Явно розв’язуванi моделi перерозподiлу конфлiктного простору
Проведен анализ класса явно решаемых моделей в задачах перераспределения конфликтного пространства между двумя альтернативными оппонентами. Доказано существование равновесного состояния сложной нелинейной системы, эволюция которой во времени сгенерирована конфликтным взаимодействием между ее компоне...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Назва видання: | Нелінійні коливання |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177295 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Явно розв’язуванi моделi перерозподiлу конфлiктного простору / Т.В. Каратаєва, В.Д. Кошманенко, С.М. Петренко // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 98-112 — Бібліогр.: 27 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177295 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772952021-02-15T01:26:41Z Явно розв’язуванi моделi перерозподiлу конфлiктного простору Каратаєва, Т.В. Кошманенко, В.Д. Петренко, С.М. Проведен анализ класса явно решаемых моделей в задачах перераспределения конфликтного пространства между двумя альтернативными оппонентами. Доказано существование равновесного состояния сложной нелинейной системы, эволюция которой во времени сгенерирована конфликтным взаимодействием между ее компонентами. Получены явные формулы для граничных компромиссных распределений в терминах плотностей вероятностных мер. Приведен ряд конкретных модельных примеров динамики перераспределения конфликтной территории и установления равновесного (компромиссного) разделения пространства. Предложена интерпретация результатов относительно социальных и территориальных конфликтов. We analyze a class of explicitly solvable models for problems of repartition of the conflict space between two alternative opponents. We prove existence of an equilibrium state for a complex nonlinear system the evolution of which is generated by a conflict interaction between its components. Explicit formulas have been obtained for limit compromising distributions in terms of probability measure densities. We consider a number of concrete model examples of repartition dynamics of the conflict territory and formation of an equilibrium (compromise) distribution of the territory. An interpretation of the results in the case of social and territory conflicts is given. 2017 Article Явно розв’язуванi моделi перерозподiлу конфлiктного простору / Т.В. Каратаєва, В.Д. Кошманенко, С.М. Петренко // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 98-112 — Бібліогр.: 27 назв. — укр. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177295 517.9 uk Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Проведен анализ класса явно решаемых моделей в задачах перераспределения конфликтного пространства между двумя альтернативными оппонентами. Доказано существование равновесного состояния сложной нелинейной системы, эволюция которой во времени сгенерирована конфликтным взаимодействием между ее компонентами. Получены явные формулы для граничных компромиссных распределений в терминах плотностей вероятностных мер. Приведен ряд конкретных модельных примеров динамики перераспределения конфликтной территории и установления равновесного (компромиссного) разделения пространства. Предложена интерпретация результатов относительно социальных и территориальных конфликтов. |
| format |
Article |
| author |
Каратаєва, Т.В. Кошманенко, В.Д. Петренко, С.М. |
| spellingShingle |
Каратаєва, Т.В. Кошманенко, В.Д. Петренко, С.М. Явно розв’язуванi моделi перерозподiлу конфлiктного простору Нелінійні коливання |
| author_facet |
Каратаєва, Т.В. Кошманенко, В.Д. Петренко, С.М. |
| author_sort |
Каратаєва, Т.В. |
| title |
Явно розв’язуванi моделi перерозподiлу конфлiктного простору |
| title_short |
Явно розв’язуванi моделi перерозподiлу конфлiктного простору |
| title_full |
Явно розв’язуванi моделi перерозподiлу конфлiктного простору |
| title_fullStr |
Явно розв’язуванi моделi перерозподiлу конфлiктного простору |
| title_full_unstemmed |
Явно розв’язуванi моделi перерозподiлу конфлiктного простору |
| title_sort |
явно розв’язуванi моделi перерозподiлу конфлiктного простору |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177295 |
| citation_txt |
Явно розв’язуванi моделi перерозподiлу конфлiктного простору / Т.В. Каратаєва, В.Д. Кошманенко, С.М. Петренко // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 98-112 — Бібліогр.: 27 назв. — укр. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT karataêvatv âvnorozvâzuvanimodelipererozpodilukonfliktnogoprostoru AT košmanenkovd âvnorozvâzuvanimodelipererozpodilukonfliktnogoprostoru AT petrenkosm âvnorozvâzuvanimodelipererozpodilukonfliktnogoprostoru |
| first_indexed |
2025-07-15T15:20:20Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:20:20Z |
| _version_ |
1837726769989287936 |
| fulltext |
УДК 517.9
ЯВНО РОЗВ’ЯЗУВАНI МОДЕЛI ПЕРЕРОЗПОДIЛУ
КОНФЛIКТНОГО ПРОСТОРУ
Т. В. Каратаєва, В. Д. Кошманенко, С. M. Петренко
Iн-т математики НАН України
вул. Терещенкiвська, 3, Київ, 01004, Україна
We analyze a class of explicitly solvable models for problems of repartition of the conflict space between
two alternative opponents. We prove existence of an equilibrium state for a complex nonlinear system the
evolution of which is generated by a conflict interaction between its components. Explicit formulas have
been obtained for limit compromising distributions in terms of probability measure densities. We consider
a number of concrete model examples of repartition dynamics of the conflict territory and formation of an
equilibrium (compromise) distribution of the territory. An interpretation of the results in the case of social
and territory conflicts is given.
Проведен анализ класса явно решаемых моделей в задачах перераспределения конфликтного
пространства между двумя альтернативными оппонентами. Доказано существование равно-
весного состояния сложной нелинейной системы, эволюция которой во времени сгенерирована
конфликтным взаимодействием между ее компонентами. Получены явные формулы для гра-
ничных компромиссных распределений в терминах плотностей вероятностных мер. Приведен
ряд конкретных модельных примеров динамики перераспределения конфликтной территории
и установления равновесного (компромиссного) разделения пространства. Предложена интер-
претация результатов относительно социальных и территориальных конфликтов.
1. Вступ. У кожнiй конфлiктнiй ситуацiї (iгровiй чи реальнiй) виникає основне питання:
кому i скiльки має належати по справедливостi? Iншими словами, яким має бути узако-
нений перерозподiл конфлiктного ресурсу мiж противниками (гравцями, опонентами)?
У цiй роботi ми дослiджуємо клас вiдносно складних моделей iз конфлiктною взаємо-
дiєю мiж парою альтернативних сторiн (опонентiв), в яких вiдповiдь на поставлене вище
питання вдається одержати математично точно в явнiй формi.
Головним iнструментом наших побудов є поняття динамiчної системи конфлiкту
(ДСК), введене в роботах [1 – 5]. Це поняття позначається трiйкою {Ω,M(Ω),>}. Тут Ω є
простором конфлiкту,M(Ω) мiстить множину всiх можливих розподiлiв „ваги” опонентiв
на Ω, а > позначає закон конфлiктної взаємодiї (боротьби) мiж противниками. Фактично
> — це деяке нелiнiйне перетворення у множинi розподiлiвM(Ω).
Простiр Ω, як предмет конфлiктної боротьби, є простором (територiєю) життєвого
ресурсу або запасом певних цiнностей для опонентiв. У конкретних моделях (див. роботи
[6 – 10]) роль Ω може вiдiгравати математична версiя простору фiзичного ресурсу — скiн-
ченна або зчисленна множина точок, вiдрiзок прямої, коло, область поверхнi, компакт
метричного простору.
Розподiли опонентiв задаються функцiями на Ω, якi формують множинуM(Ω). В за-
лежностi вiд вибору Ω та iнтерпретацiї розподiлiв множинаM(Ω) може складатися з век-
торiв, скалярних функцiй, мiр або їхнiх щiльностей. Зокрема, розподiли опонентiв можна
задавати в термiнах скiнченно- чи нескiнченновимiрних векторних просторiв (наприклад,
Rn, l2), функцiональних просторiв L2(Ω), класом невiд’ємних мiр на деякiй σ-алгебрi пiд-
c© Т. В. Каратаєва, В. Д. Кошманенко, С. M. Петренко, 2017
98 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ЯВНО РОЗВ’ЯЗУВАНI МОДЕЛI ПЕРЕРОЗПОДIЛУ КОНФЛIКТНОГО ПРОСТОРУ 99
множин iз Ω.
У цiй роботi Ω є вiдрiзком прямої. Задля спрощення в абстрактних побудовах ми по-
кладаємо Ω = [0, 1], хоча в комп’ютерних прикладах використовуємо довiльнi вiдрiзки
Ω = [a, b]. ЗаM(Ω) ми беремоM1
+(Ω) — простiр нормованих на одиницю додатних мiр
на борелевiй σ-алгебрi B пiдмножин iз вiдрiзка [0, 1]. Отже, ми використовуємо стохас-
тичну iнтерпретацiю i розподiли опонентiв фiксуємо ймовiрнiсними мiрами. Бiльш того,
ми припускаємо, що мiри є абсолютно неперервними, i для зручностi доведень вiд мiр
переходимо до їхнiх щiльностей.
Закон конфлiктної взаємодiї, тобто перетворення >, задається формулами (2.2) в тер-
мiнах щiльностей iмовiрнiсних мiр (див. пункт 2). Зауважимо, що в бiльшостi публiкацiй
(див., наприклад, роботи [11 – 16]) рiвняння, що описують еволюцiю складних систем iз
конфлiктною взаємодiєю, наведенi безпосередньо в термiнах числових, а не стохастич-
них характеристик.
Ми вивчаємо конфлiктнi взаємодiї лише мiж парами опонентiв, тому закон > є бiнар-
ним перетворенням в M1
+(Ω). Таке перетворення, як правило, є нелiнiйним i некомута-
тивним вiдображенням:
{µ, ν} >−→ {µ1, ν1}, µ1 = µ> ν, ν1 = ν > µ.
Для довiльної початкової пари мiр µ0 = µ, ν0 = ν iз просторуM1
+(Ω) iтерацiя вiдображен-
ня > задає деяку траєкторiю ДСК в дискретному часi:{
µN
νN
}
>−→
{
µN+1
νN+1
}
, N = 0, 1, . . . . (1.1)
Тут мiри µ0, ν0 задають стартовий розподiл простору Ω мiж опонентами, а вiдображен-
ня >, як математичний аналог акту конфлiктної взаємодiї, використовується для опису
еволюцiї системи в часi. За означенням стартовий розподiл є конфлiктним, якщо носiї
мiр µ0, ν0 перетинаються.
Задача полягає у дослiдженнi поведiнки траєкторiй {µN , νN} при N → ∞ на основi
конкретної формули перетворення >.В цiй роботi ми доводимо iснування граничних роз-
подiлiв {µ∞, ν∞} у термiнах щiльностей (теорема 2.1). Цей результат є аналогом теореми
про iснування рiвноважного стану для ДСК з попереднiх робiт [17, 18]. Теорема 2.1 має
незалежне доведення безпосередньо в термiнах щiльностей. Важливо, що тепер еволю-
цiя перерозподiлу конфлiктного простору припускає безпосереднє графiчне зображення,
що є цiнним для застосувань. Цей факт проiлюстровано конкретними прикладами.
Коротко пояснимо iдею переходу вiд кiлькiсної до стохастичної характеристики конф-
лiктних перерозподiлiв в абстрактному випадку.
Припустимо, що пара альтернативних фiзичних стихiй (опонентiв, позначаємо їх A,
B) довiльно розподiленi на спiльному просторi iснування Ω. Будемо вважати, що в по-
чатковий момент часу t = 0 потужнiсть присутностi (масу) цих стихiй на пiдмножинах
∆ ⊆ Ω задано невiд’ємними числами M(∆), m(∆) вiдповiдно, а функцiї множин M(·),
m(·) є адитивними. Бiльш того, припускаємо, що в загальному випадку M(·), m(·) є не-
нормованими мiрами на борелевiй σ-алгебрi B пiдмножин iз Ω.
Внаслiдок альтернативної природи стихiй A, B вони вступають у фiзичну конфлiктну
взаємодiю за певним правилом. Еволюцiю змiн розподiлiв M(∆), m(∆) в дискретному
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
100 Т. В. КАРАТАЄВА, В. Д. КОШМАНЕНКО, С. M. ПЕТРЕНКО
часi t = N = 0, 1, . . . ми пропонуємо описувати рекурентними рiвняннями, якi є анало-
гами рiзницевих рiвнянь Лотки – Вольтерра:
MN+1(∆) = λAMN (∆) + ΘN MN (∆)− τN (∆),
mN+1(∆) = λBmN (∆) + ΘN mN (∆)− τN (∆), N = 0, 1, . . . .
Тут M0(∆) = M(∆), m0(∆) = m(∆), λA, λB — параметри зовнiшнього впливу (далi,
для спрощення, покладаємо λA = 1 = λB). Дiйсна функцiя ΘN = Θ(MN ,mN ) є аналогом
мультиплiкативного гамiльтонiана системи (математично Θ є бiлiнiйним додатним функ-
цiоналом на просторi мiр). Нарештi, мiра τN (∆) = τ(MN ,mN ; ∆) — показник локальної
конфронтацiї мiж опонентами, її числовi значення характеризують локальнi втрати чи
здобутки внаслiдок конфлiктної боротьби та конкуренцiї. Зазначимо, що ми припускає-
мо повну рiвноправнiсть опонентiв. Тому запропонований вище закон конфлiктної взає-
модiї є симетричним за формою для опонентiвA, B. Явний вигляд функцiонала Θ та мiри
τ залежить вiд конкретної моделi.
Далi ми вiдмовляємося вiд кiлькiсної характеристики опонентiв i переходимо до ймо-
вiрнiсної (стохастичної) iнтерпретацiї. Це означає, що стани складної системи ми опису-
ємо в термiнах нормованих мiр:
µN (∆) :=
MN (∆)
M
, νN (∆) :=
mN (∆)
m
, M = M(Ω), m = m(Ω), ∆ ∈ B,
якi, очевидно, є ймовiрнiсними мiрами. Отже, в термiнах iмовiрнiсних мiр закон конфлiкт-
ної динамiки задається рiвняннями
µN+1(∆) =
1
zN
[µN (∆) (1 + ΘN )− τN (∆)],
νN+1(∆) =
1
zN
[νN (∆) (1 + ΘN )− τN (∆)], N = 0, 1, . . . ,
де zN — нормувальний знаменник, що не залежить вiд ∆. Дiлячи праву та лiву частини
цих рiвнянь на ∆, припускаючи, що початковi мiри є абсолютно неперервними вiдносно
мiри Лебега, та стягуючи ∆ до точки x ∈ ∆, приходимо до рiвнянь динамiки в термiнах
щiльностей мiр µN , νN :
ρN+1(x) =
1
zN
[ρN (x)(1 + ΘN )− τN (x)] ,
σN+1(x) =
1
zN
[σN (x)(1 + ΘN )− τN (x)] , N = 0, 1, . . . ,
(1.2)
де ΘN ≡ Θ(ρN , σN ) має той самий сенс, що i вище, а τN (x) = τ(ρN , σN ;x) — щiльнiсть
мiри локальної конфронтацiї мiж опонентами A та B в точцi x. Зауважимо, що в цiй
статтi функцiонал Θ та мiру τ ми визначаємо за формулами (2.8), (2.9), тому абсолютна
неперервнiсть мiр µN , νN при всiх N = 1, 2, . . . випливає з абсолютної неперервностi
початкової пари мiр.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ЯВНО РОЗВ’ЯЗУВАНI МОДЕЛI ПЕРЕРОЗПОДIЛУ КОНФЛIКТНОГО ПРОСТОРУ 101
Зрозумiло, що аналiз динамiчної поведiнки змiн перерозподiлiв простору Ω мiж опо-
нентами значно зручнiше проводити в термiнах iмовiрнiсних мiр (рiвняння (1.2)), що част-
ково i проводимо в цiй роботi. Але зворотний перехiд до кiлькiсних характеристик у тер-
мiнах ненормованих мiр MN (∆), mN (∆) неважко здiйснити для кожного моменту часу,
навiть якщо величини MN (Ω), mN (Ω) не є сталими.
2. Теорема про iснування граничних розподiлiв. У побудовах цього пункту ми покла-
даємо Ω = [0, 1]. Динамiчну систему {Ω,M(Ω),>}, яку ми спiвставляємо парi абстракт-
них противникiв на просторi конфлiкту [0, 1], будуємо таким чином. За M(Ω) беремо
множину абсолютно неперервних вiдносно мiри Лебега λ iмовiрнiсних мiр iз простору
M1
+([0, 1]), додатково припускаючи, що їхнi щiльностi є неперервними функцiями. По-
значення µ, ν ∈ M1
ac([0, 1]) означає, що мiри є ймовiрнiсними, абсолютно неперервними
i для них має мiсце зображення
µ(A) =
∫
A
ρ(x)dλ(x), ν(A) =
∫
A
σ(x)dλ(x), A ∈ B, ρ, σ ∈ C([0, 1]), (2.1)
де λ — мiра Лебега.
У просторiM1
ac([0, 1]) у термiнах щiльностей мiр визначаємо некомутативне перетво-
рення > (закон конфлiктної взаємодiї):
ρ1 = ρ> σ, σ1 = σ > ρ,
де
ρ1(x) =
1
z
[ρ(x)(Θ + 1)− τ(x)] , σ1(x) =
1
z
[σ(x)(Θ + 1)− τ(x)] , x ∈ [0, 1], (2.2)
Θ = Θ(ρ, σ) :=
∫
[0,1]
√
ρ(x)σ(x) dλ(x), (2.3)
τ(x) := min{ρ(x), σ(x)} =
{
σ(x), якщо ρ(x) ≥ σ(x),
ρ(x) — у протилежному випадку,
x ∈ [0, 1]. (2.4)
Легко пiдрахувати, що нормувальний знаменник
z = Θ + 1−W, W :=
∫
[0,1]
τ(x) dλ(x). (2.5)
Очевидно, що функцiї ρ1, σ1 в (2.2) належать до C([0, 1]) i є щiльностями деяких нових
мiр µ1, ν1 ∈ M1
ac([0, 1]). Отже, можна стверджувати, що послiдовна iтерацiя нелiнiйного
перетворення > породжує деяку траєкторiю ДСК. Символiчно її можна записати так:{
ρN
σN
}
>−→
{
ρN+1
σN+1
}
, N = 0, 1, . . . , (2.6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
102 Т. В. КАРАТАЄВА, В. Д. КОШМАНЕНКО, С. M. ПЕТРЕНКО
де ρ0 = ρ, σ0 = σ, а
ρN+1(x) =
1
zN
[ρN (x)(ΘN + 1)− τN (x)] ,
σN+1(x) =
1
zN
[σN (x)(ΘN + 1)− τN (x)] , x ∈ [0, 1], N = 0, 1, . . . ,
(2.7)
i, вiдповiдно до (2.3), (2.4) та (2.5),
ΘN =
∫
[0,1]
√
ρN (x)σN (x) dλ(x), (2.8)
τN (x) = min{ρN (x), σN (x)}, x ∈ [0, 1], (2.9)
та
zN = ΘN + 1−WN , WN :=
∫
[0,1]
τN (x)dλ(x). (2.10)
Варто зазначити, що в загальному випадку динамiчна система, породжена вiдобра-
женням >, згiдно з формулами (2.7) має двi окремi множини нерухомих точок: Γ1 та Γ2.
Множина Γ1 складається з усiх пар мiр, щiльностi яких ρ, σ є тотожними, тобто
Γ1 =
{
µ, ν ∈ M1
ac([0, 1])
∣∣ ρ ≡ σ
}
.
Дiйсно, виходячи iз тотожностi мiр, використовуючи (2.8) – (2.10), легко пiдрахувати, що
ΘN = 1, WN = 1, zN = 1 для всiх N i, як наслiдок, ρN = ρ = σN = σ. Множина Γ2
складається з пар взаємно сингулярних (ортогональних) мiр, тобто
Γ2 =
µ, ν ∈ M1
ac([0, 1])
∣∣ ∫
[0,1]
ρ(x)σ(x) dλ(x) = 0
.
В цьому випадку ΘN = 0, WN = 0, zN = 1 для всiх N i неважко переконатися, що
ρN = ρ = σN = σ.
Основним результатом статтi є така теорема.
Теорема 2.1. Кожна траєкторiя ДСК {Ω,M1
+([1, 0]),>}, що згенерована перетворен-
ням > за формулами (2.7) iз початковим станом {ρ0 = ρ, σ0 = σ}, заданим довiльною
парою мiр µ0 = µ, ν0 = ν, µ, ν ∈ M1
ac([0, 1]), µ, ν /∈ Γ1, збiгається поточково
ρ∞(x) = lim
N→∞
ρN (x), σ∞(x) = lim
N→∞
σN (x), x ∈ [0, 1], (2.11)
до нерухомого граничного стану, тобто
ρ∞ > σ∞ = ρ∞, σ∞ > ρ∞ = σ∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ЯВНО РОЗВ’ЯЗУВАНI МОДЕЛI ПЕРЕРОЗПОДIЛУ КОНФЛIКТНОГО ПРОСТОРУ 103
Щiльностi граничних мiр µ∞, ν∞ мають явний опис:
ρ∞(x) =
h(x)
D
, якщо ρ(x) ≥ σ(x),
0 — у протилежному випадку,
σ∞(x) =
−h(x)
D
, якщо ρ(x) < σ(x),
0 — у протилежному випадку,
(2.12)
де функцiя h(x) = ρ(x) − σ(x), а D =
1
2
∫
[0,1]
|h(x)|dλ(x) — повна варiацiйна рiзниця
початкових мiр µ, ν.
Доведення. Нехай точка x ∈ [0, 1] є такою, що ρ(x) > σ(x). Тодi з (2.7) випливає, що
послiдовнiсть значень неперервних функцiй hN (x) = ρN (x)− σN (x) монотонно зростає:
hN+1(x) > hN (x), N ≥ 0.
Дiйсно, безпосередньо з (2.7) видно, що
hN+1(x) = hN (x)
ΘN + 1
ΘN + 1−WN
> hN (x),
оскiльки завдяки (2.8) ΘN > 0, а завдяки (2.9) 0 < WN < 1 для всiх N. Отже, послiдов-
нiсть hN (x) збiгається до скiнченної границi або розбiгається:
h∞(x) = lim
N→∞
hN (x) ≤ +∞. (2.13)
Далi, знову завдяки (2.7) легко бачити, що послiдовнiсть {σN (x)}N≥0 є монотонно спад-
ною i обмеженою знизу. Тому ця послiдовнiсть має границю:
0 ≤ σ∞(x) = lim
N→∞
σN (x) < +∞. (2.14)
Тепер з (2.13) та (2.14) випливає, що iснує границя i для послiдовностi {ρN (x)}N≥0:
ρ∞(x) = lim
N→∞
ρN (x) ≤ +∞. (2.15)
Зрозумiло, що аналогiчнi мiркування справедливi для всiх точок x ∈ [0, 1] таких, що
ρ(x) 6= σ(x). Покажемо, що для всiх таких точок гранична функцiя ρ∞ є обмеженою.
Фактично це випливає з того, що завдяки (2.7) функцiї ρN , σN є неперервними та обме-
женими при кожному N. Але припустимо, що iснує точка y ∈ [0, 1], в якiй ρ∞(y) = +∞.
Розглянемо вiдношення hN (y)/hN (x), де x ∈ [0, 1] — така довiльна точка, що h(x) 6= 0. З
(2.7) видно, що вiдношення hN (y)/hN (x) не залежить вiд N. Дiйсно, для N = 1 маємо
h1(y)
h1(x)
=
(ρ(y)− σ(y))(Θ + 1)
(ρ(x)− σ(x))(Θ + 1)
=
h(y)
h(x)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
104 Т. В. КАРАТАЄВА, В. Д. КОШМАНЕНКО, С. M. ПЕТРЕНКО
Аналогiчно, для довiльного N
h(y)
h(x)
=
hN (y)
hN (x)
.
Тому при N → ∞ отримуємо
h(y)
h(x)
=
h∞(y)
h∞(x)
. (2.16)
Рiвнiсть (2.16) може виконуватися, лише якщо h∞(x) = +∞ для всiх x ∈ [0, 1] таких, що
h(x) 6= 0. Але згiдно з початковими умовами i за побудовою це неможливо.
Далi, покажемо, що при умовi ρ(x) > σ(x) значення σ∞(x) = 0. З цiєю метою розгля-
немо послiдовнiсть вiдношень RN (x) = ρN (x)/σN (x). Покажемо, що ця послiдовнiсть є
монотонно зростаючою: RN+1(x) > RN (x). Дiйсно,
RN+1(x) =
ρN+1(x)
σN+1(x)
=
ρN (x)(ΘN + 1− σN (x)/ρN (x))
σN (x)(ΘN + 1)− σN (x)
=
=
ρN (x)(ΘN + 1− σN (x)/ρN (x))
σN (x)ΘN
= RN (x)kN = R(x) · k · k1 . . . kN , (2.17)
де
kN =
1 + ΘN − σN (x)/ρN (x)
ΘN
> 1,
оскiльки σN (x) < ρN (x) i σN (x)/ρN (x) < 1. Покажемо, що
1 < k < k1 < . . . < kN < . . . . (2.18)
Очевидно, що
k =
1 + Θ− σ(x)/ρ(x)
Θ
> 1.
Тому R1(x) > R(x) > 1. Тепер покажемо, що k < k1. За побудовою маємо
k1 =
1 + Θ1 − σ1(x)/ρ1(x)
θ1
=
Θ1 + ε1
Θ1
, (2.19)
де очевидно, що число ε1 = 1− σ1(x)/ρ1(x) = 1− (R1(x))−1 задовольняє нерiвнiсть
1 > ε1 > 0. (2.20)
З (2.20) випливає нерiвнiсть
k1 = 1 + ε1/Θ1 > 1 + ε/Θ1 ≥ 1 + ε/Θ = k,
де ε = 1−(R(x))−1.При цьому ми скористалися очевидними нерiвностями ε1 > ε та Θ1 ≤
≤ Θ. Тепер (2.18) отримуємо за iндукцiєю, використовуючи аналоги спiввiдношень (2.19),
(2.20).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ЯВНО РОЗВ’ЯЗУВАНI МОДЕЛI ПЕРЕРОЗПОДIЛУ КОНФЛIКТНОГО ПРОСТОРУ 105
Таким чином, ми довели, що RN (x) → ∞ при N → ∞. Тому з необхiднiстю σN (x) →
→ σ∞(x) = 0. Отже, для послiдовностi ρN (x) iснує скiнченна границя
ρ∞(x) = lim
N→∞
ρN (x) = h∞(x) > 0.
Аналогiчно доводимо, що ρN (x) → 0 для кожної точки x ∈ [0, 1] з умовою ρ(x) <
< σ(x), а також
σ∞(x) = lim
N→∞
σN (x) = −h∞(x) > 0.
Розглянемо тепер випадок, коли ρ 6= σ, але iснують точки x ∈ [0, 1], в яких ρ(x) =
= σ(x). Покажемо, що для них ρN (x) = σN (x) → 0 при N → ∞. Дiйсно, за iндукцiєю для
всiх N ≥ 0 маємо
ρN+1(x) = σN+1(x) =
1
zN
[σN (x)(ΘN + 1)− τ(x)] =
= σN (x)
ΘN + 1− τ(x)/σN (x)
ΘN + 1−WN
=
= σN (x)
ΘN
ΘN + 1−WN
< σN (x) = ρN (x),
оскiльки очевидно ρN (x) = τN (x) = σN (x) та 0 < WN < 1. Щоб довести, що ρN (x) =
= σN (x) → 0, потрiбно показати, що
ΘN
ΘN + 1−WN
→ 0. Останнiй факт є справедливим,
оскiльки WN → 0 та ΘN → 0. Дiйсно, позначивши через [0, 1]+ множину всiх точок, де
ρ(x) > σ(x), а через [0, 1]− множину точок, де ρ(x) ≤ σ(x), запишемо ΘN у виглядi
ΘN =
∫
[0,1]
√
ρN (x)σN (x) dλ(x) =
∫
[0,1]+
√
ρN (x)σN (x) dλ(x) +
+
∫
[0,1]−
√
ρN (x)σN (x) dλ(x) = Θ+
N + Θ−N .
Тепер очевидно, що Θ+
N → 0, тому що ρN (x) є обмеженою, а σN (x) → 0 при N → ∞.
Аналогiчно Θ−N → 0 при N → ∞. З тих же причин
WN :=
∫
[0,1]
τN (x) dλ(x) =
∫
[0,1]+
σN (x) dλ(x) +
∫
[0,1]−
ρN (x) dλ(x) → 0 при N → ∞.
Залишилось довести (2.12). З цiєю метою розглянемо пару довiльних точок x1, x2 ∈
∈ [0, 1] таких, що одночасно ρ(x1) < σ(x1) та ρ(x2) < σ(x2). Зауважимо, що завдяки (2.7)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
106 Т. В. КАРАТАЄВА, В. Д. КОШМАНЕНКО, С. M. ПЕТРЕНКО
вiдношення hN (x1)/hN (x2) не залежить вiд N. Дiйсно, за тiєю ж аргументацiєю, що i при
доведеннi (2.16), отримуємо
h(x1)
h(x2)
=
h∞(x1)
h∞(x2)
.
Далi, з того, що ρ∞(x1) = h∞(x1), маємо
ρ∞(x1)
ρ∞(x2)
=
h(x1)
h(x2)
. (2.21)
Тепер на пiдставi (2.21) робимо висновок, що величина ρ∞(x) пропорцiйна h(x) для всiх
x ∈ [0, 1] таких, що ρ(x) > σ(x), тобто ρ∞(x) = kρh(x), де коефiцiєнт kρ не залежить вiд
x. Розкладаючи вiдрiзок [0, 1] на введенi вище пiдмножини [0, 1]+, [0, 1]−, одержуємо
1 =
∫
[0,1]
ρ∞(x) dλ(x) =
∫
[0,1]+
ρ∞(x) dλ(x) = kρ
∫
[0,1]+
h(x) dλ(x).
Аналогiчно, у випадку ρ(x) ≤ σ(x) отримуємо
1 =
∫
[0,1]
σ∞(x) dλ(x) =
∫
[0,1]−
σ∞(x) dλ(x) = −kσ
∫
[0,1]−
h(x) dλ(x).
Звiдси легко бачити, що
kρ = kσ = 1/D, D =
1
2
∫
[0,1]
|h(x)|dλ(x),
що й завершує доведення теореми.
Зауважимо, що теорема 2.1 по сутi є аналогом основного результату з роботи [17].
Iстотна вiдмiннiсть полягає у способах доведення. Там збiжнiсть мiр розумiється у слаб-
кому сенсi, тут — поточкова збiжнiсть щiльностей. Останнiй факт є важливим для за-
стосувань, оскiльки вiдкриває можливiсть явного аналiзу динамiчної поведiнки перероз-
подiлу конфлiктного простору. Для iлюстрацiї теореми 2.1 наведемо кiлька конкретних
прикладiв.
3. Комп’ютернi моделi. В усiх модельних прикладах опонент A вiдповiдає розподiлу
ρ(x), який будемо позначати суцiльною лiнiєю, а опонент B — розподiлу σ(x), його буде-
мо позначати штриховою лiнiєю.
Приклад 1. Нехай розподiли мiр µ, ν задано степеневими функцiями на вiдрiзку [0, 1],
наприклад Fµ(x) = x2, Fν(x) = x3 вiдповiдно. Тодi щiльностi їхнiх розподiлiв мають
вигляд ρ(x) = 2x, σ(x) = 3x2. Лише в однiй точцi x0 = 2/3 цi щiльностi збiгаються,
2x0 = 3x20. Тому простiр конфлiкту в початковий момент часу розпадається на двi зв’язнi
частини: [0, 2/3]
⋃
(2/3, 1].Як видно з рис. 1, а, скрiзь до точки 2/3 перевагу має опонентA,
а пiсля цiєї точки прiоритет належить опоненту B. Вже пiсля 20 крокiв iтерацiї формули
конфлiктної взаємодiї (2.7) (див. рис. 1, б) спостерiгаємо перерозподiл присутностi опо-
нентiв на цих двох дiлянках i змiну поведiнки функцiй щiльностi мiр µN , νN . Опонент B
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ЯВНО РОЗВ’ЯЗУВАНI МОДЕЛI ПЕРЕРОЗПОДIЛУ КОНФЛIКТНОГО ПРОСТОРУ 107
а б
в г
Рис. 1
поступово втрачає всю територiю до точки 2/3, тодi як опонент A повнiстю її захоплює,
втрачаючи контроль на частинi (2/3, 1]. Вже з рис. 1, в можна безпомилково передбачити
остаточний результат конфлiктної взаємодiї. Рис. 1, г iлюструє граничний перерозподiл,
який досить точно проявляється при вiдносно великих значеннях N.
Приклад 2. Нехай початковi мiри µ, ν вiдповiдають аналогам нормальних розподiлiв
iз рiзними центрами та амплiтудами. Точнiше, розглянемо двi мiри, заданi щiльностями
ρ(x) =
√
2π
2
exp
(
−2(x− 1)2
)
,
σ(x) =
√
2π
3
exp
(
−4, 5(x− 1, 2)2
)
.
У цьому прикладi простiр конфлiкту розкладається на три дiлянки (див. рис. 2, а). На
центральнiй дiлянцi опонентB має значну перевагу по амплiтудi над опонентомA. Тому в
результатi конфлiктної взаємодiї вiн лише частково зазнає змiщення центра свого макси-
мального значення, iстотно збiльшує свою амплiтуду, але втрачає маргiнальнi для нього
дiлянки. Натомiсть опонент A зазнає iстотних якiсних змiн. Його розподiл розпадається
на двi роз’єднанi частини, вiн повнiстю втрачає регiон своєї максимальної присутностi
(окiл точки x = 1), до того ж змушений перемiстити точку своєї максимальної амплiтуди
на вiдносно велику вiдстань (див. рис. 2, б).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
108 Т. В. КАРАТАЄВА, В. Д. КОШМАНЕНКО, С. M. ПЕТРЕНКО
а
б
Рис. 2
Приклад 3. Розглянемо випадок, коли початковi розподiли опонентiвA, B заданi ком-
бiнацiями аналогiв нормальних розподiлiв iз рiзними центрами та амплiтудами:
ρ(x) =
3∑
k=1
√
2π
2k
exp
(
−(2k)2(x− k)2
2
)
,
σ(x) =
3∑
k=1
√
2π
3k
exp
(
−(3k)2(x− 1, 2k)2
2
)
(див. рис. 3, а). Використовуючи приклад 2, можна прогнозувати i передбачати якiсну
поведiнку кожного з опонентiв. Але саме комп’ютерне моделювання дає точну карти-
ну динамiки конфлiктної боротьби. З рис. 3 видно, що простiр конфлiкту розкладається
на кiлька регiонiв iз граничними точками, в яких значення щiльностей ρ(x), σ(x) є рiв-
ними. В кожному регiонi перемагає той опонент, який має найбiльшу амплiтуду своєї
компоненти розподiлу. Протилежна сторона в цих регiонах занулюється i змушена пе-
ремiщувати центри максимальних значень щiльностi свого розподiлу. Кожен з опонентiв
розпадається на кiлька iзольованих компонент (див. графiки на 20 (рис. 3, б) i 40 (рис. 3, в)
кроках). Цiкаво, що форма пiсляконфлiктних розподiлiв має бiльш виразнi центри мак-
симальних значень у порiвняннi з початковими (див. рис. 3, г).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ЯВНО РОЗВ’ЯЗУВАНI МОДЕЛI ПЕРЕРОЗПОДIЛУ КОНФЛIКТНОГО ПРОСТОРУ 109
а б
в г
Рис. 3
Приклад 4. Нехай щiльностi розподiлiв задано формулами
ρ(x) = 1, 57−
5∑
k=1
√
2π
2k
exp
(
−(2k)2(x− k − 2)2
2
)
,
σ(x) = 1, 486−
5∑
k=1
√
2π
3k
exp
(
−(3k)2(0, 2x− 2k + 2)2
2
)
.
Рис. 4 iлюструє у вiдносно простiй формi один iз дивних ефектiв теорiї конфлiктних взає-
модiй. Коротко його можна сформулювати як ефект неминучої трансформацiї примiтив-
ного дикого хижака пiд впливом тонкої спектральної структури жертви. Докладнiше суть
ефекту полягає у наступному.
В початковий момент часу щiльнiсть розподiлу опонентаA (суцiльна лiнiя) на сегмен-
тi [2, 8] перевищує або не поступається щiльностi розподiлу опонента B (штрихова лiнiя
на рис. 4, а). На цьому сегментi A є хижаком, а B — жертвою. Їхня iстотна вiдмiннiсть
полягає у формi щiльностей. У опонента A щiльнiсть на цьому сегментi майже незмiнна,
близька до 0,1, а щiльнiсть розподiлу опонента B має досить хвилясту форму. Такий роз-
подiл опонентаB можна iнтерпретувати як спектральну структурну нетривiальнiсть (вза-
галi вона може мати надзвичайно складну будову i мiстити велику кiлькiсть iнформацiї).
Грубий (дикий) ефект конфлiктної боротьби в цiй моделi проявляється у втратi опонен-
том B на сегментi [2, 8] його структурної нетривiальностi. Якою б багатою не була його
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
110 Т. В. КАРАТАЄВА, В. Д. КОШМАНЕНКО, С. M. ПЕТРЕНКО
а
б
Рис. 4
спектральна картина, в результатi конфлiкту щiльнiсть його розподiлу занулюється, пе-
реходить у зону повного знищення (див. рис. 4, б). Натомiсть опонент A, який захоплює
практично всю територiю сегмента [2, 8], сильно змiнює форму щiльностi свого розпо-
дiлу. Вона стає хвилястою, тобто спектрально нетривiальною. Хижак трансформується
пiд впливом жертви. Хоча образ вiдтворення структури опонентаB майже фотографiчно
негативний, мiнiмуми переходять у максимуми, i навпаки. Цей ефект має надзвичайно
важливi наслiдки у моделях конфлiктної боротьби бiологiчних субстанцiй, коли дикий,
але потужний субстрат забиває менш потужну популяцiю складнiшої спектральної будо-
ви, вбираючи в себе спотворений варiант коду його будови. В ходi конфлiктної взаємодiї
перерозподiляються не лише територiя конфлiкту, але i спектральнi характеристики опо-
нентiв.
4. Замiсть дискусiї. Iснує багато публiкацiй щодо моделей, якi дослiджують феномен
конфлiкту. На формування нашого пiдходу вплинули роботи [12, 15, 16]. Популярна i вi-
дома модель динамiчної системи конфлiкту описує поведiнку субстанцiй типу „хижак –
жертва” (див. [19, 20]) з рiзноманiтними уточненнями формули конфлiктних взаємодiй.
Найбiльш унiверсальна модель описується рiвняннями Лотки – Вольтерра вигляду
ẋ1 = x1(r1 − a11x1 + a12x2), ẋ2 = x2(r2 + a21x1 − a22x2),
де функцiї xi(t) позначають кiлькостi конкурентних бiологiчних видiв в момент часу t, а
коефiцiєнти ri, aik є параметрами задачi. Рiвняння (2.2) формально простiшi, але завдя-
ки стохастичнiй iнтерпретацiї мають бiльш загальне коло для застосувань. Окрiм того,
використання щiльностей дозволяє явно (графiчно) iлюструвати динамiчну поведiнку i
характер конфлiктної взаємодiї. Iз формул (2.12) одержуємо явний закон розподiлу кон-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
ЯВНО РОЗВ’ЯЗУВАНI МОДЕЛI ПЕРЕРОЗПОДIЛУ КОНФЛIКТНОГО ПРОСТОРУ 111
флiктного простору: щiльнiсть граничної (пiсляконфлiктної) присутностi кожного з опо-
нентiв вiдмiнна вiд нуля лише в точках стартового прiоритету. Цей висновок визначає
правило компромiсного подiлу спiрної територiї мiж противниками.
Замiсть фiзичного протистояння мiж протилежними тенденцiями (економiчними кон-
курентами, релiгiйними, полiтичними чи соцiальними групами) потрiбно проводити тео-
ретичний розрахунок на основi формул (2.12) i встановлювати розподiл спiрної терито-
рiї договором без фiзичних жертв. Важливо, що теорема 2.1 встановлює не лише межi
рiвноважного (компромiсного) перерозподiлу конфлiктної територiї, а i нову щiльнiсть
„справедливого” розподiлу кожного з опонентiв на своїй територiї. Цей аспект розвину-
тої тут теорiї конфлiкту в певному сенсi доповнює абстрактну схему знаходження рiвно-
ваги по Нешу з теорiї iгор [21, 22].
Насамкiнець вiдзначимо цiкавi ефекти перерозподiлу конфлiктного простору в мо-
делях соцiологiї [23, 24], в термiнах структурованих мiр [25, 26] та в задачi „захоплення”
територiї [27].
Лiтература
1. Кошманенко В. Д. Теорема про конфликт для пары стохастических векторов // Укр. мат. журн. —
2003. — 55, № 4. — C. 555 – 560.
2. Koshmanenko V. The theorem of conflict for probability measures // Math. Meth. Oper. Res. — 2004. — 59,
№ 2. — P. 303 – 313.
3. Кошманенко В. Д., Харченко Н. В. Iнварiантнi точки динамiчної системи конфлiкту в просторi кусково-
рiвномiрно розподiлених мiр // Укр. мат. журн. — 2004. — 56, № 7. — C. 927 – 938.
4. Koshmanenko V., Kharchenko N. Spectral properties of image measures after conflict interactions // Theory
Stochast. Process. — 2004. — 10 (26), № 3-4. — P. 73 – 81.
5. Bodnarchyk M. V., Koshmanenko V. D., Kharchenko N. V. Properties of limit states of dynamical conflict
system // Nonlinear Oscillations. — 2004. — 7, № 4. — P. 446 – 461.
6. Боднарчук М. В., Кошманенко В. Д., Самойленко I. В. Динамiка взаємодiї конфлiкту мiж системами
з внутрiшньою структурою // Нелiнiйнi коливання. — 2006. — 9, № 4. — C. 435 – 450.
7. Albeverio S., Koshmanenko V., Samoilenko I. The conflict interaction between two complex systems: cyclic
migration // J. Interdiscipl. Math. — 2008. — 11, № 2. — P. 163 – 185.
8. Koshmanenko V., Samoilenko I. The conflict triad dynamical system // Commun. Nonlinear Sci. Numer
Simulat. — 2011. — 16. — P. 2917 – 2935.
9. Koshmanenko V. D., Karataeva T. V. Cyclic model of fire-water conflict // XVII Int. Conf. Dynam. System
Modelling and Stability Investigation. — Kyiv, 2015. — P. 180.
10. Каратаєва Т. В., Кошманенко В. Д. Модель динамiчної системи конфлiкту типу „вогонь – вода” //
Нелiнiйнi коливання. — 2014. — 17, № 2. — С. 228 – 247.
11. Renshaw E. Modelling biological populations in space and time. — Cambridge: Cambridge Univ. Press,
1991. — 403 p.
12. Epstein J. M. Nonlinear dynamics, mathematical biology, and social science. — Addison-Wisley Publ. Co.,
1997. — 164 p.
13. Kuang Y., Beretta E. Global qualitative analysis of a ratio-dependent predator-prey system // J. Math. Biol. —
1998. — 36. — P. 389 – 406.
14. Maron M. Modelling populations: from malthus to the threshold of artificial life // Evolut. and Adapt.
Systems. — Univ. Sussex, 2003. — P. 1 – 17.
15. Kar T. K. Modelling and analysis of a harvested prey-predator system incorporating a prey refuge // J.
Comput. and Appl. Math. — 2006. — 185. — P. 19 – 33.
16. Coleman P. T., Vallacher R., Nowak A., Bui-Wrzosinska L. Interactable conflict as an attractor: presenting a
dynamical-systems approach to conflict, escalation, and interactability // IACM Meeting Paper. — 2007.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
112 Т. В. КАРАТАЄВА, В. Д. КОШМАНЕНКО, С. M. ПЕТРЕНКО
17. Koshmanenko V. D. Existence theorems of the ω-limit states for conflict dynamical systems // Meth. Funct.
Anal. and Top. — 2014. — 20, № 4. — P. 379 – 390.
18. Кошманенко В. Д., Петренко С. М. Розклад Гана – Жордана як рiвноважний стан системи конфлiкту //
Укр. мат. журн. — 2016. — 67, № 1. — С. 64 – 77.
19. Murray J. D. Mathematical biology I: An Introduction. — Springer, 2002. — 551 p.
20. Murray J. D. Mathematical biology II: spatial models and biometrical applications. — Springer, 2004. —
811 p.
21. фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — M.: Наука, 1970. —
708 c.
22. Schelling T. C. The strategy of conflict. — Cambridge: Harvard Univ. Press, 1980. — 309 p.
23. Khan Md. Mahbubush Salam, Kazuyuki Ikko Takahashi. Mathematical model of conflict and cooperation
with non-annihilating multi-opponent // J. Interdiscipl. Math. — 2006. — 9, № 3. — P. 459 – 473.
24. Salam Md. Mahbubush Khan, Kazuyuki Ikko Takahashi. Segregation through conflict // Adv. Appl. Soc. —
2013. — 3, № 8. — P. 315 – 319.
25. Koshmanenko V. D. On dynamical system of conflict with fair redistribution of vital resources // Int. Conf.
Dynam. Syst. and Appl. — Kyiv, 2015. — P. 31.
26. Koshmanenko V., Verygina I. Dynamical systems of conflict in terms of structural measures // Meth. Funct.
Anal. and Top. — 2016. — 22, № 1. — P. 81 – 93.
27. Веригiна I. В. Порiвняння стратегiй двох опонентiв у задачi „захоплення” територiї // Доп. НАН
України. — 2016. — № 5. — P. 7 – 12.
Одержано 20.01.16,
пiсля доопрацювання — 08.11.16
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
|