Про обмежені розв'язки різницевого рівняння зі змінним операторним коефіцієнтом
Исследуется вопрос о существовании единственного ограниченного решения одного разностного уравнения с переменным операторным коэффициентом в конечномерном банаховом пространстве....
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177293 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про обмежені розв'язки різницевого рівняння зі змінним операторним коефіцієнтом / М.Ф. Городній, І.В. Гончар // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 66-73 — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177293 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772932021-02-15T01:26:31Z Про обмежені розв'язки різницевого рівняння зі змінним операторним коефіцієнтом Городній, М.Ф. Гончар, І.В. Исследуется вопрос о существовании единственного ограниченного решения одного разностного уравнения с переменным операторным коэффициентом в конечномерном банаховом пространстве. We study the problem of existence of a unique bounded solution of a difference equation with variable operator coefficient in a finite-dimensional Banach space. 2017 Article Про обмежені розв'язки різницевого рівняння зі змінним операторним коефіцієнтом / М.Ф. Городній, І.В. Гончар // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 66-73 — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177293 517.929.2 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Исследуется вопрос о существовании единственного ограниченного решения одного разностного уравнения с переменным операторным коэффициентом в конечномерном банаховом пространстве. |
| format |
Article |
| author |
Городній, М.Ф. Гончар, І.В. |
| spellingShingle |
Городній, М.Ф. Гончар, І.В. Про обмежені розв'язки різницевого рівняння зі змінним операторним коефіцієнтом Нелінійні коливання |
| author_facet |
Городній, М.Ф. Гончар, І.В. |
| author_sort |
Городній, М.Ф. |
| title |
Про обмежені розв'язки різницевого рівняння зі змінним операторним коефіцієнтом |
| title_short |
Про обмежені розв'язки різницевого рівняння зі змінним операторним коефіцієнтом |
| title_full |
Про обмежені розв'язки різницевого рівняння зі змінним операторним коефіцієнтом |
| title_fullStr |
Про обмежені розв'язки різницевого рівняння зі змінним операторним коефіцієнтом |
| title_full_unstemmed |
Про обмежені розв'язки різницевого рівняння зі змінним операторним коефіцієнтом |
| title_sort |
про обмежені розв'язки різницевого рівняння зі змінним операторним коефіцієнтом |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177293 |
| citation_txt |
Про обмежені розв'язки різницевого рівняння зі змінним операторним коефіцієнтом / М.Ф. Городній, І.В. Гончар // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 66-73 — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT gorodníjmf proobmeženírozvâzkiríznicevogorívnânnâzízmínnimoperatornimkoefícíêntom AT gončarív proobmeženírozvâzkiríznicevogorívnânnâzízmínnimoperatornimkoefícíêntom |
| first_indexed |
2025-07-15T15:20:11Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:20:11Z |
| _version_ |
1837726760982020096 |
| fulltext |
УДК 517.929.2
ПРО ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ
ЗI СТРИБКОМ ОПЕРАТОРНОГО КОЕФIЦIЄНТА
М. Ф. Городнiй, I. В. Гончар
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
вул. Володимирська, 64, Київ, 01033, Україна
We study the problem of existence of a unique bounded solution of a difference equation with variable
operator coefficient in a finite-dimensional Banach space.
Исследуется вопрос о существовании единственного ограниченного решения одного разностно-
го уравнения с переменным операторным коэффициентом в конечномерном банаховом про-
странстве.
Нехай X — скiнченновимiрний комплексний банахiв простiр iз нормою ‖ · ‖ i нульовим
елементом 0̄; A, B — лiнiйнi оператори в X, для яких iснують оберненi оператори A−1,
B−1; I — одиничний оператор в X.
Розглянемо рiзницеве рiвняння
xn+1 = Axn + yn, n ≥ 1,
xn+1 = Bxn + yn, n ≤ 0,
(1)
в якому {yn, n ∈ Z} — задана, а {xn, n ∈ Z} — шукана послiдовнiсть елементiв просто-
ру X.
Мета цiєї статтi — отримати необхiднi i достатнi умови на оператори A, B, при вико-
наннi яких справджується наступна умова.
Умова 1. Для довiльної обмеженої в X послiдовностi {yn, n ∈ Z} рiвняння (1) має
єдиний обмежений розв’язок {xn, n ∈ Z} у просторi X.
Аналогiчне питання дослiджувалося, зокрема, в [1 – 3] для рiзницевого рiвняння зi ста-
лими i в [2, 4 – 6] зi змiнними операторними коефiцiєнтами. У роботi [6, с. 250] доведено,
що для рiзницевого рiвняння
xn+1 = Tnxn + yn, n ∈ Z, (2)
умова iснування єдиного обмеженого розв’язку еквiвалентна умовi дискретної дихото-
мiї для послiдовностi операторiв {Tn, n ∈ Z}. Останню умову важко перевiряти. Iнший
пiдхiд до дослiдження питання про iснування єдиного обмеженого розв’язку рiвняння (2)
запропоновано в [2, с. 25]. Цей пiдхiд розвивається i використовується в данiй роботi.
У випадку, коли вiдповiдне рiвнянню (2) однорiдне рiвняння xn+1 = Tnxn, n ∈ Z, є екс-
поненцiально дихотомiчним на пiвосях Z−, Z+ з проекторами Q,P вiдповiдно i оператор
D = P − (I − Q) є нормально розв’язним, питання про iснування обмежених розв’язкiв
рiзницевого рiвняння (2), вiдповiдних заданiй обмеженiй послiдовностi {yn, n ∈ Z}, роз-
глядалось у роботах [7 – 10].
c© М. Ф. Городнiй, I. В. Гончар, 2017
66 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ПРО ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 67
Допомiжнi твердження. Покладемо
Q− =
{
z ∈ X
∣∣ sup
k≥1
∥∥∥Akz∥∥∥ < ∞} ,
Q−n− =
{
z ∈ X
∣∣ sup
k≥1
∥∥∥AkBnz
∥∥∥ < ∞} , n ≥ 1,
Q+ =
{
z ∈ X
∣∣ sup
k≥1
∥∥∥B−kz∥∥∥ < ∞} ,
Qn+ =
{
z ∈ X
∣∣ sup
k≥1
∥∥∥B−kA−nz∥∥∥ < ∞} , n ≥ 1.
Усi цi множини лiнiйнi, а отже, є пiдпросторами скiнченновимiрного простору X.
У подальшому використовуються наступнi леми.
Лема 1. Якщо виконується умова 1, то X = Q−+̇Q+, тобто X є прямою сумою Q−
та Q+.
Доведення. Зафiксуємо u ∈ X i доведемо, що знайдуться такi α ∈ Q−, β ∈ Q+, що
u = α+ β. Розглянемо рiвняння
un+1 = Aun, n ≥ 1,
u1 = Bu0 + u,
un+1 = Bun, n ≤ −1.
За умовою 1 воно має єдиний розв’язок {un, n ∈ Z}. Тодi u0 належитьQ+, оскiльки u−k =
= B−ku0, k ≥ 1. Iз того, що u0 ∈ Q+, випливає, що Bu0 ∈ Q+. Також u1 належить Q−,
оскiльки uk+1 = Aku1, k ≥ 1. Отже, u = α+ β, де α = u1, β = −Bu0.
Доведемо єдинiсть розкладу. Припустимо, що u = α1 + β1 = α2 + β2. Тодi α1 − α2 =
= β2 − β1, причому α1 − α2 ∈ Q−, β2 − β1 ∈ Q+. З iншого боку, якщо iснує u 6= 0̄,
u ∈ Q− ∩Q+, то однорiдне рiвняння
xn+1 = Axn, n ≥ 1,
xn+1 = Bxn, n ≤ 0,
має окрiм нульового ненульовий обмежений розв’язок{
. . . , B−2u,B−1u, u︸︷︷︸
1
, Au,A2u, . . .
}
.
Прийшли до суперечностi.
Лему 1 доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
68 М. Ф. ГОРОДНIЙ, I. В. ГОНЧАР
Лема 2. Якщо X = Q−+̇Q+, то X = Q−+̇Qn+ = Q−n− +̇Q+ для довiльного n ≥ 1.
Доведення. Зафiксуємо n ≥ 1 i доведемо, що X = Q−n− +̇Q+. Припустимо, що iснує
u 6= 0̄, u ∈ Q−n− +̇Q+. Тодi Bnu 6= 0̄, Bnu ∈ Q− ∩Q+. Суперечнiсть.
Також для кожного u ∈ X iснує зображення u = u−−n + u+−n, де u−−n ∈ Q−n− , u+−n ∈
∈ Q+. Дiйсно, оскiльки X = Q−+̇Q+, то знайдуться такi w− ∈ Q−, w
+ ∈ Q+, що Bnu =
= w−+w+. Покладемо u−−n = B−nw−. Тодi u−−n ∈ Q−n− , а також (u−u−−n) ∈ Q+, оскiльки
Bn(u− u−−n) = w+ ∈ Q+.
Лему 2 доведено.
Лема 3. Якщо виконується умова 1, то спектри σ(A), σ(B) операторiв A, B не пере-
тинаються з одиничним колом S =
{
λ ∈ C
∣∣ |λ| = 1
}
.
Доведення. Припустимо, вiд супротивного, що iснує λ ∈ S ∩ σ(A). Зафiксуємо ба-
зис e1, e2, . . . , em в X, у якому A має жорданову нормальну форму. Нехай простiр X є
m-вимiрним, а числу λ вiдповiдає клiтина Жордана розмiру k × k. Базис в X вибираємо
так, щоб у ньому оператору A вiдповiдала матриця
λ 1 0 . . . 0 0 |
0 λ 1 . . . 0 0 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . |
0 0 0 . . . λ 1 |
0 0 0 . . . 0 λ |
− − − − − − − −
| M
.
Тут M — квадратна матриця розмiрностi (m − k) × (m − k) (вiдсутня при m = k) i на
незаповнених мiсцях розташовано нулi. Розглянемо послiдовнiсть
yn = λne1, n ≥ 1; yn = 0̄, n ≤ 0. (3)
За умовою 1 їй вiдповiдає єдиний розв’язок {xn, n ∈ Z} рiвняння (1). З (1), (3) випливає,
що для всiх n ≥ 1
xn+1 = Anx1 + nλne1. (4)
Нехай x1 =
∑m
j=1 tjej . Оскiльки
An =
λn C1
nλ
n−1 . . . Ck−1n λn−k+1 |
0 λn . . . Ck−2n λn−k+2 |
. . . . . . . . . . . . |
0 0 . . . λn |
− − − − − −
| Mn
, n ≥ 1,
то внаслiдок (4) перша координата (xn+1)1 вектора xn+1 набирає вигляду (xn+1)1 = λnt1+
+nλn. Це суперечить обмеженостi послiдовностi {xn, n ∈ Z}.
Таким чином, S ∩ σ(A) = ∅.
Аналогiчно перевiряється, що S ∩ σ(B) = ∅.
Лему 3 доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ПРО ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 69
Нехай σ−(A), σ−(B) — частини спектрiв операторiвA,B, якi лежать всерединi, а σ+(A),
σ+(B) — зовнi кола S. Вважатимемо, що множини σ±(A), σ±(B) непорожнi. Зауважимо,
що всi отриманi нижче результати залишаються справедливими i у випадку, коли серед
цих множин є порожнi, з очевидними змiнами в отриманих формулах.
Внаслiдок леми 3 при виконаннi умови 1 простiр X розкладається в пряму суму iнва-
рiантних вiдносно A пiдпросторiв X = X+(A)+̇X−(A) таким чином, що звуження A−, A+
оператора A на X−(A), X+(A) мають спектри σ−(A) σ+(A). Також X = X+(B)+̇X−(B)
i звуження B−, B+ оператора B на X−(B), X+(B) мають такi ж властивостi. Зазначимо,
що при цьому ряди
∞∑
n=1
∥∥A−n+
∥∥ , ∞∑
n=1
∥∥An−∥∥ , ∞∑
n=1
∥∥B−n+
∥∥ , ∞∑
n=1
∥∥Bn
−
∥∥ . (5)
збiгаються.
Лема 4. Якщо S ∩ σ(A) = ∅, S ∩ σ(B) = ∅, то Q− = X−(A), Q+ = X+(B).
Доведення. Внаслiдок збiжностi ряду
∑∞
n=1
∥∥An−∥∥ послiдовнiсть {‖Anz‖ , n ≥ 1} обме-
жена для кожного z ∈ X−(A) : supn≥1 ‖Anz‖ = supn≥1
∥∥An−z∥∥ < ∞, а отже, X−(A) ⊂ Q−.
Також при z ∈ X+(A) ∩Q−
‖z‖ =
∥∥A−n+ An+z
∥∥ ≤ ∥∥A−n+
∥∥ sup
k≥1
∥∥∥Ak+z∥∥∥ → 0, n → ∞,
оскiльки ряд
∑∞
n=1
∥∥A−n+
∥∥ збiгається.
Таким чином, z = 0̄ i Q− = X−(A). Аналогiчно встановлюємо, що Q+ = X+(B).
Лему 4 доведено.
Основнi результати. Нехай X = Q−+̇Q+. Зафiксуємо обмежену послiдовнiсть ȳ =
= {yn, n ∈ Z} i покладемо ‖ȳ‖∞ = supn∈Z‖yn‖. Внаслiдок леми 2 елементи цiєї послiдов-
ностi єдиним чином зображуються у виглядi
y0 = y−0 + y+0 , y−0 ∈ Q−, y+0 ∈ Q+;
якщо n ≥ 1, то yn = y−n + y+n , y
−
n ∈ Q−, y
+
n ∈ Qn+; якщо ж n ≤ −1, то yn = y−n + y+n ,
y−n ∈ Q−n− , y+n ∈ Q+.
Покладемо
x1 = y−0 +
−1∑
ν=−∞
B|ν|y−ν −
∞∑
ν=1
A−νy+ν , (6)
xn = y−n−1 +
n−2∑
k=0
An−1−ky−k +
−1∑
ν=−∞
An−1B|ν|y−ν −
∞∑
ν=n
An−1−νy+ν ∀n ≥ 2, (7)
xn = y−n−1 +
n−2∑
ν=−∞
B|ν|+n−1y−ν −
0∑
ν=n
Bn−1−νy+ν −
∞∑
ν=1
Bn−1A−νy+ν ∀n ≤ 0. (8)
Основними результатами статтi є наступнi теореми.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
70 М. Ф. ГОРОДНIЙ, I. В. ГОНЧАР
Теорема 1. Припустимо, що виконуються такi умови:
i) σ(A) ∩ S = ∅, σ(B) ∩ S = ∅,
ii) X = X−(A)+̇X+(B).
Тодi ряди з (6) – (8) абсолютно збiгаються за нормою i задають вiдповiдний послiдов-
ностi {yn, n ∈ Z} обмежений розв’язок {xn, n ∈ Z} рiвняння (1). Цей розв’язок єдиний у
класi всiх обмежених в X послiдовностей.
Доведення. Покажемо, що ряди з (6) абсолютно збiгаються за нормою. Iз умов i),
ii) i леми 4 випливає, що X = Q−+̇Q+. Позначимо через P−, P+ проектори в X на пiд-
простори Q−, Q+, що вiдповiдають зображенню X = Q−+̇Q+. При фiксованому n ≥ 1
внаслiдок леми 2 кожен елемент w ∈ X єдиним чином зображується у виглядi w =
= w−(n) + w+(n), де w−(n) ∈ Q−, w+(n) ∈ Qn+. При цьому A−nw−(n) ∈ Q−, A−nw+(n) ∈
∈ Q+ i A−nw = A−nw−(n) +A−nw+(n), а отже, P+A
−nw = A−nw+(n). Звiдси
w+(n) = AnP+A
−nw. (9)
Аналогiчно встановлюємо, що w = w−(−n) + w+(−n), де w−(n) ∈ Q−n− , w+(n) ∈ Q+,
причому
w−(−n) = B−nP−B
nw. (10)
Внаслiдок (6), (9), (10)
x1 = P−y0 +
−1∑
ν=−∞
P−B
|ν|yν −
∞∑
ν=1
P+A
−νyν . (11)
Нехай PA− , P
A
+ — проектори в X на X−(A), X+(A), що вiдповiдають зображенню X =
= X−(A)+̇X+(A), а PB− , P
B
+ — проектори в X на X−(B), X+(B), що вiдповiдають зобра-
женню X = X−(B)+̇X+(B). Тодi PB+ yν ∈ X+(B) = Q+ для кожного ν ≤ −1, звiдки
P−B
|ν|yν = P−B
|ν|PB− yν + P−B
|ν|PB+ yν = P−B
|ν|
− P
B
− yν . (12)
Аналогiчно для кожного ν ≥ 1
P+A
−νyν = P+A
−ν
+ PA+ yν . (13)
Тому з урахуванням збiжностi рядiв (5) та зображення (11) ряди з (6) абсолютно збiга-
ються за нормою, а також
‖x1‖ ≤ ‖ȳ‖∞
(
‖P−‖ ‖PB− ‖
∞∑
n=0
‖Bn
−‖+ ‖P+‖ ‖PA+ ‖
∞∑
n=1
‖A−n+ ‖
)
. (14)
Доведемо, що при фiксованому n ≥ 2 ряди з (7) абсолютно збiгаються за нормою.
Зафiксуємо w ∈ X i такi натуральнi числа q, m, що 1 ≤ q < m. За лемою 2 елемент
w ∈ X єдиним чином зображується у виглядi w = w−(m) + w+(m), де w−(m) ∈ Q−,
w+(m) ∈ Qm+ . Тому
Aq−mw = Aq−mw−(m) +Aq−mw+(m), (15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ПРО ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 71
причому Aq−mw−(m) ∈ Q−, Aq−mw+(m) ∈ Qq+.
Позначимо через P q−, P
q
+ проектори в X, якi вiдповiдають зображенню X = Q−+̇Qq+.
Тодi внаслiдок (15) P q+A
q−mw = Aq−mw+(m), а отже,
w+(m) = Am−qP q+A
q−mw = Am−qP q+
(
PA−A
q−m
− PA−w + PA+A
q−m
+ PA+w
)
=
= Am−qP q+A
q−m
+ PA+w. (16)
Згiдно з (7), (10), (12), (16) при n ≥ 2 маємо
xn = Pn−1− yn−1 +
n−2∑
k=1
An−1−k− P k−yk +An−1− P−y0+
+
−1∑
ν=−∞
An−1− P−B
|ν|
− P
B
− yν −
∞∑
ν=n
Pn−1+ An−1−ν+ PA+ yν .
Тому внаслiдок збiжностi рядiв (5) ряди з (7) абсолютно збiгаються за нормою i для кож-
ного n ≥ 2
‖xn‖ ≤ ‖ȳ‖∞
(
n−1∑
k=0
‖An−1−k− ‖ ‖P k−‖+ ‖An−1− ‖ ‖P−‖ ‖PB− ‖
∞∑
k=0
‖Bk
−‖+
+‖Pn−1+ ‖ ‖PA+ ‖
∞∑
k=1
‖A−k+ ‖
)
. (17)
Тут P 0
− = P−, P
0
+ = P+.
Аналогiчно до (16), (17) перевiряється, що коли при фiксованих w ∈ X, 1 ≤ q < m
позначити через P−q− , P−q+ проектори в X, що вiдповiдають зображенню X = Q−q− +̇Q+,
то w єдиним чином зображується у виглядi w = w−(−m) + w+(−m), де w−(−m) ∈ Q−m− ,
w+(−m) ∈ Q+, причому
w−(−m) = Bq−mP−q− Bm−q
− PB−w, (18)
а також для кожного фiксованого n ≤ 0 ряди з (8) абсолютно збiгаються за нормою i
‖xn‖ ≤ ‖ȳ‖∞
‖Pn−1− ‖ ‖PB− ‖
∞∑
k=0
‖Bk
−‖+
|n|∑
k=0
‖P−k+ ‖ ‖B
−|n|−1+k
+ ‖+
+‖P+‖ ‖PA+ ‖ ‖B
−|n|−1
+ ‖
∞∑
ν=1
‖A−ν+ ‖
)
. (19)
Внаслiдок (14), (17), (19) для доведення обмеженостi послiдовностi {xn, n ∈ Z} досить
переконатися, що є обмеженими послiдовностi
{
‖Pn−‖, n ∈ Z
}
i
{
‖Pn+‖, n ∈ Z
}
. Оскiльки
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
72 М. Ф. ГОРОДНIЙ, I. В. ГОНЧАР
P k− + P k+ = I для кожного k ∈ Z, то обмеженiсть вказаних послiдовностей випливає з
обмеженостi послiдовностей
{
‖P−k− ‖, k ≥ 1
}
та
{
‖P−k+ ‖k ≥ 1
}
.
Доведемо обмеженiсть послiдовностi
{
‖P−k− ‖, k ≥ 1
}
. Iз (10) випливає, що P−k− =
= B−kP−B
k = I − B−kP+B
k для кожного k ≥ 1, а отже, досить перевiрити обмеженiсть
послiдовностi
{
‖B−kP+B
k‖, k ≥ 1
}
. Зафiксуємо k ≥ 1.ОскiлькиX = X−(B)+̇X+(B), то
в X можна вибрати такий базис g1, g2, . . . , gm, що для деякого натурального r, 1 ≤ r < m,
звуження оператора B на X−(B) має жорданову нормальну форму у базисi g1, g2, . . . , gr,
а звуження B+ на X+(B) — у базисi gr+1, gr+2, . . . , gm. Тодi для кожного r + 1 ≤ j ≤ m
‖B−kP+B
kgj‖ = ‖B−kP+B
k
+gj‖ = ‖B−kBk
+gj‖ = ‖gj‖. (20)
Нехай, для визначеностi, матриця оператораB− у базисi g1, g2, . . . , gr є клiтиною Жор-
дана розмiру r×r,що вiдповiдає власному числу λ.Тодi при k ≥ r операторуBk
− вiдповiдає
матриця
λk C1
kλ
k−1 . . . Cr−1k λk−r+1
0 λk . . . Cr−2k λk−r+2
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . λk
.
Тому B−kP+B
kg1 = λkB−k+ P+g1 i для кожного 2 ≤ j ≤ r
B−kP+B
kgj = B−k+
(
Cj−1k λk−j+1P+g1 + Cj−2k λk−j+2P+g2 + . . .
. . .+ C1
kλ
k−1P+gj−1 + λkP+gj
)
.
Оскiльки |λ| < 1 i ряд
∑∞
k=1 ‖B
−k
+ ‖ збiгається, то
sup
k≥1,1≤j≤r
‖B−kP+B
kgj‖ < ∞. (21)
Розглядаючи окремо кожну клiтину Жордана матрицi B− у випадку, коли їх декiлька,
i враховуючи оцiнки (20), (21), робимо висновок, що послiдовнiсть
{
‖B−kP+B
k‖, k ≥ 1
}
є обмеженою.
Обмеженiсть послiдовностi
{
‖P k+‖, k ≥ 1
}
перевiряється аналогiчно.
Той факт, що {xn, n ∈ Z} задає єдиний у класi обмежених послiдовностей розв’язок
рiзницевого рiвняння (1), вiдповiдний обмеженiй послiдовностi {yn, n ∈ Z}, випливає з
доведеної в [2, c. 26] теореми 7, якщо додатково скористатися лемою 2.
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. У скiнченновимiрному комплексному банаховому просторi X умова 1 ви-
конується тодi i тiльки тодi, коли виконуються умови i), ii) теореми 1.
Теорема 2 є безпосереднiм наслiдком лем 1, 3 i теореми 1.
Лiтература
1. Городний М. Ф. Ограниченные и периодические решения одного разностного уравнения и его стохас-
тического аналога в банаховом пространстве // Укр. мат. журн. — 1991. — 43, № 1. — С. 42 – 46.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ПРО ОБМЕЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIЗНИЦЕВОГО РIВНЯННЯ . . . 73
2. Дороговцев А. Я. Периодические и стационарные режимы бесконечномерных детерминированных и
стохастических динамических систем. — Киев: Вища шк., 1992. — 319 с.
3. Ким В.С. Об условиях существования ограниченных решений разностного уравнения в банаховом
пространстве // Дифференц. уравнения. — 1967. — 3, № 12. — С. 2151 – 2160.
4. Баскаков А. Г., Пастухов А. И. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограничен-
ными операторными коэффициентами // Сиб. мат. журн. — 2001. — 42, № 6. — С. 1231 – 1243.
5. Слюсарчук В. Е. Обратимость линейных неавтономных разностных операторов в пространстве огра-
ниченных на Z функций // Мат. заметки. — 1985. — 37, вып. 5. — С. 662 – 666.
6. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. — М.: Мир, 1985. — 376 с.
7. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы крае-
вые задачи. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. — 318 с.
8. Boichuk O. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and boundary-value problems. — Utrecht;
Boston, 2004. — 323 p.
9. Boichuk A. A. Solutions of linear and nonlinear difference equations bounded on the whole line // Nonlinear
Oscillations. — 2001. — 4, № 1. — P. 16 – 27.
10. Покутний О. О. Розв’язки лiнiйних рiзницевих рiвнянь у просторi Банаха на всiй цiлочисельнiй осi //
Вiсн. Київ. ун-ту. Фiз.-мат. науки. — 2006. — № 1. — С. 182 – 188.
Одержано 31.10.15,
пiсля доопрацювання — 02.06.16
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
|