственно
x(j−1)(t) =
b1q
j−1
1 x(j−1)(q1t) + . . .+ bn1q
j−1
n1 x(j−1)(qn1t)
1− a1 − . . .− an0
+ f(t). (2)
Оценим функцию f(t). Для этого запишем ее с помощью теоремы Лагранжа следую-
щим образом:
f(t) =
−a1x(j)(t− θ1,j(t)r1)r1 − . . .− an0x
(j)(t− θn0,j(t)rn0)rn0
1− a1 − . . .− an0
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
36 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
где 0 < θk,j(t) < 1, k = 1, n0. С учетом мажоранты для x(j)(t) функцию f(t) можно
оценить так:
|f(t)| ≤ |a1|r1 + . . .+ |an0 |rn0
1− a1 − . . .− an0
Kj(T ) sup
t≥T
((
1− r
t
)v
+ 1
) ( t
t0
)v
×
× sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣ df=Lj(T )
(
t
t0
)v
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣ .
Выполняя в уравнении (2) замену переменных x(j−1)(t) = tvy(t), получаем
y(t) =
b1q
j−1+v
1 y(q1t) + . . .+ bn1q
j−1+v
n1 y(qn1t)
1− a1 − . . .− an0
+ t−vf(t).
С помощью замены y(t) = z(ln t) перейдем к разностному уравнению
z(τ) =
b1q
j−1+v
1 z (τ + ln q1) + . . .+ bn1q
j−1+v
n1 z (τ + ln qn1)
1− a1 − . . .− an0
+e−vτf (eτ ) , τ = ln t ≥ τ0 = ln t0.
По условию теоремы v > β. Следовательно, для однородного разностного уравнения
w(τ) =
b1q
j−1+v
1 w (τ + ln q1) + . . .+ bn1q
j−1+v
n1 w (τ + ln qn1)
1− a1 − . . .− an0
верхняя граница действительных частей корней характеристического уравнения удовлет-
воряет условию
sup
{
Reλ
∣∣∣∣∣1 =
b1q
j−1+v
1 eλ ln q1 + . . .+ bn1q
j−1+v
n1 eλ ln qn1
1− a1 − . . .− an0
}
= β − v − (j − 1) < 0.
Следовательно, разностное уравнение для функции w(τ) асимптотически устойчиво.
Обозначим его фундаментальное решение символом Zv+j−1(τ) и запишем z(τ) в интег-
ральной форме
z(τ) =
b1q
j−1+v
1
1−
∑n0
j=1 aj
τ0∫
τ0+ln q1
[dθZv+j−1 (τ − θ + ln q1)] z (θ) + . . .
. . .+
bn1q
j−1+v
n1
1−
∑n0
j=1 aj
τ0∫
τ0+ln qn1
[dθZv+j−1 (τ − θ + ln qn1)] z(θ)−
−
τ∫
τ0
[dsZv+j−1(τ − s)] e−vsf (es) + e−vτf (eτ ) .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 37
Учитывая мажоранту для f(t), оцениваем модуль решения:
|z(τ)| ≤ Λj−1
1
tv0
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j−1)(s)∣∣∣+
(
var
s∈[0,+∞)
Zv+j−1(s) + 1
)
sup
s∈[τ0,τ ]
∣∣e−vsf (es)
∣∣ ≤
≤ Λj−1
1
tv0
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j−1)(s)∣∣∣+
(
var
s∈[0,+∞)
Zv+j−1(s) + 1
)
×
× Lj(T )
1
tv0
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣ , τ ≥ τ0,
где Λj−1 — некоторая константа, или
|y(t)| ≤ χj−1
1
tv0
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j−1)(s)∣∣∣+
(
var
s∈[0,+∞)
Zv+j−1(s) + 1
)
×
× Lj(T )
1
tv0
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣ , t ≥ r(t0),
где χj−1 — некоторая константа. Отсюда получаем
|y(t)| ≤
(
χj−1 +
(
var
s∈[0,+∞)
Zv+j−1(s) + 1
)
Lj(T )
)
1
tv0
×
×max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j−1)(s)∣∣∣ , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣} df
=
df
=Kj−1(T )
1
tv0
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j−1)(s)∣∣∣ , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣}
или окончательно
∣∣∣x(j−1)(t)∣∣∣ ≤ Kj−1(T )
(
t
t0
)v
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j−1)(s)∣∣∣ , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣} , t ≥ r(t0).
Действуя аналогичным образом в случае производных меньшего порядка, имеем
∣∣∣x(m)(t)
∣∣∣ ≤ Km(T )
(
t
t0
)v
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(m)(s)
∣∣∣ , . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣} ,
(3)
t ≥ r(t0), m = 0, j,
где Km(T ) — некоторые константы, зависящие только от параметра T.
Отметим, что величина T в приведенных рассуждениях удовлетворяла условию малос-
ти коэффициента l(T ), которое может быть вынесено в начало доказательства. Верхние
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
38 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
границы для коэффициентов Km(T ), m = 0, j, не зависят от T. Поскольку в этих рас-
суждениях t0 ≥ T является переменной величиной, а по условию теоремы эта величина
должна быть фиксирована, то из уравнений для производных x(m)(t), m = 0, j, могут
быть получены оценки
sup
s∈[r(t∗),t]
∣∣∣x(m)(s)
∣∣∣ ≤ sup
s∈[r(t∗),t∗]
∣∣∣x(m)(s)
∣∣∣+ ηm sup
s∈[r(t∗),t−r1]
∣∣∣x(m)(s)
∣∣∣ , t ≥ t∗ ≥ r1 + qmaxt∗,
где ηm — некоторые константы, qmax
df
= max{qk, k = 1, n1}.
Теорема 1 доказана.
Отдельно рассмотрим частный случай уравнения (1)
x(t) = a1x(t− r1) + . . .+ an0x(t− rn0) + bx(qt). (4)
Теорема 2. Пусть:
1) αD < 0, r(t0) > 0, b 6= 0 и v∗
df
=
1
ln q−1
ln
∣∣∣∣ b
1− a1 − . . .− an0
∣∣∣∣ ;
2) параметр j ∈ N
⋃
{0} удовлетворяет неравенству(
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
) ∣∣bqj+v∗∣∣ < 1.
Тогда для j раз непрерывно дифференцируемых решений x(t) уравнения (4) справед-
лива оценка
|x(t)| ≤ K(t0)t
v∗ max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
|x(s)|, . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
|x(j)(s)|
}
, t ≥ r(t0),
где K(t0) — некоторая константа.
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 1, запишем уравнение (4) в виде
x(t) =
bx(qt)
1− a1 − . . .− an0
+
a1(x(t− r1)− x(t)) + . . .+ an0(x(t− rn0)− x(t))
1− a1 − . . .− an0
.
Вводя обозначение f(t)
df
=
a1(x(t− r1)− x(t)) + . . .+ an0(x(t− rn0)− x(t))
1− a1 − . . .− an0
, получаем
x(t) =
bx(qt)
1− a1 − . . .− an0
+ f(t). (5)
Для последующей оценки функции f(t) представим ее с помощью теоремы Лагранжа
следующим образом: f(t) =
−a1x′(t− θ1(t)r1)r1 − . . .− an0x
′(t− θn0(t)rn0)rn0
1− a1 − . . .− an0
, где 0 <
< θk(t) < 1, k = 1, n0.
Запишем уравнение для производной
x′(t) = a1x
′(t− r1) + . . .+ an0x
′(t− rn0) + bqx′(qt). (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 39
Согласно второму условию теоремы существует
1
ln q−1
ln
∣∣∣∣ b
1− a1 − . . .− an0
∣∣∣∣− 1 < v <
1
ln q−1
ln
∣∣∣∣ b
1− a1 − . . .− an0
∣∣∣∣
такое, что (
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
) ∣∣bqqj−1+v∣∣ =
(
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
) ∣∣bqj+v∣∣ < 1.
Тогда из неравенства (3), примененного к производной x′(t) и уравнению (6), следует, что
j раз непрерывно дифференцируемые решения x(t) удовлетворяют оценке
∣∣x′(t)∣∣ ≤ K(T )
(
t
t0
)v
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′(s)∣∣ , . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣} ,
(7)
t ≥ r(t0), t0 ≥ T.
Выполняя в уравнении (5) замену x(t) = tvy(t), получаем
y(t) =
bqvy(qt)
1− a1 − . . .− an0
+ t−vf(t).
Из (7) следует неравенство
∣∣t−vf(t)
∣∣ ≤ L(T )
1
tv0
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′(s)∣∣ , . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣} df
=M1.
Оценим y(t) при qnt ∈ [qt0, t0]:
|y(t)| ≤
∣∣∣∣ bqvy(qt)
1− a1 − . . .− an0
∣∣∣∣+
∣∣t−vf(t)
∣∣ ≤ ∣∣∣∣ bqvy(qt)
1− a1 − . . .− an0
∣∣∣∣+M1
df
= d|y(qt)|+M1 ≤
≤ d2
∣∣y(q2t)
∣∣+ dM1 +M1 ≤ . . . ≤ dn |y(qnt)|+ dn−1M1 + . . .+ dM1 +M1 ≤
≤ dn sup
s∈[qt0,t0]
|y(s)|+ dn − 1
d− 1
M1 ≤
dn+1 − 1
d− 1
(
max
{
q−v, 1
}
+ L(T )
) 1
tv0
×
×max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
|x(s)|, sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′(s)∣∣ , . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣} df
=
dn+1 − 1
d− 1
M2,
qt0 ≤ qnt ⇒ q−n ≤ t
qt0
⇒ n ≤ 1
ln q−1
ln
(
t
qt0
)
.
Заметим, что согласно выбору v имеем d > 1. Тогда оценку y(t) можно уточнить
|y(t)| ≤ d
1
ln q−1 ln
(
t
qt0
)
d
d− 1
M2
df
= e
ln d 1
ln q−1 ln
(
t
qt0
)
M3 =
t
1
ln q−1 ln
∣∣∣ b
1−a1−...−an0
∣∣∣−v
(qt0)
1
ln q−1 ln
∣∣∣ b
1−a1−...−an0
∣∣∣−v M3.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
40 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Отсюда находим
|x(t)| = |tvy(t)| ≤ t
1
ln q−1 ln
∣∣∣ b
1−a1−...−an0
∣∣∣
(qt0)
1
ln q−1 ln
∣∣∣ b
1−a1−...−an0
∣∣∣−v M3 =
t
1
ln q−1 ln
∣∣∣ b
1−a1−...−an0
∣∣∣
(qt0)
1
ln q−1 ln
∣∣∣ b
1−a1−...−an0
∣∣∣−v L1(T )
1
tv0
×
×max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
|x(s)|, sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′(s)∣∣ , . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣} =
= L2(T )
(
t
t0
) 1
ln q−1 ln
∣∣∣ b
1−a1−...−an0
∣∣∣
×
×max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
|x(s)|, sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′(s)∣∣ , . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j)(s)∣∣∣} , t ≥ t0 ≥ T.
Увеличивая константу L2(T ), последнее неравенство можно считать выполненным на
полуоси t ≥ r(t0). Отметим, что T не является произвольной величиной. Поэтому для за-
вершения доказательства необходимо повторить замечание относительно t0, приведен-
ное в конце доказательства теоремы 1.
Теорема 2 доказана.
Запишем частное решение уравнения (4), условие существования которого частично
совпадает с достаточным условием асимптотической устойчивости, вытекающим из тео-
ремы 2.
Пример. Частным решением уравнения (4) является ряд
x(t) = x0e
λt + x1e
λqt + x2e
λq2t + . . .+ xne
λqnt + . . . ,
где λ — корень характеристического уравнения 1 − a1e−λr1 − . . . − an0e
−λrn0 = 0, xn =
=
bxn−1
1− a1e−λqnr1 − . . .− an0e
−λqnrn0
, n ≥ 1, x0 — произвольное число. Условием сходимос-
ти ряда является неравенство
∣∣∣∣ b
1− a1 − . . .− an0
∣∣∣∣ < 1. Отметим, что Reλ не обязательно
меньше нуля.
С помощью идей де Брейна [4] докажем точность степени v∗ и уточним асимптоти-
ческое поведение решений уравнения (4) в условиях предыдущей теоремы.
Теорема 3. Пусть:
1) αD < 0, r(t0) > 0, b 6= 0 и v df
=
1
ln q−1
ln
∣∣∣∣ b
1− a1 − . . .− an0
∣∣∣∣ ;
2) параметр j ∈ N
⋃
{0} удовлетворяет неравенству
(
vars∈[0,+∞) Y (s) + 1
) ∣∣bqj+v∣∣ <
< 1.
Тогда для j+1 раз непрерывно дифференцируемого решения x(t) уравнения (4) в слу-
чае
b
1− a1 − . . .− an0
> 0 существует предельная непрерывная периодическая функция
ϕ(u) с периодом 1, а в случае
b
1− a1 − . . .− an0
< 0 — предельная непрерывная периоди-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 41
ческая функция ϕ(u) ≡ −ϕ(u− 1) с периодом 2 такая, что
∣∣∣∣t−vx(t)− ϕ
(
ln t
ln q−1
)∣∣∣∣ ≤ K(t0)
1
t
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
|x(s)|, . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j+1)(s)
∣∣∣} ,
t ≥ r(t0),
где K(t0) — некоторая константа. При этом в случае
b
1− a1 − . . .− an0
> 0 для любой
непрерывной периодической функции ψ(u) с периодом 1, а в случае
b
1− a1 − . . .− an0
<
< 0 для любой непрерывной периодической функции ψ(u) ≡ −ψ(u − 1) с периодом 2 и
сколь угодно малой окрестности этой функции существует j+ 1 раз непрерывно диф-
ференцируемое решение уравнения (4), которое начинается на некотором начальном
отрезке [r(t1), t1] и имеет предельную периодическую функцию в данной окрестности
функции ψ(u).
Доказательство. Применяя теорему 2 к производной x′(t) и разностному уравнению,
полученному из уравнения (4) после дифференцирования, находим
∣∣x′(t)∣∣ ≤ L(T )
(
t
t0
)v−1
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′(s)∣∣ , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′′(s)∣∣ , . . .
. . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j+1)(s)
∣∣∣} , t ≥ qt0, t0 ≥ T, (8)
где L(T ) — некоторая константа, при условии j+1 раз непрерывной дифференцируемос-
ти x(t).
Выполняя замену x(t) = tvy(t) в уравнении (5), получаем
y(t) =
b
1− a1 − . . .− an0
∣∣∣∣1− a1 − . . .− an0
b
∣∣∣∣ y(qt) + t−vf(t).
С помощью неравенства (8) можно оценить неоднородность в этом уравнении:
∣∣t−vf(t)
∣∣≤M(T )
1
tv−10
1
t
max
{
sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′(s)∣∣ , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣x′′(s)∣∣ , . . . , sup
s∈[r(t0),t0]
∣∣∣x(j+1)(s)
∣∣∣}
для некоторой константыM(T ).Обозначим для краткости t−vf(t)
df
= g(t) и предположим,
что
b
1− a1 − . . .− an0
> 0. Тогда y(t) = y(qt) + g(t). Выполняя замену переменных в
функциональном уравнении y(t) = z
(
ln t
ln q−1
)
, получаем
y(t) = z
(
ln t
ln q−1
)
= y(qt) + g(t) = z
(
ln t
ln q−1
− 1
)
+ g
(
e
ln q−1 ln t
ln q−1
)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
42 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
или, обозначая u =
ln t
ln q−1
, имеем z(u) = z(u− 1) + g
(
eu ln q
−1
)
.
Отметим также, что
x′(t) = vtv−1y(t) + tvy′(t) = tv−1
(
vz
(
ln t
ln q−1
)
+ z′
(
ln t
ln q−1
)
1
ln q−1
)
.
Учитывая это, продолжаем оценку неоднородности:
|g(t)| ≤ 1
t
D(T ) max
sup
s∈
[
ln r(t0)
ln q−1 ,
ln t0
ln q−1
] |z(s)|, . . . , sup
s∈
[
ln r(t0)
ln q−1 ,
ln t0
ln q−1
]
∣∣∣z(j+1)(s)
∣∣∣
df
=
1
t
W (T, z0).
Используя равенство z(u) − z(u − 1) = g
(
eu ln q
−1
)
и мажоранту для |g(t)|, оцениваем
разность
|z(u+m)− z(u+ n)| ≤ |z(u+m)− z(u+m− 1)|+ . . .+ |z(u+ n+ 1)− z(u+ n)| =
=
∣∣∣g (e(u+m) ln q−1
)∣∣∣+ . . .+
∣∣∣g (e(u+n+1) ln q−1
)∣∣∣ ≤
≤ e−(u+m) ln q−1
W (T, z0) + . . .+ e−(u+n+1) ln q−1
W (T, z0) ≤
≤ qu+n+1W (T, z0)
1
1− q
.
Отсюда следуют фундаментальность последовательности z(u+n), существование преде-
ла limn→+∞ z(u+n)
df
=ϕ(u) и неравенство |z(u)−ϕ(u)| ≤ qu+1W (T, z0)
1
1− q
, u ≥ ln t0
ln q−1
−1.
Очевидно, что ϕ(u) — периодическая функция с периодом 1, ее непрерывность сле-
дует из ограниченности z′(u). Запишем последнее неравенство в развернутом виде
|z(u)− ϕ(u)| ≤ quD1(T ) max
sup
s∈
[
ln r(t0)
ln q−1 ,
ln t0
ln q−1
] |z(s)|, . . . , sup
s∈
[
ln r(t0)
ln q−1 ,
ln t0
ln q−1
]
∣∣∣z(j+1)(s)
∣∣∣
,
u ≥ ln t0
ln q−1
− 1,
где D1(T )
df
=D(T )
q
1− q
. Таким образом, уже на отрезке
[
ln t0
ln q−1
− 1,
ln t0
ln q−1
]
можно оце-
нить разность между решением z(u) и его предельной периодической функцией ϕ(u) че-
рез начальные значения решения и его производных.
Итак, в случае
b
1− a1 − . . .− an0
> 0 доказано существование предельной периоди-
ческой функции и получена оценка скорости сходимости.
Обратно, используя идеи [4], предполагаем, что задана непрерывная периодическая
функция ϕ(u). Ее можно приблизить с помощью тригонометрического полинома ψ(u),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 43
который в свою очередь приближается полиномом Эрмита H(u) равномерно на отрез-
ке [−1, 0] вместе с конечным числом производных. Полином H(u) также приближается
некоторым полиномом G(u), который при замене аргумента G(u − u0), u0 =
ln t0
ln q−1
,
удовлетворяет j + 2 условиям склейки (гладкости) функционального уравнения и, таким
образом, задает j+1 раз непрерывно дифференцируемое решение zG(u), начальные зна-
чения которого, G(u − u0), близки к фиксированному тригонометрическому полиному
ψ(u − u0), а следовательно, ограничены. Последнее позволяет при достаточно большом
t0 утверждать близость предельной периодической функции решения ϕzG(u) к решению
zG(u) на начальном отрезке, т. е. к G(u− u0), а значит, и к функции ϕ(u− u0), а если u0 —
целое число, то и к данной периодической функции ϕ(u). В этой цепочке рассуждений
необходимо показать только построение полинома G(u).
Сформулируем j + 2 условия склейки в терминах функции z
(
ln t
ln q−1
)
и ее производ-
ных. Для этого уравнение этой функции запишем в явном виде
z
(
ln t
ln q−1
)
= z
(
ln t
ln q−1
− 1
)
+
+
a1
(
z
(
ln(t−r1)
ln q−1
)
− z
(
ln t
ln q−1
))
+ . . .+ an0
(
z
(
ln(t−rn0 )
ln q−1
)
− z
(
ln t
ln q−1
))
1− a1 − . . .− an0
+
+
a1
((
1− r1
t
)v − 1
)
z
(
ln(t−r1)
ln q−1
)
+ . . .+ an0
((
1− rn0
t
)v − 1
)
z
(
ln(t−rn0)
ln q−1
)
1− a1 − . . .− an0
.
(9)
Продифференцируем несколько раз функцию y(t) = z
(
ln t
ln q−1
)
:
y′(t) = z′
(
ln t
ln q−1
)
1
t ln q−1
, y′′(t) = z′′
(
ln t
ln q−1
)
1
t2 ln2 q−1
− z′
(
ln t
ln q−1
)
1
t2 ln q−1
,
y′′′(t) = z′′′
(
ln t
ln q−1
)
1
t3 ln3 q−1
− z′′
(
ln t
ln q−1
)
3
t3 ln2 q−1
+ z′
(
ln t
ln q−1
)
2
t3 ln q−1
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y(l)(t) =
dl
dtl
z
(
ln t
ln q−1
)
= z(l)
(
ln t
ln q−1
)
1
tl lnl q−1
+ . . .+ (−1)l+1z′
(
ln t
ln q−1
)
(l − 1)!
tl ln q−1
, l ≥ 2.
Аналогично получаем
dl
dtl
z
(
ln t
ln q−1
− 1
)
= z(l)
(
ln t
ln q−1
− 1
)
1
tl lnl q−1
+ . . .+ (−1)l+1z′
(
ln t
ln q−1
− 1
)
×
× (l − 1)!
tl ln q−1
, l ≥ 2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
44 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Рассмотрим отдельно слагаемое
a1
(
z
(
ln(t−r1)
ln q−1
)
− z
(
ln t
ln q−1
))
+ . . .+ an0
(
z
(
ln(t−rn0)
ln q−1
)
− z
(
ln t
ln q−1
))
1− a1 − . . .− an0
=
=
a1 (y(t− r1)− y(t)) + . . .+ an0 (y(t− rn0)− y(t))
1− a1 − . . .− an0
.
Продифференцируем его l раз и запишем полученную разность с помощью теоремы Ла-
гранжа через функцию z
(
ln t
ln q−1
)
:
1
1−
∑n0
k=1 ak
n0∑
k=1
ak
(
y(l)(t− rk)− y(l)(t)
)
=
1∑n0
k=1 ak − 1
n0∑
k=1
akrky
(l+1) (t− θl+1(t, rk)) =
=
1∑n0
k=1 ak − 1
n0∑
k=1
akrk
1
(t− θl+1 (t, rk))
l+1
×
×
(
z(l+1)
(
ln (t− θl+1(t, rk))
ln q−1
)
1
lnl+1 q−1
+ . . .
. . .+ (−1)l+2z′
(
ln (t− θl+1(t, rk))
ln q−1
)
l!
ln q−1
)
,
где 0 < θl+1(t, rk) < rk, k = 1, n0. Сделанные замечания позволяют утверждать, что
производную l-го порядка тождества (9) можно записать следующим образом:
dl
dtl
z
(
ln t
ln q−1
− 1
)
= z(l)
(
ln t
ln q−1
− 1
)
1
tl lnl q−1
+ . . .+ (−1)l+1z′
(
ln t
ln q−1
− 1
)
(l − 1)!
tl ln q−1
=
= z(l)
(
ln t
ln q−1
)
1
tl lnl q−1
+ . . .+ (−1)l+1z′
(
ln t
ln q−1
)
(l − 1)!
tl ln q−1
+
+
1
tl+1
[
n0∑
k=1
l+1∑
i=1
χil,k(t)z
(i)
(
ln (t− θl+1(t, rk))
ln q−1
)
+
+
n0∑
k=1
l∑
i=0
αil,k(t)z
(i)
(
ln(t− rk)
ln q−1
)]
,
где коэффициенты χil,k(t), α
i
l,k(t) — ограниченные на полуоси функции. Умножая левую
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 45
и правую части тождества на tl, окончательно получаем
z(l)
(
ln t
ln q−1
− 1
)
1
lnl q−1
+ . . .+ (−1)l+1z′
(
ln t
ln q−1
− 1
)
(l − 1)!
ln q−1
=
= z(l)
(
ln t
ln q−1
)
1
lnl q−1
+ . . .+ (−1)l+1z′
(
ln t
ln q−1
)
(l − 1)!
ln q−1
+
+
1
t
[
n0∑
k=1
l+1∑
i=1
χil,k(t)z
(i)
(
ln (t− θl+1(t, rk))
ln q−1
)
+
n0∑
k=1
l∑
i=0
αil,k(t)z
(i)
(
ln(t− rk)
ln q−1
)]
.
Параметр l изменяется от 0 до j + 1, что соответствует необходимой гладкости решения
z
(
ln t
ln q−1
)
. Обозначим
~z
(
ln t
ln q−1
)
=
(
z
(
ln t
ln q−1
)
, . . . , z(j+1)
(
ln t
ln q−1
))T
, ~F (t, zu) = (F0(t, zu), . . . , Fj+1(t, zu))T ,
где
Fl(t, zu)
df
=
n0∑
k=1
l+1∑
i=1
χil,k(t)z
(i)
(
ln (t− θl+1(t, rk))
ln q−1
)
+
n0∑
k=1
l∑
i=0
αil,k(t)z
(i)
(
ln(t− rk)
ln q−1
)
.
В этих обозначениях условия склейки запишутся так:
C~z
(
ln t0
ln q−1
− 1
)
= C~z
(
ln t0
ln q−1
)
+
1
t0
~F (t0, zu),
где C df
=
1 0 · · · 0
∗ 1
ln q−1
. . .
...
...
. . . . . . 0
∗ · · · ∗ 1
lnj+1 q−1
— постоянная нижняя треугольная матрица с не-
нулевыми элементами на главной диагонали, или
~z
(
ln t0
ln q−1
− 1
)
= ~z
(
ln t0
ln q−1
)
+
1
t0
C−1 ~F (t0, zu). (10)
Теперь потребуем, чтобы полином H(λ) совпадал с полиномом ψ(λ) и (N − 1)-й его
производной в каждой точке uτ−u0, где uτ принимает значения всех аргументов функции
z(u) и ее производных в равенстве (10). Если некоторые из этих аргументов совпадают, то
мы суммируем количество условий равенства полиномов и их производных во всех сов-
павших точках, т. е. если θl(t0, rk) = θi(t0, rs), то в точке
ln(t0 − θl(t0, rk))
ln q−1
− ln t0
ln q−1
полином
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
46 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
H(λ) совпадает с полиномом ψ(λ) и (2N−1)-й его производной. Таким образом, количест-
во условий Эрмита для H(λ) остается неизменным и равным ((j+ 3)n0 + 2)N. Выбор дос-
таточно большого N ≥ j + 3 позволяет утверждать сколь угодно малую равномерную
на отрезке [−1, 0] близость полиномов H(λ) и ψ(λ) вместе с производными до (j + 1)-го
порядка включительно. Более того, эта близость не зависит от расположения запаздыва-
ний в данный момент t0.ПолиномG(λ) строится по тем же условиям Эрмита, что иH(λ),
за исключением точки −1, где значения G(λ) и его производных до (j + 1)-го порядка
включительно уже не совпадают с полиномом ψ(λ) и его производными, а задаются пра-
вой частью равенства (10), где вместо функций z(i)(u) ставятся функции ψ(i)(u− u0), т. е.
величиной ~ψ(0) +
1
t0
C−1 ~F (t0, ψu−u0). Отметим, что неоднородность ~F (t0, ψu−u0) ограни-
чена, а это дает возможность увеличением t0 сделать сумму ~ψ(0) +
1
t0
C−1 ~F (t0, ψu−u0)
сколь угодно близкой к величине ~ψ(0) = ~ψ(−1), т. е. изменение (j + 2)-х условий Эрмита
полиномаH(λ) в точке−1 для полиномаG(λ) минимально и зависит только от величины
t0. Эти изменения
1
t0
C−1 ~F (t0, ψu−u0) будут касаться коэффициентов перед полиномами
Hik(λ) в формуле полинома Эрмита, которые соответствуют точке −1 и производным
от 0- до (j + 1)-го порядка включительно [5, с. 169]. Полиномы Hik(λ) существенно зави-
сят от расположения узлов интерполирования uτ − u0 и от того, совпадают они или нет.
С ростом t0 это расположение будет меняться. Но во всех случаях расположения запаз-
дываний коэффициенты полинома Hik(λ) стремятся к коэффициентам некоторого пре-
дельного полинома при t0 → +∞, а следовательно, полиномы Hik(λ) и их производные
ограничены на отрезке [−1, 0] некоторой константой для всех t0. Таким образом, так как
изменения коэффициентов перед Hik(λ) в полиноме G(λ) относительно исходных зна-
чений в полиноме H(λ) равны
1
t0
C−1 ~F (t0, ψu−u0) и стремятся к нулю при t0 → +∞, то
равномерная близость полиномов G(u − u0), H(u − u0) и их производных до (j + 1)-го
порядка включительно будет иметь место при достаточно больших t0 и любых располо-
жениях запаздываний на отрезке [u0 − 1, u0].
Если
b
1− a1 − . . .− an0
< 0, то функциональное уравнение для y(t) имеет вид y(t) =
= −y(qt) + g(t). После замены переменных y(t) = z
(
ln t
ln q−1
)
получим уравнение
z(u) = −z(u− 1) + g
(
eu ln q
−1
)
=
= z(u− 2)− g
(
e(u−1) ln q
−1
)
+
+ g
(
eu ln q
−1
)
df
= z(u− 2) + w(u), u ≥ u0 + 1.
Как и раньше, |g(t)| ≤ 1
t
W (T, z0), следовательно,
|w(u)| ≤
∣∣∣g (e(u−1) ln q−1
)∣∣∣+
∣∣∣g (eu ln q−1
)∣∣∣ ≤
≤
(
qu−1 + qu
)
W (T, z0).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 47
Используя равенство z(u) − z(u − 2) = w(u) и мажоранту для |w(u)|, оцениваем раз-
ность
|z(u+ 2m)− z(u+ 2n)| ≤ |z(u+ 2m)− z(u+ 2m− 2)|+ . . .+ |z(u+ 2n+ 2)− z(u+ 2n)|=
= |w(u+ 2m)|+ . . .+ |w(u+ 2n+ 2)| ≤
≤
(
qu+2m + . . .+ qu+2n+2
) (
q−1 + 1
)
W (T, z0) ≤
qu+1+2n
1− q
W (T, z0).
Отсюда следуют фундаментальность последовательности z(u+ 2n), существование пре-
дела limn→+∞ z(u+2n)
df
=ϕ(u) и неравенство |z(u)−ϕ(u)| ≤ qu+1
1− q
W (T, z0), u ≥
ln t0
ln q−1
−1.
Очевидно, что ϕ(u) — периодическая функция с периодом 2, ее непрерывность следует
из ограниченности z′(u), а из равенства z(u) = −z(u−1)+g
(
eu ln q
−1
)
вытекает тождество
ϕ(u) ≡ −ϕ(u− 1). Запишем последнее неравенство в развернутой форме
|z(u)− ϕ(u)| ≤ quD1(T ) max
sup
s∈
[
ln r(t0)
ln q−1 ,
ln t0
ln q−1
] |z(s)|, . . . , sup
s∈
[
ln r(t0)
ln q−1 ,
ln t0
ln q−1
]
∣∣∣z(m+2)(s)
∣∣∣
,
u ≥ ln t0
ln q−1
− 1,
где D1(T )
df
=D(T )
q
1− q
. Дальнейшие рассуждения аналогичны предыдущим для случая
b
1− a1 − . . .− an0
> 0 с небольшим изменением. А именно, предельная непрерывная
периодическая функция удовлетворяет тождеству ϕz(u) = −ϕz(u− 1), и для доказатель-
ства полноты множества предельных периодических функций в пространстве непрерыв-
ных периодических функций, удовлетворяющих равенству ϕ(u) ≡ −ϕ(u − 1), необхо-
димо в качестве тригонометрического полинома ψ(u) использовать среднее по Чезаро
частичных сумм ряда Фурье приближаемой периодической функции. Такой тригономет-
рический полином будет иметь то же свойство ψ(u) ≡ −ψ(u− 1).
Теорема 3 доказана.
В [6] доказана следующая лемма.
Лемма. Пусть:
1) αD < 0, r(t0) > 0, b 6= 0, величина v1 определяется из равенства
bqv1
1− a1 − . . .− an0
= 1;
2) параметры {M, j} ⊂ N
⋃
{0} удовлетворяют неравенствам
(∣∣b−1∣∣+
∣∣a1b−1∣∣+ . . .+
∣∣an0b
−1∣∣) q−Re v1+M < 1 и
(
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
) ∣∣bqj+Re v1
∣∣ < 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
48 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
Тогда для M + j + 1 раз непрерывно дифференцируемого решения x(t) уравнения (4)
из условия x(t) = o (tv1) , t → +∞, следует тождество x(t) ≡ 0.
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение
x(t) = a1x(t− r1) + . . .+ an0x(t− rn0) + b1x(q1t) + . . .+ bn1x(qn1t)+
+ f0(x(t− r1), . . . , x(t− rn0), x(q1t), . . . , x(qn1t)), (11)
где {ak, bk} ⊂ R, 0 < qk < 1, f0 : Rn0+n1 → R.
Теорема 4. Пусть:
1) αD < 0, β < 0 и r(t0) > 0;
2) параметры v ∈ R и j ∈ {0, 1, 2, . . .} удовлетворяют неравенствам β < v < 0,(
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
)(∣∣∣b1qj+v1
∣∣∣+ . . .+
∣∣bn1q
j+v
n1
∣∣) < 1;
3) функция f0 является непрерывно дифференцируемой j + 1 раз в окрестности на-
чала координат и равна нулю в начале координат вместе со всеми частными производ-
ными 1-го порядка.
Тогда существуют константы 0 < δ < σ < +∞ такие, что для j раз непрерывно
дифференцируемых решений x(t) уравнения (11), удовлетворяющих условию
∣∣x(m)(θ)
∣∣ ≤
≤ δ, θ ∈ [r(t0), t0], m = 0, j, справедлива оценка max
{
|x(t)|, |x′(t)|, . . . ,
∣∣x(j)(t)∣∣} ≤ σtv при
любом t ∈ [r(t0),+∞).
Доказательство. Последовательно дифференцируя левую и правую части уравнения
(11) j раз, получаем j + 1 уравнение
x(m)(t) = a1x
(m)(t− r1) + . . .+ an0x
(m)(t− rn0)+
+ b1q
m
1 x
(m)(q1t) + . . .+ bn1q
m
n1
x(m)(qn1t)+
+ fm(x(t− rk), . . . , x(m)(t− rk), . . . , x(qkt), . . . , x
(m)(qkt)), m = 0, j.
Из третьего условия теоремы следует, что все функции fm, m = 0, j, непрерывно диффе-
ренцируемы по всем своим аргументам и равны нулю вместе со всеми своими частными
производными 1-го порядка в начале координат.
Выполняя замену переменных x(t) = tvy(t), получаем уравнения
y(m)(t) = a1y
(m)(t− r1) + . . .+ an0y
(m)(t− rn0) + b1q
v+m
1 y(m)(q1t) + . . .
. . .+ bn1q
v+m
n1
y(m)(qn1t) + Fm(t, v, y(t− rk), . . .
. . . , y(m)(t− rk), . . . , y(qkt), . . . , y
(m)(qkt)), m = 0, j,
где Fm — некоторые непрерывно дифференцируемые по всем своим аргументам функ-
ции. Для краткости обозначим (m+1)(n0+n1)
df
=Nm.Принимая во внимание условия тео-
ремы и вид функцийFm,можно показать, что для любых t ∈ [t0,+∞),
{
zi, ui, i = 1, Nm
}
⊂
⊂ R : max
{
|zi|, |ui|, i = 1, Nm
}
≤ σ выполняется неравенство
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 49
|Fm(t, v, z1, . . . , zNm)− Fm(t, v, u1, . . . , uNm)| ≤ lm(t0, σ)
Nm∑
i=1
|zi − ui|, (12)
где lm(t0, σ) → 0 при t0 → +∞, σ → 0, m = 0, j.
Запишем уравнение для y(m)(t), m = 0, j − 1, следующим образом:
y(m)(t) =
b1q
v+m
1 y(m) (q1t) + . . .+ bn1q
v+m
n1
y(m)(qn1t)
1− a1 − . . .− an0
+
+
a1
(
y(m)(t− r1)− y(m)(t)
)
+ . . .+ an0
(
y(m)(t− rn0)− y(m)(t)
)
1− a1 − . . .− an0
+
+
1
1− a1 − . . .− an0
Fm
(
t, v, y(t− rk), . . . , y(m)(t− rk), . . . , y(qkt), . . . , y
(m)(qkt)
)
.
(13)
Уравнение для y(j)(t) запишем в интегральной форме
y(j)(t) = −a1
t0∫
t0−r1
[dθY (t− θ − r1)] y(j)(θ)− . . .− an0
t0∫
t0−rn0
[dθY (t− θ − rn0)] y(j)(θ)−
−
t∫
t0
[dθY (t− θ)]
(
b1q
j+v
1 y(j)(q1θ) + . . .+ bn1q
j+v
n1
y(j)(qn1θ)
)
+
+ b1q
j+v
1 y(j)(q1t) + . . .+ bn1q
j+v
n1
y(j)(qn1t)−
−
t∫
t0
[dθY (t− θ)]Fj
(
θ, v, y(θ − rk), . . . , y(j)(θ − rk), . . . , y(qkθ), . . . , y
(j)(qkθ)
)
+
+ Fj
(
t, v, y(t− rk), . . . , y(j)(t− rk), . . . , y(qkt), . . . , y
(j)(qkt)
)
. (14)
Положим (
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
) (
|b1|qj+v1 + . . .+ |bn1 |qj+vn1
)
= 1− ε < 1 (15)
и выберем числа cm, m = 0, j, так, чтобы выполнялись неравенства
cj
df
= 1 < cj−1 < cj−2 < . . . < c0 < +∞,(
var
s∈[0,+∞)
Zv+m(s) + 1
)
|a1|r1 + . . .+ |an0 |rn0
|1− a1 − . . .− an0 |
cm+1
cm
≤ 1
4
(16)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
50 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
при m = 0, j − 1. Определим величины t0 > 0 и σ > 0 так, чтобы выполнялись неравен-
ства (
var
s∈[0,+∞)
Zv+m(s) + 1
)
lm (t0, c0σ)
|1− a1 − . . .− an0 |
(n0 + n1)(c0 + . . .+ cm)
1
cm
≤ 1
4
(17)
при m = 0, j − 1,
(
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
)
lj(t0, c0σ)(n0 + n1)(c0 + . . .+ cj)
1
cj
≤ ε
3
. (18)
Пусть
∣∣y(m)(θ)
∣∣ ≤ δ для любого θ ∈ [r(t0), t0], m = 0, j, где δ выберем меньшим σ и таким,
что выполняются неравенства
1∣∣1−∑n0
k=1 ak
∣∣ n1∑
k=1
|bk|qv+mk sup
t≥t0
var
s∈[ln t−ln t0+ln q,ln t−ln t0]
Zv+m(s)
δ
σ
≤ 1
4
(19)
при m = 0, j − 1,
(|a1|+ . . .+ |an|) sup
t≥t0
var
s∈[t−t0−r,t−t0]
Y (s)
δ
σ
≤ ε
3
. (20)
Тогда для некоторого T > t0 выполняются неравенства
∣∣∣y(m)(t)
∣∣∣ < cmσ, m = 0, j, t ∈ [r(t0), T ). (21)
Если T = +∞, то нужное утверждение доказано. Предположим, что это не так, и пусть
T — конечный и первый момент времени, когда хотя бы одно неравенство становится ра-
венством. Оценим
∣∣y(j)(t)∣∣ на отрезке [t0, T ), использовав уравнение (14), с учетом усло-
вий (12), (15), (18), (20), (21) :
∣∣∣y(j)(t)∣∣∣ ≤ [(|a1|+ . . .+ |an|) sup
t≥t0
var
s∈[t−t0−r,t−t0]
Y (s)
δ
σ
+
+
(
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
)(
|b1|qj+v1 + . . .+ |bn1 |qj+vn1
)
+
+
(
var
s∈[0,+∞)
Y (s) + 1
)
lj(t0, c0σ)(n0 + n1)(c0 + . . .+ cj)
1
cj
]
cjσ ≤
≤
[ε
3
+ 1− ε+
ε
3
]
cjσ =
[
1− ε
3
]
cjσ, t ∈ [t0, T ).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 51
Запишем уравнение (13) для y(m)(t), m = 0, j − 1, c помощью теоремы Лагранжа в форме
y(m)(t) =
b1q
v+m
1 y(m)(q1t) + . . .+ bn1q
v+m
n1
y(m)(qn1t)
1− a1 − . . .− an0
−
− a1y
(m+1)(t− θ1,m(t)r1)r1 + . . .+ an0y
(m+1) (t− θn0,m(t)rn0) rn0
1− a1 − . . .− an0
+
+
1
1− a1 − . . .− an0
Fm
(
t, v, y(t− rk), . . . , y(m)(t− rk), . . . , y(qkt), . . . , y
(m)(qkt)
)
,
где 0 < θk,m(t) < 1, k = 1, n0. Учитывая (12) и (21), оцениваем на отрезке [t0, T ) неодно-
родность∣∣∣∣∣−a1y(m+1)(t− θ1,m(t)r1)r1 + . . .+ an0y
(m+1)(t− θn0,m(t)rn0)rn0
1− a1 − . . .− an0
+
+
1
1− a1 − . . .− an0
Fm
(
t, v, y(t− rk), . . . , y(m)(t− rk), . . . , y(qkt), . . . , y
(m)(qkt)
)∣∣∣∣ ≤
≤ |a1|r1 + . . .+ |an0 |rn0
|1− a1 − . . .− an0 |
cm+1σ+
+
lm(t0, c0σ)
|1− a1 − . . .− an0 |
(n0 + n1)(c0 + . . .+ cm)σ.
С помощью рассуждений, которые применялись при доказательстве теоремы 1, условий
(16), (17), (19), (21) и последнего неравенства для неоднородности получаем оценку
∣∣∣y(m)(t)
∣∣∣ ≤ [ 1∣∣1−∑n0
k=1 ak
∣∣ n1∑
k=1
|bk|qv+mk sup
t≥t0
var
s∈[ln t−ln t0+ln q,ln t−ln t0]
Zv+m(s)
δ
σ
+
+
(
var
s∈[0,+∞)
Zv+m(s) + 1
)
|a1|r1 + . . .+ |an0 |rn0
|1− a1 − . . .− an0 |
cm+1
cm
+
+
(
var
s∈[0,+∞)
Zv+m(s) + 1
)
lm(t0, c0σ)
|1− a1 − . . .− an0 |
(n0 + n1) (c0 + . . .+ cm)
1
cm
]
cmσ ≤
≤
[
1
4
+
1
4
+
1
4
]
cmσ =
3
4
cmσ ∀t ∈ [t0, T ).
Итак, мы показали, что
∣∣y(m)(T )
∣∣ < cmσ, m = 0, j. Но это противоречит предпо-
ложению относительно T. Поэтому T = +∞ и
∣∣y(m)(t)
∣∣ < cmσ, m = 0, j, для любого
t ∈ [r(t0),+∞).
В приведенных рассуждениях t0 является переменной величиной, а по условию тео-
ремы эта величина должна быть фиксирована. Однако с помощью рассуждений, анало-
гичных изложенным выше, можно показать, что для любых t1 > 0, η > 0 существует
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
52 Д. В. БЕЛЬСКИЙ, Г. П. ПЕЛЮХ
константа 0 < γ < η такая, что из условия
∣∣x(m)(θ)
∣∣ ≤ γ при любом θ ∈ [r(t1), t1],
m = 0, j, следует оценка
∣∣x(m)(t)
∣∣ ≤ η при t ∈ [r(t1),+∞), m = 0, j.
Теорема 4 доказана.
Литература
1. Mahler K. On a special functional equation // J. London Math. Soc. — 1940. — 15. — P. 115 – 123.
2. Бельский Д. В., Пелюх Г. П. Об асимптотических свойствах решений одного дифференциально-функ-
ционального уравнения с линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2013. — 16,
№ 3. — С. 291 – 313.
3. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 421 с.
4. de Bruijn N. G. The asymptotically periodic behavior of the solutions of some linear functional equations //
Amer. J. Math. — 1949. — 71, № 2. — P. 313 – 330.
5. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. — М.: Физматгиз, 1962. — Т. 1. — 464 с.
6. Пелюх Г. П., Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений линейного дифференциально-
функционального уравнения нейтрального типа с постоянными коэффициентами и линейно преобра-
зованным аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2012. — 15, № 4. — С. 466 – 493.
Получено 18.12.14,
после доработки — 05.08.16
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
|