Об оптимальной стабилизации интегрального многообразия
Методом функцiй Ляпунова дослiджується задача оптимальної стабiлiзацiї аналiтично заданого iнтегрального многовиду у класi стохастичних диференцiальних рiвнянь при наявностi випадкових збурень iз класу процесiв iз незалежними приростами....
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177292 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об оптимальной стабилизации интегрального многообразия / Г.К. Василина, М.И. Тлеубергенов // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 53-65 — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177292 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772922021-02-15T01:26:29Z Об оптимальной стабилизации интегрального многообразия Василина, Г.К. Тлеубергенов, М.И. Методом функцiй Ляпунова дослiджується задача оптимальної стабiлiзацiї аналiтично заданого iнтегрального многовиду у класi стохастичних диференцiальних рiвнянь при наявностi випадкових збурень iз класу процесiв iз незалежними приростами. By using the Lyapunov functions method, we study an optimal stabilization problem for an analytically defined integral manifold in a class of stochastic differential equations in the case where the random perturbations belong to the class of processes with independent increments. 2017 Article Об оптимальной стабилизации интегрального многообразия / Г.К. Василина, М.И. Тлеубергенов // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 53-65 — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177292 517.925, 519.216 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Методом функцiй Ляпунова дослiджується задача оптимальної стабiлiзацiї аналiтично заданого iнтегрального многовиду у класi стохастичних диференцiальних рiвнянь при наявностi випадкових збурень iз класу процесiв iз незалежними приростами. |
| format |
Article |
| author |
Василина, Г.К. Тлеубергенов, М.И. |
| spellingShingle |
Василина, Г.К. Тлеубергенов, М.И. Об оптимальной стабилизации интегрального многообразия Нелінійні коливання |
| author_facet |
Василина, Г.К. Тлеубергенов, М.И. |
| author_sort |
Василина, Г.К. |
| title |
Об оптимальной стабилизации интегрального многообразия |
| title_short |
Об оптимальной стабилизации интегрального многообразия |
| title_full |
Об оптимальной стабилизации интегрального многообразия |
| title_fullStr |
Об оптимальной стабилизации интегрального многообразия |
| title_full_unstemmed |
Об оптимальной стабилизации интегрального многообразия |
| title_sort |
об оптимальной стабилизации интегрального многообразия |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177292 |
| citation_txt |
Об оптимальной стабилизации интегрального многообразия / Г.К. Василина, М.И. Тлеубергенов // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 53-65 — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT vasilinagk oboptimalʹnojstabilizaciiintegralʹnogomnogoobraziâ AT tleubergenovmi oboptimalʹnojstabilizaciiintegralʹnogomnogoobraziâ |
| first_indexed |
2025-07-15T15:20:07Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:20:07Z |
| _version_ |
1837726756673421312 |
| fulltext |
УДК 517.925, 519.216
ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ
ИНТЕГРАЛЬНОГО МНОГООБРАЗИЯ
Г. К. Василина, М. И. Тлеубергенов
Казах. нац. ун-т им. аль-Фараби
Ин-т математики и мат. моделирования МОН РК
ул. Пушкина, 125, Алматы, 050010, Казахстан
e-mail: v_gulmira@mail.ru
marat207@mail.ru
By using the Lyapunov functions method, we study an optimal stabilization problem for an analytically
defined integral manifold in a class of stochastic differential equations in the case where the random
perturbations belong to the class of processes with independent increments.
Методом функцiй Ляпунова дослiджується задача оптимальної стабiлiзацiї аналiтично зада-
ного iнтегрального многовиду у класi стохастичних диференцiальних рiвнянь при наявностi
випадкових збурень iз класу процесiв iз незалежними приростами.
Одним из основных требований в теории обратных задач дифференциальных систем
(см., например, [1]), связанных с работоспособностью системы, является требование
устойчивости заданных свойств движения, поэтому решение задачи устойчивости про-
граммного движения имеет существенное значение для дальнейшего развития качествен-
ной теории обратных задач дифференциальных систем и теории построения систем про-
граммного движения.
Наиболее общим методом исследования устойчивости движения является метод функ-
ций Ляпунова [2]. Благодаря фундаментальным исследованиям Н. Г. Четаева [3], И. Г. Мал-
кина [4] и др. в настоящее время известны различные модификации и обобщения класси-
ческих теорем второго метода Ляпунова [2] об устойчивости невозмущенного движения,
значительно расширяющие возможности качественного исследования движения в зада-
чах нелинейной механики и особенно нелинейных процессов управления.
Существенное обобщение и развитие эти исследования получили в работах В. И. Зу-
бова [5], В. М. Матросова [6], T. Yoshizawa [7], А. М. Самойленко [8] и других авторов, в
которых основные теоремы Ляпунова и их различные модификации обобщаются на слу-
чай устойчивости интегральных множеств с помощью функции Ляпунова вида V (ρ, t),
где ρ = ρ(x,Λ(t)) — расстояние от изображающей точки x до множества Λ(t).
Применение общих теорем об устойчивости множества [5 – 7] в решении задачи устой-
чивости программного движения вызывает трудности, связанные с построением функ-
ции Ляпунова вида V (ρ, t).
Учитывая сложность построения функции V (ρ, t), как функции от расстояния ρ, в за-
даче построения уравнений устойчивого программного движения [1] обыкновенных диф-
ференциальных уравнений (ОДУ) используется аналитическое описание множества (за-
данных свойств движения) и, по-существу, задача исследования устойчивости множества
сводится к исследованию устойчивости тривиального решения некоторой системы.
Впервые задача о стохастической устойчивости невозмущенного движения методом
c© Г. К. Василина, М. И. Тлеубергенов, 2017
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1 53
54 Г. К. ВАСИЛИНА, М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ
функций Ляпунова исследовалась в [9, 10]. В классе ОДУ при случайных возмущениях из
класса винеровских процессов (как частный случай процессов с независимыми прираще-
ниями) методом функций Ляпунова в [11] доказаны теоремы о стохастической устойчи-
вости невозмущенного движения. В этом же классе в [11 – 14] доказаны теоремы о сто-
хастической устойчивости инвариантных множеств с помощью функций Ляпунова вида
V (ρ, t).
Достаточные условия устойчивости аналитически заданного интегрального много-
образия [15] в классе ОДУ обобщаются в [16] на класс стохастических дифференциаль-
ных уравнений при наличии случайных возмущений из класса винеровских процессов.
Задача о стохастической устойчивости при случайных возмущениях из класса процессов
с независимыми приращениями для невозмущенного движения рассматривалась в [17], а
для аналитически заданного интегрального многообразия — в [18].
В монографиях А. М. Летова [19], Н. Н. Красовского [20] и др. ставятся и решаются
в классе ОДУ различные задачи об оптимальной стабилизации невозмущенного движе-
ния, метод решения которых заключается [20] в соответствующей модификации теоре-
мы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Говоря о стохастической постановке,
отметим, что в работах Н. Н. Красовского и Э. А. Лидского [21] результаты А. М. Ле-
това [22] об аналитическом конструировании регулятора обобщаются с ОДУ на неко-
торый класс стохастических уравнений. Обобщение теоремы Н. Н. Красовского [20] об
оптимальной стабилизации невозмущеного движения в классе ОДУ на класс уравнений
диффузионного типа проведено в работах Р. З. Хасьминского [11, 23] и М. Б. Невельсона,
Р. З. Хасьминского [24]. В работе [25] для некоторых случаев уравнений диффузии ана-
литически строится управление u, разрешающее задачу об оптимальной стабилизации.
Дальнейшее развитие методов решения стохастических задач оптимизации невозмущен-
ного движения, а также их модификация получены в работах [26, 27].
В данной работе рассматривается задача об оптимальной стабилизации аналитиче-
ски заданного интегрального многообразия в классе стохастических дифференциальных
уравнений, которая, с одной стороны, обобщает постановку задачи Р. З. Хасьминского
[11] об оптимальной стабилизации невозмущенного движения стохастического уравне-
ния Ито, а с другой — распространяет на стохастический случай теорему [28] об опти-
мальной стабилизации аналитически заданного интегрального многообразия Λ(t) в клас-
се ОДУ.
Пусть заданы:
1) управляемая система стохастических дифференциальных уравнений вида
dx = X(x, u, t)dt+ σ(x, u, t)dw(t) +
∫
Rn
f(x, u, t, v)ν̃(dt, dv), (1)
гдеX(x, u, t), σ(x, u, t), f(x, u, t, v) неслучайны,X, f — векторные функции со значениями
вRn, t ≥ 0, x ∈ Rn, u ∈ Rk, v ∈ Rn, σ(x, u, t) — матричная функция размера n×m, w(t) —
m-мерный винеровский процесс с независимыми компонентами, ν̃(t, A) = ν(t, A)−tΠ(A),
ν(t, A) — пуассоновская мера на Rn, Eν(t, A) = tΠ(A), процесс w(t) и мера ν(t, A) незави-
симы между собой, Π(A) — мера на σ-алгебре борелевских множеств Rn. Предполагаем,
что управление u в системе (1) выбирается в виде обратной связи, т. е. функции u =
= u(x(t), t);
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО МНОГООБРАЗИЯ 55
2) программное движение со свойствами в виде интегрального многообразия
Λ(t) : λ(x, t) = 0, λ = λ(x, t) ∈ C21
xt , λ ∈ R1, (2)
уравнения (1);
3) некоторый функционал
Jx0,t0(u) =
∞∫
t0
EW
(
λ
(
xx0,t0(t), t
)
;xx0,t0(t), u
(
xx0,t0(t), t
)
, t
)
dt, (3)
где (x0, t0) — фиксированная начальная точка.
Требуется найти управляющее воздействие u0(x, t), которое обеспечивает устойчи-
вость в целом в среднем интегрального многообразия (2). При этом, каковы бы ни были
другие допустимые управляющие воздействия u∗(x, t), должно выполняться неравенство
J(u0) ≤ J(u∗), т. е. управление u0 решает задачу минимизации функционала (3).
Определение 1. Интегральным многообразием уравнения (1) называется гладкая
поверхность Λ(t) такая, что из условия (x(t0), t0) ∈ Λ(t0) следует, что с вероят-
ностью 1 (x(t), t) ∈ Λ(t) при всех t ≥ t0.
В дальнейшем предполагаем, что коэффициенты системы (1) и управление u = u(x, t)
удовлетворяют следующим условиям:
i) существует такая постоянная L > 0, что
‖X(x, u, t)‖2 +‖σ(x, u, t)‖2 +
∫
Rn
‖f(x, u, t, v)‖2Π(dv) ≤ L(1+‖x‖2) ∀x ∈ Rn, u ∈ Rk, t ≥ 0;
ii) функцииX(x, u(x, t), t), σ(x, u(x, t), t), f(x, u(x, t), t, v) непрерывны по совокупности
аргументов;
iii) выполнено локальное условие Липшица по x, т. е. для любого R > 0 найдется
такая постоянная CR > 0, что при ‖x‖ ≤ R, ‖y‖ ≤ R
‖X(x, u(x, t), t)−X(y, u(y, t), t)‖2 + ‖σ(x, u(x, t), t)− σ(y, u(y, t), t)‖2 +
+
∫
Rn
‖f(x, u(x, t), t, v)− f(y, u(y, t), t, v)‖2 Π(dv) ≤ CR‖x− y‖2.
Согласно [17, с. 276], условия i) – iii) обеспечивают существование и единственность с
точностью до стохастической эквивалентности решения xx0,t0(t) (1) с начальным услови-
ем x(t0) = x0, являющегося непрерывным справа с вероятностью 1 строго марковским
случайным процессом.
Управления, удовлетворяющие условиям ii), iii), называются допустимыми для задачи
минимизации (1), (3). Класс допустимых управлений обозначим U.
Определение 2. Функцию a(t) назовем функцией класса K (a ∈ K), если a(t) — непре-
рывная, строго возрастающая функция и a(0) = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
56 Г. К. ВАСИЛИНА, М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ
Будем рассматривать функции Ляпунова V (λ;x, t), принадлежащие C221
λxt : R1 × Rn ×
×R+ → R+ и такие, что V (0;x, t) ≡ 0.Обозначим Ṽ (x, t) = V (λ(x, t), x, t).Очевидно, что
Ṽ (x, t) ∈ C21
xt . Рассмотрим такие функции Ляпунова, чтобы выполнялись неравенства
∫
Rn
∣∣∣∣∣∣
Ṽ (x+ f(x, u, t, v), t)− Ṽ (x, t)−
(
∂Ṽ
∂xi
)T
fi(x, u, t, v)
∣∣∣∣∣∣Π(dv) < ∞,
∫
Rn
∣∣∣∣∣∣
Ṽ (x+ f(x, u, t, v), t)− Ṽ (x, t)−
(
∂Ṽ
∂xi
)T
fi(x, u, t, v)
∣∣∣∣∣∣
2
Π(dv) < ∞.
Для каждого u ∈ U введем производящий оператор
LuV (λ(x, t), x, t) = LuṼ (x, t) =
∂Ṽ
∂t
+
(
∂Ṽ
∂xi
)T
Xi +
1
2
tr
[
∂2Ṽ
∂xi∂xj
σikσ
T
jk
]
+
+
∫
Rn
Ṽ (x+ f(x, u, t, v), t)− Ṽ (x, t)−
(
∂Ṽ
∂xi
)T
fi(x, u, t, v)
Π(dv).
Будем изучать устойчивость в среднем интегрального многообразия (2) в смысле сле-
дующего определения.
Определение 3. Интегральное многообразие Λ(t) уравнения (1), определенное фор-
мулой (2), называется устойчивым в среднем при t ≥ t0, если для любого ε > 0 суще-
ствует такое r > 0, что из неравенства ρ(x0,Λ(t0)) < r следует
Eρ
(
xx0,t0(t),Λ(t)
)
< ε, t ≥ t0.
Определение 4. Интегральное многообразие Λ(t) называется асимптотически устой-
чивым в среднем при t ≥ t0, если оно устойчиво в среднем и существует такое δ > 0,
что из неравенства ρ(x0,Λ(t0)) < δ следует
lim
t→∞
Eρ(xx0,t0(t),Λ(t)) = 0. (4)
Определение 5. Интегральное многообразие Λ(t) называется устойчивым в целом в
среднем при t ≥ t0, если оно устойчиво в среднем, а соотношение (4) выполняется для
всех x0 ∈ Rn.
Теорема 1. Пусть для уравнения (1) существуют функция Ляпунова V (λ;x, t) ∈ C221
λxt
и функция u = u0(x, t) ∈ U, удовлетворяющие в области λ ∈ R1, x ∈ Rn, t ≥ 0 следую-
щим условиям:
1) a(|λ|) ≤ V (λ;x, t) ≤ b(|λ|), a, b ∈ K, причем функция a(t) выпукла вниз, а b(t)
удовлетворяет условию ∃ C1 > 0: b(t) ≤ C1t;
2) W (λ, x, u, t) ≥ c(|λ|), c ∈ K, функция c(t) выпукла вниз;
3) функция λ(x, t) ∈ C21
xt удовлетворяет условиям:
а) существует такое C2 > 0, что |Lu|λ(x, t)|| ≤ C2|λ(x, t)|,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО МНОГООБРАЗИЯ 57
б)|λ(x, t)| ≥ α(ρ(x,Λ(t))), α ∈ K, α(t) выпукла вниз,
в) существует такие C3 > 0, p > 0, что |λ(x, t)| ≤ C3(|x|p + 1).
Кроме того, выполнены следующие условия:
4) Lu0V (λ(x, t);x, t) +W (λ(x, t), x, u0(x, t), t) ≡ 0;
5) LuV (λ(x, t);x, t) +W (λ(x, t), x, u, t) ≥ 0.
Тогда управляющая функция u0(x, t) разрешает задачу оптимизации в смысле кри-
терия качества (3), при этом u0(x, t) стабилизирует систему (1) до устойчивости в
среднем в целом интегрального многообразия Λ(t).
Доказательство. Пусть u = u(x, t) — произвольное допустимое управление. Из усло-
вий 1 и 3 в) следует существование математического ожидания
EV
(
λ
(
xx0,t0u (t), t
)
;xx0,t0u (t), t
)
.
Применяя формулу Ито, получаем
EV
(
λ
(
xx0,t0u (t), t
)
, xx0,t0u (t), t
)
− V (λ(x0, t0), x0, t0) =
= E
t∫
t0
LuV
(
λ
(
xx0,t0u (s), s
)
;xx0,t0u (s), s
)
ds. (5)
Полагая в (5) u = u0(x, t) и применяя условие 4, находим
EV
(
λ
(
xx0,t0
u0
(t), t
)
, xx0,t0
u0
(t), t
)
≤ V (λ(x0, t0), x0, t0).
Используя условия 1 и 3 в), имеем
Ea(|λ(xx0,t0
u0
(t), t)|) ≤ b(|λ(x0, t0)|). (6)
В силу определения Λ(t), непрерывности λ(x, t) и свойств функции b(s) выражение справа
в (6) можно сделать столь угодно малым надлежащим выбором такого r, что ρ(x0,Λ(t0)) <
< r. Поэтому для произвольного ε > 0 существует такое r > 0, что если ρ(x0,Λ(t0)) < r,
то
b(|λ(x0, t0)|) < ε. (7)
С другой стороны, в силу неравенства Иенсена, из (6) и (7) получаем оценку
E
∣∣∣λ(xx0,t0u0
(t), t
)∣∣∣ ≤ a−1(ε).
Отсюда в силу условия 3 б) имеем
Eα
(
ρ(xx0,t0
u0
(t),Λ(t))
)
≤ a−1(ε).
Снова используя неравенство Иенсена и свойства функции класса Хана K, получаем
Eρ
(
xx0,t0
u0
(t),Λ(t)
)
≤ α−1(a−1(ε)),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
58 Г. К. ВАСИЛИНА, М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ
что доказывает устойчивость в среднем интегрального многообразия Λ(t).
Далее, из (5) и условия 4 имеем
E
t∫
t0
W
(
λ
(
xx0,t0
u0
(s), s
)
, xx0,t0
u0
(s), s
)
ds =
= V (λ(x0, t0), x0, t0)− EV
(
λ
(
xx0,t0
u0
(t), t
)
, xx0,t0
u0
(t), t
)
. (8)
Отсюда следует неравенство Jx0,t0 < ∞. Из этого неравенства и условия 2 имеем
E
∞∫
t0
c
(∣∣∣λ(xx0,t0u0
(t), t
)∣∣∣) dt < ∞,
откуда в силу выпуклости функции c(s) получаем оценку
c
E
∞∫
t0
∣∣∣λ(xx0,t0u0
(t), t
)∣∣∣ dt
< ∞,
поэтому и
E
∞∫
t0
∣∣∣λ(xx0,t0u0
(t), t
)∣∣∣ dt < ∞. (9)
Применяя к функции |λ(x, t)| формулу Ито и учитывая условие 3 а), находим
E
∣∣∣λ(xx0,t0u0
(t+ h), t+ h
)∣∣∣− E
∣∣∣λ(xx0,t0u0
(t), t
)∣∣∣ ≤ C2
t+h∫
t
E
∣∣∣λ(xx0,t0u0
(s), s
)∣∣∣ ds,
поэтому ∣∣∣∣ ∂∂t E
∣∣∣λ(xx0,t0u0
(t), t
)∣∣∣∣∣∣∣ ≤ CE
∣∣∣λ(xx0,t0u0
(t), t
)∣∣∣ .
Отсюда и из (9) следует, что
E
∣∣∣λ(xx0,t0u0
(t), t
)∣∣∣ → 0 при t → ∞. (10)
Из (10) с учетом условия 3 б) очевидным образом теперь следует устойчивость в целом в
среднем интегрального многообразия Λ(t).
Покажем теперь, что u = u0(x, t) минимизирует функционал (3).
Действительно, в силу условия 1
EV
(
λ
(
xx0,t0
u0
(t), t
)
;xx0,t0
u0
(t), t
)
≤ Eb
(∣∣∣λ(xx0,t0u0
(t), t
)∣∣∣) → 0 при t → ∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО МНОГООБРАЗИЯ 59
Поэтому, переходя в (8) к пределу при t → ∞, имеем
Jx0,t0(u0) = V (λ(x0, t0), x0, t0). (11)
Пусть u = u(x, t) — любое другое допустимое управление, для которого Jx0,t0(u) <
< ∞. Для него, аналогично выкладкам для u0, получаем
lim
t→∞
EV
(
λ
(
xx0,t0u (t), t
)
;xx0,t0u (t), t
)
= 0.
Из этого равенства, (5) и условия 5 находим
E
t∫
t0
W
(
λ
(
xx0,t0u (s), s
)
;xx0,t0u (s), u
(
xx0,t0u (s), s
)
, s
)
ds ≥ V (λ(x0, t0), x0, t0).
Отсюда и из (11) следует, что
min
u∈U
Jx0,t0(u) = Jx0,t0(u0),
что и доказывает теорему.
Линейно-квадратическая задача. Применим теорему 1 к исследованию линейного отно-
сительно x ∈ R1 и u ∈ R1 уравнения
dx=
[
g(t)dt+ σ(t)dω +
∫
f(t, v)ν̃(dt, dv)
]
x+
[
h(t)dt+ ϕ(t)dω +
∫
q(t, v)ν̃(dt, dv)
]
u, (12)
где g(t), σ(t), f(t, v), h(t), ϕ(t), q(t, v) — непрерывные ограниченные функции по времени.
Рассмотрим задачу об оптимальной стабилизации системы (12) при критерии каче-
ства с функцией
W (x, u, t) = p(t)x2 + γu2,
где p(t) > 0 при t ≥ t0, γ > 0.
Будем искать оптимальную функцию Ляпунова V (x, t), удовлетворяющую условиям
теоремы, в виде неотрицательной функции
V (x, t) = B(t)x2. (13)
Уравнение Беллмана
min
u∈(−∞,∞)
[LuV (x, t) +W (x, u, t)] = 0,
связывающее оптимальную функцию Ляпунова V (x, t) и оптимальное управление u0(x, t),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
60 Г. К. ВАСИЛИНА, М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ
имеет вид
dB
dt
x2 + 2Bg(t)x2 +Bσ2(t)x2 +
∫
B(t)f2(t, v)x2Π(dv) + p(t)x2 =
= − min
u∈(−∞,∞)
{
u
[
2Bh(t)x+ 2Bσ(t)ϕ(t)x+ 2
∫
B(t)f(t, v)q(t, v)xΠ(dv)
]
+
+u2
[
Bϕ2(t) + γ +
∫
B(t)q2(t, v)
]
Π(dv)
}
=
= −u0
[
2Bh(t)x+ 2Bσ(t)ϕ(t)x+ 2
∫
B(t)f(t, v)q(t, v)xΠ(dv)
]
−
− u2
0
[
Bϕ2(t) + γ +
∫
B(t)q2(t, v)Π(dv)
]
. (14)
Функция u0(x, t) в (14) такова:
u0(x, t) = −
B(t)h(t)x+B(t)σ(t)ϕ(t)x+
∫
B(t)f(t, v)q(t, v)xΠ(dv)
γ +B(t)ϕ2(t) +
∫
B(t)q2(t, v)Π(dv)
. (15)
Оптимальное управление линейно по x, оптимальная функция Ляпунова задается форму-
лой (13).
Из (14) и (15) для определения функции B(t) получаем уравнение
dB
dt
+ 2Bg(t) +Bσ2(t) +
∫
B(t)f2(t, v)Π(dv) + p(t) =
=
(
Bh(t) +Bσ(t)ϕ(t) +
∫
B(t)f(t, v)q(t, v)Π(dv)
)2
γ +Bϕ2(t) +
∫
B(t)q2(t, v)Π(dv)
. (16)
Из теоремы 1 следует такое утверждение.
Лемма 1. Если уравнение (16) имеет ограниченное положительно определенное при
всех t ≥ t0 решение B(t), то управление (15) доставляет минимум функционалу
Jx0,t0(u) =
∞∫
t0
E
[
p(t)
(
xx0,t0u (t)
)2
+ γu2
(
xx0,t0u (t), t
)]
dt.
Сформулируем условия существования ограниченного положительно определенного
решения уравнения (16).
Теорема 2. Если существует линейное допустимое управление u1(x, t) = µ(t)x, ста-
билизирующее систему (5) до экспоненциально устойчивой в среднем квадратическом,
то для любого γ > 0 и любой положительно определенной непрерывной ограниченной
функции p(t) существует линейное управление u0(x, t) ∈ U, оптимальное в смысле кри-
терия качества Jx0,t0(u). Управление u0(x, t) также стабилизирует уравнение (12) до
экспоненциально устойчивой в среднем квадратическом системы. При этом
Jx0,t0(u0) = min
u∈U
Jx0,t0(u) = V (x0, t0) = B0(t0)x2
0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО МНОГООБРАЗИЯ 61
где B0(t0) — единственное ограниченное положительно определенное решение уравне-
ния (16).
Доказательство. Определим функцию V T
1 (x, t0) формулой
V T
1 (x, t0) =
T∫
t0
EW
(
xx0,t0u1 (s), u1(xx0,t0u1 (s), s), s
)
ds.
В силу равенства
V T
1 (x, t0) =
t0+∆∫
t0
EW
(
xx0,t0u1 (s), u1
(
xx0,t0u1 (s), s
)
, s
)
ds+ EV T
1
(
xx0,t0(t0 + ∆), t0 + ∆
)
и формулы Ито получим
Lu1V
T
1 + p(t0)x2 + γu2
1(x, t0) = 0, V T
1 (x, T ) ≡ 0. (17)
С другой стороны, из линейности u1(x, t) следует, что процесс xu1(t) описывается сис-
темой линейных стохастических уравнений, и, значит, V T
1 (x, t0) является квадратичной
формой по x :
V T
1 (x, t0) = BT
1 (t0)x2.
Отсюда и из структуры уравнения (8) следует, что это уравнение можно рассматривать
как линейное дифференциальное уравнение относительно BT
1 (t0). Коэффициенты этого
уравнения не зависят от T. Кроме того, из экспоненциальной устойчивости в среднем
квадратическом уравнения (12) при u = u1(x, t) и неравенстваW (x, u, t) ≤ k1|x|2 следуют
ограниченность BT
1 (t0) и существование предела
V1(x, t0) = lim
T→∞
V T
1 (x, t0) = B1(t0)x2.
Отсюда и из леммы 4.1 [11, с. 339] находим, чтоB1(t0) также непрерывно дифференцируе-
ма и удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению. Следовательно, функция
V1(x, t0) удовлетворяет уравнению
Lu1V1 + p(t0)x2 + γu2
1(x, t0) = 0. (18)
Определим теперь функцию u2(x, t0) соотношением
min
u∈(−∞,∞)
[
LuV1 + p(t0)x2 + γu2
]
= Lu2V1 + p(t0)x2 + γu2
2. (19)
Из (18) и (19) следует неравенство
Lu2V1 + p(t0)x2 + γu2
2 ≤ 0. (20)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
62 Г. К. ВАСИЛИНА, М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ
Кроме того, из (19) получаем
u2(x, t0) = −
B1(t0)h(t0)x+B1(t0)σ(t0)ϕ(t0)x+
∫
B1(t0)f(t0, v)q(t0, v)xΠ(dv)
γ +B1(t0)ϕ2(t0) +
∫
B1(t0)q2(t0, v)Π(dv)
.
Поскольку h(t0), ϕ(t0), σ(t0), ϕ(t0), B1(t0) ограничены, а
B1(t0)ϕ2(t0) ≥ 0,
∫
B1(t0)q2(t, v)Π(dv) ≥ 0,
то u2(x, t0) — линейная форма с ограниченными коэффициентами. Пусть теперь V T
2 (x, t0)
задается формулой
V T
2 (x, t0) =
T∫
t0
EW
(
xx0,t0u2 (s), u2
(
xx0,t0u2 (s), s
)
, s
)
ds.
Аналогично (17) для V T
2 (x, t0) получаем соотношения
Lu2V
T
2 + p(t0)x2 + γu2
2(x, t0) = 0, V T
2 (x, T ) ≡ 0. (21)
Отсюда и из (20) для разности
V1(x, t0)− V T
2 (x, t0) = ΦT (x, t0)
следуют оценки
Lu2ΦT (x, t0) ≤ 0, ΦT (x, T ) ≥ 0.
Из этих оценок и формулы Ито
EΦT (xx0,t0(T ), T )− ΦT (x, t0) =
T∫
t0
ELu2ΦT (xx0,t0(s), s)ds
следуют неравенства
−ΦT (x, t0) ≤ EΦT (xx0,t0u2 (T ), T )− ΦT (x, t0) ≤ 0.
Таким образом,
ΦT (x, t0) = V1(x, t0)− V T
2 (x, t0) ≥ 0
и при любом T ≥ t0 выполняется неравенство
V1(x, t0) ≥ V T
2 (x, t0). (22)
Поэтому интеграл
V2(x, t0) =
T∫
t0
EW
(
xx0,t0u2 (s), u2
(
xx0,t0u2 (s), s
)
, s
)
ds
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО МНОГООБРАЗИЯ 63
сходится. Точно так же, как и выше, отсюда и из (21) получаем, что V2(x, t0) = B2(t0)x2
тоже удовлетворяет уравнению (21). Переходя в (22) к пределу при T → ∞, имеем
B2(t0) ≤ B1(t0).
Действуя далее аналогичным образом, находим функции u3(x, t0), u4(x, t0), . . . из соотно-
шений
min
u∈(−∞,∞)
[
LuVn−1 + p(t0)x2 + γu2
]
= LunVn−1 + p(t0)x2 + γu2
n. (23)
При этом
un(x, t0) = −
Bn−1(t0)h(t0)x+Bn−1(t0)σ(t0)ϕ(t0)x+
∫
Bn−1(t0)f(t0, v)q(t0, v)xΠ(dv)
γ +Bn−1(t0)ϕ2(t0) +
∫
Bn−1(t0)q2(t0, v)Π(dv)
.
(24)
Функции V3(x, t0), V4(x, t0), . . . определяются равенствами
Vn(x, t0) =
∞∫
t0
EW
(
xx0,t0un (s), un
(
xx0,t0un (s), s
)
, s
)
ds. (25)
Аналогично предыдущему интеграл в (25) сходится и справедливо равенство
LunVn + p(t0)x2 + γu2
n = 0. (26)
Кроме того,
B1(t0) ≥ B2(t0) ≥ . . . ≥ Bn(t0) ≥ . . . .
Предел монотонно убывающей последовательности функцийB1(t0), B2(t0), . . . , Bn(t0), . . .
существует. Обозначим его B0(t0), тогда
V (x, t0) = B0(t0)x2.
Отсюда и из (24) следует существование предела управлений
lim
n→∞
un(x, t0) = u0(x, t0) = µ(t0)x. (27)
Из (24) следует также, что функция u0(x, t0) линейна по x.Из (23), (26) и (27) следует, что
функции V (x, t0) и u0(x, t0) связаны уравнением Беллмана
min
u∈(−∞,∞)
[
LuV + p(t0)x2 + γu2
]
= Lu0V + p(t0)x2 + γu2
0 = 0.
Отсюда и из теоремы 1 следуют все утверждения теоремы 2.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
64 Г. К. ВАСИЛИНА, М. И. ТЛЕУБЕРГЕНОВ
Литература
1. Галиуллин А. С. Методы решения обратных задач динамики. — М., 1986. — 224 с.
2. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. — М., 1950. — 472 с.
3. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1965. — 208 с.
4. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. — М., 1966. — 530 с.
5. Зубов В. И. Устойчивость движения. — М., 1973. — 272 с.
6. Матросов В. М. Об устойчивости множеств неизолированных положений равновесия систем // Тру-
ды КАИ. — 1965. — Вып. 89. — С. 20 – 32.
7. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov’s second method. — Tokyo: Math. Soc. Jap., 1966. — 224 p.
8. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные
торы. — М.: Наука, 1987. — 303 с.
9. Bertram J. E., Sarachik P. E. Stability of circuits with randomly time-varying parameters // Proc. Int. Circ.
and Inform. Theory. Los Angeles. Calif. IRE Trans. CT-6. — 1959. — P. 260 – 270.
10. Кац И. Я., Красовский Н. Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // Прикл. матема-
тика и механика. — 1960. — 27, вып. 5. — С. 809 – 823.
11. Хасьминский Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях
их параметров. — М., 1969. – 368 с.
12. Samoilenko A. M., Stanzhytskyi O. M. Qualitative and asymptotic analysis of differential equations with
random perturbations. — Singapore: World Sci. Publ., 2011. — 312 p.
13. Станжицкий А. Н. Об устойчивости по вероятности инвариантных множеств систем со случайными
возмущениями // Нелiнiйнi коливання. — 1998. — 1, № 2. — С. 138 – 142.
14. Станжицький О. М. Дослiдження iнварiантних множин стохастичних систем Iто за допомогою функ-
цiй Ляпунова // Укр. мат. журн. — 2001. — 53, № 2. — С. 282 – 285.
15. Галиуллин А. С. Устойчивость движения. — М.: Наука, 1973. — 104 с.
16. Тлеубергенов М. И. Об устойчивости по вероятности программного движения // Изв. МОН РК, НАН
РК. — 2002. — № 3. — С. 47 – 53.
17. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. — Киев: Наук. думка,
1968. — 356 с.
18. Василина Г. К., Тлеубергенов М. И. О решении задачи стохастической устойчивости интегрального
многообразия вторым методом Ляпунова // Укр. мат. журн. — 2016. — 68, № 1. — С. 14 – 27.
19. Летов А. М. Динамика полета и управление. — М., 1969. — 360 с.
20. Красовский Н. Н. Проблемы стабилизации управляемых движений. Дополнение к книге Малкина
И. Г. Теория устойчивости движения. — М., 1966. — 530 с.
21. Красовский Н. Н., Лидский Э. А. Аналитическое конструирование регуляторов. I, II, III // Автомати-
ка и телемеханика. — 1961. — 22, № 9. — C. 1145 – 1150; № 10. — C. 1273 – 1278; № 11. — C. 1425 – 1431.
22. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов. I – V // Автоматика и телемеханика. —
1960. — 21, № 4. — С. 436 – 441; № 5. — С. 561 – 568; № 6. — С. 661 – 665; 1961. — 22, № 4. — С. 425-435;
1962. — 23, № 11. — С. 1405 – 1413.
23. Хасьминский Р. З. Устойчивость стохастических дифференциальных уравнений с переключением
режима // Проблемы передачи информации. — 2012. — 48, вып. 3. — С. 70 – 82.
24. Невельсон М. Б., Хасьминский Р. З. Устойчивость и стабилизация стохастических дифференциаль-
ных уравнений // Летняя школа по теории вероятностей и мат. статистике. — Киев, 1969. — С. 68 – 121.
25. Phillis Y. A. Optimal stabilization of stochastic systems // J. Math. Anal. and Appl. — 1983. — 94, № 2. —
P. 489 – 500.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО МНОГООБРАЗИЯ 65
26. Валеев К. Г., Карелова О. Л., Горелов В. И. Оптимизация линейных систем со случайными коэффици-
ентами. — М.: Изд-во Рос. ун-та дружбы народов, 1996. — 258 с.
27. Рачков М. Ю. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. — М.:
МГИУ, 2005. — 136 с.
28. Тлеубергенов М. И. Об оптимальной стабилизации программного движения // Материалы V конф.
молодых ученых Ун-та дружбы народов (мат., физ., хим.). — М., 1982. — Ч. I. — С. 9-13. — Деп. в
ВИНИТИ, № 3814 – 82.
Получено 23.02.16,
после доработки — 12.05.16
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
|