О поведении решений некоторых систем дифференциальных уравнений, частично разрешенных относительно производных, в случае полюса
Дослiджуються питання iснування аналiтичних розв’язкiв деяких систем звичайних диференцiальних рiвнянь, частково розв’язуваних вiдносно похiдних. Отримано достатнi умови iснування аналiтичних розв’язкiв задачi Кошi у випадку полюса. Встановлено оцiнку таких розв’язкiв у деякiй областi та дослiджено...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Нелінійні коливання |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177296 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О поведении решений некоторых систем дифференциальных уравнений, частично разрешенных относительно производных, в случае полюса / Д.Е. Лиманская // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 113-126 — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-177296 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1772962021-02-15T01:26:42Z О поведении решений некоторых систем дифференциальных уравнений, частично разрешенных относительно производных, в случае полюса Лиманская, Д.Е. Дослiджуються питання iснування аналiтичних розв’язкiв деяких систем звичайних диференцiальних рiвнянь, частково розв’язуваних вiдносно похiдних. Отримано достатнi умови iснування аналiтичних розв’язкiв задачi Кошi у випадку полюса. Встановлено оцiнку таких розв’язкiв у деякiй областi та дослiджено питання щодо числа розв’язкiв. We study existence of analytic solutions to some systems of ordinary differential equations partially solved with respect to derivatives. We obtain sufficient conditions for a Cauchy problem to have an analytic solution in the case of a pole. An estimate for such solutions on a certain domain is given, and the question on the number of solutions has been studied. 2017 Article О поведении решений некоторых систем дифференциальных уравнений, частично разрешенных относительно производных, в случае полюса / Д.Е. Лиманская // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 113-126 — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177296 517.925 ru Нелінійні коливання Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Дослiджуються питання iснування аналiтичних розв’язкiв деяких систем звичайних диференцiальних рiвнянь, частково розв’язуваних вiдносно похiдних. Отримано достатнi умови iснування аналiтичних розв’язкiв задачi Кошi у випадку полюса. Встановлено оцiнку таких розв’язкiв у деякiй областi та дослiджено питання щодо числа розв’язкiв. |
| format |
Article |
| author |
Лиманская, Д.Е. |
| spellingShingle |
Лиманская, Д.Е. О поведении решений некоторых систем дифференциальных уравнений, частично разрешенных относительно производных, в случае полюса Нелінійні коливання |
| author_facet |
Лиманская, Д.Е. |
| author_sort |
Лиманская, Д.Е. |
| title |
О поведении решений некоторых систем дифференциальных уравнений, частично разрешенных относительно производных, в случае полюса |
| title_short |
О поведении решений некоторых систем дифференциальных уравнений, частично разрешенных относительно производных, в случае полюса |
| title_full |
О поведении решений некоторых систем дифференциальных уравнений, частично разрешенных относительно производных, в случае полюса |
| title_fullStr |
О поведении решений некоторых систем дифференциальных уравнений, частично разрешенных относительно производных, в случае полюса |
| title_full_unstemmed |
О поведении решений некоторых систем дифференциальных уравнений, частично разрешенных относительно производных, в случае полюса |
| title_sort |
о поведении решений некоторых систем дифференциальных уравнений, частично разрешенных относительно производных, в случае полюса |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2017 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/177296 |
| citation_txt |
О поведении решений некоторых систем дифференциальных уравнений, частично разрешенных относительно производных, в случае полюса / Д.Е. Лиманская // Нелінійні коливання. — 2017. — Т. 20, № 1. — С. 113-126 — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Нелінійні коливання |
| work_keys_str_mv |
AT limanskaâde opovedeniirešenijnekotoryhsistemdifferencialʹnyhuravnenijčastičnorazrešennyhotnositelʹnoproizvodnyhvslučaepolûsa |
| first_indexed |
2025-07-15T15:20:24Z |
| last_indexed |
2025-07-15T15:20:24Z |
| _version_ |
1837726774319906816 |
| fulltext |
УДК 517.925
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ЧАСТИЧНО РАЗРЕШЕННЫХ
ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНЫХ, В СЛУЧАЕ ПОЛЮСА
Д. Е. Лиманская
Одес. нац. ун-т им. И. И. Мечникова
ул. Дворянская, 2, Одесса, 65026, Украина
e-mail: liman.diana@gmail.com
We study existence of analytic solutions to some systems of ordinary differential equations partially solved
with respect to derivatives. We obtain sufficient conditions for a Cauchy problem to have an analytic soluti-
on in the case of a pole. An estimate for such solutions on a certain domain is given, and the question on
the number of solutions has been studied.
Дослiджуються питання iснування аналiтичних розв’язкiв деяких систем звичайних диференцi-
альних рiвнянь, частково розв’язуваних вiдносно похiдних. Отримано достатнi умови iснуван-
ня аналiтичних розв’язкiв задачi Кошi у випадку полюса. Встановлено оцiнку таких розв’язкiв
у деякiй областi та дослiджено питання щодо числа розв’язкiв.
1. Введение. Основоположниками теории исследования поведения решений систем обык-
новенных дифференциальных уравнений вблизи особой точки были Р. Фукс, Ш. Брио,
Ж. Буке, А. М. Ляпунов, А. Пуанкаре, П. Пенлеве и др.
Позднее исследования подобных задач разделились на 2 направления: исследования в
вещественной и комплексной областях. В вещественной области изучением систем обык-
новенных дифференциальных уравнений вблизи особой точки занимались P. R. From-
mer, P. E. Hartmann, T. Wazewski [16], A. Winter, В. Н. Зубов, В. Ф. Мячин, А. В. Костин,
А. Ф. Андреев, А. Д. Брюно и др.
В конце XIX века французский математик П. Пенлеве совместно с Р. Фуксом дока-
зали теоремы, согласно которым были выделены классы уравнений, решения которых
не имеют подвижных особых точек или существенно особых точек. Позднее изучени-
ем систем обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной области занима-
лись Э. И. Грудо, M. Jwano [11], W. Trjitzinsky [15], M. Hurukaru, W. Wasow, J. Malmquist
[12], W. Strod [14] и др.
Отдельной задачей является изучение вопросов существования и асимптотического
поведения решений систем уравнений, не разрешенных относительно производных. Ис-
следования конкретных видов систем, не разрешенных относительно производных в ком-
плексной области, проведены в работах М. Jwano, O. Song Guk [13], Pak Ponk, Chol Per-
missible, В. И. Громака и др.
Методы исследования в вещественной области систем, не разрешенных относительно
производных, продолжены Р. Г. Грабовской и J. Diblic [3, 10], и развиты в комплексной
области в работах Г. Е. Самковой [5], Н. В. Шарай [6, 8], Е. А. Михайленко и др.
Рассмотрим задачу Коши
zdY
′
= P (z)Y + F (z, Y, Y ′), (1)
c© Д. Е. Лиманская, 2017
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1 113
114 Д. Е. ЛИМАНСКАЯ
Y (z) → 0 при z → 0, z ∈ D10, (2)
где d ∈ N, матрица P : D1 → Cp×p, D1 = {z : | z |< R1, R1 > 0} ⊂ C, D10 = D1\{0},
P (z) — аналитическая в области D1 матрица, det(P (z)) 6= 0 при z ∈ D10, а вектор-
функция F : D1 ×G1 ×G2 → Cp, Gk ⊂ Cp, 0 ∈ Gk, k = 1, 2, F (z, Y, Y ′) — аналитическая
в области D1 ×G1 ×G2 вектор-функция.
В настоящей работе исследуются вопросы существования аналитических решений за-
дачи Коши (1), (2), удовлетворяющих дополнительному условию
Y
′
(z) → 0 при z → 0, z ∈ D10. (3)
Согласно методу аналитического продолжения решений [2], систему (1) изучим вдоль
двух семейств кривых, а затем проведем аналитическое продолжение решений с неко-
торой кривой одного семейства с помощью кривых второго семейства на некоторую
область.
2. Введение вспомогательных множеств и функций. Введем вспомогательные мно-
жества I = {z = teiv ∈ C : t ∈ (0, t1), t1 > 0, v ∈ (v1, v2), v1 < v2}.
При z = z(t, v) = teiv множеству I ⊂ C поставим в соответствие множество Ǐt,v(t1) ⊂
⊂ R2,
Ǐt,v(t1) =
{
(t, v) ∈ R2 : t ∈ (0, t1), t1 > 0, v ∈ (v1, v2), v1 < v2
}
.
В частности, Ǐt,v0(t1) = {(t, v) ∈ R2 : t ∈ (0, t1), v = v0, v0 ∈ (v1, v2)}, где v0 —
фиксированное число; Ǐt0,v(t1) = {(t, v) ∈ R2 : t = t0, t0 ∈ (0, t1), v ∈ (v1, v2)}, где t0 —
фиксированное число.
Пусть вещественнозначные функции p(t, v), g(t, v) принимают неотрицательные зна-
чения на множестве Ǐt,v(t1).
Определение 1. Будем говорить, что при v0 ∈ [v1, v2] функция p(t, v0) имеет свой-
ствоQ1 относительно функции g(t, v0) на множестве Ǐt,v0(t1) при t → +0, если функция
p(t, v0) является функцией более высокого порядка малости относительно функции
g(t, v0) при t → +0.
Определение 2. Будем говорить, что функция p(t0, v) имеет свойство Q2 относи-
тельно функции g(t0, v) на множестве Ǐt0,v(t1), если существуют такие C1 ≥ 0, C2 ≥ 0,
что на этом множестве выполняется неравенство
C1 g(t0, v) ≤ p(t0, v) ≤ C2 g(t0, v)
для любого t0 ∈ (0, t1).
Введем вспомогательные вектор-функции
ϕ(0)(z) =
(
ϕ
(0)
1 (z), . . . , ϕ(0)
p (z)
)
, ϕ(0) : I → Cp, z = z(t, v) = teiv,
ψ
(0)
j (t, v) =
∣∣∣ϕ(0)
j (z(t, v))
∣∣∣ , j = 1, p, ψ(0)(t, v) =
(
ψ
(0)
1 (t, v), . . . , ψ(0)
p (t, v)
)
.
Определение 3. Будем говорить, что аналитическая на множестве I вектор-функ-
ция ϕ(0)(z) имеет свойство T0 при z ∈ I, если для любых (t, v) ∈ Ǐt,v(t1) выполнены
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 115
следующие условия:
ψ
(0)
j (t, v) > 0,
(
ψ
(0)
j (t, v)
)′
t
> 0,
(
ψ
(0)
j (t, v)
)′
v
≥ 0,
ψ
(0
j (+0, v) = 0,
(
ψ
(0)
j (+0, v)
)′
t
= 0, j = 1, p.
3. Система (1) на множестве Ǐt,v0(t1). Рассмотрим систему (1) на отрезке Ǐt,v0(t1) при
произвольном фиксированном v0 ∈ (v1, v2).
При z = z(t, v0) = teiv0 в системе (1) представим каждую из функций и матриц в
алгебраической форме, отделяя вещественные и мнимые части и вводя следующие обо-
значения:
Y (z(t, v0)) = Ỹ (t), Ỹ (t) = Ỹ1(t) + iỸ2(t),
Ỹj(t) = col
(
Ỹj1(t), . . . , Ỹjp(t)
)
, j = 1, 2,
P (z(t, v0)) = ‖p̃jk(t)‖pj,k=1 = P̃1(t) + iP̃2(t),
P̃s(t) = ‖p̃(s)jk (t)‖pj,k=1, s = 1, 2,
где p̃jk(t) = p̃
(1)
jk (t) + ip̃
(2)
jk (t), j, k = 1, p,
F (z(t, v0), Y (z(t, v0)), Y
′(z(t, v0))) = F̃
(
t, Ỹ1, Ỹ2, Ỹ
′
1 , Ỹ
′
2
)
,
F̃
(
t, Ỹ1, Ỹ2, Ỹ
′
1 , Ỹ
′
2
)
= col
(
F̃1(t, Ỹ1, Ỹ2, Ỹ
′
1 , Ỹ
′
2 ), . . . , F̃p(t, Ỹ1, Ỹ2, Ỹ
′
1 , Ỹ
′
2 )
)
,
F̃j
(
t, Ỹ1, Ỹ2, Ỹ
′
1 , Ỹ
′
2
)
= F̃1j
(
t, Ỹ1, Ỹ2, Ỹ
′
1 , Ỹ
′
2
)
+ iF̃2j
(
t, Ỹ1, Ỹ2, Ỹ
′
1 .Ỹ
′
2
)
, j = 1, p.
Поскольку для каждого z = teiv выполняется
Ỹ
′
(t) = Y
′
(z) eiv,
то при z = z(t, v0) = teiv0 система (1) сводится к виду
td
(
Ỹ
′
1 + iỸ
′
2
)
= (P̃ 1 + iP̃2)
(
Ỹ1 + iỸ2
)
e(1−d)iv0+
+ e(1−d)iv0
(
Re F̃
(
t, Ỹ1, Ỹ2, Ỹ
′
1 , Ỹ
′
2
)
+ iIm F̃
(
t, Ỹ1, Ỹ2, Ỹ
′
1 , Ỹ
′
2
))
. (4)
Введем матрицы и вектор-функцию вида
P̃ (t) =
(
P̃1 (t) −P̃ 2 (t)
P̃2 (t) P̃1 (t)
)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
116 Д. Е. ЛИМАНСКАЯ
f̃
(
t, Ỹ1, Ỹ2, Ỹ
′
1 , Ỹ
′
2
)
= col
(
F̃11
(
t, Ỹ1, Ỹ2, Ỹ
′
1 , Ỹ
′
2
)
, . . . , F̃1p
(
t, Ỹ1, Ỹ2, Ỹ
′
1 , Ỹ
′
2
)
,
F̃21
(
t, Ỹ1, Ỹ2, Ỹ
′
1 , Ỹ
′
2
)
, . . . , F̃2p
(
t, Ỹ1, Ỹ2, Ỹ
′
1 , Ỹ
′
2
))
, (5)
Q̃1(v0) =
(
cos((d− 1)v0)E sin((d− 1)v0)E
− sin((d− 1)v0)E cos((d− 1)v0)E
)
,
где E — единичная матрица размерности p× p.
Приравняем в левой и правой частях системы (4) действительные и мнимые части
указанных вектор-функций. Тогда система (4) сведется к системе
td
(
Ỹ ′1(t)
Ỹ ′2(t)
)
= P̃ (t)Q̃1(v0)
(
Ỹ1(t)
Ỹ2(t)
)
+ Q̃1(v0)f̃
(
t, Ỹ1, Ỹ2, Ỹ
′
1 , Ỹ
′
2
)
. (6)
Таким образом, система (1) вдоль отрезка Ǐt,v0(t1) при произвольном фиксированном
v0 ∈ (v1, v2) сведется к системе (6).
4. Система (1) на множестве Ǐt0,v(t1). Рассмотрим систему (1) вдоль дуги окружности
Ǐt0,v(t1) при произвольном фиксированном t0 ∈ (0, t1).
При z = z(t0, v) = t0e
iv в системе (1) представим каждую из функций и матриц в
алгебраической форме, отделяя вещественные и мнимые части и вводя следующие обо-
значения:
Y (z(t0, v)) = Ŷ (v), Ŷ (v) = Ŷ1(v) + iŶ2(v),
Ŷj(v) = col
(
Ŷj1(v), . . . , Ŷjp(v)
)
, j = 1, 2,
P (z(t0, v)) = ‖p̂jk(v)‖pk,j=1 = P̂1(v) + iP̂2(v),
P̂s(v) = ‖p̂(s)jk (v)‖pj,k=1, s = 1, 2,
где p̂jk(v) = p̂
(1)
jk (v) + ip̂
(2)
jk (v), j, k = 1, p,
F
(
z(t0, v), Y (z(t0, v)), Y
′
(z(t0, v))
)
= F̂
(
v, Ŷ1, Ŷ2, Ŷ
′
1 , Ŷ
′
2
)
,
F̂
(
v, Ŷ1, Ŷ2, Ŷ
′
1 , Ŷ
′
2
)
= col
(
F̂1
(
v, Ŷ1, Ŷ2, Ŷ
′
1 , Ŷ
′
2
)
, . . . , F̂p
(
v, Ŷ1, Ŷ2, Ŷ
′
1 , Ŷ
′
2
))
,
F̂j
(
v, Ŷ1, Ŷ2, Ŷ
′
1 , Ŷ
′
2
)
= F̂1j
(
v, Ŷ1, Ŷ2, Ŷ
′
1 , Ŷ
′
2
)
+ iF̂2j
(
v, Ŷ1, Ŷ2, Ŷ
′
1 , Ŷ
′
2
)
, j = 1, p.
Поскольку для каждого фиксированного z = teiv выполняется
Ŷ
′
(v) = Y ′(z) iteiv,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 117
то при z = z(t0, v) = t0e
iv система (1) сводится к виду
td−10 eiv(d−1)
(
Ŷ
′
1 + iŶ
′
2
)
= i
(
P̂1 + iP̂2
)(
Ŷ1 + iŶ2
)
+
+ i
(
ReF̂
(
v, Ŷ1, Ŷ2, Ŷ
′
1 , Ŷ
′
2
)
+ iIm F̂
(
v, Ŷ1, Ŷ2, Ŷ
′
1 , Ŷ
′
2
))
. (7)
Введем матрицы и вектор-функцию вида
P̂ (v) =
(
P̂1(v) −P̂2(v)
P̂2(v) P̂1(v)
)
,
f̂
(
v, Ŷ1, Ŷ2, Ŷ
′
1 , Ŷ
′
2
)
= col
(
F̂11
(
v, Ŷ1, Ŷ2, Ŷ
′
1 , Ŷ
′
2
)
, . . . , F̂1p
(
v, Ŷ1, Ŷ2, Ŷ
′
1 , Ŷ
′
2
)
,
F̂21
(
v, Ŷ1, Ŷ2, Ŷ
′
1 , Ŷ
′
2
)
, . . . , F̂2p
(
v, Ŷ1, Ŷ2, Ŷ
′
1 , Ŷ
′
2
))
,
Q̂1(v) =
(
sin((d− 1)v)E − cos((d− 1)v)E
cos((d− 1)v)E sin((d− 1)v)E
)
,
Приравняем в левой и правой частях системы (7) действительные и мнимые части при-
веденных вектор-функций. Тогда система (7) сведется к виду
td−10
(
Ŷ ′1(v)
Ŷ ′2(v)
)
= P̂ (v)Q̂1(v)
(
Ŷ1(v)
Ŷ2(v)
)
+ Q̂1(v)f̂
(
v, Ŷ1, Ŷ2, Ŷ
′
1 , Ŷ
′
2
)
. (8)
Таким образом, система (1) вдоль дуги окружности Ǐt0,v(t1) при произвольном фикси-
рованном t0 ∈ (0, t1) сведется к виду (8).
5. Некоторые классы функций и свойства систем. Введем вспомогательное свойство
S1d, согласно которому элементы матрицы P (z) удовлетворяют некоторым условиям.
Определение 4. Будем говорить, что матрица P (z) имеет свойство S1d относи-
тельно вектор-функции ϕ(0)(z), если выполняются следующие условия:
1) для каждого v0 ∈ (v1, v2) и каждого j ∈ {1, 2, . . . , p} функция td
(
ψ
(0)
j (z(t, v0))
)′
t
имеет свойство Q1 относительно функции |p̃jj(t)|ψ(0)
j (z(t, v0)) на множестве Ǐt,v0(t1)
при t → +0;
2) для каждого j ∈ {1, 2, . . . , p} функция td−10
(
ψ
(0)
j (t0, v)
)′
v
имеет свойство Q2 отно-
сительно функции |p̂jj(v)|ψ(0)
j (t0, v) на множестве Ǐt0,v(t1);
3) для каждого v0 ∈ (v1, v2) и каждого j ∈ {1, 2, . . . , p} функции |p̃jk(t)|ψ(0)
k (t, v0),
k = 1, p, j 6= k, имеют свойство Q1 относительно функции td
(
ψ
(0)
j (t, v0)
)′
t
на мно-
жестве Ǐt,v0(t1) при t → +0;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
118 Д. Е. ЛИМАНСКАЯ
4) для каждого j ∈ {1, 2, . . . , p} функции |p̂jk(v)|ψ(0)
k (t0, v), k = 1, p, j 6= k, имеют
свойство Q2 относительно функции td−10
(
ψ
(0)
j (t0, v)
)′
v
на множестве Ǐt0,v(t1).
Введем вспомогательное свойство M1d, согласно которому элементы вектор-функ-
ции F (z, Y, Y ′) удовлетворяют некоторым условиям.
Обозначим множества
Ω̃
(
δ, ϕ(0)(z(t, v0))
)
=
=
{(
t, Ỹ1, Ỹ2
)
: t ∈ (0, t1), Ỹ
2
1j + Ỹ 2
2j < δ2j
(
ψ
(0)
j (t, v0)
)2
, j = 1, p
}
,
v0 фиксировано на (v1, v2), (9)
Ω̂
(
τ, ϕ(0)z((t0, v))
)
=
=
{(
v, Ŷ1, Ŷ2
)
: v ∈ (v1, v2), Ŷ
2
1j + Ŷ 2
2j < τ2j
(
ψ
(0)
j (t0, v)
)2
, j = 1, p
}
,
t0 фиксировано на (0, t1), (10)
где δ = (δ1, . . . , δp) , τ = (τ1, . . . , τp) , δj , τj ∈ R\{0}, j = 1, p.
Определение 5. Будем говорить, что вектор-функция F (z, Y, Y ′) имеет свойство
M1d относительно вектор-функции ϕ(0)(z), если выполняются следующие условия:
1) для каждого v0 ∈ (v1, v2) и каждого j ∈ {1, 2, . . . , p} при
(t, Ỹ1, Ỹ2) ∈ Ω̃
(
δ, ϕ(0)(z(t, v0))
)
функции F̃kj
(
t, Ỹ1, Ỹ2, Ỹ
′
1 , Ỹ
′
2
)
, k = 1, 2, имеют свойство Q1 на множестве Ǐt,v0(t1) отно-
сительно функции |pjj(z(t, v0))| ψ(0)
j (t, v0) при t → +0;
2) для каждого j ∈ {1, 2, . . . , p} при
(v, Ŷ1, Ŷ2) ∈ Ω̂
(
τ, ϕ(0)(z(t0, v))
)
функции F̂kj
(
v, Ŷ1, Ŷ2, Ŷ
′
1 , Ŷ
′
2
)
, k = 1, 2, имеют свойство Q2 относительно функции(
|pjj(z(t0, v))| ψ(0)
j (t0, v)
)
на множестве Ǐt0,v(t1).
Проведем дальнейшую классификацию свойств матрицы P (z).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 119
Введем вспомогательные функции α̃jk(t), α̂jk(v), j, k = 1, p, так, что
cos (α̃jk(t)) =
p̃
(1)
jk (t)√(
p̃
(1)
jk (t)
)2
+
(
p̃
(2)
jk (t)
)2 ,
sin (α̃jk(t)) =
p̃
(2)
jk (t)√(
p̃
(1)
jk (t)
)2
+
(
p̃
(1)
jk (t)
)2 ,
j, k = 1, p, (11)
cos (α̂jk(v)) =
p̂
(1)
jk (v)√
(p̂
(1)
jk (v))
2
+ (p̂
(2)
jk (v))
2
,
sin (α̂jk(v)) =
p̂
(2)
jk (v)√
(p̂
(1)
jk (v))
2
+ (p̂
(2)
jk (v))
2
,
j, k = 1, p. (12)
Введем области Λm,k(t1), m, k ∈ {+,−}, которые определяются следующим образом:
Λ+,+(t1) =
{
(t, v) : cos ((d− 1)v + α̃jj(t)) > 0, sin ((d− 1)v + α̂jj(v)) > 0,
j = 1, p, t ∈ (0, t1), v ∈ (v1, v2)
}
,
Λ+,−(t1) =
{
(t, v) : cos ((d− 1)v + α̃jj(t)) > 0, sin ((d− 1)v + α̂jj(v)) < 0,
j = 1, p, t ∈ (0, t1), v ∈ (v1, v2)
}
,
Λ−,+(t1) =
{
(t, v) : cos ((d− 1)v + α̃jj(t)) < 0, sin ((d− 1)v + α̂jj(v)) > 0,
j = 1, p, t ∈ (0, t1), v ∈ (v1, v2)
}
,
Λ−,−(t1) =
{
(t, v) : cos ((d− 1)v + α̃jj(t)) < 0, sin ((d− 1)v + α̂jj(v)) < 0,
j = 1, p, t ∈ (0, t1), v ∈ (v1, v2)
}
.
Определение 6. Будем говорить, что система (1) принадлежит классу Cm,k, если
матрица P (z) = P (teiv) такова, что (t, v) ∈ Λm,k, m, k ∈ {+,−}.
Будем полагать, что
G2,m,k(t1) =
{
z = z(t, v) : 0 < |z| < t2, (t, v) ∈ Λm,k(t1),
}
, m, k ∈ {+,−}.
6. Основные результаты. Изучим асимптотику решений задачи Коши (1), (2), удов-
летворяющих дополнительному условию (3), в случае, когда система (1) принадлежит
одному из классов Cm,k, m, k ∈ {+,−}, и t2 = min(t1, R1).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
120 Д. Е. ЛИМАНСКАЯ
Теорема 1. Пусть для системы (1) выполняются следующие условия:
1) матрица P (z) является аналитической в областиD1 и имеет свойство S1d отно-
сительно аналитической вектор-функции ϕ(0)(z);
2) вектор-функция F (z, Y, Y ′) является аналитической в области D1 × G1 × G2 и
имеет свойство M1d относительно аналитической вектор-функции ϕ(0)(z);
3) cистема (1) принадлежит одному из классов C+,k, k∈ {+,−}.
Тогда при k ∈ {+,−} существует t∗ ∈ (0, t2), для которого решения системы (1),
удовлетворяющие начальным условиям Y (z0) = Y0 при
z0 ∈ G2,+,k(t∗), Y0 ∈
{
Y : |Yj(z0)| < δj |ϕ(0)
j (z0)|, δj > 0, j = 1, p
}
,
аналитичны в области D1 ∩G2,+,k(t∗), и для них в этой области справедлива оценка
|Yj(z)|2 < δ2j
∣∣∣ϕ(0)
j (z)
∣∣∣2 , j = 1, p. (13)
Доказательство. 1. Рассмотрим систему (1) на отрезке Ǐt,v0(t2) при фиксированном
значении v0 ∈ (v1, v2).
Рассмотрим множество Ω̃
(
δ, ϕ(0)(z(t, v0))
)
как пересечение множеств Ω̃j вида
Ω̃
(
δ, ϕ(0)(z(t, v0))
)
=
p⋂
j=1
Ω̃j
(
δ, ϕ(0)(z(t, v0))
)
,
где
Ω̃j
(
δ, ϕ(0)(z(t, v0))
)
=
{(
t, Ỹ1, Ỹ2
)
: Ỹ 2
1j + Ỹ 2
2j < δ2j
(
ψ
(0)
j (t, v0)
)2
, t ∈ (0, t1)
}
.
Часть границы множества Ω̃j , j ∈ {1, 2, . . . , p}, будем обозначать так:
∂ Ω̃j
(
δ, ϕ(0)(z(t, v0))
)
=
{(
t, Ỹ1, Ỹ2
)
: Ỹ 2
1j + Ỹ 2
2j = δ2j
(
ψ
(0)
j (t, v0)
)2
,
Ỹ 2
1k + Ỹ 2
2k < δ2k
(
ψ
(0)
k (t, v0)
)2
, k = 1, p, k 6= j, t ∈ (0, t1)
}
.
Обозначим
Φ̃j
(
t, Ỹ (t)
)
= Ỹ 2
1j(t) + Ỹ 2
2j(t)− δ2j
(
ψ
(0)
j (t, v0)
)2
, j ∈ {1, 2, . . . , p}.
Тогда вектор внешней нормали поверхности ∂ Ω̃j(δ, ϕ(z(t, v0))) при фиксированном j ∈
∈ {1, . . . , p} имеет вид
N̄j
2
=
(
−δ2j ψ
(0)
j (t, v0) (ψ
(0)
j (t, v0))
′
t
, 0, . . . , 0, Ỹ1j , 0, . . . , 0, Ỹ2j , 0, . . . , 0
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 121
Пусть T̄ — вектор поля направлений системы (6) в произвольной фиксированной точ-
ке (t, Ỹ (t)) ∈ ∂Ω̃j(δ, ϕ(z(t, v0))), j ∈ {1, . . . , p}.
Обозначим
S1j =
p∑
k=1
[(
p̃
(1)
jk (t) cos((d− 1)v0)− p̃(2)jk (t) sin((d− 1)v0)
)
Ỹ1k+
+
(
p̃
(1)
jk (t) sin((d− 1)v0)− p̃(2)jk (t) cos((d− 1)v0)
)
Ỹ2k
]
+
+
(
F̃1j cos((d− 1)v0)− F̃2j sin((d− 1)v0)
)
, j = 1, p,
S2j =
p∑
k=1
[(
p̃
(1)
jk (t) cos((d− 1)v0)− p̃(2)jk (t) sin((d− 1)v0)
)
Ỹ2k+
+
(
p̃
(1)
jk (t) sin((d− 1)v0) + p̃
(2)
jk (t) cos((d− 1)v0)
)
Ỹ1k
]
+
+
(
F̃1j sin((d− 1)v0) + F̃2j cos((d− 1)v0)
)
, j = 1, p.
Рассмотрим скалярное произведение(
tdT̄ ,
N̄j
2
)
= −tdδ2j ψ
(0)
j (t, v0)
(
ψ
(0)
j (t, v0)
)′
t
+ S1j Ỹ1j + S2j Ỹ2j , j = 1, p,
(
tdT̄ ,
N̄j
2
)
= −tdδ2jψ
(0)
j (t, v0)
(
ψ
(0)
j (t, v0)
)′
t
+
(
p̃
(1)
jj (t) cos((d− 1)v0)− p̃(2)jj (t) sin((d− 1)v0)
)
×
× δ2j (ψ
(0)
j (t, v0))
2
+
p∑
k=1
k 6=j
(
p̃
(1)
jk (t) cos((d− 1)v0)− p̃(2)jk (t) sin((d− 1)v0)
)
×
×
(
Ỹ1kỸ1j + Ỹ2kỸ2j
)
+
p∑
k=1
k 6=j
(
p̃
(1)
jk (t) sin((d− 1)v0) + p̃
(2)
jk (t) cos((d− 1)v0)
)
×
×
(
Ỹ2kỸ1j − Ỹ1kỸ2j
)
+
(
F̃1j cos((d− 1)v0)− F̃2j sin((d− 1)v0)
)
Ỹ1j+
+
(
F̃1j sin((d− 1)v0) + F̃2j cos((d− 1)v0)
)
Ỹ2j , j = 1, p. (14)
Поскольку, по условию, матрица P (z) имеет свойство S1d, а вектор-функция F (z, Y, Y ′)
— свойство M1d относительно вектор-функции ϕ(0)(z), то(
tdT̄ ,
N̄j
2
)
=
√
(p̃
(1)
jj (t))
2
+ (p̃
(2)
jj (t))
2
(cos((d− 1)v0 + α̃jj(t))) (1 + o(t)),
j = 1, p, при t → +0,
(15)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
122 Д. Е. ЛИМАНСКАЯ
где функция α̃jj(t) определена равенством (11).
Так как система (1) принадлежит одному из классов C+,k(t, v), k ∈ {+,−}, то сущест-
вует такое t∗, t∗ ∈ (0, t2), что при t ∈ (0, t∗) справедливо
(
tdT̄ ,
N̄j
2
)
> 0, j = 1, p. Сле-
довательно, при t ∈ (0, t∗) поверхность ∂ Ω̃(δ, ϕ(0)(z(t, v0))) является поверхностью без
контакта для системы (6), причем при убывании переменной t интегральная кривая вхо-
дит в область Ω̃(δ, ϕ(0)(z(t, v0))).
Согласно условиям 1 – 3 теоремы, через каждую точку множества Ω̃(δ, ϕ(0)(z(t, v0)))∪
∪∂ Ω̃(δ, ϕ(0)(z(t, v0))) ∩ (t = t∗) проходит хотя бы одна гладкая интегральная кривая сис-
темы (6), и все интегральные кривые данной системы, проходящие через точки
Ω̃(δ, ϕ(0)(z(t, v0))) ∪ ∂Ω̃(δ, ϕ(0)(z(t, v0))) ∩ (t = t∗),
остаются в области Ω̃(δ, ϕ(0)(z(t, v0))) при (t, v) ∈ Λ+,k(t∗), k ∈ {+,−}, v0 ∈ (v1, v2). При
этом выполнено неравенство
|Ysj(z(t, v0))|2 < δj
2
(
ψ
(0)
j (t, v0)
)2
, j = 1, p, s = 1, 2, (16)
при (t, v) ∈ Λ+,k (t∗) , k ∈ {+,−}.
2. Рассмотрим поведение решений системы (1) вдоль дуги окружности Ǐt0,v(t1) при
фиксированном t0 ∈ (0, t1). Рассмотрим множество Ω̂(τ, ϕ(0)(z(t0, v))) как пересечение
множеств Ω̂j вида
Ω̂
(
τ, ϕ(0)(z(t0, v))
)
=
p⋂
j=1
Ω̂j
(
τ, ϕ(0)(z(t0, v))
)
,
где
Ω̂j
(
τ, ϕ(0)(z(t0, v))
)
=
{(
v, Ŷ1, Ŷ2
)
: Ŷ 2
1j + Ŷ 2
2j < τ2j
(
ψ
(0)
j (t0, v)
)2
, v ∈ (v1, v2)
}
.
Часть границы множества Ω̃j , j = {1, 2, . . . , p} , будем обозначать так:
∂ Ω̂j
(
τ, ϕ(0)(z(t0, v))
)
=
{(
v, Ŷ1, Ŷ2
)
: Ŷ 2
1j + Ŷ 2
2j = τ2j
(
ψ
(0)
j (t0, v)
)2
,
Ŷ 2
1k + Ŷ 2
2k < τ2k
(
ψ
(0)
k (t0, v)
)2
, k = 1, p, k 6= j, v ∈ (v1, v2)
}
.
Изучим поведение интегральных кривых системы (8) на поверхности
∂ Ω̂j
(
τ, ϕ(0)(z(t0, v))
)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 123
при фиксированном j ∈ {1, . . . , p}:(
td−10 T̄ ,
N̄j
2
)
= −td−10 τ2j ψj
(0)(t0, v)
(
ψj
(0)(t0, v)
)′
v
+
+
(
p̂
(1)
jj (v) cos((d− 1)v)− p̂(2)jj (v) sin((d− 1)v)
)
τ2j
(
ψ
(0)
j (t0, v)
)2
+
+
p∑
k=1
k 6=j
(
p̂
(1)
jk (v) cos((d− 1)v)− p̂(2)jk (v) sin((d− 1)v)
)(
Ŷ1kŶ1j + Ŷ2kŶ2j
)
+
+
p∑
k=1
k 6=j
(
−p̂(1)jk (v) sin((d− 1)v)− p̂(2)jk (v) cos((d− 1)v)
)(
Ŷ2kŶ1j − Ŷ1kŶ2j
)
+
+
(
F̂1j cos((d− 1)v)− F̂2j sin((d− 1)v)
)
Ŷ1j+
+
(
−F̂1j sin((d− 1)v)− F̂2j cos((d− 1)v)
)
Ŷ2j , j = 1, p. (17)
Поскольку, по условию, матрицаP (z) имеет свойство S1d, а вектор-функцияF (z, Y (z),
Y ′(z)) — свойство M1d относительно вектор-функции ϕ(0)(z), то(
td−10 T̄ ,
N̄j
2
)
=
√(
p̂
(1)
jj (v)
)2
+
(
p̂
(2)
jj (v)
)2
(sin((d− 1)v + α̂jj(v))) (1 +O(1)), j = 1, p,
при t0 ∈ (+0, t∗), v ∈ (v1, v2), где функция α̂jj(v) определена равенством (12). Следова-
тельно,
sign
(
td−10 T̄ ,
N̄j
2
)
= sign (sin((d− 1)v + α̂jj(v))) , j = 1, p, v ∈ (v1, v2), (18)
и существует t∗ ∈ (0; t1) такое, что без ограничения общности для каждого фиксиро-
ванного t0 ∈ (0, t∗) поверхность ∂ Ω̂
(
τ, ϕ(0)(z(t0, v))
)
∈ Λ+,k (t∗) , k ∈ {+,−}, является
поверхностью без контакта для системы (8).
Так как система (1) принадлежит классу C+,k(t, v), k ∈ {+,−}, то любая интегральная
кривая системы (8), проходящая через точку множества Ω̂
(
τ, ϕ(0)(z(t0, v))
)
∩ (v = v0),
v0 ∈ (v1, v2), если (t, v) ∈ Λ+,+ (t∗) , остается в области Ω̂
(
τ, ϕ(0)(z(t0, v))
)
при убывании
v, а если (t, v) ∈ Λ+,− (t∗) , остается в области Ω̂
(
τ, ϕ(0)(z(t0, v))
)
при возрастании v. При
этом выполнены неравенства
|Ysj(z(t0, v))|2 < τj
2
∣∣∣ψ(0)
j (t0, v)
∣∣∣2 , j = 1, p, s = 1, 2,
(t, v) ∈ Λ+,k (t∗) , k ∈ {+,−}.
(19)
3. Применим метод аналитического продолжения для задач, разрешенных относи-
тельно производных, предложенный Р. Г. Грабовской [2] и развитый для задач, не разре-
шенных относительно производных, Г. Е. Самковой [5, 6] и использованный Н. В. Шарай
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
124 Д. Е. ЛИМАНСКАЯ
при доказательстве пункта 3 теоремы 2.1 [8]. Предположим, что для векторов δ, τ ∈ Cp,
δj 6= 0, τj 6= 0, j = 1, p, выполняются неравенства
δ2j < τ2j , j = 1, p. (20)
В пункте 1 доказательства настоящей теоремы получено, что вдоль кривой Ǐt,v0(t∗),
v0 ∈ (v1, v2), при t ∈ (0, t∗) существует бесконечно много непрерывно дифференцируе-
мых решений системы (6), удовлетворяющих оценке (16). Обозначим множество таких
решений {Y (z(t, v0))}.
Любое решение Y (z(t, v0)) из множества {Y (z(t, v0))} можно аналитически продол-
жить с Ǐt,v0(t∗), где (t, v) ∈ Λ+,k (t∗) , при фиксированном v0 ∈ (v1, v2) на содержащую его
область с сохранением оценки (16).
Из пункта 2 доказательства настоящей теоремы следует, что при выполнении нера-
венства (20) решение Y (z(t, v)) при фиксированном v = v0 можно продолжить с кри-
вой Ǐt,v0(t∗) вдоль кривых Ǐt0,v(t∗), v ∈ (v1, v2), на множество Ω̂
(
τ, ϕ(0)(z (t∗, v))
)
при t ∈
∈ (0, |z(t0, v)|]. При этом аналитическое продолжение обозначим Y (z). Получим мно-
жество решений {Y (z)}.
В итоге любое решение Y (z) аналитически продолжаемо на G2,+,k (t∗) × {Y : |Ysj | <
< δj |ϕj(z0)| , j = 1, p, s = 1, 2}, причем в данной области выполнено неравенство (13).
Значит, система (1) имеет бесконечно много аналитических решений, удовлетворяющих
оценке (13) при z ∈ D1 ∩G2,+,k (t∗) .
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть для системы (1) выполняются следующие условия:
1) матрица P (z) является аналитической в областиD1 и имеет свойство S1d отно-
сительно аналитической вектор-функции ϕ(0)(z);
2) вектор-функция F (z, Y, Y ′) является аналитической в области D1 × G1 × G2 и
имеет свойство M1d относительно аналитической вектор-функции ϕ(0)(z);
3) система (1) принадлежит одному из классов C−,k, k∈ {+,−}.
Тогда при k ∈ {+,−} существует t∗ ∈ (0, t1), для которого решение системы (1),
удовлетворяющее начальным условиям Y (z0) = Y0 при z0 ∈ G2,−,k(t∗), Y0 ∈ {Y : |Yj(z0)| <
< δj |ϕ(0)
j (z0)|, δj > 0, j = 1, p}, аналитично в области D1 ∩G2,−,k(t∗), и для него в этой
области справедлива оценка (13).
Доказательство. 1. Рассмотрим систему (1) на отрезке Ǐt,v0(t1) при фиксированном
значении v0 ∈ (v1, v2). Скалярное произведение
(
tdT̄ ,
N̄j
2
)
будет иметь вид (14).
Поскольку, по условию, матрицаP (z) имеет свойство S1d, а вектор-функцияF (z, Y, Y ′)
— свойство M1d относительно вектор-функции ϕ(0)(z), то выполняется (15).
Так как система (1) принадлежит одному из классов C−,k(t, v), k ∈ {+,−}, то сущест-
вует такое t∗, что при t ∈ (0, t∗) выполняется
(
tdT̄ ,
N̄j
2
)
< 0, j = 1, p. Следовательно,
при t ∈ (0, t∗) поверхность ∂Ω̃
(
δ, ϕ(0)(z(t, v0))
)
является поверхностью без контакта для
системы (6), причем при убывании переменной t интегральная кривая выходит из облас-
ти Ω̃(δ, ϕ(0)(z(t, v0))).
Согласно условиям 1 – 3 теоремы, существует хотя бы одна гладкая интегральная кри-
вая системы (6), которая остается в области Ω̃
(
δ, ϕ(0)(z(t, v0))
)
на максимальном про-
межутке своего существования, и при t ∈ (0, t∗) данная интегральная кривая остается
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 125
в области Ω̃(δ, ϕ(0)(z(t, v0))) при (t, v) ∈ Λ−,k(t∗), k ∈ {+,−}, v0 ∈ (v1, v2), t ∈ (0, t∗).
При этом выполнено неравенство (16) при (t, v) ∈ Λ−,k(t∗), k ∈ {+,−}.
2. Рассмотрим поведение решений системы (1) вдоль дуги окружности Ǐt0,v(t1) при
фиксированном t0 ∈ (0, t1). Скалярное произведение
(
td−10 T̄ ,
N̄j
2
)
будет иметь вид (17).
Поскольку, по условию, матрица P (z) имеет свойство S1d, а вектор-функция
F (z, Y (z), Y ′(z)) — свойство M1d относительно вектор-функции ϕ(0)(z), то выполняет-
ся (18).
Существует t∗ ∈ (0, t1) такое, что без ограничения общности для каждого фикси-
рованного t0 ∈ (0, t∗) поверхность ∂Ω̂(τ, ϕ(0)(z(t0, v))) ∈ Λ−,k(t∗), k ∈ {+,−}, является
поверхностью без контакта для системы (8).
Так как система (1) принадлежит классу C−,k(t, v), k ∈ {+,−}, то любая интегральная
кривая системы (8), проходящая через точку множества Ω̂(τ, ϕ(0)(z(t0, v))) ∩ (v = v0),
v0 ∈ (v1, v2), если (t, v) ∈ Λ−,+(t∗), остается в области Ω̂(τ, ϕ(0)(z(t0, v))) при убывании v,
а если (t, v) ∈ Λ−,−(t∗), остается в области Ω̂(τ, ϕ(0)(z(t0, v))) при возрастании v.При этом
выполнено неравенство (19) при (t, v) ∈ Λ−,k(t∗), k ∈ {+,−}.
3. Применим метод аналитического продолжения, использованный в пункте 3 дока-
зательства теоремы 1. Предположим, что выполняются неравенства (20).
В пункте 1 доказательства настоящей теоремы получено, что вдоль кривой Ǐt,v0(t∗),
v0 ∈ (v1, v2), при t ∈ (0, t∗) существует хотя бы одно непрерывно дифференцируемое ре-
шение системы (6), удовлетворяющее оценке (16). Обозначим множество таких решений
{Y (z(t, v0))}.
Любое решение Y (z(t, v0)) из множества {Y (z(t, v0))} можно аналитически продол-
жить с кривой Ǐt,v0(t∗), где (t, v) ∈ Λ−,k(t∗), при фиксированном v0 ∈ (v1, v2) на содержа-
щую ее область с сохранением оценки (16).
Из пункта 2 доказательства настоящей теоремы следует, что при выполнении нера-
венства (20) решение Y (z(t, v)) при фиксированном v = v0 можно продолжить с кри-
вой Ǐt,v0(t∗) вдоль кривых Ǐt0,v(t∗) на множество Ω̂
(
τ, ϕ(0)(z(t0, v))
)
∩ (v = v0) при t ∈
∈ (0, |z(t0, v)|]. При этом аналитическое продолжение обозначим Y (z).
В итоге решение Y (z) аналитически продолжаемо наG2,−,k(t∗)×{Y : Ysj | < δj |ϕj(z0)|,
j = 1, p, s = 1, 2}, причем в данной области выполнено неравенство (13). Значит, система
(1) имеет хотя бы одно аналитическое решение, удовлетворяющее оценке (13) при z ∈
∈ D1 ∩G2,−,k(t∗).
Теорема 2 доказана.
7. Вывод. В настоящей работе задача (1) – (3) изучена в предположении, что матрица
P (z) аналитическая в области D1, а вектор-функция F (z, Y, Y ′) является аналитической
всюду в D1 × G1 × G2. Найдены достаточные условия существования или бесконечного
множества аналитических решений задачи Коши (1), (2) на множествеD1∩G2,+,k(t∗), или
хотя бы одного аналитического решение на множествеD1∩G2,−,k (t∗) .Для этих решений
получена оценка (13).
Литература
1. Бохнер С., Мартин У. Функции многих комплексных переменных. — М.: Изд-во иностр. лит., 1951. —
300 с.
2. Грабовская Р. Г. Об асимптотическом поведении решения системы двух нелинейных дифференциаль-
ных уравнений первого порядка // Дифференц. уравнения. — 1975. — 11, № 4. — С. 639 – 644.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
126 Д. Е. ЛИМАНСКАЯ
3. Грабовская Р. Г., Диблик Й. Асимптотика систем дифференциальных уравнений, не разрешенных
относительно производных. — Деп. в ВИНИТИ, № 1786.
4. Ганнинг Р., Росси Х. Аналитические функции многих комплексных переменных. — М.: Мир, 1969. —
397 с.
5. Самкова Г. Е. Существование и асимптотическое поведение аналитических решений некоторых син-
гулярных дифференциальных систем, не разрешенных относительно производных // Дифференц.
уравнения. — 1991. — 27, № 11. — C. 2012 – 2013.
6. Самкова Г. Е., Шарай Н. В. Об исследовании некоторой полуявной системы дифференциальных урав-
нений в случае переменного пучка матриц // Нелiнiйнi коливання. — 2002. — 5, № 2. — C. 224 – 236.
7. Самойленко А. М. Об асимптотическом интегрировании одной системы линейных дифференциаль-
ных уравнений с малым параметром при части производных // Укр. мат. журн. — 2002. — 54, № 11. —
C. 1505 – 1517.
8. Шарай Н. В., Самкова Г. Є. Асимптотика розв’язкiв деяких напiв’явних систем диференцiальних рiв-
нянь // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. — 2006. — Вип. 314 – 315. — C. 181 – 188.
9. Шкиль Н. И., Старун И. И., Яковец В. П. Асимптотическое интегрирование систем дифференциаль-
ных уравнений с вырождениями. — Киев: Вища шк., 1991. — 207 с.
10. Diblic J. On the an asymptotic behavior of solutions of a certain system of quasilinear differential equations
not solved wich respect to derivatives // Rici mat. Univ. Parma. — 1987. — № 13. — P. 413 – 419.
11. Jwano M. A method to construct stable domain of a sectorial type // Funkc. ekvacioj. — 1999. — 42, № 1. —
P. 71 – 103.
12. Malmquist J. Sur l’edude analitique des solutions d’un systeme d’equations differentielles dans le voisinage
d’un point singulier d’indetermination // Acta Math. — 1941. — P. 1 – 64, 73, 74, 87 – 129, 109 – 128.
13. Song Guk O., Pak Ponk, Chol Permissible. Boundary condition of a system of linear ordinary differential
equations in a closed angle domain of complex plane // Kwahagwonthongbo Bull. Acad. Sci. DPR Korea. —
2001. — № 3. — P. 2 – 4.
14. Strodt W. Contributions to the asymptotic theory of ordinary differential equations in the complex domain
// Mem. Amer. Math. Soc. — 1957. — № 13. — P. 1 – 81.
15. Trjitzinsky W. Theory of non-linear singular differential system // Trans. Amer. Math. Soc. — 1937. — № 42. —
P. 225 – 321.
16. Wazewski Т. Sur l’evaluation du domaine d’existence des fonctions implicites reelles ou complexes // Ann.
Soc. Pol. Math. — 1947. — № 20. — P. 81 – 120.
Получено 30.03.15,
после доработки — 17.11.15
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2017, т . 20, N◦ 1
|